Anhang: Determinanten
Die Determinante iiber kommutativen Ringen
In diesem Abschnitt ist R stets ein kommutativer Ring mit Einselement. Wie in den Standardvektorraumen Kn und Mm,n(K) liber K6rpern K kann in den entsprechenden Konstruktionen Rn und Mm,n(R) gerechnet werden: Fur naturliche Exponenten n bezeichnet Rn die Menge der Abbildungen a: {I, 2, ... , n} -+ R, die liblicherweise als indizierte Systeme a = (aih:::;i:::;n notiert und geometrisch als Spalten vorgestellt werden. Addition und Multiplikation mit Skalaren A E R werden komponentenweise erklart:
(ai)l:::;i:::;n + (!3i)l:::;i:::;n .- (ai + !3i)l:::;i:::;n ,
(ai)l:::;i:::;n . A .- (aiA)l:::;i:::;n·
Setzt man ek = (clikh<i<n, l:Sk:Sn mit dem Kroneckersymbol clik, so hat jedes a = (aih:::;i:::;n E - Rn die eindeutige Darstellung a = L:~=l ekak als Linearkombination der kanonischen Basis el, ... , en von Rn. Ganz analog bezeichnet Mm,n(R) fUr natlirliche Zahlen m, n die Menge der Abbildungen
A = (aij)l:::;i:::;m,l:::;j:::;n
von der Menge aller Paare (i,j) natlirlicher Zahlen in den Grenzen l:Si:Sm, l:Sj:Sn in den Ring R. Diese Abbildungen heiBen selbstverstandlich wieder Matrizen mit m Zeilen und n Spalten liber R. Auf Mm,n(R) hat man die punktweise Addition zweier Matrizen A = (aij), B = (!3ij) durch
A + B := (aij + !3ij)l:::;i:::;m, l:::;j:::;n
und ebenso die punktweise Multiplikation mit Skalaren A E R durch
A . A := (aijA)l:::;i:::;m, l:::;j:::;n .
Eine R-bilineare Verknupfung Mm,n(R) x Mn,p(R) -+ Mm,p(R) wird durch die Matrizenmultiplikation erklart:
Fur Matrizen A, A' E Mm,n(R) sowie B, B' E Mn,p(R) und aIle Skalare A gelten die Formeln (A + A')B = AB + A' B, A (B + B') = AB + AB', und
332 Anhang: Determinanten
(A>.)B = (AB)>. = A(B>.). Sie sind dureh Betraehtung der Komponenten unmittelbar aus der Definition des Matrizenproduktes abzulesen. Ahnlieh erkennt man die Assoziativitat des Matrizenproduktes: 1st C E Mp,q(R) so gilt (AB)C = A(BC). Denn der Koeffizient zum Index (i, I) ist links 2:~=1 (2:7=1 (Xij{3jk),kl und reehts 2:7=1 (Xij(2:~=l {3jk'"Ykz) , was dassel be ist.
Auf diese Weise wird insbesondere Mn(R) = Mn,n(R), die Menge der quadratisehen Matrizen mit n Zeilen, ein i. a. nieht kommutativer Ring mit Einselement In = (6ik)1<i k<n' 1m Spezialfall m = n, p = 1 liefert die Multiplikation Mn(R) x Rn ~' fin zu jeder Matrix A E Mn(R) einen R-linearen Homomorphismus x H Ax von Rn in sieh, was nichts anderes bedeutet als A(x + x') = Ax + Ax' und (Ax)>. = A(x>.) fUr aile x, x' E Rn und aile >. E R. Mit dieser Deutung sind fiir quadratisehe Matrizen A, B E Mn(R) die Spalten
n
Sk := (" (Xij {3jk) . ~ l<,<n j=1 --
des Produktes AB zugleich die Bilder Sk = Abk (l:=:;k:=:;n) der gleichindizierten Spalten bk von Bunter der dureh A bewirkten R-linearen Abbildung.
Definition. Eine Abbildung D des n-faehen direkten Produkts Rn x ... x Rn in den Ring R heiBt eine n-fache Linearform (kurz Multilinearform) auf Rn, wenn fUr jeden Index k die Abbildungen x H D(a1,"" ak-1, x, ak+l,"" an) von Rn in R samtlieh R-linear sind.- 1st iiberdies D( . .. a ... a .. . ) = 0, ist also D(a1,"" an) = 0, sobald irgend zwei der n Argumente von D iibereinstimmen, so heiBt D eine alternierende n-faehe Linearform auf Rn.
Regel 1. Fur alternierende Multilinearformen D auf Rn gilt stets
D( ... a ... b ... ) = -D( ... b ... a ... ),
Vertauschung zweier Argumente iindert den Wert von D um den Faktor-l.
Das erkennt man an folgender Gleiehungskette
O=D( ... a+b ... a+b ... )
=D( ... a ... a+b ... ) + D( ... b ... a+b ... ) = D( ... a ... a ... ) + D( ... a ... b . .. ) + D( ... b ... a ... ) + D( ... b ... b ... )
= D( ... a ... b ... ) + D( ... b ... a ... ).
Als Folgerung ergibt sieh dureh eventuell wiederholte Anwendung auf je benaehbarte Argumente fUr Indizes s, t mit 1 :=:; s < t :=:; n die Formel
Regel 2. Eine alternierende n-fache Linearform D auf Rn iindert ihren Wert nicht, wenn man zu einem ihrer Argumente as eine Linearkombination der
Die Determinante aber kommutativen Ringen 333
iibrigen Argumente addiert:
Denn in der Entwicklung
D( . .. as-l, as + 2:i#S aiAi, asH, ... ) =
D(a1"" an) + 2:i#S D( ... , as-1, ai, as+l," .)Ai
verschwindet jeder der n - 1 letzten Summanden.
Satz 1. Zu jeder natiirlichen Zahl n gibt es auf Rn genau eine n-fache alternierende Linearform dn mit der Eigenschaft dn(e1, .. " en) = 1.
Beweis. 1) Eindeutigkeit: Angenommen, auf Rn seien D und dn zwei alternierende n-fache Linearformen, fUr die iiberdies dn(e1, .. " en) = 1 ist. Dann gilt mit A := D(e1," ., en) die Formel D = A dn. Zur Begriindung beachten wir, daB auch D- Adn eine alternierende n-fache Linearform auf Rn ist. Nach Definition von A gilt (D - Adn)(e1,"" en) = O. Daraus folgt fiir natiirIiche Zahlen i1, ... , in in den Grenzen 1 S ik S n (lSkSn)
Denn entweder existieren unter den Zahlen ik zwei gleiche; oder die Folge i1, ... , in ist durch geeignete, eventuell wiederholte Vertauschungen aus der Folge I, ... , n entstanden, woraus dann nach Regel 1 folgt
D(eit>·.·, ein)
dn(eil"'" ein) c; D(e1"'" en) und c; dn(e1, ... , en)
mit demselben Faktor c; = ±1, welcher nur von der Zahl der Vertauschungen abhangt, die i1, ... , in in die Reihenfolge 1, ... , n bringen. 1st nun
n
ak = L eik Cl:ik,k ik=l
(lSkSn),
dann ergibt die Linearitat von D und dn beziiglich aller Argumente
n
(D-Adn)(a1, ... ,an) = LCl:il,1(D-Adn)(eit> a2, ... ,an)
n
= L Cl:i l ,l ... Cl:in,n (D - Adn)(eit> ei2"" ein) O. il, ... ,in =l
334 Anhang: Determinanten
2) Die Existenz von dn wird durch vollstandige Induktion nach n bewiesen. 1m Fall n = 1 ist dl := idR einerseits linear und durch dl (l) = 1 normiert, andererseits ist diese Linearform trivialerweise alternierend, da sie nur ein Argument besitzt. FUr den Induktionsschritt nutzen wir eine Freiheit, die uns die Eindeutigkeit beschert, urn eine Reihe von wichtigen Gleichungen mitzubeweisen. Sie werden in einem Zusatz festgehalten.
Sei also n > 1 und bezeichne dn- l die nach 1) eindeutige alternierende (n-1 )-fache Linearform auf Rn- l mit dn- l (e~, ... , e~_l) = 1 auf der kanonischen Basis von Rn-l. Wir fixieren einen willkUrlichen Index i mit 1 < i < n und betrachten die Abbildung a '"'"""* a(i) von Rn auf Rn-\ die durch St-;-eichung der i-ten Komponente (Yi von a = ((Yjh:$j:$n entsteht. Offensichtlich ist sie R-linear. Nun werden wir zeigen, daB durch
n
d ( ) ._" (l)i+k d (i) (i) (i) (i)) n al,···,an .- ~ (Yik - n-l al , ... ,ak_l,ak+I,···,an k=l
eine alternierende n-fache Linearform auf Rn definiert ist mit der Eigenschaft dn(el,"" en) = 1. Darin wurde ak = ((Yjkh:$j:$n gesetzt. Jeder Summand
( ) ( l) i+k d (i) (i) (i) (i)) aI, ... , an '"'"""* (Yik - n-l al , ... , ak- I, ak+l> ... , an
ist R-Iinear in jedem der n Argumente aj: FUr j = k geht nur die i-te Komponente von ak als Faktor ein, fUr j =I kist der letzte Faktor als Funktion von aj linear, wahrend der Vorfaktor davon unabhangig ist. Folglich ist die Summe dn dieser Abbildungen eine n-fache Linearform auf ~. Uberdies gilt
d ( ) = (l)i+id (i) (i) (i) (i)) n eb···,en - n-l e l , ... ,ei_l>ei+I,···,en
Urn zu zeigen, daB dn alternierend ist, betrachten wir den Fall as = at fUr zwei Indizes s < t. Dann ist auch a~i) = a~i) sowie (Yis = (Yit. Da dn- l nach Induktionsvoraussetzung alternierend ist, bleiben von der dn definierenden Summe nur die beiden Summanden fUr k = s und k = t Ubrig:
dn(al, ... ,an) = (YiS(-l)i+Sdn_l ( ... a~~l' a~~l"')
( ) iH d ( (i) (i) ) + (Yit -1 n-I'" at_I' aHI '" .
Die der Regel 1 folgende Formel (*) zeigt, daB der zweite Summand das Negativ des ersten Summanden ist. Somit gilt hier dn(al, ... , an) = O. 0
Zusatz. (Entwicklungsformel bezUglich der Zeilen.) Wenn die Zeilenanzahl n > 1 ist, gilt fur jeden Index i mit 1 :::; i :::; n die Gleichung
n ( ) ~ (l)i+k d (i) (i) (i) (i)) dn al,.··,an = ~ (Yik - n-l al,···,ak_l>ak+l>···,an
k=1
Die Determinante iiber kommutativen Ringen
Die Beispiele n = 2 und n = 3:
a12 al3) a22 a23 = a32 a33
all (a22 a33 - a23 (32)
-al2 (a21 a33 - a23 (31)
+a13 (a21 a32 - a22 (31)
all a22 a33 + a12 a23 a31 + al3 a2l a32
-all a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22 a31 .
335
Definition. Die Determinante einer quadratischen Matrix A E Mn(R) mit den Spalten a1 = Ae1,"" an = Aen wird definiert mit Hilfe der n-fachen alternierenden Linearform dn des Rn in Satz 1 durch det A := dn(a1,"" an). Sie ist damit als Funktion der n Spalten eine n-fache alternierende Linearform mit der Normierung det In = 1.
Satz 2. Fur alle Matrizen A, BE Mn(R) gilt die Produktformel
det(AB) = det A· det B .
1st ferner A invertierbar, so ist auch det A invertierbar, also det A E RX.
Beweis. 1) Eine weitere alternierende n-fache Linearform auf Rn ist durch die Formel D(X1"'" Xn) = dn(Ax1,"" AXn) gegeben. Nach dem Beweis von Satz 1 gilt wegen D(e1"'" en) = dn(Ae1,"" Aen) = det A die Formel D = D(e1, ... ,en)dn = detAdn. Dajeweils Abk (l=Sk=Sn) die k-te Spalte der Matrix AB ist, folgt
det(AB) dn(Ab1, ... , Abn)
detA·dn(b1, ... ,bn) = detA·detB.
2) 1st die Matrix A in Mn(R) invertierbar und bezeichnet A-1 ihre Inverse, so gilt AA-1 = In und zufolge 1) auch det A . det A-1 = 1. Daher ist det A E RX und besitzt die Inverse det(A- 1). 0
Von zentraler Bedeutung im Determinantenkalkiil ist die Tatsache, daB auch umgekehrt aus der Invertierbarkeit von det A in R die Invertierbarkeit von A in Mn(R) folgt. Das wird sich aus dem iibernachsten Satz ergeben.
Satz 3. Fur die zur Matrix A = (aik) E Mn(R) transponierte Matrix At mit dem Eintrag aki in der i-ten Zeile und der k-ten Spalte gilt die Formel
det At = det A .
336 Anhang: Determinanten
Beweis. Es genugt, den Fall n > 1 zu behandeln. Die Spalten der Matrix A t sind zugleich die Zeilen der Matrix A. Da die Einsmatrix In unter der Transposition invariant ist, bleibt nur zu zeigen, daB det A eine alternierende n-fache Linearform der Zeilen von A ist. Die Linearitat von det A als Funktion der i-ten Zeile (aikh:S;k:S;n von A ist nun direkt aus der entsprechenden Entwicklungsformel im Zusatz zu Satz 1 abzulesen, da der Faktor
( 1)i+k d (i) (i) (i) (i)) - n-l a 1 , ... , ak_l> ak+l"'" an
bei aik von der i-ten Zeile, die ja gestrichen wurde, nicht abhangt. Urn zu zeigen, daB det A = 0 ist, wenn zwei Zeilen in A ubereinstimmen, gehen wir induktiv vor. 1m Fall n = 2 ist dies direkt aus der Formel fUr den Wert von d2 abzulesen. 1st n > 2 und ist bereits bekannt, daB die Determinante auf Mn - 1 (R) als Funktion der Zeilen alternierend ist, wahlen wir zu zwei gleichen Zeilen mit den Indizes s < t von A einen weiteren von s und t verschiedenen Index i und erkennen wieder aus der Entwicklungsformel zur i-ten Zeile die Behauptung det A = O. Damit ist gezeigt, daB A f-t det At eine alternierende n-fache Linearform der Spalten von A mit dem Wert 1 bei A = In ist, also gilt det At = det A nach Satz 1. 0
Satz 4. (Die CRAMERsche Regel) Die Zeilenzahl n sei grafter als 1. Zu jeder Matrix A E Mn(R) bezeiehne A(i,k) die Matrix in Mn-1(R), welehe aus A
dureh Weglassen der i-ten Zeile und der k-ten Spalte entsteht. Ferner sei
a;k = (-1 )i+k det A (k,i) .
Dann gelten mit dem K roneekersymbol bik die Formeln
n
L aij ajk = bik' det A = L a;j ajk (1:S i, k :S n). j=l
Die Matrix adj(A) = (aik)' die Adjunkte von A, hat mithin die Eigensehajt
A·adj(A) = adj(A)·A = detA·ln ·
Beweis. 1m Fall k = i besagt die erste Formel dasselbe wie die Entwicklungsformel von det A nach der i-ten Zeile. 1m Fall k i= i laBt sich diese Formel anwenden auf die Matrix Ai, die aus A entsteht, in dem man die k-te Zeile von A durch die i-te Zeile ersetzt. Dann ist naturlich det Ai = 0 = r5ik det A. Andererseits entsteht durch Streichung der k-ten Zeile und der j-ten Spalte in Ai nichts anderes als A (k,j). Also liefert die Entwicklung von det Ai nach der i-ten Zeile die erste Formel auch im Fall i i= k.
Fur die Transponierte von A ist offen bar stets
(l:Sj,k:Sn);
Aufgaben 337
insbesondere haben beide Matrizen dieselbe Determinante. Nach Satz 3 gilt somit
Wir berucksichtigen nun das Verhalten des Matrizenproduktes unter Transposition, namlich (AB)t = BtAt fur aIle A, BE Mn{R). Aus Satz 3 und der bewiesenen Formel fur At anstelle von A haben wir
Diese Gleichung unterwerfen wir der Transposition und verwenden dabei (*):
det A . In = adj{A)· A. o
Zusatz. Hat die Matrix A E Mn{R) eine invertierbare Determinante in R, so ist A in Mn{R) invertierbar und ihre Inverse ist gegeben durch die Formel
A-1 = adj{A)· (detA)-l.
Das ist aus Satz 4 abzulesen.
Aufgabe 1. Es sei Rein kommutativer Ring mit lR '" OR, und n sei eine natiirliche Zahl. Mit GLn(R) bezeichnet man die Menge aller invertierbaren Matrizen A E Mn(R). Nach Satz 4 und dessen Zusatz ist A E GLn(R) genau dann, wenn det A E RX ist. Man begriinde, dafi GLn(R) unter der Multiplikation von Matrizen in jedem Fall eine Gruppe ist. Ferner zeige man, dafi die Menge SLn(R) der A E GLn(R) mit detA = lR ein Normalteiler (die spezielle lineare Gruppe) von GLn(R) ist.
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Index Zuweilen wurden Begriffe erwahnt, bevor sie eingefUhrt oder ausfUhrlich behandelt werden. In diesen Fallen sind die Hauptverweise hervorgeho ben.
Abel, N. H. 195 abelsche Gruppen 6,49-56, 145-150
direkte Summe, dir. Produkt 49 elementar-abelsche p-G. 52, 132 freie a. G. 147,149,178,260 Primarkomponenten 53, 141,
145, 193 Torsionsunterg. 145
abelsche Korper( -erweiterungen) 217, 245, 253, 255
Abelsche partielle Summation 283, 297
Abelscher Grenzwertsatz 297 Ableitung 199 Absolutbetrage auf IQ 126
gewohnlicher A. 117 p-adische A. 117, 119
Absolutnorm 110, 177, 182 Adjunktion
eines Elementes 87 von Nullstellen 166, 184,
195-197 aquivalente
(Vektorraum-) Normen 308 Betrage, Bewertungen 127, 308 Gitter 90, 98, 161 Irrationalzahlen 100
Aktion der Galoisgruppe auf den ganzen Zahlen 211, 220, 222 Polynomen 205 Wurzeln 211-212
Aktionen einer Gruppe 152 algebraisch abgeschlossen 31 algebraische Zahlkorper 87, 159-176
(Definition) 159
Algorithmus Determinanten-A. 157 Diskriminanten-A. 242 euklidischer A. 16, 23, 106-110 fUr das Jacobisymbol 66 fUr schnelle Multiplikation 55
alternierende Gruppen 151, 158, 212 als Galoisgr. 225
angeordnete Korper 327 Annihilator 49 Anordnung der ganzen Zahlen 11 Approximation
reeller durch rationale Zahlen 82, 84
reeller Zahlen durch Kettenbriiche 78-80
von Korperelementen durch Gitterzahlen 164
Approximationssatze 126, 327 archimedische Bewertungen 305,
310 Artin, E. 195 Artin-Schreier-Erweiterungen 210,
226 assoziierte Ringelemente 102 asymptotische Gitterpunktzahlen
294 Ausnahme-Einheiten 259, 275 Ausnahmefolgen 272, 274 Automorphismen 6
Bahnen unter Gruppenaktionen 102, 152
Bahnlangenformel 153 Basis
duale B. 160 einer freien abelschen Gruppe
147 einer K6rpererweiterung 88, 89,
160,162-164, 173-174 einesGitters 166,167,176 reduzierte B. 97
beste Naherung 82
344
Betrage 117, 127, 305, 306 A.quivalenz 127 trivialer B. 127
Bewertungen 127, 305, 306 A.quivalenz 308 arehimedisehe B. 305, 310 Fortsetzung 315-316 p-adisehe 318 triviale B. 308, 319 ultrametrisehe B. 305, 310
Bewertungsideal 310, 319 Bewertungsringe 305, 310, 328 Bilinearformen
Hilbertsymbol 137 Spurform 107, 160, 163, 214
binomisehe Reihe 130 biquadratisehe Zahlkorper 159,
173-175, 210 Briiehe 21, 115, 122, 208
Carmiehaelzahlen 48 eartesisehes Produkt 43, 117 Cauehy-Folgen 117, 306 Cauehy-Produkt 130 Cayley, A.
Satz von C.-Hamilton 35, 88, 160
Charaktere 60, 116, 279, 281 Orthogonalitatsrelationen 280
Charaktergruppe 279 Charakteristik 44, 207, 210, 212,
218, 219, 226, 310, 319, 320 eharakteristisehes Polynom 87, 91,
131, 160, 162, 197, 214, 299 Chinesiseher Restsatz 37, 41, 48, 49,
53,71 allgemeine Form 177, 180, 186,
319 CM-Ki:irper 277 Cramersehe Regel 336
Darstellung 87, 94, 131, 160, 166, 197, 214
Davenport, H. 262, 301
Index
Dedekind, R. 87, 159, 195, 253 Lemma von D. 200, 218
Dedekindsehe Differentensatze 228-236 Ordnungen 161-163
(Definition) 91, 161 Zetafunktion 279, 289-296
(Definition) 289 Dedekindseher Diskriminantensatz
227, 235, 254, 266 Derivationen 199 Determinanten 87, 238, 271, 293,
331-337 Deuring, M. 253 Dezimalbriiehe 69 dieht 120, 306 Differente
einer Erweiterung 228 eines Zahlki:irpers 228 Zahldifferente 232
Differentensatze 228-236 direktes Produkt von
abelsehen Gruppen 49 Gruppen 144 Ringen 43, 180
Dirichlet, P. G. L. 159, 259, 268, 279, 301
Diriehletreihen 279, 282-284 Diriehletsehe L-Reihen 279, 284,
288, 301-304 Diriehletseher
Einheitensatz 259, 269 Primzahlsatz 139, 258, 279, 289
diskrete Punktmengen 259 Topologie 77 U ntergruppen 259
Diskriminante Algorithmus 242 einer Basis 163, 215 einer Erweiterung 228 eines Gitters 164 eines Polynoms 209, 212, 215,
242 eines Zahlki:irpers 107, 164, 228 Primdiskriminanten 193
Index
Diskriminantensatz von Dedekind 227, 235, 254, 266 Minkowski 254, 256, 266
Diskriminantenschranke 265 kleine Diskriminanten 274
Division mit Rest 13, 77 fUr Polynome 30, 105, 240
Divisionsalgebren 140 Divisionsalgorithmus 16, 23, 75, 77 Dreiecksungleichung 127, 306, 310 duale
Basis 160 Gruppe 279
duales Gitter 160, 227
Einbettungen der Idealgruppe 188 von Zahlkorpern in C 263, 318
reelle, imaginare 263 einfache
Korpererweiterungen 213 Nullstellen 199
Einheiten 43, 93, 96, 185 Ausnahme-E. 259, 275
Einheitengruppe 6, 53, 97, 100, 101, 120, 123, 259, 268-271
Einheitensatz von Dirichlet 269 Einheitswurzeln 93, 217, 245, 269,
277, 296 in p-Korpern 125, 320-324 primitive E. 171, 193, 218, 245
Einsetzungshomomorphismus 32 Eisenstein, G.
E.-Polynome 170, 171, 176, 236, 246
Irreduzibilitatskriterium 170, 236, 246
Element maxi maier Ordnung 46 primitives E. 213, 230, 233, 271,
317 elementar-abelsche p-Gruppen 52,
132 Elementarmatrizen 73, 108 elementarsymmetrische Polynome
212, 244
Elementarteilerkette 49, 54 Eindeutigkeit 51
endliche Korper 45, 46, 179, 207, 219 Stellen 318
345
Endlichkeit der Klassenzahl 164-166 Entwicklungsformel fUr
Determinanten 334 Eratosthenes 25 Erganzungssatze zum quadr.
Reziprozitatsgesetz 60, 138 Erzeugnis 7 Euklid 18
Satz von E. 25 euklidische Zahlkorper 106, 272, 278 euklidischer Algorithmus 16, 23,
106-110 Euler, L. 45, 57, 69, 277
Satz von E. 71 Eulerprodukt 282, 288, 302 Eulersche <p-Funktion 39 Eulersches Kriterium 58, 66, 68, 84
lFp - Vektorraume 52, 53, 137 Faktorgruppen 7 faktorielle Ringe 103-106, 168-172 Faktorring 102, 179, 221 Faltung 302 Farey-Reihe 83, 108 Fermat, P. de
kleiner Satz von F. 45, 183 Fermatgleichung 68, 245, 250, 251,
301 Fermatsche Vermutung 245,249 Fibonaccizahlen 23, 74 Fixgruppe 153 Fixkorper 202-203 fixpunktfrei 152 formale Ableitung 199 Fortsetzung von
Bewertungen 315-316 Charakteren 281 Korper-Isomorphismen 198, 201
Fourieranalyse 305, 319 freie abelsche Gruppen 147, 149,
178,260
346
freies System 147, 178 Filmer einer Ordnung 92, 231, 236 Fundamentalmaschen 260, 294 Fundamentalsatz
der Algebra 31 der Arithmetik
in Polynomringen 31 in Z 18, 282 in Zahlkorpern 178
Funktionenkorper 208, 226
Galois, E. 99, 195 Galoiserweiterungen 94, 159,
173-175, 195, 203, 220, 325 abelsche G. 217 Artin-Schreier-Erw. 210, 226 Fixkorper 202-203 Kriterien fUr G. 203-207 Kummer-Erw. 219 von p-Korpern 324-326 Zwischenkorper 203, 204, 213
Galoisgruppe 94, 195, 203 einer p-Korpererw. 325-326 von Kreisteilungskorpern 247
galoissch 203 ganze
algebraische Zahlen 87, 91, 162 Ideale 178 p-adische Zahlen 117-121,
123-125 Zahlen 11, 91, 163
Ganzheitsringe 91-94, 161-163 (Definition) 92, 163
GauB, C. F. 26, 37, 57, 87, 168, 195, 245
GauBsche Sum men 171, 254, 297 GauBscher Satz 115, 159, 169, 245 GauBsches Lemma 64 gebrochene Ideale 178 ggT 14, 33, 105, 180 Gitter
Aquivalenz 90, 98, 161 duales G. 160, 227 in lR-Vektorraumen 260 in Zahlkorpern 89-91, 159-162
(Definition) 89, 160
Gittermultiplikation 90, 161 Gitterpunktsatz 261, 272 Gitterpunktzahlen 294 Grad
Index
einer Korpererweiterung 87, 159 eines Polynoms 30
Gradformel filr Korpererweiterungen 196 Polynomprodukte 30
groBter gemeinsamer Teiler 14 von Idealen 105, 180 von Polynomen 33
Grundeinheiten 97, 100, 193, 271, 300
Gruppe allgemeine lineare G. 6 der Einheiten 6, 97, 100, 101,
120, 123, 259, 268-271 der engeren Idealklassen 191 der gebrochenen Ideale
177-180, 187 (Definition) 178 der Idealklassen 178, 265 der primen Restklassen 53, 65,
281 Galoisg. 94, 195, 203, 247,
325-326 spezielle lineare G. 48, 56, 337 Tragheitsg. 222, 253-256 Verzweigungsg. 222, 234, 256,
326 Wertegruppe 319 Zerlegungsg. 222
Gruppen 141-158 (Definition) 142 abelsche G. 6, 49-56, 145-150 alternierende G. 151, 158, 212,
225 direktes Produkt 144 elementar-abelsche p-G. 52, 132 freie abelsche G. 147, 149, 178,
260 Homomorphiesatz 144 Kleinsche Viererg. 158 Kommutatorg. 56 symmetrische G. 141, 150, 212
Index
zyklische G. 46, 49, 57 Gruppenaktionen (-operationen)
152 Bahnen von G. 102, 152 Bahnlangenformel 153 der Einheitengruppe 102 der Galoisgruppe 205, 211-226 Fixgruppe, Stabilisator 153
Halbgruppe des euklidischen Algorithmus 69, 75, 96
Halbgruppen 141 Halbsystem 58 Hamilton, W. R.
Satz von Cayley-H. 35, 88, 160 Hasse-Diagramm 158 Hauptcharakter 279 Hauptideale 101, 104, 105, 258 Hauptidealringe 105, 109, 121, 178 Hauptkongruenzuntergruppe 48 Hauptordnungen 92, 163 Hauptpolynom 87, 91, 131, 160,
162, 197, 214, 299 Hauptsatz
der Galoistheorie 195, 204 tiber endl. abelsche Gruppen
50, 141 Hauptwert 285 Hensel, K. 123 Henselsches Lemma 123, 305, 313,
316 Hermite, Ch. 259
Satz von H. 267 Hilbert, D. 131, 253 Hilberts "Satz 90" 192, 218, 225 Hilbertsche Untergruppenkette 211
222-224, 234, 253, 324 ' Hilbertscher Basissatz 115 Hilbertsymbol 131, 133 Homomorphiesatz fUr
Gruppen 144 Ringe 102, 179, 184, 221
Homomorphismen 6 Hurwitz, A. 78, 164 Hurwitzsche Konstante 80
Ideale 101 Bewertungsideal 310, 319 Durchschnitt 101, 181 ganze I. 178 gebrochene I. 178
347
Hauptideale 101, 104, 105, 258 konjugierte I. 221 maximale I. 103, 179 Norm 110, 182 Primideale 102, 178 Produkt 101, 181 Summe 101 Teiler 101, 179
Idealklassengruppe 178, 265 im engeren Sinne 191 Primarkomponenten 193
Idempotent 48, 143 imaginare
Einbettungen 263, 318 Stellen 318
imaginiirquadratisch 93, 109 Index einer Untergruppe 45, 149,
153, 182 Induktionsaxiom 11 Inhalt eines Polynoms 168 inseparable Polynome 200 Integritatsbereiche 101-103,179
(Definition) 102 Intervallschachtelung 75 inverse Elemente 142 invertierbar 142 Invertierbarkeitskriterium 39, 93 irrational 22, 75, 88 Irreduzibilitatskriterium (von
Eisenstein) 170, 236 246 irreduzible '
Elemente 102 Polynome 30
Isometrie 308, 324
Jacobi, C. G. J. 57 Jacobisymbol 58-64
(Definition) 60 Algorithmus 66
348
K-Algebren 6 K-Automorphismen 201, 202 Kern eines Homomorphismus 6 Kettenbruchapproximationen 69-83,
85, 96-99 (Definition) 77 Rekursionsformel 76
Kettenbruchentwicklung 75-77, 95 Kettenbriiche 69-86, 95-100
K fUr 7r 80 periodische K 69, 81-82, 97, 99
kgV 17,213 Klassengleichung 154 Klassengruppe der Ideale 178, 265
im engeren Sinne 191 Klassenkorpertheorie 131, 245 Klassenzahl 159, 165, 178, 272
analytische K-Formel 178, 296 Endlichkeit 164-166 von quadratischen Zahlkorpern
266, 296-301 explizite Formeln 300, 301
kleine Diskriminanten 274 kleiner Differentensatz 229 Kleinsche Vierergruppe 158 kleinstes gemeinsames Vielfaches 17
von Minimalpolynomen 213 Korper
algebraisch abgeschlossene K 31
algebraische Zahlk. 87, 159-176 (Definition) 159
angeordnete K 327 endliche K 45, 46, 179, 207, 219 Funktionenk. 208, 226 Kreisteilungsk. 176, 211,
245-258, 278, 279, 290, 304 lokale K 117 p-adische K 117, 122-123,
131-140 p-Korper 305, 319-326
(Definition) 319 Quotientenk. 115, 122, 168, 208,
226 Restklassenk. 183, 305, 319, 320
Index
Tragheitsk. 224, 234, 254-256, 325
Verzweigungsk. 224, 234 Zerlegungsk. 224, 234
Korpererweiterungen 187-190 abelsche K. 217, 245 einfache K 213 galoissche K 94, 159, 173-175,
195, 203, 220, 324-326 Kummer-Erw. 219 von p-Korpern 131-133,
321-326 Zwischenkorper 203, 213
Kommutatorgruppe 56 kompakter metrischer Raum 130 Komplettierung 117, 306-309,
316-319 Komplexprodukt 142 Kompositum von
Untergruppen 204 Zwischenkorpern 204, 207, 217,
278 Konjugationsklassen 154 konjugierte
Gruppenelemente 154 Ideale 221 Korperelemente 95, 214 Untergruppen 154
Kontraktionslemma 124 Konvergente 77 Konvergenz von Produkten 286 koprim 40, 180 Korrekturfaktor 58 Krasners Lemma 328 Kreiskorper 253 Kreisteilungskorper 176, 211,
245-258, 278, 279, 290, 304 Kreisteilungspolynome 171, 218,
245, 278 Kriterien
fUr Galoiserweiterungen 203-207
fUr Invertierbarkeit 39, 93 fUr Irreduzibilitat (Eisenstein)
170, 236, 246 von Euler 58, 66, 68, 84
Index
Kronecker, L. 57, 58, 245, 249, 253, 269
Lemma von K. 62 Satz von K. 195 Satz von K.-Weber 141, 245,
253, 255, 266 kubische
Resolvente 225, 244 Zahlkorper 176, 185, 194, 209,
225 Kummer, E. E. 245, 250 Kummer-Erweiterungen 219 Kummersches Lemma 249,277
L-Reihen 279, 284, 288, 301-304 Lagrange, J. L. 69, 78, 81, 97, 195,
259 Interpolationsformel 230 Satz von L. 45, 153 Vierquadratesatz 262, 277
Legendre, A. M. 57, 69, 78 Legendresymbol 58, 171, 185, 297 Leitkoeffizient 30, 239 Lemmata von
Dedekind 200, 218 Gaufi 64 Hensel 123, 305, 313, 316 Krasner 328 Kronecker 62 Kummer 249, 277 Zorn 328
Lenstra, H. W. 259, 272 Lenstrakonstante 272 linear unabhiingige
Homomorphismen 200 Lipschitz-parametrisierbar 294 Logarithmus auf ex 285 lokale Korper 117, 305 Lucas, E. 114
Test fUr Mersennezahlen 113
maximale Ideale 103, 179 maximale unverzweigte Erweiterung
324 Maximalordnungen 92, 163
349
Mersennesche Zahlen 22, 113 Minimalpolynom eines
Endomorphismus 34 Korperelementes 88, 160, 197,
220 Minkowski, H. 253, 259, 317
Diskriminantensatz 254, 256, 266
Diskriminantenschranke 265 Gitterpunktsatz 261, 272
Modul eines p-Korpers 319 Moduln tiber einem Ring 238 Mobiusfunktion 20 Mobiussche Umkehrformel 20, 226 M6biustransformationen 69, 73 monogene
Gruppen 46, 4~ 57 Ideale 105 Ordnungen 194, 230-231
Monoide 102, 142 Morphismen 6 Multilinearformen 332 multiplikativ 24, 302 M ultiplikativitiit
der Norm 88 des Betrages 119, 122, 127, 306 des Restklassengrades 189, 322 des Verzweigungsindex 189, 322
Niiherungsbruch 77, 82 Niiherungsnenner 77, 83 natiirliche Zahlen 11 Nebenklassen 143, 153 Newton, I. 244 Norm
einer algebraischen Zahl 87, 160 einer Erweiterung 131, 214 eines Ideals 110, 182 eines Ki:irperelementes 162
Normalisator 154 Normalteiler 143, 204 Normen auf Vektorriiumen 308
Aquivalenz 308 Normen-Index-Gleichung 134 Normenrestsymbol 131, 133 normeuklidisch 106, 272, 278
350
normierte Polynome 30, 160, 162, 193, 239
Nullstellen von Polynomen 25, 32-34, 86, 162, 166, 184, 195, 199, 212
Nullteiler 5
Operation der Einheitengruppe 102 Galoisgruppe 205, 211-226
Operationen von Gruppen auf Mengen 152
Ordnung einer Gruppe 45, 153 eines Elementes 43, 145
Ordnungen Fiihrer 92, 231, 236 Haupt-, Maximalordn. 92, 163 monogene O. 194, 230-231 von Gittern 161
(Definition) 91 Orthogonalitatsrelationen 280 Ostrowski, A. 117
Satze von O. 128, 305, 311
p-adische Korper 117,122-123, 131-140 Zahlen 117-130
p-adische Bewertungen 318 p-adischer Absolutbetrag 117, 119 ~Exponent 22, 118 p-Exponent 180, 318 p-Korper 305, 319-326
(Definition) 319 Erweiterungen 131-133,
321-326 galoissche E. 324-326
paarweise koprim 40, 41, 180, 181 Partialnenner 77 partielle Summation 283, 297 Partitionen 143, 152 Pellsche Gleichung 100 periodische Kettenbriiche 69, 81-82,
97, 99
Index
Polynome 29-35 Diskriminante 209, 212, 215,
242 Eisenstein-P. 170, 171, 176, 236,
246 elementarsymm. P. 212, 244 Grad 30 Inhalt 168 irreduzible P. 30 Kreisteilungs-P. 171, 218, 245,
278 Leitkoeflizient 30, 239 normierte P. 30, 160, 162, 193,
239 Nullstellen 25, 32-34, 86, 162,
166, 184, 195, 212 einfache N. 199
primitive P. 168 Resultante 237-243 separable, inseparable P. 200
Polynomringe 29-35, 105 iiber Ringen 239
Potenzen 43, 137 Potenzmenge 142 Primiirkomponenten 53, 141, 145,
193 Primdiskriminanten 193, 297 prime Restklassengruppe 53, 65, 281 Primelemente 102
in p-Korpern 319 Primfaktorisierung
in faktoriellen Ringen 103 in Polynomringen 31, 184 in Z 18
Primideale 102, 178 primitive
Einheitswurzeln 171, 193, 218, 245
Elemente 213, 230, 233, 271, 317
Polynome 168 Primitivwurzeln 46, 53, 186 Primkorper 183, 219 Primpolynome 30 Primzahlen 18
Index
Primzahlsatz 26 von Dirichlet 139, 258, 279, 289
Primzerlegung in algebraischen Zahlkorpern
184-186 Galoiserweiterungen 221 Korpererweiterungen 188 Kreisteilungskorpern 251-253 quadratischen Zahlkorpern 111,
116, 185 Produktformel fUr
Betrage auf Q 126 Derivationen 199 die Absolutnorm 182 die Resultante 241 Korpergrade 196
projektive Abbildungen 69 Gerade 73, 85
projektiver Limes 118 pythagoraische Tripel 24
Qp 117,122,131-140 Quadrate 57, 65, 68, 71, 131, 140,
191, 259, 262, 277 quadratfrei 88, 92, 93, 99, 100, 185 quadratische
Erweiterungen 131-133, 173-176, 277
Resolvente 210 Reste, Nichtreste 58, 132, 135,
298 Zahlkorper 82,87-100, 173,
190, 254, 296-301 (Definition) 88
Quadratisches Reziprozitatsgesetz 63, 131, 138, 171, 282
Erganzungssatze 60, 138 quasi-euklidisch 109, 116 Quotientenkorper 115, 122, 168,
208, 226
Rang einer freien abelschen Gruppe
148 eines R-Moduls 239
reduzierte Basis 97 reelle
Einbettungen 263, 318 Stellen 318
reellquadratisch 82, 93, 109 regulare Darstellung 87, 94, 131,
160, 166, 197, 214 Regulator 271, 296 reinperiodisch 97, 99 relative
Automorphismen 201 Differente 228 Diskriminante 228 Erweiterungen 187-190
Relativnorm von Idealen 190 Resolvente
351
kubische R. 225, 244 quadratische R. 210
Restklassengrad 183, 189, 252, 322 Restklassenkorper 183, 305, 319, 320 Restklassenmultiplikation 38 Restklassenringe 38, 49, 53, 102,
110, 186 Resultante 237-243
(Definition) 238 Riemann, B.
R.-sche Zetafunktion 282 Ringe 5, 101-106
Bewertungsringe 305, 310, 328 faktorielle R. 103-106, 168-172 Ganzheitsringe 91-94, 161-163
(Definition) 92, 163 Hauptidealringe 105, 109, 121,
178 Homomorphiesatz 102, 179,
184,221 Integritatsbereiche 101-103, 179
(Definition) 102 Nullring 6, 102 Polynomringe 29-35, 105, 239 Restklassenringe 38, 49, 53,
102, 110, 186 RSA-Codierungssystem 48
352
Siitze von Cayley-Hamilton 35, 88, 160 Dedekind 227-236, 254, 266 Dirichlet
Einheitensatz 269 Primzahlsatz 139, 258, 279,
289 Euklid 25 Euler 71 Fermat (kleiner S.) 45, 183 GauE 115, 159, 169, 245 Hermite 267 Kronecker 195 Kronecker-Weber 141, 245, 253,
255, 266 Lagrange 45, 153
Vierquadratesatz 262, 277 Minkowski
Diskriminantensatz 254, 256, 266
Gitterpunktsatz 261, 272 Ostrowski 128,305,311 Rolle 36 Steinitz 213 Sturm 86 Sylow 141,155-156 Tschebyschew 26 Wilson 47, 68
Schachtelsatz fUr Norm und Spur 215
Schur, 1. 298 Separabilitiit 199 separable
Elemente 212 Erweiterungen 212, 230 Polynome 200
Serre, J. P. 139 Sieb des Eratosthenes 25 Signum von Permutationen 151, 212 simultane
Approximation 126, 327 Kongruenzen 37, 41, 180
spezielle lineare Gruppe 48, 56, 337 Spur 87, 107, 131, 160, 162, 214
als Summe von Automorphismen 202
Stabilisator 153 Steinitz, E.
Satz von S. 213 Stellen 128, 133, 317
endliche 318 unendliche 318
Index
reelle, imaginiire 318 Sturmsche Ketten 86 summatorische Funktion 20, 24 Summen von Quadraten 68, 71,
259, 262, 277 Supremumsnorm 308 Sylowsche Siitze 141, 155-156 Symbole
Hilbertsymbol 131, 133 Jacobisymbol 58-64
(Definition) 60 A 19orithmus 66
Legendresymbol 58, 171, 185, 297
symmetrische Gruppen 141, 150, 212
Teilbarkeit 12, 101-105 von Idealen 101, 179
teilerfremd 15, 40, 180 Teilerzahlfunktion 19, 24 Teilkorper 7 Teilnenner 77 torsionsfrei 145 Torsionsuntergruppe 145 total positiv 191 triige 113 Triigheitsgruppe 222, 253-256 Triigheitskorper 224, 234, 254-256,
325 Transformationsformel fUr
Gebietsintegrale 293 transitiv 152 Transitivitiit
der Ganzheit 220 von Differente und
Diskriminante 228 Transpositionen 151 transzendent 208 treu 152, 212
Index
triviale Bewertung, trivialer Betrag 127, 308, 319
Tschebyschew, P. L. Satz von Tsch. 26
ultrametrische Bewertungen 305, 310 Ungleichung 119, 305, 310
unbedingte Konvergenz 130 unendliche Produkte 285-287
Konvergenz 286 unendliche Stellen 318 Untergruppen 7, 143
Index 45, 149, 153 Kommutatorgruppe 56 Kompositum 204 Normalteiler 143, 204 p-Sylowgruppen 156 Torsionsunterg. 145 von Z 13
unverzweigt 189, 322, 324
Vp fUr Primelemente p 103 Primzahlen p 22, 118
vp fUr Primideale p 180 Vandermondesche Matrix 214 Verschiebungssatz 211, 216, 247 Vertretersysteme 37, 150, 152-155,
187, 216, 319, 320 Vervollstandigung 117, 306-309,
316-319 verzweigt 113, 189, 230 Verzweigungsgruppe 222, 234, 256,
326 Verzweigungsindex 184, 189, 229,
322 Verzweigungskorper 224, 234 Vielfache 43 Vierergruppe 158 Vierquadratesatz 262, 277 voll verzweigt 189, 236, 254, 322 voll zerlegt 189 vollstandiger metrischer Raum 120,
124, 305
Vorganger 75, 95
Weber, H. 253 Satz von Kronecker-W. 141,
245, 253, 255, 266 Weil, A. 305 Wertegruppe 319 Wielandt, H. 155 Wilson, J.
Satz von W. 47,68
353
Wurzeln von Polynomen 25, 32-34, 86, 162, 166, 184, 195, 199, 212
Z als Integritatsbereich 11 Z-Modulstruktur 43, 52 Zahldifferente 232 Zahlen
algebraische Z. 159 Carmichaelzahlen 48 Fibonaccizahlen 23, 74 ganze algebraische Z. 87, 91,
162 ganze rationale Z. 11, 91, 163 Mersennesche Z. 22, 113 natiirliche Z. 11 p-adische Z. 117-130 Primzahlen 18
zahlentheoretische Funktionen 24 Zahlkorper 87, 159-176
(Definition) 159 biquadratische Z. 159, 173-175,
210 euklidische Z. 106, 272, 278 Fundamentalsatz der Arithmetik
178 Galoiserweiterungen 220-221 Kreisteilungskorper 176, 211,
245-258, 278, 279, 290, 304 kubische Z. 176, 185, 194, 209,
225 quadratische Z. 82,87-100,173,
190, 254, 296-301 (Definition) 88
354
Zentralisator 154 Zerfallungskorper 198, 207, 212, 213 zerlegt 113 Zerlegung der Primideale in
Galoiserweiterungen 221 Korpererweiterungen 188
Zerlegung der Primzahlen in algebraischen Zahlkorpern
184-186 Kreisteilungskorpern 251-253 quadratischen Zahlkorpern 111,
116, 185
Druck u. Verarbeitung: Druckerei Triltsch, Wiirzburg
Zerlegungsgruppe 222 Zerlegungskorper 224, 234 Zetafunktion
Index
Dedekindsche Z. 279, 289-296 (Definition) 289
Riemannsche Z. 282 Zornsches Lemma 328 Zwischenkorper 203, 204, 213
Kompositum 204, 207, 217, 278 Zwischenwertsatz 36 Zyklen 151, 158 zyklische Gruppen 46, 49, 57
S. Bosch
Algebra 2., iiberarb. AutI. 1996. x, 329 S. Brosch. DM 44,-; oS 321,20; sFr 39,50 ISBN 3-540-60410-3
Eine verstiindliche, konzise und immer tliissige Einfiihrung in die Algebra, die insbesondere durch ihre sorgfaItige didaktische Autbereitung bei vielen Studenten Freunde finden wird. Bosch bietet neben zahlreichen Aufgaben, einfiihrenden und motivierenden Vorbemerkungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen. Auch selten im Lehrbuch behandelte Themen wie Resultanten, Diskriminanten und symmetrische Funktionen werden angesprochen.
J. Briidem
Einfuhrung in die analytische Zahlentheorie
1995. x, 238 S. Brosch. DM 68,-; oS 496,40; sFr 60,- ISBN 3-540-58821-3
Diese Einfiihrung in die analytische Zahlentheorie wendet sich an Studierende der Mathematik, die bereits mit der Funktionentheorie und den einfachsten Grundtatsachen der Zahlentheorie vertraut sind und ihre Kenntnisse in Zahlentheorie vertiefen mochten. Die ausfiihrliche, motivierende Darste11ung der behandelten Themen so11 den Einstieg in die Ideen und technischen Details erleichtem.
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Springer
Preisanderungen vorbehalten.
Springer-Verlag, Postfach 31 1340, Berlin, Fax 0 30 / 82787 - 3 01 /448 e-mail: [email protected] BA96.06.24a
P. Bundschuh
Einfuhrung in die Zahlentheorie 3., vollst. tiberarb. Aufl. 1996. XIV, 350 S. 7 Abb. Brosch. DM 54,-; oS 394,20; sFr 48,ISBN 3-540-60920-2
Die nunmehr 3. Auflage dieses Lehrbuchs wurde tiberarbeitet und auf den neuesten Stand gebracht, das Kapitel zum Satz des Fermat entsprechend ganzlich neu geschrieben. In dieser Einfiihrung in die Zahlentheorie wird der geschichtlichen Entwicklung besondere Aufmerksamkeit geschenkt. Dabei werden nicht grundsatzlich die ersten publizierten Beweise zitiert, vielmehr erfahrt der Leser den historischen Urheber eines Resultats und erhlilt Hinweise auf Verscharfungen und Verallgemeinerungen.
J. Neukirch
Aigebraische Zahlentheorie 1992. XIV, 595 S. 16 Abb. Geb. DM 98,-; oS 764,40; sFr 86,50 ISBN 3-540-54273-6
Die Darstellung fiihrt den Studenten in konkreter Weise in das Gebiet ein, laBt sich dabei von modernen Erkenntnissen tibergeordneter Natur leiten und ist in vielen Tei!en neu. Der grundlegende erste Tei! ist mit einigen neuen Aspekten versehen, wie etwa der "Minkowski-Theorie" und einer ausfiihrlichen Theorie der Ordnungen. iiber die Grundlagen hinaus enthlilt das Buch eine geometrische Neubegriindung der Theorie der algebraischen Zahlkorper durch die Entwicklung einer "Riemann-Roch-Theorie" yom ,,Arakelovschen Standpunkt", die bis zu einem "Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem" fiihrt, ferner eine moderne Darstellung der Klasssenkorpertheorie und schlieBlich eine neue Theorie der Theta-Reihen und L-Reihen, die die klassischen Arbeiten von Hecke in eine faBliche Form setzt. Das Buch ist an Studenten nach dem Vorexamen gerichtet, dariiber hinaus wird es sehr bald dem Forscher als weiterweisendes Handbuch unentbehrlich sein.
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, Springer
Preisanderungen vorbehalten.
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~IOI 07111131719123 291313*14347491535916167171 73 7779183 89191971L
°illSl / ,,-ABC DE FG HIJ/ KL MN OP/Q RS /T 0 3/ "-b/ "-/ c / a b 3 6 a / b / "- d"- / a b 6 9 b "-/ a / d a / ~/ / "- d 9
12 b / d b "- e / I c 12 15 c"- b 9/ "- e d / / "- c /9 15 18 a / d b I "-/c i b "- / 1/ 18 21 "-/ e a "- c/ b "-ah/ 9"- /a 21 24 /e c h /"- / 1"- d / 9 a c j "- 24 27 9 "- / / a h 1"- b j /"- 27 30 I d/ a/ b "- i/ 9/ b "- c 30 33 / I j a b/ / "- I b i 33 36 a d / c "- / h a / c a e / 36 39 j / 1/ "- 1 9 b "-ehd/ a/ 39 42 / "- h c 1/ b /"- / 42 45 / a / d a c/ e j / b d c a 45 48 "- b m/"- / j e 9 a d i I "- / c n 1 48 51 c / j d /"- k 9 c / a / I 0 e 51 54 "- / "-m a /k i / a "- b d 54 57 a e /1 b"- / "- a /p e d k / "- 57 60 b / "- a c 9 / d p"- a I / / 60 63 / 1 0 a b "-/ d / a / 63 66 / "- b a 9/ c e/bm 1/ "- h 9 66 69 n I "-/a e / "- k b c / e 69 72 c / I / a "- / k a "- / c e 9 d 72 75 a /"- p b c / /n "- 0 75 78 e 9 p a / h b ,,-/j e/ b /a k 78 81 "- / d "- j q / b e I h "- a / c / 81 84 1/ a j c "-d /q"- i 9/m b a / e 84 87 / I d "-/ / a c "-/In "-I c 87 90 0 e/ "-/ r "- a j i e / 1m "- 90 93 0 h n/ c/ a j/ "- b / r"-h 93 96 a/ I d I "- / a / c b d "- 96 99 "- d j / c m/ 9 d / a "- b n/ t a 99
102 u 1 /b"- k a e / 9 I i c/ h/ 102 105 /d a n b h r a k / m I "-t/oc / 105 108 /u c "- e I q/ 9/ c / r p "- b 108 III b e h / I /a"-o c a / k n c 111 114 a"- u/c "-/ b wa/p / d a 114 117 d / a c 9 "-I b I /"- c/ qm a j 117 120 "- hm/ "- d k / b I /"- a j i/ w 120 123 I a / x t "-a/ k "- b j r s /a / 123 126 / "- a p b j / "- k c/I"- / 126 129 / 9 / n b /"-d a / c 1"- h 129 132 i j "-p / u/ b a e 8 da"-/ 9 t 132 135 d a 1 /"- r/ "- e c b /0 h/ 9 b w 135 138 9 / c had u xm"-/ r/"- b e a 138 141 1 v"-c/ e 0 a n q / / I 9 "-a/d 141 144 /a j /"- t c b e h I / i / 144 147 m/j h "- d / e "-/ d/ 147 150 / i b dr/ ,,-a/hu "- a/ b q I 150 153 "- m b / / d n 11 a "- c / "- 8 153 156 na/ b / c "-/ /m ea"- 156 159 / "- b s C to 9 h/ "-/ a c "- 1 b 159 110107111131719123291313714143474915359161 67pl 73 77 79183891919711
Die kleinsten Primteiler der Zahlen n $ 16200. Die durch 2, 3 oder 5 teilbaren Zahlen sind nicht aufgefiihrt, da ihr kleinster Primteiler leicht aus der Dezimaldarstellung abzulesen ist. Die Zahlen jeder Spalte haben dasselbe Paar von Endziffern; es ist jeweils
Sieb des Eratosthenes --.JiOl 0307091131912127\31333739\434915157161636769173 79181871919397 991L
1UVWX Y/ '.....z / '..... / a '..... 1 4 a'..... / / c '..... /'..... a b/ 4 7 c/ d / b '..... / / a c'..... /a b 7
10/ b c a b / / '..... e a d / 10 13 /a '.....I/ab c / d e 9 / ca/'..... 13 16 / /d '.....1 b a '..... /d h / c 16 19 '..... d c b h a / e cga/'..... / '..... 19 22 1 j / b d / a 9 / 1 i e '..... 22 25 h d a /'..... / b i a'.....b/I e a /d 25 28 V / k e /'.....c b / / j c a i /'..... a 28 31 e a '..... k 1 a i / j d / e c'..... 1 d / :n 34 c h / a '..... d j /c'..... / d/ I'..... / a 34 37 /'..... j m / 9 c d'..... a k / c / b e 37 40 c eg'...../a 1 b / a /m b 40 43 '..... a I 1 c / e m/ i c / '..... b e a h d k 43 46 i b '..... /1 /'.....h I a/ 1 i a / 9 46 49 a / b / a '..... / '...../ a b / c 49 52 /'.....h a b d a / e 1/ cd'..... b '..... n / 52 55 /g '...../e dl/ n c / 9 / e '..... 55 58 / 9 '..... / c a '..... / / i 0 b 58 61 b 1 h e '..... b/ '..... jm /1 9 / d h'..... 61 64 9 cia '...../ I / h j b '..... / d e '..... a i p n 64 67 c / '...../k d'..... b i e n/a '..... / a 67 70 j / i / q a 1 /'..... d / 9 '..... p c / h j 1 70 73/ n o a b '.....h / / b 9 k p j '..... r c a/ 73 76 '..... / d c e a b / / a j q '..... / / i 76 79 / '.....h s / b a p c 1 a / q d/ m '..... c 79 82 I a e i c / p 9 d '..... / b / i 82 85 '.....jn / c/ r b i / a'..... d I'..... a 85 88 a d/ / '..... 9 k b / c a r b /'..... 88 91 c / a'..... / d a h / / s k n / e b 91 94/ d t '..... /'..... a/ b c k '..... / 94 97 sIb / '..... o 9 / /'..... i a e / / t h 97
100 p/ b i '.....g / q '..... a c s e / b / d 100 103 '.....a b d / q'..... a i / '..... t / a c 9 103 106 d v /a /'..... e d / j a I'..... b c a 106 109 '..... ·a /m n/ b a 1 j t c '..... / q e / b 109 112 db/'..... a/v '..... j b / / c I e /d'..... 112 115 / 9 b e h a c r '..... / /'..... 1 i d 0 9 n / 115 118 '..... / k / a b / 0 e '.....I/x '...../ p 118 121 / b n /'.....km e d i / c a/ p s '..... 121 124 q c '..... b 1 / d I b'...../g / a e 124 127 a t 0 / '..... e / j '.....h / b y k a c '.....n 127 130 / j e / T a I'.....g p/ b'..... v d a / 130 133 j k / c/ n '...../ a c 1/ e i b '...../1 133 136 I/m'.....l k i a d/ '...../c a q " / 136 139 / 1 c / k p a / b d ms/ '..... 0 b/ 139 142 '...../ amI h / ide k a b " c / x /1 b q 142 145 b s'..... d a p '..... / / b am / e
" a 145
148 c y a I / /g'..... 1 r/ s tv d k j 148 151 '..... e / a / 9 c x d 1 e / i b " / 151 154 p/c b / a " i / a / 1 d y b/ '..... 154 157 / h y d c " q / c/ " a 1 i b / 157 160 a / n r 9 " b / im" / / a / b 160 \1010307091131912127\31333739\4349\5157161636769\73 791818719193979911
in der Kopf- und FuBzeile notiert. Die Zeilen sind nach wachsenden Hundertern h = Ln/lOOJ geordnet, und zwar modulo 3: 1m linken, mittleren bzw. rechten Drittel ist h == 0 (mod3), h == 1 (mod3) bzw. h == 2 (mod3). Die Zahl h ist jeweils in den Randspalten festgehalten.
---.l103 091111712123272913339/4147/5153575916369171771818387 89193 991L
2/" /a a " / / b a 2 5 /" b da/ c/ a /" c 5 8" c / e / d "a / c € 8
11 " c / " b
/1 a c / "- / e "- 11 14 d ba/ "- 1 /a / 14 17 a e b ,,/ 9 b / he/ a ,,/ 17 20 / i / c a d /
" e c 1 / 20
23 / /"-dab a / b d / 23 26 c / i 9 "- / c "-/ b / 26 29 h d 9 e/ b / a " a"ce/h 29 32 a "-/ k h / b a/ e b/c"g 32 35 I" /a k"- / i / b 9 1 35 38 a 9 "- i / "- d / b k/ "a b/ 38 41 "-/ d a / h"-/ d" i 9 j k 1 / a 41 44 / "-/ c i "- d m / h b" /n " 44 47 b / k e /"j /n "- c a b / 47 50 e "j/ 0/ 1 a mg" a /" 50 53 jab /p c/ k" d 1/ h c / b 53 56 a o 1 h / b a i / k / a "- h 56 59 c d m 1 / b a c,,--/l n j / i 1 ka/ 59 62 / /a d b q / a " "-m c/ 62 65 /d b / "m j a 1 q/ e / "- c 65 68 ,,/ b c / ha/ c a/ o r m 68 71 a" b /" g/ d b a n 0 i"- / d 71 74 "I h a / b i/"- e b / 1 / 1 74 77 a"- / 1,,0 md / b c / 1 i a "- 77 80 k a 0 d / e " a r / "- /h I / 80 83 c/ k/" a 1 c b / ma "- b r /g 83 86 / q / 9 s k hb,,/ a c/ 86 89 e I/g " q / d / a b j/a"- s b 89 92 ma d "-/ /"-c j I a p g/ b 92 95 a 9 1 s / a / h c "- p/ bm ,,/ ike 95 98 b /"-1 a i 1 /0 /h "- a c 98
101 " n e k a / p "-/ / b m d / 101 104 u/
e " b/ "- k 1/ c 9 j" b / 104
107 / /0 b d"a 1/ j" a h/ i 107 110 u/d v p h,,/ m i/ a ,,/ a "- 110 113 s i a j / b "-/ hg" r 1 c l/ 113 116 h a b 1 / e v / c m i sw/"- / a "- 116 119 i b / q a b "- / / d c n a 119 122 e c "- b / a 9 / a / 0" c/ 122 125 / c/ "r / € C b a d h /i 125 128 / d/ u h 9 e 0 a / c b m q "a/ 128 131 /a " c d / b / I a /
" q n 131
134 a" 1 e a / $ / " i c a t / v 134 137 0 " / I" /1 b / j d / b a 137 140 " w/ga u c "- a b/"- / p b d 140 143 h"v /"-a y f / r k /" p c g/ 143 146 b / c j / "-t/ w" b a k c 9 / 146 149 / b a / i "- x n c / a " b 0 / a
" k 149
152 d n / 1 a t / q"/" / b h 152 155 9 a l"c k/h / v j q d 9 ,,/ 1 c 155 158 t a /"-0 j / a "-ru e/I / d a 158 161 s 0/ d z a n 1 ew"- / c v/"- t 161 11030911117121232729/3339/414715153575916369/717718183 87 89193 9911
Beispielsweise ist 3601 durch a = 13 teilbar, 16129 durch z = 127, wahrend etwa 9431, 9433, 9437, 9439 Prirnzahlen sind.
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