7/23/2019 Ec. Cuadr Tica y Funci n de 2 Grado
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uncin Cuadrtica y
uncin Cuadrtica y
Ecuacin de Segundo Grado
cuacin de Segundo Grado
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OBJ TIVO :
Conocer y aplicar los conceptos matemticos asociadosal estudio de la funcin cuadrtica.
Graficar una funcin cuadrtica, determinando vrtice,eje de simetra y concavidad.
Indicar las caractersticas grficas de una parbola atravs del anlisis del discriminante.
eterminar las intersecciones de la parbola con losejes cartesianos.
eterminar las races de una ecuacin de !" grado.
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Contenidos
#.$uncin cuadrtica
!.%cuacin de !" grado
#.#Interseccin con el eje &
#.!Concavidad
#.'%je de simetra y vrtice
!.#(aces de una ecuacin cuadrtica
!.!)ropiedades de las races!.'iscriminante
#.*iscriminante
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#. $uncin Cuadrtica
%s de la forma+
f- / a-!0 b- 0 c
%jemplos+
y su grfica es una parbola.
a 1i f- / !-!0 '- 0 #
b 1i f- / *-!2 3- 2 !
a / !, b / ' y c / #
a / *, b / 23 y c / 2!
con a /45 a,b,c I(
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#.#. Interseccin con eje &
%n la funcin cuadrtica, f- / a-!0 b- 0 c ,
el coeficiente cindica la ordenadadel punto dondela parbola intersecta al eje &.
-
y
-
y
c
4,C
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#.!. Concavidad%n la funcin cuadrtica, f- / a-!0 b- 0 c ,
el coeficiente a indica si la parbola es cncava6acia arriba o 6acia abajo.
1i a 7 4,es cncava 6acia arriba
1i a 8 4,es cncava 6acia abajo
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%l valor de ben la funcin+ f- / a-!0 b- 0 c permite saberel movimiento 6ori9ontal de la parbola 4
ba + -
+
-
#.' :rientacin+
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;uego, la parbola intersecta al eje & en el punto 4,2 *, es cncava
6acia arriba y est orientada 6acia la derec6a respecto al eje &.
-
y
%jemplo+%n la funcin f- / -!2 '- 2 * , a / # 5 b/2' y c / 2 *.
4,2*
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#.*. %je de simetra y vrtice
%l eje de simetra es la recta n sea su concavidad.
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1i f- / a-!0 b- 0 c, entonces+
b1u vrtice es+
a1u eje de simetra es+
!a !a= / 2b , f 2b
*a
2b , *ac ? b!
!a= /
2b
!a- /
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%jemplo+
!@#
2!- /
%n la funcin f- / -!0 !- 2 A, a / #, b / ! y c / 2 A,entonces+
= / 2#, f2#
a1u eje de simetra es+
- / 2#
b1u vrtice es+
= / 2#, 2B
!a
2b- /
2b , f 2b
!a !a= /
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f-
= / 2#, 2B
- / 2#%je de simetra+
=rtice+
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1i la parbola es abierta 6acia arriba, elvrtice es un mnimoy si la parbola esabierta 6acia abajo, el vrtice es un mximo.
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i y /a-26 significa
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)or ejemplo+ ECul es el grfico de la funcin+
a f-/ - ? #!? F b f-/2- 0 #! 0 !
2#
!=2#,!
2F
#
=#,2F
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%l discriminante se define como+
/ b!2 *ac
a 1i el discriminante es positivo, entonces la parbola
intersecta en dos puntos al eje X.
7 4
#.F. iscriminante
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b 1i el discriminante es negativo, entonces la
parbola NO intersecta al eje X.
8 4
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-!-
y
-#
%jemplo+
%n la funcin, f-/-!2 '- 2 * / 4 la ecuacin asociada es +
-!2 '- 2 */ 4, y tiene races 2# y *.
;uego, la parbola intersepta al eje H en esos puntos.
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c 1i el discriminante es igual a cero, entonces la
parbola intersecta en un solo punto al eje X, es
tangente a l.
/ 4
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#. :JIKI: & (%C:((I:+
ominio+ %l dominio de cual
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-!-#
#.A ;a intercepcin con eje H y la %cuacin Cuadrtica
Cuando se
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Dipos de %cuaciones cuadrticas+
2 Incompleta Pura+ a-!
0 c / 4 ,con b/4
1us soluciones son+1
c
ax =
2
c
a
x =
%jemplo+ (esolver la siguiente ecuacin *-!2 'F / 4
*-!/ 'F O+*
-!/ 'FO*
O-!/ B
- /'
-#/ '
-!/ 2'
!.#. Dipos de %cuaciones de !P Grado y sus races+
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2Incompleta Binomia: a-!0 b- / 4 ,con c/4
1us soluciones son+
-#/ 4
-!/ 3O!
-#/4
-!/ 2bOa
%jemplo+ (esolver la siguiente ecuacin F-
!
2 #3- / 4e acuerdo a la ecuacin tenemos
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$rmula para determinar sus soluciones races es+
- b b2 4ac
2a- /
%jemplo+
eterminar las races de la ecuacin+ -!2 '- 2 * / 4
-(-3) (-3)2 41(- 4)
2- /
3 9 + 16
2- /
-Completa general: a-!0 b- 0c / 4
1e obtiene el valor de+ a/#, b/2' y c/2* y se reempla9anen la frmula dada+
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3 25
2- /
2- / 3 5
2- / 8
2- / -2
-#/ * -!/ 2#
Dambin se puede obtener las races de la ecuacinfactori9ando como producto de binomios+
-!2 '- 2 * / 4
- 2 *- 0 # / 4
- 2 */ 4 - 0 #/ 4
-#/ * -!/ 2#
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!.!. )ropiedades de las races1i -#y -!son las races de una ecuacin de segundo
grado de la forma a-!
0 b- 0 c / 4, entonces+
2b
a-#0 -!/
c
a-#@ -!/
a
-#2 -!/
#
!
'
adas las races o soluciones de una ecuacin de segundogrado, se puede determinar la ecuacin asociada a ellas.
- ? -#- ? -! / 4
*
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%n una ecuacin de segundo grado, el discriminante
/ b!2 *ac
a 1i el discriminante es positivo, entonces la ecuacincuadrtica tiene dossolucionesreales x! x"# distintas.
;a parbola intersecta
en dos puntos al eje H.
7 4
!.'. iscriminante
permite conocer la naturale9a de las races.
-#, -!son reales y
-#L -!-!-#
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b 1i el discriminante es negativo, entonces la
ecuacin cuadrtica no tiene solucin real, es decir,
sus races son imaginarias.
;a parbola K: intersecta
al eje H.
8 4
-#, -!son complejos y
conjugados -#/ -!
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c 1i el discriminante es igual a cero, entonces la
ecuacin cuadrtica tiene dos races reales e iguales.
;a parbola intersecta en
un solo punto al eje H.
/ 4
-#, -!son reales y
-#/ -!
-!-#/
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