8/9/2019 Diferenciación e Integración Numéricas
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Computación II
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Errores en los cálculos numéricos
Raíces de ecuaciones no-lineales
Sistemas de ecuaciones lineales
Interpolación y ajuste de curvas
Diferenciación e integración
Ecuaciones diferenciales ordinarias
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Generalidades: uso de interpoladores
Diferenciación numérica:
con datos discretos con datos continuos
Integración numérica:
fórmulas de Newton-Cotes
reglas compuestas
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1. Interpolamos en el intervalo de interés
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1. Interpolamos en el intervalo de interés
2. Calculamos la derivada del polinomiointerpolante
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Ejemplo:
tenemos x 0, x 1, x 2
y sus correspondientes f 0, f 1, f 2
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Construimos el polinomio de Lagrange:
))((
))(( ))(()(
102
201
2102
x x x xa
x x x xa x x x xa x P
!
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Construimos el polinomio de Lagrange:
21202
10
1
2101
20
02010
212
))((
))((
))((
))((
))(())(()(
f x x x x
x x x x
f
x x x x
x x x x
f x x x x
x x x x x
!
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Derivamos el polinomio de Lagrange:
21202
10
1
2101
20
02010
212
))((
2
))((
2
))((2)(
f x x x x
x x x
f
x x x x
x x x
f x x x x
x x x x
!d
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Derivamos el polinomio de Lagrange:
... y ya podemos evaluar la derivada!!!
21202
10
1
2101
20
02010
212
))((
2
))((
2
))((2)(
f x x x x
x x x
f
x x x x
x x x
f x x x x
x x x x P
!
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¿Q ué ventaja tenemos ahora?
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¿Q ué ventaja tenemos ahora?
Podemos evaluar la función enlos puntos que queramos
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... y restando ambas ecuaciones:
con un h pequeña podemos eliminar la sumatoria
j
j
j
h j
x f
h
h x f h x f x f 2
1
0)12(
)!12(
)(
2
)()()( §
g
!
!d
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h
h x f h x f x f
2
)()()( 00
0!d
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¿Q ué sucede si h no es suficientemente pequeño?
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¿Q ué sucede si h no es suficientemente pequeño?
¿Y los errores numéricos para cuandoelegimos un h muy pequeño?
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Al igual que antes...
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Al igual que antes...
1. Interpolamos mediante un polinomio
2. Calculamos la integral sobre el polinomio
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Con polinomios de orden 1:
método trapezoidal
Con polinomios de orden 2:
regla de Simpson
...
Con polinomios de orden 4:
regla de Milne
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Aproximamos:
´´ ¼½
»¬-
«}
1
0
1
0
)()()(1
01
0
0
10
1
x
x
x
x
dx x f x x
x x x f
x x
x xdx x f
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Resolviendo:
? A)()()( x f x f x x
dx x f
x
x
}´
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Resolviendo:
? A)()(2
)( 10
1
0
x f x f h
d x x f
x
x
}´
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Tomamos un punto intermedio y aprox.:
d x x f x x x x
x x x x
x f x x x x
x x x x
x f x x x x
x x x xd x x f
x
x
x
x
¼
½
»
¬-
«} ´´
)())((
))((
)())((
))((
)())((
))(()(
2
1202
10
12101
20
02010
212
0
2
0
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De forma similar, dividiendo el intervalo en 4partes pero utilizando solo algunas:
? A)(2)()(23
4)( 321
4
0
x f x f x f h
d x x f
x
x
}´
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Al evaluar más puntos de la función en elintervalo dado, podemos obtener mayor exactitud
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Al evaluar más puntos de la función en elintervalo dado, podemos obtener mayor exactitud
Pero los polinomios de alto orden nos traenproblemas numéricos...
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Al evaluar más puntos de la función en elintervalo dado, podemos obtener mayor exactitud
Pero los polinomios de alto orden nos traenproblemas numéricos...
¿Y si integramos un polinomio de bajoorden por cada segmento?
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Elegimos n puntos en el intervalo e integramos mediante:
d x x f d x x f d x x f d x x f n
n
n x
x
x
x
x
x
x
x
´´´´
!
1
2
1
1
00
)()()()( .
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Elegimos n puntos en el intervalo e integramos mediante:
¿Cómo resolvemos estas integrales?
d x x f d x x f d x x f d x x f n
n
n x
x
x
x
x
x
x
x
´´´´
!
1
2
1
1
00
)()()()( .
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Cada segmento se integra por trapecios:
? A
? A
? A)()(
2
)()(
2
)()(2
)(
1
21
10
0
nn
x
x
x f x f h
x f x f h
x f x f hd x x f
n
´
/
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Simplificando:
? A)()(2)(2)(2
)( 110
0
nn
x
x
x f x f x f x f h
d x x f n
} ´ .
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De forma similar a trapecios por segmento:
?
A)()(4)(2
)(2)(4)(3
)(
12
210
0
nnn
x
x
x f x f x f
x f x f x f h
d x x f n
}
´
.
.
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