O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
GOVERNO DO PARANÁSECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃOPROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL-PDE
VERA LUCIA DE SOUZA MAGNONI
O USO DE MATERIAIS CONCRETOS NO ENSINO DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU PARA ALUNOS DEFICIENTES
VISUAIS E/OU VIDENTES.
IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ - UNIOESTEORIENTADORA: PROFª. Ms. RENATA CAMACHO BEZERRA
ÁREA: MATEMÁTICA
TERRA ROXA-PR2010
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ-UNIOESTE
VERA LUCIA DE SOUZA MAGNONI
O uso de materiais concretos no ensino de equações do 1º grau para alunos deficientes
visuais e/ou videntes.
Unidade didática apresentada ao Programa de Desenvolvimento Educacional/PDE2009. Orientadora: Profª. Ms. Renata Camacho Bezerra
TERRA ROXA-PR2010
IDENTIFICAÇÃO
Área: Matemática
Professora PDE: Vera Lucia de Souza Magnoni
NRE: Toledo
Orientadora: Profª. Ms. Renata Camacho Bezerra
IES: Universidade Estadual do Oeste do Paraná - UNIOESTE
Escola para Intervenção: Colégio Estadual Presidente Arhur da Costa e Silva.
Título: O uso de materiais concretos no ensino de equações do 1º grau para
alunos deficientes visuais e/ou videntes.
Conteúdo: Equações do 1º grau
Público: Alunos do 1º Ano do Ensino Médio
Município: Terra Roxa – Paraná
OBJETIVO GERAL: Propor uma metodologia que facilite o ensino-aprendizagem
através do material concreto, visando aplicação junto aos alunos deficientes visuais
(cegos e/ou de baixa visão), e também junto aos alunos videntes, com intuito de
contribuir para sanar e/ou minimizar as dificuldades referentes à aprendizagem do
conteúdo de equações do 1º grau.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Possibilitar ao aluno experiências lógico-matemáticas, com
desenvolvimento do raciocínio lógico e da atenção, entre outras
aquisições cognitivas que serão adquiridas na evolução de cada fase
do conhecimento;
• Minimizar as dificuldades encontradas no processo ensino-
aprendizagem, contribuindo para a construção de cenários educativos
mais inclusivos;
• Contribuir para a melhoria das práticas de sala de aula que envolvam
alunos deficientes visuais e/ou videntes com dificuldades de
aprendizagem;
• Permitir, através dos materiais concretos, um maior envolvimento dos
alunos deficientes visuais e/ou alunos videntes, com dificuldades de
aprendizagem nas tarefas propostas, pelas potencialidades de
descoberta e exploração que a manipulação tátil pode permitir;
• Proporcionar apoios necessários para que o aluno deficiente visual
possa ter sucesso escolar numa classe/turma regular;
• Facilitar a compreensão e a aprendizagem de equações de 1º grau
através de materiais concretos;
• Valorizar a troca de experiências entre alunos;
• Possibilitar a integração do educando ao mundo em que vive;
• Proporcionar um estudo dinâmico e diferenciado através do uso de
material concreto.
SUMÁRIO DE FIGURAS
Figura 1- Peça do equal com escritas em Braille, letra ampliada e letra cursiva
(monômio positivo)......................................................................................................13
Figura 2- Peça do equal com escrita em Braille, letra ampliada e letra cursiva
(número inteiro negativo)............................................................................................13
Figura 3- Parte interna da maleta do equal com suas respectivas peças.................13
Figura 4- Parte externa da maleta do equal...............................................................13
Figura 5- Quadro do equal para as representações e resoluções das equações do 1º
grau.............................................................................................................................14
Figura 6- Representação da linguagem simbólica de um problema, com escritas em
Braille, letra cursiva e letra ampliada..........................................................................16
Figura 7- Representação da equação para o estudo da variável- números
positivos......................................................................................................................17
Figura 8- Representação da equação para o estudo da variável- números negativos
e positivos...................................................................................................................18
Figura 9- Representação de uma equação do 1º grau, com resolução através do
princípio da igualdade.................................................................................................20
Figura 10- Representação de uma equação, com resolução através do método
formal (efetuar a mesma operação em ambos os lados)...........................................23
Figura 11- Representação de uma equação do 1º grau, com resolução através do
método de desfazer (operar ao contrário)..................................................................25
Figura 12- Representação de uma equação fracionária............................................27
Figura 13- Representação da linguagem algébrica dos problemas, com resoluções
através de uma equação do 1º grau...........................................................................30
SUMÁRIO
1-INTRODUÇÃO 08
2- DESCRIÇÃO DO MATERIAL CONCRETO 12
3-ATIVIDADES NO “EQUAL” 15
3.1 - LINGUAGEM SIMBÓLICA 16 3.2 - PAPEL DA VARIÁVEL 173.3 - EQUAÇÕES EQUIVALENTES 19 3.4 - MÉTODOS PARA RESOLVER UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU 21 3.5 - EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS 26 3.6 - OS PROBLEMAS E A LINGUAGEM ALGÉBRICA 283.7 - RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 303.8 - TESTANDO O RACIOCÍNIO 32
4-REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 34
5-APÊNDICE 36
Apêndice 1-LINGUAGEM SIMBÓLICA 36Apêndice 2-PAPEL DA VARIÁVEL 37Apêndice 3-EQUAÇÕES EQUIVALENTES 38Apêndice 4-MÉTODOS PARA RESOLVER UMA EQ. DO 1º GRAU 40Apêndice 5-EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E EQ. FRACIONÁRIAS 41Apêndice 6-OS PROBLEMAS E A LINGUAGEM ALGÉBRICA 43Apêndice 7-RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 45Apêndice 8-TESTANDO O RACIOCÍNIO 51
1- INTRODUÇÃO
A falta de qualificação/atualização de professores, de planejamento, a falta de
recursos, materiais, criatividade, motivação - por parte dos professores e dos alunos,
entre outros, tem gerado desequilíbrios, refletindo em alguns fatores como: evasão
escolar e traumas psicológicos, dentre outros problemas.
É preciso melhorar a qualidade de ensino, no entanto, para que isso ocorra,
temos que modificar nossos pensamentos em relação à educação, pois uma
transformação educacional significativa depende das ações conjuntas de todos os
envolvidos no processo educacional. Logo, cabe aos envolvidos, a responsabilidade
de criar, pesquisar, refletir e agir para mudar a realidade que envolve a educação,
investindo em práticas pedagógicas que venham melhorar o processo de ensino-
aprendizagem. Enfatizando a qualidade do conhecimento e não a quantidade, pois a
escola deve ser vista como um ambiente de construção do conhecimento, dando
oportunidades adequadas para o desenvolvimento das potencialidades de cada
educando, independente das dificuldades e particularidades de cada um.
Durante os anos de trabalho no ensino Médio, tem-se percebido que o
processo de construção de conceitos matemáticos vem ocorrendo de maneira
invertida, bastando para isso observar os freqüentes erros frente às resoluções de
equações do 1º grau. Portanto cabe ao professor proporcionar um ambiente
motivacional de forma que os alunos venham se sentir estimulados a estudar,
procurando meios que favoreça a discussão, a exploração e descobertas de
conceitos matemáticos.
Estudos realizados por Booth (1982) e Kieran (1981) sobre as dificuldades dos
alunos no aprendizado da álgebra, mostraram que o início das dificuldades, em
álgebra, está na incompreensão de conceitos, princípios e convenções da aritmética
ou concepções errôneas decorrentes de uma falsa generalização dos procedimentos
aritméticos, na compreensão insuficiente das relações existentes entre as operações
e das propriedades operatórias dos números, nas diferentes interpretações do sinal
de igualdade e soma.
É preciso estar ciente que os conceitos básicos devem ser desenvolvidos a
partir das séries iniciais, onde se trabalha as operações aritméticas, para que na 6ª
série a álgebra e a aritmética possam caminhar juntas, pois se os alunos tiverem
concepções erradas a respeito dos procedimentos aritméticos o desempenho em
8
álgebra poderá ser afetado. Todos nós sabemos que não existe um método ideal.
Compete ao professor, dentro das características pessoais, da sua classe e do seu
meio, escolher o melhor (método), para melhores resultados.
Sendo assim, ao procurar uma metodologia que desse suporte em sala de
aula, para tornar a matemática mais significativa e melhorar o ensino de álgebra nas
escolas públicas, propomos o trabalho com material concreto, por acreditar que ele
seja um catalisador para a aprendizagem matemática, pois segundo RÊGO e RÊGO
(2006): “O material concreto tem fundamental importância, pois, a partir de sua
utilização adequada os alunos ampliam sua concepção sobre o que é, como e para
que aprender matemática.”
No que diz respeito a alunos com deficiências visuais, o conjunto de desafios
enfrentados pelos professores em relação ao processo de ensino-aprendizagem,
como a falta de material didático, cursos específicos, entre outros, não devem ser
obstáculos e muito menos servir de justificativas para o descaso em relação ao
ensino-aprendizagem desses alunos. BARBOSA (2003) discorre que:
Buscar os recursos mais adequados para trabalhar com alunos portadores
de deficiência visual é tarefa que exige do professor enxergar além da
deficiência, lembrando que há peculiaridades no desenvolvimento de todas
as crianças, tendo elas deficiências ou não (BARBOSA, 2003, p.19).
A limitação é fato, mas não é empecilho para a compreensão/assimilação dos
conteúdos, pois a falta de visão pode ser suprida explorando os outros sentidos
remanescentes.
Quando se trata de alunos videntes, sabemos que as dificuldades de
aprendizagem também é uma limitação, mas é preciso que haja valorização das
metas, enriquecimento da aprendizagem e não dos obstáculos encontrados pelo
caminho.
Segundo FERRONATO (2002):
O ensino de matemática é facilitado com o uso de material, independente de
o aluno, enxergar ou não. Uma vez que pode observar concretamente os
“fenômenos” matemáticos e, por conseguinte, tem a possibilidade de
realmente aprender, entendendo todo o processo e não simplesmente
decorando formas isoladas e aparentemente inexplicáveis.
9
Não podemos negar que o domínio de regras e técnicas para o trabalho com a
álgebra seja importante, porém devemos priorizar a compreensão dos conceitos
algébricos, visando o desenvolvimento do raciocínio lógico.
Por acreditar que o uso de materiais concretos, facilita o processo de ensino-
aprendizagem e que ele por si só não traz conhecimento e sim as ações, análises,
reflexões e conclusões que o sujeito realiza sobre ele, o trabalho será desenvolvido
de acordo com o esquema que GABBA (1975), nos propõe para a utilização de
material concreto nas aulas de matemática.
Manipulação de objetos concretos
Ações realizadas com objetos
Obtenção de relações
Interiorização dessas relações
Aquisição e formulação do conceito
Integração do conceito a conceitos anteriores (estruturação)
Aplicação ou reconhecimento da estrutura em novas situações
Pois, para formalizar os conceitos é preciso coordenação das ações, e isso
pode ser possível com o auxílio do material concreto. Acreditamos que através dele,
os conceitos podem ser vivenciados, formalizados e aprendidos, criando situações de
aprendizagem desafiadoras, pois o material permite ao aluno, a percepção visual e
tátil, possibilitando a relação de informações, busca de soluções para os problemas
apresentados, produção de novas ideias, raciocínio, compreensão, elaboração e
reelaboração de seu conhecimento.
O estudo de equações do 1º grau com a proposta do material concreto, será
no intuito de permitir um trabalho de sala de aula que possa se constituir numa
educação para todos.
10
2- DESCRIÇÃO DA CONSTRUÇÃO DO MATERIAL CONCRETO
O material foi projetado e construído para apoiar as aulas de matemática em
relação às dificuldades enfrentadas nas resoluções das equações do 1º grau.
Durante o trabalho de dois anos com aluno deficiente visual, surgiu a
necessidade de trabalhar com materiais concretos, tanto nas disciplinas de Química,
como na disciplina de Matemática, tais materiais serviram de modelo para a criação
de um material denominado Equal, para estudar a parte algébrica de resolução de
uma equação do 1º grau. Durante o desenvolvimento da pesquisa para a elaboração
do projeto, deparei com um projeto semelhante denominado Braimateca: Facilitando
a aprendizagem da matemática pelo deficiente visual, da autora Antonieta Aparecida
Gonçalves Pereira Kanso.
Para a confecção do material, foram utilizados os seguintes materiais:
madeira, zinco, imã e papel (especial para digitação em Braille). A elaboração das
peças teve a ajuda de um aluno DV e de sua mãe, pois o mesmo deveria estar de
acordo com as necessidades de um aluno DV, ou seja, perceptível ao tato, tanto no
formato como na escrita (em Braille).
O Equal é composto por peças quadradas de 4 cm de lado, com bordas para
papeletas (com três versões de escrita:Braille, letra cursiva e letra ampliada) e
imantadas (atrás de cada peça possui um imã neodímio com dimensões 8x1,5mm.
As mesmas são formadas por números inteiros e fracionários, negativos e positivos,
monômios positivos e negativos, sinais de igualdade, letra X representando a variável
(termo desconhecido), letra P representando números positivos, letra N representando números negativos e parênteses.
11
Figura1 Figura2
Fonte: arquivo pessoal
Essas peças serão guardadas em ordem crescente (para facilitar o manuseio
das peças pelos alunos) em uma maleta de madeira de medidas externas 50x38cm e
medidas internas 44x32cm , com chapa metálica no seu interior onde as peças serão
fixadas, facilitando o transporte do material de um grupo para o outro ou também de
uma sala para outra, se for o caso.
Figura3 Figura4
Fonte: arquivo pessoal
1 Peça do equal com escritas em Braille, letra ampliada e letra cursiva (monômio positivo).2 Peça do equal com escrita em Braille, letra ampliada e letra cursiva (número inteiro negativo).3 Parte interna da maleta do equal com suas respectivas peças.4 Parte externa da maleta do equal.
12
Para trabalhar as equações do 1º grau, as peças serão dispostas em uma
chapa metálica com dimensões de 60x40cm, com moldura (para evitar acidentes com
as bordas cortantes), semelhante a um quadro negro.
Figura5 Fonte: arquivo pessoal
5 Quadro do Equal para as representações e resoluções das equações do 1º grau.
13
3- ATIVIDADES NO EQUAL
Apresentaremos algumas atividades que serão desenvolvidas em sala de aula
e/ou no laboratório de matemática, com material concreto denominado Equal,
visando à superação das dificuldades no processo de ensino-aprendizagem das
equações do 1º grau através de experiências no material concreto já citado, que
podem propiciar a construção de idéias algébricas.
Equação do 1º grauConceito: É toda sentença matemática aberta expressa por uma igualdade, ou seja,
são igualdades que contêm pelo menos uma letra que representa um número
desconhecido.
Sentenças abertas: são aquelas que apresentam elementos desconhecidos
chamados variáveis ou incógnitas. Ex: x + 5 = 12 é uma sentença aberta a
variável é x.
Sentenças fechadas: são aquelas que não possuem variáveis ou incógnitas.
Ex: 12 – 8 = 4 é uma sentença fechada (verdadeira).
Uma equação é composta por uma expressão colocada à esquerda do sinal de
igual, chamada primeiro membro, e por outra colocada à direita do sinal de igual,
chamada segundo membro.
Observe: 4x - 2 = 10
1ºmembro 2º membroSignifica que a expressão do 1º membro: 4x - 2 e a expressão do 2º membro: 10
representam o mesmo número.
O conjunto formado pelos elementos do universo da variável que tornam a
sentença aberta uma sentença verdadeira chama-se conjunto solução.
Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da
equação.
14
3.1 – LINGUAGEM SIMBÓLICA
Objetivo: Compreender a representação de uma expressão algébrica.
Desenvolvimento: Essa atividade será desenvolvida em grupo de 4 alunos,
utilizando as peças do Equal como recurso. O professor dita as frases e os alunos
transcrevem na placa metálica as expressões algébricas.
Exemplo: O dobro de um número menos quatro.
Figura6 Fonte: arquivo pessoal
3.1.1- Encontre expressões algébricas para representar as frases a seguir:
a) Soma de um número com 6.
b) Diferença entre um número e 7.
c) Dobro de um número mais 1.
d) Quádruplo de um número.
e) Metade de um número menos 3.
f) Triplo da soma de um número com 4.
g) Dobro da diferença entre um número e 1.
h) Quádruplo da soma de um número com 9.
6 Representação da linguagem simbólica de um problema, com escritas em Braille, letra cursiva e letra ampliada.
15
3.2 - PAPEL DA VARIÁVEL
Objetivo: Explorar as peças do Equal no sentido de representar ou igualar duas
expressões algébricas de maneira concreta, a fim de introduzir o papel da variável.
(adaptado da atividade “fichas ocultas” de Thompson apud Coxford e Shulte, 1995,
p.84).
Desenvolvimento: O trabalho será desenvolvido em grupo de 4 alunos, onde serão
utilizados peças do Equal ( que representam números negativos e positivos, variável
e sinal de igualdade) fixadas na chapa metálica para as representações das
equações. Primeiramente é colocado o sinal de igual na chapa, do lado direito
coloca-se peças com números positivos e/ou negativos e à esquerda coloca-se peças
com a variável “x”.Obs. Nas representações, as peças podem ser trocadas de lado.
1º Exemplo: = P P P
Figura7 Fonte: arquivo pessoal
7 Representação da equação para o estudo da variável - números positivos
16
2ºExemplo: N = P P
Figura8 Fonte: arquivo pessoal
3.2.1- O grupo observará a montagem das peças na chapa metálica do Equal e em
seguida escreverá a expressão formada encontrando o valor da interrogação que
chamaremos de variável “x”.Obs. Nas equações a peça com a ficha oculta será substituída por uma peça com a
letra “x” , para que o aluno possa compreender o papel da variável.
Ex: = P P P *Qual valor representa a ficha oculta
P é número positivo, para que os dois lados sejam iguais?
Quantas peças positivas *Chamaremos essa peça de variável “x” ,
estão representadas? ou seja, x deve ser igual a 3.
= 3
a) X = P P N
b) X = P N N
c) X = N N
d) X = P N
8 Representação da equação para o estudo da variável - números negativos e positivos.
17
e) X = N N N
3.2.2- Observe as equações na chapa metálica e represente a equação formada:
a) X X = P P
b) X X X = P P P P P P P P N N N N N
c) X X P = P P N N N
d) X X X P P = P P N N N
e) X X X = N P P P P N N
3.2.3- Cada grupo receberá peças do Equal (que representam números negativos,
positivos, variável “x” e sinal de igualdade). Os alunos farão montagens de equações
com as peças e em seguida as representações das equações formadas.
3.3 - EQUAÇÕES EQUIVALENTES
Objetivo: Possibilitar a compreensão das operações de equilíbrio nas equações.
Desenvolvimento: A atividade será desenvolvida em grupos de 4 alunos, utilizando
as peças do equal. O professor faz a representação de uma equação algébrica na
chapa metálica e em seguida pede para os alunos utilizar as regras dos princípios da
igualdade obtendo assim equações equivalentes.
Conceito: duas ou mais equações que têm o mesmo conjunto verdade.
Exemplo: x + 5 = 8 e x= 5 – 2 são equivalentes
18
Princípios da Igualdade
a) Princípio Aditivo: Se somar (ou subtrair) um mesmo número aos dois
membros de uma igualdade, obtém-se uma sentença equivalente.
b) Princípio Multiplicativo: Se multiplicar (ou dividir) ambos os membros de uma
igualdade por um número diferente de zero, obtém-se uma sentença
equivalente.
Exemplo: 4x +1 = 3x +2
Subtraímos o valor (3x) do 1º e do 2º membro.
Assim 4x- 3x+1= 3x-3x+2, resulta em: x+1=2.
Em seguida subtraímos o valor (1) d 1º e do 2º membro.
Assim: x+1-1=2-1, resulta em x=1
Obs. Para ser equivalentes o valor de x dever ser igual a 1.
Logo, substituindo o valor encontrado na equação temos:
4.1 +1 = 3.1 +2
5 = 5 Valores em equilíbrio
Figura9 Fonte: arquivo pessoal
9 Representação de uma equação do 1º grau, com resolução através dos princípios da igualdade.
19
3.3.1- Para cada alternativa abaixo, encontre o valor de x para que as equações
sejam equivalentes entre si:
a) 5x + 3 = 4x + 9 b) 3x + 7 = 2x + 3 c) 6x – 5 = 2x + 3
d) 5x – 8 = 3x + 8 e) 8x + 2 = 6x + 4
3.3.2- Agora você é quem vai inventar equações equivalentes:
a) Escreva uma equação que começa assim 3x+ 2=...
Para que o valor de x seja igual a 1.
b) Crie outra que começa assim: 5x... = 2x +6
Para que o valor de x seja igual a 2.
3.3.3- Com as peças do equal escreva 4 equações para que a solução de cada uma
seja: 2, 3, 5, 8.
Obs. Os grupos farão troca de experiências de forma a verificar as equações
escritas.
3.4 – MÉTODOS PARA RESOLVER EQUAÇÕES
a) Método do encobrimento (ou esconder) – Consiste em “esconder”
determinado termo, a fim de encontrar uma resposta que seja satisfatória em relação
à igualdade. Por exemplo; na equação 5x+ 5= 10x, se escondermos o número 5 e
perguntarmos: 5x somado com quanto resulta em 10x? A resposta é 5x, assim 5=5x,
consequentemente x é igual a 1.
b) Método de desfazer (operar ao contrário) – Esse método baseia-se nas
noções de inversos operacionais e na reversibilidade de um processo envolvendo um
ou mais passos invertíveis. Por exemplo; na equação 2x+1=5, toma-se o resultado
numérico do lado direito e, procedendo da direita para à esquerda, desfaz-se cada
operação pela sua inversa. Entretanto, ele é claramente limitado ás equações com
uma única ocorrência de termo com a incógnita numa dada posição.
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c) Método da substituição por tentativa e erro – No exemplo: 2x = 16, o
procedimento para encontrar o valor da incógnita x se resume em determinar o
número que multiplicado por 2 é igual a 16, valendo-se do domínio de um repertório
de resposta de produtos desse tipo (tabuada).
d) Método formal – Os métodos formais de resolução de equações incluem transpor
ou efetuar a mesma operação em ambos os lados de uma equação. Embora a
transposição de termos seja considerada uma versão resumida do procedimento de
efetuar a mesma operação em ambos os lados, Esses dois métodos são diferentes.
Efetuar a mesma operação em ambos os lados de uma equação enfatiza a relação
de equivalência das equações, e essa ênfase está ausente no procedimento de
transposição.
Exemplo: 4x+ 6 = 10
Operação em ambos os lados Transposição dos termos
4x+ 6=10 4x=10-6
4x+6-6= 10-6 x= 44
4x= 4 x=44
x=1 x= 1
x=44
x=1
Objetivo: mostrar aos alunos as várias maneiras possíveis de resolver as equações
do 1º grau.
Desenvolvimento: Para resolver as atividades abaixo relacionadas serão utilizados
os métodos de resolução citados anteriormente e o material concreto Equal como
recurso nos procedimentos.
Exemplificando através de desenho os métodos de resolução de equações:
21
1º Ex: Método formal
4x+ 2= 10
4x +2 = 10
4x +2 -2 = 10 -2
4x 8
=
4 4
x = 2
Figura10 Fonte: arquivo pessoal
10 Representação de uma equação, com resolução através do método formal (efetuar a mesma operação em ambos os lados).
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2º Ex: Método da substituição por tentativa e erro.
4x+2=10
Para x=1
4 . 1 +2 = 6
Para x=2
4 . 2 +2 = 10
3º Ex: Método do encobrimento ( ou esconder)
5x+5 = 10x
5x + ? = 10x
5x = 5
x = 5/5
x = 1
4ºEx: Método de desfazer (operar ao contrário)
2x+1 = 5
5 -1 = 2x
4 = 2x
4/2 = x
x = 2
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Figura11 Fonte: arquivo pessoal
3.4.1- Resolva as equações, sendo U=Q:
GRUPO I - Eq. com uma única ocorrência do termo com a incógnita.
a) 2 t + 5 = 9 c) 4x +4 = 12 e) 4y - 6=10
b) x -9 = - 15 d) 3m + 8= 11
GRUPO II - Eq. com duas ou mais ocorrências de termo com a incógnita.
a) 5x + 2 = 2x - 4 b) 4t + 9 = 3t + 5 c) x + 1 = 7x -2
d) 2m+1 = m + 11 e) y + 9 + 3y = -3 + 2y + 7
11 Representação de uma equação do 1º grau, com resolução através do método de desfazer (operar ao contrário).
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3.5 - EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS.* Propriedade distributiva da multiplicação: Multiplicando um número natural
pela soma ou subtração de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada
uma das parcelas. Assim temos: m. (a+b) = ma + mb ou m. (a-b) = ma-mb
GRUPO I - Equações com parênteses
Para resolver essas equações, retiram-se os parênteses, aplicando a
propriedade distributiva da multiplicação.
Ex: 2(2x+1) + 3(2x -1) = 9
Resolva as seguintes equações:
a) 3(x+ 2) + 5 = x + 12 b) x + 4 (x -1) = 9 – 2( x+3)
c) 2(3x - 1) + 2 ( 3-x) = 8 d) 7(x-1) = 2(3x+ 1)
Observações: Na equação “b” o menos na frente do parêntese significa o mesmo que
multiplicar por -1.
GRUPO II – Equação com denominadores
Para eliminar os denominadores multiplicamos todos os termos (dos dois
membros) pelo m.m.c dos denominadores.
Exemplo: 3
5−x+
213 −x
= 4 m.m.c (3,2)= 6
63
)5( −x+ 6
2)13( −x
=6.4
2(x-5) + 3(3x-1) = 24 ( A partir dessa equação resolve-se como nas equações
anteriores.
25
Figura12 Fonte: arquivo pessoal
Resolva as seguintes equações:
a) 3
2−x+ 2x=
25x
b) 5x -2
7+x=10
c)3
24 +x -
212 +x
=1 d)4
53 +x-
332 −x
=3
OBSERVAÇÃO - O zero como um complicador nas equações em que é
solução, e nas equações sem solução.
Exemplos:
1º) 6x-13=6x +12 Obs. Não há número que multiplicado por zero
6x-6x=12+13 resulte em 25, então a equação é impossível.
0x=25 V=∅
2º) 3x+ 5=3x+5 Obs. Qualquer número racional multiplicado
3x-3x=5-5 é igual à zero. Nesse caso a equação é uma
0x=0 identidade.
12 Representação de uma equação fracionária.
26
3º) 2
2+x+
33+x
=2 m.m.c=6
6.2
)2( +x+ 6
3)3( +x
= 6.2 Obs.O número que multiplicado por 5 da zero
3x+ 6+2x+6=12 é o próprio zero. Logo, V={0}.
5x=0
x=50
x=0
3.6- OS PROBLEMAS E A LINGUAGEM ALGÉBRICA
Objetivos:
• Desenvolver a linguagem e o pensamento algébrico de forma exploratório-
investigativa, as quais visam instiga-los a fazer explorações, descobertas,
conjecturas e argumentações que comprovem ou não as conjecturas.
• A utilização da linguagem oral para relatar, socializar e justificar aos colegas
as descobertas e resultados de seu grupo.
• Desenvolver a capacidade de trabalho investigativo em colaboração com os
colegas.
Desenvolvimento: As atividades serão desenvolvidas em grupo de 4 alunos ( para
cada grupo deverá ser escolhido um redator e um relator). Propor problemas de
distintas naturezas, pedir que cada aluno traduza o problema para a linguagem
algébrica, em seguida compare com os registros dos colegas, escolhendo o registro
que consideram o mais viável para representar o problema proposto.
Para a representação do problema na linguagem algébrica, o grupo escolhe
as peças (imantadas) no material concreto Equal, e em seguida transfere para a
chapa metálica, formando a sentença matemática.
O professor analisa e abre discussão coletivamente para os possíveis erros
ou acertos, socializando as escritas.
27
1) Traduza para a linguagem algébrica os problemas a seguir:
a) Dobrei um número, subtraí 1 unidade do produto e obtive 7.
b) Acrescentei 1 unidade a um número, multipliquei a soma por 3 e obtive o
dobro do número.
c) O dobro de um número, diminuído de 4, é igual a esse número
aumentado de 1.
d) O triplo de um número, mais dois, é igual ao próprio número menos
quatro.
2) Usando a linguagem algébrica, encontre a sentença para cada problema
proposto a seguir:
a) Com o dobro da quantia que eu tenho mais R$ 12,00 poderei comprar um
livro que custa R$ 46,00. Quanto eu tenho?
b) Um táxi inicia uma corrida marcando R$ 5,00 no taxímetro. Cada
quilômetro rodado custa R$ 3,00 e que o total da corrida ficou em R$
47,00. Calcule quantos quilômetros foram percorridos.
c) Uma pessoa compra x latas de azeitonas a R$ 5,00 cada uma e x+4 latas
de palmito a R$ 7,00 cada uma. No total gastou R$ 172,00. Determine x.
d) Num estacionamento há carros e motos, totalizando 85 veículos. O
número de carros é igual a 4 vezes o de motos. Quantas motos há no
estacionamento?
28
Exemplo: O triplo de um número diminuído de 6 é igual ao dobro desse
número mais 2.
Figura13 Fonte: arquivo pessoal
3.7- RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Objetivo: Desenvolver a linguagem matemática, refletindo sobre o processo de interpretação, expressão, representação e resolução dos problemas.
Desenvolvimento: Após as propostas de atividades em relação à compreensão da
variável, equações equivalentes e a linguagem algébrica nos problemas, bem como a
técnica utilizada nos procedimentos das resoluções das equações no Equal que
seguem uma seqüência prática favorecendo o processo de tradução da linguagem
escrita para a linguagem algébrica, acreditamos que os alunos já estejam aptos a
desenvolver problemas diversos.
Propomos então, alguns problemas (que podem ser resolvidos individualmente
ou em grupo) para serem escritos em linguagem algébrica e em seguida resolvidos
através de qualquer método já demonstrado anteriormente.
1) A soma de dois números é 77. O maior supera o menor em 7 unidades.
Quais são esses números?
2) Um terreno de 720m2 será dividido em 2 lotes, sendo que a área de um é o
dobro da área do outro. Qual é a área do terreno maior?
13 Representação da linguagem algébrica dos problemas, com resoluções através de uma equação do 1º grau.
29
3) Dois quintos do meu salário são reservados para o aluguel e a metade é
gasta com alimentação, restando ainda R$ 90,00 para gastos diversos. Qual é o meu
salário?
4) Um relógio cujo preço é R$ 97,00 está sendo vendido com o seguinte plano
de pagamento: R$ 40,00 de entrada e o restante em 3 prestações iguais. Qual é o
valor de cada prestação?
5) Eu tenho 20 cédulas, algumas de R$ 5,00 e outras de R$ 10,00. O valor
total das cédulas é de R$ 165,00. Quantas cédulas de R$ 5,00 e quantas de R$
10,00 eu tenho?
6) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos. Um
deles tirou para si metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro menino também
tirou para si metade dos bombons que encontrou na caixa. Restaram 10 bombons.
Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa.
7) César tem 15 lápis a mais que Osmar, e José têm 12 lápis a menos que
Osmar. O total de lápis é 63. Quantos lápis têm Osmar?
8) A quantia de R$ 400,00 vai ser repartida entre você e Pedro. A diferença
entre as quantias que você e Pedro receberão é de R$ 60,00. Calcule quanto você
receberá, sabendo que é a maior quantia.
9) A locadora FILMEBOM cobra de seus usuários R$ 20,00 de taxa fixa de
inscrição no primeiro dia e R$ 4,00/dia por filme alugado. Já na locadora FILMEX, o
usuário paga uma taxa fixa de R$ 30,00 para ter o direito de alugar filmes e R$
3,00/dia por filme alugado. Assim, em termos de gastos para o usuário, é indiferente
associar-se e alugar filmes por dia na FILMEBOM ou na FIMEX, desde que ele leve:
a) 10 filmes b) 15 filmes c) 22 filmes d) 38 filmes
10) Ari e Rui têm juntos R$ 840,00. A quantia de Ari é igual a 43
da quantia de
Rui. Qual o valor que Rui possui?
11) O triplo de um número somado a 4 é igual a 25. Calcule esse número.
12) Lúcia é 5 anos mais velha que Cláudia. A soma das idades de ambas é 43
anos. Qual é a idade de Cláudia?
13) Uma maça vale 6 bananas mais meia maçã. Meia dúzia de bananas custa
48 centavos. Quanto custa uma maçã?
30
14) As idades de três irmãos somam 99 anos. Sabendo-se que o mais jovem
tem um terço da idade do mais velho e o segundo irmão tem a metade da idade do
mais velho, qual a idade do mais velho?
15) Fernando tem R$ 1.380,00 e Alberto R$1.020,00. Fernando economiza R$
36,00 por mês e Alberto, R$ 96,00. Depois de quanto tempo terão quantias iguais?
3.8 - TESTANDO O RACIOCÍNIO
Objetivo/desenvolvimento: A proposta para esta atividade é que os alunos
resolvam individualmente os problemas propostos e em seguida façam grupos para
discutir eventuais erros cometidos, compartilhando com os colegas o seu
pensamento, bem como as estratégias que selecionaram para resolver os problemas,
com isso poder articulá-lo de outra forma, chegando a novas soluções, conclusões e
ideias.
1) Dona Sílvia gastou R$45,00comprando uma torta de limão e duas tortas de
morango na confeitaria. A torta de morango custa R$3,00 a mais que a de limão.
Qual o preço de cada torta?
2) Paulo e José Augusto têm juntos 70 selos. Paulo tem o dobro de selos de José
Augusto. Quantos selos têm José Augusto?
3) As irmãs Josefa, Paulina e Mariana foram colher laranjas. Josefa colheu o dobro
das laranjas que Paulina e Mariana mais duas laranjas do que as outras duas irmãs.
No total foram colhidas 122 laranjas. Quantas laranjas colheu cada uma das irmãs?
4) Lucas, André e Bruno trabalham em um restaurante, mas recebem salários
diferentes. Para comparar os seus salários, eles fizeram uma tabela de acordo com
as seguintes informações: André recebe o dobro do que recebe Lucas e Bruno
recebe R$ 50,00 a mais que André.
a) De acordo com essas afirmações, complete a tabela.
Lucas André Bruno Os três juntosSalário
b) Se o dono do restaurante gasta, por mês, R$ 1050,00 com salário dos três
funcionários, quanto ganha cada um deles?
31
5) Este é um quadrado mágico, isto é, a soma dos números que estão numa
horizontal, vertical ou diagonal é sempre igual.
10 x
x+1
x +2 x+ 4
32
4- REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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ANDRINI, A.; VANCONCELLOS, M. J. Praticando a matemática: 6ª série/ Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos - 1ª ed.-São Paulo: Editora do Brasil, 2006.
BARBOSA, M G.; ALVES, W.M.C. Estudos complementares II - A matemática e as letras-Programa Nacional de Inclusão de Jovens. Brasília, DF-2009.Disponível em:http://www.projovemurbano.gov.br/userfiles/file/materialdidatico/aluno/matematica/Oficina02_Matem%C3%A1tica_ECII.pdf Acesso em 05 março 2010.
BIANCHINI, E. Matemática: 6ª série/ Ediwaldo Bianchini- 3. ed. rev. e ampl. - São Paulo: Moderna, 1991.
BOOTH, L. R. Dificuldades das crianças que se iniciam em álgebra. In: COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. (Org.). As idéias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995.
COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. (Org.). As idéias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995.
DANTE, L. R. Tudo é matemática: 6ª série/Luiz Roberto Dante -2ª ed. 1ª imp.-São Paulo: Editora Ática, 2007.
FERRONATO, R. - A construção de instrumento de inclusão no ensino de matemática. Dissertação de mestrado em engenharia de produção. Universidade Federal de Santa Catarina, 2002.
FIORENTINI, D; MIORIN, M. A. Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos e jogos no Ensino de matemática. Boletim SBEM SP, Ano 4, nº 7 ( 1990).
_________________________. Contribuição para um Repensar a Educação Algébrica Elementar. Pro-Posições, v. 4, nº 1[10], p. 78-79, março, 1993.
FREITAS, M. A. Equação do 1º grau: métodos de resolução e análise de erros no ensino médio. Dissertação apresenta a Pontifícia Universidade Católica São Paulo-SP, 2002. Disponível em: <http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/marcos agostinhofreitas.pdf>. Acesso em: 17 out. 2009.
GABBA, P. J. Matemática para Maestros. Buenos Aires, Ed. Marymar, 1975.
GUELLI, O. Uma aventura do pensamento: 6ª série/ Oscar Guelli - 8ª ed.3ª imp.-São Paulo: Editora Ática, 2002.
KIERAN, C. Concepts associated with the equality symbol. Educational Studies in Mathematics, 1981.
33
___________ Duas abordagens diferentes entre os principiantes em álgebra. In: COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. (org) As idéias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995.
OLIVEIRA, A. T. C.C. Reflexões sobre a aprendizagem da álgebra. Educação Matemática em Revista, São Paulo: SBEM, ano 9, n.12, p 35-39, jun. 2002.
RÊGO, R. M.; RÊGO, R. G. Desenvolvimento e uso de materiais didáticos no ensino de matemática. In: LORENZATO, S. A (Org.). O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006.
THOMPSON, F.M. O ensino de álgebra para criança mais nova. In: COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. (org) As idéias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995.
34
APÊNDICE
APÊNDICE 1
3.1- LINGUAGEM SIMBÓLICA
Compreendendo a representação de uma expressão algébrica.
Um número será representado por x;O dobro de um número 2x;O triplo de um número 3x;O quádruplo de um número 4x;
A metade de um número 21
x ou 2x
;
A diferença de um número é a subtração desse número por outro qualquer.
ATIVIDADE 3.1.1
a) x+ 6 b) x – 7 c) 2x+1 d) 4x
e) 2x
- 3 f) 3x + 4 g) 2x -1 h) 4x + 9
35
APÊNDICE 2
3.2 - PAPEL DA VARIÁVEL
ATIVIDADE 3.2.1
Obs. A variável é o termo desconhecido.
a) Qual deve ser o valor de x para que os dois lados sejam iguais? x= 2 - 1 ⇒ x=1
b) x= 1- 2 ⇒ x= -1 c) x= -2 d) x= +1-1 ⇒x=0 e) x=3
ATIVIDADE 3.2.2
a) x= 2-1 b) 3x = 8-5 *Qual deve ser o valor de x para que seu triplo seja igual a 3 ?
c) 2x+1=2-3 d) 3x+2=2 - 3 e) 3x -1=4 - 2
ATIVIDADE 3.2.3
Nesta atividade, cada grupo fará a montagem das equações, seguida das representações, fazendo a verificação de cada uma das expressões.
36
APÊNDICE 3
3.3- EQUAÇÕES EQUIVALENTES
ATIVIDADE 3.3.1
Através do princípio da igualdade, se somarmos ou diminuirmos e/ou se multiplicarmos ou dividirmos os dois membros, obtém -se uma sentença equivalente.
Numa sentença equivalente os dois membros ficam em equilíbrio, ou seja, os dois membros ficam iguais. Exemplo: 4 = 4
a) 5x + 3 = 4x + 9 Verificação 5x - 4x + 3 -3 = 4x- 4x+ 9 -3 5.6 +3 = 4.6 +9 x=6 30+3 = 24+9 33=33
b)3x + 7 = 2x+3 Verificação 3x -2x+7 -7 =2x -2x+3 -7 3. (-4) + 7= 2. (-4) +3 x=- 4 -12+7 = -8+3
-5 =-5
c) 6x-5=2x+3 Verificação 6x-2x-5+5=2x-2x+3+5 6.2 - 5= 2.2+3 4x=8 12- 5 = 4+3 x= 2 7=7
d)5x-8=3x+8 Verificação 5x -3x-8+8=3x-3x+8+8 5.8 -8=3.8+8 2x=16 40-8=24+8 x=8 32=32
e) 8x+2=6x+4 Verificação 8x-6x+2-2=6x-6x+4-2 8.1+2=6.1+4 2x=2 8+2=6+4 x=2 10=10
ATIVIDADE 3.3.2
Obs. Lembrando que para duas ou mais equações serem equivalentes os dois membros devem estar em equilíbrio.
a) 3x+2= ... para x=1 temos 3.1+2=5, logo se o 1º membro é igual a 5, o 2º membro também deve ser 5. Portanto a equação é 3x+2=5
37
b) 5x ...= 2x + 6 para x=2 temos 2.2+6=8, logo o 2º membro é igual a 8. Portanto o 1º membro deve ser 8.Então 5.2 ? = 8 10 - 8 = 8 8=8 * Logo a equação é 5x – 2 = 2x + 6
ATIVIDADE 3.3.3
a) Se x=2
Se o 2º membro for 4, no 1º membro também deve ser 4.Se x= 2, somamos mais 2 e obtemos também 4 no 1º membro.Logo a equação é x+ 2= 4 Verificação: 2+2= 4
4=4
b) Se x=3 Se no 2º membro colocarmos a expressão 2x+1 então 2.3 +1 é igual a 7. Logo, o 1º membro também deve ser 7.Se x=3 temos x+ 4 =7. A expressão procurada pode ser x+ 4= 2x+1.
Verificação: 3+4 = 2.3+1 7=7
c) Se x= 5
Se no 1º membro colocarmos a expressão 4x-1, então 4.5-1 é igual a 19. Logo o 2º membro também deve ser 19. Se x=5 temos 3.5+4=19. A expressão procuradora pode ser: 4x-1=3x+4 Verificação: 4.5-1= 3.5+4 20-1 =15+4 19=19
d) Se x=8Se no 1º membro colocarmos a expressão 3x-2, então 3.8-2 é igual a 22. Logo o 2º membro também deve ser 22. Se x=8 temos 2.8+6=22. A expressão procurada pode ser: 3x-2 =2x+6 Verificação: 3.8 -2 = 2.8+6
24 - 2 = 16+6 22 = 22
38
APÊNDICE 4
3.4 - MÉTODOS PARA RESOLVER EQUAÇÕES
ATIVIDADE 3.4.1
Para resolver as equações, efetuaremos a mesma operação em ambos os lados das equações (método formal) ou qualquer outro método apresentado anteriormente.
GRUPO I
a) 2t+ 5=9 b) x-9=-15 c) 4x+4=12 d) 3m+8=11 2t+ 5-5=9-5 x-9+9 = -15+9 4x+4-4=12-4 3m+8-8=11-8 2t/2 =4/2 x= - 6 4x/4=8/4 3m/3=3/3 t=2 x=2 m=1
e) 4y-6=10 4y-6+6=10+6 4y/4=4/4 y=1
GRUPO II
a) 5x+2=2x-4 b) 4t+9=3t+5 c) x+1=7x-2 5x-2x+2-2=2x-2x-4-2 4t-3t+9-9=3t-3t+5-9 x-7x+1-1=7x-7x-2-1 3x/3= - 6/3 t = - 4 -6x/-6= -3/-6 x= - 2 x= ½
d) 2m+1=m+11 e) y+9+3y=-3+2y+7 2m-m+1-1=m-m+11-1 4y+9=4+2y m=10 4y-2y+9-9=4-9+2y-2y
2y/2=-5/2 y=-5/2
39
APÊNDICE 5
3.5 - EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS.
GRUPO I
a) 3 (x+2) + 5= x+12
IMPORTANTE: Aplicar a propriedade distributiva da multiplicação [m. (a+b) =
ma+mb], somar os termos semelhantes e em seguida resolver as equações (escolher
um dos métodos já demonstrados anteriormente).
Assim temos: 3x+ 6+5=x+12
3x +11=x+12
3x-x+11-11=x-x+12-11
2x/2=1/2
x=1/2
b) x+ 4(x-1) = 9-2(x+3) c) 2(3x-1) + 2(3-x) =8 d) 7(x-1) =2(3x+1)
x+ 4x-4=9-2x-6 6x-2 +6-2x=8 7x-7= 6x+2
5x-4=3-2x 4x+4=8 7x-6x-7+7=6x-6x+2+7
5x+2x-4+4=3+4-2x+2x 4x+4-4=8-4 x= 9
7x/7=7/7 4x/4=4/4
x=1 x=1
40
GRUPO II
IMPORTANTE: Para eliminar os denominadores multiplicar todos os termos (dos dois
membros) pelo m.m.c dos denominadores em seguida, simplificar o m.m.c pelo
denominador, aplicar a propriedade distributiva, termos semelhantes e escolher um
dos métodos já citados para resolver as equações.
a) 3
2−x+ 2x=
25x
m.m.c (3,2)= 6 b) 5x -2
7+x=10 m.m.c (1,2)=2
6.(3
2−x) + 6.2x= 6.
25x
2.5x- 2(2
7+x) =2.10
2 (x-2) + 12x= 3.5x 10x-x-7=20
2x-4+12x=15x 9x-7=20
16x-4=15x 9x-7+7=20 +7
16x-15x-4+4=15x-15x+4 9x/9=27/9
x=4 x=3
c) 3
24 +x -
212 +x
=1 m.m.c (3,2)=6 d)4
53 +x-
332 −x
=3 m.m.c (4,3) =12
6(3
24 +x)- 6 (
212 +x
) = 6.1 12(4
53 +x) -12(
332 −x
)=3.12
2(4x+2) – 3(2x+1)= 6 3(3x+5) – 4(2x-3) =36
8x+4- 6x-3=6 9x+15 -8x+12=36
2x+1=6 x+27=36
2x+1-1=6-1 x+27-27=36-27
2x/2=5/2 x= 9
x=5/2
41
APÊNDICE 6
3.6- OS PROBLEMAS E A LINGUAGEM ALGÉBRICA
ATIVIDADE 3.6.1a) Dobrei um número, subtraí 1 unidade do produto e obtive 7.
• o dobro de um número: 2x
• subtraído uma unidade: 2x-1
• igual a 7
2x -1=7
b) Acrescentei 1 unidade a um número, multipliquei a soma por 3 e obtive o dobro do
número.
• um número: x
• acrescentei ( somei) uma unidade: x+1
• multipliquei a soma por 3: (x+1).3
• obtive o dobro desse número: 2x
(x+1). 3=2x
c) O dobro de um número, diminuído de 4, é igual a esse número aumentado de 1.
• o dobro de um número: 2x
• o dobro desse número diminuído (ou subtraído) de 4: 2x -4
• é igual a esse número aumentado de 1: x+1
2x - 4= x+1
d) O triplo de um número, mais dois, é igual ao próprio número menos quatro.
• um número: x
• o triplo de um número: 3x
• o triplo de um número mais dois: 3x+2
• é igual a esse número menos quatro: x-4
3x+2 =x – 4
42
3.6.2- Usando a linguagem algébrica, encontre a sentença para cada problema
proposto a seguir:
a) Com o dobro da quantia que eu tenho mais R$ 12,00 poderei comprar um livro que
custa R$ 46,00. Quanto eu tenho?
• a quantia que eu tenho: x
• o dobro da quantia que eu tenho: 2x
• o dobro da quantia que eu tenho mais 12: 2x+12
• o livro custa 45 reais
• quanto eu tenho? “x”
2x+12=46
b) Um táxi inicia uma corrida marcando R$ 5,00 no taxímetro. Cada quilômetro
rodado custa R$ 3,00 e que o total da corrida ficou em R$ 47,00. Calcule quantos
quilômetros foram percorridos.
• início da corrida o taxímetro marca: R$ 5,00
• os quilômetros rodados: x
• cada quilômetro custa R$ 3,00: 3x
• o total da corrida é R$ 47,00
• quantos quilômetros foram percorridos? “x”
5+3x=47
c) Uma pessoa compra x latas de azeitonas a R$ 5,00 cada uma e x+4 latas de
palmito a R$ 7,00 cada uma. No total gastou R$ 172,00. Determine x.
• uma certa quantidade de azeitonas: x
• x latas de azeitonas custa R$ 5,00 cada uma: 5x
• uma certa quantidade de latas de palmito mais 4 latas: x+4
• uma certa quantidade de latas de palmito mais 4 latas custa R$7,00
• foi gasto na compra das latas de azeitonas e das latas de palmito: 172,00
• qual o valor de x?
5x+ 7(x+4 )=147
e) Num estacionamento há carros e motos, totalizando 85 veículos. O número de
carros é igual a 4 vezes o de motos. Quantas motos há no estacionamento?
• o número de motos: x
• o número de motos: 4x
43
• total de veículos é igual a 85: x+ 4x= 85 4x+x =85
APÊNDICE 7
3.7- RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
1-Número menor: x soma é 77
Número maior: x+7
A soma desses números é igual a 77, assim temos: x+ x+7= 77
Resolução da equação:
x+ x+7= 77 número maior: 2. 35= 70 Verificação
2x+ 7=77 número menor =35 x+ x+7=77
2x+7-7=77-7 35+35+7= 77
2x=70 70+7=77
2x/2=70/2 77=77
x=35
2- Lote Lote menor: x
Lote maior menor Lote maior: 2x
A área dos dois é igual a: 720m2
Área total: x+ 2x=720
Resolução da equação lote menor: 240m2 Verificação
3x=720 lote maior: 2.240= 480m2 x+ 2x=720
3x/3=720/3 240+ 2.240= 720
x=240 240+ 480= 720
720=720
3- Meu salário: x
Dois quintos do meu salário é gasto em aluguel: 52
x
Metade é gasta na alimentação: 21
x
Restante do salário: R$90,00
Se o salário é x, então temos: 2/5x+ 1/2x+ 90=x
44
Resolução da equação meu salário: R$900,00
2/5x+1/2x+90=x m.m.c( 2,5)=10 gasto com aluguel: 2/5. 900= R$360,00
10.2/5x+ 10.1/2x+ 10.90= 10.x gasto com alimentação: ½.900= R$ 450,00
4x+ 5x+900=10x Verificação
9x+900=10x 2/5.900+1/2.900+90=900
9x-10x+900-900=10x-10x-900 360+ 450+90=900
-1x= - 900 900=900
-1x/-1= -900/-1 ⇒ x=900
4- Preço do relógio: R$ 97,00
Entrada: R$ 40,00
Restante: em 3 prestações iguais= 3x
Então temos: 3x+ 40= 97
Resolução Verificação
3x+ 40-40=97-40 3.19+ 40=97
3x=57 57+40=97
3x/3=57/3 97=97
x=19
As prestações serão de: R$19,00
5-Nº de cédulas de R$ 5,00: 5x
Nº de cédulas de R$ 10,00: 10(20-x)
Então temos: 5x+10(20-x)= 165
Resolução da equação Verificação
5x+ 200-10x=165 Cédulas de R$5,00=7 5.7+ 10(20-7)=165
-5x+200=165 Cédulas de R$ 10,00=13 35+200-70=165
-5x+200-200=165-200 235-70=165
-5x=-35 165=165
-5x/-5= -35/-5
x= 7
6-Quantidade total de bombons: x
Um filho recebe metade dos bombons: 1/2x
Outro filho recebe metade do que sobrou, ou seja: 1/4x
Restante dos bombons: 10
Então temos: 1/2x+1/4x+10=x
45
Resolução da equação Total de bombons =40
1/2x+1/4x+10=x m.m.c(2,4)=4 um filho recebe a metade:1/2.40=20
4.1/2x+4.1/4x+ 4.10= 4.x o outro filho recebe a metade do que sobrou
2x+x+40=4x 1/4.40=10
3x+40=4x Verificação
3x-4x+40-40=4x-4x-40 1/2.40+1/4.40+10=40
-1x= - 40 20+10+10=40
-1x/-1= - 40/-1⇒x=40 40=40
7-Osmar tem: x lápis
César tem 15 lápis a mais que Osmar: x+15
José Augusto tem 12 lápis a menos que Osmar: x-12
Total de lápis entre os três: 63
Então temos: x+x+15+ x-12=63
Resolução da equação Osmar tem: 20 lápis
x+x+15+x-12=63 César tem: 20+15=35 lápis
3x+3=63 José Augusto tem: 20-12=8 lápis
3x+3-3=63-3 Verificação
3x=60 20+20+15+20-12=63
3x/3=60/3 75-12=63
x=20 63=63
8-Total em dinheiro: R$ 400,00
Você recebe: x
Pedro recebe: x-60
Então temos: x+ x-60=400
Resolução da equação
x+x-60=400
2x-60=400 Você recebe: 230
2x-60+60=400+60 Pedro recebe: 230-60=170
2x=460
2x/2=460/2 Verificação
x=230 x+ x-60=400
230+230- 60=400
230+170=400
400=400
46
9- O dia representaremos por: x
FILMEBOM cobra R$ 20,00 fixos mais R$ 4,00 por dia: 20 +4x
FILMEX cobra R$30,00 fixos mais R$3,00 por dia: 30+3x
Igualando os dois valores das duas locadoras temos: 20+4x=30+3x
Resolução da equação Verificação
20+4x=30+3x 20+4.10=30+3.10
20-20+4x-3x=30-20+3x-3x 20+40=30+30
x=10 60=60
10-Total entre Ari e Rui: R$840,00
Quantia de Rui: R$ x Soma x+ 43
x= 840
Quantia de Ari: 43
x
Então temos: x+3/4x=840
Resolução da equação Verificação
x+43
x=840 m.m.c (1,4)=4 480+ 43
.480=840
4.x+ 4. 43
x= 4.840 480+ 3.120=840
4x+ 3x= 3360 480+ 360=840
7x=3360 ⇒ 7x/7=3360/7 ⇒ x=480 840=840
11-Triplo de um número: 3x
Somado a 4: 3x+4
É igual a 25: 3x+4=25
Resolução da equação Verificação
3x+4=25 3.7+4=25
3x+4-4=25-4 21+4=25
3x=21 25=25
3x/3=21/3
x=7
47
12-Idade de Cláudia: x
Lúcia é 5 anos mais velha que Cláudia: x+ 5
A soma das idades de ambas é igual a 43: x+x+5=43
Resolução da equação Verificação
x+x+5=43 19+19+5=43
2x+5=43 38+5=43
2x+5-5=43-5 43=43
2x=38
2x/2=38/3
x=19
13-Banana será representada por: b
Maçã: m
Total de maçãs: 6b+1/2m
Meia dúzia de banana custa: 48 centavos
A maçã é igual a 6 bananas mais meia maçã: m=6b+21
m
Resolução da equação Verificação
96=48+21
.96
m = 48+21
m m.m.c( 1,2)=2 96=48+48
2.m=2.48+ 2.21
m 96=96
2m=96+m ⇒ 2m-m=96+m-m ⇒ m=96 Uma maçã custa: R$ 0,96
14-Mais velho: x
Mais jovem: 31
x Soma x+ 31
x +21
x =99
Segundo irmão: 21
x
48
Resolução da equação Mais velho: 54anos
x+ 21
x +31
x =99 m.m.c (2,3)=6 Mais jovem: 18 anos
Segundo irmão: 27 anos
6.x+6.21
x + 6. 31
x=6.99 Verificação
6x+3x+2x=594 54+21
.54 +31
.54=99
11x=594 54+27+18=99
11x/11=594/11 99=99
x=54
15- Fernando tem: R$ 1380,00
Alberto tem: R$ 1.020,00
O mês será representado por: x
Fernando economiza R$36,00 por mês: 36x
Alberto economiza R$96,00 por mês: 96x
Para terem quantias iguais temos: 36x+1380=1020+96x
Resolução da equação Verificação
36x+1380=1020+96x 36.6+1380=1020+96.6
36x-96x+1380-1380=1020-1380+96x-96x 216+1380=1020+576
-60x= - 360 1596=1596
-60x/-60=-360/-60
x=6 meses
*Após 6 meses eles terão as quantias iguais
49
APÊNDICE 8
3.8-TESTANDO O RACIOCÍNIO
1-Preço da torta de limão: x Preço da torta de morango: x+3 Preço de duas tortas de morango: 2.(x+3)
Então temos: x+ 2.(x+3)=45
Resolução da equação Verificação
x+2(x+3)=45 13+ 2(13+3)=45x+ 2x+6=45 13+2.16=453x+6=45 13+32=453x+6-6=45-6 45=453x=393x/3=39/3x=13
A torta de limão custa R$ 13,00 e a torta de morango R$ 16,00
2-Paulo e José tem juntos: 70 selos Paulo tem o dobro de José: 2x selos José tem: x selosEntão temos; x+ 2x=72
Resolução da equação Verificação
x+2x=72 24+2.24=723x=72 24+48=723x/3=72/3 72=72x=24José Augusto tem 24 selos.
3-Mariana: 2x Paulina: x Soma 2x+x+2x+x+2=122 Josefa: 2x+x+ 2Total de laranjas colhidas: 122 laranjas
Então temos: 2x+x+2x+x+2=122
50
Resolução da equação Verificação
2x+x+2x+x+2=122 2.20+20+2.20+20+2=1226x+2=122 40+20+40+22=1226x+2-2=122-2 60+62=1226x=120 122=1226x/6=120/6x=20
4- a)
Lucas André Bruno Os três juntosSalário x 2x 2x+50 x+2x+2x+50
b) Temos a equação: x+2x+2x+50=1050
Resolução da equação Verificação
x+2x+2x+50=1050 200+2.200+2.200+50=10505x+50=1050 200+400+400+50=10505x+50-50=1050-50 1050+50=10505x=1000 1050=10505x/5=1000/5x=200
Lucas ganha R$ 200,00, André ganha R$400,00 e Bruno ganha 450
5-
• No quadrado mágico as somas dos números que estão na vertical, na horizontal e na diagonal são sempre os mesmos, logo temos que a diagonal secundária é igual a diagonal principal ou vice-versa. Tomemos então:
Diagonal secundária: (x+2)+ (x+1)+x são iguaisDiagonal principal: 10+(x+1)+(x+4)
Então temos: (x+2)+ (x+1)+x=10+(x+1)+(x+4)
Resolução da equação
(x+2)+(x+1)+x=10+(x+1)+(x+4)x+2+x+1+x=10+x+1+x+43x+3=2x+15
10 17 X=19
15 x+1
12+1=13
11
x +2
12+2=14
9 x+ 4
12+4=16
51
3x-2x+3-3=2x-2x+15-3x=12
Verificação• 10+(12+1)+(12+4)=39
• (12+2)+(12+1)+12
• 1ª linha: 10+12=22 para 39 falta 17, logo a 1ª linha é 10 + 17+12=39
• 3ª coluna: 12+4+12=28 para 39 falta 11, logo a 3ª coluna é 12+11+16=39
• 2ª linha: 12+1+11=24 para 39 falta 15, logo a 2ª linha é 12+1+11+15=39
• 3ª linha: 12+2+12+4= 30 para 39 falta 9, logo a 3ª linha é 12+2+12+4+9=39
• 1ªcoluna: 10+12+2=24 para 39 falta 15, logo a 1ª coluna é 10+12+2+15=39
• 2ª coluna:12+1+ 17 para 39 falta 9, logo a 2ª coluna é 12+1+17+9=39
52
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