8/18/2019 Distribusi Probabilitas dalam SPSS.pdf
1/14
1
~Oleh: Prana Ugiana Gio~
DISTRIBUSI PROBABILITAS
Distribusi Binomial
Distribusi binomial merupakan salah satu distribusi probabilitas diskrit. Hal ini karena variabel acak
(random variable) bersifat terhitung (countable). Andaikan sebuah koin dilemparkan sebanyak kalidan tertarik untuk mengamati banyaknya kemunculan sisi angka. Misalkan banyaknya kemunculan
sisi angka dalam kali percobaan melemparkan sebuah koin dilambangkan dengan . Sebagai contohmisalkan sebuah koin dilambungkan sebanyak 2 kali, banyaknya kemunculan sisi angka yangmungkin 0,1,2.Selanjutnya andaikan menyatakan probabilitas kemunculan sisi angka dan merupakan probabilitasgagal muncul sisi angka dalam sekali percobaan melemparkan sebuah koin. Andaikan sebuah koindilempar sebanyak dua kali, maka probabilitas pada pelemparan pertama sama dengan probabilitas
pada pelemparan kedua. Dalam hal ini, probabilitas muncul sisi angka pada pelemparan pertama sama dengan probabilitas muncul sisi angka pada pelemparan kedua . Percobaan
Bernoulli merupakan suatu percobaan yang hanya memiliki dua hasil (outcome) yang mungkin terjadi,yakni “sukses” atau “gagal”, serta probabilitas pada percobaan pertama dengan probabilitas pada
percobaan selanjutnya tidak berubah-ubah atau sama. Berikut rumus untuk menghitung probabilitas
kemunculan sisi angka tepat kali dalam percobaan.
!
! ! .
Keterangan : merupakan probabilitas kejadian sukses dalam satu kali percobaan. merupakan probabilitas kejadian gagal dalam satu kali percobaan.
merupakan jumlah percobaan yang dilakukan. merupakan banyaknya kejadian sukses yang terjadi dalam kali percobaan.Misalkan sebuah koin dilemparkan sebanyak 4 kali. Andaikan tertarik untuk mengamati banyaknya
sisi angka yang muncul dalam pelemparan sebuah koin sebanyak 4 kali. Misalkan merupakan suatuvariabel acak yang menyatakan banyaknya sisi angka yang muncul dalam 4 kali pelemparan sebuah
koin. Nilai-nilai yang mungkin adalah 0,1,2,3,4. Nilai 1 berarti banyaknya sisi angka yangmuncul dalam 4 kali pelemparan sebuah koin sebanyak 1 kali, 0 berarti dalam pelemparan sebuahkoin sebanyak 4 kali, tidak ada muncul sisi angka sekalipun. Berikut akan dihitung probabilitas untuk
setiap kejadian yang mungkin terjadi.
0 0,06251 0,25
2 0,375
3 0,25
4 0,0625
Jumlah 1
Tabel 1 Distribusi Probabilitas Variabel Acak
8/18/2019 Distribusi Probabilitas dalam SPSS.pdf
2/14
2
Menghitung probabilitas untuk 0, 1, 2, 3, dan 4.
0 40 0,50,5
0 4!4 0! 0! 0,50,5
0 0,0625 1 41 0,5
0,5
1 0,25
2 42 0,50,5
2 0,375
3 43 0,5
0,5
3 0,25
4 44 0,50,5
4 0,0625.
Distribusi Poisson
Distribusi Poisson juga merupakan salah satu distribusi probabilitas diskrit. Hal ini karena variabel
acak bersifat terhitung (countable). Seorang ilmuwan matematilka dari Prancis memperkenalkandistribusi Poisson bernama Sim ́-Dennis Poisson. Berikut diberikan fungsi probabilitas daridistribusi Poisson.
! .
Keterangan : merupakan banyaknya suatu kejadian yang sedang diamati, 0,1,2, merupakan nilai rata-rata atau harapan .
merupakan nilai dari bilangan eksponensial, yakni didekati dengan bilangan 2,71828.Distribusi binomial dapat didekati atau diaproksimasi dengan pendekatan distribusi Poisson ketika
50 dan
5 dengan nilai
kecil, yakni mendekati
0. Sebagai contoh misalkan diketahui
probabilitas sebuah bola lampu akan rusak ketika diproduksi di suatu pabrik bola lampu sebesar0,0005. Dari 4000 bola lampu yang diproduksi di suatu pabrik tertentu, tentukan probabilitas:
Terdapat tepat 1 bola lampu yang rusak.
Terdapat tepat 2 bola lampu yang rusak.
Terdapat 3 bola lampu yang rusak.
Berikut penyelesaian dari permasalahan tersebut.
1 0,270671
2 0,2706713 0,180447
Tabel 2 Probabilitas untuk , , dan
Diketahui 4000 dan 0,0005 sehingga 40000,0005 2. Berikut akan dihitungprobabilitas untuk 1, 2, 3.
8/18/2019 Distribusi Probabilitas dalam SPSS.pdf
3/14
3
1√ 2 .
1 22,71828
1!
1 10,1353351
1 0,27067
2 22,718282!
2 0,270671
3 22,71828
3!
3 0,180447.
Perhatikan bahwa dari 4000 bola lampu yang diproduksi di suatu pabrik tertentu, probabilitas terdapat
tepat 1 bola lampu rusak sebesar 0,27067, tepat 2 bola lampu yang rusak sebesar 0,270671, dan
terdapat tepat 3 bola lampu yang rusak sebesar 0,180447.
Distribusi Normal
Beberapa fenomena dalam kehidupan mendekati kurva dari distribusi normal. Sebagai contoh
fenomena-fenoma yang mendekati kurva dari distribusi normal seperti fenomena mengenai nilai IQmanusia, tinggi badan, berat badan, dan sebagainya. Distribusi normal termasuk ke dalam salah satu
distribusi probabilitas nondiskrit. Dalam distribusi normal, variabel acak dinyatakan dalam interval
dan bersifat tidak dapat dihitung (uncountable). Sebagai contoh variabel acak dinyatakan dalaminterval 0 1, dengan . Berikut diberikan fungsi probabilitas dari distribusi normal.
Perhatikan bahwa merupakan rata-rata populasi, sedangkan merupakan standar deviasi populasi.Gambar 1 merupakan contoh dari kurva distribusi normal.
Gambar 1
Gambar 2
Dalam kurva distribusi normal, garis vertikal yang di tarik dari rata-rata membuat luas daerah sisikiri sama dengan luas daerah sisi kanan, sehingga distribusi normal bersifat simetri. Luas di bawah
Garis vertikal
Luas bagian kiri
adalah 0,5.Luas bagian kanan
adalah 0,5.
8/18/2019 Distribusi Probabilitas dalam SPSS.pdf
4/14
4
kurva dari distribusi normal adalah 1, sehingga luas bagian kiri dan luas bagian kanan terhadap rata-
rata, masing-masing adalah 0,5 (Gambar 2).
Dalam distribusi normal terdapat dua parameter, yakni rata-rata dan standar deviasi . Nilaistandar deviasi selalu lebih besar dari 0 atau 0. Suatu distribusi normal dikatakan distribusinormal standar (standard normal distribution) jika 0 dan 1. Luas daerah di bawah kurva daridistribusi normal standar dapat dihitung dengan menggunakan tabel distribusi normal standar. Tabel
distribusi normal standar disajikan pada bagian lampiran. Jika dalam distribusi normal
0 dan
1, maka distribusi normal tersebut dapat ditransformasi atau diubah ke dalam distribusi normalstandar (standardizing a normal distribution).
Andaikan variabel acak dari distribusi normal dilambangkan dengan . Berikut rumus untukmentransformasi variabel acak normal menjadi variabel acak normal terstandarisasi.
.
Variabel acak normal terstandarisasi yang merupakan hasil transformasi dari variabel acak normal mempunyai 0 dan 1. Tabel distribusi normal standar pada bagian lampiran menunjukkan luasdaerah antara 0 sampai atau 0 . Andaikan merupakan variabel acak yangberdistribusi normal dengan rata-rata 40 dan standar deviasi 5. Berikut akan dikonversi atau
ditransformasi 42 dan 30 menjadi nilai-nilai variabel acak normal terstandarisasi.
42 405 0,4.
0 Z 0,4
30 405 2.
2 0
Distribusi Geometri
Andaikan percobaan yang saling bebas (percobaan Bernoulli) dilakukan berulang kali. Misalkan menyatakan probabilitas terjadinya sukses dan 1 menyatakan probabilitas terjadinya gagaluntuk sekali percobaan. Misalkan merupakan variabel acak yang menyatakan banyaknyapercobaan yang dilakukan sampai terjadi sukses pertama kali. Maka disebut variabel acak geometri(geometric random variable) dengan fungsi probabilitas sebagai berikut.
1 ; 1,2,
0 0,4 0,1554.
0 2 0 2 0,4772.
8/18/2019 Distribusi Probabilitas dalam SPSS.pdf
5/14
5
Sebagai contoh berikut akan dihitung peluang/probabilitas seorang melemparkan sekeping koin yang
setimbang memerlukan 4 lemparan sampai diperolehnya sisi gambar. Diketahui peluang untuk muncul
sisi gambar dalam sekali pelemparan sekeping koin yang setimbang adalah 0,5. Maka 4 1 0,50,5 0,0625.
Terdapat 16 kejadian yang mungkin, yakni :
AAAA AAGG AGGGAAAG AGAG GAGG
AAGA AGGA GGAG
AGAA GGAA GGGAGAAA GAAG GGGG
GAGA
Peluang seseorang melemparkan sekeping koin yang setimbang memerlukan 4 lemparan sampai
diperolehnya sisi gambar pertama kali adalah
116 0,0625.
Andaikan memerlukan 3 lemparan sampai diperolehnya sisi gambar pertama kali, maka
3 1 0 , 50,5 0,125. Terdapat 8 kejadian yang mungkin, yakni :
AAA AGG
AAG GAG
AGA AGG
GAA GGG
Peluang seseorang melemparkan sekeping koin yang setimbang memerlukan 3 lemparan sampai
diperolehnya sisi gambar pertama kali adalah
18 0,125.
Andaikan memerlukan 2 lemparan sampai diperolehnya sisi gambar pertama kali, maka
3 1 0,50,5 0,25. Andaikan memerlukan 1 lemparan sampai diperolehnya sisi gambar pertama kali, maka
3 1 0 , 50,5 0,5.
Berikut disajikan hasil perhitungan dan grafik berdasarkan SPSS.
Kejadian yang diinginkan,yakni pada saat pelemparan
keempat terjadi kejadian
sukses pertama kali.
Kejadian yang diinginkan,yakni pada saat pelemparan
ketiga terjadi kejadian
sukses pertama kali.
8/18/2019 Distribusi Probabilitas dalam SPSS.pdf
6/14
6
Gambar 3
Gambar 4
Dalam distribusi geometri, probabilitas dari nilai variabel acak adalah kali dari probabilitas
nilai variabel acak . Sebagai contoh misalkan probabilitas terjadinya sukses dalam sekali
percobaan adalah . Maka
Sama saja dengan
Peluang seorang melemparkansekeping koin yang setimbang
memerlukan 4 lantunan sampai
diperolehnya sisi gambar pertama
kali adalah 0,0625.
.
8/18/2019 Distribusi Probabilitas dalam SPSS.pdf
7/14
7
Distribusi Binomial Negatif
Andaikan percobaan yang saling bebas (percobaan Bernoulli) dilakukan berulang kali. Misalkan menyatakan probabilitas terjadinya sukses dan 1 menyatakan probabilitas terjadinya gagaluntuk sekali percobaan. Misalkan merupakan variabel acak yang menyatakan banyaknyapercobaan yang dibutuhkan sampai sukses ke- terjadi. Maka disebut variabel acak binomialnegatif (binomial negative random variable) dengan fungsi probabilitas sebagai berikut.
1 1 1 ; , 1, 2,
Sebagai contoh berikut akan dihitung peluang bahwa seseorang yang melemparkan sebuah uanglogam akan mendapat sisi gambar untuk kedua kalinya pada lemparan ketiga. Diketahui
probabilitas muncul sisi gambar dalam sekali pelemparan sebuah uang logam adalah . Maka
1 1 1
3 3 12 1 1 12
12
2 12
12
28
14 0,25.
Terdapat 2 8 kejadian yang mungkin, yakni :AAA GGG
AAG GGA
AGA GAG
GAA AGG
Peluang seseorang melemparkan sebuah uang logam akan mendapat sisi gambar untuk kedua kalinyapada lantunan ketiga adalah
18 18
28
14 0,25.
Contoh lain berikut akan dihitung peluang seseorang yang melemparkan dua uang logam sekaligus
akan mendapat semuanya sisi gambar untuk kedua kalinya pada lantunan ketiga. Diketahui
probabilitas muncul semuanya sisi gambar dalam sekali pelemparan dua uang logam adalahAA GA
AG GG
14.
Maka peluang seseorang yang melemparkan dua uang logam sekaligus akan mendapat semuanya sisi
gambar untuk kedua kalinya pada lemparan ketiga adalah
1 1 1
3 3 12 1 1 14
14
2 34
14
664 0,09375.
8/18/2019 Distribusi Probabilitas dalam SPSS.pdf
8/14
8
Pelemparan I Pelemparan II Pelemparan III
AA AA AA
AG AG AG
GA GA GA
GG GG GG
Terdapat
4
64 kejadian yang mungkin, yakni :
AA AA AA
AA AA AG
AA AA GA
AA AA GG
AA AG AAAA AG AG
AA AG GAAA AG GG
dan seterusnya. Kejadian yang diinginkan sebagai berikut.
AA GG GGAG GG GG
GA GG GG
GG AA GG
GG AG GGGG GA GG
Peluang seseorang yang melemparkan dua uang logam sekaligus akan mendapat semuanya sisi
gambar untuk kedua kalinya pada lantunan ketiga adalah
664 0,09375.
Distribusi Hipergeometri
Andaikan suatu kotak berisi bola putih kecil dan bola hitam kecil. Kemudian misalkan dilakukan percobaan pengambilan suatu bola kecil di dalam kotak tersebut secara acak, warnanya dicatat,namun bola tersebut tidak dikembalikan ke dalam kotak. Misalkan merupakan variabel acak yangmenyatakan jumlah bola putih kecil yang terpilih dalam percobaan. Maka disebut variabel acakhipergeometri (hypergeometric random variable) dengan fungsi probabilitas sebagai berikut.
, 0, ,,, .
Andaikan sebuah kotak berisi 3 bola putih kecil dan 1 bola kecil hitam. Suatu percobaandilakukan di mana satu bola kecil dipilih secara acak dan warnanya diamati, namun bola kecil tersebut
tidak diganti/dikembalikan. Berikut akan dihitung probabilitas bahwa dalam 3 kali percobaan, 2 bola putih kecil akan terpilih.
Terdapat 6 kejadian yang
diinginkan.
8/18/2019 Distribusi Probabilitas dalam SPSS.pdf
9/14
9
2 32
13 2
3 13
3 32
11
4
3
3 14 34 0,75.
Kejadian-kejadian yang mungkin adalah sebagai berikut.
,, ,, ,, ,,.
Kejadian yang diinginkan atau diharapkan
,, ,, ,,.
Probabilitas bahwa dalam 3 kali percobaan, 2 bola putih kecil akan terpilih adalah34 0,75.
8/18/2019 Distribusi Probabilitas dalam SPSS.pdf
10/14
10
~Oleh: Prana Ugiana Gio~
PENYELESAIAN DALAM SPSS
Distribusi Binomial
Bangun data dalam SPSS seperti pada Gambar 1. Selanjutnya pilih Transform => Compute Variable,
sehingga muncul kotak dialog Compute Variable (Gambar 2). Pada Gambar 2, ketik fx dalam kotak
Target Variable. Pada Function group, pilih All. Kemudian pada Functions and Special Variables,
pilih Pdf. Binom. Kemudian pada kotak Numeric Expression, ketik PDF.BINOM(x,4,0.5).Selanjutnya pilih OK. Hasilnya terlihat pada Gambar 3.
Gambar 1
Gambar 2
Gambar 3
pada kotak Numeric Expression,
ketik PDF.BINOM(x,4,0.5).
Pada Function group,
pilih All. Kemudianpada Functions andSpecial Variables, pilih
Pdf. Binom.
8/18/2019 Distribusi Probabilitas dalam SPSS.pdf
11/14
11
Distribusi Poisson
Bangun data dalam SPSS seperti pada Gambar 4. Selanjutnya pilih Transform => Compute Variable,
sehingga muncul kotak dialog Compute Variable (Gambar 5). Pada Gambar 5, ketik fx dalam kotakTarget Variable. Pada Function group, pilih All. Kemudian pada Functions and Special Variables,
pilih Pdf. Poisson. Pada kotak Numeric Expression, ketik PDF.POISSON(x,2). Selanjutnya pilih OK.Hasilnya terlihat pada Gambar 6.
Gambar 4
Gambar 5
Gambar 6
Distribusi Normal
Bangun data dalam SPSS seperti pada Gambar 7. Selanjutnya pilih Transform => Compute Variable,
sehingga muncul kotak dialog Compute Variable (Gambar 8). Pada Gambar 8, ketik z dalam kotak
Target Variable. Pada kotak Numeric Expression, ketik (x-40)/5. Selanjutnya pilih OK. Hasilnya
disajikan pada Gambar 9. Kemudian pilih Transform => Compute Variable, sehingga muncul kotakdoalog Compute Variable (Gambar 10). Ketik fz pada kotak Target Variable. Pada kotak Numeric Expression, ketik CDF.NORMAL(ABS(z),0,1)-0.5. Selanjutnya pilih OK. Hasilnya disajikan pada
Gambar 11.
8/18/2019 Distribusi Probabilitas dalam SPSS.pdf
12/14
12
Gambar 7
Gambar 8 Gambar 9
Gambar 10
Gambar 11
Distribusi Geometri
Bangun data dalam SPSS seperti pada Gambar 12. Selanjutnya pilih Transform => Compute Variable,
sehingga muncul kotak dialog Compute Variable (Gambar 13). Pada Gambar 13, ketik fx dalam kotakTarget Variable. Pada Function group, pilih All. Kemudian pada Functions and Special Variables,
pilih Pdf. Geom. Pada kotak Numeric Expression, ketik PDF.GEOM(x,0.5). Selanjutnya pilih OK.Hasilnya terlihat pada Gambar 14.
Gambar 12
Telah terbentuk variabel acak
normal terstandarisasi.
8/18/2019 Distribusi Probabilitas dalam SPSS.pdf
13/14
13
Gambar 13
Gambar 14
Distribusi Binomial Negatif
Bangun data dalam SPSS seperti pada Gambar 15. Selanjutnya pilih Transform => Compute Variable,
sehingga muncul kotak dialog Compute Variable (Gambar 16). Pada Gambar 16, ketik fx dalam kotak
Target Variable. Pada Function group, pilih All. Kemudian pada Functions and Special Variables,
pilih Pdf. Negbin. Pada kotak Numeric Expression, ketik PDF.NEGBIN(x,2,0.5). Selanjutnya pilihOK. Hasilnya terlihat pada Gambar 17.
Gambar 15
Gambar 16
8/18/2019 Distribusi Probabilitas dalam SPSS.pdf
14/14
14
Gambar 17
Distribusi Hipergeometri
Bangun data dalam SPSS seperti pada Gambar 18. Selanjutnya pilih Transform => Compute Variable,
sehingga muncul kotak dialog Compute Variable (Gambar 19). Pada Gambar 19, ketik fx dalam kotak
Target Variable. Pada Function group, pilih All. Kemudian pada Functions and Special Variables,pilih Pdf. Hyper . Kemudian pada kotak Numeric Expression, ketik PDF.HYPER(x,4,3,3). Selanjutnya
pilih OK. Hasilnya terlihat pada Gambar 20.
Gambar 18
Gambar 19
Gambar 20
ReferensiReferensiReferensiReferensi1. Mann, P. S. dan C. J. Lacke. 2001. Introductory Statistics, International Student Version, 7
th
Edition. Asia: John Wiley & Sons, Inc.
2. Montgomery, D.C. dan G.C. Runger. 2011. Applied Statistics and Probability for Engineers,
5th Edition. United States of America: John Wiley & Sons, Inc.
3. Spiegel, M.R. dan L. J. Stephens. 1999. Statistics, 3rd
Edition. United States of America:McGraw-Hill Companies.
menyatakan jumlah bola putih kecil
akan terpilih, 4 merupakan jumlah
seluruh bola kecil, 3 menyatakan jumlah
bola kecil yang diambil, dan 3
menyatakan banyaknya bola putih kecil.
Top Related