UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS ESCOLA DE ENGENHARIA
PROGRAMA DE PS GRADUAO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS
Eduardo Matos Bezerra
Determinao do Momento Fletor Resistente Flambagem Lateral com Toro de Vigas de Ao
Casteladas
2011
ii
Eduardo Matos Bezerra
Determinao do Momento Fletor Resistente Flambagem Lateral com Toro de Vigas de Ao Casteladas
Dissertao apresentada ao Programa de Ps-graduao em Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais, como parte dos requisitos necessrios obteno do ttulo Mestre em Engenharia de Estruturas.
Orientador: Prof. Dr. Ricardo Hallal Fakury
Belo Horizonte 2011
iii
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS ESCOLA DE ENGENHARIA
PROGRAMA DE PS GRADUAO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS
Determinao do Momento Fletor Resistente Flambagem Lateral com Toro de Vigas de Ao Casteladas
Eduardo Matos Bezerra
Dissertao apresentada ao Programa de Ps-graduao em Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais, como parte dos requisitos necessrios obteno do ttulo Mestre em Engenharia de Estruturas.
Comisso avaliadora: ________________________________________ Prof. Dr. Ricardo Hallal Fakury EE-UFMG - (Orientador) _________________________________________ Prof. Dr. Ana Lydia Reis Castro e Silva EE-UFMG - (Co-Orientadora) _________________________________________ Prof. Dr. Armando Csar Campos Lavall EE-UFMG _________________________________________ Prof. Dr. Gustavo de Souza Verssimo DEC-UFV
Belo Horizonte, 28 de abril de 2011
iv
DEDICATRIA
Aos meus pais.
v
AGRADECIMENTOS
Agradeo a Deus, pela fora para seguir em frente nos momentos difceis.
Ao meu orientador prof. Ricardo Fakury e co-orientadora prof. Ana Lydia, pela
pacincia, confiana, compreenso, amizade e, principalmente, pelas contribuies para
o incio do meu aprendizado acadmico.
Aos professores e funcionrios do Departamento de Estruturas da Escola de Engenharia
(UFMG), pela contribuio para minha formao acadmica.
Ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico), pelo
apoio financeiro.
Aos meus pais Romualdo e Estela e minha irm Valria, pelo incentivo.
Vvian, pelo companheirismo, incentivo, compreenso, dedicao e pacincia.
Aos colegas de mestrado pelo companheirismo durante o curso, em especial ao
Alexandre, Aline, Paula, Paulo, e meus amigos de Viosa, meus sinceros
agradecimentos.
vi
SUMRIO
LISTA DE FIGURAS ................................................................................................. ix
LISTA DE TABELAS .............................................................................................. xiv
LISTA DE SMBOLOS ........................................................................................... xvi
RESUMO ................................................................................................................. xix
ABSTRACT ............................................................................................................... xx
1 INTRODUO .............................................................................................. 1
1.1 Generalidades ..................................................................................................... 1
1.2 Fabricao das Vigas Casteladas ....................................................................... 2
1.3 Vantagens e Desvantagens das Vigas Casteladas .............................................. 3
1.4 Configuraes das Aberturas ............................................................................. 7
1.5 Modos de Colapso ............................................................................................. 9
1.5.1 Formao de um mecanismo Vierendel ou de cisalhamento ................... 10
1.5.2 Formao de rtula plstica ...................................................................... 10
1.5.3 Ruptura da solda entre as aberturas .......................................................... 11
1.5.4 Flambagem do montante da alma devido fora cortante ....................... 11
1.5.5 Flambagem por compresso do montante da alma ................................... 12
1.5.6 Flambagem lateral com toro ................................................................. 12
1.6 Objetivo ........................................................................................................... 12
1.7 Justificativa ...................................................................................................... 12
1.8 Metodologia ..................................................................................................... 13
2 FLAMBAGEM LATERAL COM TORO .............................................. 15
2.1 Definio do Fenmeno ................................................................................... 15
2.2 Fatores que influenciam ................................................................................... 16
2.3 Distribuio das Tenses Residuais ................................................................. 19
vii
2.4 Distoro da alma ............................................................................................ 22
2.5 Momento resistente nominal de acordo com as normas de projeto ................. 22
2.5.1 Norma brasileira ABNT NBR 8800:2008 ................................................ 22
2.5.2 Momento resistente nominal de acordo com a EN 1993-1-1:2005 .......... 26
2.5.3 Estudo comparativo entre a norma brasileira ABNT NBR 8800:2008 e a norma europia EN 1993-1-1:2005 ....................................................................... 27
2.6 Histrico ........................................................................................................... 29
3 ANLISE NUMRICA ................................................................................ 37
3.1 Generalidades ................................................................................................... 37
3.2 Modelo numrico ............................................................................................. 38
3.3 Propriedades do material.................................................................................. 40
3.4 Anlise numrica ............................................................................................. 41
3.5 Aferio do modelo numrico ......................................................................... 43
3.6 Vigas estudadas ................................................................................................ 45
4 RESULTADOS E AVALIAO DA ANLISE NUMRICA ................... 48
4.1 Generalidades ................................................................................................... 48
4.2 Vigas submetidas a momento fletor uniforme ................................................. 50
4.2.1 Espectro de resultados .............................................................................. 50
4.2.2 Informaes relevantes ............................................................................. 55
4.2.3 Anlise comparativa ................................................................................. 59
4.3 Vigas submetidas carga uniformemente distribuda ..................................... 62
4.3.1 Espectro de resultados .............................................................................. 62
4.3.2 Informaes relevantes ............................................................................. 67
4.3.3 Anlise comparativa ................................................................................. 69
4.4 Vigas submetidas a carga concentrada no meio do vo ................................... 71
4.4.1 Espectro de resultados .............................................................................. 71
4.4.2 Informaes relevantes ............................................................................. 76
4.4.3 Anlise comparativa ................................................................................. 77
viii
5 PROPOSIO DE PROCEDIMENTOS .................................................... 80
5.1 Generalidades ................................................................................................... 80
5.2 Procedimento com base na NBR 8800:2008 ................................................... 80
5.3 Procedimento com base na EN 1993-1-1:2005 ............................................... 82
5.4 Comparao entre procedimentos .................................................................... 83
5.4.1 Vigas submetidas a momento fletor uniforme .......................................... 83
5.4.2 Vigas submetidas carga uniformemente distribuda .............................. 85
5.4.3 Vigas submetidas carga concentrada na seo central ........................... 87
5.5 Avaliao dos procedimentos .......................................................................... 89
6 CONCLUSES ................................................................................................... 94
6.1 Generalidades ................................................................................................... 94
6.2 Sobre o procedimento proposto ....................................................................... 95
6.3 Sugesto para estudos futuros .......................................................................... 96
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ...................................................................... 97
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 Geometrias das aberturas (LIU & CHUNG, 2003) ...................................... 1
Figura 1.2 Vigas casteladas ........................................................................................... 2
Figura 1.3 Esquema de fabricao das vigas casteladas (GRUMBAUER BV, 2009) .. 2
Figura 1.4 Vigas casteladas com chapas planas inseridas na semi-altura (GRUMBAUER BV, 2009) .......................................................................... 3
Figura 1.5 Passagem de Dutos pelas Aberturas (CORUS, 2009) .................................. 4
Figura 1.6 Esquema de Fabricao de Viga Castelada de Altura Varivel (GRUMBAUER BV, 2009).......................................................................... 5
Figura 1.7 Viga com aberturas preenchidas com chapas junto aos apoios .................... 6
Figura 1.8 Viga castelada protegida contra incndio por argamassa projetada............. 7
Figura 1.9 Vigas casteladas de padro Peiner ............................................................... 8
Figura 1.10 Vigas casteladas de padro anglo-saxnico (adaptada da BS 5950-1:2000) ................................................................................................................... 8
Figura 1.11 Formao do mecanismo Vierendel (adaptada de DEMIRDJIAN, 1999) ... ................................................................................................................. 10
Figura 1.12 Ruptura da solda entre as aberturas (adaptada de DEMIRDJIAN, 1999) .... ................................................................................................................. 11
Figura 1.13 Flambagem da montante da alma devido fora cortante ....................... 11
Figura 2.1 Flambagem lateral com toro (adaptado de SAYED-AHMED, 2004) .... 15
Figura 2.2 Modos de flambagem de uma viga de seo I (adaptada de REIS, 1996) . 17
Figura 2.3 Descontinuidade da seo transversal (adaptada de REIS, 1996) .............. 17
Figura 2.4 Cargas estabilizantes e desestabilizantes ................................................... 18
Figura 2.5 Imperfeies geomtricas........................................................................... 19
Figura 2.6 Tenses residuais em perfis I laminado (adaptada de HACKBARTH, 2006) .................................................................................................................... 20
Figura 2.7 Tenses residuais em uma chapa aps o corte e em perfil I soldado (adaptada de HACKBARTH , 2006) .......................................................... 20
x
Figura 2.8 Diagrama tenso normal versus deformao com e sem tenses residuais ... .................................................................................................................... 21
Figura 2.9 Flambagem lateral com toro acompanhada da distoro da alma (adaptada de ELLOBODY, 2011) .............................................................. 22
Figura 2.10 Momento fletor resistente nominal MRk em funo da esbeltez ............ 25
Figura 2.11 Momento resistente MRk em funo da esbeltez da viga submetida a momento constante ................................................................................... 28
Figura 2.12 Momento resistente MRk em funo da esbeltez da viga submetida a carga uniformemente distribuda ............................................................. 28
Figura 2.13 Momento resistente MRk em funo da esbeltez da viga submetida a carga concentrada no meio do vo. .......................................................... 29
Figura 2.14 Esquema de ensaio das vigas em escala real ............................................ 30
Figura 2.15 Vigas em escala reduzidas aps os ensaios .............................................. 31
Figura 3.1 Representao dos elementos de casca S4 e S3 ......................................... 38
Figura 3.2 Discretizao da malha estruturada de elementos finitos .......................... 38
Figura 3.3 Distribuio das tenses residuais .............................................................. 39
Figura 3.4 Diagrama tenso versus deformao do ao (adaptada de EARLS, 1999) .... .................................................................................................................... 40
Figura 3.5 Modo de flambagem referente a flambagem lateral com toro................ 41
Figura 3.6 Grfico Momento versus deslocamento lateral .......................................... 42
Figura 3.7 Resultados de Souza (1999) e da modelagem deste trabalho (adaptada de BEZERRA, 2010) ....................................................................................... 44
Figura 3.8 Simulao de momento constante na viga ................................................. 46
Figura 3.9 Simulao da carga uniformemente distribuda ......................................... 46
Figura 3.10 Simulao da carga concentrada aplicada no montante central da alma ..... .................................................................................................................... 47
Figura 3.11 Simulao da carga concentrada na seo central com abertura .............. 47
Figura 4.1 Momento fletor resistente de vigas derivadas do perfil W610x140 submetidas a momento constante ............................................................... 50
xi
Figura 4.2 Momento fletor resistente de vigas derivadas do perfil W360x51 submetidas a momento constante ............................................................... 51
Figura 4.3 Momento fletor resistente de vigas derivadas do perfil W150x18 submetidas a momento constante ............................................................... 51
Figura 4.4 Curva momento versus deslocamento da VCP 532,5x171x11,6x7,2 com 10,8 m de vo .............................................................................................. 55
Figura 4.5 Distribuio de tenses de von Mises da viga VCP 532,5x171x11,6x7,2 com 10,8 m de vo ...................................................................................... 56
Figura 4.6 Deformada da viga VCP 532,5x171x11,6x7,2 com 10,8 m de vo depois que alcanou a capacidade resistente .......................................................... 56
Figura 4.7 Curva Momento versus deslocamento da VCP 532,5x171x11,6x7,2 com 5,5 m de vo ................................................................................................ 57
Figura 4.8 Distribuio de tenses de von Mises da viga VCP 532,5x171x11,6x7,2 com 5,5 m de vo ........................................................................................ 58
Figura 4.9 Distribuio de tenses de von Mises da viga VCP 532,5x171x11,6x7,2 com 1,78 m de vo. ..................................................................................... 58
Figura 4.10 Flambagem lateral com toro acompanhada de distoro da alma ........ 60
Figura 4.11 Seo transversal da viga VCP 229,5x102x5,8x7,1 com 4,67 m de vo ...... .................................................................................................................. 61
Figura 4.12 Modo de flambagem da viga VCP 229,5x102x5,8x7,1 com 0,76 m de vo .................................................................................................................. 61
Figura 4.13 Momento fletor resistente de vigas derivadas do perfil W610x140 submetidas a carga uniformemente distribuda ........................................ 62
Figura 4.14 Momento fletor resistente de vigas derivadas do perfil W360x51 submetidas a carga uniformemente distribuda ........................................ 63
Figura 4.15 Momento fletor resistente de vigas derivadas do perfil W150x18 submetidas a carga uniformemente distribuda ........................................ 63
Figura 4.16 Curva Momento versus deslocamento da VCA 925,5x230x22,2x13,1 com 17,48 m de vo ........................................................................................ 67
Figura 4.17 Distribuio de tenses de von Mises da viga VCA 925,5x230x22,2x13,1 com 17,48 m de vo. ................................................................................ 67
xii
Figura 4.18 Curva Momento versus deslocamento da VCA 925,5x230x22,2x13,1 com 6,8 m de vo ............................................................................................. 68
Figura 4.19 Formao das rtulas plsticas na VCA 925,5x230x22,2x13,1 de 6,8 m.68
Figura 4.20 Formao do mecanismo Vierendel da viga VCP 925,5x230x22,2x13,1 de 4 m de vo. ............................................................................................... 69
Figura 4.21 Modo de flambagem da viga VCA 532x171x11,6x7,2 de 3,16 m de vo ... .................................................................................................................. 70
Figura 4.22 - Momento fletor resistente de vigas derivadas do perfil W610X140 submetidas a carga concentrada no meio do vo ..................................... 71
Figura 4.23 Momento fletor resistente de vigas derivadas do perfil W360x51 submetidas a carga concentrada no meio do vo. .................................... 72
Figura 4.24 Momento fletor resistente de vigas derivadas do perfil W150X18 submetidas a carga concentrada no meio do vo ..................................... 72
Figura 4.25 Curva Momento versus deslocamento da VCP 229x102x5,8x7,1 com 4,66 m de vo ........................................................................................... 76
Figura 4.26 Distribuio de tenses de von Mises da viga VCP 229x102x5,8x7,1 com 4,66 m de vo, quando atinge o momento resistente ................................ 77
Figura 4.27 Seo da viga VCA 532,5x171x11,6x7,2 com distoro da alma submetida a carga concentrada no meio do vo ....................................... 78
Figura 4.28 Distribuio de tenses de von Mises da viga VCP 925,5x230x22,2x13,1 com 4,15 m de vo quando atinge o momento resistente ......................... 78
Figura 4.29 Modo de flambagem da viga VCA 925,5x230x22,2x13,1 de 4,15 m de vo ............................................................................................................ 79
Figura 5.1 Curvas momento versus comprimento para vigas originadas do perfil W610x140 submetidas a momento constante ............................................. 83
Figura 5.2 Curvas momento versus comprimento para vigas originadas do perfil W310x51 submetidas a momento constante ............................................... 84
Figura 5.3 Curvas momento versus comprimento para vigas originadas do perfil W150x18 submetidas a momento constante ............................................... 84
Figura 5.4 Curvas momento versus comprimento para vigas originadas do perfil W610x140 submetidas a carga uniformemente distribuda ........................ 85
xiii
Figura 5.5 Curvas momento versus comprimento para vigas originadas do perfil W310x51 submetidas carga a uniformemente distribuda .......................... 86
Figura 5.6 Curvas momento versus comprimento para vigas originadas do perfil W150x18 submetidas carga a uniformemente distribuda .......................... 86
Figura 5.7 Curvas momento versus comprimento para vigas originadas do perfil W610x140 submetidas a carga concentrada ............................................... 87
Figura 5.8 Curvas momento versus comprimento para vigas originadas do perfil W360x51 submetidas a carga concentrada ................................................. 88
Figura 5.9 Curvas momento versus comprimento para vigas originadas do perfil W150x18 submetidas a carga concentrada ................................................. 88
Figura 5.10 Diferena entre os resultados da anlise numrica e do procedimento baseado na NBR 8800:2008 para vigas submetidas a momento constante ................................................................................................................. 89
Figura 5.11 Diferena entre os resultados da anlise numrica e do procedimento baseado na NBR 8800:2008 para vigas submetidas a carga uniformemente distribuda ....................................................................... 90
Figura 5.12 Diferena entre os resultados da anlise numrica e do procedimento baseado na NBR 8800:2008 para vigas submetidas a carga concentrada ... ................................................................................................................. 90
Figura 5.13 Diferena entre os resultados da anlise numrica e o procedimento baseado na EN 1993-1-1:2005 para vigas submetidas a momento constante .................................................................................................. 91
Figura 5.14 Diferena entre os resultados da anlise numrica e a procedimento baseado na EN 1993-1-1:2005 para vigas submetidas a carga uniformemente distribuda ....................................................................... 92
Figura 5.15 Diferena entre os resultados da anlise numrica e o procedimento baseado na EN 1993-1-1:2005 para vigas submetidas a carga concentrada ................................................................................................................. 92
xiv
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 Valores para o fator de imperfeio para as curvas de flambagem ........... 26
Tabela 2.2 Curvas recomendada para diferentes sees transversais .......................... 27
Tabela 3.1 - Resultados para momento constante .......................................................... 43
Tabela 3.2 Resultados para carga concentrada ............................................................ 43
Tabela 3.3 Resultados para carregamentos uniformemente distribudo ...................... 43
Tabela 3.4 Propriedades geomtricas dos ensaios e resultados dos momentos obtidos Tabela 4.1 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCP 925,5x230x22,2x13,1 submetida a momento constante .................... 45
Tabela 4.2 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCA 925,5x230x22,2x13,1 submetida a momento constante ................... 52
Tabela 4.3 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCP 532,5x171x11,6x7,2 submetida a momento constante ............................... 53
Tabela 4.4 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCA 532,5x171x11,6x7,2 submetida a momento constante ..................... 53
Tabela 4.5 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCP 229,5x102x5,8x7,1 submetida a momento constante ........................ 54
Tabela 4.6 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCA 229,5x102x5,8x7,1 submetida a momento constante ....................... 54
Tabela 4.7 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCP 925,5x230x22,2x13,1 submetida a carga uniformemente distribuda ... .................................................................................................................... 64
Tabela 4.8 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCA 925,5x230x22,2x13,1 submetida a carga uniformemente distribuda .. .................................................................................................................... 64
Tabela 4.9 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCP 532,5x171x11,6x7,2 submetida a carga uniformemente distribuda .......... 65
Tabela 4.10 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCA 532,5x171x11,6x7,2 submetida a carga uniformemente distribuda ....... 65
Tabela 4.11 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCP 229,5x102x5,8x7,1 submetida a carga uniformemente distribuda ......... 66
xv
Tabela 4.12 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCA 229,5x102x5,8x7,1 submetida a carga uniformemente distribuda ......... 66
Tabela 4.13 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCP 925,5x230x22,2x13,1 submetida a carga concentrada.................... 73
Tabela 4.14 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCA 925,5x230x22,2x13,1 submetida a carga concentrada ................... 73
Tabela 4.15 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCP 532,5x171x11,6x7,2 submetida a carga concentrada...................... 74
Tabela 4.16 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCA 532,5x171x11,6x7,2 submetida a carga concentrada ..................... 74
Tabela 4.17 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCP 229,5x102x5,8x7,1 submetida a carga concentrada ....................... 75
Tabela 4.18 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCA 229,5x102x5,8x7,1 submetida a carga concentrada ....................... 75
xvi
LISTA DE SMBOLOS
Romanos maisculos
Ar rea do reforo da abertura;
Cb fator de modificao para diagrama de momento fletor no-uniforme;
Cbr fator de modificao para diagrama de momento fletor no-uniforme reduzido;
Cc fator de correo do momento crtico elstico devido ao processo de fabricao das vigas casteladas;
Cw constante de empenamento;
E mdulo de elasticidade do ao;
F fora concentrada;
F fora;
G mdulo de elasticidade transversal;
Iy momento de inrcia em relao ao eixo y;
J constante de toro;
Kopt rigidez tima da conteno lateral;
L comprimento da viga;
Lb comprimento destravado;
Lr comprimento relacionado ao inicio do escoamento;
Lr,cor comprimento relacionado ao inicio do escoamento corrigido;
M0cr momento crtico elstico das vigas casteladas com as propriedades determinadas no centro das aberturas;
MA momento fletor, em mdulo, na seo situada a um quarto do comprimento
MB momento fletor , em mdulo, na seo central do comprimento destravado;
MC momento fletor, em mdulo, na seo situada a trs quartos do comprimento
Mcr - momento crtico elstico;
Mmax momento fletor mximo, em mdulo, no comprimento destravado;
Mpl momento de plastificao;
Mr momento fletor correspondente ao incio do escoamento;
xvii
MRk - momento fletor nominal resistente;
P carga aplicada;
Rr fator de reduo para Cb;
V fora cortante;
W mdulo de resistncia elstico da seo;
XLT - fator de reduo para a flambagem lateral com toro calculado pela norma europia EN 1993-1-1:2005;
Z mdulo de resistncia plstico da seo.
Romanos minsculos
a0 - comprimento da abertura;
bf largura da mesa;
d altura total da seo transversal;
do altura da abertura da viga castelada;
fu resistncia ruptura do ao trao;
fy resistncia ao escoamento do ao;
h altura da alma;
h0 - altura da abertura;
q carga uniformemente distribuda;
ry raio de girao da seo em relao a eixo y;
tf espessura da mesa;
tw espessura da alma da viga.
Gregos
ngulo de toro;
LT - fator de imperfeio para a flambagem lateral com toro calculado pela norma europia EN 1993-1-1;
ndice de esbeltez; parmetro de esbeltez;
p parmetro de esbeltez limite para sees compactas;
r parmetro de esbeltez limite para sees semicompactas;
xviii
deslocamento lateral;
p tenso de inicio de escoamento sem tenses residuais;
r tenso residual;
rc tenso residual de compresso;
rt tenso residual de trao;
empenamento;
xix
RESUMO
As vigas casteladas so fabricadas a partir de perfis laminados a quente e possuem
vantagens como, maior rigidez a flexo, passagem de dutos de utilidades pelas
aberturas, so mais econmicas e bom aspecto esttico. Devido presena das aberturas
na alma da viga, podem aparecer diversos modos de colapso, que dependem da
geometria da viga, das dimenses das aberturas e das condies de contorno.
Assim neste trabalho proposto um procedimento para determinao do momento fletor
resistente nominal de vigas casteladas, de padro Peiner e anglo saxnico, para o
estado-limite ltimo de flambagem lateral com toro, para os casos em que as vigas
possuem vnculo de garfo (empenamento livre e toro impedida) nas extremidades e
estejam submetidas a momento uniforme, a carga uniformemente distribuda e a carga
concentrada na seo central. Para tal foi projetada e aferida uma modelagem numrica
pelo Mtodo dos Elementos Finitos, para anlise no-linear, prevendo comportamentos
elstico e inelstico e a influncia das tenses residuais, usando o programa ABAQUS
Os resultados foram comparados com valores de momento resistente a flambagem
lateral com toro obtidos pelo procedimento da norma brasileira ABNT
NBR 8800:2008 para vigas de alma cheia com os perfis originais e com perfis
hipotticos de mesma altura das vigas casteladas. Tambm foram feitas comparaes
com os valores obtidos aplicando-se a formulao da norma brasileira a vigas
casteladas, tomando-se as propriedades geomtricas de uma seo transversal no centro
de uma abertura, a fim de obter um procedimento de clculo de fcil utilizao prtica.
Os resultados numricos tambm foram comparados com a curva c da norma europia
EN 1993-1-1:2005.
Palavras-chave: Vigas de ao; Vigas casteladas; Flambagem lateral com toro.
xx
ABSTRACT
Castellated steel beams are fabricated from standard hot-rolled I-sections and have
many advantages including greater bending rigidity, economic construction, ease of
services through the web openings and good aesthetic appearance. However, the
castellation of beams results in different failures modes that depending on geometry of
beam, size of web openings and type of loading and lateral restraints conditions.
In this work, a procedure for determination of nominal resistance to bending moment
for castellated steel beams, considering the Peiner and the anglo-saxon patterns, for
lateral torsional buckling limit state is proposed. The beams are submitted to uniform
bending, uniform distributed and loading and concentrated load and the twisting
rotations at beam ends are prevented and the warping displacements are released. To get
this procedure a numerical analysis was elaborated and validated, that considers the
nonlinear response of the material, the residual stresses and geometrical nonlinear
behavior of the structure, using ABAQUS.
The results of the numerical analysis are compared to results obtained for similar plain
web and real profile using brazilian code NBR 8800:2008. The results are also
compared to results obtained using the procedures of brazilian code considering the
geometrical properties of the net section in the center of the holes of castellated beams.
All this comparisons have the purpose to get a practical and easy procedure for
determination of nominal resistance for castellated steel beams. The results are also
compared to standard EN 1993-1-1:2005.
Key-words: Steel beams; Steel Castellated beams; Lateral Torsional Buckling.
1 INTRODUO
1.1 Generalidades
Vigas com aberturas seqenciais na alma, denominadas usualmente vigas alveolares,
so bastante empregadas nos pases do primeiro mundo, mas ainda pouco usadas no
Brasil. No existem regras rgidas para a escolha da geometria das aberturas (alvolos),
mas estas, por facilidade de fabricao, geralmente possuem formas regulares, como
retangular, circular, octogonal, hexagonal e circular alongada (Figura 1.1).
a) Retangular b) Circular e octogonal
c) Hexagonal d) Circular alongada
Figura 1.1 Geometrias das aberturas (LIU & CHUNG, 2003)
2
A geometria de abertura mais utilizada a hexagonal (Figura 1.2), gerando as chamadas
vigas casteladas, que so tratadas neste trabalho.
Figura 1.2 Vigas casteladas
1.2 Fabricao das Vigas Casteladas
A fabricao das vigas casteladas feita normalmente a partir de um perfil laminado de
seo I de faces paralelas, cuja alma inicialmente cortada longitudinalmente em
zigue-zague trapezoidal (Figura 1.3). Em seguida, as duas metades so defasadas e
soldadas pelo eixo, formando as aberturas hexagonais em seqncia ao longo da alma.
Figura 1.3 Esquema de fabricao das vigas casteladas (GRUMBAUER BV, 2009)
3
1.3 Vantagens e Desvantagens das Vigas Casteladas
As vigas casteladas apresentam como maior vantagem o fato de, com praticamente a
mesma quantidade de ao dos perfis originais, possurem capacidade resistente ao
momento fletor muito superior destes ltimos, por causa da maior altura da seo
transversal. interessante citar que, caso ainda seja necessria maior capacidade
resistente, existe a possibilidade de inserir chapas planas retangulares entre as duas
metades cortadas do perfil original, obtendo-se assim uma viga com seo transversal
de altura ainda mais elevada (Figura 1.4). Nesse caso, as aberturas passam a ter forma
octogonal.
Figura 1.4 - Vigas casteladas com chapas planas inseridas na semi-altura
(GRUMBAUER BV, 2009)
Salienta-se que no Brasil a produo de perfis laminados de faces paralelas foi iniciada
apenas em 2002, pela Gerdau Aominas, com peas de altura de seo transversal
mxima de 610 mm. Uma viga com essa altura, em edificaes convencionais, sem
contar com a contribuio da laje de concreto (com essa contribuio se teria a chamada
viga mista de ao e concreto), consegue vencer um vo de cerca de 10 metros.
Obviamente, a viga castelada pode ser utilizada com eficincia para vos maiores.
4
Embora tenha sido mencionado o aumento da capacidade resistente ao momento fletor,
proporcionado pela elevao da altura da seo transversal, evidentemente que se eleva
tambm significativamente a rigidez flexo da seo transversal. Assim, as vigas
casteladas constituem uma soluo particularmente interessante quando existem
problemas relacionados a flechas ou vibraes de piso excessivas.
Sob ponto de vista econmico, as operaes de fabricao das vigas casteladas
apresentam custo relativamente pequeno, ou, em outras palavras, seu custo
amplamente compensado pelos aumentos da capacidade resistente e da rigidez. Esses
aumentos, por proporcionarem o cobrimento de maiores vos, permitem a reduo do
nmero de pilares e de elementos de fundao, levando a uma montagem mais rpida e
menos dispendiosa. Quando comparadas s trelias de cobertura no vencimento de
grandes vos, as vigas casteladas apresentam menores custos de fabricao, montagem e
manuteno.
Outra vantagem importante a possibilidade da passagem de dutos pelas aberturas
(Figura 1.5), dispensando-se cortes na alma ou aumento da altura da construo para
manuteno do p-direito dos pavimentos, necessrio quando os dutos passam sob as
vigas.
Figura 1.5 Passagem de dutos pelas aberturas (CORUS, 2009)
5
Uma vantagem adicional interessante o aspecto esttico das vigas casteladas, bastante
apreciado pelos arquitetos, que freqentemente as utilizam em locais nos quais ficam
visveis. Os arquitetos valorizam ainda o fato de que as aberturas proporcionam maior
iluminao e circulao de ar no ambiente.
As vigas casteladas tm fabricao bastante flexvel. possvel modificar sua
capacidade resistente alterando-se o padro de corte e tambm produzir peas de altura
varivel. Para isso, executa-se o corte com alinhamento levemente inclinado em relao
ao eixo do perfil, aps o qual uma das metades invertida e soldada outra, conforme
se v na Figura 1.6.
Figura 1.6 Esquema de fabricao de viga castelada de altura varivel
(GRUMBAUER BV, 2009)
Em contrapartida s vantagens, as vigas casteladas apresentam capacidade resistente
reduzida fora cortante, razo pela qual so mais apropriadas para grandes vos
sujeitos a cargas pequenas. Essa pequena resistncia fora cortante pode exigir, em
alguns casos, a colocao de reforo na alma, muitas vezes constitudos por chapas que
preenchem uma ou mais aberturas (Figura 1.7). O trabalho adicional para colocao das
chapas de preenchimento apresenta custo significativo, considerando, principalmente,
que cada chapa requer pelo menos seis segmentos de solda.
6
Figura 1.7 Viga com aberturas preenchidas com chapas junto aos apoios
Outra situao que pode exigir reforo na alma quando existem, simultaneamente,
altos valores de momento fletor e fora cortante em uma mesma regio da viga, como
comum nas vigas contnuas, nas vigas ligadas rigidamente em pelo menos uma das
extremidades e nas vigas em balano. Assim, o uso mais eficiente das vigas casteladas
se d quando os mximos valores desses dois esforos solicitantes ocorrem em sees
transversais distantes.
No caso de vigas que pertenam a construes que tenham que atender a rigorosos
critrios de resistncia contra incndio, as vigas casteladas podem perder uma parte de
sua competitividade, pois o material de proteo necessita ser por volta de 20% mais
espesso que nas vigas de alma cheia (a Figura 1.8 mostra uma viga castelada com
proteo contra incndio proporcionada por argamassa projetada),
(GRUMBAUER BV, 2009).
As vigas casteladas so ainda pouco eficientes na resistncia aos esforos decorrentes
de foras localizadas, especialmente quando atuam em uma ou nas duas mesas
comprimindo a alma. Assim, a reduzida capacidade resistente da alma a essas foras
pode tambm exigir a colocao de reforos, como se mostrou na Figura 1.7.
7
Figura 1.8 Viga castelada protegida contra incndio por argamassa projetada
1.4 Configuraes das Aberturas
Ao se projetar uma viga castelada, o primeiro passo definir os diversos parmetros
geomtricos relacionados s aberturas. Na Europa, tradicionalmente, so muito usadas
as vigas de padro Peiner, que possuem as seguintes caractersticas (Figura 1.9):
- relao entre altura da viga castelada e altura da abertura (d/do) igual 1,5 (observa-se
aqui que do tambm a altura do perfil original);
- lance (deslocamento que uma metade sofre em relao outra aps o corte, para
formar a viga castelada) igual altura da viga d;
- ngulo de corte dos lados inclinados da abertura hexagonal igual a 63,5.
Esses trs condicionantes definem completamente a geometria da viga castelada. Com
elas, o comprimento das soldas entre as duas metades se torna igual a d0/2 e a maior
largura das aberturas na direo do eixo da viga igual a d0.
8
Figura 1.9 Vigas casteladas de padro Peiner
Na Inglaterra, Estados Unidos e Canad, normalmente adotado um padro um pouco
diferente do anterior, conhecido como padro anglo-saxnico, caracterizado pelas
seguintes caractersticas (Figura 1.10), de acordo com a BS 5950-1:2000:
- relao entre altura da viga e altura da abertura (d/do) igual 1,5 (como no padro
Peiner);
- lance igual a 1,08 vez a altura da abertura d0;
- ngulo de corte igual a 60.
Figura 1.10 - Vigas casteladas de padro anglo-saxnico (adaptada da BS 5950-1:2000)
9
Esses condicionantes levam a uma pea com comprimento das soldas entre as duas
metades menor, igual a um quarto do lance, em comparao com o padro Peiner, no
qual o comprimento igual a um tero do lance.
Os padres Peiner e anglo-saxnico foram criados a partir de antigas limitaes dos
mtodos de produo. Atualmente, com o avano desses mtodos, possvel definir
outros padres que atendam de forma mais econmica s necessidades de um
determinado projeto.
Um outro padro, menos comum, denominado Litzka, usado na Europa. Em algumas
publicaes, como GRUMBAUER BV (2009), esse padro referenciado como igual
ao Peiner. Em outras, como o Manual Brasileiro para Clculo de Estruturas Metlicas
(1986), o padro Litzka apresenta caractersticas prprias.
1.5 Modos de Colapso
A presena de aberturas na alma no somente altera os modos de colapso das vigas de
alma cheia, como tambm possibilita o aparecimento de novos modos (KERDAL &
NETHERCOT, 1984). Os modos de colapso da viga castelada esto associados
geometria da barra, esbeltez da alma, geometria do corte (altura, largura, ngulo e
espaamento das aberturas) e ao tipo de carregamento.
Considerando um carregamento que produza momento fletor e fora cortante, o colapso
pode ocorrer por:
formao de um mecanismo Vierendel ou de cisalhamento; formao de rtula plstica; ruptura da solda entre as aberturas; flambagem do montante da alma devido fora cortante; flambagem por compresso do montante da alma; flambagem lateral com toro (acompanhada ou no de distoro da alma).
10
1.5.1 Formao do mecanismo Vierendel ou de cisalhamento
A formao do mecanismo Vierendel est relacionada com a presena de altos valores
de fora cortante na viga. H a formao de rtulas plsticas nos cantos das aberturas,
deformando-as para uma espcie de paralelogramo. Vigas de pequenos vos com
pequenas alturas dos ts superior e inferior e grande comprimento de solda entre duas
aberturas so propensas a esse modo de colapso. Em vigas casteladas sujeitas a foras
cortantes, os ts superior e inferior resistem cortante aplicada, assim como a
momentos primrios e secundrios (o momento primrio o momento fletor na seo
transversal da viga e o momento secundrio, tambm conhecido como momento
Vierendel, resulta da ao da fora cortante nos ts na direo horizontal das
aberturas). medida que o comprimento horizontal das aberturas diminui, o momento
secundrio tambm diminui. O colapso ir acontecer sobre a abertura em que a mxima
fora cortante estiver atuando ou, se mais aberturas estiverem sujeitas mesma fora
cortante, ento a abertura que estiver sofrendo o maior momento ser a que entrar em
colapso. A Figura 1.11 mostra esse tipo de colapso.
Figura 1.11 Formao do mecanismo Vierendel (adaptada de DEMIRDJIAN, 1999)
1.5.2 Formao de rtula plstica
Sob ao do momento fletor, os ts superior e inferior escoam por trao e
compresso formando uma rtula plstica. O momento resistente relacionado a esse
modo de colapso igual ao momento de plastificao, Mpl, no centro da abertura. Esse
momento dado pelo produto Zfy, onde Z o mdulo plstico no centro da abertura e fy a resistncia ao escoamento do ao.
11
1.5.3 Ruptura da solda entre as aberturas
A solda entre duas aberturas pode entrar em colapso quando a tenso horizontal de
cisalhamento atuante excede sua capacidade resistente (Figura 1.12). Esse modo de
colapso depende do comprimento entre as aberturas (quanto menor o comprimento,
maior a possibilidade de ocorrncia).
Figura 1.12 Ruptura da solda entre as aberturas (adaptada de DEMIRDJIAN, 1999)
1.5.4 Flambagem do montante da alma devido fora cortante
A fora cortante horizontal, F, atuando ao longo da solda produz um momento no
montante da alma, que equilibrado pela fora cortante V/2, conforme mostra a
Figura 1.13. Assim, a face AB fica tracionada e a face CD comprimida, podendo
flambar. Essa flambagem caracterizada por um giro em torno do eixo xx.
Figura 1.13 Flambagem da montante da alma devido fora cortante
(REDWOOD & DERMIDJIAN, 1998)
12
1.5.5 Flambagem por compresso do montante da alma
Uma fora localizada ou uma reao de apoio aplicada diretamente no montante da
alma pode resultar na sua flambagem. Essa flambagem, similar flambagem por flexo
de uma barra axialmente comprimida, no acompanhada do giro como na flambagem
devido fora cortante.
1.5.6 Flambagem lateral com toro
As vigas casteladas podem apresentar flambagem lateral com toro, fenmeno que
pode ser potencializado pela distoro da alma e ser explicado detalhadamente no
Cap. 2.
1.6 Objetivo
Este trabalho tem como objetivo a determinao do momento fletor resistente para o
estado-limite ltimo de flambagem lateral com toro de vigas casteladas de ao com
seo duplamente simtrica, de padres Peiner e anglo-saxnico. Para isso ser feita
uma anlise no-linear pelo Mtodo dos Elementos Finitos, prevendo comportamento
elstico e inelstico e a influncia das tenses residuais, usando o Programa ABAQUS
(HIBBIT et al.,1998).
Tambm tem como objetivo a proposio de procedimentos de clculo para a
determinao do momento resistente que sejam de fcil utilizao e que tenham por
base as formulaes da norma brasileira ABNT NBR 8800:2008 e da norma europia
EN 1993-1-1:2005 para vigas de alma cheia.
1.7 Justificativa
Apesar de as vigas casteladas apresentarem a vantagem de possuir maiores rigidez
flexo e resistncia ao momento fletor em relao aos perfis originais, e apresentarem
outras vantagens (ver subitem 1.3), so pouco conhecidas pelos projetistas e no so
13
previstas por normas brasileiras e pelas principais normas internacionais. Assim, o
desenvolvimento de pesquisas relacionadas a essas vigas importante para o incentivo
sua produo pelas empresas do setor de estruturas de ao e para futura incluso de
mtodos de clculo sobre as mesmas nas normas brasileiras e mesmo estrangeiras.
1.8 Metodologia
Para alcanar os objetivos deste trabalho, foram cumpridas as seguintes etapas de
atividade:
1) estudo da flambagem lateral com toro envolvendo todos os fatores que
influenciam o fenmeno;
2) reviso dos procedimentos de determinao do momento resistente a flambagem
lateral com toro da norma brasileira ABNT NBR 8800:2008 e europia EN 1993-
1-1:2005;
3) reviso bibliogrfica especfica, limitada aos casos de flambagem lateral com
toro em vigas casteladas;
4) desenvolvimento de um modelo numrico para determinao do momento fletor
resistente flambagem lateral com toro de vigas de ao prevendo
comportamentos elstico e inelstico e a influncia das tenses residuais usando o
programa ABAQUS (HIBBIT et al.,1998);
5) aferio do modelo numrico, utilizando-se resultados tericos, numricos e
experimentais disponveis na literatura;
6) processamento de vigas casteladas com alturas diferentes, procurando abranger o
comportamento de peas em uma ampla faixa da construo metlica, para o
obteno do momento fletor resistente;
7) distribuio dos momentos resistentes obtidos em curvas, relacionado-os com o
comprimento destravado;
14
8) comparao das curvas obtidas numericamente com aquelas traadas com o
procedimento da norma brasileira ABNT NBR 8800:2008 para vigas de alma cheia
com os perfis originais e com perfis hipotticos de mesma altura das casteladas. E
curvas obtidas aplicando-se, sem modificao a formulao da norma brasileira s
vigas casteladas, considerando as propriedades geomtricas da seo transversal no
centro das aberturas;
9) comparao das curvas obtidas numericamente com aquelas traadas com o
procedimento da norma europia EN 1993-1-1:2005, considerando-se as
propriedades geomtricas da seo transversal considerada no centro das aberturas;
10) proposio de procedimentos analticos para obteno do momento fletor resistente
nominal com base na norma brasileira e norma europia.
2 FLAMBAGEM LATERAL COM TORO
2.1 Definio do Fenmeno
A flambagem lateral com toro um estado limite-ltimo que pode ocorrer nas vigas,
causado pelo momento fletor. Nos perfis I, pode ser explicado pelo fato da parte
comprimida da seo transversal tornar-se instvel, mas por ser ligada continuamente
por meio da alma parte tracionada, o efeito estabilizador desta faz com que ocorra uma
translao lateral (z) acrescida de uma toro (z), conforme a Figura 2.1.
Figura 2.1 Flambagem lateral com toro (adaptado de SAYED-AHMED, 2004)
16
2.2 Fatores que influenciam
O momento fletor resistente nominal flambagem lateral com toro depende de vrios
fatores, entre os quais se destacam:
a) O comprimento destravado
Quanto maior o comprimento destravado (Lb), menor ser o momento fletor
resistente da viga.
b) As condies de contorno de sees com restrio flambagem lateral com toro
Os quatro deslocamentos importantes, que podem ser impedidos em uma seo
transversal, restringindo a possibilidade de ocorrncia da flambagem lateral com
toro, so a rotao e o empenamento , que uma funo de , decorrentes da
toro, o deslocamento do centro de toro no plano perpendicular ao de flexo, ,
e a rotao correspondente, . Quanto mais deslocamentos forem impedidos, maior
ser a capacidade resistente da viga. Em grande parte das vezes, na prtica, as
condies de contorno costumam apresentar as seguintes caractersticas:
- todos os deslocamentos (, , e ) impedidos, em um tipo de restrio flexo-
toro denominado vnculo engastado;
- os deslocamentos e impedidos e e liberados, em um tipo de restrio
denominado vnculo de garfo.
A Figura 2.2 ilustra os modos de flambagem, em planta, de uma viga de seo I
com esses dois vnculos em ambas as extremidades do comprimento destravado.
17
a) Vnculo engastado b) Vnculo de garfo
Figura 2.2 Modos de flambagem de uma viga de seo I (adaptada de REIS, 1996)
c) Variao do momento fletor
A situao mais desfavorvel aquela em que o momento fletor constante ao
longo do comprimento destravado, j que causa compresso de mesma magnitude
em uma parte da seo transversal em todo esse comprimento.
Dependendo da variao do momento fletor pode-se ter uma situao mais ou
menos agravada.
d) Descontinuidade da seo transversal de viga
Os recortes nas mesas das vigas (Figura 2.3.a), para facilitar sua ligao a outros
componentes da estrutura, podem reduzir significativamente o momento fletor
resistente nominal da viga flambagem lateral com toro. As aberturas na alma
(Figura 2.3.b), usadas, por exemplo, para a passagem de dutos, tambm podem
reduzir esse momento resistente.
a) Recorte na mesa b) Abertura na alma
Figura 2.3 Descontinuidade da seo transversal (adaptada de REIS, 1996)
18
e) Cargas transversais estabilizantes ou desestabilizantes
Cargas transversais aplicadas acima da semi-altura da seo transversal so
denominadas cargas desestabilizantes, pois potencializam o movimento de toro e o
momento resistente da viga se reduz (Figura 2.4.b). Ao contrrio, cargas transversais
aplicadas abaixo da semi-altura da seo transversal so denominadas cargas
estabilizantes, pois aliviam o movimento de toro e o momento resistente se eleva
(Figura 2.4.c). J as cargas aplicadas na semi-altura no so nem estabilizantes nem
desestabilizantes (Figura 2.4.a).
(a) Carga na semi-altura b) Carga desestabilizante (c) Carga estabilizante
Figura 2.4 Cargas estabilizantes e desestabilizantes
f) Tenses residuais
A magnitude e a distribuio das tenses residuais antecipam a passagem da
flambagem lateral com toro do regime elstico para o inelstico (ver item 2.3).
g) Imperfeies geomtricas
Por imperfeies geomtricas entende-se tanto a excentricidade da linha de ao
das cargas em relao ao centro de toro (Figura 2.5.a), quanto uma rotao inicial
(Figura 2.5.b) ou uma curvatura inicial perpendicular ao carregamento (Figura
2.5.c).
P P P P
P P
19
a) Excentricidade de carga b) Rotao inicial c) Curvatura inicial
Figura 2.5 Imperfeies geomtricas
2.3 Distribuio das Tenses Residuais
Denominam-se tenses residuais s tenses normais ou de cisalhamento que aparecem
durante o resfriamento no-uniforme de um perfil, decorrentes do processo de
fabricao. A distribuio das tenses residuais depende das dimenses da seo
transversal, da temperatura da laminao ou soldagem, das propriedades do material e
das condies de resfriamento. Como as tenses residuais so internas, ou seja, no so
causadas por aes externas, possuem resultantes de fora e momento nulas.
Em perfis laminados a quente, por exemplo, as regies das extremidades das mesas e do
centro da alma, nas quais existe menor quantidade de material concentrado, se resfriam
primeiro, diminuem livremente de volume e passam a resistir diminuio de volume
das demais partes, que ainda permanecem mais aquecidas. Como consequncia, quando
o resfriamento completado, aquelas partes que resfriaram primeiro ficam com tenses
residuais de compresso e as partes que se resfriaram mais tarde ficam com tenses
residuais de trao (Figura 2.6).
20
Figura 2.6 Tenses residuais em perfis I laminado
Na produo de perfis soldados, de modo geral, cortam-se longitudinalmente as chapas
a maarico. Nesse primeiro procedimento, as extremidades dessas chapas ficam mais
aquecidas, resfriando-se por ltimo, ficando assim tracionadas, ao contrrio da regio
central que fica comprimida. Em seguida, a soldagem com a chapa da alma aquece com
mais intensidade as regies prximas das soldas, que tambm resfriam por ltimo,
ficando tracionadas, e as demais regies comprimidas. A Figura 2.7 mostra a
distribuio de tenses residuais em uma chapa aps o corte das bordas longitudinais
por maarico e em um perfil I soldado.
Figura 2.7 Tenses residuais em uma chapa aps o corte e em perfil I soldado
21
fy
p = fy - r
sem tenses residuais (corpo de prova)
com tenses residuais
(barra)
r
Em uma barra com tenses normais residuais, o escoamento se inicia em uma tenso p,
inferior resistncia ao escoamento fy obtida no ensaio de um corpo de prova sem
tenses residuais. Essa tenso em que o escoamento se inicia a tenso normal causada
pela fora externa que, somada ao mximo valor da tenso normal residual (r), fornece
uma tenso igual resistncia ao escoamento do ao fy. Logo:
ryp f = (2.1)
Continuando a aumentar a fora externa, o escoamento vai atingindo gradativamente
toda seo transversal da barra, com as deformaes crescendo de forma no-linear com
as tenses normais. O escoamento se completa quando a tenso externa atuante se torna
igual resistncia ao escoamento do ao fy. A Figura 2.8 mostra o comportamento
descrito, vlido tanto para trao quanto para compresso.
Figura 2.8 Diagrama tenso normal versus deformao com e sem tenses residuais
De acordo com a ABNT NBR 8800:2008, a tenso residual de compresso nas mesas
das vigas, r, para efeito de consideraes da flambagem lateral com toro, deve ser
tomada igual a 30% da resistncia ao escoamento do ao utilizado. A utilizao desse
valor constante, dependente da resistncia ao escoamento, e tem o objetivo de
simplificar os procedimentos de clculo.
22
2.4 Distoro da alma
A flambagem lateral com toro envolve um deslocamento lateral e um giro da seo
transversal sem que ocorram deformaes no plano da seo transversal. Mas para vigas
com comprimentos destravados intermedirios, a flambagem lateral com toro pode
ocorrer juntamente com a flambagem local da alma mudando assim a geometria da
seo transversal da viga, ou seja, ocorre a distoro da alma (Figura 2.9). Dessa forma
essa distoro da alma diminui a rigidez a toro da viga, diminuindo assim o momento
fletor resistente.
Figura 2.9 Flambagem lateral com toro acompanhada da distoro da alma
(adaptada de ELLOBODY, 2011)
2.5 Momento resistente nominal de acordo com as normas de projeto
2.5.1 Norma brasileira ABNT NBR 8800:2008
2.5.1.1 Generalidades
A norma ABNT NBR 8800:2008 apresenta um procedimento para o clculo do
momento fletor resistente nominal flambagem lateral com toro de vigas com seo I
de alma cheia que atendam s condies:
23
vnculos de garfo nas extremidades do comprimento destravado;
foras transversais externas aplicadas na semi-altura da seo transversal;
seo transversal constante ao longo do comprimento destravado.
Adicionalmente, o procedimento no leva em conta a distoro da alma, que no
significativa em vigas de alma cheia.
Deve-se salientar que o procedimento ABNT NBR 8800:2008 conduz aos mesmos
resultados do procedimento da norma americana ANSI/AISC 360-05.
Salienta-se que a norma brasileira, seguindo a americana, trabalha com um ndice de
confiabilidade em torno de 2,6 e despreza as imperfeies geomtricas iniciais.
2.5.1.2 Procedimento
O momento fletor resistente nominal para o estado-limite ltimo de flambagem lateral
com toro, para vigas com seo I com dois eixos de simetria, fletidas em relao ao
eixo de maior momento de inrcia (eixo x), em regime elstico, dado por :
plw
b
y
w
b
ybcr MC
JLIC
L
EICM
+=
2
2
2
039,01
(2.2)
onde Lb o comprimento destravado, E o mdulo de elasticidade longitudinal do ao, Iy
o momento de inrcia em relao ao eixo y, J a constante de toro e Cw a constante de
empenamento.
J Cb chamado de fator de modificao para diagrama de momento no-uniforme.
Tem a funo de levar em conta a influncia da variao do momento fletor ao longo do
comprimento destravado Lb, e dado por:
0,33435,2
5,12
max
max +++= cBAb MMMMMC (2.3)
24
onde Mmax o momento fletor mximo, em mdulo, no comprimento destravado, MA o
momento fletor, em mdulo, na seo situada a um quarto do comprimento destravado,
MB o momento fletor , em mdulo, na seo central do comprimento destravado, e MC o
momento fletor, em mdulo, na seo situada a trs quartos do comprimento
destravado, medidos a partir da extremidade da esquerda.
Em trechos em balano, entre uma seo com restrio translao lateral e toro e a
extremidade livre, deve-se tomar Cb igual a 1,0.
A flambagem lateral com toro em regime elstico ocorre se o parmetro de esbeltez
for maior que r, sendo:
y
b
rL= (2.4)
y
w
y
yr I
CJr
JI 21
1
271138,1
++= (2.5)
onde ry o raio de girao da seo em relao ao eixo y e
( )EJ
Wf xry =1 (2.6)
( )4
2fy
w
tdIC
= (2.7)
sendo d a altura da seo, tf a espessura da mesa, fy a resistncia ao escoamento do ao,
Wx o mdulo de resistncia elstico da seo relativo ao eixo de flexo (eixo x) e r a
tenso residual de compresso nas mesas, tomada igual a 0,30fy.
Para que o colapso ocorra por meio da plastificao total da seo transversal, o
parmetro deve ser menor que p que dado por:
yp f
E76,1= (2.8)
Dessa maneira, o momento fletor nominal resistente, MRk, ser igual ao momento de
plastificao, Mpl.
25
Se o parmetro estiver entre p e r, a flambagem lateral com toro ocorre em regime
inelstico e o momento resistente dado simplificadamente pela equao de uma reta
que une os pontos (Mpl, p) e (Mr, r) multiplicada por Cb (Figura 2.10) e limitada por
Mpl:
plpr
prplplbRk MMMMCM
=
)()(
)(
(2.9)
onde
( )ryxr fWM = (2.10) MRk
Mpl
Mr
Mpl inelstica elstica
rp = Lb / ry
Cb = 1 0.FLT FLT
( ) plpr
prplplb MMMMC
Cb > 1 0.
crM
Figura 2.10 Momento fletor resistente nominal MRk em funo da esbeltez
O procedimento apresentado para o clculo do momento fletor resistente na norma
brasileira na verso de 2008 (ABNT NBR 8800:2008) apresenta inconsistncia terica
quando Cb maior que 1,0. O final do regime elstico deveria acontecer para um r
correspondente a Mcr, que seria igual a MRk, mas como Mcr funo de Cb, r tambm
deveria ser. No entanto, o valor de r foi mantido constante, com o valor correspondente
a Cb igual a 1,0, o que faz com que, a rigor, MRk perca seu significado fsico de
momento fletor correspondente ao final do regime elstico. Apesar disso os resultados
so consistentes com os resultados de testes e atendem o ndice de confiabilidade
previsto.
26
2.5.2 Momento resistente nominal de acordo com a EN 1993-1-1:2005
Segundo a norma europia EN 1993-1-1:2005, o momento resistente nominal referente
ao estado-limite ltimo de flambagem lateral com toro expresso por:
plLTRk MM = (2.11)
onde LT dado por:
1122
= LTLTLT (2.12)
sendo
( )[ ]22,015,0 LTLTLTLT ++= (2.13)
cr
plLT M
M= (2.14)
Na Eq. (2.13), LT um fator de imperfeio para as curvas de flambagem lateral com
toro, cujos valores so apresentados na Tabela 2.1, e na Eq. (2.14), Mpl o momento
de plastificao e Mcr o momento crtico elstico calculado de acordo com a teoria da
estabilidade.
Tabela 2.1 Valores para o fator de imperfeio para as curvas de flambagem
Curva de flambagem a b c d
Fator de imperfeio (LT) 0,21 0,34 0,49 0,76
A norma europia indica que as curvas sejam escolhidas em funo do tipo de seo
transversal conforme com a Tabela 2.2.
27
Tabela 2.2 Curvas recomendada para diferentes sees transversais
Seo transversal Limites Curva
seo laminada d/bf 2 a d/bf 2 b
seo soldada d/bf 2 c d/bf 2 d
outras sees - d
A EN 1993-1-1:2005 adota ndice de confiabilidade de 3,8 e, ao contrrio das normas brasileiras e americana, considera as influncias das imperfeies geomtricas iniciais.
2.5.3 Estudo comparativo entre a norma brasileira ABNT NBR 8800:2008 e a norma europia EN 1993-1-1:2005
Para efeito de comparao, foram traadas curvas do momento resistente nominal (MRk)
em funo de = Lb/ry de uma viga com seo I duplamente simtrica, com altura igual
a 500 mm, largura das mesas igual a 200 mm e espessura das mesas e da alma iguais a
19 mm e 8 mm, respectivamente, atravs dos procedimentos propostos pela norma
brasileira ABNT NBR 8800:2008 e pela norma europia EN 1993-1-1:2005. No caso da
norma europia, foram traadas apenas as curvas b e d, supondo que a viga possa ser
soldada ou laminada, pois, d/bf 2. Essas curvas foram obtidas para vigas submetidas a
momento fletor uniforme, a carga uniformemente distribuda e a carga concentrada no
meio do vo. Foram considerados fy igual a 345 MPa e E igual a 200 GPa. As curvas
so apresentadas nas Figuras 2.11 a 2.13.
28
Figura 2.11 Momento resistente MRk em funo da esbeltez da viga submetida a
momento constante
Figura 2.12 Momento resistente MRk em funo da esbeltez da viga submetida a
carga uniformemente distribuda
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 50 100 150 200 250 300 350
MRk
(kN
.m)
= Lb /ry
ABNTNBR8800:2008
EN199311:2005Curvab
EN199311:2005Curvad
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 50 100 150 200 250 300 350
MRk
(kN
.m)
= Lb /ry
ABNTNBR8800:2008
EN199311:2005Curvab
EN199311:2005Curvad
29
Figura 2.13 - Momento resistente MRk em funo da esbeltez da viga submetida a carga concentrada no meio do vo
Percebe-se claramente que os momentos resistentes obtidos a partir da norma europia
so mais conservadores que os da norma brasileira, pois aquela considera as
imperfeies geomtricas iniciais e adota ndice de confiabilidade maior.
2.6 Histrico
O estado-limite ltimo de flambagem lateral com toro em vigas de ao vem sendo
estudado desde a metade do sculo XIX. No caso das vigas casteladas, as aberturas nas
almas podem influenciar no valor do momento fletor resistente. De acordo com
NETHECORT & KERDAL (1982), os primeiros ensaios onde o fenmeno foi relatado
nessas vigas foram realizados por TOPRAC & CROOKE (1959).
PATTNAYAK & CHESSON (1974) estudaram a flambagem lateral de vigas casteladas
usando o mtodo da energia em regime elstico. As tenses residuais e as concentraes
de tenses nos cantos das aberturas foram desprezadas. Esses autores apresentaram
solues para o momento resistente elstico para os casos de carga uniformemente
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 50 100 150 200 250 300 350
MRk
(kN
.m)
Lb (m)
ABNTNBR8800:2008
EN199311:2005Curvab
EN199311:2005Curvad
30
distribuda e carga concentrada no meio do vo. Essas cargas foram aplicadas nas mesas
superior e inferior e no nvel do centro de toro das vigas.
NETHECORT & KERDAL (1982) desenvolveram um trabalho experimental para
estudar a estabilidade lateral de vigas casteladas, no qual foram ensaiadas oito vigas em
escala real. Os resultados obtidos foram comparados com os do procedimento de
clculo da B/20:1978 (texto preliminar que deu origem norma britnica BS 5950) para
vigas de alma cheia, mas com as propriedades geomtricas da seo transversal
calculadas no centro da abertura. A Figura 2.14 mostra a configurao do ensaio, onde
os pontos A, B, C e D esto contidos lateralmente e o trecho B-D sujeito a momento
fletor constante, pior condio para flambagem lateral. Todas as vigas sofreram
flambagem lateral com toro e apresentaram resultados compatveis com o
procedimento de clculo da B/20 (com as propriedades geomtricas obtidas no centro
da abertura).
Figura 2.14 Esquema de ensaio das vigas em escala real
NETHECORT & KERDAL (1982) tambm ensaiaram, em escala reduzida, oito vigas
casteladas e duas vigas de alma cheia, todas em balano com uma carga concentrada na
extremidade livre, apenas com objetivo de comparar qualitativamente a ocorrncia do
fe
qu
D
co
re
du
se
co
on
da
re
ze
TH
ci
m
pr
enmeno da
ue ambos os
ARWIN (1
onsiderar a
esistente f
uplamente s
er calculada
onstante de
1 0bL
a
=
nde a0 e h0 s
a alma, d
eforo (para
ero).
HEVENDR
irculares ou
momento fle
roposto um
a flambagem
s tipos apre
Figura 2
990) prop
reduo da
flambagem
simtricas, c
as pelo pro
toro J pel
)2(20
fw
rw
bdtAth
+
so o comp
a altura d
a vigas com
RAN & SHA
u retangular
etor resisten
mtodo an
m lateral com
sentaram co
2.15 Vigas
s uma equa
resistncia
lateral com
com abertur
cedimento
lo seguinte
)
primento e a
da seo tra
reforo ape
ANMUGAM
res e mostra
nte para fl
naltico para
m toro no
omportamen
s em escala
ao para m
de vigas co
m toro d
ras retangul
de vigas d
valor:
a altura da a
ansversal, bfenas de um
M (1991) fi
aram como
lambagem
a determina
os dois tipos
ntos semelh
reduzidas a
modificar a c
om abertura
e vigas de
lares na alm
de alma che
abertura, res
f a largur
m lado da alm
izeram um e
essas aber
lateral com
ao do mo
s de viga. A
hantes (Figu
aps os ensa
constante de
as na alma.
ao com s
ma, com ou s
eia, apenas
spectivamen
ra das mesa
ma, Ar deve
estudo em v
rturas influe
m toro. N
omento resi
Ao final, con
ura 2.15).
aios
e toro, de
Assim, o m
seo transv
sem reforo
multiplican
nte, tw a e
as e Ar a
e ser tomado
vigas com a
enciam no v
Nesse traba
istente, leva
31
ncluram
e modo a
momento
versal I,
o, podem
ndo-se a
(2.15)
spessura
rea do
o igual a
aberturas
valor do
alho, foi
ando em
32
considerao a variao na posio das aberturas ao longo do vo da viga, envolvendo
inclusive casos com mltiplas aberturas na alma. Esses autores realizaram um conjunto
de ensaios e compararam os resultados experimentais com os do mtodo analtico e
constataram a viabilidade deste ltimo.
BRADLEY (2003) fez um estudo sobre o estado-limite ltimo da flambagem lateral
com toro de vigas casteladas durante o processo de montagem. Para isso,
propriedades da seo transversal como momento de inrcia, constante de empenamento
e constante de toro foram calculadas de acordo com trs hipteses. A primeira
considera que a seo transversal formada por apenas dois ts, um superior e outro
inferior. A segunda despreza a abertura e considera como se a viga castelada fosse de
alma cheia. A terceira hiptese admite as propriedades ponderadas da seo transversal.
MOHEBKHAH (2004) estudou vigas casteladas biapoiadas usando um modelo
tridimensional de elementos finitos com o programa ANSYS, para investigar os efeitos
da esbeltez da viga sobre o fator de modificao para diagrama de momento fletor no-
uniforme (Cb), em uma anlise no linear em regime inelstico. Verificou-se que o
coeficiente Cb no constante para uma srie de valores de esbeltez de vigas casteladas.
Os valores de Cb determinados pela expresso da especificao americana AISC:1999,
para vigas em regime inelstico, so maiores do que os obtidos nesse estudo, e essa
diferena diminui medida que o comprimento destravado aumenta. O fator Cbr, (fator reduzido) obtido multiplicando-se um fator de reduo (Rf) pelo fator Cb calculado
pela AISC:1999. Com este estudo concluiu-se que o fator Cb no depende apenas das
condies de carregamento, mas tambm da esbeltez da viga. O autor estudou a viga
castelada CPE140 (140x73x0,69x4,7), padro Peiner, e para carga concentrada obteve
as equaes abaixo:
fpbrp RC 35,1= (2.16)
33
fwbrw RC 13,1= (2.18)
34
18,0
503,0
=dLC bb (2.22)
onde Lb o comprimento destravado e d a altura da viga castelada. J o valor de Cc,
obtido nesse estudo foi de 1,056. Assim, pode-se chegar ao momento crtico em regime
elstico pela equao:
+= GJEC
LLEI
CCM wbb
ycbe 2
2
2
2 (2.23)
RADIC et al. (2008) apresentaram dois diferentes tipos de clculo do momento crtico
de vigas casteladas, usando o mtodo dos elementos finitos e a expresso dada na
ENV 1993-1-1:1992/A2:1998, considerando a influncia das caractersticas geomtricas
de vigas casteladas em relao s vigas de alma cheia com dimenses da seo
transversal correspondentes. As pesquisas mostraram que as aberturas na alma tiveram
pouca influncia no valor do momento crtico para flambagem lateral com toro. Os
valores para momento crtico encontrados para vigas casteladas e para vigas
correspondentes de alma cheia so basicamente os mesmos calculados de acordo com a
ENV 1993-1-1:1992/A2:1998, utilizando as propriedades da seo no centro das
aberturas.
LAKUSIC et al.(2008) fizeram um estudo para determinar qual curva da norma
europia EN 1993-1-1:2005 melhor se adequa ao clculo do momento crtico de
flambagem lateral com toro de vigas casteladas. Em funo dos resultados obtidos,
para vigas em que d/bf superior a dois recomendaram a curva c, e para vigas em que
d/bf inferior a dois recomendaran a curva b, onde d altura da viga castelada e bf a
largura da mesa.
ZIRAKIAN & SHOWKATI (2006) estudaram o fenmeno da distoro da alma que
ocorre em vigas de comprimento intermedirio e almas esbeltas. A distoro da alma
acontece devido flambagem local da alma juntamente com a flambagem lateral. Essa
distoro da alma permite que as mesas girem com diferentes ngulos, reduzindo assim
a resistncia toro e, consequentemente, flambagem lateral com toro. Foram
35
ensaiadas seis vigas casteladas de ao em escala real submetidas a carregamento
concentrado na mesa superior. Todas as vigas sofreram flambagem lateral acompanhada
por distoro da alma. Os resultados obtidos a partir dos experimentos foram
comparados com curvas de P x de SOUTHWELL (1932) e curvas /P2 x de
MASSEY (1963), onde P carga aplicada e o deslocamento lateral. Tambm foram
comparados com formulaes tericas para momento fletor resistente flambagem
lateral com toro em regime elstico e inelstico, tendo sido obtidos resultados
satisfatrios.
KOHNEHPOOSHI & SHOWKATI (2009) estudaram uma srie de vigas casteladas
atravs do programa de elementos finitos ANSYS, com diferentes vos e sees.
Anlises no-lineares foram feitas para se obter a constante de toro. Para obter outras
propriedades como rea efetiva, momento de inrcia e coeficiente de cisalhamento,
foram feitas apenas anlises lineares. As vigas foram submetidas a momento constante,
carga uniformemente distribuda e carga concentrada.
GAMA et al. (2010) desenvolveram um modelo numrico que permitiu obter valores do
momento resistente elstico flambagem lateral com toro, em vigas casteladas,
atravs de uma anlise numrica com base no mtodo dos elementos finitos usando
programa ANSYS. Os valores obtidos foram comparados com os valores calculados
pelo procedimento da EN 1993-1-1:2005 e com o modelo numrico desenvolvido por
RADIC et al. (2008). Desse modo avaliaram, quantificaram e determinaram a influncia
das diferenas geomtricas caractersticas das vigas casteladas em relao s vigas de
alma cheia com as mesmas dimenses. Como esperado, os momentos resistentes para
vigas casteladas via ANSYS foram menores em comparao com os das vigas de alma
cheia, com diferenas de 4%. Concluram tambm que para vigas no regime elstico, o
momento resistente flambagem lateral com toro pode ser calculado da mesma forma
para as vigas de alma cheia levando em considerao as aberturas na alma.
SWEEDAN (2010) estudou a influncia das aberturas na alma de vigas celulares de ao
no valor do Cb e, conseqentemente, do momento resistente flambagem lateral com
toro. Para isso, desenvolveu um modelo numrico tri-dimensional via mtodo dos
elementos finitos atravs do programa ANSYS. As vigas foram submetidas a momento
constante, carregamento uniformemente distribudo e carga concentrada no meio do
36
vo. Concluiu-se que os valores de Cb sofrem reduo considervel em vigas curtas,
onde as tenses devidas s foras cortantes aumentam, ocorrendo distoro da alma
simultaneamente flambagem lateral com toro, diminuindo portanto o momento
resistente. Para vigas longas onde a flambagem lateral com toro ocorre em regime
elstico o valor de Cb muito prximo aos valores encontrados para vigas de alma
cheia. Nesse estudo tambm encontrou-se um fator de modificao que permite calcular
o momento resistente de vigas celulares com um erro de apenas 2%.
ELLOBODY (2011) desenvolveu um modelo 3D utilizando o Mtodo dos Elementos
Finitos para estudar a flambagem lateral com toro acompanhada de distoro da alma
de vigas casteladas de ao utilizando o programa ABAQUS (HIBBIT et al., 1998).
Foram realizadas anlises lineares e no-lineares, tendo sido consideradas as
imperfeies geomtricas e as no-linearidades do material. O estudo mostrou que a
distoro da alma causa uma reduo considervel do momento resistente flambagem
lateral com toro para vigas curtas. Seus resultados foram comparados com a norma
australiana AS4100-1998, verificando-se que os momentos resistentes calculados de
acordo com essa norma so superiores de 1% a 9%.
3 ANLISE NUMRICA
3.1 Generalidades
As anlises numricas foram feitas por meio do programa comercial ABAQUS
(HIBBIT et al., 1998), que tem por base o Mtodo dos Elementos Finitos (MEF). O
programa ABAQUS (HIBBIT et al., 1998) possui uma extensa biblioteca de elementos
que podem modelar virtualmente qualquer geometria. Possui ainda uma extensa lista de
modelos de comportamento de materiais capazes de simular a maioria daqueles
utilizados na engenharia.
O programa ABAQUS (HIBBIT et al., 1998) utiliza o mtodo dos elementos finitos,
que se baseia na aproximao das condies de equilbrio de um corpo sob o ponto de
vista Lagrangiano, ou seja, cada ponto material do corpo analisado como sendo uma
funo do tempo e de suas coordenadas, e as equaes de equilbrio so obtidas a partir
do princpio dos trabalhos virtuais.
Neste trabalho foram feitas anlises lineares e no-lineares a fim de se obter o momento
fletor resistente nominal para o estado-limite de flambagem lateral com toro de vigas
casteladas de ao de seo duplamente simtrica.
38
3.2 Modelo numrico
Como nos perfis estudados as espessuras da alma e das mesas so significativamente
menores que suas larguras e que o comprimento total da viga, optou-se por utilizar
elementos de casca para a anlise. Assim, para a elaborao do modelo numrico foram
utilizados elementos de casca S4 (elemento de 4 ns ) e S3 (elemento de 3 ns), que so
elementos de curvatura dupla, integrao completa, com deformao finita de
membrana e de aplicao geral. Ambos possuem seis graus de liberdade por n,
referentes a 3 translaes e a 3 rotaes segundo um sistema de 3 eixos. A Figura 3.1
apresenta a geometria desses elementos assim como seus pontos de integrao.
Figura 3.1 - Representao dos elementos de casca S4 e S3
Inicialmente, com o objetivo de se obter uma malha de elementos finitos estruturada,
utilizaram-se elementos tipo S3 para discretizar as regies prximas s aberturas das
vigas casteladas e elementos tipo S4 nas demais regies da viga. A Figura 3.2 apresenta
a discretizao da malha de elementos finitos das vigas casteladas estudadas submetidas
a momento constante.
Figura 3.2 - Discretizao da malha estruturada de elementos finitos
a) Elemento S4 b) Elemento S3
39
Aps alguns testes, concluiu-se que o modelo numrico com malha de elementos S4
estruturados na mesa e livres na alma fornecia valores muito prximos do modelo de
malha descrita anteriormente. Por essa razo decidiu-se utilizar este ltimo, que facilita
a modelagem das vigas submetidas a carregamento uniformemente distribudo e carga
concentrada no meio do vo.
As tenses residuais foram consideradas apenas nas mesas, com a distribuio
simplificada mostrada na Figura 3.3 (rc indica tenso residual de compresso e rt de trao). As tenses residuais na alma foram desconsideradas por terem influncia
desprezavel no valor do momento resistente flambagem lateral com toro (as mesas
so os elementos mais importantes no fenmeno). O valor mximo da tenso residual,
de 30% da resistncia ao escoamento, foi assumido tendo por base ser esse o valor
prescrito pela ABNT NBR 8800:2008.
Figura 3.3 - Distribuio das tenses residuais
As vigas foram sempre consideradas biapoiadas, com comprimento destravado igual ao
vo, com as duas extremidades com empenamento livre e toro impedida, simulando
vnculo de garfo.
A geometria da viga foi definida de acordo com o sistema de coordenadas global do
programa ABAQUS (HIBBIT et al., 1998), onde a origem est localizada meia altura
da seo e no meio do vo da viga. O eixo y est na direo da alma, e o eixo
longitudinal coincide com o eixo z. Para simular o vnculo de garfo, os deslocamentos
na direo y foram restringidos ao longo de toda alma, o deslocamento na direo z foi
rc = 0,3fy
rt = 0,3fy
40
restringido apenas no n situado a meia altura da alma em uma das extremidades da
viga, e o deslocamento na direo x foi restringido em todos os ns das extremidades da
viga. A rotao em torno do eixo z foi impedida tambm em todos os ns de ambas as
extremidades, no permitindo a toro, mas deixando livre o empenamento.
3.3 Propriedades do material
Nos modelos numricos foi adotado o diagrama tenso versus deformao do ao
mostrado na Figura 3.4, formado por uma zona elstica, que perdura at que a
resistncia ao escoamento fy seja alcanada, e por uma zona inelstica, constituda por
trs retas que, levando em conta a fase de encruamento, prosseguem at a resistncia
ruptura fu, conforme proposto EARL (1999) e usado por diversos pesquisadores, como
CASTRO & SILVA (2006).
fu
fy
y st b
(I) E
(II) (III)
(fu+fy)/2 1,01fy
u Figura 3.4 - Diagrama tenso versus deformao do ao (adaptada de EARLS, 1999)
O ao estrutural considerado foi o ASTM A572-GRAU 50 (usado na fabricao dos
perfis laminados no Brasil), que tem mdulo de elasticidade E igual a 200 GPa,
resistncia ao escoamento fy igual a 345 MPa e resistncia ruptura fu igual a 450 MPa.
As deformaes correspondentes ao final de cada zona foram retiradas do diagrama real
tenso versus deformao desse ao, conforme SALMON & JOHNSON (1990), de
modo que y, st, b e u so iguais a 0, 0,01726, 0,05394 e 0,15719 respectivamente.
41
Dessa maneira, o programa ABAQUS pde considerar o comportamento elasto-plstico
do ao com encruamento isotrpico e superfcie de escoamento de von Mises.
3.4 Anlise numrica
Primeiramente foi feita uma anlise linearizada de estabilidade, para se determinar as
cargas crticas elsticas correspondentes flambagem lateral com toro (autovalores) e
seus respectivos modos de flambagem (autovetores), Figura 3.5. Essa carga de
flambagem obtida como um multiplicador de uma carga de perturbao no estado
inicial da anlise.
Figura 3.5 - Modo de flambagem referente a flambagem lateral com toro
Em seguida foi feita uma anlise considerando as no-linearidades do material e da
geometria. Para isso o ABAQUS (HIBBIT et al., 1998) utiliza um processo
incremental-iterativo, o mtodo Riks modificado.
O problema de ps-flambagem exata no pode ser analisado diretamente devido
descontinuidade da resposta no ponto em que a carga atinge a carga crtica de
flambagem. Para que o problema produza uma resposta contnua, introduz-se uma
imperfeio inicial na geometria perfeita do modelo. Para isso multiplica-se o
autovetor correspondente ao modo de flambagem obtido na anlise linear por um fator
que representa uma imperfeio inicial e adiciona-se geometria perfeita
42
(HIBBIT et al., 1998). Neste trabalho utilizou-se o fator L/1000, tambm utilizado por
ELLOBODY (2011), sendo L o comprimento do vo destravado.
O algoritmo do mtodo de Riks modificado implementado no ABAQUS no consegue
obter a soluo (carga e deslocamento) para uma determinada carga ou deslocamento,
pois so incgnitas. Assim a anlise s termina quando a soluo satisfaz a algum
critrio de parada (HIBBIT et al., 1998). Neste trabalho, o critrio de parada adotado foi
o deslocamento lateral do ponto central da mesa superior entre 100 mm a 200 mm ou
quando a anlise atinge 100 incrementos.
Na anlise numrica, o momento crtico obtido multiplicando-se o maior fator de
carga fornecido pela anlise numrica pela carga aplicada ao modelo. A Figura 3.6
apresenta um grfico momento versus deslocamento lateral onde o momento M igual
ao momento aplicado multiplicado pelo fator de carga. Assim o momento resistente o
momento obtido pelo carga aplicada multiplicada pelo maior fator de carga.
Figura 3.6 Grfico Momento versus deslocamento lateral
0
5
10
15
20
25
30
35
0 20 40 60 80 100
M (k
N.m
)
deslocamento lateral (mm)
MRk
43
3.5 Aferio do modelo numrico
Primeiramente foram feitas anlises linearizadas de flambagem em vigas biapoiadas de
alma cheia de seo I duplamente simtrica em regime elstico com extremidades livres
para empenar e toro im
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