Petite introduction thématique à la théorie des graphes; quelques applications à la
modélisation moléculaire
Dominique Barth, PRiSM-UVSQ
Journées Simulation Numérique 2013 15/11/2013
1. Type de modèle : discret (combinatoire, graphes, proc. Stochastique) ou continu (EDP,…)
2. Approche : statique (structure, architecture, états) ou dynamique (évolution temporelle)
3. Granularité : fine (élément de base = niveau atomique ou petite molécule) ou élevée (élément de base =molécule de grande taille)
4. Simulation : le but est il de calculer un modèle ou de simuler in silico un phénomène réel?
5. Application : en biologie, en pharmacologie ou autre (matériaux,…)
Quelques questions concernant la modélisation moléculaire…
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
1. Type de modèle : discret (combinatoire, graphes, proc. Stochastique) ou continu (EDP,…)
2. Approche : statique (structure, architecture, états) ou dynamique (évolution temporelle)
3. Granularité : fine (élément de base = niveau atomique ou petite molécule) ou élevée (élément de base =molécule de grande taille)
4. Simulation : le but est il de calculer un modèle ou de simuler in silico un phénomène réel?
5. Application : en biologie, en pharmacologie ou autre (matériaux,…)
Quelques réponses par la théorie et l’algorithmique des graphes…
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
« Il peut ne pas être entièrement sans intérêt pour les lecteurs de Nature d'être au courant d'une analogie qui m'a récemment fortement impressionné entre des branches de la connaissance humaine apparemment aussi dissemblables que la chimie et l'algèbre moderne. […] Chaque invariant et covariant devient donc exprimable par un graphe précisément identique à un diagramme Kékuléan ou chemicograph. »
James Joseph Sylvester (1814-1897)
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Axe T1 du Labex CHARMMMAT : Modélisation, Caractérisation et Simulation
Axe T1 du Labex CHARMMMAT : Modélisation, Caractérisation et Simulation
Fonctions, objectifs
Caractérisation
Modélisation
Identification
Prédiction
. Comportement stat/dyn
. Granularité
. RMN
. Spectro…
Propriétés, structuresRésolution de systèmes, Algorithimique de graphes
1
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Plan
• Introduction et concepts de base
• Coloration de graphes
• Planarité
• Comparaison de graphes
• Application à la modélisation moléculaire
• Conclusion
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Introduction et concepts de base
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Graphes : relation (application de V*V dans {Vrai,Faux})
(vrai) graphe orienté
Graphe orienté symétrique Graphe non-orienté
- Degrés- Distances, diamètre- Chaine, chemin, cycle, circuits- Connexité, forte-connexité, k-connexité- pondération, étiquetage
Graphe de la relation, matrice d’adjacence, listes par extension
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
L.P. Euler (1707 – 1783)
W.R. Hamilton (1805 – 1865)
Claude Berge (1926 – 2002)
Une veille science en informatique…
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Coloration de graphes
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Francis Guthrie (1831-1899)
Un problème de géographe
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Francis Guthrie (1831-1899)
Un problème de géographe
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Francis Guthrie (1831-1899)
Paul erdos (1913-1996)
Un problème de géographe
Conjecture : 4 couleurs suffisent pour chaque carte géographique
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Une coloration du graphe de Petersen avec 3 couleurs.
G=(V,E), graphe non-orienté
Coloration de G: application f de V dans un ensemble de couleursColoration propre : (u,v) une arête de E implique f(u) différent de f(v)Taille d’une coloration(propre) : cardinal de f(V)Nombre chromatique de G : taille minimum d’une coloration propre de G
Problème historique des 4 couleurs
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Théorème : Un graphe est 2-coloriable ssi il ne contient pas de cycles de longueur impaire.
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
11
2
3
3
3
24
4
5
0
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
11
2
3
3
3
24
4
5
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
1
11
1
1
1
1
2
2
22
cPair/impair Pair/impair
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Théorème : Décider si un graphe peut ou non être colorié avec au plus 3 couleurs est un problème NP-complet
Complexité Nombre de données processeur x 1000 traitées / 24h
Linéaire 1 million x1000Polynomial (deg. 4) 4000 x 2
Exponentielle 150 +20Factorielle 12 +2
} Classe P
Difficulté d’un problème : plus petite complexité d’un algorithme le résolvant
Taille d’un problème : nombre de sommets, de liens
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Classe P: problèmes « faciles », pouvant être résolus en temps polynomial fonction du nombre de sommets et d’arêtes.
Classe NP: problèmes pour lesquels pour chaque instance, vérifier si une solution possible est une solution réalisable ou optimale est « facile » (d’où algorithme exponentiel). Contient la classe P.
Problème NP-complet : problème X de NP tel que tout autre problème de NP peut de facon « facile » se ramener à un sous-problème de X (donc, problèmes les plus durs de NP).
Hiérarchie de classes de problèmes
Question : P=NP ?
Si un des problèmes NP-complet est dans P, alors P=NP
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Savoir si un problème est NP-complet :« Si un problème X est au moins aussi difficile qu’un problème connucomme étant l’un des plus difficiles (NP-complet) alors X est aussiun des problèmes les plus difficiles (NP-complet). »
Que faire si un problème est NP-complet : - Heuristiques polynomiales- Approximation, garanties de performances- Liens entre invariants et complexité
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Théorème : Décider si un graphe peut ou non être colorié avec au plus 3 couleurs est un problème NP-complet
3 3
5
2
47
Invariant de complexité : largeur arborescente (calcul NP-complet)
Problème : enchevêtrement de cycles
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Planarité
Un graphe est planaire si et seulement si il existe une facon de le dessiner sur une sphère sans que deux arête ne se croisent
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Francis Guthrie (1831-1899)
La terre est ronde
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Francis Guthrie (1831-1899)
La terre est ronde
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Comment décider qu’un graphe est ou non planaire sans disposer de plusieurs siècles?
Conjecture : 4 couleurs suffisent pour chaque carte géographiquegraphe planaire
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
K3 K4K5
K3,3
Graphe planaire : graphe que l’on peut dessiner sur un plan (une sphère) Sans que deux arêtes ne se croisent
oui ouinon
non
?
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Graphe homéomorphe à
Théorème (Kuratowski ) : Un graphe est planaire ssi il n’est homéomorphe ni à K5, ni à K3,3
Décider si un graphe est planaire est dans P.
Kutlaw Kuratowski (1896-1980)Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Carte planaire : dessin planaire d’un graphe planaire
= caractérisation par un graphe + parcours des arêtes décrivant les faces
a
b
c
d
e
f
(abdfec),(abc),(bdec),(dfe) (abdec),(abc),(bdfec),(def)
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Question : un graphe est-il « rond » ou « long »?
1. Existe-t-il un critère mesurable pour cette question? Est-il « facile » à calculer?
2. Si non, utilisation de critères croisés : - Excentricité moyenne (calcul polynomial) - Taille de séparateur (NP-complet, critère négatif) - Heuristique de largeur de bande
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Comparaisons de graphes
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Morphisme d’un graphe G=(V,E) dans un graphe H=(V’,E’) :Application f de V dans V’ tel que (u,v) dans E implique (f(u),f(v)) dans E’.
f est un isomorphisme ssi f est une bijection (donc l’inverse de f est un (iso)morphisme)
Graphe G Graphe HIsomorphismeentre G et H
ƒ(a) = 1 ƒ(b) = 6ƒ(c) = 8ƒ(d) = 3ƒ(g) = 5ƒ(h) = 2ƒ(i) = 4ƒ(j) = 7
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
f est un automorphisme ssi f est un isomorphisme et G=H
- groupe d’automorphismes d’un graphe, - classes d’équivalence de sommets, - symétries (involutions) - graphes sommet-transitifs
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
f homéomorphisme ssi isomorphisme – injectivité (contraction de V dans V’) (puis notion de mineur)
Graphe homéomorphe à
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Comparaison de sous-graphes : plus grand sous-graphes de GEt de H qui ont la propriété de morphisme visée.
Plongement de graphes: f:V -> V’, injectif. Critère : minimiser dist(f(u),f(v)) pour tout (u,v) de E
Transformation (édition, mineur) d’un graphe à un autre en minimisantLe nombre d’opérations élémentaires
Application de la généralisation à la notion de distance entre graphes
-Statique : comparaisons de structures a priori similaire,-Dynamique : mesure de l’évolution d’une structure dans le temps
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Quelques applications ….
- Identifier la bonne structure moléculaire,- Prédire la structure tridimensionnelle d’une molécule,
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
1
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Y VVY Y
?
Exemple d’application : génération de topologies de cages moléculaires construites à partir de motifs de base
Verrous : Faire face à l’explosion combinatoire et à la sélection sur critères
1
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Y VVY Y
?
Exemple d’application : génération de topologies de cages moléculaires construites à partir de motifs de base
Verrous : Faire face à l’explosion combinatoire et à la sélection sur critères
Question : un graphe est-il « rond » ou « long »?
1. Existe-t-il un critère mesurable pour cette question? Est-il « facile » à calculer?
2. Si non, utilisation de critères croisés : - Excentricité moyenne (calcul polynomial) - Taille de séparateur (NP-complet, critère négatif) - Heuristique de largeur de bande
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Exemple d’application : génération de topologies de cages moléculaires construites à partir de motifs de base
Verrous : Faire face à l’explosion combinatoire et à la sélection sur critères
1
2
3
7
6
5
4
8
9
10
11
Séparateur (calcul approché)
Excentricité (calcul exact)
Largeur de bande(calcul approché)
+ nombre de classes d’équivalence+ test de planarité
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Conclusion
- Le choix du modèle dépend du problème (structure, granularité,..)
- Importance des caractéristiques des instances- Déterminer la difficulté intrinsèque (NP-complétude, explosion combinatoire)
- Produire la bonne approche (cout/performance)
Un des objectifs du groupe de travail transverse sur la modélisation moléculaire CHARMMMAT – LERMIT - PALM
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Objectifs de l’axe :
•appréhender les structures complexes observées dans le LABEX, à la fois expérimentalement et d'un point de vue algorithmique,
•proposer des modèles et des stratégies pour la corrélation des techniques expérimentales sur un même objet étudié
•modéliser des propriétés et des fonctions identifiées par les quatre thèmes et proposer/identifier des architectures moléculaires cibles..
Axe T1 du labex CHARMMMAT: Modélisation, Caractérisation et
Simulation
Axe T1 du labex CHARMMMAT: Modélisation, Caractérisation et
Simulation
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
« Il peut ne pas être entièrement sans intérêt pour les lecteurs de Nature d'être au courant d'une analogie qui m'a récemment fortement impressionné entre des branches de la connaissance humaine apparemment aussi dissemblables que la chimie et l'algèbre moderne. […] Chaque invariant et covariant devient donc exprimable par un graphe précisément identique à un diagramme Kékuléan ou chemicograph. »
James Joseph Sylvester (1814-1897)
Dominique Barth, PRiSM, UVSQ 15/11/2013
Top Related