Intervalo de on�ança e
teste de hipóteses
Cristiano de Carvalho Santos
professor.pa otes.estatisti os�gmail. om
Grupo Google: Pa otesEstatisti os2016
Departamento de Estatísti a,
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
Intervalo de on�ança para µ quando σ2
é
onhe ido
Suposições:
◮Variân ia popula ional σ2
onhe ida;
◮Os dados tem distribuição Normal ou a amostra é grande.
O intervalo de γ100% de on�ança é dado por
IC (µ, γ) =
[
x̄ − zγ/2σ√n, x̄ + zγ/2
σ√n
]
,
onde zγ/2 é o valor da distribuição N(0, 1) tal queP(0 < Z < zγ/2) =
γ2
ou, equivalentemente, P(Z < zγ/2) =1+γ2
.
Exemplo
Sabe-se que o onsumo mensal per apita de um determinado
produto tem distribuição normal om desvio padrão de 2kg. Foi
realizada uma pesquisa de mer ado om 25 indivíduos dados a
seguir:
9.8 8.5 7.0 10.4 8.9 7.9 5.9 7.7 8.8 7.7 7.9 5.1
9.9 7.6 8.4 3.7 6.8 7.5 8.5 5.1 7.6 5.0 6.1 6.1 10.2
Deseja-se obter um intervalo de 95% de on�ança para o onsumo
médio mensal per apita.
Como fazer no R?
◮Fazendo as ontas passo a passo, utilizando o R omo uma
al uladora;
◮Construir uma função;
◮Usar a função �z.test� do pa ote �Tea hingDemos��.
Resolução no S ript!
Teste para média popula ional µ (σ2
onhe ido)
Suposições: Distribuição normal é adequada para os dados, ou a
amostra é grande o su� iente, e a variân ia popula ional σ2
é
onhe ida.
A estatísti a de teste é
Z =X̄ − µ
0
σ/√n
Assumindo H0
verdadeira, a estatísti a de teste tem distribuição
N(0, 1), pois X̄ ∼ N(µ0
, σ2/n).
Exemplo
Sabe-se que o onsumo mensal per apita de um determinado
produto tem distribuição normal om desvio padrão de 2kg. A
diretoria de uma �rma que fabri a esse produto resolveu que
retiraria o produto da linha de produção se a média de onsumo
per apita fosse menor que 8kg. Caso ontrário, ontinuaria a
fabri á-lo. Foi realizada uma pesquisa de mer ado om 25
indivíduos dados a seguir:
9.8 8.5 7.0 10.4 8.9 7.9 5.9 7.7 8.8 7.7 7.9 5.1
9.9 7.6 8.4 3.7 6.8 7.5 8.5 5.1 7.6 5.0 6.1 6.1 10.2
Qual a de isão da �rma a 5% de signi� ân ia?
Resolução no S ript!
Intervalo de on�ança para µ quando σ2
é
des onhe ido
Neste aso, usamos o desvio padrão amostral e o intervalo de
γ100% de on�ança é dado por
IC (µ, γ) =
[
x̄ − tγ/2s√n, x̄ + tγ/2
s√n
]
,
onde t γ
2
é o valor en ontrado na tabela da distribuição t-Student
om n − 1 graus de liberdade tal que P(0 < T < tγ/2) =γ2
ou
P(T > tγ/2) =1−γ2
.
Exemplo:
O tempo de reação de um novo medi amento pode ser onsiderado
omo tendo distribuição Normal e deseja-se fazer inferên ia sobre a
média que é des onhe ida obtendo um intervalo de on�ança.
Vinte pa ientes foram sorteados e tiveram seu tempo de reação
anotado. Os dados foram os seguintes (em minutos):
2.9 3.4 3.5 4.1 4.6 4.7 4.5 3.8 5.3 4.9
4.8 5.7 5.8 5.0 3.4 5.9 6.3 4.6 5.5 6.2
Como fazer no R?
◮Fazendo as ontas passo a passo, utilizando o R omo uma
al uladora;
◮Construir uma função;
◮Usar a função �t.test�.
Resolução no S ript!
Teste para média popula ional ν (σ2
des onhe ida)
Suposições: Os dados são normalmente distribuídos (ou a amostra
é grande), mas não onhe emos a variân ia popula ional σ2
.
A estatísti a de teste é
T =X̄ − µ
0
s/√n.
Assumindo H0
verdadeira, a estatísti a de teste tem distribuição
t-Student om n − 1 graus de liberdade.
Exemplo:
O site mer ado imobiliário a�rma que o preço médio de
apartamentos no Barreiro é de 195 mil reais. O PROCON de Belo
Horizonte diz que os preços dos imóveis naquela região tem preços
maiores do que 195 mil reais. Para he ar esta informação o
pro on olheu uma amostra dos preços de vendas de 20 imoveis
vendidas no Barreiro:
198; 185; 205,2; 225,3; 206,7; 201,85; 200; 189; 192,1; 200,4
302; 195; 215,4; 235,3; 216,3; 191,85; 174,6; 199; 195,4; 202,9
Teste a a�rmação do PROCON usando 10% de signi� ân ia.
Resolução no S ript!
Intervalo de on�ança para a proporção
popula ional p
Suposição ne essária: A amostra é �su� ientemente� grande
para usar o TCL.
A partir do TCL, obtemos que para amostras grandes
p̂ ∼ N(
p, p(1−p)n
)
, e disso segue que o IC é
IC (p, γ) =
[
p̂ − zγ/2
√
p(1− p)
n, p̂ + zγ/2
√
p(1− p)
n
]
,
onde zγ/2 é o valor da distribuição N(0, 1) tal queP(Z < zγ/2) =
1+γ2
Problema: Não onhe emos
p(1−p)n
.
Abordagem Otimista
E = zγ/2
√
p̂(1− p̂)
n
Abordagem Conservativa
(Assume maior variân ia possível - p̂ = 0, 5)
E = zγ/2
√
1
4n
Exemplo: Numa pesquisa om 50 eleitores, o andidato José João
obteve 0,34 da preferên ia dos eleitores. Construa, para a
on�ança 94%, os intervalos otimista e onservador de on�ança
para a proporção de votos a serem re ebidos pelo andidato
men ionado, supondo que a eleição fosse nesse momento.
Teste para um proporção popula ional
A estatísti a de teste é
Z =p̂ − p
0
√
p0
(1−p0
)n
,
em que p0
é o valor que está sendo testado e p̂ é a proporção
amostral.
Intervalo de on�ança para σ2
Suposições ne essárias:
◮Amostra é uma amostra aleatória simples;
◮população deve ser normalmente distribuída (mesmo que a
amostra seja grande).
O intervalo de γ de on�ança para σ2
é obtido por
IC (σ2, γ) =
[
(n − 1)s2
χ2
D
;(n − 1)s2
χ2
E
]
,
em que obtemos χ2
E e χ2
D na tabela Qui-Quadrado de tal forma que
P(χ2 < χ2
E ) =1− γ
2
e P(χ2 > χ2
D) =1− γ
2
.
Teste de hipóteses para σ2
Neste aso a estatísti a de teste possui distribuição Qui-quadrado e
é dada por
χ2 =(n − 1)s2
σ2
.
Exemplo no S ript!
Testes Qui-quadrado
◮Independên ia: O objetivo é testar a independên ia de duas
variáveis qualitativas (ou ategóri as) apresentadas em uma
tabela de ontingên ia de k linhas e m olunas;
◮Homogeneidade: O objetivo do teste é veri� ar se as
diferentes populações apresentam as mesmas proporções para
ada uma das ategorias A1
... Ac ;
◮Aderên ia: Testar se os dados amostrais aderem ao um
modelo probabilísti o (distribuição) ou não.
Estatísti a de Teste:
χ2
obs =k
∑
i=1
m∑
j=1
(Oij − Eij)2
Eij
ou
χ2
obs =n
∑
i=1
(Oi − Ei)2
Ei
.
◮Função: hisq.test
Testes de Aderên ia ou Normalidade
◮QQ-plot;
◮Teste Qui-quadrado;
◮Shapiro-Wilk;
◮Kolmogorov-Smirnov;
◮Anderson-Darling.
Testes para duas populações
◮Teste para variân ias: var.test;
◮Teste para médias: t.test;
◮Teste para proporções: prop.test.
Lista de Exer í ios 6
◮Forma de entrega: Mandar por email um arquivo �.txt� ou �.R�
om os omandos utilizados na resolução da lista de exer í ios.
◮Salvar arquivo om nome Lista6-nomes dos
autores-in ompleta ou Lista6-nomes dos autores-�nal.
Exer í ios:
1. En ontre intervalos de on�ança de 95% para a média de uma
distribuição Normal om variân ia 1 dada a amostra abaixo.
9.5 10.8 9.3 10.7 10.9 10.5 10.7 9.0 11.0 8.4
10.9 9.8 11.4 10.6 9.2 9.7 8.3 10.8 9.8 9.0
2. Refaça o exer í io anterior assumindo que a variân ia
popula ional é des onhe ida. Também teste a hipótese de que
a média popula ional é igual 9.5 om 10% de signi� ân ia.
3. Pretende-se estimar a proporção p de ura, através de uso de
um erto medi amento em doentes ontaminados om
er ária, que é uma das formas do verme da esquistosomose.
Um experimento onsistiu em apli ar o medi amento em 200
pa ientes, es olhidos ao a aso, e observar que 160 deles foram
urados. Montar o intervalo de on�ança para a proporção de
urados. Note que há duas expressões possíveis para este IC: o
�otimista� e o � onservativo�. En ontre ambos intervalos.
4. Queremos veri� ar se duas máquinas produzem peças om a
mesma homogeneidade quanto a resistên ia à tensão. Para
isso, sorteamos dias amostras de 6 peças de ada maquina , e
obtivemos as seguintes resistên ias:
Máquina A 145 127 136 142 141 137
Máquina B 143 128 132 138 142 132
Obtenha intervalos de on�ança para a razão das variân ias e
para a diferença das médias dos dois grupos.
5. Suponha que foram ouvidos 20 eleitores, dos quais 16
responderam favoráveis ao projeto. Teste a hipótese
alternativa de que p > 0, 70 usando as funções prop.test ( om
e sem orreção de ontinuidade) e binom.test. Compare os
resultados obtidos om o teste aproximado (prop.test) om e
sem orreção de ontinuidade om o resultado do teste exato
(binom.test).
6. Faça o exer í io 4 da página 107 do relatório té ni o
�BIOESTATÍSTICA BÁSICA USANDO O AMBIENTE
COMPUTACIONAL R� disponível no site do departamento de
estatísti a da UFMG.
7. Faça os exer í ios 1 e 2 da página 141 do relatório té ni o
�BIOESTATÍSTICA BÁSICA USANDO O AMBIENTE
COMPUTACIONAL R�.
8. Faça os exer í ios 1 e 2 das páginas 154 e 155 do relatório
té ni o �BIOESTATÍSTICA BÁSICA USANDO O AMBIENTE
COMPUTACIONAL R�.
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