C.E.P. II de Valladolid
CURSO PROVINCIAL EN CONVENIO CON LA
UNIVERSIDAD 1999/2000
INFORMÁTICA EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA
OBLIGATORIA
PRÁCTICA DE POWER POINTSOBRE
MATEMÁTICAS
LUIS CARLOS ANDRÉS PELAYO
I.E.S. LEOPOLDO CANO
ABRIL DEL AÑO 2000
TEOREMAS
Pitágoras Altura Cateto Senos Coseno Área
APLICACIONES CONSECUENCIAS INTERPRETACIÓNGEOMÉTRICA
FÓRMULADE HERÓN
APLICACIONES PRÁCTICAS
TEOREMA DE PITÁGORAS
• En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
ENUNCIADO NOMINAL
EXPRESIÓN GRÁFICA
En un triángulo rectángulo
b2
c2
el cuadrado
construido sobre la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.
a2
Construimos un cuadrado de lado b+c. Unimos los puntos A, B, C y D obteniendo un nuevo cuadrado de lado a:
Construimos otro cuadrado de lado b+c, uniendo al dibujo inicial otros 3 triángulos iguales como se ve en la animación siguiente:
A
B
C
D
b c
a
Se ve que el cuadrado de la izquierda
a2b2
c2
b
c
a
DEMOSTRACIÓN GRÁFICA
es igual a la suma de los cuadrados de la derecha
b c
c
b
c b
DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA• Construimos un cuadrado de lado b+c.
A
B
C
D
Observamos que:
Área = Área - 4Área
Es decir:
a2 = ( b + c )2 - 4·( b · c ) =
= b2 + 2bc + c2 - 2bc Por tanto: a2 = b2 + c2
a
Unimos los puntos A, B, C y D obteniendo un nuevo cuadrado de lado a:
APLICACIONES
• Cálculo de:
La diagonal de un rectángulo.
La altura de un triángulo equilátero.
Una diagonal de un rombo.
La altura de un trapecio.
La apotema de un polígono regular.
ELEGIR UNA PULSANDO SU BOTÓN.
Dado un rectángulo de lados 9 y 12 cm., calcula su diagonal.
Construimos un rectángulo de esas medidas.
9cm
12cm
Trazamos su diagonal d
dY aplicando el Teorema de Pitágoras obtenemos:
d2 = 92 + 122 = 225
Por tanto: d = 15 cm
APLICACIÓN 1
Calcula la altura h de un triángulo equilátero de lado l.
Dibujamos un triángulo equilátero de lado l y trazamos su altura h.
Aplicamos el T. de Pitágoras al triángulo rectángulo de la izquierda:
l2 = (l/2)2 + h2 h2 = l2 - l2/4
Por tanto:
l h
l/2
23l
h
APLICACIÓN 2
d = 12 cm
El lado de un rombo mide 10 cm y su diagonal mayor 16 cm.Halla su diagonal menor.
Dibujamos un rombo y trazamos sus diagonales.
Queda descompuesto en 4 triángulos rectángulos. Aplicamos el T. de Pitágoras a uno de ellos y obtenemos la mitad de la diagonal menor: x = d/2.
8 10
x
102 = 82 + x2 x2 = 100 - 64 = 36Por tanto: d/2 = x = 6 cm
APLICACIÓN 3
Por tanto: h = 4 cm.
Calcula la altura de un trapecio isósceles de bases 8 y14 cm y lado oblicuo 5 cm.
Dibujamos un trapecio isósceles y trazamos sus alturas.
8
14
8 335h
Aplicamos el T. de Pitágoras en el triángulo rectángulo de la derecha:
52 = 32 + h2 h2 = 25 - 9 = 16
APLICACIÓN 4
APLICACIÓN 5Calcula la apotema de un hexágono regular de lado 6 cm.
Trazamos 2 radios
y la apotema.
En el triángulo rectángulo de la derecha aplicamos el T. de Pitágoras:
62 = 32 + a2 a2 = 36 - 9 = 27
Por tanto: cma 33
Dibujamos un hexágono regular.
a 6
3
TEOREMA DE LA ALTURA (I)ENUNCIADO
En un triángulo rectángulo la altura es media proporcional entre los dos segmentos en que divide a la hipotenusa.
H
A
B C
bc
a
x yh
y
h
h
x
TEOREMA DE LA ALTURA (II)
y
h
h
x
DEMOSTRACIÓN
A
B C
bc
a
x yh
H
Los triángulos rectángulos AHB y AHC son semejantes por tener un ángulo agudo igual: B =
Entonces sus lados son proporcionales: (Utilizamos los catetos sólo)
CH
AH
AH
BH
Por tanto: xyh 2
B H
A
HA
C
TEOREMA DEL CATETO (I)ENUNCIADO
En un triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
H
A
B C
bc
a
x yh x
c
c
a
y
b
b
ay
coyx aPr boyy aPre
TEOREMA DEL CATETO (II)DEMOSTRACIÓN 1
H
A
B C
bc
a
x y
Los triángulos rectángulos ABC y AHB son semejantes por tener un ángulo agudo común B.
Entonces sus lados son proporcionales: (Utilizamos hipotenusas y catetos menores)
BH
AB
AB
BC
x
c
c
a
Por tanto: axc 2
AB
C
B H
A
TEOREMA DEL CATETO (III)DEMOSTRACIÓN 2
H
A
B C
bc
a
x y
B A
C
A H
C
Los triángulos rectángulos ABC y AHC son semejantes por tener un ángulo agudo común C.
Entonces sus lados son proporcionales: (Utilizamos hipotenusas y catetos mayores)
CH
AC
AC
BC
y
b
b
a
Por tanto: ayb 2
CONSECUENCIA DE LOS TEOREMAS ANTERIORES (I)
ENUNCIADO
En un triángulo rectángulo la altura es la cuarta proporcional entre la hipotenusa y los catetos.
H
A
B C
bc
a
x yh
h
c
b
a
a
bch
CONSECUENCIA DE LOS TEOREMAS ANTERIORES (II)
DEMOSTRACIÓN
H
A
B C
bc
a
x yh
Por el Teorema de la Altura:
xyh 2
Por el Teorema del Cateto:
ayb 2 axc 2y
(1)
De aquí que:a
cx2
a
by2
y
Sustituyendo en (1): 2
22222
a
cb
a
c
a
bh
a
bch
TEOREMA DE LOS SENOS (I)ENUNCIADO
En un triángulo cualquiera los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
A B
C
c
ab
C
c
B
b
A
a
sensensen
TEOREMA DE LOS SENOS (II)DEMOSTRACIÓN 1
Si el triángulo es acutángulo.
A B
C
c
ab h
H
En el triángulo CHB:
AbhbhA sensen En el triángulo AHC:
BahahB sensen
Igualando:B
b
A
aAbBa
sensensensen
Trazando la altura desde A llegaríamos a:
C
c
B
b
sensen Por tanto:
C
c
B
b
A
a
sensensen
h’H´
A B
C
a
b
c
TEOREMA DE LOS SENOS (III)DEMOSTRACIÓN 2
Si el triángulo es obtusángulo.
En el triángulo CHB: BahahB sensen
bsenAhbhsenAAsen )(En el triángulo AHC:
H
h
Igualando:B
b
A
aAbBa
sensensensen
Trazando la altura desde A llegaríamos a:
C
c
B
b
sensen
C
c
B
b
A
a
sensensen
h’H`
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
En un triángulo cualquiera la razón constante entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
C
c
B
b
A
a
sensensen r2
B
CA
O
D
r
c ab
DEMOSTRACIÓN
B
CA
O
D
r
c ab
Unimos D con A y tenemos un triángulo rectángulo BAD.
En él se ve: rc
r
c2
sen2sen
Pero = C por ser inscritos y abarcar el mismo arco AB.
Por tanto: rC
c2
sen
Aplicando el Teorema de los Senos obtenemos:
rC
c
B
b
A
a2
sensensen
APLICACIÓN TEÓRICA DEL TEOREMA DE LOS SENOS
La bisectriz interior de un ángulo de un triángulodivide al lado opuesto en 2 segmentos que son proporcionales a los lados adyacentes de dicho triángulo.
A
B
C
x
y
Dc
b
cy
bx
DEMOSTRACIÓNAplicando el Teorema de los Senos a los triángulos ACD y ADB obtenemos:
A
B
C
x
y
Dc
b
sen2
sen
bAx e
sen2
sen
cAy
Intercambiando los medios de las dos proporciones y como sensen(tenemos:
sen2sen
;sen
2sen A
cyA
bx
cy
bx
TEOREMA DEL COSENO (I)ENUNCIADO
En un triángulo cualquiera ABC se cumplen las relaciones siguientes:
Cabbac
Baccab
Abccba
cos2
cos2
cos2
222
222
222
A B
C
ab
c
En el CHB: h2 = a2 - (c-x)2 (1)
TEOREMA DEL COSENO (II)DEMOSTRACIÓN 1
Si el triángulo es acutángulo:
A B
C
ab
c
h
Hc-x
En el AHC: h2 = b2 - x2 (2)
cos A = x / b x = b·cosA (3)
Igualando (1) y (2): a2 - (c-x)2 = b2 -x2
a2 = b2 - x2 + c2 -2cx + x2 a2 = b2 + c2 -2cx
Sustituyendo (3): a2 = b2 + c2 -2cb·cosAbcacb
A2
cos222
x
TEOREMA DEL COSENO (III)DEMOSTRACIÓN 2
Si el triángulo es obtusángulo:
H
h
C
BA
bc
a
x
c + x
En el CHB: h2 = a2 - (c+x)2 (1)
En el AHC: h2 = b2 - x2 (2) cos (A) = -cosA = x / b
x = - b·cosA (3)
Igualando (1) y (2): a2 - (c+x)2 = b2 -x2
a2 = b2 - x2 + c2 + 2cx + x2 a2 = b2 + c2 + 2cx
Sustituyendo (3): a2 = b2 + c2 -2cb·cosAbcacb
A2
cos222
ÁREA DE UN TRIÁNGULO
Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos: b, c y A.
hab
cA B
C
H
El área del triángulo es:
Pero en el AHC:
Entonces sustituyendo:
hcS 2
1
Abh sen
AbcS sen2
1
FÓRMULA DE HERÓN
Conocidos los tres lados a, b y c de un triángulo, el área viene dada por la fórmula:
A B
C
ab
c
))()(( cpbpappS
siendo2
cbap
(semiperímetro)
DEMOSTRACIÓN
A B
C
ab
c
h
Sabemos que el área de un triángulo es:
)cos1)(cos1(2
1cos1
2
1sen
2
1 2 AAbcAbcAbcS
Aplicando el Teorema del Coseno:
bc
acbbc
bc
acbbcbc
bc
acb
bc
acbbcS
2
2
2
2
2
1)
21)(
21(
2
1 222222222222
22224
)(
4
)( 2222 cbacbaacbacbcbaacb
Por tanto: ))()(( bpcpappS
APLICACIONES PRÁCTICAS
• Aplicaciones del Teorema del Cateto y de la Altura. ( 2 diapositivas )
• Aplicaciones del Teorema del Coseno y de los Senos. ( 4 diapositivas )
• Problemas de móviles. ( 2 diapositiv )
• Resolución de Triángulos. ( 4 diapo )
• Cálculo de Superficies irregulares. (2)
ELEGIR UNA PULSANDO SU BOTÓN.
APLICACIONES DEL T. DEL CATETO Y DE LA ALTURA
El ángulo que forma la escalera del dibujo en el punto A es recto. Para sujetar la escalera se han puesto por debajo las vigas 1 y 2. Calcula la longitud de cada viga.
A
12
3 m 3 m 4,5 m
Aplicamos el T. de la altura y calculamos la longitud de la viga 1:
5,73
1
1
hh
mh2
1035,221
Para calcular la longitud de la viga 2 aplicamos el T. de Tales:
5,7
5,4
1
2 h
hmh 109,0
5,72
103·5,4
2
APLICACIONES DEL T. DEL CATETO Y DE LA ALTURA
Las ciudades A, B y C están situadas en los vértices de untriángulo rectángulo en A. Una gasolinera G está situada
en la proyección de A sobre la hipotenusa BC y dista de C25 Km y de B 56 Km. Calcula la distancia de A a G y
la que hay entre cada dos ciudades.
A
BCG
25 56
Aplicando el Teorema de la altura hallamos AG:
KmAG 14105625
Aplicando el Teorema de Pitágoras hallamos AC y AB:
KmAC 455625252 y KmAB 14185625562
APLICACIONES DEL TEOREMA DEL COSENO Y DE LOS SENOS
Un avión realiza el trayecto entre dos ciudades P y Q que distan entre si 2.000 Km. A 700 Km de la ciudad P, el piloto observa que se encuentra 10º fuera de ruta. ¿A qué distancia se encuentra en ese momento de la ciudad Q? ¿Qué ángulo tiene que virar para dirigirse hacia ella?
P
Q
R
2000
700
d
Aplicando el Teorema del Coseno:
Kmd 316.1º10cos700200027002000 22
Aplicando el Teorema de los Senos:
º10sen
1316
sen
2000
R 1316
º10sen2000sen
R
R=164º41’53,5’’
= 15º18’6,5’’
APLICACIONES DEL TEOREMA DEL COSENO Y DE LOS SENOS
Dos boyas están situadas a 64 m de distancia. Un barco se encuentra a 35 m de la más cercana. El ángulo formado por las visuales de las boyas es de 30º.¿Qué distancia separa al barco de la boya más alejada?
AB
C
64
35
d
30º
Aplicando el Teorema de los Senos:
Csen
35
º30sen
64 senC = 0,2734
C = 15º52’8’’ A = 134º7’52’’
Aplicando de nuevo el Teorema de los Senos: .92º30sen
sen64m
Ad
APLICACIONES DEL TEOREMA DEL COSENO Y DE LOS SENOS
En un Supermercado A se produce un robo. La alarma está conectada a 2 Comisarías cercanas B y C, separadas entre sí por 4 Km. Con los datos del dibujo, si los ladrones salen del local 2 minutos después de sonar la alarma y el coche de policía de B va a 80 Km/h y el de C a 120 Km/h, ¿llegará alguno de ellos antes de que salgan los ladrones?.
A
B Ca=4Km
c b60º 45º
A = 180º - (B+C) = 75º
Aplicando el Teorema de los senos:C
c
B
b
A
a
sensensen
KmA
Bab )33(22
º75sen
º60sen4
sen
sen
seg m
v
bt
C
C48 1120
) 3 3( 2 2
KmA
Cac )13(4
º75sen
º45sen4
sen
sen
seg m
v
ct
B
B12 280
) 1 3 ( 4
Llegan los de C
APLICACIONES DEL TEOREMA DEL COSENO Y DE LOS SENOS
Un topógrafo C situado en la llanura observa 2 picos A Y B de una montaña situados a 870 y 960 m respectivamente del observador con un ángulo de 60º. Encuentra la distancia entre ambos picos.
A
BC60º
960m
870mc
Aplicando el Teorema del Coseno:
Cabbac cos2222
mc 3,918º60cos8709602870960 22
Cabbac cos222
Aplicando el T. de los Senos calculamos el ángulo C:
PROBLEMAS DE MÓVILESUn barco sale de un puerto A en dirección NE a una velocidad de 40 nudos. Al cabo de 3 horas gira 120º a babor y permanece en ese rumbo durante 5 horas. Entonces decide regresar al puerto A. ¿Cuántos grados a babor deberá girar y cuánto tardará en llegar? (1 nudo= 1,852 km/h).
A
B
C
AB = 74·3 = 222 Km BC = 74·5 = 370 Km Aplicando el T. del Coseno calculamos la distancia CA:
KmBBCABBCABCA 6,322·cos··222
V=74 Km/h
120º
senC= AB·senB/CA = 222·0.866/322,6 = 0,596
Por tanto: C=36º35’
Tardará en llegar: t= CA/V t= 4h 21m 34sg.
Deberá girar a babor: 143º25’
B=60º
PROBLEMAS DE MÓVILESUn avión observa dos ciudades A y B bajo ángulos de depresión de 30º y 45º respectivamente. Si la distancia entre las ciudades es de 40 Km, calcula la altura a la que se encuentra y la distancia que le separa del campo de aterrizaje en la ciudad B.
A B
30º 45ºh
40 Km
Entonces A=30º y B=45º. Por tanto C=105º
Aplicando el Teorema de los Senos obtenemos a:
aKm
C
Aca 7,20
º105sen
º30sen40
sen
sen
En el triángulo rectángulo de la derecha:a
hB sen
Despejando calculamos h: mBah 637.14sen
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
Resolver el triángulo ABC conocidos: a = 10 cm, b = 16 cm y A = 30º.
A
B
C
a
b
c
Aplicando el Teorema de los Senos:
B
b
A
a
sensen 8,0
sensen
a
AbB
Por tanto: ''48'7º53B y ''12'52º96C
Aplicando de nuevo el Teorema de los Senos:C
c
A
a
sensen
Por tanto: cmA
Cac 86,19
sen
sen
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
Resuelve el triángulo ABC conocidos: b = 12 cm, c = 6 cm y A = 60º. Calcula su Área.
A
B
C60º
c a
b
Aplicando el Teorema del coseno:
cmAbccba 36cos222
Aplicando el Teorema de los Senos:B
b
A
a
sensen
1sen
sen a
AbB B = 90º C = 30º
Calculamos su Área: 2318sen2
1cmAbcS
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
Resuelve el triángulo ABC conocidos: a = 10 cm, B = 60º y C = 45º. Calcula su Área.
A
B Ca
b
Calculamos el ángulo A: A = 180º - (B+C) = 75º
Aplicamos el Teorema de los Senos:
C
c
B
b
A
a
sensensen
Calculamos b y c: cmA
Bab )33(25
sen
sen cm
A
Cac )13(10
sen
seny
Por último, calculamos el Área: 2)33(25sen2
1cmBacS
c
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOSResolver el triángulo ABC conocidos sus lados: a = 10 cm, b = 5 cm y c = 5 cm. Calcula su Área.
3
A
BC a
b cAplicando el Teorema del Coseno:
2
1
5102
7525100
2cos
222
ab
cbaC
De aquí que:A=90º, B=30º y C=60º
03552
1007525
2cos
222
bc
acbA
El Área: 2
2
325
2
1cmbcS
2
3
35102
2575100
2cos
222
ac
bcaB
SUPERFICIES IRREGULARESDisponemos de un terreno cuadrangular irregular como indica el siguiente dibujo.Si queremos calcular su superficie, medimos sus lados y la diagonal AC, obteniendo las siguientes medidas: AB=45m, BC=50m, CD=20m, DA=25m y AC=35m.
A
B
C
D Aplicamos la Fórmula de Herón a los triángulos ABC y ACD y lo sumamos:
226150))()(( mcpbpappSABC 26100))()(( mcpbpappSACD
Entonces el Área total será: 2)610026150( mAT
SUPERFICIES IRREGULARES
Calcula la superficie de la figura con los datos que aparecen en ella.
A
CD
6m7m
11m
12m 9m
7m
9m
Calculamos las áreas de los triángulos ABE, BED y BCD aplicando la Fórmula de Herón:
2:
))()((
cbapsiendo
cpbpappS
2106 cmSABE 2358 cmSDBE
2514 cmSBCD Por tanto:
B
E
26,97514358106 cmAT
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