_______________________________________________________________________________
1
METODA MATRICELOR DE TRANSFER PENTRU
SISTEME DE BARE
1.1. PREZENTAREA METODEI
Se consideră că sistemul de bare, ca mediu continuu, este alcătuit din elemente (tronsoane)
drepte, de secţiune constantă, care execută vibraţii de încovoiere, vibraţii longitudinale şi vibraţii
de torsiune.
Fiecare element al său execută vibraţii de încovoiere, în două plane perpendiculare, care
conţin axa longitudinală a elementului.
Alegând pentru un element axele ca în figura 1.3, cu axa Oy axă longitudinală, vibraţiile de
întindere compresiune se execută în lungul axei longitudinale şi sunt cuplate cu vibraţiile de
încovoiere în planul xOy.
Vibraţiile de torsiune se execută în jurul axei Oy şi se cuplează cu vibraţiile de încovoiere
în planul yOz.
Se urmăreşte construirea unei matrice de
transfer care să ţină seama de toate aceste tipuri de
vibraţii.
Se porneşte din capătul din stânga şi se
merge pe fibra medie din element în element până
în capătul din dreapta. În funcţie de tipul de
rezemare se pun condiţiile la limită şi, din condiţia
ca sistemul algebric liniar şi omogen care se obţine să admită rădăcini nenule, se obţin pulsaţiile
proprii.
Figura 1.3
_______________________________________________________________________________
2
1.2. STABILIREA MATRICEI DE TRANSFER
1.2.1. MATRICEA DE TRANSFER PENTRU VIBRAŢIILE DE ÎNCOVOIERE
Pentru un element de bară de lungime l care execută vibraţii de încovoiere, cu notaţiile din
figura 1.4, între vectorii de stare din secţiunile k-1 şi k se poate scrie relaţia:
v
M
F
S TU
EI
V
EI
V ST
EI
U
EI
EIU EIV ST
EIT EIU V S
v
M
F
k
k
k
k
k
k
k
kkk
k
ϕ
α α α
αα α
α αα
α α α
ϕ
=
− −
− −
− −
− −
−
−
−
−−
1
2 3
2
2
3 2
1
1
1
1 1
(1.1)
unde: - S,T,U,V sunt funcţiile Krîlov-Rayleigh:
( ) ( ) ( )[ ]S l ch l lα α α= +
1
2cos ,
( ) ( ) ( )[ ]T l sh l lα α α= +
1
2sin ,
( ) ( ) ( )[ ]U l ch l lα α α= −
1
2cos ,
( ) ( ) ( )[ ]V l sh l lα α α= −
1
2sin ;
- α ωρ
=
A
EI
4 în care, ω este pulsaţia proprie de ordinul n, ρ este densitatea
materialului, A este aria secţiunii transversale, E este modulul de elasticitate
longitudinal, I este momentul de inerţie al secţiunii transversale faţă de axa neutră a
acesteia.
Figura 1.4
_______________________________________________________________________________
3
Relaţia (1.1) mai poate fi scrisă sub forma:
v
M
EI
F
EI
S T U V
V S T U
U V S T
T U V S
v
M
EI
F
EIk k k
ϕ
α
α
α
ϕ
α
α
α
−
−
=
−
−
−
2
3
2
3
1
. (1.2)
Dacă se notează:
θϕ
α= ,
mM
EI= −
α2
,
fF
EI= −
α3
,
atunci se poate scrie:
v
m
f
S T U V
V S T U
U V S T
T U V S
v
m
fk k k
θ θ
=
−1
(1.3)
Matricea :
S T U V
V S T U
U V S T
T U V Sk
este matricea de transfer pentru vibraţiile de încovoiere pentru elementul k.
Utilitatea relaţiei (1.2) constă în aceea că, elementele matricei de transfer (S,T,U,V) iau
valori mai mici decât elementele matricei de transfer din releţia (1.1) şi deci valoarea
determinantului nu depăşeşte posibilitatea reprezentării sale în memoria calculatorului.
Vectorii (matricele coloană):
_______________________________________________________________________________
4
v
M
EIF
EI
v
m
f
si
v
M
EIF
EI
v
m
fk k k k
ϕ
α
α
α
θϕ
α
α
α
θ
−
−
≡
−
−
≡
−−
2
3
2
3
1 1
sunt vectorii de stare pentru secţiunile k-1 şi k.
1.2.2. MATRICEA DE TRANSFER PENTRU VIBRAŢIILE LONGITUDINALE
Pentru un element de bară de lungime l, care execută vibraţii longitudinale, cu notaţiile din
figura 1.5, între vectorii de stare din secţiunile k-1 şi k se poate scrie relaţia:
1cossin
sin1
cos
−
−=
kk
kF
v
llEA
lEA
l
F
v
ααα
α
α
α (1.4)
unde: - α ωρ
=
E , în care, ω este pulsaţia proprie de ordinul n, ρ este densitatea materialului, E
este modulul de elasticitate longitudinal;
- A este aria secţiunii transversale.
Relaţia (1.4) conduce la sistemul:
v v l
F
EAl
F v EA l F l
k k
k
k k k
= +
=− +
−
−
− −
1
1
1 1
cos sin
sin cos
α
α
α
α α α
.
Dacă se înmulţeşte a doua ecuaţie cu 1
αEA, se obţine sistemul:
v v lF
EAl
F
EAv l
F
EAl
k k
k
k
k
k
= +
=− +
−
−
−
−
1
1
1
1
cos sin
sin cos
α
α
α
α
α
α
α
Figura 1.5
_______________________________________________________________________________
5
care poate fi pus sub forma matriceală:
1cossin
sincos
−
−=
kk
k EA
F
v
ll
ll
EA
F
v
ααα
αα
α
. (1.5)
Dacă se notează
fF
EA=
α
,
M l= cosα ,
N l= sinα ,
atunci se poate scrie:
v
f
M N
N M
v
fk k k
=
−
−1
. (1.6)
Matricea
M N
N Mk
−
este matricea de transfer pentru vibraţii longitudinale pentru elementul k, iar vectorii:
v
f
v
F
EA
si
v
f
v
F
EAk k k k
≡
≡
−−
1 1α α
sunt vectorii de stare pentru secţiunile k-1 şi respectiv k.
1.2.3. MATRICEA DE TRANSFER PENTRU VIBRAŢIILE DE TORSIUNE
a) Cazul arborilor cu secţiune circulară
Pentru un element de bară de lungime l care execută vibraţii de torsiune, cu notaţiile din
figura 1.6, între vectorii de stare din secţiunile k-1 şi k se poate scrie relaţia:
1cossin
sin1
cos
−
−
=
kk
kM
llGI
lGI
l
Mp
p
θ
ααα
αα
αθ (1.7)
_______________________________________________________________________________
6
unde: - α ωρ
=
G în care, ω este pulsaţia proprie de ordinul n, ρ este densitatea
materialului, G este modulul de elasticitate transversal;
- Ip este momentul de inerţie polar al secţiunii transversale.
Relaţia matriceală (1.7) conduce la sistemul :
θ θ αα
α
θ α α α
k k
k
p
k k p k
lM
GIl
M GI l M l
= +
=− +
−
−
− −
1
1
1 1
cos sin
sin cos
.
Dacă se înmulţeşte a doua ecuaţie cu 1
αGIp
, se obţine sistemul :
θ θ αα
α
αθ α
αα
k k
k
p
k
p
k
k
p
lM
GIl
M
GIl
M
GIl
= +
=− +
−
−
−
−
1
1
1
1
cos sin
sin cos
care poate fi pus sub forma matriceală :
1
cossin
sincos
−
−=
kk
k ppGI
M
ll
ll
GI
M
α
θ
αα
αα
α
θ
. (1.8)
Dacă se notează
mM
GIp
=
α
,
P l= cosα ,
R l= sinα ,
atunci se poate scrie :
θ θ
m
P R
R P mk k k
=
−
−1
. (1.9)
Matricea
Figura 1.6
_______________________________________________________________________________
7
P R
R Pk
−
este matricea de transfer pentru vibraţii de torsiune (în cazul elementelor de bară cu secţiune
circulară ) pentru elementul k, iar vectorii :
θθ
α
θθ
αm
M
GI
si
m
M
GIkk
kk
p p
≡
≡
−
−
11
sunt vectorii de stare pentru secţiunile k-1 şi respectiv k.
b) Cazul barelor cu secţiune dreptunghiulară
Se consideră o bară dreaptă de secţiune transversală constantă, dreptunghiulară, (figura 1.7)
care execută vibraţii de torsiune în jurul axei sale de simetrie longitudinale Oy.
Conform teoriei lui Saint-Vénant privind
torsiunea barelor cu secţiune dreptunghiulară,
axa Oy va fi şi axă neutră pentru torsiune.
Se izolează din această bară un element
prismatic de lungime dx, acţionat la capete de
momentele de torsiune My şi My +dMy .
Se aplică teorema momentului cinetic în
raport cu axa Oy: dK
d tM
y
y=∑ .
Deoarece axa Oy este axă de simetrie, ea este şi axă principală de inerţie, deci Jxy =Jyz =0.
Din expresia momentului cinetic [94]: { } [ ] { }K J= ω , se obţine în acest caz K Jy y y= ω sau
K Jy y=
&θ în care, s-a notat cu θ unghiul de rotaţie în jurul axei Oy.
Momentul de inerţie al elementului prismatic faţă de axa Oy va fi : Jy =ρIpdy în care, ρ este
densitatea materialului, iar Ip este momentul de inerţie polar al secţiunii transversale.
Conform teoriei lui Saint-Vénant, unghiul de torsiune specifică va fi
∂θ
∂ βy
M
hb G
y
=3
,
unde :
- h este latura mare a secţiunii transversale;
- b este latura mică a secţiunii transversale;
Figura 1.7
_______________________________________________________________________________
8
- β este un coeficient care se alege în funcţie de raportul h
b şi care ia valori între
0,141 (pentru h
b= 1) şi 0,333 (pentru
h
b→∞ ).
Notând I hbd= β
3, se obţine pentru momentul de torsiune relaţia : M G Iy
y d=
∂θ
∂.
Înlocuind în expresia teoremei momentului cinetic şi efectuând calculele, se obţine ecuaţia
cu derivate parţiale pentru vibraţiile de torsiune în jurul axei longitudinale ale barelor drepte
prismatice de secţiune constantă :
∂ θ
∂ ρ
∂ θ
∂
2
2
2
2t
GI
I y
d
p
= . (1.10)
Dacă se notează cG I
I
d
p
= ⋅
ρ=constant, atunci ecuaţia cu derivate parţiale (1.10),
devine ∂ θ
∂
∂ θ
∂
2
2
2
2
2t
cy
= . Această formă este identică cu cea a ecuaţiei cu derivate parţiale pentru
vibraţiile de torsiune ale barelor drepte cu secţiune circulară, deci integrarea ecuaţiei (1.10) se face
prin analogie.
Pentru un element de bară prismatică de secţiune constantă, de lungime l, care execută
vibraţii de torsiune, relaţia de legătură între vectorii de stare din secţiunile k-1 şi k se stabileşte
procedând analog cu cazul barelor drepte de secţiune circulară.
Se pleacă de la soluţia ecuaţiei cu derivate parţiale (1.10). Se face notaţia α ωρ
= ⋅
G
I
I
p
d
în care, ω este pulsaţia proprie de ordinul n. Se ţine seama de relaţia de legătură între
momentul de torsiune şi unghiul de torsiune specifică rezultată din teoria lui Saint-Vénant pentru
torsiunea barelor cu secţiune dreptunghiulară.
Cu notaţiile din figura 1.7 se obţine :
1cossin
sin1
cos
−
−
=
kk
kM
llGI
lGI
l
Md
d
θ
ααα
αα
αθ (1.11)
care conduce la sistemul :
θ θ αα
α
θ α α α
k k
k
d
k k d k
lM
GIl
M GI l M l
= +
=− +
−
−
− −
1
1
1 1
cos sin
sin cos
.
_______________________________________________________________________________
9
Dacă se înmulţeşte a doua ecuaţie cu 1
αGId
, se obţine sistemul:
θ θ αα
α
αθ α
αα
k k
k
d
k
d
k
k
d
lM
GIl
M
GIl
M
GIl
= +
=− +
−
−
−
−
1
1
1
1
cos sin
sin cos
care poate fi pus sub forma matriceală :
1
cossin
sincos
−
−=
kk
k ddGI
M
ll
ll
GI
M
α
θ
αα
αα
α
θ
. (1.12)
Dacă se notează
mM
GId
=
α
,
P l= cosα ,
R l= sinα ,
atunci se poate scrie :
θ θ
m
P R
R P mk k k
=
−
−1
. (1.13)
Matricea
P R
R Pk
−
este matricea de transfer pentru vibraţii de torsiune (în cazul elementelor prismatice) pentru
elementul k, iar vectorii :
θθ
α
θθ
αm
M
GI
si
m
M
GIkk
kkd d
≡
≡
−
−
11
sunt vectorii de stare pentru secţiunile k-1 şi respectiv k.
Ca formă, expresiile matricelor de transfer în cazul vibraţiilor de torsiune sunt identice
pentru elemente cu secţiune circulară şi elemente prismatice cu secţiune dreptunghiulară. Ele diferă
însă prin argumentele funcţiilor trigonometrice.
De asemenea, sunt identice ca formă şi expresiile vectorilor de stare în cazul vibraţiilor de
torsiune pentru elemente cu secţiune circulară şi elemente prismatice cu secţiune dreptunghiulară.
Diferă însă prin expresiile elementului m.
_______________________________________________________________________________
10
1.2.4. MATRICEA DE TRANSFER PENTRU UN ELEMENT AL
SISTEMULUI DE BARE
Aşa cum se arată în § 1.1., s-a considerat că un element al sistemului de bare execută
vibraţii de încovoiere în două plane perpendiculare care conţin axa longitudinală a elementului,
vibraţii de întindere compresiune şi vibraţii de torsiune în lungul şi respectiv în jurul axei
longitudinale.
Cu notaţiile din figura 1.7, se poate scrie relaţia matriceală (1.14). Schimbările de semne
care apar faţă de relaţia (1.2), la unele elemente ale vectorilor de stare pentru vibraţiile de
încovoiere, se datorează utilizării unui sistem de referinţă unic pentru toate tipurile de vibraţii.
Figura 1.7
_______________________________________________________________________________
11
v
M
EI
F
EI
v
F
EA
M
GI
v
M
EI
F
EI
S T U V
V S T U
U V S T
T U
x
z
ix
z
ix z
x
ix z
y
y
cy xz
y
y
ry pxz
z
x
iz
x
iz x
z
iz x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
k
−
−
−
−
=
ϕ
α
α
α
α
ϕ
α
ϕ
α
α
α
2
3
2
3
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
V S
M N
N M
P R
R P
S T U V
V S T U
U V S T
T U V S
x x
z z z z
z z z z
z z z z
z z z z
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
−
−
−
−
−
−
−
kk
v
M
EI
F
EI
v
F
EA
M
GI
v
M
EI
F
EI
x
z
ix
z
ix z
x
ix z
y
y
cy xz
y
y
ry pxz
z
x
iz
x
iz x
z
iz x
ϕ
α
α
α
α
ϕ
α
ϕ
α
α
α
2
3
2
3
1
(1.14)
în care se folosesc următoarele notaţii:
vx -deplasarea în lungul axei Ox;
vy -deplasarea în lungul axei Oy;
vz -deplasarea în lungul axei Oz;
ϕx -unghiul de rotaţie în jurul axei Ox;
ϕy -unghiul de rotaţie în jurul axei Oy;
ϕz -unghiul de rotaţie în jurul axei Oz;
Fx -forţa tăietoare pe axa Ox;
Fy -forţa axială pe axa Oy;
Fz -forţa tăietoare pe axa Oz;
Mx -momentul încovoietor pe axa Ox (încovoiere în planul yOz);
My -momentul de torsiune pe axa Oy (torsiune în jurul axei Oy);
Mz -momentul încovoietor pe axa Oz (încovoiere în planul xOz);
_______________________________________________________________________________
12
Axz - aria secţiunii transversale (din planul xOz);
E - modulul de elasticitate longitudinal;
G - modulul de elasticitate transvarsal;
Iz -momentul de inerţie faţă de axa Oz, al secţiunii din planul xOz;
Ix -momentul de inerţie faţă de axa Ox, al secţiunii din planul xOz;
Ipxz - momentul de inerţie polar al secţiunii din planul xOz;
4
z
xz
ixix
EI
Aρωα = , unde: ρ- este densitatea materialului;
ωix - este pulsaţia proprie pentru vibraţiile de incovoiere din planul xOy (pe direcţia Ox ).
E
cycy
ρωα = , unde: ωcy - este pulsaţia proprie pentru vibraţiile longitudinale
(în lungul axei Oy).
G
ryry
ρωα = , unde: ωry - este pulsaţia proprie pentru vibraţiile de torsiune
(în jurul axei Oy).
4
x
xz
iziz
EI
Aρωα = , unde: ωiz - este pulsaţia proprie pentru vibraţiile de incovoiere din planul
yOz (pe direcţia Oz ).
Sx, Tx, Ux , Vx - sunt funcţiile Krîlov-Rayleigh scrise în cazul vibraţiei de încovoiere în
planul
xOy (pe direcţia Ox ), adică:
( ) ( )( ) 2coskixkixxllchS αα +=
( ) ( )( ) 2sinkixkixxllshT αα +=
( ) ( )( ) 2coskixkixxllchU αα −=
( ) ( )( ) 2sinkixkixxllshV αα −=
unde lk - reprezintă lungimea elementului k.
M, N - funcţiile trigonometrice cosinus şi sinus scrise pentru vibraţia de întindere-
compresiune în lungul axeiOy:
( )kcylM αcos=
( )N lcy k= sin α .
_______________________________________________________________________________
13
R, P - funcţiile trigonometrice cosinus şi sinus scrise pentru vibraţia de torsiune în jurul
axei
Oy:
( )P lry k= cos α
( )R lry k= sin α .
Sz, Tz, Uz , Vz - sunt funcţiile Krîlov-Rayleigh scrise în cazul vibraţiei de încovoiere în
planul
yOz (pe direcţia Oz ), adică:
( ) ( )( )S ch l lz iz k iz k= +α αcos 2
( ) ( )( )T sh l lz iz k iz k= +α αsin 2
( ) ( )( )U ch l lz iz k iz k= −α αcos 2
( ) ( )( )V sh l lz iz k iz k= −α αsin 2.
Cu notaţiile:
θϕ
αz
z
ix
= −
mM
EIz
z
ix z
= −
α2
fF
EIx
x
ix z
= −
α3
fF
EAy
y
cy xz
=
α
θ ϕy y=
m
M
GIy
y
ry pxz
=
α
θϕ
αx
x
iz
=
mM
EIx
x
iz x
=
α 2
fF
EIz
z
iz x
= −
α 3
se scriu matricele vectorilor de stare{ }q şi matricea de transfer [ ]A :
_______________________________________________________________________________
14
{ }q
v
m
f
v
f
m
v
m
f
k
x
z
z
z
y
y
y
y
z
x
x
z k
−
=
−
1
1
θ
θ
θ
şi { }q
v
m
f
v
f
m
v
m
f
k
x
z
z
z
y
y
y
y
z
x
x
z k
=
θ
θ
θ
[ ]A
S T U V
V S T U
U V S T
T U V S
M N
N M
P R
R P
S T U V
V S T U
U V S T
T U V S
k
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
z z z z
z z z z
z z z z
z z z z
=−
−
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
k
.
Relaţia matriceală (1.14) pentru elementul k se poate scrie
{ } [ ] { }q A qk k k=
−1 (1.15)
în care: { }qk −1
şi { }qk - reprezintă vectorii de stare pentru secţiunile k-1 şi respectiv k;
[ ]Ak - reprezintă matricea de transfer pentru elementul k.
Dacă se consideră că pentru o secţiune (nod) se poate vorbi de un vector de stare la stânga
secţiunii (nodului), { }qst
, şi un vector de stare la dreapta secţiunii (nodului), { }qdr
, atunci pentru
elementul k se poate scrie:
{ } [ ] { }q A qk
st
k k
dr
=−1
. (1.16)
_______________________________________________________________________________
15
1.4. MATRICEA DE TRANSFER PENTRU SISTEMUL DE BARE Conform celor prezentate în capitolele precedente, sistemul de bare se împarte în elemente
de secţiune constantă, neacţionate de forţe şi/sau momente concentrate, care vor fi parcurse pe fibra
medie. Elementele astfel delimitate vor fi numerotate în ordine începând cu numărul 1 pentru
primul element din stânga. Sistemul de bare va fi parcurs de la stânga la dreapta pe fibra medie a
elementelor.
Punctele în care are loc o schimbare a direcţiei de parcurgere, o modificare a
caracteristicilor geometrice şi/sau mecanice sau intervin forţe şi/sau momente concentrate vor fi
denumite noduri şi vor fi numerotate începând cu numărul 0 pentru nodul din extremitatea stângă a
sistemului de bare. Astfel, elementul k va fi mărginit la stânga de nodul k-1 şi la dreapta de nodul k.
Pentru fiecare element k (k=1, 2,---, n ) se va scrie matricea de transfer [A]k.
În vectorii de stare pentru nodurile din capete, 0 şi n, vor apărea condiţiile de rezemare la
capete.
În nodurile interioare, 1, 2,---, n-1 pot interveni câte una dintre matricele:
[B]k - matrice de salt (de secţiune);
[C]k - matrice de trecere la schimbarea direcţiilor axelor de coordonate;
[E]k - matrice de trecere peste un reazem elastic.
[D]k - matrice de trecere peste noduri unde sunt forţe şi/sau momente concentrate
Se pot scrie astfel relaţiile matriceale între vectorii de stare din stânga şi din dreapta
nodurilor:
Figura 1.26
_______________________________________________________________________________
16
[ ] [ ] { }
[ ] [ ] { }
[ ] [ ] { }
[ ] [ ] { }
[ ] [ ] { }
[ ] [ ] { }
[ ] [ ] { }
[ ] [ ] { }
[ ] [ ] { }
q A q
q H q
q A q
q A q
q H q
q A q
q A q
q H q
q A q
st dr
dr st
st dr
k
st
k k
dr
k
dr
k k
st
k
st
k k
dr
n
st
n n
dr
n
dr
n n
st
n
st
n n
dr
1 1 0
1 1 1
2 2 1
1
1 1
1 1 2
1 1 1
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
+ +
− − −
− − −
−
M
M
(1.98)
în care, [H]k este după caz una dintre matricele [B]k, [C]k, [D]k , [E]k,
Înlocuind succesiv, se obţine:
{ } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] { }q A H A A H A A H A qn
st
n n n k k k
dr
=− − + −1 1 1 1 2 1 1 0
L L (1.99)
sau
{ } [ ]{ }q Q qn
st dr
=0
(1.100)
unde, s-a notat [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]Q A H A A H A A H An n n k k k
=− − + −1 1 1 1 2 1 1
L L .
Matricea 12x12, notată [Q], este matricea de transfer pentrusistemul de bare.
După ce se pun condiţiile la limită (în nodurile 0 şi n ) din relaţia (1.100) se oţine un sistem
algebric liniar şi omogen. Condiţia ca acest sistem să admită soluţii nenule conduce la ecuaţia
pulsaţiilor proprii. Ecuaţia pulsaţiilor proprii este o ecuaţie transcendentă deoarece necunoscuta, ω,
apare şi ca argument al funcţiilor hiperbolice şi trigonometrice. De aceea se rezolvă numeric.
Top Related