1 FIZYKA - wykład 2
Część I. MECHANIKA
2. KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Ruch jednowymiarowy
Ruch na płaszczyźnie i w przestrzeni
Wykład 2.
Cel dydaktyczny:
• Położenie, przemieszczenie, prędkość
średnia
• Prędkość chwilowa i szybkość średnia
• Przyspieszenie średnie i chwilowe
• Ruch ze stałym przyspieszeniem
• Spadek swobodny, rzut pionowy
• Rzut ukośny
2 FIZYKA - wykład 2
Rys. Wektor przemieszczenia podczas wyprawy na ryby. Rys. źródło: „Fizyka dla szkół wyższych S. Ling, , J.Sanny,
W. Moebs
KLUCZOWE POJĘCIA : Ruch mechaniczny – zmiana wzajemnego położenia ciała (punktu materialnego) w przestrzeni
(lub jednych ich części względem drugich) pod
wpływem czasu.
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Punkt materialny – punkt geometryczny, w którym
skupiona jest pewna masa, a którego rozmiary
i kształty możemy w danym zagadnieniu pominąć.
Układ odniesienia – nieruchome w czasie
obserwacji ciało lub zbiór ciał, względem którego
opisujemy ruch innych ciała w przestrzeni.
Układ współrzędnych – związany z danym
układem odniesienia zespół wzajemnie prostopadłych
osi umożliwiający jednoznaczne określenie położenia
punktu w przestrzeni.
Równania ruchu – opisują zmiany położenia ciała
w przestrzeni w funkcji czasu.
Trajektoria ruchu – krzywa w przestrzeni, opisująca
zmianę położenia ciała.
AB
4AB km
3 FIZYKA - wykład 2
Klasyfikacja ruchów:
A. Ze względu na tor (trajektorię) ruchu:
prostoliniowe (postępowe);
krzywoliniowe (w tym: po okręgu);
B. Ze względu na zależność położenia od czasu:
jednostajne;
jednostajnie zmienne (przyspieszone lub opóźnione);
pozostałe (np. niejednostajnie zmienny itp.).
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
4 FIZYKA - wykład 2
Ruch cząstek emitowanych w
zderzeniach jąder atomowych,
trwał ułamki milionowych
części sekundy. (CERN,
Rap.Ann.1986)
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Ruch prostoliniowy
Położenie i przemieszczenie
Prędkość średnia i chwilowa
Przyspieszenie
Spadek swobodny
Ruch w dwóch i w trzech wymiarach
Rzut ukośny
Ruch jednostajny po okręgu
5 FIZYKA - wykład 2
RUCH PROSTOLINIOWY - JEDNOWYMIAROWY
Założenia:
-ruch odbywa się tylko wzdłuż linii prostej (pionowej lub poziomej)
- interesuje nas sam ruch i jego zmiany a nie ich przyczyny
-poruszające się ciało traktujemy jak obiekt punktowy, czyli obdarzony
masą lecz bez rozmiaru.
6 FIZYKA - wykład 2
• Przemieszczenie - zmiana położenia pomiędzy danymi punktami
• Prędkość średnia
RUCH JEDNOWYMIAROWY
)()( 1221 txtxx tt
t
x
tt
txtxv ttśr
12
12 )()(21
przemieszczenie
przedział czasu
na przemieszczenie
nachylenie prostej
m
s
m
7 FIZYKA - wykład 2
• Prędkość chwilowa- prędkość poruszania się ciała w danej chwili,
0x
t
x dxv ( t ) lim
t dt
Poło
żenie
[m
]
Czas [s]
m
s
RUCH JEDNOWYMIAROWY
8 FIZYKA - wykład 2
Przyspieszenie – określa jak zmienia się prędkość ciała.
• Przyspieszenie średnie: 1 2
2 1
2 1
x x x
xśr t t
v ( t ) v ( t ) va
t t t
• Przyspieszenie chwilowe: 2
20
x x
xt
v dv d xa lim
t dt dt
2
m
s
2
m
s
RUCH JEDNOWYMIAROWY
9 FIZYKA - wykład 2
Przyspieszenie stałe (a=constant)
• Najczęściej będziemy się spotykać ze stałym przyspieszeniem (opóźnieniem).
• Gdy przyspieszenie chwilowe i średnie są równe, można zapisać:
Przekształcając powyższe, mamy :
RUCH ZE STAŁYM PRZYSPIESZENIEM
,0
0
tt
vvaa
k
kśr
0: 00 tkowejpocząoczątwchwilidkoćoznaczapręvgdzie
atvtv o )(
Rys. 12 a) Położenie cząstki poruszającej się ze stałym przyspieszeniem. b) Prędkość cząstki w ruchu przyspieszonym. c) Przyspieszenie
cząstki w ruchu przyspieszonym jest stałe. Źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, "Podstawy fizyki - tom I", PWN, Warszawa 2005r.
10 FIZYKA - wykład 2
Rys. źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker,
"Podstawy fizyki , tom I”.
Gdy rzucimy ciało w górę lub w dół i w jakiś
sposób wyeliminujemy wpływ powietrza na jego
ruch, to podczas wznoszenia jak i opadania ciało
porusza się z przyspieszeniem, które nazywamy
przyspieszeniem ziemskim g (m/s2).
W PRÓŻNI g nie zależy ono od własności przedmiotu (masa, kształt, itd.)
Wartość g zmienia się nieznacznie w zależności
od szerokości geograficznej i wysokości nad poziomem morza. W zadaniach będziemy używać wartości g=9,81 m/s2
Spadek swobodny (rzut pionowy)
11 FIZYKA - wykład 2
RZUT PIONOWY W GÓRĘ
RÓWNANIA RUCHU
2
2
0
gttvty y
gtvdt
dytv y 0
Dla ciała wyrzuconego z prędkością : ,0v
Tablica- wyprowadzenie wzorów
(2.10)
(2.11)
(2.13)
(2.12)
12 FIZYKA - wykład 2
RZUT PIONOWY W DÓŁ
Dla ciała wyrzuconego z wysokości H, prędkością : ,0v
RÓWNANIA RUCHU
2
2
0
gttvHty y
gtvdt
dytv y 0
Czas trwania rzutu.
Wartość prędkości
Końcowej.
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
13 FIZYKA - wykład 2
Przykład 1 (tablica)
Jechałeś samochodem po prostej drodze z szybkością 70 km/h.
Po przebyciu 8,4 km skończyło ci się paliwo i samochód się
zatrzymał. Musiałeś iść pieszo 2 km do stacji benzynowej, co
zajęło 30 min.
a) Ile wynosiło twoje przemieszczenie od początku podróży do
stacji benzynowej?
b) Ile czasu upłynęło od początku podróży, do chwili przybycia
na stację benzynową?
c) Ile wynosiła twoja prędkość średnia w czasie od początku
podróży do przybycia na stację benzynową (2 sposobami).
d) Załóżmy, że nabrałeś benzyny i wróciłeś do samochodu co
zajęło ci 45 min. Ile wynosi twoja średnia prędkość i średnia
szybkość w czasie od początku podróży do chwili powrotu z
benzyną do samochodu.
e) Załóżmy, że po nalaniu benzyny powróciłeś do punktu startu z
prędkością 35 km/h. Ile wynosi średnia prędkość dla całej
podróży?
14 FIZYKA - wykład 2
RUCH W DWÓCH I TRZECH WYMIARACH
Założenia:
- tor ruchu nie musi być linią prostą,
- interesuje nas sam ruch i jego zmiany a nie ich przyczyny,
- poruszające się ciało traktujemy jak obiekt punktowy,
15 FIZYKA - wykład 2
Rys. Wektor prędkości, w każdym punkcie toru
poruszającego się ciała, (jego kierunek), pokrywa się
ze styczną do toru i jest prędkością chwilową .
Wektor położenia ciała w funkcji czasu:
ktzjtyitxtr ˆ)(ˆ)(ˆ)(
(2.1)
Przemieszczenie:
(2.2)
Prędkość średnia:
kt
zj
t
yi
t
x
t
rvśr
ˆˆˆ.
(2.3)
Prędkość chwilowa:
vkdt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
rd
t
r
zyx vvv
t
ˆˆˆlim0
(2.4)
s
m
dt
rdv 1
(2.5)
A
B
kzjyixr
rrr
ˆˆˆ
'
Przemieszczenie i prędkość
RUCH W DWÓCH I TRZECH WYMIARACH
16 FIZYKA - wykład 2
PRZYSPIESZENIE (ang. acceleration, ), to wielkość wektorowa, która
określa zmiany wektora prędkości w czasie poruszającego się ciała (zarówno wartości,
jak i kierunku).
21.,
s
mjedna
Rys. źródło:
http://www.if.pwr.edu.pl/~piosit/we.php
RUCH W DWÓCH I TRZECH WYMIARACH
17 FIZYKA - wykład 2
PRZYSPIESZENIE CHWILOWE :
Składowe wektor przyspieszenia w układzie współrzędnych prostokątnych:
Zauważamy, przyspieszenie jest też drugą pochodną wektora położenia względem czasu.
PRZYSPIESZENIE ŚREDNIE:
21
s
m
t
vaśr
(2.7)
(2.8)
kdt
dvj
dt
dvi
dt
dva
zy
x a
z
a
y
a
x ˆˆˆ
(2.9)
22
2
01
)(lim
s
m
dt
rd
dt
d
dt
vd
t
va dt
rd
t
tor
styczna
przedział czasu
zmiana wektora prędkości
RUCH W DWÓCH I TRZECH WYMIARACH
18 FIZYKA - wykład 2
2.4.1. RZUT UKOŚNY – ruch krzywoliniowy
v0x x
y
z
H
v0
v0y
g
Rzut ukośny jest złożeniem dwóch ruchów :
•ruchu jednostajnego w kierunku poziomym - z prędkością: cos0vvox
•ruchu jednostajnie zmiennego w kierunku pionowym: -z prędkością początkową: sin0vvoy
i przyspieszeniem . g
tvtx x0
2
2
0
gttvty y
xx vdt
dxtv 0
gtvdt
dytv yy 0
Rys. Rzut ukośny: w czasie ruchu składowa pozioma prędkości przyspieszenie a- takie samo w każdym punkcie toru ;0 constv x
xv0
ga
a
y
x
0
RÓWNANIA RUCHU:
Dla ciała wyrzuconego z położenia (0,0)
z prędkością do poziomu: podv ,0
(2.18)
(2.19)
(2.20)
(2.21)
(2.22)
(2.23)
r( t ) :
v( t ) : a( t ) :
RUCH W DWÓCH I TRZECH WYMIARACH
19 FIZYKA - wykład 2
(2.24)
(2.25)
(2.26)
RZUT UKOŚNY c.d.
Równanie toru dla rzutu ukośnego- trajektoria ruchu:
2
2cos2
xv
gxtgxy
o
Wyznaczając z równania (3.26) czas t i podstawiając do równania (3.27), znajdujemy równanie toru:
• Otrzymane parametry toru:
g
vtxZ c
2sin)(
2
0Zasięg (Z) rzutu:
Maksymalna wysokość wzniesienia Hmax: g
vtyH w
2
sin)(
22
0max
(z warunku: ) 0)( wy tv
Tablica- wyznaczenie parametrów toru:
Tablica- Przykłady
20 FIZYKA - wykład 2
Analiza rzutu ukośnego
Opór powietrza
Źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, "Podstawy fizyki , tom I”.
21 FIZYKA - wykład 2
(2.28)
(2.29)
(2.31)
2.4.1.* Od przyspieszenia do równania ruchu ( *dla dociekliwych:)
Znając przyspieszenie (a =const.) ciała można znaleźć prędkość, przemieszczenie lub drogę tego
ruchu.
Całka po czasie z wektora prędkości wyraża przemieszczenie ciała w przestrzeni.
Z definicji wynika : dt
dva adtdv
t
t
v
v
adtdv
00
Całkując obie strony równania (2.35), otrzymujemy:
a ponieważ a= const, stąd: )( 00 ttavv (2.30)
W przypadku t0=0s, równość (2.37) przyjmuje postać: 0)( vtatv
Z definicji prędkości chwilowej , otrzymujemy: dt
rdv
dtvrd
(2.32)
Całkując obie strony równania (2.39), otrzymujemy: (2.33)
Co wynika z całkowania stałego przyspieszenia…?
22 FIZYKA - wykład 2
RUCH PO OKRĘGU
2.5. Ruch jednostajny po okręgu
- ruch cząstki odbywa się po okręgu lub kołowym łuku z prędkością o stałej
wartości bezwzględnej,
- choć wartość prędkości się nie zmienia, ruch cząstki jest ruchem
przyspieszonym .
Uzasadnienie.
Przyspieszenie ( zmiana prędkości) kojarzy się ze
Wzrostem lub zmniejszaniem się wartości bezwzględnej
prędkości . Prędkość jest wektorem, a nie skalarem.
Jeśli zmienia się choćby tylko jej kierunek,
to ruch jest przyspieszony.
Okres-czas potrzebny cząstce na jednokrotny obieg zamkniętego toru.
(2.36)
23 FIZYKA - wykład 2
Wielkości kątowe – wektor prędkości kątowej
(2.37)
(2.38)
RUCH PO OKRĘGU
24 FIZYKA - wykład 2
Wielkości kątowe – przyspieszenie kątowe
(2.39)
(2.40)
(2.41)
RUCH PO OKRĘGU
25 FIZYKA - wykład 2
Przyspieszenie dośrodkowe (normalne)
(2.42)
RUCH PO OKRĘGU
26 FIZYKA - wykład 2
Zależności między wielkościami liniowymi a kątowymi w ruchu po okręgu
Występowanie:
RUCH PO OKRĘGU
27 FIZYKA - wykład 2
Przykład (dla zainteresowanych)
Talerz adaptera o średnicy d = 20 cm obraca się ruchem jednostajnym wykonując
33 obroty/min w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.
Oblicz :
a) prędkość kątowa talerza,
b) prędkość liniową i przyspieszenie dośrodkowe punktu na brzegu talerza.
c) Ile obrotów/min powinien wykonywać talerz, aby przyspieszenie dośrodkowe
punktu na jego brzegu było równe przyspieszeniu ziemskiemu? Jaki byłby jego
okres obrotu?
d) Gdy adapter wyłączono talerz zatrzymał się po upływie 10 s. Zakładając, że siła
oporu była stała obliczyć przyspieszenie kątowe talerza podczas hamowania
oraz ilość obrotów, które wykonał talerz od momentu wyłączenia do
zatrzymania. Oblicz przyspieszenie liniowe punktu na brzegu talerza w chwili
rozpoczęcia hamowania. Narysuj wektory prędkości i przyspieszenia kątowego
talerza oraz prędkości liniowej, przyspieszenia dośrodkowego, stycznego i
całkowitego punktu na brzegu talerza tuż po wyłączeniu adaptera.
28 FIZYKA - wykład 2
Dziękuję za uwagę !
Top Related