DISPENSA DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI (Andrea Albero)
Teorema di Cauchy: {đĄđĄđđ} = [ đđ ] {đđ}
ďż˝đĄđĄđđđđđĄđĄđđđđđĄđĄđđđđ
ďż˝ = ďż˝đđđđ đĄđĄđđđđ đĄđĄđđđđđĄđĄđđđđ đđđđ đĄđĄđđđđđĄđĄđđđđ đĄđĄđđđđ đđđđ
ďż˝ ďż˝đđđđđđđđđđđđďż˝
------------------------------------------------------------------
Direzioni principali della tensione e invarianti:
âUna direzione è definita principale se lungo tale direzione gli sforzi tangenziali sono nulli: questo accade quando una terna di versori locali ha un asse // allo sforzo totale e gli altri due sono ortogonali ad esso.â
[Ďn] = tensore idrostatico
[Ď]-[Ďn] = tensore deviatorico
[Ď] = tensore degli sforzi generico
{n} = vettore dei coseni direttori di un versore
{đĄđĄđđ} = [đđ] {đđ} â {đđ}đđ {đĄđĄđđ} = {đđ}đđ [đđ] {đđ} = [đđđđ] â {đĄđĄđđ} = [đđđđ] {đđ}
Dal teorema di Cauchy, sostituendo il primo membro con un prodotto matriciale del tipo {tn} = [Ďn] {n} (intendendo [Ďn] come tensore idrostatico, cioè con le componenti della sua traccia tutte uguali in valore a Ďn e tutte le componenti tangenziali tab = 0) sottraendolo ad ambo i membri, ed imponendo la condizione aggiuntiva di normalitĂ dei coseni direttori dei versori {n} (cioè quindi nel complesso si fa il lagrangiano del teorema di Cauchy) si ottiene un sistema di secondo grado, nella cui soluzione si definiscono:
⢠Le direzioni principali, date da {n} ⢠Le tensioni principali, date da {Ďn} ⢠Gli invarianti scalari della tensione J1, J2 e J3
��[đđ] â [đđđđ]ďż˝ â {đđ} = 0đđđđ2 + đđđđ2 + đđđđ2 = 1
à possibile definire un sotto-sistema lineare omogeneo, in virtÚ del fatto che {n} non può essere uguale a 0:
[đđ] â [đđđđ] = 0
Equazione risolutiva del sistema lineare omogeneo:
đđđđ3 â đ˝đ˝1 đđđđ2 â đ˝đ˝2đđđđ â đ˝đ˝3 = 0
⢠J1 = Ďx + Ďy + Ďz (traccia di [Ď]) ⢠J2 = - Ďx Ďy - Ďy Ďz â Ďx Ďz + txy
2 + txz2
+ tzy 2 (-1 moltipl. i det. dei minori di [Ď])
⢠J3 = Ďx (Ďy Ďz - tzy 2) + Ďy (Ďx Ďz - txz
2) + Ďz (Ďx Ďy - txy2) (det. di [Ď])
I 3 valori di Ďn sono autovalori del sistema di secondo grado, nonchĂŠ le tensioni principali lungo le varie direzioni, e perciò sostituendo tali autovalori nel sistema di secondo grado, si ottengono di volta in volta i coseni direttori di ogni direzione principale.
Da ogni autovalore si ottiene quindi un vettore {n}, composto da nx. ny, e nz, ed in totale si ottengono 3 vettori {n} che mi definiscono le direzioni principali del solido: lungo tali direzioni, le tensioni sono pari a Ďn1, Ďn2 e Ďn3.
[đđđđ] = {đđ}đđ {đĄđĄđđ} = {đđ}đđ [đđ] {đđ}
Se:
⢠3 autovalori diversi 1 sola terna di direzioni principali (stato tensionale triassiale) ⢠2 autovalori uguali 1 direzione principale e 1 giacitura principale (stato tensionale cilindrico) ⢠3 autovalori uguali tutte le direzioni sono principali (stato tensionale sferico)
------------------------------------------------------------------
Teorema della Divergenza:
ďż˝ đ đ đ đ đ đ ({đđ}) đ đ đ đ = ďż˝{đđ} Ă {đđ} đ đ đ đ đ đ
đ đ
------------------------------------------------------------------
Sistema staticamente ammissibile:
��đđđđđđđđđđđđđđđđ đđđđđĄđĄđđđđđđđđ = âďż˝đšđšđđđđđšđšđđ đđđđ đŁđŁđđđŁđŁđŁđŁđŁđŁđđ đđđđđĄđĄđđđđđđđđ
ďż˝đđđđđđđđđđđđđđđđ đđđŁđŁđ đ đđđđđ đ đđđ đ đđđ đ đŁđŁđđ = ďż˝đšđšđđđđđšđšđđ đđđđ đđđŁđŁđ đ đđđđđ đ đđđ đ đđđđ đđđđđĄđĄđđđđđđđđ
ďż˝đšđšđđđđđšđšđđ đđđđ đŁđŁđđđŁđŁđŁđŁđŁđŁđđ đđđđđĄđĄđđđđđđđđ = ďż˝ {đšđš} đđđđđđ
= ďż˝đšđšđđđšđšđđđšđšđđďż˝
ďż˝đđđđđđđđđđđđđđđđ đźđźđđđĄđĄđđđđđđđđ = ďż˝ [đĄđĄđđ]đ´đ´
đđđđ = ďż˝ [đđ] Ă {đđ}đ´đ´
đđđđ = ďż˝đđđđđŁđŁ ([đđ])đđ
đđđđ =
= ďż˝ ďż˝đđđđ đĄđĄđđđđ đĄđĄđđđđđĄđĄđđđđ đđđđ đĄđĄđđđđđĄđĄđđđđ đĄđĄđđđđ đđđđ
ďż˝
âŁâ˘â˘â˘âĄđđđđđđďż˝
đđđđđđďż˝
đđđđđšđšďż˝ âŚâĽâĽâĽâ¤
đđ đđđđ = ďż˝ [đđ]
đđ Ă {đđ} đđđđ
ďż˝đšđšđđđđđšđšđđ đđđđ đđđŁđŁđ đ đđđđđ đ đđđ đ đđđđ đđđđđĄđĄđđđđđđđđ = ďż˝ {đ đ } đđđđđ´đ´
= ďż˝đ đ đđđ đ đđđ đ đđďż˝
ďż˝đđđđđđđđđđđđđđđđ đđđŁđŁđ đ đđđđđ đ đđđ đ đđđ đ đŁđŁđđ = [đĄđĄđđ] = [đđ] Ă {đđ}
Un sistema viene quindi definito staticamente ammissibile quando:
ďż˝[đđ] Ă {đđ} = â {đšđš}[đđ] Ă {đđ} = {đ đ }
Sistema cinematicamente ammissibile:
Un sistema composto da una deformazione [ξ] e uno spostamento [Ρ] si dice cinematicamente ammissibile quando:
12
â
ââ
âŁâ˘â˘â˘âĄđđđđđđďż˝
đđđđđđďż˝
đđđđđšđšďż˝ âŚâĽâĽâĽâ¤
Ă [đŁđŁ đŁđŁ đ¤đ¤] + ďż˝đŁđŁđŁđŁđ¤đ¤ďż˝ Ă ďż˝đđ đđđđďż˝ đđ
đđđđďż˝ đđđđđšđšďż˝ ďż˝
â
ââ
= [đđ]
Quindi scrivibile come
12
({đđ} â {đđ}đđ + {đđ}{đđ}đđ) = [đđ]
Con
[đđ] = ďż˝đđđđ 1
2 đžđžđŚđŚđŚđŚ
12
đžđžđ§đ§đŚđŚ12
đžđžđŚđŚđŚđŚ đđđđ 12
đžđžđ§đ§đŚđŚ12
đžđžđŚđŚđ§đ§12
đžđžđŚđŚđ§đ§ đđđđďż˝ đđ {đđ} = ďż˝
đŁđŁđŁđŁđ¤đ¤ďż˝
Notare che affinchĂŠ un sistema sia cinematicamente ammissibile non sono posti vincoli traslazionali o rotazionali, in quanto sono contributi di moto rigido e pertanto limitati esclusivamente dai vincoli esterni.
Nella definizione della matrice deformativa [ξ], si può notare che la traccia costituisce le dilatazioni lineari del solido lungo le tre direzioni, mentre gli altri termini sono gli scorrimenti angolari nei vari piani che il corpo subisce.
------------------------------------------------------------------
Principio dei Lavori Virtuali (PLV) per corpi deformabili:
Definendo
{đđ} =
âŁâ˘â˘â˘â˘âĄđđđđđđđđđđđđđžđžđđđđđžđžđđđđđžđžđđđđâŚ
âĽâĽâĽâĽâ¤
đđ {đđ} =
âŁâ˘â˘â˘â˘âĄđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđâŚ
âĽâĽâĽâĽâ¤
E si abbia un sistema di forze esterne staticamente ammissibile {Fa} , {pa} con tensioni {Ďa}, ed un sistema di spostamenti e deformazioni {Îľb} , {Ρb} cinematicamente ammissibile, allora il principio dei valori virtuali, che esprime lâuguaglianza del lavoro delle forze interne con quello delle forze esterne, si può scrivere
ďż˝ {đđđđ}đđđđ
Ă {đđđđ} đđđđ = ďż˝ {đšđšđđ}đđ Ă {đđđđ}đđ
đđđđ + ďż˝ {đ đ đđ}đđ Ă {đđđđ}đ´đ´
đđđđ
Sancendo di fatto la possibilitĂ di scrivere il lavoro interno di deformazione come prodotto scalare tra vettore tensione e vettore deformazione.
Per ottenere il caso di corpo rigido, basta porre uguale a 0 il primo termine (deformazioni nulle).
------------------------------------------------------------------
Teorema di Kirchhoff o di UnicitĂ della Soluzione:
âUn sistema di sollecitazioni {F} , {p} , {Ρ0} può generare una sola risposta deformativa/tensionale {Ρa} , {Îľa} , {Ďa}.â
------------------------------------------------------------------
Teorema di Clapeyron:
âPer un corpo elastico lineare, il lavoro di deformazione compiuto da un sistema di forze {F} , {p} che genera un campo di spostamento staticamente e cinematicamente ammissibile senza effetti dinamici è:
12
ďż˝ {đšđš}đđđđ
{đđ} đđđđ + 12
ďż˝{đ đ }đđđ´đ´
{đđ} đđđđ
Con le rispettive condizioni di calcolo, può essere applicato ad ogni caso: ad esempio, se si sta trattando la deformazione di una trave, non si hanno forze {p} di superficie e il primo integrale di volume diventa un integrale di linea.
------------------------------------------------------------------
Teorema di Betti:
âIl lavoro di deformazione compiuto da due sistemi di forze ({F} , {p}) chiamati A e B, applicati in successione A B è:
đżđżđđ+đđ = đżđżđđ + đżđżđđ + đżđżđđđđ
Mentre in successione B A è:
đżđżđđ+đđ = đżđżđđ + đżđżđđ + đżđżđđđđ
Questi due lavori sono uguali solo quando lâultimo termine (cioè il lavoro mutuo) è identico: questo accade solo se i due sistemi di forza A e B sono energeticamente ortogonali, cosa che avviene quando i sistemi di forze presentano una simmetria interna. Se questo non avviene, allora non si può ritenere valido il principio di sovrapposizione degli effetti per quanto concerne il lavoro di deformazione.
Rimane invece sempre applicabile (in caso di materiale elastico lineare) per gli spostamenti, per le deformazioni e per le tensioni.â
------------------------------------------------------------------
Legame costitutivo elastico:
âŁâ˘â˘â˘â˘âĄđđđđđđđđđđđđđžđžđđđđđžđžđđđđđžđžđđđđâŚ
âĽâĽâĽâĽâ¤
=
âŁâ˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘âĄ
1đ¸đ¸
âđđđ¸đ¸
âđđđ¸đ¸
0 0 0
âđđđ¸đ¸
1đ¸đ¸
âđđđ¸đ¸
0 0 0
âđđđ¸đ¸
âđđđ¸đ¸
1đ¸đ¸
0 0 0
0 0 01đşđş
0 0
0 0 0 01đşđş
0
0 0 0 0 01đşđşâŚâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâ¤
âŁâ˘â˘â˘â˘âĄđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđâŚ
âĽâĽâĽâĽâ¤
Cioè in forma compatta
{đđ} = [đťđť]â1 {đđ}
La relazione inversa è scrivibile invece come:
12đşđş
âŁâ˘â˘â˘â˘âĄđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđâŚ
âĽâĽâĽâĽâ¤
=
âŁâ˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘âĄ
1 â đđ1 â 2đđ
đđ1 â 2đđ
đđ1 â 2đđ
0 0 0đđ
1 â 2đđ1 â đđ
1 â 2đđđđ
1 â 2đđ0 0 0
đđ1 â 2đđ
đđ1 â 2đđ
1 â đđ1 â 2đđ
0 0 0
0 0 012
0 0
0 0 0 012
0
0 0 0 0 012âŚâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâ¤
âŁâ˘â˘â˘â˘âĄđđđđđđđđđđđđđžđžđđđđđžđžđđđđđžđžđđđđâŚ
âĽâĽâĽâĽâ¤
đşđş = đ¸đ¸
2 ( 1 + đđ )
đ¸đ¸ > 0
đđđđđđđđđđđ đ đ đ đŁđŁđđđđđĄđĄđđ: â 1 < đđ <12
đđđ đ đđđđđđđŁđŁđđđđđĄđĄđ đ đŁđŁđŁđŁđđđđđĄđĄđđ: 0 < đđ <12
------------------------------------------------------------------
Equazioni Cardinali della Statica:
đ¸đ¸đ¸đ¸đŁđŁđđđŁđŁđđđ¸đ¸đđđđđđ đ đ đŁđŁđŁđŁđ đ đĄđĄđđđ đ đđđŁđŁđ đ đšđšđđđđđđđđ: ďż˝{đđ} = đđ â {đšđš} = đđ
đ¸đ¸đ¸đ¸đŁđŁđđđŁđŁđđđ¸đ¸đđđđđđ đ đ đŁđŁđŁđŁđ đ đđđđđĄđĄđ đ đšđšđđđđđđđđ: ďż˝{đđ} â {đđ} = đđ â {đ´đ´} = đđ
------------------------------------------------------------------
Solido & Ipotesi di De Saint-Venant:
Solido: âUn solido di Saint-Venant è una volume cilindrico, con un asse rettilineo Z, i cui punti costituiscono ciascuno il baricentro di una sezione ortogonale a tale asse. La sua sezione è costante ed è costituito da un materiale elastico, lineare, isotropo ed omogeneo.â
Ipotesi: âA sufficiente distanza da ciascuna base del solido di Saint-Venant, lo stato deformativo e tensionale dipende soltanto dalla risultante {R} delle forze agenti sulla base medesima e dal momento risultante {M} delle forze rispetto al baricentro di tale base.â
ApplicabilitĂ : affinchĂŠ la teoria di De Saint-Venant sia valida, il solido deve possedere una snellezza sufficiente a far valere tale trattazione. In genere, si ritiene soddisfatta quando la dimensione Z è almeno nellâordine di 5 volte superiore alle altre dimensioni.
------------------------------------------------------------------
Problema di De Saint-Venant:
Il problema di Saint-Venant è un caso particolare del problema elastico: le equazioni necessarie a risolverlo sono le:
⢠Equazioni Statiche [đđ] Ă {đđ} = â {đšđš}
⢠Equazioni Cinematiche
12
({đđ} â {đđ}đđ + {đđ}{đđ}đđ) = [đđ]
⢠Equazioni Costitutive
{đđ} = [đťđť]â1 {đđ}
⢠Ipotesi semplificative e Condizioni al Contorno:
Il solido è sollecitato solo sulle basi esclusivamente da forze di superficie. Le condizioni al contorno sono quindi:
đľđľđ đ đđđđ đđđđđŁđŁ đđđđđŁđŁđđđđđđ: đđđđ = đđđđ = 0, đđđđ = 1
ďż˝đ đ đđđ đ đđđ đ đđďż˝ = ďż˝
đđđđ đĄđĄđđđđ đĄđĄđđđđđĄđĄđđđđ đđđđ đĄđĄđđđđđĄđĄđđđđ đĄđĄđđđđ đđđđ
� �001�
đđđŁđŁđ đ đđđđđ đ đđđ đ đđ đżđżđ đ đĄđĄđđđđđ đ đŁđŁđđ: đđđđ = 0, đđđđ = đđđđ = 1
�000� = �
đđđđ đĄđĄđđđđ đĄđĄđđđđđĄđĄđđđđ đđđđ đĄđĄđđđđđĄđĄđđđđ đĄđĄđđđđ đđđđ
� �110�
------------------------------------------------------------------
Legame fra Spostamenti e Tensioni, Curvatura e Rotazioni
Il legame costitutivo elastico, applicato ad un sistema cinematicamente ammissibile, dĂ luogo ad una correlazione diretta fra spostamenti e tensioni applicate: per rendere piĂš facilmente enunciabile tale relazione, si scriverĂ in termini di vettori spostamento e vettori tensione (anche se in realtĂ sono tensori):
âŁâ˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘âĄđđđđđđ
0 0
0đđđđđđ
0
0 0đđđđđšđš
đđđđđđ
đđđđđđ
0
đđđđđšđš
0đđđđđđ
0đđđđđšđš
đđđđđđâŚâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâ¤
ďż˝đŁđŁđŁđŁđ¤đ¤ďż˝ =
âŁâ˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘âĄ
1đ¸đ¸
âđđđ¸đ¸
âđđđ¸đ¸
0 0 0
âđđđ¸đ¸
1đ¸đ¸
âđđđ¸đ¸
0 0 0
âđđđ¸đ¸
âđđđ¸đ¸
1đ¸đ¸
0 0 0
0 0 01đşđş
0 0
0 0 0 01đşđş
0
0 0 0 0 01đşđşâŚâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâ¤
âŁâ˘â˘â˘â˘âĄđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđâŚ
âĽâĽâĽâĽâ¤
------------------------------------------------------------------
Sforzo Normale centrato, eccentrico, Flessione Retta, Deviata, Presso-Tenso-Flessione
Centro di sollecitazione âCâ: punto in cui se applico uno sforzo normale N ottengo ad uno stato di sollecitazione composto da N, Mx e My. Ă anche possibile data una terna sollecitante trovare il centro di sollecitazione. La sua distanza dal baricentro G è espressa da ex ed ey:
đđđđ = đđđđ
đđ đđđđ = â
đđđđ
đđ
Sforzo Normale Centrato:
đđđđ = đđđđ = 0
Flessione Retta (solo Mx , ma potrebbe essere anche solo My con gli opportuni cambi di variabile e indice):
đđ = ďż˝đđđđđ´đ´
đđđđ = 0
đđđđ = ďż˝đđđđ đđđ´đ´
đđđđ â 0
Flessione Deviata (cioè somma di due flessioni rette):
đđ = ďż˝đđđđđ´đ´
đđđđ = 0
đđđđ = ďż˝đđđđ đđđ´đ´
đđđđ â 0
đđđđ = ďż˝đđđđ đđđ´đ´
đđđđ â 0
Presso-Tenso-Flessione Deviata (somma di flessione deviata e uno sforzo normale centrato: il tutto corrisponde complessivamente ad uno sforzo normale eccentrico):
đđ = ďż˝đđđđđ´đ´
đđđđ â 0
đđđđ = ďż˝đđđđ đđđ´đ´
đđđđ â 0
đđđđ = ďż˝đđđđ đđđ´đ´
đđđđ â 0
Equazione di Navier:
đđ = đđđđ
+ đđđđ â đđđ˝đ˝đđđĽđĽ
+ đđđđ â đđđ˝đ˝đđđĽđĽ
Per piccoli spostamenti di un solido di Saint-Venant (condizione che si considera soddisfatta quando il solido di De Saint-Venant è sufficientemente snello) e sotto lâipotesi di conservazione delle sezioni piane, si ha:
đđđđđđ = đđđđ đđđšđš = đđđđ
đ¸đ¸ đźđźđđ đđđšđš
đđđđ = đđđđ
đ¸đ¸ đźđźđđ
đđđđđđ = đđđđ đđđšđš = đđđđ
đ¸đ¸ đźđźđđ đđđšđš
đđđđ = đđđđ
đ¸đ¸ đźđźđđ
Dove:
⢠đđđđ è lâangolo di rotazione del punto dovuto ad un momento đđđđ (e viceversa per la rotaz. Y) ⢠đđđđ è la curvatura prodotta dalla flessione đđđđ(e viceversa per la rotaz. Y)
Si può facilmente applicare anche a un đđđđ quanto detto sopra.
Momento limite di una sezione: è unâapplicazione dellâequazione di Navier, ed è definito come il prodotto di una tensione limite moltiplicato il modulo di resistenza della sezione stessa: questo permette di capire direttamente dal momento sollecitante (se vale il principio di sovrapposizione degli effetti) il comportamento della sezione sotto quella sollecitazione:
Momento elastico limite: đđđđđđ,đđ = đ đ đđđŚđŚ â đđđđđđ,đđ
Momento ultimo limite: đđđđđđ,đđ = đđđ˘đ˘,đđ = đ đ đđđŚđŚ â đđđđđđ,đđ
Il modulo di resistenza elastico è definito come quanto scritto prima, cioè è il rapporto fra il momento dâinerzia rispetto ad un asse e la massima distanza di un punto della sezione da tale asse, mentre il modulo di resistenza plastico è definito come la somma dei momenti statici rispetto allâasse interessato.
------------------------------------------------------------------
Torsione
La torsione è una sollecitazione che tende a far ruotare una sezione attorno al proprio asse: è causata da unâeccentricitĂ del taglio rispetto al centro di torsione. Ă possibile, dato che è energeticamente ortogonale al taglio, trattare le due sollecitazioni separatamente e sommarne gli effetti.
Si definisce:
â˘ Ď = funzione di ingobbamento (è una costante nel caso di torsione primaria, come quella che viene trattata di seguito, mentre è variabile nel caso di torsione secondaria o di Vlasov-Timoshenko; è una funzione armonica, cioè ha il laplaciano nullo)
⢠(xc, yc) = coordinate del centro di taglio
In particolare si ha (C = contorno della sezione):
đđđđ = â1đđ
ďż˝đđ đđđđđśđś
đđđđ = â1đđ
ďż˝đđ đđđđđśđś
Si definisce inoltre lâangolo unitario di torsione, cioè lâangolo di le sezioni terminali della trave (solido snello) ruotano relativamente:
đđ = đđđđ
đşđş đźđźđĄđĄ
Dove It è il fattore di rigidezza torsionale, al piĂš uguale al momento dâinerzia polare della sezione (caso di sezione circolare):
đźđźđĄđĄ = ďż˝(đđ2 + đđ2 + đđđđđđđđđđ
â đđđđđđđđđđđ´đ´
) đđđđ
La tensione agente sulla sezione è:
đđđđđđ = đđđđ
đźđźđĄđĄ ďż˝đđđđđđđđ
â (đđ â đđđđ)ďż˝
đđđđđđ = đđđđ
đźđźđĄđĄ ďż˝đđđđđđđđ
+ (đđ â đđđđ)ďż˝
La trattazione generale però risulta complessa da applicare, e la torsione risulta un parametro particolarmente importante nelle sezioni sottili, pertanto si fa riferimento a due tipologie di casi per la torsione: le sezioni aperte e le sezioni sottili chiuse.
------------------------------------------------------------------
Torsione nelle sezioni aperte
⢠Circolare:
đđ = đđđđ
đşđş đźđźđĄđĄ
đźđźđĄđĄ = đźđźđđ = đđ đ đ 4
2
đđ = đđđđ
đźđźđĄđĄ đđ
⢠Rettangolare (A= ab):
đđ = đđđđ
đşđş đźđźđĄđĄ
đźđźđĄđĄ = đ˝đ˝ đ đ đ¸đ¸3
đđđđđđ = đđđđ
đźđźđĄđĄ đđ
đđđđđđ = đđđđ
đźđźđĄđĄ đđ
a/b 1 1.5 2 3 10 â β 0.141 0.196 0.229 0.263 0.312 1/3
Sezione composta da piĂš rettangoli:
Si un nuovo coefficiente di rigidezza torsionale complessivo e un coefficiente di ripartizione torsionale:
đźđźđĄđĄ đĄđĄđĄđĄđĄđĄđđđđđđ = ďż˝đźđźđĄđĄ đ đ đ đ đđđĽđĽđĄđĄđđđĄđĄ
đ đ đđđđđ đ đ đ .đđđđ đđđđđ đ đ đ đđđĄđĄđđđšđšđđđđđđđđ = đźđźđĄđĄâ˛ = đźđźđĄđĄ đ đ đ đ đđđĽđĽđĄđĄđđđĄđĄ
đźđźđĄđĄ đĄđĄđĄđĄđĄđĄđđđđđđ
Ogni rettangolo incassa una quota di Mz pari a
đđđđⲠ= đđđđ đźđźđĄđĄâ˛
DopodichÊ, si tratta ogni rettangolo singolarmente, sicuri che la rotazione θ di tutta la sezione è uguale per ogni rettangolo.
------------------------------------------------------------------
Torsione nelle sezioni sottili chiuse:
La trattazione della torsione nelle sezioni sottili chiuse si basa sullâanalogia idrodinamica, e cioè che le tensioni torsionali sono come un flusso la cui portata è costante in ogni tratto della sezione: ne consegue, che a spessori maggiori corrisponderanno tensioni torsionali minori e viceversa:
đđđđđ đ (đđ) â đ¸đ¸(đđ) = đ đ đđđđđĄđĄđ đ đđđĄđĄđđ
In particolare, è valida la formula di Bredt:
đđđđđ đ = đđđđ
2 â Ί â đ¸đ¸(đđ)
Dove Ί è lâarea della linea media del profilo sottile.
La formula
đđ = đđđđ
đşđş đźđźđĄđĄ
Ă ancora valida, ma IT ha una formulazione generale indipendente dalla funzione di ingobbamento:
đźđźđĄđĄ = 4 Ί2
⎠1đ¸đ¸(đđ) đđđđΊ
Dove il denominatore del secondo termine è il perimetro della linea media pesata sullo spessore: pertanto, se lo spessore varia, lâintegrale di linea sarĂ la somma delle varie lunghezze divise ciascuna per il rispettivo spessore.
Si ha infatti che se lo spessore è costante
đźđźđĄđĄ = 4 Ί2 đ¸đ¸đđ
------------------------------------------------------------------
Torsione nelle sezioni sottili chiuse con parti aperte:
La trattazione è analoga a quelle già viste:
⢠Si scompone il momento torcente totale Mz in due parti, Mz1 in Mz2 in: la parte 1 verrà assorbita dalla parte scatolare mentre la parte 2 dalle parti aperte.
⢠Si impone la congruenza angolare
ďż˝đđ = đđ1 = đđ2 = đđđđ1
đşđş đźđźđĄđĄ1 =
đđđđ2
đşđş đźđźđĄđĄ2đđđđ1 + đđđđ2 = đđđđ
DopodichĂŠ si risolve ciascuna parte (1 e 2) separatamente, ottenendo risultati congruenti.
------------------------------------------------------------------
Torsione nelle sezioni sottili chiuse pluriconnesse:
In sostanza, non cambia nulla da una sezione sottile chiusa normale, se nonchĂŠ bisogna identificare il verso di rotazione della sezione ed imporre âlâuguaglianza delle portateâ (intese come tensioni torsionali lungo la linea ortogonale alla linea media) in analogia con lâidrodinamica: cioè, il fluire delle portate attraverso tutte le parti della sezione deve essere in equilibrio. Queste equazioni aggiuntive consentono di calcolare la torsione in ogni parte della sezione.
Bisogna fare però particolare attenzione: infatti, una volta definito il verso delle tensioni, in ogni parte singolarmente connessa bisogna far sÏ che le tensioni fluiscano in maniera coerente, e se il flusso delle tensioni in una zona è contrario rispetto a quello definito, allora anche le tensioni saranno di verso opposto in quel punto.
------------------------------------------------------------------
Taglio Retto e Deviato
Il taglio si compone di: sforzo di taglio T, tensione di taglio Ď e scorrimenti Îł.
đđđđ = đđđđđđ
đđđšđš
đđđđ = đđđđđđ
đđđšđš
La tensione di taglio in genere varia specialmente nella direzione del taglio, ma anche ortogonalmente ad esso: questâultima variazione però spesso viene trascurata se non si hanno solidi compatti, e viene trascurata, approssimando il valore sulla corda della sezione ortogonale alla direzione del taglio al valore medio lungo tale corda, considerandolo di fatto costante. Questo è ciò che approssima la formula di Jourawski:
đđđđđ đ = đđđđđđđđđ´đ´â˛
đźđźđđ đ¸đ¸
Dove Sxaâ è il momento statico di una parte della sezione tagliata dalla corda, mentre b è la lunghezza della
corda e Ix è il momento dâinerzia rispetto ad un asse baricentrico parallelo alla corda. In genere tale formula è valida solo per sezioni sottili: negli altri casi infatti si sottostima troppo la tensione di taglio massima e si ricorre ad altri modelli semplificati, come il traliccio di Ritter-MĂśrsch per il cls.
Gli scorrimenti invece valgono:
đžđžđđ = đĄđĄđđđđđđđşđş đđ
Dove tx è il fattore di taglio retto.
Taglio Deviato
Se si ha taglio deviato (cioè composizione di sollecitazioni taglianti Tx e Ty) bisogna considerare sia nella formula di Jourawski che negli scorrimenti angolari:
đđđđđ đ = đđđđđđđđđ´đ´â˛
đźđźđđ đ¸đ¸+
đđđđđđđđđ´đ´â˛
đźđźđđ đ¸đ¸
đžđžđđ = đĄđĄđđđđđđđşđş đđ
+ đĄđĄđđđđđđđđđşđş đđ
đžđžđđ = đĄđĄđđđđđđđđđşđş đđ
+ đĄđĄđđđđđđđşđş đđ
Dove in piÚ alla trattazione retta txy è il fattore mutuo, che viene dal teorema di Betti.
Per le sezioni piÚ comuni, il fattore mutuo di taglio è uguale a 0: infatti, se la sezione presenta almeno un asse di simmetria, esso si annulla.
I fattori di taglio retto invece non si annullano mai, e dipendono unicamente dalla geometria della sezione:
Tipo di sezione Fattore di taglio retto Rettangolare 6
5
Circolare 10
9
Circolare cava sottile 2
Doppio T oppure Scatolare â
đđđđđđđđđ đ đđđđ
Espressioni complete (âľ = đŁđŁđđđđđđđ đ đŁđŁđđđđđđđ đ đđđđđŁđŁđŁđŁđ đ đđđđđšđšđđđđđđđđ đđđđđĄđĄđĄđĄđđđŁđŁđđ)
đĄđĄđđ = đđđźđźđđ2
ďż˝đđđđ2
đ¸đ¸âľ đđđđ
đĄđĄđđ = đđđźđźđđ2
ďż˝đđđđ2
đ¸đ¸âľ đđđđ
đĄđĄđđđđ = đđđźđźđđđźđźđđ
ďż˝đđđđđđđđđ¸đ¸âľ
đđđđ
-----------------------------------------------------------------
Problema della trave (asse rettilineo z) alla De Saint-Venant tridimensionale â Equazioni matriciali finali:
q= carichi distribuiti ortogonali alla trave
p= carichi distribuiti assiali alla trave
m= momenti distribuiti (flettenti (x,y) e torcenti(z)) sulla trave
âŁâ˘â˘â˘â˘âĄđžđžđđđžđžđđđđđđđđđđđđđđđđ âŚâĽâĽâĽâĽâ¤
=
âŁâ˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘âĄđđđđđšđš
0 0 0 â1 0
0đđđđđšđš
0 1 0 0
0 0đđđđđšđš
0 0 0
0 0 0đđđđđšđš
0 0
0 0 0 0đđđđđšđš
0
0 0 0 0 0đđđđđšđšâŚâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâ¤
âŁâ˘â˘â˘â˘âĄđŁđŁđŁđŁđ¤đ¤đđđđđđđđđđđđâŚâĽâĽâĽâĽâ¤
âŁâ˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘âĄđđđđđšđš
0 0 0 0 0
0đđđđđšđš
0 0 0 0
0 0đđđđđšđš
0 0 0
0 â1 0đđđđđšđš
0 0
1 0 0 0đđđđđšđš
0
0 0 0 0 0đđđđđšđšâŚâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâ¤
âŁâ˘â˘â˘â˘âĄđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđâŚ
âĽâĽâĽâĽâ¤
+
âŁâ˘â˘â˘â˘âĄđ¸đ¸đđđ¸đ¸đđđ đ đŁđŁđđđŁđŁđđđŁđŁđđâŚ
âĽâĽâĽâĽâ¤
=
âŁâ˘â˘â˘â˘âĄ000000âŚâĽâĽâĽâĽâ¤
âŁâ˘â˘â˘â˘âĄđžđžđđđžđžđđđđđđđđđđđđđđđđ âŚâĽâĽâĽâĽâ¤
=
âŁâ˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘â˘âĄđĄđĄđđđşđş đđ
đĄđĄđđđđđşđş đđ
0 0 0 0đĄđĄđđđđđşđş đđ
đĄđĄđđđşđş đđ
0 0 0 0
0 01đ¸đ¸đđ
0 0 0
0 0 01đ¸đ¸đźđźđđ
0 0
0 0 0 01đ¸đ¸đźđźđđ
0
0 0 0 0 01đşđşđźđźđĄđĄâŚ
âĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâĽâ¤
âŁâ˘â˘â˘â˘âĄđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđâŚ
âĽâĽâĽâĽâ¤
Energia di deformazione (se presente asse di simmetria -> fattore mutuo = 0 -> valido Princ. Sovrapp. Eff.)
đ đ đ đ đ đ đ đ
= đđđđ
ďż˝đĄđĄđđđşđş đđ
đđđđ2 + đĄđĄđđđşđş đđ
đđđđ2 +2 đĄđĄđđđşđş đđ
đđđđđđđđ +1đ¸đ¸đđ
đđ2 +1đ¸đ¸đźđźđđ
đđđđ2 +
1đ¸đ¸đźđźđđ
đđđđ2 +
1đşđşđźđźđĄđĄ
đđđđ2 ďż˝
-----------------------------------------------------------------
Problema della trave (asse rettilineo z) alla De Saint-Venant â Equazioni matriciali finali:
q= carichi distribuiti ortogonali alla trave
p= carichi distribuiti assiali alla trave
m= momento distribuito flettente sulla trave
ďż˝đžđžđđđđđđđđđđďż˝ =
âŁâ˘â˘â˘â˘âĄđđđđđšđš
0 1
0đđđđđšđš
0
0 0đđđđđšđšâŚâĽâĽâĽâĽâ¤
ďż˝đŁđŁđ¤đ¤đđđđďż˝
âŁâ˘â˘â˘â˘âĄđđđđđšđš
0 0
0đđđđđšđš
0
â1 0đđđđđšđšâŚâĽâĽâĽâĽâ¤
ďż˝đđđđđđđđđđ
ďż˝+ ďż˝đ¸đ¸đ đ đŁđŁďż˝ = ďż˝
000ďż˝
ďż˝đžđžđđđđđđđđđđďż˝ =
âŁâ˘â˘â˘â˘âĄđĄđĄđđđşđş đđ
0 0
01đ¸đ¸đđ
0
0 01đ¸đ¸đźđźđđâŚ
âĽâĽâĽâĽâ¤
ďż˝đđđđđđđđđđ
ďż˝
-----------------------------------------------------------------
Problema della trave (asse curvilineo z) alla De Saint-Venant â Equazioni matriciali finali:
q= carichi distribuiti ortogonali alla trave
p= carichi distribuiti assiali alla trave
m= momento distribuito flettente sulla trave
ďż˝đžđžđđđđđđđđđđďż˝ =
âŁâ˘â˘â˘â˘âĄđđđđđšđš
â1đđ
1
1đđ
đđđđđšđš
0
0 0đđđđđšđšâŚâĽâĽâĽâĽâ¤
ďż˝đŁđŁđ¤đ¤đđđđďż˝
âŁâ˘â˘â˘â˘âĄđđđđđšđš
1đđ
0
1đđ
đđđđđšđš
0
â1 0đđđđđšđšâŚâĽâĽâĽâĽâ¤
ďż˝đđđđđđđđđđ
ďż˝+ ďż˝đ¸đ¸đ đ đŁđŁďż˝ = ďż˝
000ďż˝
ďż˝đžđžđđđđđđđđđđďż˝ =
âŁâ˘â˘â˘â˘âĄđĄđĄđđđşđş đđ
0 0
01đ¸đ¸đđ
0
0 01đ¸đ¸đźđźđđâŚ
âĽâĽâĽâĽâ¤
ďż˝đđđđđđđđđđ
ďż˝
-----------------------------------------------------------------
Equazione Differenziale della Linea Elastica (travi ad asse rettilineo):
Lâequazione della linea elastica si può ritenere valida quando si tratta una trave ad asse rettilineo.
v= freccia verticale, cioè abbassamento verticale di un punto
A rigore, si ha una freccia dovuta sia alle sollecitazioni taglianti e una freccia dovuta alle sollecitazioni flettenti: tuttavia, le prime sono proporzionali alla lunghezza della trave, mentre le seconde sono proporzionali alla terza o quarta potenza della lunghezza; pertanto, la freccia totale può essere approssimata a quella dovuta ai momenti flettenti (ipotesi semplificativa di Eulero).
Freccia (reale)
đŁđŁđđđĄđĄđĄđĄđđđđđđ = đŁđŁđđđđđĽđĽđđđ đ đĄđĄ + đŁđŁđđđĄđĄđđđđđđđĄđĄđĄđĄ
Taglio (che verrĂ trascurato, perchĂŠ utilizziamo la trattazione di Eulero-Bernoulli, nella trave di Timoshenko non viene trascurato):
đđđŁđŁđđ = đžđžđđ đđđšđš
Equazione approssimata (no taglio)
Momento Flettente:
đđđŁđŁđđ = âđđđđ đđđšđš â đđ2đŁđŁđđ
đđđšđš2= â
đđđđđđđđđšđš
= âđđđđ = âđđđđ
đ¸đ¸ đźđźđđ â
đđ2đŁđŁđđđšđš2
Cioè lâequazione che regge il legame costitutivo e la congruenza, trascurando lâapporto del taglio.
Scrivendo lâequazione di equilibrio alla traslazione e rotazione di un concio elementare di una trave semplicemente appoggiata e caricata con un carico distribuito q=costante (almeno su dz) e un carico assiale p si ha:
âŠâŞâŞâ¨
âŞâŞâ§ďż˝đšđšđđ â đđ â đđ = 0
ďż˝đšđšđđ â đđ(đšđš) â đ đ đđđŁđŁ â đđ(đšđš) â đđđđ(đšđš) = 0
ďż˝đđđđ â âđđ(đšđš) â đđ(đšđš)đđđšđš â đđđđđŁđŁ + đ¸đ¸đđđšđš2
2+ đđ(đšđš) + đđđđ(đšđš) = 0
âđđđđ
đ¸đ¸ đźđźđđ â
đđ2đŁđŁđđđšđš2
Risolvendo il sistema (si trascurano gli infinitesimi di grado superiore al primo), si ottiene lâequazione di Eulero:
đ¸đ¸ đźđźđđ âđđ4đŁđŁđđđšđš4
+ đđ â đđ2đŁđŁđđđšđš2
â đ¸đ¸(đšđš) = 0
Si è ottenuta lâequazione della linea elastica con effetti del secondâordine. Si hanno quindi piĂš tipologie di equazioni della linea elastica:
đ¸đ¸đ¸đ¸đŁđŁđ đ đšđšđđđđđđđđ đđđđđŁđŁđŁđŁđ đ đŁđŁđđđđđđđ đ đđđŁđŁđ đ đđđĄđĄđđđ đ đ đ đđđđđđ đđđ đ đ đ đđđĄđĄđĄđĄđđ đđđđđŁđŁ đđđđđ đ đđđđđđâ˛đđđđđđđđđđđđ:
đ¸đ¸ đźđźđđ âđđ4đŁđŁđđđšđš4
+ đđ â đđ2đŁđŁđđđšđš2
â đ¸đ¸(đšđš) = 0
đ¸đ¸đ¸đ¸đŁđŁđ đ đšđšđđđđđđđđ đđđđđŁđŁđŁđŁđ đ đŁđŁđđđđđđđ đ đđđŁđŁđ đ đđđĄđĄđđđ đ đ đ đđđđđđđ đ đđ đđđ đ đ đ đđđĄđĄđĄđĄđđ đđđđđŁđŁ đđđđđ đ đđđđđđâ˛đđđđđđđđđđđđ:
đ¸đ¸ đźđźđđ âđđ4đŁđŁđđđšđš4
â đ¸đ¸(đšđš) = 0
đđđ đ đ đ đŁđŁđđđđ:
đđ2đŁđŁđđđšđš2
= âđđđđ
đ¸đ¸ đźđźđđ
Per ottenere la freccia totale di un sistema statico, è sufficiente integrare una delle equazioni sopra scritte: in base al problema che si ha in oggetto, si usa la prima (che è sempre corretta) o la seconda (solo se non si hanno carichi assiali rilevanti).
In ogni caso, conviene sempre riferirsi ad un equazione differenziale di secondo grado: quindi si tende a sostituire la derivata quarta con la derivata seconda del momento, e sostituire il termine N/(E Iz) con Îą se si considerano gli effetti del secondo ordine, oppure utilizzare il legame costitutivo-congruenza se non si considerano gli effetti del secondâordine:
đ¸đ¸đ¸đ¸đŁđŁđ đ đšđšđđđđđđđđ đđđđđŁđŁđŁđŁđ đ đŁđŁđđđđđđđ đ đđđŁđŁđ đ đđđĄđĄđđđ đ đ đ đđđđđđ đđđ đ đ đ đđđĄđĄđĄđĄđđ đđđđđŁđŁ đđđđđ đ đđđđđđâ˛đđđđđđđđđđđđ:
đđ2đđđđ
đđđšđš2+ đźđź
đđ2đŁđŁđđđšđš2
âđ¸đ¸(đšđš)đ¸đ¸ đźđźđđ
= 0
La soluzione di questâequazione ha una forma del tipo:
đŁđŁ(đšđš) = đđ cos(đźđźđšđš) + đľđľ sin(đźđźđšđš) + đđđđ
Dove xp è una soluzione particolare. In genere ha una forma del tipo
đđđđ = đśđśđšđš + đˇđˇ + đ¸đ¸ â đ¸đ¸(đšđš)
Se q=costante, la freccia assume la forma
đŁđŁ(đšđš) = đđ cos(đźđźđšđš) + đľđľ sin(đźđźđšđš) + đśđśđšđš + đˇđˇ + đ¸đ¸đšđš2
2đđ
Il valore delle costanti è determinato dalle condizioni al contorno. à necessario arrivare fino alla derivata quarta per determinare tutte le costanti A, B, C, D, E.
Nei casi notevoli, la freccia è definita come Forza / Rigidezza: una volta calcolata la freccia infatti, si ottiene una funzione freccia che dipende solo dalla forza applicata. Gli abbassamenti del caso quindi dipendono unicamente da questa, essendo la rigidezza definita dalle caratteristiche geometriche della trave e dalle condizioni al contorno.
Risoluzione di un equazione differenziale di 2° grado omogenea:
đ đ đđ2đŁđŁ(đšđš)đđđšđš2
+ đ¸đ¸ đđđŁđŁ(đšđš)đđđšđš
+ đ đ đŁđŁ(đšđš) = 0
⢠Scrivo il polinomio caratteristico (cioè sostituisco i differenziali con una variabile dello stesso ordine)
đ đ đđ2 + đ¸đ¸ đđ + đ đ = 0
⢠Trovo le radici del polinomio caratteristico ⢠In base a quante radici reali ha ho delle soluzioni standard dellâequazione differenziale di secondo
grado:
RADICI REALI
DELTA RADICI SOLUZIONE DELLâEQUAZ. DIFF.
2 distinte > 0 Îť 1 â Îť2 đŁđŁ(đšđš) = đśđś1đđđđ1 + đśđś2đđđđ2 2
coincidenti = 0 Îť 1 = Îť2 đŁđŁ(đšđš) = (đśđś1+ đśđś2)đđđđ
nessuna < 0 Îť 1,2 = Îą Âą iβ đŁđŁ(đšđš) = đđđźđźđđ(đśđś1 cos(đ˝đ˝đšđš) + đśđś2 sin(đ˝đ˝đšđš))
Per trovare la freccia in un punto, quindi, basta risolvere lâomogenea associata alla rispettiva equazione della linea elastica e, aggiungere la curvatura alla soluzione omogenea. Questo corrisponde ad una traslazione della soluzione dellâequazione differenziale.
Risoluzione di un equazione differenziale di 1° grado omogenea:
đđđŁđŁ(đšđš)đđđšđš
+ đ đ (đšđš) â đŁđŁ(đšđš) = đ¸đ¸(đšđš)
⢠Moltiplico ambo i membri per una funzione đđâđ´đ´(đđ)
Dove A(z) è una primitiva di a(z)
⢠Raggruppo tutto nella forma ďż˝đđâđ´đ´(đđ) â đŁđŁ(đšđš)ďż˝
đđđšđš= đđâđ´đ´(đđ) đ¸đ¸(đšđš)
⢠Integro e scrivo la costante C
-----------------------------------------------------------------
Criterio di resistenza di Von Mises (materiali duttili):
La tensione ideale massima di Von Mises deve essere inferiore a quella ammissibile:
đđđ đ đđ = ďż˝đđđđ2 + đđđđ2 + đđđđ2 â đđđđđđđđ â đđđđđđđđ â đđđđđđđđ + 3đđđđđđ2 + 3đđđđđđ2 + 3đđđđđđ2 ⤠đđđđđđđđ
In genere, è utilizzato soprattutto per lâacciaio, e si pone đđđđ = 0, pertanto il criterio diventa
đđđ đ đđ = ďż˝đđđđ2 + đđđđ2 â đđđđđđđđ + 3đđđđđđ2 ⤠đđđđđđđđ
-----------------------------------------------------------------
Criterio di resistenza di Mohr-Coulomb (materiali fragili):
I cerchi di Mohr che caratterizzano la sollecitazione del solido devono essere al piĂš tangenti alla retta:
|đđđđđđđđ| = đ đ â đđ tan(đđ)
Dove đđ è lâangolo di attrito interno, c è la coesione e Ď Ă¨ la tensione normale sul piano. In realtà è possibile anche sostituire la retta con una funzione piĂš complicata ed attendibile (criterio di Coulomb).
-----------------------------------------------------------------
Teorema Statico dellâanalisi limite: La struttura non perviene al collasso sotto un sistema di carichi in corrispondenza del quale esista
un insieme di azioni interne in equilibrio con i carichi ed allâinterno del dominio di ammissibilitĂ .
-----------------------------------------------------------------
Teorema Cinematico dellâanalisi limite: La struttura certamente collassa sotto un sistema di carichi a cui è associata una potenza esterna
piĂš grande della potenza dissipata in corrispondenza ad un potenziale meccanismo di collasso.
Riassunto formule generali:
đđ = ďż˝đđđđđ´đ´
đđđđ â 0
đđđđ = ďż˝đđđđ đđđ´đ´
đđđđ â 0
đđđđ = ďż˝đđđđ đđđ´đ´
đđđđ â 0
đđđđ = đđđđ
đđ đđđđ = â
đđđđ
đđ
Jourawski:
đđđđđ đ = đđđđđđđđđ´đ´â˛
đźđźđđ đ¸đ¸+
đđđđđđđđđ´đ´â˛
đźđźđđ đ¸đ¸
đžđžđđ = đĄđĄđđđđđđđşđş đđ
+ đĄđĄđđđđđđđđđşđş đđ
đžđžđđ = đĄđĄđđđđđđđđđşđş đđ
+ đĄđĄđđđđđđđşđş đđ
Torsione Sez. Rettangolare:
đđ = đđđđ
đşđş đźđźđĄđĄ
đźđźđĄđĄ = đ˝đ˝ đ đ đ¸đ¸3
đđđđđđ = đđđđ
đźđźđĄđĄ đđ
đđđđđđ = đđđđ
đźđźđĄđĄ đđ
a/b 1 1.5 2 3 10 â β 0.141 0.196 0.229 0.263 0.312 1/3
đżđżđđđżđżđ đ đŁđŁđđ đđđŁđŁđ đ đđđĄđĄđđđ đ đđ đ đ đđđđđĄđĄđđđĄđĄđŁđŁđĄđĄđđđŁđŁđđ đ đ đđđđđżđżđđđŁđŁđđđđđĄđĄđđ đ đ đđđđ đđđ đ đđđĄđĄđđđđđđ đđđđ đ¸đ¸đŁđŁđŁđŁđđđđđđ (đđđđđŁđŁđ đ đđđđ đŁđŁđ đ đŁđŁđđđđđđ)
âđđđđ
đ¸đ¸ đźđźđđ â
đđ2đŁđŁđđđšđš2
đ¸đ¸đ¸đ¸đŁđŁđ đ đšđšđđđđđđđđ đđđđđŁđŁđŁđŁđ đ đŁđŁđđđđđđđ đ đđđŁđŁđ đ đđđĄđĄđđđ đ đ đ đđđđđđ đđđ đ đ đ đđđĄđĄđĄđĄđđ đđđđđŁđŁ đđđđđ đ đđđđđđâ˛đđđđđđđđđđđđ (đ đ đđđđè đźđź â 0):
đđ2đđđđ
đđđšđš2+ đźđź
đđ2đŁđŁđđđšđš2
âđ¸đ¸(đšđš)đ¸đ¸ đźđźđđ
= 0
đźđź = đđđ¸đ¸ đźđźđđ
Se q=costante
đŁđŁ(đšđš) = đđ cos(đźđźđšđš) + đľđľ sin(đźđźđšđš) + đśđśđšđš + đˇđˇ + đ¸đ¸đšđš2
2đđ
Momento elastico limite: đđđđđđ,đđ = đ đ đđđŚđŚ â đđđđđđ,đđ
Momento ultimo limite: đđđđđđ,đđ = đđđ˘đ˘,đđ = đ đ đđđŚđŚ â đđđđđđ,đđ
Il modulo di resistenza elastico è definito come quanto scritto prima, cioè è il rapporto fra il momento dâinerzia rispetto ad un asse e la massima distanza di un punto della sezione da tale asse, mentre il modulo di resistenza plastico è definito come la somma dei momenti statici rispetto allâasse interessato.
Criterio di Von Mises
đđđ đ đđ = ďż˝đđđđ2 + đđđđ2 + đđđđ2 â đđđđđđđđ â đđđđđđđđ â đđđđđđđđ + 3đđđđđđ2 + 3đđđđđđ2 + 3đđđđđđ2 ⤠đđđđđđđđ
Criterio di Mohr-Coulomb
|đđđđđđđđ| = đ đ â đđ tan(đđ)
Top Related