Distribuicao NormalExemplosExercıcios
Distribuicao Normal
Lucas Santana da Cunhaemail: [email protected]
http://www.uel.br/pessoal/lscunha/
25 de junho de 2018Londrina
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IntroducaoFuncao densidade de probabilidadeNormal Reduzida
Introducao
Dentre todas as distribuicoes de probabilidades, sejam discre-tas ou contınuas, a mais estudada e utilizada e a distribuicaonormal.
As principais razoes que fazem a distribuicao normal o modelomais importante na estatıstica sao:
Muitas variaveis biometricas tendem a ter distribuicao Normal
A distribuicao das medias amostrais de uma variavel qualquertendem a ter distribuicao Normal, mesmo que a variavel em sinao tenha distribuicao Normal;
Muitos testes e modelos estatısticos tem como pressuposicao a”normalidade dos dados”, isto e, que os dados possuem distri-buicao Normal.
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IntroducaoFuncao densidade de probabilidadeNormal Reduzida
Funcao densidade de probabilidade
Definicao
A funcao densidade de probabilidade de uma variavel aleatoriacontınua Y , seguindo uma distribuicao normal, e dada por:
f (y) =1
σ√
2πe−
12( y−µ
σ )2
, −∞ < y <∞,
em que:
µ ∈ R, e a posicao central da distribuicao (media);
σ > 0, e a dispersao da distribuicao (desvio padrao).
Notacao: Y ∼ N(µ;σ).
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Caracterısticas
As principais caracterısticas dessa funcao sao:
A funcao gera um grafico em forma de “sino”, sendo unimodale simetrica;
A media (µ) controla a localizacao do centro da distribuicao (eo ponto de simetria) e o desvio padrao (σ) controla a dispersaoda curva ao redor da media;
O ponto de maximo de f (y) e o ponto Y = µ;
Nao possui limite inferior ou superior;
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O desvio padrao define “unidades padroes”na distribuicao apartir da media:
Figura 1: Areas sob a curva normal.
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Calculo da probabilidade
Para se calcular a probabilidade da variavel aleatoria Y assumirvalores entre a e b “basta”calcular a area compreendida entreestes intervalos
P[a ≤ Y ≤ b] =
∫ b
a
1
σ√
2πe−
12( y−µ
σ )2
dy
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IntroducaoFuncao densidade de probabilidadeNormal Reduzida
O calculo direto de probabilidades envolvendo a distribuicaonormal exige recursos do calculo avancado e, mesmo assim,dada a forma da funcao densidade, nao e um processo muitoelementar.
Uma alternativa seria tabelar valores aproximados, permitindo-nos obter diretamente o valor da probabilidade desejada.
Note-se, entretanto, que a funcao densidade da normal dependede dois parametros, µ e σ, de modo que se as probabilidadesfossem tabeladas para todas as possıveis combinacoes terıamosinfinitas tabelas.
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Normal Padrao
Devido as dificuldades de calculo e em se construir tabelasda funcao dependendo de dois parametros, recorre-se a umamudanca de variavel, transformando a variavel aleatoria Y navariavel aleatoria Z .
Essa nova variavel chama-se variavel normal reduzida ou nor-mal padrao.
Denomina-se distribuicao normal padrao, a distribuicao normalde media zero e variancia 1.
As probabilidades associadas a distribuicao normal reduzida saofacilmente obtidas em tabelas.
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Padronizacao
Obtem-se uma escala de distribuicao denominada escala reduzida,escala Z ou escore Z , que mede o afastamento das variaveis emrelacao a media em numero de desvios-padrao. Assim,
Z =Y − µσ
Logo, tem-se que a f.d.p da normal padrao e
f (z) =1√2π
e−12z2 , −∞ < z <∞,
Notacao: Z ∼ N(0; 1).
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Tabela
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Exemplos
Exemplo 1
Seja Z ∼ N(0; 1). Usando a tabela da distribuicao normal padrao,calcular:
a) P(0 < Z < 1, 57);
b) P(0 < Z < 1, 08);
c) P(−1, 89 < Z < 0);
d) P(−0, 58 < Z < 0);
e) P(1, 25 < Z < 2, 23);
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Exemplo 2
Seja Y ∼ N(4; 1). Determine:
a) P(Y ≤ 4);
b) P(4 < Y < 5);
c) P(2 < Y < 5);
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IntroducaoFuncao densidade de probabilidadeNormal Reduzida
Exemplo 3
Sabendo-se Z ∼ N(0; 1), obter z tal que:
a) P(0 < Z < z) = 0, 475;
b) P(−z < Z < 0) = 0, 49492;c) P(−z < Z < z) = 0, 97;
d) P(Z < z) = 0, 30234;
e) P(Z > z) = 0, 07493;
f) P(Z < z) = 0, 5.
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Exercıcios
Exercıcio 1
Seja Z ∼ N(0; 1). Usando a tabela da distribuicao normal padrao,calcular:
a) P(−1, 23 < Z < 1, 05);
b) P(−0, 85 < Z < 1, 92);
c) P(−2, 22 < Z < −1, 35);
d) P(−1, 93 < Z < −0, 80);
e) P(0, 52 < Z < 1, 23);
f) P(Z > −1, 27).
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Exercıcio 2
Seja Y ∼ N(5; 2). Determine:
a) P(5 < Y < 7);
b) P(Y ≤ 1);
c) P(0 ≤ Y ≤ 2);
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