IES:Calderón:de:la:Barca:-:GijónDepartamento:de:dibujo
Apuntes:de:dibujo:técnico:1º:bachillerato
primera:parte:dibujo:geométrico
Material:educativo:fotocopiableEdición curso 2016 - 2017
IES:Calderón:de:la:Barca:3:GijónDepartamento:de:dibujo
Apuntes:de:dibujo:técnico:7º:bachillerato
primera:parte:dibujo:geométrico
Material:educativo:fotocopiable EdiciónlcursolhÁCGlálhÁCH
ÍndiceÁÁÁÁCCLhCL,hhLChLh,,LC,Lh,L,,Lí,LIííLCíLhíL,íLíIILCILhGGLCGLhHHLCHLhHL,HL,LCREPASOlC8LC8Lh8L,8Lí8LI8LG8LH9LC9Lh9L,9Lí9LI9LG9LHCÁLCCÁLhCÁLhLCCÁLhLhCÁL,CÁL,LCCÁL,LhCÁLíCÁLíLCCÁLíLhCÁLI
UsoldellalescuadralylellcartabónLDefinicioneslylconvencionalismosLTrazadoslfundamentaleslconlreglalylcompásLTrazadoslfundamentalesLlLugareslgeométricosLTrazadoslfundamentalesLlLugareslgeométricosLProporcionalidadLProporcionalidadLOperacioneslconlsegmentosLÁngulosLConstruccionesldelánguloslconlreglalylcompásLConstruccionesldelánguloslconlescuadralylcartabónLÁngulosLlPropiedadeslylparalelismoLArcolcapazLArcolcapazLlProblemaldelPothenotLTriángulosLTriángulospllíneaslylpuntoslnotablesLTriángulospllíneaslylpuntoslnotablesLTriángulosLlConstruccioneslsencillasLTriángulosLlConstruccioneslsencillaslhLCuadriláterosLCuadriláterosLlConstruccionesLCuadriláterosLlConstruccioneslhLPolígonoslregularesLPolígonoslregularesLlConstrucciónldadallalcircunferenciaLPolígonoslregularesLlConstrucciónldadolellladoLTransformacioneslgeométricasLTransformacioneslgeométricasLlIgualdadlyltraslaciónLTransformacioneslgeométricasLlGirolylsimetríaLTransformacioneslgeométricasLlHomoteciaLTransformacioneslgeométricasLlHomotecialhL
TangenciaslylenlaceslCLTangenciaslylenlaceslhLTangenciaslylenlacesl,LTangenciaslylenlaceslíLTangenciaslylenlaceslILTangenciaslylenlaceslGLTangenciaslylenlaceslHLCurvasltécnicasLCurvasltécnicaslhLCurvasltécnicasl,LCurvasltécnicaslíLCurvasltécnicaslILCurvasltécnicaslGLCurvasltécnicaslHLCurvaslcónicasLCurvaslcónicasLlElipseLCurvaslcónicasLlElipselhLCurvaslcónicasLlElipseLlTrazadoLCurvaslcónicasLlHipérbolaLCurvaslcónicasLlHipérbolalhLCurvaslcónicasLlHipérbolaLlTrazadoLCurvaslcónicasLlParábolaLCurvaslcónicasLlParábolalhLCurvaslcónicasLlParábolaLlTrazadoLCurvaslcónicasLlAplicacionesL
Trazadosfundamentales
Proporcionalidad
Ángulos
Triángulos
Cuadriláteros
Polígonosregulares
Transformacionesgeométricas
Tangencias:y:enlaces
Curvas:técnicas
Curvas:cónicas
7
8
9
0
5
6
7
8
9
76
IES0Calderón0de0la0Barca0-0GijónDpto.0de0dibujoApuntes0de0dibujo0técnico01º0bachillerato
000
Uso de la escuadra y el cartabón
Escuadra
Cartabón
Sujetar0las0plantillas0con0los0dedos0separados0sin0hacer0demasiada0presión
Paralelas horizontales y
líneas a 45º Paralelas verticales y
líneas a 45º
Sostenemos0el0cartabón0y0rotamos090º0la0escuadra
Perpendicular
Dibuja con escuadra y cartabón
Duplicación0del0cuadradosegún0Platón
Definiciones
Punto
Líneaprecta
Línepacurva
Semirrecta
Segmento
Plano
Ángulo
IESpCalderónpdeplapBarcapMpGijónDptoypdepdibujoApuntespdepdibujoptécnicop1ºpbachillerato
DEFINICIONESpYpCONVENCIONALISMOS
Signospypsímbolospgeométricos
0
(ÁAMediatrizAdeAunAsegmentoÁ
IESACalderónAdeAlaABarcaAPAGijónDptoÁAdeAdibujo=puntesAdeAdibujoAtécnicoA(ºAbachillerato
TR=Z=DOSAFUND=MENT=LESAAPAA=LGUN=SACONSTRUCCIONESACONAREGL=AYACOMPÁS
)ÁAPerpendicularAaAunaAsemirrectaAenAsuAorigenÁPrimerAprocedimientoÁA
áÁAPerpendicularAaAunaAsemirrectaAenAsuAorigenÁSegundoAprocedimientoAFbasadoAenAarcoAcapazAdeA25ºUFMásAadelanteAestudiaremosAarcoAcapazU
0ÁAPerpendicularAaAunaArectaAporAunApuntoAexteriorÁ
xÁAParalelaAaAunaArectaAaAunaAdistanciaAdada
9ÁAPerpendicularAaAunaArectaAporAunApuntoAdeAellaÁ
(
LasAconstruccionesAconAreglaAyAcompásAformanApartedeAlaAbaseAdeAlaAgeometríaAclásicaAgriegaÁAFormalmentebasadasAenAlosAtresAprimerosApostuladosAdeAEuclidesÁ
LaAreglaAnoAtieneAmarcasAoAgraduaciónYAseAutilizaAsóloparaAtrazarAlíneasArectasÁEnAinglésAtienenAunAtérminoAespecíficoAparaAesteAinstrumentoyAStraightedgeÁ
EnAlaAprácticaYAparaAtrazarAparalelasAyAperpendicularesYusaremosAescuadraAyAcartabónÁA
= B
=( 9
= (
90
)
=
(
9
0
=
( 9
P
r
3ÁAParalelaAaAunaArectaArAporAunApuntoAPÁ=plicamosAconsecutivamenteAloAvistoAenA0AyA9
TrazamosAunaAperpendicularAaAlaArectayAsobreAellaAllevamosAlaAdistanciaAdadaÁ=plicamosAlosAprocedimientosAvistosAenAestaApáginaÁ
ElAsímbolosignificaAAánguloArectoAF,A25ºU
yÁDLaDcircunferenciaDcomoDlugarDgeométricoDdeDlosDpuntosDqueDequidistanDdeDunoDfijoDllamadoDcentroÁ
IESDCalderónDdeDlaDBarcaDÉDGijónDptoÁDdeDdibujoApuntesDdeDdibujoDtécnicoDyºDbachillerato
TRAZADOSDFUNDAMENTALESDDÉDDLUGARESDGEOMÉTRICOSDBÁSICOS
HÁDLaDmediatrizDlugarDgeométricoDdeDlosDpuntosDdelplanoDqueDequidistanDdeDdosDpuntosDfijosDADyDBD
PÁDLaDmediatrizDconsideradaDcomoDlugarDgeométricodeDlosDcentrosDdeDlasDcircunferenciasDqueDpasanporDdosDpuntosDfijosDADyDB
3ÁDHallarDelDlugarDgeométricoDdeDlosDcentrosDdeDlascircunferenciasDdeDradioDdadoDrDqueDpasanDporDunDpuntoDfijoDPElDlugarDesÁÁÁ
6ÁDCircunferenciasDdeDradioDrDqueDpasanporDdosDpuntosDdados
5ÁDHallarDelDlugarDgeométricoDdeDlosDpuntosDdelDplanoqueDdistanDrDdeDunDpuntoDdadoDP
yÁ5
Lugar geométrico es el conjunto que componen
todos los puntos que poseen las mismas propiedades
geométricas, es decir, que cumplen determinada
condición (o condiciones)
El concepto de lugar geométrico es muy útil
para resolver problemas geométricos.
P
r r
P
A B
A B
A B
IESTCalderónTdeTlaTBarcaTfTGijónDptoqTdeTdibujoApuntesTdeTdibujoTtécnicoT(ºTbachillerato
TRAZADOSTFUNDAMENTALESTTfTTLUGARESTGEOMÉTRICOSTBÁSICOS
(q8
zqTCircunferenciaTqueTpasaTporTtresTpuntosTdadosTA7TBTyTCTLnoTalineadosÉ
mqTDistanciaTdeTunTpuntoTaTunaTrecta
(yqTDistanciaTdeTunTpuntoTPTaTunaTcircunferenciaTcq9qTDadosTdosTpuntosTA7TBTyTunaTrectaTrTobtenerTunTpuntoTPTdeTellaTqueTequidisteTdeTlosTdados
((qTTrazarTunaTcircunferenciaTqueTpaseTporTunTpuntoTdado7TPTyTequidisteTdeTotrosTtresTtambiéndados7TA7TBTyTC
A
B
C
O
Pr
d
d
c
O
P
A
B
rP
A
B
C
O
P
IESPCalderónPdePlaPBarcaPUPGijónDpto3PdePdibujoApuntesPdePdibujoPtécnicoPxºPbachillerato
PROPORCIONALIDAD
'
Razón Proporción:PigualdadPdePrazones
TeoremaPdePThales
CuartoPproporcionalPaPtresPsegmentosPdadosPa"Pb"Pc TerceroPproporcionalPaP'PsegmentosPdadosPa"Pb
SePlee:POaPesPaPbO SePlee:POaPesPaPbPcomoPcPesPaPdOOUnoPesPaPtresO
OUnoPesPaPtresPcomoPdosPesPaPseisO
x
y
x
y
'
7=
x
'
P
P
"Un haz de paralelas equidistantes intercepta a dos concurrentes según segmentos iguales en cada una".
ExtensiónPdelPteorema:"Segmentos cualesquiera pertenecientes
a una de las concurrentes,
llevados mediante paralelas sobre la otra,
producen en esta última
segmentos proporcionales
a los primeros".
A
B
C
A:
B:
C:
AB
AC
A:B:
A:C:= yPtambiénP
AB
A:B:
BC
B:C:=
x
'y
45
7v
DivisiónPdePunPsegmentoPenPunPnúmeroPcualquieraPdePpartesPiguales
A Bx ' y 4 5 7 vU A B
a
b
c
a: b: c:
DivisiónPdePunPsegmentoPenPpartesPproporcionalesPaPotrasPdadas
a b
c
x
a b
b
x
=ab
cx =
ab
bx
OPbien:
Observa que si intercambiamos
los términos b, c la proporción no varía.
a
b
c
x
IESPCalderónPdePlaPBarcaPfPGijónDptoáPdePdibujoApuntesPdePdibujoPtécnicoPqºPbachillerato
PROPORCIONALIDAD
"áq
MediaPproporcionalConstrucciónPdePlaPmediaPproporcionalPxentrePdosPsegmentosPdadosPavPbPempleando la propiedad de la altura.
Media proporcional
B C
A
h
H
ObservaPlaPfiguraáPElPtriánguloPBACPesPrectánguloáPLaPalturaPhPdividePaPsuPhipotenusaPenPdosPsegmentosPnvPmá
AdemásvPlaPalturaPdividePaPBACPenPdosPtriángulosPBHAPyPAHCáEstosPsonPtambiénPrectángulosPyPsemejantesPaPBACPxporquePtienenPlosPmismosPángulosPxrecuerdaPOángulosPdePladosPrespectivamentePperpendicularesPtienenPsusPángulosPigualesOgá
LuegoP
n
h
h
mh"P=PnPPm= á
TeoremaPdePlaPaltura"La altura de un triángulo rectángulo
es media proporcional entre los segmentos
que determina sobre la hipotenusa".
AdemásPatendiendoPaPlaPsemejanzaPentrePBACPyPcadaPunoPdePlosPBHAPyPAHCvPsePcumple
c"P=PaPPnPPPPPPPPPPyPPPPPPPPPPPb"P=PaPPm
TeoremaPdelPcateto"Un cateto es medio proporcional en la
hipotenusa y la proyección ortogonal
de dicho cateto sobre ella".
áá
MediaPproporcionalConstrucciónPdePlaPmediaPproporcionalPxentrePdosPsegmentosPdadosPavPbPaplicando la propiedad del cateto.
a
b
a
b
Obtención de la media proporcional aplicando potencia de un punto respecto a una circunferencia
n m
ab
PonemosPaPyPbPunoPaPcontinuaciónPdePotroyPtrazamosPlaPsemicircunferenciaPdePdiámetroPaPHb
a
b
SuperponemosPaPyPbPyPtrazamosPlaPsemicircunferenciaPdePdiámetroPa
xx
x"P=PaPPbá x"P=PaPPbá
bc
P
T
O
A
B
PT"P=PPAPPPBP=PkPxconstanteg
x
á
á
x"P=PaPPbá
aP=PPAbP=PPB
SuperponemosPlosPdatosPaPyPbPyPtrazamosPunaPcircunferenciaPdePdiámetroPsuPdiferenciaáLaPtangentePPTPesPlaPmediaPentrePaPyPbP
Nota: veremos tangencias y potencia de
un punto con más detalle más adelante.
ab
IESOCalderónOdeOlaOBarcaO=OGijónDptovOdeOdibujoApuntesOdeOdibujoOtécnicoOxºObachillerato
OPERACIONESOCONOSEGMENTOS
/v/
SumaOdeOsegmentosOOOOaOfOb RestaOdeOsegmentosOOOOOOOaO=Ob
ProductoOlinealOgráficoOdeOdosOsegmentosOb,OcdadoOelOsegmentoOuO=Ox,OunidadSeOresuelveOutilizandoOlaOconstruccióndelOcuartoOproporcional,OhaciendoaO=OxOparaOqueOxO=ObOOc
DivisiónOlinealOgráficaOdeOdosOsegmentosOc,OadadoOelOsegmentoOuO=Ox,Ounidadv
a
b
c
x=
v
AhoraOhacemosObO=OxOparaOqueOOxO=Oc
a
ObtenciónOdelOsegmentoOxzaOdadoOelOsegmentoOaOyOelOunidad,OuO=Ox
AplicamosOlaOconstrucciónOdelOterceroOproporcional
a
b
b
x= HacemosObO=OxOparaOqueOxO=
x
a
ObtenciónOgráficaOdeOlaOraízOcuadrada
UtilizamosOmediaOproporcionalOaplicandoOlaOpropiedaddeOlaOaltura,OcuandoOunoOdeOlosOsegmentosOenOlosOquedivideOaOlaOhipotenusaOesOelOsegmentoOunidadO=Ox
a
uO=Ox
uO=Ox
a
cuO=Ox
cuO=Ox
b
c
a
b
a
b
a b
aOfOb
a
b
aO=Ob
x
b x
c
a
c
xx
ax
aa
xx
x
IES3Calderón3de3la3Barca3z3GijónDptoá3de3dibujoApuntes3de3dibujo3técnico3)º3bachillerato ÁNGULOS
3
Ángulo:3porción3del3plano3comprendidaentre3dos3semirrectas3concurrentesá
Los ángulos son muy importantes en geometría. Forman parte de innumerables construcciones y aplicaciones.
lado
lado
vértice
Construcciónzdezunzángulozigualzazotro(transportezdezunzángulo)
Dato:
) 2 3
Sumazdezángulos Diferenciazdezángulos
A
B
A3M3BA3z3B
B
A
B
Bisectrizzdezunzángulo
Sobre3ambos3lados3se3toman3puntos3AT3B3equidistantesdel3vértice3y3se3halla3otro3punto3M3equidistante3de3AT3B3
BisectrizzdezunzángulozconzelzvérticezinaccesiblePrimerzprocedimiento:Trazamos3una3secante3y3dibujamos3las3bisectricesde3los3ángulos3interiores
BisectrizzdezunzángulozconzelzvérticezinaccesibleSegundozprocedimiento:Trazamos3una3paralela3a3uno3o3dos3ladospara3conseguir3un3ángulo3con3vértice3al3cual3letrazamos3la3bisectriz3auxiliar
bisectriz bisectrizM3,punto3medio3de3ABq
A
B
bisectrizA
B
M
bisectriz3auxiliar
IES3Calderón3de3la3Barca3-3GijónDpto.3de3dibujoApuntes3de3dibujo3técnico31º3bachillerato CONSTRUCCIONES0DE0ÁNGULOS
3.1
Construcción0de0un0triángulo0equilátero0dado0el0lado
Construcción0de0un0ángulo0de062º
Ángulos0sin0ayuda0del0transportador0utilizando0sólo0regla0y0compás
Construcción0de0un0ángulo0de032º
Construcción3del3ángulo3recto:Ver3página313gtrazados3fundamentalesg
15º0=0Bisecando0un0ángulo0de032º 45º0=0bisecando0un0ángulo0de092º
75º0=045º04032º 125º0=045º04062º 122º0=062º04062º
135º0=092º0445º 152º0=092º04062º
IES3Calderón3de3la3Barca3-3GijónDpto.3de3dibujoApuntes3de3dibujo3técnico31º3bachillerato CONSTRUCCIONESbDEbÁNGULOS
3.2
Construcciónbdebángulosbutilizandobsólobescuadrabybcartabón
9vº 45º .35º 3vº 6vº .5vº .2vºb66vb+6vbób9vb+3v2
75ºb645b+3v2 .v5ºb675b+3v2 .5º .65º
LugarbgeométricobdebTales
Se)denomina)así)a)cualquier)semicircunferencia
de)diámetro)dado)BC)cuya)propiedad)es)que
cualquier)punto)A)de)ella)es)vértice)de)un
ángulo)recto)cuyos)lados)pasan)por)los)extremos
B,)C)de)dicho)diámetro)(el)lugar)completo
es)la)circunferencia).
Es)un)LG)importante)que)se)aplica)por)ejemplo
en)tangencias)y)cuaternas)armónicas.
Nuevabconstrucciónbdebángulosbrectosm
Otro3procedimiento3para3trazar3la3perpendiculara3una3recta3en3un3punto3A3de3ella
B C
A B
O
C
IES3Calderón3de3la3Barca3z3GijónDpto.3de3dibujoApuntes3de3dibujo3técnico31º3bachillerato ÁNGULOSººPropiedadesººParalelismo
3.3
Paresºdeºángulosºqueºseºformanºentreºdosºparalelasºyºunaºsecante
Losºtresºángulosºinterioresºdeºunºtriánguloºsumanº180ºObserva(la(igualdad(de(los(ángulos(alternos(internos
que(se(forman(al(trazar(una(paralela(a(la(base(por(el(
vértice(opuesto.
A B
C D
E F
G H
Opuestos3por3el3vértice3333333A = D ; B = C ; E = H ; F = G
Correspondientes:3Uno3exterior3y3otro3interior3a3las3paralelas3y3ambos3al3mismo3lado3de3la3secante
Alternos3internos:3Uno3a3cada3lado3de3la3secante3y3ambos3interiores3a3las3paralelas
Alternos3externos:3Uno3a3cada3lado3de3la3secante3y3ambos3exteriores3a3las3paralelas
Losºángulosºformadosºporºdosºrectasºincidentestienenºsusºbisectricesºperpendiculares
ÁngulosºdeºladosºrespectivamenteºperpendicularesºsonºigualesObserva(que(los(dos(triángulos(que(se(forman(
son(rectángulos(y(poseen(ángulos(opuestos(iguales
RectasºantiparalelasDos(rectas(r,(s(son(antiparalelas(a(otras(dos(r',(s'
si(se(cumple(que(los(pares(de(rectas(homólogas
(r(homóloga(de(r'(y(s(homóloga(de(s')
se(cortan(bajo(ángulos(iguales(B
Los(ángulos(formados(por(pares(de(antiparalelas(
son(iguales.
A = E ; B = F ; C = G ; D = H
C = F ; D = E ;
A = H ; B = G
C
F
D
E
paralela(a(la(base
D = EC = F
V
VxV3=3Vx
rx
r
sxs
V
Vx
V3=3Vx
B
B
r
s
bisectriz
bise
ctriz
r
rx
sxs
IES3Calderón3de3la3Barca383GijónDpto03de3dibujoApuntes3de3dibujo3técnico31º3bachillerato ARCO CAPAZ
304
Construcción del arco capaz de un ángulo dado cCon9centro9en9un9punto9cualquiera9de9la9mediatriz
de9AB9construimos9el9ángulo9dado9c9de9manera9que
uno9de9sus9lados9sea9dicha9mediatriz.
Luego9lo9desplazamos9mediante9paralela9hasta9que
su9otro9lado9pasa9por9A9
Otro procedimientoSituamos9el9ángulo9dado9como9semiinscrito,9
con9uno9de9sus9vértices9en9uno9
de9los9puntos9dados9A,9B
(Construimos9el9ángulo9con9uno9de9sus9lados
en9el9segmento9AB9y9su9vértice9en9A9o9en9B
y9completamos9hasta990º9que9nos9da9el9
centro9O9donde9un9lado9corta9a9la9mediatriz9de9AB
Arco3capaz:3lugar3geométrico3que3ocupan3los3vértices3de3un3ánguloO3de3abertura3constanteO3cuyos3lados3pasan3por3dos3puntos3fijos3AO3B
Lugar geométrico de Tales
Se9denomina9así9a9cualquier9semicircunferencia
de9diámetro9dado9BC9cuya9propiedad9es9que
cualquier9punto9A9de9ella9es9vértice9de9un
ángulo9recto9cuyos9lados9pasan9por9los9extremos
B,9C9de9dicho9diámetro9(el9lugar9completo
es9la9circunferencia).
Observa3lo3que3ocurre3si3desplazamos3verticalmente3el3centro3del3arco0
B C
B C
B C
A B
O
Datos:3ángulo3csegmento3AB
A B
O
Arco capaz completo de un ángulo rectoEs3la3circunferencia3de3diámetro3AB3
A BO
A B
O
Arco capaz del suplementarioCompletando3la3circunferencia3
c
180º383c
c
c
c
IES3Calderón3de3la3Barca3z3GijónDptof3de3dibujoApuntes3de3dibujo3técnico31º3bachillerato ARCO CAPAZ Aplicaciones
3f5
Problema de la carta de Pothenot
Determinar3en3la3carta3marina3la3posición3de3un3barco3desde3el3cual3se3ven:Punta3de3la3Esparteña3y3Playa3del3Muelle3bajo3un3ángulo3de330ºPlaya3del3Muelle3e3Isla3del3Ciervo3bajo3un3ángulo3de3135º
Otras aplicaciones
Hemos3visto3en3construcción3de3triángulos3otras3aplicaciones3de3arco3capazf
Solución:3construir3dos3arcos3capaces3y3su3intersección3define3la3posición3del3barcof
IES4Calderón4de4la4Barca404GijónDpto>4de4dibujoApuntes4de4dibujo4técnico48º4bachillerato TRIÁNGULOS
x
Notación
A B
C
c
ab
ClasificaciónAsegúnAsusAlados
ClasificaciónAsegúnAsusAángulos
Para4construir4un4triángulo4son4necesarios4tres4datos4Ulados94ángulos94líneas4notables>>>m>Uno4de4los4datos4debe4ser4una4magnitud4lineal>
EquiláteroAAAAa4=4b4=4c
ab
c
Isóscelesa4=4b4=4c
Escalenoa4=4b4=4c
ab
c
ab
c
ab
c
A B
CAcutánguloA94B94C4<4zLº
RectánguloUn4ángulo4=4zLº
ObtusánguloUn4ángulo4>4zLº
Cada4lado4es4menor4que4la4suma4de4los4otros4dos>
Los4tres4ángulos4de4un4triángulo4suman4siempre48TLº>
Polígono4que4tiene4tres4vértices4y4tres4lados4no4alineados>
Un4ángulo4exterior4mide4igual4que4la4suma4de4los4dos4ángulos4interiores4opuestos4a4él>
C
F
D
E
paralela a la base
TriángulosAproporcionales TeoremaAdeAlaAbisectrizAinterior TeoremaAdeAlaAbisectrizAexterior
AB
C
D
E
rs
t
Si4r4qq4s4qq4t4entonces4ABqBC4=4DBqBE
Si4MN4qq4AC4entonces4BMqMA4=4BNqNC
B
M N
A C
A
B
C
AC4q4CB4=4AD4q4DB
D
vc
A B
C
D
bisectriz exterior de C
(perpendicular a vc)
AD4q4AC4=4BD4q4BC
Uconsecuencia4o4corolario4del4Teorema4de4Talesm
En4un4triángulo94la4bisectriz4de4un4ángulo4exteriordivide4a4la4prolongación4del4lado4opuesto4en4dossegmentos4AD4y4BD4directamente4proporcionalesa4los4lados4AC4y4BC4que4forman4dicho4ángulo4
En4todo4triángulo94la4bisectriz4de4un4ángulo4interior4divide4al4lado4opuesto4en4dos4segmentos4directamente4proporcionales4a4los4lados4que4forman4dicho4ángulo>
o4bien4AC4q4AD4=4CB4q4DB
A
B
C
D
vc
B)
IES4Calderón4de4la4Barca4=4GijónDpto,4de4dibujoApuntes4de4dibujo4técnico4íº4bachillerato
LÍNEASuYuPUNTOSuNOTABLESuDELuTRIÁNGULO
M,í
Bisectricesuinteriores:uincentrou(centroudeulaucircunferenciauinscrita)Bisectricesuexteriores:uexincentrosu(centrosudeulasucircunferenciasuexinscritas)
Las4bisectrices4interiores4del4triángulo4ABC4se4cortan4en4el4incentro4I,Cada4bisectriz4exterior4es4perpendicular4a4su4respectiva4interior,Dos4bisectrices4exteriores4más4una4interior(prolongada)4determinan4los4exincentros,
Observa4que4las4circunferencias4exinscritasson4tangentes4a4los4tres4lados4del4triángulo,Se4cumple4también4que4las4bisectrices4interioresson4alturas4del4triángulo4de4exincentros,Luego4el4incentro4del4ABC4es4ortocentrodel4EaEbEc4
Observa4los4puntos4de4tangencia,
La4distancia4r4del4incentro4a4cualquiera4de4los4ladosse4llama4inradio4del4triángulo,Se4cumple4que4x4=4xf4y4=4yf4z4=4z4(las4tag4desde4un4punto4ext4son4iguales)4luegoa4=4y4q4zf4b4=4x4q4zf4c4=4x4q4y44444Euler4introdujo4la4costumbre4de4llamar4s4al4semiperímetrode4un4triángulof4es4decirf4s4=4(aqbqc)y/Luego4x4q4y4q4z4=4s
A
B
C
a
c
b
Eb
Ea
Ec
I
Mediatrices:ucircuncentrou(centroudeulaucircunferenciaucircunscrita)
A
B
C
O
Ma
Mb
Mc
mc
mb
ma
A
B
C
I
x
x
y
y
zz
IES4Calderón4de4la4Barca4y4GijónDptoH4de4dibujoApuntes4de4dibujo4técnico41º4bachillerato
LÍNEAS(Y(PUNTOS(NOTABLES(DEL(TRIÁNGULO
4H2
Medianas:(baricentro((centro(de(gravedad(del(triángulo)
El4baricentro4se4denota4con4la4letra4GHEl4baricentro4divide4a4cada4mediana4en4dos4segmentosá4el4segmento4que4une4el4baricentro4con4el4vértice4mide4el4doble4que4el4segmento4que4une4baricentro4con4el4punto4medio4del4lado4opuestoH
Alturas:(ortocentro
A B
C
GMa
Mb
Mc
GA4=42GMa
O4bien4444GMa4=41;34AMa
A B
C
ha hc
hb
Comprueba4dónde4cae4el4ortocentro4en4un4triángulo4rectángulo4y4en4uno4obtusánguloH
H
Recta(de(Euler El4ortocentroá4el4baricentro4y4el4circuncentro4de4un4triángulo4no4equilátero4están4alineados;4es4decirá4pertenecen4a4la4misma4rectaá4llamada4recta4de4EulerH4Compruébalo4dibujándoloH
A B
C
OGH
IES4Calderón4de4la4Barca4H4GijónDpto.4de4dibujoApuntes4de4dibujo4técnico41º4bachillerato TRIÁNGULOS. Construcciones sencillas
4.3
Para construir un triángulo son necesarios tres datos (lados, ángulos,líneas notables...). Uno de los datos debe ser una magnitud lineal.
LLLR4los4tres4lados LALR4dos4lados4y4el4ángulo4comprendido
ALAR4dos4ángulos4y4el4lado4comprendido
LLAR4dos4lados4y4un4ángulo4opuesto4a4uno4de4ellos
AALR4dos4ángulos4y4un4lado(no4comprendido)Construir4arco4capaz
cR4hcR4CConstruir4arco4capaz4del4ángulo4dado4sobre4su4lado4opuesto.4Construir4LG4de4la4altura.
cR4hcR4mcConstruir4LG4de4la4altura4y4LG4de4la4mediana
4
vcR4CR4A hcR4bR4cResolver4en4principio4el4triángulo4CR4HcR4A
cb
a
Acb
cA B
ca
A A C
c
IES4Calderón4de4la4Barca4-4GijónDpto.4de4dibujoApuntes4de4dibujo4técnico41º4bachillerato TRIÁNGULOS. Construcciones sencillas 2
4.4
Para construir un triángulo son necesarios tres datos (lados, ángulos,líneas notables...). Uno de los datos debe ser una magnitud lineal.
hc,4a,4bResolver4en4principio4el4triángulo4C,4Hc,4B4y4el4C,4Hc,4A
hc,4c,4AResolver4en4principio4el4triángulo4C,4Hc,4A
hc,4a,4AResolver4en4principio4el4triángulo4C,4Hc,4A
hc,4A,4BResolver4en4principio4el4triángulo4C,4Hc,4A4y4el4C,4Hc,4B
a,4C,4vcResolver4en4principio4el4triángulo4vc,4B,4C
Construcciones de triángulos rectángulos
Los4dos4catetos4b,4c Un4cateto4y4un4ángulo4adyacente Un4cateto4c4y4el4ángulo4opuesto
La4hipotenusa4y4un4cateto La4hipotenusa4y4un4ángulo4Lno4rectoU La4hipotenusa4a4y4la4altura4sobre4ella4ha4
IES5Calderón5de5la5Barca5T5GijónDpto25de5dibujoApuntes5de5dibujo5técnico5yº5bachillerato CUADRILÁTEROS
U
Notación
A
B
C
c
a b
Clasificaciónm
Si5los5ángulos5opuestos5de5uncuadrilátero5son5suplementarios=el5cuadrilátero5se5puede5inscribiren5una5circunferencia2
La5suma5de5los5ángulosinteriores5de5un5cuadiláteroes5O(xº2
Si5la5suma5de5los5ladosopuestos5de5un5cuadriláterocoincide=5el5cuadriláterocircunscribe5a5una5circunferencia2
Trapezoides:mningúnmladomparalelo
Trapecios:mdosmladosmsonmparalelosmállamadosmbbasesbv
Paralelogramos:mlosmladosmopuestosmsonmparalelosmemiguales.mÁngulosmopuestosmiguales
Figuraszplanaszlimitadaszporzcuatrozrectasz
quezsezcortanzdoszazdos,zdeterminandoz
unoszsegmentoszquezsonzloszladosz
delzcuadrilátero.
Loszpuntoszdondezconcurren
doszladoszcontiguoszson
loszvértices.
Laszdiagonaleszunenzdoszvértices
nozconsecutivos.
D
d
Propiedades
A
B
C
D
y)xº
y)xº
Observazcómozsezdescompone
enzdosztriángulos.
55A5+5B5+5C5+5D5=5O(xº
Ty
Tz
TO
TR
x y
yx
z
zt
tO
A B
CD
AB5+5DC5=5BC5+5AD
AB
C
D
A5+5C5=5B5+5D5=5y)xº
Atendiendozalzparalelismozentrezsuszlados,zclasificamos
loszcuadriláteroszconvexoszenzparalelogramos,ztrapecioszyztrapezoides.
Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
Cuatro5ángulos5iguales5y5rectos2Diagonales5iguales5y5se5cortanen5el5punto5medio2
Cuatro5lados5iguales2Diagonales5perpendiculares2
Cuatro5lados5iguales5y5rectos2Diagonales5iguales5yperpendiculares
Diagonales5desiguales5y5no5perpendiculares2
Isósceles Rectángulo Escaleno
Uno5de5los5dos5ladosno5básicos5es5perpendiculara5la5altura
Lados5no5básicos5iguales2Diagonales5iguales2
Deltoide
Cuadrilátero5simétrico5respecto5deuna5de5sus5diagonales2Diagonales5perpendiculares2Dos5pares5de5lados5contiguos5iguales2
Cuadriláteromconvexo6o5simplemente5gcuadriláterog0
Cuadriláteromcóncavo
IES5Calderón5de5la5Barca5-5GijónDpto.5de5dibujoApuntes5de5dibujo5técnico51º5bachillerato CUADRILÁTEROS Construcciones
5.1
A
B
C
c
a b
Cuadrilátero5dados5sus5cuatro5lados5y5una5diagonal
Elynúmeroydeydatosyqueynecesitamosyparayconstruiryunycuadriláteroydependeydeysuytipo.
D
d
Trapecio5dadas5las5bases5y5los5lados
e
A D
C
B
A
A
D
C
BCe
A
B
C
D
B
C
D
A
Figuraydeyanálisis:
A B
CDConstruiryenyprincipio
elytriánguloyauxiliaryCBC'
enyelyque:
C'By=yABy-yDCyyyyyC'Cy=yAD
CP
Trapecio5dadas5sus5bases,5un5ladoy5la5altura
h
A
B
C
B
C
D
Paralelogramo5dado5un5ladoy5las5diagonales
A Be
f
a
DeterminaryelycentroyOyde
intersecciónydeylasydiagonales
dibujandoyelytriánguloyAOB
Rombo5dado5un5lado5y5un5ángulo
A
aA B
IES5Calderón5de5la5Barca5-5GijónDpto.5de5dibujoApuntes5de5dibujo5técnico51º5bachillerato CUADRILÁTEROS Construcciones
5.2
Rombo5dado5un5lado5y5una5diagonal
El número de datos que necesitamos para construir un cuadrilátero depende de su tipo.
Rectángulo5dadas5las5diagonales5y5el5ángulo5que5forman
A Ba
A C
Rombo5dadas5las5diagonalesA C
B D
Rectángulo5dada5la5diagonal5y5un5ladoe
n
e
Cuadrado5dado5el5lado
l
Cuadrado5dada5su5diagonal
e
Cuadrado5dada5la5suma5fo5la5diferencia(5de5su5diagonal5y5un5lado.
suma
IES6Calderón6de6la6Barca6,6GijónDptoÁ6de6dibujo5puntes6de6dibujo6técnico6yº6bachillerato POLÍGONOS REGULARES
á
Elementos de un polígono regular
CIRCUNFERENCI56CIRCUNSCRIT5Á6Circunferencia6que6pasa6por6los6vértices6del6polígonoÁCIRCUNFERENCI56INSCRIT5Á6Circunferencia6tangente6a6los6lados6del6polígonoÁCENTROÁ6El6centro6de6las6dos6circunferencias6antedichas6es6a6su6vezz6centro6del6polígonoÁR5DIOÁ6Distancia6del6centro6a6un6vérticez6radio6de6la6circunferencia6circunscritaÁÁNGULO6CENTR5LÁTiene6como6vértice6el6centro6y6sus6lados6pasan6por6dos6vértices6consecutivosÁSu6valor6en6grados6es6igual6a6dividir60ámº6entre6el6número6de6lados6del6polígonoÁÁNGULO6INTERIORÁFormado6entre6dos6lados6consecutivosÁ6Su6valor6en6grados6es6igual6a6yMmº6menos6el6valor6del6ángulo6centralÁ65POTEM5Á6Radio6de6la6circunferencia6inscrita6del6polígono6o6perpendicular6del6centro6a6un6lado6del6polígonoÁPERÍMETROÁ6Suma6de6las6longitudes6de6los6ladosÁ6Se6denota6por63pÁÁRE5Á6Producto6de6la6apotema6por6el6semiperímetroÁ656x6a6Á6pL5DOÁ6Une6dos6vértices6consecutivosÁ6Su6mediatriz6pasa6por6el6centro6del6polígonoÁDI5GON5LESÁUnen6dos6vértices6no6consecutivosz6sus6mediatrices6pasan6por6el6centro6del6polígonoÁ
Polígono convexoTodos6los6vértices6del6polígono6se6unen6de6forma6consecutivaÁ
Polígono estrelladoNos6vamos6saltando6vértices6y6el6polígono6cierra6después6de6dar6más6de6una6vueltaÁFalso6estrellado26se6superponen6varios6polígonos6convexosÁPaso del estrellado: número6de6lados6que6nos6saltamosÁ
Para6averiguar6si6un6polígono6tiene6construcción6de6estrelladosz6y6cómo6unir6los6vérticesz6buscamos6los6números6enterosz6menores6que6la6mitad6del6número6de6lados6del6polígonoz6y6de6ellos6los6que6sean6primos6respecto6a6dicho6número6de6ladosÁ6Ejemplo26para6el6octógono6vM6ladosíz6los6números6menores6que6la6mitad6de6sus6lados6son6el60z6el636y6el6yz6y6de6ellosz6primos6respecto6a6M6solo6tenemos6el60z6por6tanto6el6octógono6tiene6un6único6estrellado6genuino6que6se6obtiene6uniendo6los6vértices6de606en60ÁvSuperponiendo6dos6cuadradosz6uno6de6ellosgirado6ú8ºz6obtenemos6un6falso6octógono6estrelladoíÁ6
Octógono6regular6convexo Octógono6regular6estrelladode6paso60
Octógono6vfalsoí6estrelladode6paso63
Observa que el área de este pentágono
equivale a cinco triángulos cuya
altura es igual a la apotema del polígono
y su base es igual al lado.
Octógono6regular6estrelladode6paso60
Polígono regular es el que tiene sus lados y sus ángulos interiores iguales entre si.
IES6Calderón6de6la6Barca6P6GijónDptoñ6de6dibujoApuntes6de6dibujo6técnico6,º6bachillerato POLÍGONOSHREGULARESHConstrucciónHdadaHlaHcircunferencia
6ñ,
Dada0la0circunferencia0(=0división0de0la0circunferencia0en0partes0iguales)
1ElóDRAEóadmiteólaóescrituraódeóhexágonoósinóhóinicialó-exágonoMóporqueóhaósidoóunaóescrituraómuyócomúnóduranteóvariosósiglos,ómientrasóqueóheptágonoósinóhóinicialó
noóhaótenidoóestaótradiciónóescrita.óóóElóDPDó-DiccionarioópanhispánicoódeódudasMóaconseja,ósinóembargo,óqueóseóprefieraólaóescrituraóqueóconservaólaóhóinicial.
Trazamos6un6diámetro6vertical6y6con6centroen6su6extremo6inferior6L6trazamos6el6arcode6radio6el6mismo6que6la6circunferenciaque6nos6da6los6puntos6M6y676
,
L
M 7
TriánguloHequilátero Hexágono*Hregular
Procedemos6como6en6el6caso6anteriorañadiendo6un6segundo6arco6de6centroel6punto6,6que6nos6proporciona6lospuntos6O6y66
,
L
M 7
O 6
DodecágonoHregular
Trazamos6un6hexágono6y6despuéscon6tres6mediatrices6m,46mL6y6mM
obtenemos6el6dodecágonoñ
,
L
M 7
O 6
m,
mL
mM
3,060y012
40y08
Trazamos6dos6diámetros6perpendicularesque6nos6dan6los6puntos6,46L46M6y67
Cuadrado OctógonoHregular
Procedemos6como6en6el6caso6anteriory6después6trazamos6dos6mediatricesñ
HeptágonoHregular
Con6centro6en6punto6L6trazamosel6arco6MP7ñ6La6mitad6de6la6cuerda6MP7es6el6lado6del6heptágonoñ-Completaróllevandoólaómedidaó3-M
aóambosóladosódeó1óparaóreduciróerrorMó
,
L
M 7
,
L
M 7
M
7
50y010
Trazamos6dos6diámetros6perpendicularesque6nos6dan6los6puntos6,46L46M6y67ñ
Con6centro6en6el6punto676y6radio6el6mismoque6la6circunferencia6trazamos6el6arco6OP6ñ
Con6centro6en6M46punto6medio6de6OP64abrimos6el6compás6hasta6el6punto6,y6trazamos6el6arco6que6nos6da6el6punto67ñ
La6medida6,P76es6el6lado6del6pentágono4que6llevamos6a6partir6del6punto6,6a6ambos6lados6para6reducir6el6error6de6trazadoñ
La6medida6OP76es6el6lado6del6decágonoñ
PentágonoHregular
Completaróelótrazado
,
L
M 7
O
6
O
,
L
M 7
O
6
O
IES6Calderón6de6la6Barca6L6GijónDptov6de6dibujoApuntes6de6dibujo6técnico65º6bachillerato POLÍGONOSxREGULARESxConstrucciónxdadoxelxlado
ªv7
Con6centro6en6los6extremos656y67y6radio6AB6trazamos6dos6arcos6que6nos6dan6en6su6intersección6el6punto6'
7
'
Triánguloxequilátero Hexágonoxregular
Procedemos6como6en6el6caso6anteriory6hacemos6centro6en6el6punto6'6con6la6misma6abertura6de6compásg6trazando6la6circunferencia6circunscrita6al6hexágonovLuego6trazamos6arcos6con6igual6radiov
Pentágonoxregular
Levantamos6perpendicular67L'g6de6medidaigual6al6ladog6sobre6punto67vCon6centro6en6Mg6punto6medio6de65L7gy6radio6M'g6trazamos6arco6que6nos6dagen6la6prolongación6de65L7g6el6punto6ívLa6medida65Lí6es6la6diagonal6del6pentágonov
3 y 6
Procedimiento general n lados dada la circunferencia
5
5
'
5 75 7
'
í
U
M
5
7
'
í
U
ª
(
73
lado(
5
7
'
í
U
ª
(
73
lado6dado
Dividimos6el6diámetro6vertical6en6tantas6partes6iguales6como6lados6ha6de6tener6el6polígonovCon6centro6en656y676y6radio6el6diámetrotrazamos6dos6arcos6que6se6cortan6en6punto6'vUnimos6punto6'6con67ª6división6del6diámetrovLlevamos6la6medida6obtenida6a6ambos6ladospara6reducir6errorvPAun6asíg6este6método6es6aproximado6y6debehacerse6con6gran6precisión6para6evitar6erroresá
Hacemos6la6construcción6anteriory6luego6aplicamos6una6homotecia6de6centro6O6para6colocar6el6datov
Procedimiento general n lados dado el lado
O
5
7
'
IES7Calderón7de7la7Barca7T7GijónDptoR7de7dibujoApuntes7de7dibujo7técnico7(º7bachillerato TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS
Q
LasItransformacionesIgeométricasIsirvenIparaIresolverIproblemas
Las7transformaciones7geométricas7que7conservan7la7forma7y7el7tamaño7de7la7figura7original7se7llaman7MOVIMIENTOSR
Los7elementos7DOBLES7o7INVARIANTES7en7una7transformación7geométrica7son7aquellos7que7al7aplicarles7la7transformación7se7transforman7en7si7mismosR
Recuerda7los7conceptos7de7RAZÓN7ñaZbM7y7PROPORCIÓN7ñaZb7=7cZdMR
IGUALDAD
EQUIVALENCIA
LasItransformacionesIgeométricasIsonIoperacionesIgeométricasIqueIpermitenIcrearIunaInuevaIfiguraIaIpartirIdeIunaIpreviamenteIdada.IEstaInuevaIfiguraIseIdenominaIHOMÓLOGAIdeIlaIORIGINAL.
IES7Calderón7de7la7Barca7O7GijónDptoM7de7dibujoApuntes7de7dibujo7técnico7Lº7bachillerato TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Igualdad y traslación
vML
SiR7ademásR7al7superponer7dos7figurasR7coinciden7exactamente7y7se7confunden7en7una7solaR7entonces7son7IDÉNTICASM
Dos7figuras7planas7son7iguales7si7sus7lados7y7ángulos7son7iguales7y7están7dispuestos7en7el7mismo7ordenM
Igualdad
PROCEDIMIENTOS7PARA7OBTENER7UNA7FIGURA7IGUAL7A7UNA7FIGURA7ORIGINAL7DADA
Por7triangulación Por7perpendiculares
Por7radiación Por7copia7de7ángulos7o7rodeo
A B
C
D
E O
Ay By
Cy
Dy
Ey Oy
A B
C
D
E
Ay7 By
Cy
Dy
Ey
L ' 2 3 4 Ly 'y 2y3y 4y
Ay By
Cy
Dy
Ey
A B
C
D
E
Traslación de una figura plana
Consiste7en7aplicar7a7la7figura7un7movimiento7rectilíneo7en7una7dirección7establecidaM
A
Ay
B
By
C
CyD
Dy
E
Ey
F
F'
AAy
A
Ay
IES7Calderón7de7la7Barca7'7GijónDptoO7de7dibujoApuntes7de7dibujo7técnico7Lº7bachillerato TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Giro y simetría
3Oá
Todo7giro7es7una7isometría7directaO7vla7figura7homóloga7conserva7la7orientación7de7la7original)OEl7único7punto7doble7de7un7giro7es7su7centroO
Giro o rotación Sentido7dextrógiro:7como7las7manecillas7de7un7relojmagnitud7angular7positiva)
Sentido7levógiro:7sentidoanti'horariovmagnitud7angular7positiva)
A
BC Cf
AfBf
O
80º
Observa que si giramos una figura
180º obtenemos una simetría central.
(Completar el dibujo).
O
A
B
C
Simetría axial Simetría central
Los7puntos7simétricos7están77en7una7perpendicular7al7eje7de7simetría7y7a7igual7distancia7de7élOLos7puntos7del7eje7son7doblesO
Los7puntos7simétricos7están7alineados7con7el7centro:7a7igual7distancia7y7distinto7ladoOLas7rectas7simétricas7son7paralelasOEl7centro7es7punto7dobleOEquivale7a7un7giro7de7L40ºO
A B
C
D
E
Af Bf
Cf
Df
Ef
L'Lf
á
áf
y
yf
,
,f
ejeO'B'Bf
AAf
C
Cf
IES7Calderón7de7la7Barca7g7GijónDptoP7de7dibujoApuntes7de7dibujo7técnico7vº7bachillerato TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Homotecia 1
/P>
El7centro7O7es7punto7doblePLas7rectas7que7pasan7por7O7son7doblesPLas7rectas7homotéticas7son7paralelasP
Homotecia
DefiniciónDado77un77punto7O7del7plano7y7un7número77real7k≠=z7se7llama7homotecia7de7centro7O7y7razón7ka7la7transformación77geométrica7que7asocia7a7cada7punto7P7del7plano7otro7punto7Py
k7=7razón7de7la7homotecia
k7puede7ser7positiva7úk>=k7o7negativa7úk<=kSi7es7negativa7el7centro7queda7entre7los7puntos7homotéticosP
k7=7OP
OPy
O
P
Pyk7=7('v=7(
Ejemplos
O
Py
Pk7=7v'(7=7=z<
O
Py
Pk7=7gv7 (Equivale a una simetría central)
k > 0 k < 0
k7=7(7'7v
Ay By
Cy
Dy
Ey D
A B
CE
D
Dy
O
A B
CE
Cy
AyBy
Ey
k7=7gv
Resolución por homotecia de cuadrado dada
la suma del lado y la diagonal
O
O
Ay By
Cy
Dy
Ey
AB
CE
O
k7=7g7(7'7v
D
O
k7=7v7'7>
Py
P
O
k7=7>7'7v
Py
P
IES7Calderón7de7la7Barca7,7GijónDptog7de7dibujoApuntes7de7dibujo7técnico7Pº7bachillerato TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Homotecia 2
(gúgP
Homotecia y semejanza
k707M7q7P
AO BO
CO
DO
EO D
A B
CE
O
A7efectos7prácticos7una7homotecia7y7una7semejanza7son7lo7mismoz7y7por7tantoz7se7opera7igual7en7una7que7en7otragLa7diferencia7es7que7en7una7homotecia7siempre7hay7un7centro7de7homotecia7definidoz7las7figuras7tienen7la7misma7orientación7y7los7segmentos7homotéticos7son7paralelosg7Por7ello7que7cuando7se7plantea7un7problema7de7homotecia7siempre7te7dan7el7centro7o7datos7para7calcularlog7Mientras7que7en7la7semejanza7no7lo7suelen7darz7sino7que7eres7tú7el7que7eliges7cual7te7conviene7másg7Habitualmente7se7escoge7uno7de7los7vértices7de7la7figura7por7comodidadz7aunque7se7puede7utilizar7cualquier7punto7incluidos7los7que7estaneestán7exterior7o7interior7de7la7figurag
Figuras semejantes
(y no homotéticas)Figuras homotéticas
(y por tanto, semejantes)
Circunferencias homotéticas
Dadas7dos7circunferenciasz7exterioresz7interiores7o7secantesz7la7recta7que7une7los7extremos7de7un7par7de7radios7homotéticos7intercepta7a7la7que7une7los7centros7en7el7centro7de7una7homotecia7que7liga7a7las7circunferenciasgEsta7homotecia7puede7ser7de7razón7positiva7o7negativaz7según7el7sentido7de7los7dos7radios7homotéticos7que7se7tomang
Si7las7circunferencias7son7igualesz7la7homotecia7de7razón7positiva7tiene7centro7impropio7ftraslacióná7y7la7derazón7negativa7tiene7centro7propio7fsimetría7centralág
Nota7PN7Dos7circunferencias7tangentes7exteriores7finterioresá7tienen7un7centro7de7homotecia7coincidente7con7elpunto7de7tangencia7y7el7otro7exterior7finteriorá7a7ellas7fsalvo7que7las7circunferencias7sean7igualeságNota7MN7Dos7circunferencias7concéntricas7tienen7los7dos7centros7de7homotecia7fde7razón7positiva7y7negativaá7coincidentes7con7los7de7tales7circunferencias7fhomotecia7centralág
7
k<Lk>L k<Lk>L
k<Lk>Lk<Lk>L
k<Lk>L
IES8Calderón8de8la8Barca8P8GijónDptoU8de8dibujoApuntes8de8dibujo8técnico8qº8bachillerato TANGENCIAS)Y)ENLACES)1
8Uq
Propiedades
La8recta8tangente8a8una8circunferencia8es8siempreperpendicular8al8radioen8el8punto8de8tangencia8TU
El8punto8de8tangencia8Tde8dos8circunferenciastangentes8siemprepertenece8a8la8línea8de8centros8OqOv
TOq
Ov
r
T TOq
Ov
La8mediatriz8m8de8una8cuerda8pasa8siempre8por8el8centro8de8la8circunferenciaU
m
La8bisectriz8de8dos8rectas8concurrentes8pasa8siempre8por8el8centro8de8las8circunferencias8tangentesU
t
Recta)tangente)a)una)circunferenciaen)un)punto)T)de)esta.
Rectas)tangentes)a)una)circunferenciaparalelas)a)una)dirección)dada)(d).
r
Tt
c
O
Trazamos8el8radio8OTy8por8T8trazamos8laperpendicular8al8radioU
Tvtv
cO
dTrazamos8un8diámetroperpendicular8a8ladirección8dadaULos8extremos8de8dichodiámetro8son8los8puntosde8tangencia8Tq8y8TvUTrazamos8las8tangentestq8y8tv8paralelas8a8ladirección8dadaU
tqTq
Rectas)tangentes)a)una)circunferencia)desde)un)punto)exterior)a)esta.
P O
c
Tq
Tv
tq
tv
Utilizamos8el8lugar8geométrico8de8Thales:asíx8trazamos8la8circunferencia8de8diámetro8OPx8que8cortará8a8la8circunferencia8dada8c8en8los8puntosde8tangencia8Tq8y8Tv
Observa8cómo8en8dichos8puntos8los8radios8son8perpendiculares8a8las8tangentesU2Lugar8geométrico8de8Thales:8arco8capazde89,ºzU
IES8Calderón8de8la8Barca8Y8GijónDpto(8de8dibujoApuntes8de8dibujo8técnico8"º8bachillerato TANGENCIAS Y ENLACES 2
8(g
Rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias
O"Og
cg
T:
T"
t"
tg
Rectas tangentes comunes interiores a dos circunferencias
R - r
R + r
r
rR8Y8r
c"
aux
Tg
Tq
"
g
Por8medio8de8una8dilatacióntransformamos8las8dos8circunferencias8dadas8enun8punto8O"8y8una8circunferenciaauxiliar(Restamos8r"8a8la8circunferenciacg8y8obtenemos8la8auxiliar,cuyo8radio8es8R8Y8r(Ya8tenemos8una8circunferenciaPauxm8y8un8punto8PO"m(Ahora8podemos8resolver8Otangentes8desde8un8punto8a8una8circunferenciaO,8obteniendolos8puntos8"8y8g(Ahora8procedemos8a8revertirla8dilatación:Desde8Og8prolongamos8radiosque8pasan8por8"8y8g8hastacortar8a8cg,8obteniendo8T"8y8Tg(Por8O"8trazamos8radiosparalelos8a8los8OT"8y8OTg,obteniendo8T:8y8Tq
O"Og
cgT:
T"
t"
tg
r
r
R8y8r
c"
aux
Tg
Tq
"
g
R
En8este8caso8sumamos8los8radios8de8las8circunferenciasdadas(Observa8que8los8radios8paralelosvan8cruzados(
Nota: si no te acuerdas de si
hay que restar o sumar radios,
simplemente haz un croquis
rápido.
IES8Calderón8de8la8Barca8-8GijónDpto.8de8dibujoApuntes8de8dibujo8técnico81º8bachillerato TANGENCIAS.Y.ENLACES.3
8.3
Circunferencia.que.pasa.por.un.punto.P,.dado,.y.es.tangente.a.una.recta,.r,.conocido.elpunto.de.tangencia,.T,.en.la.recta.O lo que es lo mismo,
Circunferencia.que.tiene.el.centrosobre.una.recta.n,.pasa.por.un.punto.,.T,.de.ellay.por.otro.punto.P.exterior.
Circunferencia.que.pasa.por.unpunto.P,.dado,.y.es.tangente.a.otra.circunferencia.c.también.dada,conocido.el.punto.T.de.contacto.
Circunferencias.tangentes.a.dos.rectas.dadas,conocido.el.punto.de.tangencia.en.una.de.ellas.O lo que es lo mismo,
Circunferencias.que.tienen.su.centro.sobre.una.recta.n,.pasan.por.un.punto.T.de.ellay.son.tangentes.a.otra.recta,.r.
Circunferencias.tangentes.a.una.recta.yuna.circunferencia.dadas.conocido.el.puntode.tangencia.en.la.circunferencia.
T
r
OP c
O
O1
P
T
Si el punto P pertenece a c la solución es la propia c.
Dibújalo con el punto P interior a c.
t
T
T1
O1
O2
T2
n
r
t
T
T1
O1
O2
T2
r
c
O
IES8Calderón8de8la8Barca8R8GijónDpto,8de8dibujoApuntes8de8dibujo8técnico8Uº8bachillerato TANGENCIAS2Y2ENLACES24
8,4
Circunferencias2tangentes2a2tres2rectasque2se2cortan2dos2a2dos.
r
s
O2
O3
O4
OU
Las8circunferencias8que8buscamos8son8la8inscrita8y8las8exinscritas8al8triángulo8que8forman8las8tres8rectas8dadas,Recuerdag8para8ganar8tiempo8en8el8trazadog8que8las8bisectrices8interiores8y8exteriores8son8perpendiculares,
t
Circunferencias2tangentes2a2otras2dos2circunferencias2dadas,2conocido2unpunto2T12de2tangencia2en2una2de2ellas.
OU
TU
O4
O2
O3
T3
T2
A
B
cU
c2
r
Datos:BcircunferenciasBc1ByBc2ByBpuntoBdeBtangenciaBT1
queBperteneceBaBc1
1.8Trazamos8la8recta8r8que8pasa8por8el8centro8OUy8por8el8punto8de8tangencia8TU
Trasladamos8los8segmentos8TUA8y8TUB8iguales8alradio8de8c2,Unimos8A8y8B8con8O2
2.8Trazamos8las8mediatrices8de8O2A8y8O2B,
Las8intersecciones8de8dichas8mediatrices8con8la8recta8r8son8los8puntos8O38y8O4
centros8de8las8soluciones,
3.8Obtenemos8los8puntos8de8tangencia8T28y8T3
uniendo8O38y8O48con8O2
Análisis:
LosBcentrosBtienenBqueBestarBenBlaBrectaBrBqueBpasaB
porBO1ByBporBelBpuntoBdeBtangenciaBT1
ObservaBque,BsupuestoBresueltoBelBproblema,BsiB
hacemosBcentroBenBO3BconBradioBO3O2B=BO3BBtrazaríamos
unaBcircunferenciaBconcéntricaBaBlaBqueBbuscamos,
esBdecir,BconBelBmismoBcentroBO3B
ElBsegmentoBBO2BesBunaBcuerda
deBdichaBcircunferencia.BSuBmediatrizBtieneBqueBpasarB
porBelBcentroBO3BqueBesBelBqueBbuscamos.
ElBmismoBrazonamientoBconBelBpuntoBAByBO4
Trazar2una2recta2tangente2a2un2arco2de2circunferencia,2de2centro2desconocido,2dado2el2punto2de2tangencia2T
T
IES8Calderón8de8la8Barca8á8GijónDpto.8de8dibujoApuntes8de8dibujo8técnico81º8bachillerato TANGENCIAS Y ENLACES 5
8.5
Circunferencias de radio dadotangentes a una recta.
Trazando8paralelas8a8la8recta8a8una8distancia8igual8al8radio8obtenemos8el8lugar8geométricode8los8centros8de8las8posibles8soluciones.
sr
r
LG1
LG2
Circunferencias de radio dadotangentes a una circunferencia.
c.8dada
LG1
LG2
Sumando8y8restando8el8radio8obtenemos8el8LGde8los8centros8de8las8posibles8circunferencias.
r r
Circunferencias de radio dadotangentes a una circunferenciay a una recta.
c.8dada
LG1
LG2
r r
LG3
LG4r
r
El8número8de8soluciones8depende8de8los8datos8y8la8posición8de8estos.Los8centros8de8las8soluciones8estándonde8se8cortan8los8LG.
Circunferencias de radio dadotangentes a dos circunferencias.
c.8dada81
LG1
LG2
c.8dada82LG3
LG4
En8este8caso8tenemos888soluciones.
IES8Calderón8de8la8Barca8,8GijónDpto=8de8dibujoApuntes8de8dibujo8técnico8)º8bachillerato TANGENCIAS Y ENLACES 6
P=M
Enlace de dos rectas concurrentes por mediode un arco de radio conocido.
Trazamos8paralelas8a8las8rectas8a8una8distancia8igual8al8radio=Los8puntos8de8tangencia(enlace8los8conseguimos8trazando8perpendiculares8desde8el8centro8O=
s
Enlace de dos rectas paralelas mediante dos arcos del mismo o distinto sentido, dados los puntos de enlace A y B.
Enlace de dos rectas paralelas mediantedos arcos de igual radio, dados los puntos de enlace A y B.
r
O
T)
Tá
radio8dado
radio8dado
)=8Trazamos8perpendiculares8por8A8y8B=á=8Sobre8las8perpendiculares8llevamos8unadistancia8cualquieraq8tal8que8AO)8=8BC=8Observa8que8para8obtener8los8dos8arcos8con8el8mismo8sentido8Ofig=8á28el8radiodesde8O)8debe8ser8tal8que8el8punto8B8quede8dentro8de8la8circunferencia8de8centro8O)=8Si8queda8fuera8Ofig=8)28el8enlaceserá8con8arcos8de8distinto8sentido=
3=8Dibujamos8la8mediatriz8del8segmento8O)C=Esta8mediatriz8corta8a8la8perpendicular8por8B8en8Oácentro8del8segundo8arco=888
O)
A
B
C
Oá
)=8Unimos8A8y8B8con8una8recta=á=8Hallamos8punto8medio8M8de8AB=3=8Mediatrices8de8AM8y8BM=U=8Por8A8y8B8levantar8perpendicularesque8cortan8a8las8mediatricesen8los8centros8de8las8soluciones=
A
B
MO)
Oá
O)
A
B
C
Oá
Fig. 2
Fig. 1
IES8Calderón8de8la8Barca8P8GijónDpto38de8dibujoApuntes8de8dibujo8técnico81º8bachillerato TANGENCIASmYmENLACESm7
837
EnlacemdemdosmrectasmsecantesmconmdosmarcosdemsentidomcontrariomdadosmlosmpuntosmT1mymT2mdemenlacemymelmradiomdemunomdemlosmarcos.
Trazamos8paralelas8a8las8rectas8a8una8distancia8igual8al8radio3Obtenemos8O18y8A8en8las8perpendiculares8por8T18yT28
Unimos8A8y8O18con8un8segmento8cuya8mediatriz8nos8da8O2
El8punto8de8enlace8B8en8la8línea8de8centros3
s
Enlacemdemcircunferencias.
EnlacemdemunmarcomdemcircunferenciamdemradiomRymunamrectammediantemunmarcomdemsentidomcontrarioymdemradiomR1mdado.
r
O1
T1
T2radio8dado
radio8dado
Consiste8en8sumar8o8restar8radios3Esto8se8usa8mucho8para8trazar8hallar8los8centros8de8los8arcos8de8enlace8en8piezas3Los8puntos8de8enlace8siempre8en8la8línea8de8centros388
O2
A
Datos : r, s, T1, T2
radio
B
s
O1
T2
O2R1
R1
Paralela8a8la8recta8y8sumar8radio8al8arco3Donde8se8cortan8es8el8centro8O28del8arco8solución3
O1
O2O3
IES9Calderón9de9la9Barca9O9GijónDpto39de9dibujoApuntes9de9dibujo9técnico9Pº9bachillerato CURVAScTÉCNICAS
93P
Óvalo
Óvalocóptimo.Es9el9compuesto9por9arcos9que9pasanpor9el9incentro9,y9son9tangentes9en9élf9del9triángulo9rectángulo9BACí9formadopor9las9tangentes9en9los9extremos9de9los9semiejes9y9la9hipotenusa9BCque9une9dichos9extremos3
Regióncdecloscóvaloscdecejescdados.
Curva9cerrada9plana9con9dos9ejesde9simetría9perpendicularesí9compuesta9por9cuatro9arcos9de9circunferencia9tangentesíiguales9dos9a9dosí9cuyos9centros9pertenecena9dichos9ejes9de9simetría3
OOP
O:
OL
OT
centros9OP9y9OL9radio9rPcentros9O:9y9OT9radio9rL
Para9dos9ejes9dadosí9existen9tantos9óvalos9como9configuraciones9pueden9obtenerse9variando9los9radios3Los9casos9límite9serían:rP9igual9a9cero:9figura9apuntada9con9forma9de9vesica3rP9igual9a9semije9menor:9forma9oblonga39
En9este9caso9el9cambio9de9curvatura9es9mínimo3La9recta9que9une9los9centros9es9perpendicular9a9la9hipotenusay9pasa9por9el9incentro9I3
I
B
CA
OP
OL
OP
OL
O
Trazado9práctico3
Trazadocacpartircdecunccírculoc(útilcparacperspectivacisométrica).
Trazadocacpartircdecunccuadradoencperspectivacisométrica.
IES9Calderón9de9la9Barca9f9GijónDptoú9de9dibujoApuntes9de9dibujo9técnico93º9bachillerato CURVAS.TÉCNICAS
9ú4
Óvalo.dados.sus.ejes.y.uno.de.sus.radios.(construcción.por.dilatación)
Óvalo.dados.sus.ejes.Empleamos9la9construcción9anteriorú9yver9dibujo9de9la9izquierdaáú9Situamos9los9ejes9y9llevamos9un9radio9r39cualquiera9sobre9el9eje9mayor9ya9partir9de9Aáú9Esto9ya9nos9condicionará9r4
O3
O4
Trazado.del.arco.carpanel.
Llevamos9r39desde9C9hacia9abajo9obteniendo9el9punto9SúUnimos9S9con9O39y9su9mediatriz9nos9da9O4
La9operación9se9efectúa9restando9radiosú
Dado.el.radio.menor.r1
r39=9O3A9=9O3T9=9CS r49=9O4C9=9O4T9=9AS
Dado.el.radio.mayor.r2
OO3
O4
A
C
ST
r 3OO3
O4
C
S
T
r4
A
TO3
S
O4
C
r49f9r3
TO3
S
O4
Cr49f9r3
Llevamos9r49sobre9eleje9mayor9a9partir9de9A9obteniendoel9punto9Sú
Trazados.sencillos.de.óvalos.de.eje.mayor.dado..
O,
O3 O4
O,
Og
O3 O4
flech
a
luz
El9arco9carpanel9es9un9arco9rebajadoúSe9utiliza9la9mitad9de9un9óvaloú
Dada9una9determinada9flechaU9se9ha9generalizado9el9trazado9y9construcción9del9carpanel9óptimoUque9utiliza9la9mitad9de9un9óvalo9óptimoú
arcocarpanel
arco9demedio9punto
IES9Calderón9de9la9Barca9,9GijónDptoz9de9dibujoApuntes9de9dibujo9técnico9:º9bachillerato CURVAS TÉCNICAS
9z3
El ovoide
Trazado sencillo del ovoide dado su eje menor.
Curva9cerrada9y9plana9formada9por9arcos9de9circunferencia9tangentes9con9un9solo9eje9de9simetríaz
Construcción del ovoide dados sus ejes.
Trazado del ovoide dado su eje mayor.
O:
O2
O3 O44r2r r
O:
O2
O3 O4
Dividimos9el9eje9mayor9en9seis9partes9igualeszLas9dos9primeras9se9toman9como9radio9de9la9circunferencia9O:9y9la9última9como9radio9de9la9O2
O:
O2
O3 O4
Desde9O:ú9punto9medio9del9eje9menorútrazamos9una9semicircunferenciaz
Como9en9el9caso9del9óvalo9construidopor9dilataciónú9para9hallar9los9otros9centrospartimos9de9un9arco9de9radio9arbitrario9que9llevamos9desde9B9sobre9el9eje9mayory9desde9C9sobre9el9eje9menorú9enambos9casos9hacia9dentroú9obteniendolos9puntos9:9y9O2z
Mediatriz9de9:,29nos9da9el9centro9O3zO39simétrico9de9O49respecto9al9eje9mayorz
O:
O2
O3 O4C
B
A
D:
Aplicación9del9ovoide9paraconducciones9hidraúlicas:conforme9aumenta9el9caudalúse9incrementa9también9lasuperficie9de9rozamientoúconsiguiendo9una9velocidaduniformez9
IES9Calderón9de9la9Barca939GijónDptoL9de9dibujoApuntes9de9dibujo9técnico97º9bachillerato CURVAS TÉCNICAS
9LT
Espiral de Arquímedes o espiral aritmética
7L39Dividimos9el9segmento9cuya9longitud9es9igual9al9paso9de9la9espiral9deseada9en9un9nº9cualquiera9de9partes9iguales29por9ejemplo9doce29en9un9número9de9partes9igualesL9Se9trazan9circunferencias9concentricas9que9pasan9por9todas9las9divisionesL9Cuantas9más9divisiones9más9puntos9se9obtendrán9para9trazar9la9espiralL998L39Se9dividen9las9circunferencias9en9el9mismo9nº9de9partes9igualesque9el9segmento9original9y9se9trazan9los9radios9respectivosL990L39Las9intersecciones9de9cada9radio9con9sus9arcos9correspondientes9nos9determinan9los9puntos9de9la9espiral29que9se9unen9a9mano9alzadaL
Espiral de Teodoro
7
7
7
7
80T
í
(
)
8
9
76 77 78 707T
7í
7(
7)
También9llamada9espiral9de9raíces9cuadradas2espiral9de9Einstein9y9espiral9pitagóricaLLleva9el9nombre9del9matemático9pitagóricoTeodoro9de9Cirene9úT(í9aC9390989aCzL
IES9Calderón9de9la9Barca9z9GijónDptoq9de9dibujoApuntes9de9dibujo9técnico91º9bachillerato CURVAShTÉCNICAS
9q5
Volutas
Curva9abierta9y9plana9formada9por9arcos9de9circunferenciatangentesq
Las9volutas9están9formadas9por9arcosde9circunferencia9tangentes9entre9siqPor9tantox9en9rigorx9no9son9espiralesqLos9centros9de9dichos9arcosx9si9son9más9de9dosxforman9un9polígono9regularq
Las9volutasx9como9los9óvalosx9no9existen9enla9naturalezax9son9una9construcción9humanaque9simplifica9las9formasx9pues9son9másfáciles9de9construirq
Volutahdehdoshcentros
En9arquitecturax9la9voluta9es9el9principal9ornamentodel9capitel9de9orden9jónicoq9Posteriormente9seríautilizada9en9el9renacimiento9y9en9el9barrocox9así9comoen9mueblesx9cerámicaq
Volutahdehtreshcentros Volutahdoblehdehtreshcentros
Bombahcentrífugahdehvoluta,hRichards,h1894
IES9Calderón9de9la9Barca9O9GijónDpto29de9dibujoApuntes9de9dibujo9técnico95º9bachillerato CURVAS TÉCNICAS
92(
Espiral logarítmica
Esta9curva9se9encuentra9en9numerososfenómenos9de9la9naturaleza:9galaxiasqciclonesq9conchas9marinasq9el9vuelo9deun9halcón9hacia9su9presa222La9espiral9logarítmica9se9distingue9de9la9espiral9de9Arquímedes9por9el9hecho9de9que9las9distancias9entre9su9brazos9se9incrementan9en9progresión9geométricaq9mientras9que9en9una9espiral9de9Arquímedes9estas9distancias9son9constantes2
O B
A
C
D
OT
Oá
Oy
OP
O5
En9esta9curva9el9movimiento9de9traslación9no9es9uniformeq9sino9que9sigue9una9progresión9geométricaq9de9tal9modo9que9el9paso9es9variable2
Construcción:9
529Trazamos9dos9ejes9perpendiculares9entre9síq9que9se9cortan9en9el9punto9O29Dibujamos9un9triángulo9rectángulo9ABOq9cuyos9catetos9formen9con9la9hipotenusa9los9ángulos9que9se9quieren9dejar9constantes9durante9el9recorrido9del9punto9generador29Partimos9del9triángulo9escogido9ABO2T29Por9el9punto9B9trazamos9una9perpendicular9a9la9hipotenusa9ABq9lo9que9nos9determina9sobre9el9otro9eje9el9punto9C9por9el9queq9a9su9vezq9trazamos9otra9perpendicular9al9segmento9BCq9obteniendo9el9punto9D9sobre9el9otro9ejeq9y9así9sucesivamente2á29Trazamos9las9mediatrices9de9los9segmentos9ABq9BCq9CDq9etc2q9y9éstas9cortan9a9las9bisectrices99de9los9ángulos9rectos9que9forman9la9línea9poligonal9definida9por9ellosq9obtenemos9los9centros9O5q9OTq9Oáq9etc2q9de9los9diferentes9arcos9de9circunferencia9que9configuran9la9espiral29xTomamos9de9radio9para9O59
su9distancia9al9punto9A,29
IES9Calderón9de9la9Barca959GijónDpto89de9dibujoApuntes9de9dibujo9técnico9úº9bachillerato CURVAS
980
Espiral áurea
Es9un9caso9particular9de9la9espiral9logarítmica3basada9en9la9proporción9áurea9o9gdivina9proporcióng3que9estudiaremos9con9más9detalle9el9próximo9curso8
Espiral de Fibonacci
F
(
ú
ú z
)ú(
Fú
(L
zz
)9
Es9una9aproximación9a9la9espiral9áurea9basada9en9la9sucesión9infinita9de9números9naturales9de9Fibonacci9vLeonardo9Bonazzi9o9Leonardo9de9Pisa39c39úú0f959c8úFzfq999(Traza la curva)
IES0Calderón0de0la0Barca0F0GijónDpto'0de0dibujoApuntes0de0dibujo0técnico01º0bachillerato CURVAS CÓNICAS
1P'1
Cónicas
El0plano0es0oblicuo0al0eje0del0conoy0corta0a0todas0las0generatrices'
Caso0particular:0si0el0plano0esperpendicular0al0eje)0tenemos0una0circunferencia'
El0plano0es0oblicuo0o0paraleloal0eje0del0cono0y0paralelo0ados0generatrices'Curva0abierta0con0dos0ramas'
El0plano0es0oblicuo0al0eje0y0paralelo0a0una0generatriz'Curva0abierta0con0una0rama'
Hipérbola ParábolaElipse
Son0las0curvas0que0resultan0al0seccionar0una0superficie0cónica0con0un0plano'zLa0superficie0cónica0completa0de0revolución0es0engendrada0por0una0recta)0llamada0generatriz)0que0gira0alrededor0deun0eje0al0que0corta0en0un0punto)0llamado0vérticeq'0
Para ver mejor las cónicas, se recomienda ver animaciones, que puedes encontrar en Youtube y en Geogebra.
Cónicas0degeneradas:0cuando0el0plano0pasa0por0el0vértice)0podemos0tener0un0punto)0dos0rectas0o0una0recta'
directrizF
plano de la directriz
Fv
directriz0d
directriz0dv
F
plano de la directriz
plano
de la directriz directriz0dv
plano de la directriz
plano de la directriz
directriz0d
Fv
F
Esferas de DandelinDescubiertas0por0el0matemático0belga0GP0Dandelin'0Interiores0al0cono)0Son0tangentes0al0plano0secante0y0a0la0superficie0cónica'0Su0punto0de0contacto0con0el0plano0secante0es0el0foco0o0focos'
IES0Calderón0de0la0Barca0/0GijónDptof0de0dibujoApuntes0de0dibujo0técnico0Pº0bachillerato CÓNICASu
P'fT
Elipse
Curva0cerrada0y0plana0lugar0geométrico0de0los0puntos0cuya0razón0de0distancias0a0un0punto0FFoco)0y0a0una0recta0FDirectriz)0es0constante=0igual0a0la0excentricidad0e0siendo0e0<0cOa
Curva0cerrada0y0plana0lugar0geométrico0de0los0puntos0cuya0suma0de0distancias0a0dos0puntos0fijosllamados0focos0es0constante0e0igual0a0Ta0<0eje0mayorf
Elementos de la elipse
Simetrías Diámetros
Vértices Focos
Radiosuvectores
O
OA B
C
D
F F(
P
P(
OA B
C
D
F F(O
A B
C
D
F F(
a
c
b
OA B
F F(
Tc
Ta
Toda0cuerda0que0pase0por0el0centro0es0un0diámetro0de0la0elipsefDentro0de0los0infinitos0diámetros0posibles=0hay0unos0pares0llamados0diámetrosuconjugados=0como0MM(0y0NN(=0en0los0que0se0cumpleí0PX0<0PX(
La0elipse0tiene0cuatro0vértices0que0sonlos0puntos0donde0los0ejes0cortan0a0la0curvaf
Las0magnitudes0de0los0ejes0se0designaní
ABu=uejeumayoru=u2a
CDu=uejeumenoru=u2b
Son0los0puntos0F0y0F(0sobre0el0eje0mayorfSon0simétricos0con0respecto0al0centro0Of
FFfu=udistanciaufocalu=u2c
Observa0el0triángulo0rectángulof00000a2u=ub2u+uc2
Son0los0segmentos0que0unen0cualquierpunto0de0la0curva0con0los0focosfSu0suma0es0constante0y0se0cumpleí
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur1u+urf1u=u2a
Los0elementos0de0simetría0soníDos0ejes0AB0y0CD0perpendiculares0entre0sifUn0centro0O0de0simetríaf
e0<0c
aMide0el0grado0de0achatamiento0de0la0elipseU0sus0límites0soní0'0;0e0;0P
e0<0'000c0<0'000circunferenciae0<0P000c0<0a000segmento0FF(
P
M
M(N
N(
X
X(
OA B
C
D
F F(
P
rPr(P
Directricesuyuexcentricidad
O
A
B
F F(
d
P
e0<0PF
Pd
Las0directrices0son0dos0rectas0asociadas0a0los0focos0en0las0que0se0cumple0la0constanteí
La0excentricidad0también0se0puedeexpresar0como0el0cociente0de0los0parámetros0c0y0a
IES0Calderón0de0la0Barca0z0GijónDptoN0de0dibujoApuntes0de0dibujo0técnico0xº0bachillerato CÓNICAS
x=NqNx
Elipse. Circunferencia principal.
OF Fy
La0circunferencia0principal0deuna0elipse0tiene0por0centro0Oy0su0diámetro0es0qa0áeje0mayormN
Es0el0lugar0geométrico0de0lospies0de0las0perpendiculares0a0las0tangentes0trazadas0desde0los0focosN
Nos0permite0trazar0la0elipse0por0envolventesN0
F Fy
O
Elipse. Circunferencias focales.
OF Fy
La0elipse0tiene0dos0circunferencias0focalesN
Sus0centros0son0los0focosN
Su0radio0es0qa0álongitud0del0eje0mayormN
Son0los0lugares0geométricos0de0los0puntossimétricos0de0los0focos0respecto0a0las0tangentesN
Fyx0simétrico0de0Fy
Fx0simétrico0de0F
tangente
Elipse. Rectas directrices.
e0=0excentricidadN0Constante0que0mide0el0grado0de0achatamiento0de0la0elipse;0sus0límites0son:0=0<0e0<0x
e0=0=000circunferencia00000000000000000e0=0x000segmento0FFy
OA
B
F Fy
dy
P
e0=0PF
PD
d
D
Para0cualquiera0de0las0secciones0cónicasg0la0distancia0de0un0punto0fijo0áel0focom0es0proporcional0a0la0distancia0desde0una0línea0fija00llamada0directrizN0Esta0constante0de0proporcionalidad0es0llamada0excentricidadN
La0elipse0tiene0dos0directricesgperpendiculares0al0eje0mayorN
En0la0figura0vemos0las0directrices0d0y0dyg0son0la0intersección0del0plano0en0el0cual0surgela0cónica0áplano0cm0con0los0planos0a0y0bg0perpendiculares0al0eje0del0conog0que0contienen0las0circunferencias0de0tangencia0de0las0esferas de Dandelin0con0la0superficie0cónicaNObserva0los0focos0de0la0elipseg0son0los0puntos0de0tangencia0de0las0esferas0con0el0plano0cN0
Fy
d
dy
Trazado0para0obtener0las0directricesN
F
c
a
b
IES0Calderón0de0la0Barca0,0GijónDptof0de0dibujoApuntes0de0dibujo0técnico0qº0bachillerato CÓNICASv
q3fáfá
Trazadovdevlavelipse.v
OF F:
Esta0construcción0se0basa0en0el0criteriode0lugar0geométricoV0PF0x0PF:0M0AB0M0áaf
Se0toman0puntos0auxiliares0sobre0eleje0mayory0entre0el0centro0y0un0focofA0continuación0se0trazan0arcos0de0circunferencia0FPqy0FPáy0FPv00fff0de0radios0Aqy0Aáy0Av0fff0que0se0cortarán0correlativamente0con0los0arcos0F:Pqy0F:Pá0fffy0radios0Bqy0Báy0ffff
Se0unen0los0puntos0a0mano0alzadaf
Trazadovporvafinidad
Se0trazan0dos0circunferencias0de0centro0Oy0diámetros0la0longitud0d0elos0ejesf
Se0toman0puntos0P:y0Q:y0R:0fff0en0lacircunferencia0mayor0y0se0obtienen0sus0homólogos0Py0Qy0R0fffy0que0son0de0la0elipseyen0la0intersección0de0las0paralelas0a0los0ejesf
Trazadovdadosvdosvdiámetrosvconjugadosv(porvafinidad)
Construcciónvporvpuntos
La afinidad es una transformación geométrica que veremos el próximo curso.
DatosV0de0los0tres0parámetros0ay0by0c0nos0dan0dosf
Dos0diámetros0conjugados0son0aquellos0que0corresponden0a0la0proyección0Pcilíndrica+de0dos0diámetros0de0la0circunferencia0que0se0cortan0perpendicularmentef
Un0diámetro0conjugado0pasa0por0los0puntos0medios0de0las0cuerdas0paralelas0al0otrof
qávA B
Pq
PáPv
Esta0construcción0se0basa0en0laafinidad0entre0circunferencia0y0elipsef
OOA B
C
D
P:
P
TrazadovporvenvolventesvVer0Ocircunferencia0principal0Phoja0q3fq+
X
X:
O
M
M:N
N:
P
PV0punto0medio0de0XX:
OA B
C
DM
M:
N
N:
O
M
M:
N
N:
U3º
M
M:
NU3º
O
N:
Trazamos0una0perpendicular0al0diámetromayor0y0dibujamos0la0semicircunferenciade0diámetro0NN:
Observa0que0la0elipse0sobresale0de0la0circunferencia0NN:
c
a
bFgF
c
aFgF
P
FgF
P
O AgA
B
Bg
IESéCalderónédeélaéBarcaé:éGijónDptoqédeédibujoApuntesédeédibujoétécnicoé(ºébachillerato CÓNICASg
(zq)
Hipérbola LugarégeométricoédeélosépuntosédeléplanoécuyaédiferenciaédeédistanciaséaédosépuntoséfijoséllamadoséfocoséeséconstanteqéElélugaréeséunaécurvaéabiertaéplanaédeédoséramasqTambién:élugarégeométricoédeélosécentrosédeélasécircunferenciasétangenteséaéotraédadaéqueépasanéporéunépuntoéfijoéexterioréaééstaq
PFg-gPFíg=g2a
Focos:ésonélosépuntoséfijoséFéyéFgq
Ejegprincipalgogreal:éAAgéenélaérectaéqueépasaéporéloséfocosq
Ejegsecundariogogimaginario:éBBgéenélaémediatrizédelésegmentoéFFg
Centro:épuntoéOéintersecciónédeélosédoséejesq
Vértices:élosépuntoséAéyéAgésonélosévérticesérealesqLosépuntoséBéyéBgésonélosévérticeséimaginariosq
Radiosgvectores:ésonélosésegmentoséPFéyéPFgéqueévanédesdeéunépuntoédeélaéhipérbolaéaéloséfocosqSuédiferenciaéeséconstanteq
LosépuntoséBéyéBgéseéobtienenéenélaéintersecciónédelejeésecundarioéconélaécircunferenciaédeécentroéAgéyéradioécq
Distanciagfocalém2cy:éeséelésegmentoéFFgé=é2cé
Ejeémayorém2ay:ésegmentoéAAgé=é2aEjeémenorém2by:ésegmentoéBBgé=é2b
Simetrías:élosédoséejesésonéejeédeésimetríaq
c2g=ga2g+gb2
Asíntotas:ésonélasédosérectaséqueépasanéporéelcentroéyéqueétiendenéaéacercarseéaélaécurvaésinéencontrarseénuncaémtangenteséenéeléinfinitoyqSeétrazanéconstruyendoéelétriánguloéOMAgq
Cuandoélaséasíntotaséformanéunéánguloédeé=íºconéeléejeérealélaéhipérbolaéseéllamaéequiláteraq
Elementos de la hipérbola
O Ag
M
b
asíntota
asíntota
IES0Calderón0de0la0Barca0g0GijónDptoF0de0dibujoApuntes0de0dibujo0técnico0=º0bachillerato CÓNICAS
=íFPF=
Hipérbola
ExcentricidadM0mide0la0mayor0o0menor0abertura0de0las0ramas0de0la0curvaF0A0mayor0valor0de0excentricidadL0mayor0aberturaF0(la0curva0se0acerca0a0la0directrizzFA0menor0valorL0la0curva0se0acerca0al0eje0realL0adoptando0una0forma0apuntadaF
La0hipérbola0también0puede0definirse0como0el0lugar0geométrico0de0los0puntos0cuyo0cociente0de0distancias0a0un0punto0fijo0F0llamado0foco0y0a0una0recta0fija0d0llamada0directrizL0es0una0constante0mayor0que0=F0Esa0constante0es0la0excentricidadF0La0hipérbola0tiene0una0directriz0para0cada0focoFLas0directrices0se0obtienen0en0la0intersección0de0las0asíntotas0con0la0circunferencia0principalF
e0<0c0q0a e0<0PF0q0PD00
F,F
PD
d,d
F,F
T
Circunferencia principal
Su0centro0es0O0y0su0diámetro00/aF
O
F,F
Circunferencias focales
Sus0centros0son0los0focos0y0su0radio0/aF
O
Se0denomina0diámetro0real0de0la0hipérbola0a0cualquier0recta0que0pase0por0el0centro0y0corte0a0la0curvaF0(Ver0MNz0Se0denomina0diámetro0imaginario0a0cualquier0recta0que0pase0por0el0centro0y0no0toque0a0la0curvaF0(Ver0RSz0El0sector0correspondiente0a0los0diámetros0imaginarios0está0determinado0por0las0asíntotasF
Diámetros conjugados
El0diámetro0conjugado0RS0de0uno0dado0MN0es0el0lugar0geométrico0de0los0puntos0medios0de0las0cuerdas0paralelas0a0élF0Si0un0diámetro0es0realL0su0conjugado0es0imaginarioL0y0viceversaF
Las0tangentes0a0la0hipérbola0(Ver0t=0y0t/z0en0los0extremos0de0un0diámetro0real0son0paralelas0al0diámetro0conjugado0imaginarioF
La0circunferencia0focal0de0un0foco0es0el0lugar0geométrico0de0los0puntos0simétricos0del0otro0foco0con0respecto0a0cualquier0tangente0a0la0hipérbolaF
Es0el0lugar0geométrico0de0los0pies0de0las0perpendiculares0a0las0tangentes0desde0los0focosFEs0también0el0lugar0geométrico0de0los0puntos0medios0entre0un0foco0y0su0simétrico0respecto0a0la0tangenteF
El0punto0TL0punto0de0contacto0de0una0tangente0con0la0curvaL0está0alineado0con0un0foco0y0el0simétrico0del0otro0con0respecto0a0esa0tangente0(ver0línea0de0puntos0en0el0dibujozF0La0tangente0es0bisectriz0del0ángulo0formado0por0TL0F0y0F=F
t
M
F=simétricode0F
Diámetrost=
t/
M
N
R
S
Directrices y excentricidad
y0también
=0R0e0R0 2
e0<0=00000c0<0a0000000dos0semirrectas
e0<00000000a0<0í0000000mediatriz0de0FF,2
FF=
Py
O AA=
FF=
IESsCalderónsdeslasBarcasfsGijónDptoLsdesdibujoApuntessdesdibujostécnicosyºsbachillerato CÓNICAS
ygLTLí
Hipérbola
PFsfsPF=s=sía
MarcamosspuntossyHsíHsqLLLssobreselsejesprincipalL
HacemosscentrosenselsotrosfocosconsradiosA=yHsA=íHsA=qLLL
HacemosscentrosenselsfocosFstomandoscomoradioslasdistanciasAyHsAíHsAqLLL
LosspuntossdeslasotrasramasdeslascurvassesconsiguenconslasmismasoperaciónHsinvirtiendoslosscentrossFsysF=HosbiensporssimetríaL
Consestesmétodosobtenemossparejassdesradios vectoresHcuyasdiferenciassiempresessconstantesesigualsasíaL
PrimerossituamossunspuntosPsdeslascurvaHobtenidosmedianteselsmétodosanteriorL
Trazado de la hipérbola por puntos
1 2 3
P=y
ObservasquesA=ysfsAys=síaA=ísfsAís=síaLLL
Trazado de la hipérbola por haces proyectivos
TrazamosselsrectángulosARPSL
DividimosslossladossRPsysSPsenselsmismosnúmerodespartessigualesL
LuegostrazamossrectassquesunenselsvérticesAsconslassdivisionessdesRPHsyselsvérticesA=sconslassdivisionessdesSPHsobteniendosenssussinterseccionesspuntosspertenecientessaslascurvaL
LasmitadsinferiorsdesestasramayslasotrasramassespuedensobtenersporssimetríaL
AA=
PR
S
1
2
3
1 2 3
IES0Calderón0de0la0Barca0=0GijónDptoM0de0dibujoApuntes0de0dibujo0técnico0íº0bachillerato CÓNICAS
íáM)
Parábola Lugar0geométrico0de0los0puntos0del0plano0que0equidistan0de0uno0fijo0denominado0foco0y0de0una0recta0denominada0directrizM0Es0una0curva0plana0y0abiertaM
F
directriz
ejeV
PA
PF0=0PA
F eje
Físimétricode0F
M
T
F
d
ejeV
P
d
tv
D
parámetro
t
Cuenta0con0un0eje0de0simetría0EP0perpendicular0a0la0directriz0y0en0el0que0se0encuentra0el0focoM0000El0vértice0V0es0punto0de0intersección0de0la0curva0con0el0ejeM0
La0tangente principal tv0es0paralela0a0la0directrizM0
Por0ser0V0un0punto0de0la0curvaP0equidista0del0foco0y0la0directrizM0VF0=0VD
Parámetro0es0la0mitad0de0la0cuerda0que0pasa0por0el0foco0y0es0paralela0a0la0directrizM
Parámetro0=0distancia0del0foco0a0la0directriz0=0FD0
La0parábola0puede0considerarse0como0una0elipse0cuyo0segundo0foco0está0en0el0infinito0zes0impropiovM
La0directriz0de0la0parábola0equivale0a0la0circunferencia focal del0foco0impropio0zyP0por0tantoP0se0convierte0en0una0rectavM
La0tangente0principal0tvzparalela0a0la0directriz0por0el0vérticev0se0corresponde0con0la0circunferencia principal0de0la0elipseM
La0directriz0zcircunferencia0focal0del0foco0impropiov0es0el0lugar0geométrico0de0los0puntos0simétricos0del0foco0F0con0respecto0a0cualquier0tangente0a0la0parábola0zFí0en0la0figuravM
La0tangente principal tv0es0el0lugar0geométrico0de0los0puntos0zM0en0la0figurav0queP0estando0en0las0tangentesP0son0los0intermedios0entre0un0foco0y0su0simétrico0con0respecto0a0cualquier0tangente0a0la0parábolaP0es0decirP0es0el0lugar0geométrico0de0los0pies0de0las0perpendiculares0a0las0tangentes0desde0el0focoM
El0punto0TP0punto0de0contacto0de0una0tangente0con0una0parábolaP0está0alineado0con0un0foco0zel0impropiovzver0línea0de0puntos0en0la0figuravM0y0el0simétrico0del0otro0con0respecto0a0esa0tangenteM0La0tangente0en0T0es0bisectriz0del0ángulo0formado0por0TP0F0y0FíM
Cualquier0punto0de0la0curva0equidista0del0foco0y0de0la0directrizM
Los0radios vectores0PF0y0PA0unen0cualquier0punto0P0de0la0curva0con0el0foco0F0y0perpendicularmente0con0la0directriz0dM
Fy0zimpropiov
tv
IES0Calderón0de0la0Barca0v0GijónDptom0de0dibujoApuntes0de0dibujo0técnico0(º0bachillerato CÓNICAS
(,mím(
Excentricidad en la parábola
F
d
eje
V
FT
dT
e0=0c0P0a c0=0FV a0=0VD e0=0(FV0=0VD
F
d
eje
V
TT
La0parábola0es0la0única0cónica0cuya0excentricidad0es0invariablem0Siempre0vale0(m
Por0tantox0todas las parábolas son semejantes0Ltienen0la0misma0formaámA0simple0vistax0no0parece0asím0La0razón0de0esto0es0la0diferencia0de0escala0yPo0que0estamos0viendo0una0porción0de0la0curvam
Observa0la0parábola0grande0de0la0izquierda0c(0y0la0de0la0derecha0cfm0Son0la0mismax0pero0vemos0sólo0un0fragmento0de0cf
A0la0izquierdax0c(0y0c)0son0homotéticas0con0centro0de0homotecia0en0Vm0La0diferencia0de0escala0nos0hace0verlas0diferentesx0pero0lo0cierto0es0que0su0forma0es0igual30son0semejantesmObserva0como0las0tangentes0son0paralelasm
T
t
tT
c(
c)
cf
D
IES0Calderón0de0la0Barca0y0GijónDptoq0de0dibujoApuntes0de0dibujo0técnico0Nº0bachillerato CÓNICAS
Nñq)q:
Trazado de la parábola
Trazado por puntos
F
directriz
V
F eje
F
d
V
P
dLa0tangente0principal0tv0es0el0lugar00geométrico0de0los0pies0de0las0perpendiculares0a0las0tangentes0desde0el0focoq
Sabiendo0esto,0basta0trazar0varios0segmentos0desde0el0focoy0donde0encuentran0a0la0tangente0principal,trazar0sus0perpendicularesq0De0esta0manera0dibujamosmuchas0tangentes0que0acaban0mostrando0la0curvaq
Este0método0se0basa0en0la0propiedad0fundamental0de0quecada0punto0de0la0curva0equidista0del0foco0y0de0la0directrizq
Marcamos0divisiones0en0el0ejeq0Conviene0que0sean0de0igualtamaño0o0muy0parecido0para0obtener0puntos0distribuidosuniformementeqNumeramos0las0divisionesq
Por0cada0división0trazamos0rectas0perpendiculares0al0ejeq
Con0centro0en0el0foco,0trazamos0arcos0de0radio0la0distancia0entre0cada0división0y0la0directrizq
Ejemplo:0Con0centro0en0el0foco0y0distancia0Nd,0trazamos0arcosque0cortan0a0la0perpendicular0del0punto0Nq
tv
1 2 3 4
eje
Trazado por rectas o haces proyectivos
1
2
3
4
1 2 3 4
eje
Primero0obtenemos0un0punto0P0gbastante0alejado0del0ejevpor0el0método0anteriorq
Construimos0el0rectángulo0VMPN0y0lo0dividimos0horizontaly0verticalmente0en0el0mismo0número0de0partes0igualesqTrazamos0rectas0horizontales0por0las0divisiones0verticalesqTrazamos0rectas0que0unen0el0vértice0V0con0las0divisiones0horizontalesq0Estas0rectas0intersectan0a0las0horizontalesen0puntos0de0la0curvaqLa0otra0mitad0de0la0curva0se0puede0obtener0por0el0mismométodo0o0aplicando0simetríaq0
Trazado por tangentes envolventes
V
M
N
IES0Calderón0de0la0Barca0v0GijónDptof0de0dibujoApuntes0de0dibujo0técnico0zº0bachillerato CURVAS CÓNICAS
záfO
Algunas aplicaciones de las cónicas
Jf0Lf0Synge09zÓíNvzííO7
Horno0solarf0Paraboloide0de0revoluciónfLos0rayos0solares0se0concentran0en0el0focofSimilar0a0una0antena0parabólicaf
Parábola0de0seguridadf0Envuelve0a0todaslas0posibles0parábolas0lanzadas0desde0unpunto09para0proyectiles0con0igual0empuje7f
La0trayectoria0de0un0proyectil09no0autopropulsado7Ppor0ejemplo0una0bala0o0una0flechaP0es0siempre0una0parábolaPdesde0el0mismo0instante0que0sale0del0cañónf
Sistema0LORAN09Long0Range0Navigation7La0ubicación0de0todos0los0puntos0en0los0que0las0señales0de0las0dos0estaciones0están0separadas0un0determinado0intervalo0de0tiempo0se0puede0representar0mediante0una0hipérbolaP0cuyos0focos0se0encuentran0en0ambas0estaciones0emisorasf0
Órbitas0elípticas0de0los0planetas0con0diferente0excentricidadf
F09Sol7
Planeta
distancia0x
distancia0y
Elhplanetahcubrehlahdistanciahx
yhlahdistanciahyhenhelhmismohtiempo.
Lasháreashxhehyhsonhiguales.
Elhplanetahsehmuevehmáshrápido
cuandohestáhmáshpróximohalhsol
área0x
área0y
Segunda ley de Kepler
Perihelio Afelio
Ademáshdehlashrectas,hcírculos,hplanoshyhesferashquehconocehcualquierhestudiantehdehEuclides,h
loshgriegoshsabíanhlashpropiedadeshdehlashcurvashquehsehobtienenhalhcortarhunhconohconhunhplano:h
lahelipse,hlahparábolahyhlahhipérbola.hKeplerhdescubrióhalhanalizarhsushobservacioneshastronómicash
-yhNewtonhlohdemostróhmatemáticamentehsobrehlahbasehdehlahleyhuniversalhdehlahgravitación-hqueh
loshplanetashdescribenhelipses.hAsíhsehhizohdehlahgeometríahdehlahGreciahantiguahpiedrahangularhdehlah
astronomíahmoderna.h
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