1
4. Principios básicos para yacimientos cercanos al punto crítico
Caracterización de los yacimientos con composición variable
Análisis de fluidos PVT composicional
Ecuaciones de Estado (Peng Robinson y Redlik-Kwong-Soave)
2
Se definió una ecuación de estado como una relación matemática entre las variablesTemperatura, Presión y Volumen (más la concentración en el caso de mezclas). Lasecuaciones de estado constituyen una herramienta usual en Termodinámica para elcálculo de propiedades físicas y termodinámicas de fluidos. Si se conoce la relaciónf(T,P,V)=0 para fluidos puros o bien g(T,P;V,X)=0 para mezclas, entonces es posibledeterminar el valor de propiedades tales como densidad, entalpía, entropía o energíainterna.
3
Ecuación de Van der Waals
La ecuación de Van der Waals corrige dos de las aproximaciones mas drásticas del modelo de GasIdeal:
1. El volumen de las moléculas no es despreciable con respecto al volumen del sistema2. Las moléculas se atraen y producen una presión de atracción, que van der Waals modeló
como: 2/ MVa
2
MM V
a
bV
RTp
4
Ecuación de Van der Waals
Volumen molar, VM (ft3)
Tc
0,02
2
TcMTcM dV
pd
dV
dp
VMc
Pre
sión,
p (
lb/p
g2abs)
pc
0
V
a2
bV
RT
dV
dp3
M
2
M
c
TM CCC
0
V
a6
bV
RT2
dV
Pd4
M
3
M
c
T
2
M
2
CCC
c
2
c
2
p64
TR27a
c
c
p8
RTb
Los valores de a y b son característicos de un gas en particular:
Esta EOS fue planteada considerando substancias puras; se deben usar reglas de mezclado para elcaso de gases reales.
5
Ecuación de Van der Waals
c
2
c
2
p64
TR27a
c
c
p8
RTb
Calcular las constantes de van der Waals para el 3-metil-hexano.
Solución.Para el 3-metil-hexano la Tc y pc se obtienen de la Tabla A-1.
2
232
2
2232
)(
)()/(29.599,110
) 1408)(64(
)8.963()/ 73210)(27(
mollbm
ftabspglb
abslb/pg.
RRmollbmftabslb/pg.a
o
mollbm
ft168.3
)abslb/pg (8)(408.1
R) 8.963)(Rmol/lbmftabslb/pg (10.732b
3
2
32
963.8 oR y 408.1 lb/pg2abs, respectivamente
6
Ecuación de Van der Waals
023
p
abV
p
aV
p
RTbV MMM
La ecuación de van der Waals puede ser escrita en forma polinomial:
Volumen molar, VM (ft3)
Pre
sión,
p(l
b/p
g2abs)
PUNTO
CRITICO
T=cte
T1
E
D
C
BA
p1
Isoterma para un componente
puro calculada con la ecuación
de estado de van der Waals
LÍQUIDO
GAS
DOS
FASES
p
zRTVM
0ABAzz)B1(z 23
22TR
apA
RT
bpB
7
Cálculo de las densidades de fluidos con la ecuación de Van der Waals
En un cilindro cerrado se encuentra propano puro a 100 °F teniendo las fases líquido y vaporpresentes. Empleando la ecuación cúbica de estado de van der Waals de dos parámetros, calcularla densidad de las fases líquido y vapor (gas).
Solución.Etapa 1. Estimando la pv del propano puro a partir de la cartas de Cox
Temperatura (°F)
Temperatura (°F)Temperatura (°F)
Temperatura (°F)
Presió
n (lb
/pg
2 a
bs.)
Presió
n (lb
/pg
2 a
bs.)pv = 185 lb/pg2abs
8
Cálculo de las densidades de fluidos con la ecuación de Van der Waals
c
c
p
TRa
64
27 22
2
232
2
2232
)(
)(/465.970,34
)/ (616.3
)666()// (10.732(0.421875)
mollbm
ftabspglb
abspglb
RRmollbmftabspglba
c
c
P
RTb
8
mollbm
ft4496.1
)abspg/lb (616.3
)R666)(Rmollbm/ftabspg/lb (10.732(0.125)b
3
2
32
Etapa 2. Calculando los parámetros a y b
TcPc
9
Cálculo de las densidades de fluidos con la ecuación de Van der Waals
22TR
apA
17912.0
)R560()Rmollbm/ftabspg/lb732.10(
)abspg/lb185(mol)lbm/(ftabspg/lb 465.970,34A
2o2o32
2262
RT
bpB
044620R560Rmollbmftabspglb73210
abspglb185mollbmft44961B
oo32
23
.))(//.(
)/)(/.(
Etapa 3. Calcular los coeficientes A y B aplicando las ecuaciones:
10
Cálculo de las densidades de fluidos con la ecuación de Van der Waals
0ABAzz)B1(z 23
Etapa 4. Sustituyendo los valores de A y B dentro de la ecuación:
0007993.017912.004462.1 23 zzz
Etapa 5. Resolviendo el polinomio de tercer grado, obteniendo el mayor y menor valores (raíces) delpolinomio. Para resolver este polinomio se utilizan métodos directos o iterativos. Para la fase vaporse obtiene,
y para la fase líquida,
zv = 0.84350
zL = 0.07534
11
Cálculo de las densidades de fluidos con la ecuación de Van der Waals
RTz
pM
V
Cv 3
RTz
pM
L
CL 3
Etapa 6. Calculando las densidades de las fases líquido y vapor. Para la fase vapor se tiene,
332
2
60572.1)560)(//732.10)(84350.0(
)/44)(/185(
ft
lbm
RRmollbmftabspglb
mollbmlbmabspglboo
v
332
2
97753.17)560)(//732.10)(07534.0(
)/44)(/185(
ft
lbm
RRmollbmftabspglb
mollbmlbmabspglboo
L
12
Ecuación de Redlich-Kwong (RK)
En 1948 Redlich y Kwong modificaron el término de fuerzas de atracción (fuerzas de presión a/V2)de la ecuación de van der Waals, lo cuál mejora en forma considerable la predicción de laspropiedades físicas y volumétricas de la fase gas. Redlich-Kwong sustituyeron el término de fuerzasde atracción de presión, con un término general de dependencia de la temperatura. La ecuación deRedlich-Kwong se expresa como:
5.0TbVV
a
bV
RTp
c
5.2
c
2
ap
TRa
c
c
bp
RTb
42747.0a 08664.0b
13
Ecuación de Redlich-Kwong (RK)
0)( 223 ABzBBAzz
5.22TR
apA
RT
bpB
La EOS de RK expresada en forma polinomial:
14
1. Retrabaje el ejemplo utilizado en VdW, usando la ecuación de estado de Redlich – Kwong.
2. Calcule la densidad de un aceite con la siguiente composición a 4,000 lb/pg2
abs y 160°F. Utilizando RK.
Componentexj
(fracción mol)
Metano, C1H4 0.86
Etano, C2 H6 0.05
Propano, C3 H8 0.05
Butano normal, n-C4 H10 0.02
Pentano, C5 H12 0.01
Hexano, C6 H14 0.005
Heptano, C7 H16+ 0.005
Peso molecular del C7+=215 lbm/lbm-molpc del C7+ = 285 lb/pg2 abs.
Tc del C7+ = 825 °R.
15
Ecuación de Redlich-Kwong (RK)
Redlich y Kwong extendieron la aplicación de su ecuación a hidrocarburos líquidos o mezclas de gas, mediante el uso de las siguientes reglas de mezclado:
n
j
jjm bxb1
n
j
jiji
n
i
m aaxxa1
5.0
1
n= Número de componentes de la mezcla
ai= Parámetros RK para el enésimo componente de la ecuación de estado
bi=
am= Parámetro de la mezcla a
bm= Parámetro de la mezcla b
xi= Fracción mol del componente i en la fase líquida
16
Cálculo de la densidad de líquido de una mezcla de hidrocarburos con la ecuación de Redlich-Kwong (RK)
Calcular la densidad de un hidrocarburo líquido cuya composición se proporciona en la Tabla y quese encuentra a 4,000 lb/pg2 abs y 160 °F. Emplear la ecuación de estado de Redlich-Kwong.
Composición de los componentes líquido de la mezcla de hidrocarburos
Componentexj
(fracción mol)
Metano, C1H4 0.45
Etano, C2 H6 0.05
Propano, C3 H8 0.05
Butano normal, n-C4 H10 0.03
Pentano, C5 H12 0.01
Hexano, C6 H14 0.01
Heptano, C7 H16+ 0.40
Peso molecular del C7+=215 lbm/lbm-molpc del C7+ = 285 lb/pg2 abs.
Tc del C7+ = 825 °R.
17
Cálculo de la densidad de líquido de una mezcla de hidrocarburos con la ecuación de Redlich-Kwong (RK)
Solución.Etapa 1. Calculando los parámetros aj y bj para cada componente
c
5.2
c
2
ap
TRa
c
c
bp
RTb
Componentex j
(fracción mol)
p cĵ
(lb/pg 2 abs)T cĵ (°R)
Metano, C 1 H 4 0.45 666.40 343.33
Etano, C 2 H 6 0.05 706.50 549.93
Propano, C 3 H 8 0.05 616.00 666.06
Butano normal, n-C 4 H 10 0.03 550.60 765.60
Pentano, C 5 H 12 0.01 490.40 829.10
Hexano, C 6 H 14 0.01 436.90 914.60
Heptano, C 7 H 16+ 0.4 285.00 825.00
18
Cálculo de la densidad de líquido de una mezcla de hidrocarburos con la ecuación de Redlich-Kwong (RK)
Componente x j (fracción mol)p cĵ
(lb/pg 2 abs)T cĵ (°R) a ĵ b ĵ
Metano, C 1 H 4 0.45 666.40 343.33 161,365.75 0.47904452
Etano, C 2 H 6 0.05 706.50 549.93 494,214.45 0.72375436
Propano, C 3 H 8 0.05 616.00 666.06 915,102.28 1.00538349
Butano normal, n-C 4 H 10 0.03 550.60 765.60 1,450,225.62 1.29289967
Pentano, C 5 H 12 0.01 490.40 829.10 1,987,164.39 1.57201093
Hexano, C 6 H 14 0.01 436.90 914.60 2,850,774.84 1.94647244
Heptano, C 7 H 16+ 0.4 285.00 825.00 3,377,201.55 2.69158560
45263.11
n
j
jjm bxb
Etapa 2. Calculando los parámetros de mezclado am y bm , respectivamente.
11.233,136,11
5.0
1
n
j
jiji
n
i
m aaxxa
19
Cálculo de la densidad de líquido de una mezcla de hidrocarburos con la ecuación de Redlich-Kwong (RK)
12275.4)R620()Rmollbm/ftabspg/lb732.10(
)abspg/lb4000()mollbm(
R)ft()abspg/lb(11.233,136,1
TR
paA
5.2o2o32
2
2
5.0232
5.22
m
87326.0)620)(//732.10(
)/4000(452633.1
32
2
3
RRmollbmftabspglb
abspglbft
lbm
RT
pbB
oo
m
Etapa 3. Calculando los coeficientes A y B , respectivamente,
20
Cálculo de la densidad de líquido de una mezcla de hidrocarburos con la ecuación de Redlich-Kwong (RK)
0)( 223 ABzBBAzz
0)87326.0x12275.4(z)87326.087326.012275.4(zz 223
6001.3z48676.2zz 23
Etapa 4. Resolviendo la ecuación para encontrar la raíz con el menor valor,
sustituyendo valores,
zL = 1.27134
Etapa 5. Calculando el peso molecular aparente de la mezcla líquida,
Componente x j (fracción mol) Mj xjMj
Metano, C 1 H 4 0.45 16 7.2
Etano, C 2 H 6 0.05 30 1.5
Propano, C 3 H 8 0.05 44.1 2.205
Butano normal, n-C 4 H 10 0.03 58.12 1.7436
Pentano, C 5 H 12 0.01 72.15 0.7215
Hexano, C 6 H 14 0.01 86.177 0.86177
Heptano, C 7 H 16+ 0.4 215 86
100.23187 Ma = 100.2547 lbm/lbm-mol
21
Cálculo de la densidad de líquido de una mezcla de hidrocarburos con la ecuación de Redlich-Kwong (RK)
RTz
pML
aL
Etapa 6. Calculando la densidad de la fase líquida, considerando el peso molecular aparente de la mezcla,
332
2
40571.47)620)(//732.10)(27134.1(
/2547.100/000,4
ft
lbm
RRmollbmftabspglb
mollbmlbmabspglb
RTz
pMooL
aL
1. LEE, J. y Wattenbarger, R. A. Gas Reservoir Engineering
2. MCCAIN, William. The properties of petroleum fluids, EUA. The Penn WellBooks, 1990.
3. KATZ, D. L. Handbook of natural gas Enginneering, New York. McGraw-HillBook Co., 1959.
4. BRADLEY, H.B. Petroleum Engineering Handbook, Texas. SPE, Richardson,1987.
22
23
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