Download - curs de armonici

Circuite electrice în regim deformant

1

4.CIRCUITE ELECTRICE ÎN REGIM DEFORMANT

4.1. SURSE ALE REGIMULUI DEFORMANT

4.1.1. GENERALIT��I Elementele componente ale unui sistem energetic sunt concepute s� func�ioneze în regim armonic sinusoidal, cu frecven�a fundamental� nominal�, stabilit� prin reglement�rile tehnice ale ��rii respective. Regimul deformant este acela care se întâlne�te mai mult în practic�. El se datore�te func�ion�rii în re�elele de curent alternativ a aparatelor deformante �i care sunt constituite în general din elementele neliniare din re�ea. Semnalele electrice periodice nesinusoidale (deformate) sunt cauzate de:

- generatoarele rotative, care nu produc tensiuni de form� perfect sinusoidal�, - func�ionarea în re�elele de c.a. a aparatelor deformante �i care sunt constituite în general de elementele neliniare din re�ea (consumatori de putere relativ mare, având caracteristici neliniare: transformatoarele cu miezuri saturate, instala�iile de redresare, cuptoarele cu arc electric, etc.).

Chiar dac� tensiunile electromotoare ale generatoarelor din centrale electrice sunt presupuse sinusoidale, elementele neliniare deformeaz� curen�ii �i produc astfel c�deri de tensiune periodice nesinusoidale, de aceea se numesc elemente deformante de circuit. Ca urmare a acestui fapt, în re�elele cu elemente neliniare tensiunile de alimentare ale consumatorilor (elemente liniare sau neliniare) sunt periodice nesinusoidale. Prezen�a surselor poluante în sistemul electric determin� apari�ia �i propagarea în re�elele electrice a unor semnale periodice sau neperiodice de curent sau tensiune. În func�ie de rangul armonicii, definit ca raport între frecven�a armonicii �i cea fundamental�, curbele de tensiune sau de curent produse de sursele poluante pot fi: - armonice, dac� rangul lor este un num�r întreg; - subarmonice, dac� rangul lor este subunitar; - interarmonice, dac� rangul lor este diferit de un multiplu întreg al frecven�ei

fundamentale. În practic�, domeniul de frecven�� al surselor poluante armonic este de la câ�iva her�i la aproape 10 kHz.

CIRCUITE ELECTRICE

2

Prin frecven�a lor de apari�ie �i amplitudinea lor în raport cu amplitudinea fundamental�, curbele de tensiune sau de curent armonice prezint� cea mai mare importan�� în sistemul electric. Deformarea regimului sinusoidal în re�elele electrice de curent alternativ se produce datorit� urm�toarelor cauze: - tensiunea surselor de energie electric� din SEN este periodic� nesinusoidal�,

nefiind perfect sinusoidal�; considerând re�eaua liniar� atunci apar �i curen�i armonici;

- caracteristicile neliniare ale elementelor de re�ea; - natura consumatorilor racorda�i la re�ea, �.a. Deci, pentru a exista regim deformant este necesar ca un semnal aplicat re�elei s� fie periodic nesinusoidal sau ca cel pu�in unul din parametrii re�elei s� fie neliniar. De�i se poate admite c� generatoarele furnizeaz� energia electric� sub tensiuni electromotoare de form� sinusoidal� existen�a în sistem a consumatorilor neliniari produce deformarea puternic� a curen�ilor care circul� prin re�elele de alimentare. Datorit� circula�iei curen�ilor deforma�i, tensiunile electrice în diferite puncte ale re�elelor vor fi deformate (periodice nesinusoidale) ca urmare a c�derilor de tensiune produse de curen�ii periodici nesinusoidali pe impedan�ele corespunz�toare ale re�elelor. Pe de alt� parte, consumatori cu caracteristic� liniar� de func�ionare, cum ar fi condensatorii, func�ionând într-o re�ea cu tensiune periodic� nesinusoidal�, contribuie la amplificarea acestui regim. O serie de consumatori a c�ror pondere este în continu� cre�tere au o caracteristic� neliniar� de func�ionare, cu nesimetrii de înc�rcare, cu varia�ii de sarcin� în �ocuri, ceea ce îi transform� în adev�ra�i poluan�i pentru re�elele electrice generând armonici de curent �i tensiune. Din aceast� categorie fac parte cuptoarele electrice cu arc, instala�iile de sudare, ac�ion�rile cu tiristoare, redresoarele comandate, mutatoarele monofazate sau trifazate, transformatoarele electrice, liniile de transport supratensionate prin efectul corona etc., care introduc în re�ea un regim deformant. S-a constatat c� func�ionarea re�elelor în regim deformant are drept cauz� principal�, pe lâng� transformarea energiei electromagnetice în alt� form� de energie, prezen�a acestor receptori neliniari de mare putere, circula�ia armonicelor în re�ele fiind analog� unei polu�ri a re�elelor prin armonice. Prezen�a regimului deformant este legat� de particularit��ile constructive �i func�ionale ale elementelor sistemului electroenergetic �i se manifest� prin deformarea tensiunii �i/sau de curentului. Ca urmare a deform�rii curen�ilor �i tensiunilor din re�eaua electric�, puterile electrice globale active �i reactive, rezult� din suprapunerea unor componente armonice de diverse ranguri, corespunz�toare armonicilor de curent �i tensiune. Este cunoscut faptul c� într-o re�ea electric� liniar�, activ�, care alimenteaz� receptori liniari �i neliniari, puterile active �i reactive se conserv� atât pe armonici cât �i global. Instala�iile în care se realizeaz� convertirea energiei electrice de 50 Hz în energie electric� de al�i parametri sau în alt� form� de energie au în general un caracter neliniar. Aceast� neliniaritate se manifest� prin modificarea legii de varia�ie în timp a curentului fa�� de legea de varia�ie în timp a tensiunii de alimentare. Astfel de instala�ii sunt:


3

- convertoarele statice de putere (mutatoarele), care pot func�iona în regim de redresor sau invertor;

- convertoarele electrotermice, care convertesc energia electric� în energie termic�. Aceste instala�ii sunt astfel realizate în prezent încât furnizeaz� consumatorului deformant nu numai tipul nou de energie, ci �i energie electric� cu diver�i parametri de care acesta nu are nevoie �i în consecin�� o refuleaz� spre re�eaua de alimentare, comportându-se fa�� de aceasta ca un generator de curen�i de diverse frecven�e. În raport de frecven�a tensiunii electrice, ace�ti curen�i pot fi armonici �i/sau nearmonici. Cercet�rile au ar�tat c� ponderea o de�in curen�ii armonici. Dac� construc�ia echipamentului electric prin care se realizeaz� alimentarea consumatorului deformant permite circula�ia curen�ilor armonici, atunci la bornele acestui echipament vor ap�rea c�deri de tensiune armonice astfel încât fiecare curent armonic �i tensiunea armonic� de rang corespunz�tor se vor combina spre a da energie electric� armonic�. Prezen�a energiei electrice armonice în re�ea duce la alterarea energiei electrice de 50 Hz, fapt eviden�iat prin deformarea formei sinusoidale a tensiunii electrice �i în consecin�� trecerea sistemului electroenergetic de la func�ionarea în regim sinusoidal la func�ionarea în regim deformant. Energia electric� armonic� se propag� în re�ea, fiind aplicat� la bornele tuturor echipamentelor electrice de la produc�tor, transportor-distribuitor �i consumatori, f�r� a fi necesar� func�ionarea acestora, deci ea va reprezenta o perturba�ie. Prin structura sa, calea ferat� electrificat�, produce în re�eaua de alimentare nesimetrii de tensiune �i curent, iar mutatoarele de pe locomotive conduc la apari�ia în sistemul de alimentare a armonicelor de tensiune �i de curent, introducând astfel regimuri deformante, atât în re�elele de transport �i distribu�ie a energiei electrice, precum �i în instala�iile serviciilor interne ale locomotivelor, forma curentului consumat de montajele redresoare (armonicele) depinzând de montajul redresoarelor. În acest fel, în raport cu sistemul electroenergetic, calea ferat� electrificat� reprezint� un important consumator nesimetric �i deformant. Reac�ia re�elei electrice, în punctul de racord al redresoarelor se caracterizeaz� prin: varia�ia tensiunii, dezechilibru de curen�i, deformarea tensiunii, varia�ia frecven�ei, dispari�ia instantanee par�ial� sau total� a fazelor (întrerupere �i restabilire), propagarea perturba�iilor de înalt� frecven��. Comuta�ia cauzeaz� asupra tensiunii re�elei de alimentare, ciupituri �i ciocuri (datorate scurtcircuitelor temporare) �i produce varia�ia defazajului �i puterii reactive. Într-un punct oarecare, amplitudinea unei ciupituri depinde de raportul (inductan�� total� pe faz�)/(inductan�� în amonte pe faz�). Oscila�iile de înalt� frecven�� provocate de comuta�ii, sunt salturi bru�te de tensiune care intervin la începutul �i mai ales la sfâr�itul comuta�iei. Pentru unele moduri de cuplaj aparent simetrice, asimetria comuta�iei poate conduce la apari�ia unor armonice a c�ror valoare teoretic� ar trebui s� fie nul�. De asemenea, se �tie c� func�ionarea cu un grad mare de compensare amplific� fenomenele deformante cauzate de consumatorii deforman�i. În concluzie, sursele poluante din cadrul sistemului energetic apar la func�ionarea urm�toarelor categorii principale de instala�ii:

CIRCUITE ELECTRICE

4

- instala�ii electrice �i electronice cu caracteristici neliniare (mutatoare, instala�ii de electroliz�, cuptoare cu arc electric etc.);

- generatoare �i elemente de transfer care, prin construc�ia lor, nu realizeaz� semnale de ie�ire de form� perfect sinusoidal� (ma�ini sincrone, transformatoare de putere etc.);

- componente ale circuitului electric care func�ioneaz� în regimuri anormale (ma�ini electrice �i transformatoare în suprasarcin�, desc�rcarea corona pe liniile electrice aeriene etc.).

În ceea ce prive�te gradul de deformare a tensiunii �i curentului se poate releva �i influen�a elementelor reactive de circuit (bobine, condensatori) asupra semnalelor ce intervin (tensiuni, curen�i) într-un regim deformant. Elementele reactive de circuit se comport� în mod diferit, producând deformarea mai pronun�at� a unora dintre semnale în raport cu celelalte. �inând seama de acest fapt, dup� o clasificare f�cut� de prof. C. Budeanu (1886-1959), elementele de circuit care produc regimul deformant se clasific� în: - elemente deformante de categoria I (elementele cu caracteristici neliniare), care

sunt cauza ini�ial� – �i singura dealtfel – a producerii regimului deformant; fiind alimentate cu tensiuni sau curen�i riguros sinusoidali, produc fenomene deformante. În aceast� categorie se claseaz� mutatoarele (supape mecanice, cu vapori de mercur etc.), reactan�e cu miez de fier (transformatoare, bobine de �oc etc.), alternatoarele industriale a c�ror curb� de tensiune nu este sinusoidal�, cuptoare cu arc, linii electrice de înalt� tensiune;

- elemente deformante de categoria II (elementele reactive liniare), care nu dau na�tere regimului deformant dar care, fiind alimentate cu curen�i deforman�i, amplific� aceast� deforma�ie: elemente reactive liniare care produc distorsiuni mai pronun�ate a unor semnal în raport cu celelalte (baterii de condensatori, linii electrice de transmitere a energiei electrice, aeriene sau subterane etc).

Re�elele electrice moderne comport� în construc�ia lor un num�r destul de mare de elemente deformante de clas� I sau II. Într-adev�r, nu se poate concepe o re�ea modern� f�r� transformatoare, al c�ror fier este adesea saturat; de asemenea, alimentarea tramvaielor �i c�ilor ferate electrice, func�ionând în curent continuu, se face azi, din ce în ce mai mult, cu ajutorul mutatoarelor; în sfâr�it re�elele, care în majoritatea cazurilor sunt constituite din cabluri subterane, formeaz� de asemenea un aparat deformant. Rezult� c� în acestea re�ele vor ap�rea întotdeauna fenomene deformante. În tabelul 4.1 sunt prezentate câteva dintre cele mai importante surse poluante din sistemul energetic, rangul �i amplitudinea armonicilor generate. În func�ie de caracteristicile lor, pot fi considerate ca surse de curent sau ca surse de tensiune. Datorit� conexiunilor cu sistemul energetic, armonicile produse se propag� în re�eaua electric� dând na�tere în unele cazuri la fenomene de rezonan��. Suprapunerea armonicilor peste curbele de tensiune sau curent cu frecven�a fundamental� conduce la deformarea acestora cu men�inerea perioadei (fig.4.1), acest regim de func�ionare a unui sistem electric cu curbe ale curentului sau tensiunii periodice nesinusoidale fiind regimul deformant.


5

Tabelul 4.1 Surse poluante în sistemul energetic

Sursa poluant� Rangul armonicilor �i amplitudinile acestora

Redresoare monofazate comandate sau semicomandate, dubl� alternan�� cu sarcin� rezistiv� sau curent practic continuu la ie�irea din redresor precum �i în cazul montajelor cu tiristori în antiparalel cu sarcin� rezistiv�

- armonici de rang impar; - amplitudinea armonicilor descre�te odat� cu

cre�terea rangului armonicii; - pentru unele valori ale unghiului de întârziere la

comanda tiristorilor în cazul redresoarelor comandate sau semicomandate, dispar unele dintre armonicile impare.

Redresoare monofazate, simpl� alternan��, cu sarcin� rezistiv� sau curent practic continuu la ie�ire

- armonici de rang par �i impar; - amplitudinea armonicilor scade odat� cu

cre�terea rangului lor. Redresoare hexafazate, dodecafazate, cu p faze

- armonici de rang n=k⋅p±1 (k=1,2,3,…); - amplitudinea armonicilor scade odat� cu rangul

armonicii dup� rela�ia aproximativ� 2,1

1

n

II n = ,

unde I1 este amplitudinea fundamentalei, iar n este rangul armonicii.

Instala�ii cu redresoare disimetrice, pun�i de redresare mixte, echipate cu diode �i tiristori

- armonici pare �i impare; - amplitudinea armonicii 3 sub 15% din

amplitudinea fundamentalei; - descre�terea rapid� a amplitudinii armonicilor

la cre�terea rangului acestora; - apari�ia armonicilor pare în cazul tuburilor cu

desc�rc�ri în vapori metalici, pe durata înc�lzirii.

Ma�ini de sp�lat cu program - armonici impare; - amplitudine descresc�toare cu cre�terea rangului

acestora; Televizoare color Sisteme utilizând redresarea ambelor alternan�e:

- armonici impare; - amplitudinea armonicii 3 de curent poate atinge

80% din amplitudinea curentului electric pe fundamental�;

- amplitudinea armonicilor scade cu cre�terea rangului acestora;

Sisteme utilizând redresarea unei singure alternan�e: - armonici de rang par �i impar; - amplitudinea armonicii 2 de curent sub 45% din

amplitudinea curentului electric pe fundamental�; - amplitudinea armonicilor scade cu cre�terea

rangului acestora.

CIRCUITE ELECTRICE

6

Cuptoare cu arc electric (pe durata topirii)

- armonici de rang par �i impar; - amplitudinea armonicii 2 de curent, ≈5% din

curentul electric pe fundamental�; - amplitudinea armonicilor scade cu cre�terea

rangului acestora. Compensatoare statice la cuptoarele cu arc electric

- armonici de rang 5,7,11,13… - amplitudinea armonicii 5 de curent sub 20% din

amplitudinea curentului electric pe fundamental�;

- amplitudinea armonicilor scade cu cre�terea rangului acestora.

Locomotive electrice monofazate cu redresoare

- armonice impare; - amplitudinea armonicii 3 de curent sub 20% din

amplitudinea curentului electric pe fundamental�; - amplitudinea armonicilor scade cu cre�terea

rangului acestora.

Analiza dezvolt�rii surselor poluante, în �ara noastr�, datorit� marilor consumatori industriali �i transporturilor electrificate, în perioada 1966-1990, pune în eviden�� o rat� ridicat� de cre�tere a acestora, datorit� atât dezvolt�rii unor ramuri industriale cât �i moderniz�rii tehnologiilor, introducerii automatiz�rilor �i reglajelor cu mutatoare de putere pe scar� larg�. Cre�terea nivelului de poluare cu armonici a sistemului electric impune un studiu sistematic în vederea stabilirii metodelor de depistare, m�surare, analiz� �i adoptare a unor m�suri pentru limitarea influen�elor

f(t)

f(t)

armonica 3

armonica 9

armonica 5

armonica 7

π

2π ωt

fundamentala

ϕ9/9=30o

O

ϕ7/7=45o

ϕ5/5=60o

ϕ3/3=75o

ϕf =300o

Figura 4.1 Curb� deformat� determinat� de suprapunerea curbelor corespunz�toare

armonicilor peste curba de frecven�� fundamental�


7

negative asupra func�ion�rii sistemului. În dezvoltarea sistemului energetic urmeaz� a se stabili o strategie de coordonare antipoluant�, pentru a corela interac�iunile dintre distorsiunile armonice �i echipamentele din re�eaua electric� din punctul de vedere economic �i tehnic, �inând seama de aspectul statistic al polu�rii armonice. De asemenea, pe baza studiilor efectuate este necesar a preciza limitele �i toleran�ele admise pentru nivelul de poluare cu armonici, pentru diferite condi�ii de func�ionare ale consumatorilor industriali �i în func�ie de tipul receptorilor din zon�. Din acest punct de vedere sunt receptori electrici sau electronici care manifest� sensibilitate la efectele instantanee sau de scurt� durat� (electronic� de putere, relee de protec�ie etc.) �i receptori sensibili la efectele cumulative ale polu�rii armonice (condensatori, ma�ini electrice, conductori izola�i etc.). În scopul limit�rii polu�rii armonice a re�elelor electrice, au fost elaborate recomand�ri care, fie sunt cuprinse în normele de fabrica�ie a echipamentului, fie se refer� la perturba�iile introduse de echipament la alimentarea acestuia din re�eaua electric�. Recomand�rile pot ap�rea sub urm�toarele forme: - tensiuni armonice admisibile pe barele de alimentare; - curen�i armonici admisibili; - putere perturbatoare admisibil�; - influen�e admisibile asupra convorbirilor telefonice. Criteriul tensiunilor armonice admisibile permite compararea caracteristicilor poluante ale re�elei cu cele ale consumatorului. Acest criteriu nu caracterizeaz� numai consumatorul perturbator, nivelul tensiunilor armonice depinzând atât de curentul armonic determinat de consumator cât �i de impedan�a intern� a re�elei la care este racordat consumatorul. Criteriul curen�ilor armonici permite evaluarea mai corect� a pierderilor suplimentare în re�eaua electric� de alimentare dar nu permite evaluarea direct� a influen�elor asupra unor receptori sensibili la armonicile de tensiune �i racordate la aceea�i bar� de alimentare cu consumatorul neliniar. Criteriul puterii perturbatoare este pu�in utilizat �i, în general, apar dificult��i de evaluare exact�, mai ales în re�ele trifazate nesimetrice. Criteriul influen�elor admisibile asupra convorbirilor telefonice este utilizat în special în ��rile anglo-saxone �i �ine cont de perturbarea liniilor telefonice de c�tre liniile electrice aeriene prin care circul� curen�i armonici �i sunt plasate paralel cu acestea.

În ceea ce prive�te forma de varia�ie în timp a semnaleor tensiune �i curent pot ap�rea urm�toarele situa�ii – tipuri de regim deformant – , fiecare dintre acestea corespunzând unui regim distinct de func�ionare: 1. Tensiunea generatorului este sinusoidal�, receptorul practic liniar, deci curentul

electric rezult� sinusoidal. În acest caz, regimul de func�ionare este sinusoidal. 2. Tensiunea generatorului este periodic� nesinusoidal�, receptorul practic liniar

inductiv. Curentul electric rezult� practic sinusoidal. Se consider� c� acest regim este de tip UD (regim de tensiune periodic� nesinusoidal�). Regimul deformant de tip UD apare, în mod uzual, la alimentarea receptorilor de la convertizoare de frecven��. Un regim asem�n�tor poate s� apar� în laborator, de exemplu la verificarea contoarelor, când se alimenteaz� circuitele de tensiune �i de curent

CIRCUITE ELECTRICE

8

electric de la surse separate (armonicile de tensiune apar la alimentarea electromagnetului de tensiune de la un defazor sau de la un transformator supraînc�rcat).

3. Tensiunea generatorului este sinusoidal�, receptorul este neliniar (deformant), iar curentul electric rezult� periodic nesinusoidal, cu un coeficient de distorsiune determinat de neliniaritatea receptorului. Rezult� un regim deformant de tip ID (regim de curent electric periodic nesinusoidal). De�i tensiunea la bornele generatorului este sinusoidal�, tensiunea la bornele receptorului poate fi periodic� nesinusoidal�, datorit� c�derii de tensiune pe linia de alimentare. Regimul deformant de tip ID este cel mai important în practic�.

4. Tensiunea generatorului este periodic� nesinusoidal�, receptorul este neliniar (deformant) �i deci curentul electric este periodic nesinusoidal, cu un coeficient de distorsiune determinat atât de distorsiunea tensiunii generatorului, cât �i de neliniaritatea receptorului. Regimul se consider� c� este de tip UID (regim cu tensiune periodic� nesinusoidal� �i curent electric periodic nesinusoidal).

Pentru fiecare dintre cele patru regimuri, componentele unui circuit prezint� aspecte specifice, din punctul de vedere al func�ion�rii.

4.1.2. CUNOA�TEREA CONSUMATORILOR DEFORMAN�I PE TIPURI DE CONSUMATORI

4.1.2.1. ELEMENTE NELINIARE DE CIRCUIT

În re�elele electrice pot exista elemente de circuit neliniare, care produc distorsionarea (deformarea) tensiunii �i curentului. Rezolvarea problemelor de regim deformant se face prin luarea în considerare a tuturor elementelor de circuit neliniare. Ecua�iile diferen�iale pentru studiul circuitelor electrice neliniare de curent alternativ se ob�in cu ajutorul celor dou� teoreme ale lui Kirchhoff. Fie un circuit neliniar care satisface teorema a II-a a lui Kirchhoff, care poate fi scris� sub forma general�:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )�� +++= tuttiCt

tLitRite d

1d

d (4.1)

unde în suma ( )[ ]ttLi

dd

au fost cuprinse atât for�ele electromotoare de induc�ie proprie

cât �i acelea de induc�ie mutual�. Pentru a exista regim deformant este necesar ca cel pu�in unul din parametrii re�elei s� nu fie liniar, sau semnalul aplicat re�elei (tensiunea în punctul de racord) s� fie periodic nesinusoidal. Într-adev�r, s� consider�m un circuit neliniar, care satisface ecua�ia (4.1) �i a c�rei solu�ie este de forma

( ) ( )[ ]tufti = (4.2)

u fiind tensiunea perfect sinusoidal� aplicat� circuitului. Pentru a g�si forma curentului i, s� dezvolt�m în serie rela�ia (4.2) folosind dezvoltarea în serie Taylor; se ob�ine


9

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( ) ( )[ ] ...

dd

!1

...dd

!21

dd

00

n

20

02

2

00

0

+−��

��

�+

++−��

��

�+−�

�

��

�+=

nn tutu

tuti

n

tutututi

tutututi

titi

(4.3)

în care diversele derivate ale lui i(t) sunt luate pentru ( ) ( )tutu 0= ; dintre acestea,

coeficientul ( )( ) 0d

d��

��

�

tuti

al termenului de gradul I are dimensiunile unei admitan�e.

Este evident c�, pentru ( ) ( )tutu 0= , avem ( ) ( )titi 0= ; dac� u0(t) este pozitiv, cum elementul considerat este receptor, atunci puterea u0(t)i0(t) trebuie s� fie pozitiv� �i deci i0(t) trebuie s� fie �i el pozitiv. S� presupunem acum c� tensiunea de alimentare a elementului este perfect sinusoidal�, de forma

( ) tUtu ω⋅= cos2 (4.4)

Introducând aceast� valoare în rela�ia (4.3) rezult�

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ...cos2dd

!21

cos2dd 2

00

2

2

00

0 +−ω⋅��

��

�+−ω⋅�

�

��

�+= utUtuti

utUtuti

titi (4.5)

Dar

( )

( )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cos33cos41

cos

12cos21

cos

3

2

ttt

tt

ω+ω=ω

+ω=ω

Înlocuind aceste valori în rela�ia (4.5) se ob�ine

( ) ...3cos22cos2cos2 3210 +ω⋅+ω⋅+ω⋅+= tItItIIti (4.6) în care:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )�

��

+��

��

�−�

�

��

�=

+��

��

� +��

��

�−

−��

��

� +��

��

�+�

�

��

�−=

20

02

2

01

300

2

03

3

20

02

2

00

00

22dd

!21

2dd

21

...223

dd

!31

221

dd

!21

dd

Utututi

Ututi

I

tutuUtuti

Utututi

tututi

tiI

(4.7)

CIRCUITE ELECTRICE

10

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

��

�

��

�+�

�

��

�=

��

�

��

�+�

�

��

�−�

�

��

�=

��

� �

��

��

� ++��

��

�+

...241

dd

!31

21

...223

dd

!31

221

dd

!21

21

...23243

dd

!31

3

03

3

3

02

03

32

02

2

2

20

3

03

3

Ututi

I

tuUtuti

Ututi

I

tuUUtuti

În consecin��, dac� un element neliniar sau un circuit care con�ine elemente neliniare este alimentat cu o tensiune perfect sinusoidal�, curentul care rezult� în circuit este periodic nesinusoidal. Un ra�ionament analog, pornind îns� de dezvoltarea lui u în func�ie de i, conduce la rezultatul c� tensiunea la bornele unui element neliniar alimentat cu un curent perfect sinusoidal, este periodic� nesinusoidal�. Elementele neliniare de circuit prezint� parametrii neliniari cum sunt: rezistori neliniari, bobine neliniare �i condensatori neliniari.

4.1.2.2. BOBINA CU MIEZ DE FIER ÎN REGIM DEFORMANT

a. Bobina cu miez de fier alimentat� cu o tensiune periodic� sinusoidal�

S� consider�m în continuare o bobin� cu miez de fier alimentat� cu o tensiune periodic� sinusoidal�. Raportul dintre flux �i curent nu mai este constant, chiar dac� fierul nu este saturat. Într-adev�r, din cauza fenomenului de histerezis, acest raport este diferit pentru valorile cresc�toare �i descresc�toare ale curentului. Leg�tura dintre flux �i curentul de magnetizare, oricare ar fi starea de magnetizare a fierului, este dat� de rela�ia

( ) ( )tLitN =ϕ , (4.8) din care rezult�

( )( )ti

tNL

ϕ= . (4.9)

Dac� varia�ia fluxului în raport cu curentul de magnetizare nu este liniar�, inductan�a L nu mai este o constant� �i bobina respectiv� este un aparat deformant. Fie o bobin� cu miez de fier, al c�rei miez se presupune a fi format din tole sub�iri, bine izolate între ele, încât curen�ii Foucault s� fie complet evita�i. Fie µ permeabilitatea fierului. Rela�ia dintre fluxul ϕ �i curentul i nu este liniar�, ci are o form� oarecare corespunzând curbei de magnetizare a fierului. Pe por�iunea rectilinie a caracteristicii de magnetizare, �i neglijând fenomenele de histerezis, se poate scrie ( ) ( )tLitN =ϕ , �i dac� fluxul este periodic sinusoidal, atunci �i curentul respectiv este periodic sinusoidal �i în faz� cu fluxul. Pentru por�iunea neliniar� din caracteristic�, ecua�ia general� de func�ionare a bobinei se poate scrie


11

( ) ( ) ( )ttNtRitu

ddϕ+= , (4.10)

N fiind num�rul de spire �i ϕ fluxul produs. Neglijând c�derea de tensiune ohmic� Ri(t) fa�� de for�a electromotoare de induc�ie, �i dac� se alimenteaz� bobina cu o tensiune periodic� sinusoidal�

( ) tUtu ω⋅= sin ,

atunci fluxul c�utat este dat de rela�ia

( ) ( )tt

NU

tNtu

t d sin2

dd ω⋅==ϕ , (4.11)

de unde,

( ) ��

��

� π−ω⋅=ω⋅ω

−=ω=ϕ � 2sin2cos2d sin2

0

tN

Ut

NU

ttN

Ut

t

. (4.12)

Rezult� c�, dac� tensiunea aplicat� bobinei cu miez de fier este periodic�

sinusoidal�, fluxul rezultant este �i el periodic sinusoidal, îns� este defazat cu 2π în

urma tensiunii. Pentru a g�si forma curentului de magnetizare, întrucât nu se cunoa�te ecua�ia curbei de magnetizare

( ) ( )[ ]tif=ϕ ,

se va proceda pe cale grafic�. Se face la început ipoteza c� ciclul histerezis este redus la zero, ceea ce este tot una cu a considera curba median� a ciclului, care coincide cu curba de magnetizare a fierului. Se construie�te curba de magnetizare dedus� pe cale experimental�, curba tensiunii aplicate �i a fluxului rezultant

(fig.4.2). Fiec�rei valori AA’ a fluxului îi corespunde o valoare OA a curentului. Ducând aceast� valoare pe ordonata punctului A’ de pe curba ( ) ( )tft =ϕ , se ob�ine punctul A” al curbei ( ) ( )tfti = . Procedând în acela�i mod se ob�ine curba c�utat�,

care este simetric� fa�� de ordonata punctului 4T

�i în faz� cu ϕ, dar care este

periodic� nesinusoidal�. F�când analiza armonic� a acestei curbe, se va constata c� semnalul pe care îl reprezint� con�ine numai armonici impare în sinus �i c� dintre acestea, în afar� de armonica fundamental�, armonica trei este foarte pronun�at� �i în opozi�ie cu

A’ A”

A

i

i

A’

A

ϕ

e ϕ

t

Figura 4.2

Determinarea formei curentului de magnetizare

CIRCUITE ELECTRICE

12

armonica fundamental�. Luând ca origine de faz� ori-ginea de faz� a fluxului, ecua�ia curbei curentului este

( ) ( ) ( ) tnnItItItin

n ω+⋅π+⋅+ω⋅−ω⋅= �∞

=+ 12sin

212sin23sin2sin2

21231 . (4.13)

Calculând puterea consumat� în bobina cu miez de fier, în cazul în care s-a presupus ( ) 0=tRi , se ob�ine

02

coscos 110

=π=ϕ=�∞

=

IUIUPn

nnn . (4.14)

Bobina absoarbe numai putere reactiv�

1111 2sin IUIUQ =π⋅= (4.15)

�i puterea deformant� dIUD 1= , (4.16)

tensiunea fiind perfect sinusoidal�. Fie acum cazul când ciclul de histerezis nu mai este neglijabil (fig.4.3). Curba ( ) ( )tfti = se construie�te în acela�i mod. Se ob�ine de data aceasta o curb� periodic�

nesinusoidal�, care nu mai este simetric� �i nici în faz� cu fluxul, îns� maximul s�u este în acela�i timp cu maximul fluxului. Valoarea maxim� a curentului reprezentat de aceast� curb� se poate determina prin calcul. Fie Im aceast� valoare. Câmpul de magnetizare este

lNI

H mm = , (4.17)

l fiind lungimea bobinei. Induc�ia Bm va fi

lNI

B mm µ= (4.18)

�i deci

NlB

I mm µ

= . (4.19)

Induc�ia maxim� Bm corespunde vârfului ciclului de histerezis iar µ este permeabilitatea magnetic� a materialului, definit� pentru aceast� valoare maxim�. Pentru calcule este util uneori a se determina sinusoida echivalent� a curentului de magnetizare. În cazul când se neglijeaz� fenomenul de histerezis, puterea activ� absorbit�

pe circuit este nul� �i unghiul de defazaj este 2π

; curentul de magnetizare este în

faz� cu fluxul �i în cvadratur� în urma tensiunii.

ϕ

ϕ

O B i t

e i

Figura 4.3

Determinarea formei curentului de magnetizare în cazul când exist�

fenomene de histerezis


13

În cazul când nu se neglijeaz� fenomenul de histerezis, curentul de magnetizare este defazat înaintea fluxului cu un unghi α, numit unghi de avans

histerezis. Rezult� c� defazajul curentului fa�� de tensiune este α−π2

. Puterea

activ� absorbit� de circuit este

α⋅=��

��

� α−π⋅= sin2

cos UIUIP . (4.20)

Ea corespunde pierderilor în fier prin histerezis. În cazul când c�derea de tensiune Ri nu este neglijabil� rezult� c� nici fluxul nu mai este sinusoidal.

b. Bobina cu miez de fier alimentat� cu un curent periodic sinusoidal

Fie acum cazul când alimentarea bobinei cu miez de fier se face cu un curent periodic perfect sinusoidal. Aceasta se poate ob�ine dac� în circuitul de alimentare se intercaleaz� un rezistor de rezisten�� foarte mare �i tensiunea alternatorului este suficient� pentru a da în aceste condi�ii curentul de magnetizare (fig.4.4). F�când �i în acest caz ipoteza c�

ciclul de histerezis este nul, curba fluxului se determin� grafic în acela�i mod ca �i în cazul precedent (fig.4.5). Se ob�ine o curb� turtit�, a c�rei analiz� armonic� arat� c�, în afar� de armonica fundamental�, cuprinde o armonic� de rang 3 în faz� cu aceasta, foarte pronun�at�; ecua�ia curbei fluxului poate fi scris�

( ) ( )�∞

=+ ω+⋅Φ+ω⋅Φ+ω⋅Φ=ϕ

21231 12sin3sinsin

nn tnttt .(4.21)

Cunoscând curba fluxului, se poate deduce curba tensiunii la bornele bobinei primare, cu ajutorul rela�iei

( ) ( )tt

Ntud

dϕ= .

Aceast� determinare se poate face analitic, dac� se cunoa�te ecua�ia (4.21) a fluxului, dedus� prin analiza armonic� sau grafic. Presupunând c� fluxul nu con�ine decât armonica 3, se g�se�te

220 V

R

2 secundar

Figura 4.4

Bobin� cu miez de fier alimentat� cu curent sinusoidal

ϕ

ϕ

i O

A A’

A”

t Figura 4.5

Determinarea fluxului

CIRCUITE ELECTRICE

14

( )

��

��

� π+ω⋅+��

��

� π+ω⋅=

=ω⋅Φω+ω⋅Φω=

23sin2

2sin2

3cos23cos2

31

31

tUtU

tNtNtu

(4.22)

în care s-a notat 11 Φω= NU , �i 33 3 Φω= NU ,

armonica fundamental� a tensiunii fiind defazat� cu 2π

înaintea armonicii

fundamentale a fluxului. Luând ca origine de faz� originea de faz� a armonicii fundamentale a tensiunii,

ceea ce înseamn� a defaza toate tensiunile cu unghiul 2π− , se ob�ine

( )

tUtUtUtU

tUtUtu

ω⋅−ω⋅=��

��

� π−ω⋅+ω⋅=

=��

��

� π−π+ω⋅+��

��

� π−π+ω⋅=

3sin2sin23

3sin2sin2

263sin2

22sin2

3131

31

(4.23)

adic�, se ob�ine o tensiune care are armonica de rang 3 în opozi�ie. Curba aceasta va avea acela�i aspect ca �i curba curentului din cazul precedent.

Pe cale grafic� se ob�ine, foarte u�or, acela�i rezultat. Fie curba de flux descompus� în armonica de rang 3 în faz� (fig.4.6). Defazând armonica

fundamental� cu unghiul 2π− fa�� de

originea O �i armonica de rang 3 cu

unghiul 6π− fa�� de aceea�i origine, se

ob�ine, la alt� scar�, armonica fundamental� a tensiunii �i armonica de rang 3 a acesteia în opozi�ie fa�� de armonica fundamental�. Rezult� imediat c� curba rezultant� a tensiunii este o curb� ascu�it�, asem�n�toare cu cea a curentului în cazul precedent. Dezvoltarea în serie Fourier a

func�iei reprezentând aceast� curb� este de forma

( ) ( ) ( ) tnnUtUtUtun

n ω+⋅π+⋅+ω⋅−ω⋅= �∞

=+ 12sin

212sin23sin2sin2

21231 . (4.24)

u,ϕ

ωt

ur

u1

ϕ1

ϕ2

O O

ϕ3

u3 π/2

Figura 4.6

Construc�ia grafic� a curbei tensiunii la bornele bobinei


15

4.1.2.3. ORIGINEA ARMONICILOR

a. Armonica de rang 3

Pare paradoxal c�, aplicând unui circuit o tensiune periodic� perfect sinusoidal�, curentul rezultant este periodic nesinusoial. Rezult� c� originea acestor armonici nu este semnalul de tensiune �i trebuie c�utat� în alt� parte. Fie un circuit (fig.4.7) alimentat de un generator care produce un semnal perfect sinusoidal �i care are ca utilizare o singur� bobin� cu miez de fier saturat. Se presupune c� în conductorii de leg�tur�, nu se produce nici un fenomen deformant. Tensiunea generatorului

( ) tUtu gg ω⋅= sin2 , (4.25)

aplicat� înf��ur�rii bobinei cu fier, conform teoremei lui Ohm, produce un curent magnetizant ig perfect sinusoidal �i defazat cu

2π

în urm� (fig.4.8), a c�rui ecua�ie este

( ) ��

��

� π−ω⋅=2

sin2 tIti gg (4.26).

Conform celor ce preced, acesta d� na�tere unui flux în faz� cu curentul ig, dar a c�rui curb� este turtit�. Se presupune, pentru simplificarea expunerii, c� fluxului nu con�ine decât armonica de rang 3 în faz�. Ecua�ia sa va fi deci de forma

( ) ��

��

� π−ω⋅Φ+��

��

� π−ω⋅Φ=ϕ2

3sin2

sin 31 ttt

(4.27)

Fluxul periodic nesinusoidal induce în bobina cu fier o for�� contraelectromotoare de induc�ie dat� de rela�ia

( ) ( )

tEtE

tNtNtt

Nte

ω⋅+ω⋅−=

=��

��

� π−ω⋅Φω−��

��

� π−ω⋅Φω−=ϕ−=

3sin2sin2

23

3cos32

cosd

d

31

31. (4.28)

Armonica fundamental� a acestei for�e contraelectromotoare este în opozi�ie cu tensiunea ug(t) a generatorului, aceste dou� tensiuni compensându-se. Armonica de

~ L G

Figura 4.7

Circuit electric cu bobin� cu miez de fier saturat

ug

ef e3 i3, ϕ3’

iµ

ig

ϕ ϕ1

ϕ3 t ϕ

Figura 4.8

Mecanismul producerii armonicii de rang 3

CIRCUITE ELECTRICE

16

rang 3 a acestei for�e electromotoare produce în înf��urarea bobinei cu fier un

curent de magnetizare de frecven�� tripl�, defazat în urma ei cu unghiul 6π

.

( ) ��

��

� π−ω⋅=6

3sin2 33 tIti (4.29)

�i care produce un flux în faz� cu el

( ) ��

��

� π−ω⋅Φ=ϕ6

3sin'3

'3 tt . (4.30)

Acest flux este deci în opozi�ie cu armonica de rang 3 a fluxului principal, pe care o anuleaz�. Fluxul principal r�mâne astfel perfect sinusoidal, în schimb curentul de magnetizare va fi egal cu suma ig(t) + i3(t) a curen�ilor, fiind astfel un curent periodic nesinusoidal ascu�it. Rezultatul coincide astfel cu cele stabilite mai înainte. Din cele ce preced rezult� c� alternatorul furnizeaz� numai armonica fundamental� a curentului de magnetizare precum �i curentul necesar pentru acoperirea diverselor pierderi (neglijate în cazul ra�ionamentului de fa��). Inductan�a î�i produce singur� armonicile de curent necesare propriei sale magnetiz�ri; înf��urarea alternatorului face parte îns� din circuitul în care circul� acest curent deformant. În acest mod o bobin� cu miez de fier este un generator de regim deformant, un aparat deformant de prima categorie. Se poate vedea de aici �i sensul de curgere a energiei. Energia activ� �i reactiv� circul� de la surs� c�tre aparatul deformant, pe armonicile fundamentale, pe când energia deformant� circul� de la aparatul deformant c�tre surs� pe armonici.

b. Armonica de rang 5 �i urm�toarele

În ra�ionamentul precedent, s-a f�cut aproxima�ia c� acest curent periodic sinusoidal de armonic� de rang 3 produce în circuit un flux sinusoidal de armonic� de rang 3, ceea ce este în contradic�ie cu cele stabilite anterior. De fapt fluxul produs de acest curent este un flux turtit, care poate fi descompus într-un flux sinusoidal de armonic� de rang 3 �i un flux sinusoidal de armonic� de rang 5 în opozi�ie cu acesta. Ra�ionamentul se face la fel ca �i pentru armonica 3 �i se ajunge astfel, din aproape în aproape, la g�sirea originii tuturor armonicilor care compun semnalul de curent.

c. Rolul general al satura�iei fierului �i al fenomenului de histerezis

Modul de generare a armonicilor de rang superior într-un circuit con�inând o bobin� cu miez de fier saturat poate fi ar�tat �i pe o alt� cale. Fie o bobin� de induc�ie cu miez de fier, având o rezisten�� R �i o inductan�� de dispersie λ. Se alimenteaz� aceast� bobin� cu o for�� electromotoare periodic� e �i fie Nϕ(t) fluxul total produs de cele N spire ale bobinei; ecua�ia de func�ionare a bobinei este


17

( ) ( ) ( ) ( )ttN

ttitRite

dd

dd ϕ+λ+= . (4.31)

Curba de magnetizare a bobinei corespunde rela�iei

( ) ( )[ ]tiftN =ϕ .

Dac� nu ar fi existat satura�ie sau histerezis, aceast� curb� ar fi fost dreapta OA (fig.4.9), având coeficientul unghiular L, L fiind inductan�a total� a circuitului. Într-un punct oarecare al caracteristicii reale, curentul poate fi descompus în dou� p�r�i:

o parte ( )

LtNMM ϕ="' , corespunzând prelungirii dreptei OA �i a doua M”M = J(t).

Curentul total va fi deci

( ) ( ) ( )tJL

tNti +ϕ= . (4.32)

Ecua�ia (4.31) poate fi deci, scris�

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttJ

Ltti

LtRited

dd

d −+λ+= . (4.33)

Dac� fluxul sau curentul sunt periodici sinusoidali, J(t) nu poate fi sinusoidal; totul se petrece ca �i cum satura�ia fierului �i fenomenul de histerezis introduc în circuit o for�� contraelectromotoare periodic� nesinusoidal�

( ) ( )ttJ

Lted

d' −= , (4.34)

rezultat analog cu precedentul.

4.1.2.4. CONSUMATORI DEFORMAN�I

a. Convertizoarele de frecven��

Convertizoarele de frecven�� cel mai adesea utilizate fiind cele hexa- sau dodecafazate, armonicile cele mai importante care apar în curent sunt:

1+= npK , (4.35) unde:

p reprezint� num�rul de impulsuri, n – un num�r întreg = 1,2, k – rangul armonicii, amplitudinile armonicilor raportate la amplitudinea armonicii fundamentale urmeaz� legea 1/k. Astfel, în cadrul unui convertor hexafazat necomandat, armonicile preponderente care apar �i ponderea lor sunt:

K 1 5 7 11 13 Ik/I1 1,000 0,200 0,143 0,091 0,077

Nϕϕϕϕ

A

O

M’ M”

M

Nϕ

Figura 4.9

Curba de magnetizare a fierului

CIRCUITE ELECTRICE

18

unde: Ik este amplitudinea armonicii de rang k a curentului; I1 – amplitudinea armonicii fundamentale a curentului. În cazul convertizoarelor comandate aceste valori sunt mai reduse, în func�ie de unghiul de comand� �i de reactan�a transformatorului de alimentare. Din punctul de vedere al factorului de putere, acesta variaz� în limite destul de largi, în func�ie de consumator �i de transformatorul de alimentare, putând lua valori între 0,5 �i 0,95.

b. Redresorul

Acesta este, conform clasific�rii din PE 143, element deformant din categoria I, deoarece dioda (comandat� sau nu), este un element neliniar. Schema de principiu a instala�iei de redresare �i formele curbelor tensiunilor �i curen�ilor sunt prezentate în fig.4.10. Datele prezentate sunt determinate în ipoteza prezen�ei elementelor ideale de circuit (transformator �i diode). M�sur�torile efectuate în punctele de alimentare ale tramvaiului �i troleibuzului (care folosesc astfel de instala�ii de redresare) confirm� rezultatele ob�inute pe schema cu elemente ideale de circuit. Trac�iunea electric� folose�te, de asemenea, elemente de redresare, montate pe locomotive. Faptul c� redresorul instalat este monofazat, c� între punctul de mas� �i redresor se afl� un transformator de putere face ca semnalele curen�ilor �i tensiunilor s� difere fa�� de cazul anterior.

c. Mutatorul

Fie punctul de conexiune comun al unei re�ele electrice trifazate cu un mutator. Mutatorul alimentat cu un sistem simetric de tensiuni sinusoidale absoarbe curen�i periodici nesinusoidali. Mutatorul folosit pentru trac�iunea electric� are un ciclu de varia�ie al sarcinii (fig.4.11) caracterizat prin:

u ut0

u

uR0 uS0 uT0

i

us0 ur0

2 6

2

2

1 3 5

4 O

T

S

R schema de principiu

tensiuni primare

curent linie secundar

tensiuni secundare

5 1 1 3 3 5 5 1 1 4 4 6 6 2 2 4 4 6

conduc�ia diodelor

Figura 4.10

Redresorul


19

- varia�ia tensiunii la pornire, pentru: π≤ω≤ nt0 ; - varia�ia câmpului, pentru: ( )π+≤ω≤π mntn ; - mers constant, pentru: ( ) ( )π++≤ω≤π+ kmntmn ; - mers lansat, pentru: ( ) ( )π+++≤ω≤π++ pkmntkmn ; - frânare, pentru: ( ) ( )π++++≤ω≤π+++ qpkmntpkmn .

Procesul de comuta�ie este înso�it de un consum de energie reactiv� de c�tre mutator. Astfel, în domeniul de mers constant (fig.4.11) mutatorul este comutat de la re�ea, deci prime�te energie reactiv� de comuta�ie din exterior �i func�ioneaz� cu curent continuu mic. În domeniul mersului lansat �i la frânare avem puterea activ� raportat� sc�zut� (P/Pmax = 0,01).

Atunci când mutatorul î�i livreaz� energia reactiv� necesar� comuta�iei, ele sunt cu comuta�ie proprie. În fig.4.12.a se reprezint� descompunerea curentului absorbit de la re�ea I, de un mutator construit în schem� punte semiconductoare cu dou� comenzi exterioare, în curent activ IP, curent reactiv IQ �i curent deformant ID în cazul când:

a1) P/Pmax=1/3 ; a2) P/Pmax=2/3

În fig.4.12.b se reprezint� reac�ia re�elei, adic� varia�ia puterii reactive Q, puterii deformante D �i a factorului de putere func�ie de puterea activ�, pentru schema punte analizat�.

d. Cuptoarele electrice cu arc

Arcul electric apare drept consumator neliniar la sudura

electric� �i la cuptoarele cu arc. În fig.4.13 sunt prezentate: caracteristica tensiune-curent (pe coloana de arc) �i forma curentului (considerând tensiunea sinusoidal�).

Spre deosebire de convertizoare, cuptoarele electrice cu arc au un regim de func�ionare aleator, atât în func�ie de faza tehnologic�, cât �i, în cadrul acelea�i faze, în func�ie de momentul începerii fazei. Din acest punct de vedere, cel mai greu regim este regimul de topire �i mai exact primele 15 minute ale topirii.

Demaraj Mers constant Terminarea Frânare mi�c�rii

Pmax

Pmax/P

nπ mπ kπ pπ qπ

P

ωt

Figura 4.11

U I

U I

π

I U

2π ωt

U I

π 2π

ωt

IP IQ ID

IP ID IQ

π π 2π 2π

ωt ωt

IP IQ ID

IP IQ ID

a.1 a.2

b.1 b.2 Figura 4.12

CIRCUITE ELECTRICE

20

Principalele armonici generate de cuptoarele cu arc se grupeaz� pân� la armonica de rang 5 sau 7, dup� care nivelul armonicilor scade atât de mult, încât devine nesemnificativ.

În ceea ce prive�te factorul de putere, acesta variaz� în limite destul de largi, chiar �i în cazul regimului de func�ionare UHP, în care factorul de putere mediu este 0,707.

e. Cuptoarele cu induc�ie

Cuptoarele cu induc�ie au în construc�ia lor bobine cu miez de fier saturat, deci este un element neliniar datorit� caracteristicii induc�ie-solena�ie ( )( )θ= fB , respectiv tensiune-curent ( )ifU = . Caracteristica este specific� miezurilor feromagnetice (prezint� limit� de satura�ie �i histerezis).

4.2. EFECTE ALE REGIMULUI DEFORMANT Dezvoltarea actual� a utiliz�rilor energiei electromagnetice, bazat� tot mai mult pe electronic� de putere, trac�iune electric�, electrotermie �i electrometalurgie reprezint� factori puternic perturbatori, atât ai regimului sinusoidal, cât �i ai celui de simetrie direct�. Efectele energetice ale unor asemenea utiliz�ri sunt departe de a fi neglijabile. De asemenea existen�a unui factor de putere redus, cu caracter deformant, deci a unei importante puteri deformante, corespunde unei accentuate deform�ri a curbei de tensiune, a curbei curentului sau a ambelor curbe. Aceast� deformare implic� existen�a unor armonici, cu amplitudini importante. Un regim deformant poate produce într-o re�ea electric� oarecare, efecte de diferite naturi, fiind caracterizat prin prezen�a armonicelor în instala�iile electrice. El poate fi caracterizat ca atare �i prin fenomenele deformante particulare ce apar în acest caz �i în special prin efectele pe care le produce. Utilizarea din ce în ce mai larg� în sistemul energetic a consumatorilor deforman�i impune necesitatea de a analiza efectele armonicilor asupra elementelor din sistem �i a stabili astfel nivelul maxim admisibil al acestor armonice, pentru a

u u

t

ia

u i

i

Figura 4.13

Arcul electric


21

preîntâmpina eventuala agravare a acestor efecte sau pentru a g�si mijloacele de îndreptare. Regimul deformant este cauza unor efecte nedorite în electroenergetic�. Se cunosc efectele daun�toare ale regimului deformant indiferent dac� este simetric sau nesimetric, produs sau amplificat de receptor, el fiind cauza supraînc�lzirilor elementelor traversate de curent, cu tot ceea ce deriv� din acestea. Câteva efectele perturbatoare ale energiei electrice armonice depinzând de tipul echipamentului electric sunt prezentate în continuare: • deformarea tensiunii re�elei, ca urmare a armonicele ce rezult� din forma

curentului, în func�ie de impedan�a armonic� a re�elei, care adesea este dificil de determinat;

• amplific�ri ale armonicilor de curent: se datoreaz� coresponden�ei dintre frecven�a proprie a unor circuite formate din inductan�e �i capacit��i �i frecven�a uneia dintre armonicile energiei electrice armonice. Efectul de amplificare este m�rit din cauza elementelor neliniare de transfer sau a elementelor cu induc�ie neliniar�, func�ie de timp. Prin amplificarea armonicilor de curent – chiar f�r� a se atinge valori corespunz�toare rezonan�ei nete – se produc înc�lziri suplimentare în generatori, ceea ce conduce la necesitatea mic�or�rii sarcinii directe pe ma�inile respective;

• apari�ia unor cupluri parazite la ma�inile electrice; • amplific�ri ale armonicilor de tensiune - înso�esc amplific�rile armonicilor de

curent; poate duce la str�pungerea izola�iei electrice �i distrugerea utilajelor; • perturba�iile datorate energiei electrice armonice pot ap�rea în diferite puncte ale

unei re�ele departe de sursa perturbatoare, acest fenomen fiind susceptibil de a fi accentuat prin apari�ia de rezonan�e locale produc�toare de supratensiuni �i/sau de supracuren�i, mai ales în urma modific�rilor în configura�ia geometric� a re�elei;

• reducerea efectului de compensare a curentului de scurtcircuit în re�elele cu neutrul tratat prin bobina de stingere;

• reducerea factorului de putere la consumatorii deforman�i �i în sistemul energetic din care sunt alimenta�i ace�tia;

• cre�terea solicit�rii instala�iilor de compensare (prin baterii de condensatori statici) a factorului de putere;

• cre�terea pierderilor de putere �i energie pe elementele de re�ea atât datorit� prezen�ei unor curen�i suplimentari (armonici) cât, mai ales, datorit� cre�terii rezisten�ei elementelor parcurse, din cauza efectului pelicular care este mai pronun�at cu cât armonicile sunt de rang mai mare; pierderile suplimentare de energie activ� se traduc prin ridicarea temperaturii liniilor �i cablurilor electrice de transport �i distribu�ie, a bateriilor de condensatori instalate pentru compensarea puterii reactive de la consumatori, din re�ea sau de la bornele generatoarelor asincrone din microhidrocentrale, având drept consecin�� reducerea capacit��ii de utilizare a aparatelor �i utilajelor la parametri nominali �i reducerea capacit��ii de transport-distribu�ie a re�elei electrice;

• func�ionarea defectuoas� a instala�iilor de telecomand� centralizat� cu frecven�a muzical�, a releelor �i a instala�iilor de conducere prin calculator de proces;

CIRCUITE ELECTRICE

22

• exercitarea unor influen�e electromagnetice parazite asupra sistemelor de telecomunica�ii, telegrafice, radio, TV, telefonie prin înalt� frecven�� situate în vecin�tatea re�elelor;

• avarii în serviciile interne mai importante, datorit� armonicilor de tensiune, putând provoca chiar scoaterea temporar� din func�iune a unor instala�ii;

• cre�terea erorilor de indicare în aparatele electrice de m�surare (cu excep�ia instrumentelor termice a c�ror func�ionare nu este influen�at� de regimul deformant, la celelalte tipuri de instrumente erorile pot cre�te sensibil într-un astfel de regim), etc..

Influen�a regimului deformant asupra echipamentelor electrotehnice poate fi determinat� precis prin cercet�ri asistate de metode �i mijloace de m�surare adecvate decel�rii calitative �i cantitative a fenomenelor fizice produse de armonicile de tensiune �i de curent asupra fiec�rui tip de echipament. Pân� în prezent s-a reu�it s� se clarifice aspectele calitative ale efectelor regimului deformant asupra celor mai sensibile tipuri de echipamente, prezentate în continuare.

4.2.1. FUNC�IONAREA MA�INILOR SINCRONE ÎN REGIM DEFORMANT

De mult timp exist� preocup�ri asupra rolului nefast al armonicilor în ma�inile sincrone. La modul general trebuie remarcat faptul c� armonicile sunt asincrone în raport cu frecven�a fundamental�. Curen�ii armonici, �i anume partea ce se injecteaz� în ma�in� în raport cu admitan�a sa armonic�, se descompun într-o serie de perechi, �i anume cele de rang 5 �i 7, 11 �i 13, 17 �i 19, 23 �i 25 ... (6k−1) (invers) �i (6k+1) (direct), care produc câmpuri învârtitoare armonice directe �i inverse, ce se compun dou� câte dou� pentru a da câmpuri eliptice, ale c�ror axe sunt fixe în raport cu rotorul, dezvoltând cupluri parazite cu efect pendular sau de vibra�ii mecanice nepl�cute, având amplitudinea relativ�, raportat� la fundamental�, aproape egal� cu amplitudinea relativ� a curentului armonic corespunz�tor. Calculul �i m�surarea indic� faptul c� un coeficient de distorsiune de 10-20% este practic neglijabil, atât asupra cuplului permanent de func�ionare, cât �i asupra cuplului de pornire. Pierderile prin efect Joule �i Foucault sunt nesemnificative în stator. Într-adev�r, tensiunile armonice existente în punctul de racord sunt de ordinul câtorva procente, astfel încât ele sunt echilibrate de fluxurile armonice care se dezvolt� în statorul parcurs de curen�ii armonici, pierderile rezultate fiind în final mici. Efectul principal al armonicilor se situeaz� în rotor unde induc curen�i importan�i în înf��ur�rile de amortizare. Dac� înf��ur�rile de amortizare sunt dimensionate suficient, curen�ii indu�i care le parcurg anuleaz� câmpurile armonice f�r� pierderi apreciabile, în ciuda efectului Kelvin. În caz contrar, curen�ii indu�i în miezul feromagnetic �i în înf��ur�rile rotorice provoac� înc�lziri suplimentare. Nu trebuie uitat c� dimensionarea înf��ur�rilor de amortizare rotorice ia în considerare �i posibilitatea apari�iei circula�iei unui curent de nesimetrie datorat unei componente inverse a sistemului trifazat de tensiuni fundamentale.


23

4.2.2. FUNC�IONAREA MA�INILOR ASINCRONE ÎN REGIM DEFORMANT

Influen�a armonicilor se manifest� evident destul de asem�n�tor cu modul în care ac�ioneaz� asupra ma�inii sincrone, cu precizarea c� atunci când rotorul func�ioneaz� în sens direct (regim de motor) cu viteze de alunecare (1−s), câmpurile învârtitoare armonice directe �i inverse se compun dou� câte dou� pentru a da câmpuri eliptice, ale c�ror axe se rotesc cu viteza s în raport cu rotorul. Prezen�a armonicilor în tensiunea de alimentare înr�ut��e�te func�ionarea ma�inii (sau o face imposibil�) prin urm�toarele efecte: - cupluri parazite sincrone, care solicit� mecanic ma�ina �i cresc zgomotul în

func�ionare; - cupluri parazite asincrone, ce duc la mic�orarea tura�iei la acela�i cuplu rezistent �i la cre�terea pierderilor (sc�derea randamentului) (fig.4.14)

Trebuie luate în considerare pierderile prin efect Joule, datora-te curen�ilor armonici care circul� în înf��ur�rile statorice �i rotorice. Într-o prim� aproximare, ace�ti curen�i armonici pot fi calcula�i pornind de la inductan�a ma�inii în scurtcircuit, multiplicat� cu rangul armonicii. Prin aceasta se permite estimarea înc�lzirii suplimentare. Dac� rezisten�a înf��ur�rii rotorice nu cre�te cu frecven�a, cum se întâmpl� în cazul rotorului în colivie cu bare rotunde, pierderile su-plimentare �i înc�lzirea ce le înso�e�te sunt înc� acceptabile pân� la valori ale componentelor armonice de tensiune de ordinul 10-15%. Dimpotriv�, în cazul motoarelor cu rotor bobinat în crest�turi adânci, rezisten�a rotoric� �i pierderile suplimentare cresc într-atât în-cât înc�lzirea suplimentar�

spore�te fa�� de cazul rotorului în colivie cu bare rotunde, cu un factor ce poate ajunge pân� la 2,5 pentru cele mai mari valori considerate ale componentelor armonice de tensiune.

4.2.3. FUNC�IONAREA TRANSFORMATOARELOR DE PUTERE ÎN REGIM DEFORMANT

În transformatoarele de for��, componentele armonice de tensiune produc o cre�tere u�oar� a pierderilor (prin efect Foucault �i prin histerezis), iar componentele armonice de curent o cre�tere a pierderilor prin efect Joule (datorate cre�terii impedan�ei odat� cu frecven�a), de acela�i ordin de m�rime ca �i în liniile de transport �i distribu�ie, îns� f�r� a manifesta un caracter deosebit �i f�r� a necesita

Figura 4.14

CIRCUITE ELECTRICE

24

nici o reglementare. În schimb, se pare c� prezen�a componentelor armonice m�re�te zgomotul în transformatoare. O importan�� deosebit� o au curen�ii continui genera�i de diferite aparate electromenajere sau ale micii industrii racordate la re�eaua de distribu�ie de joas� tensiune a transformatoarelor. Ace�ti curen�i produc o premagnetizare ce m�re�te curentul de magnetizare, transformându-l totodat� în unul nesimetric �i sporind pierderile prin efect Foucault. Efectele acestor componente de curent continuu sunt reduse de înf��ur�rile în zig-zag �i triunghi închis, care sunt cele mai r�spândite la distribu�ia în joas� tensiune. În ceea ce prive�te transformatoarele de m�surare, deocamdat� înc� nu se pot face preciz�ri, cercet�rile fiind în plin� desf��urare.

4.2.4. FUNC�IONAREA CONDENSATORILOR ÎN REGIM DEFORMANT

Printre problemele deosebite care se pun în leg�tur� cu exploatarea bateriilor de condensatori, privind siguran�a lor în func�ionare, un loc important îl ocup� aceea referitoare la efectele regimului deformant asupra condensatorilor. Într-adev�r, condensatorul constituie un element deformant de spe�a a doua, caracterizat prin aceea c�, într-un regim deformant, înr�ut��e�te caracterul deformant al regimului, în sensul cre�terii coeficientului de distorsiune al curentului în raport cu distorsiunea tensiunii de alimentare. Amplificarea regimului deformant, precum �i posibilitatea apari�iei fenomenului de rezonan�� armonic�, în cazul în care bateria de condensatori constituie împreun� cu reactan�a echivalent� a re�elei de alimentare un circuit rezonant (serie sau paralel), pentru o frecven�� vecin� cu cea a anumitor armonice, duce la supraînc�rcare �i supratensiune în regim de durat� a bateriei. În cazul când, pentru a compensa local puterea reactiv� necesar� func�ion�rii unui convertor, se utilizeaz� condensatori, ace�tia lucreaz� în condi�ii foarte dificile, deoarece armonicile produc major�ri importante ale valorii maxime a tensiunii �i deci înc�lziri suplimentare ale dielectricului condensatorilor. Rezultatul acestor solicit�ri termice este scoaterea prematur� din uz a condensatorilor. Ca urmare, atunci când consumatorii con�in redresoare comandate este necesar un studiu suplimentar care s� stabileasc� în ce condi�ii nu apar suprasolicit�ri ale condensatorilor de compensare a factorului de putere.

4.2.5. FUNC�IONAREA ECHIPAMENTELOR ELECTRONICE ÎN REGIM DEFORMANT

În categoria echipamentelor electronice se consider� calculatoarele, regulatoarele, electronica de putere, releele, etc. Armonicile de tensiune produc deplasarea punctului de comutare for�at� a unui redresor. Dispozitivul de comand� a aprinderii tiristoarelor trebuie s� prevad� o marj� de securitate suplimentar� pentru a �ine cont de un astfel de defazaj, �i anume


25

unghiul de aprindere trebuie s� fie mai lung, ceea ce diminueaz� performan�ele echipamentului prin reducerea tensiunii redresate �i a factorului de putere. De asemenea, armonicile de tensiune produc deplasarea punctului de trecere prin zero, care foarte adesea este luat ca punct de reper de c�tre regulatoare �i dispozitive de reglaj.

4.2.6. FUNC�IONAREA APARATELOR DE M�SURARE ÎN REGIM DEFORMANT

În general, prezen�a unui regim deformant influen�eaz� condi�iile de func�ionare

ale aparatelor de m�surare �i în special precizia acestora. Aceast� influen�� este mai pu�in important� la ampermetrele �i voltmetrele electromagnetice, electrodinamice �i electrostatice, cu condi�ia ca echipamentele mobile s� fie practic lipsite de orice piese magnetice saturate. Pentru aparatele de induc�ie aceast� concluzie este valabil� numai dac� curentul sau tensiunea nu con�ine termenul constant. În cazul când acest termen exist�, aparatul va înregistra întotdeauna în minus. Eroarea corespunz�toare, având caracterul unei erori sistematice, va fi dat� de rela�ia

YYYY −−

=ε2

02

. (4.36)

Influen�a este mai mare asupra wattmetrelor electrodinamice �i asupra contoarelor de aceea�i clas� (de tipul contorului Thomson). Un regim deformant produce o m�rire a erorilor acestor aparate. Aceste erori pot atinge în practic� o valoare negativ� de ordinul 7% pentru regimurile inductive. Experimental s-a constatat c� aceste erori devin pozitive pentru regimurile capacitive. Aceste situa�ii sunt teoretic explicabile, dat fiind c� erorile acestor aparate sunt datorite, în primul rând, reactan�ei circuitului deriva�ie. Astfel, pentru armonicile de rang n, ar trebui s� ac�ioneze asupra wattmetrului un cuplu propor�ional cu puterea dat� de aceste armonici,

nnnn IUP ϕ⋅= cos (4.37)

În realitate, curentul care traverseaz� bobina de tensiune a wattmetrului �i care este propor�ional cu tensiunea Un este mai mic decât curentul normal, deoarece impedan�a circuitului de tensiune

( )22 LnRZn ω+= (4.38)

este, în acest caz, mai mare decât impedan�a normal� din cauza frecven�ei corespunz�toare. Rezult� deci, c� puterea dat� de fiecare grup� de armonici contribuie la formarea cuplului activ total al wattmetrului cu cantit��i mai mici decât acelea care contribuie la formarea puterii totale în circuit.

CIRCUITE ELECTRICE

26

Regimul deformant determin� erori suplimentare în func�ionarea aparatelor electrice �i electronice de m�surare, în special a contoarelor de induc�ie deci erori în m�surarea energiei active �i reactive, pentru contoarele de induc�ie, regimul deformant putând s� m�reasc� erorile pân� la aproximativ 30% în minus. M�sura energiei electrice înregistrate cu un contor electric este egal� cu num�rul total de rota�ii efectuat de disc într-un anumit timp

�ω=2

1

d't

tt tW . (4.39)

I.A. Antoniu a demonstrat c�, în cazul unui regim deformant, viteza de rota�ie a discului este dat� de rela�ia

( ) ( )2

1

2

31

2221 1'

BF

nU

kPnkPkkn

efn

nn −+−+−=ω ��

∞

=

∞

=

(4.40)

în care k1, k2 �i k3 sunt factori depinzând de elementele constructive ale contorului, F un factor ce caracterizeaz� frec�rile în contor, B induc�ia magnetic� a magnetului permanent, n rangul armonicii, P puterea total� din circuit, Pn puterea produs� de o pereche de armonici �i Uefn valoarea efectiv� a armonicii de tensiune de rang n. �inând seama c� un contor nu poate fi reglat decât pentru o singur� armonic�, func�ionând într-un regim deformant, indica�iile sale vor fi întotdeauna eronate. Neglijând diferen�a

21

2

3 BF

nU

kn

efn −�∞

=

, (4.41)

care, în general, este mic�, eroarea unui contor de induc�ie func�ionând în regim deformant este dat� de rela�ia

( )�∞

=

−−

=ε1

2

21

2 1n

n

PP

nkk

k. (4.42)

Nu se poate spune nimic despre aceast� expresie a erorii contorului. Într-adev�r, ea poate avea termeni pozitivi sau negativi, în raport cu puterea Pn al c�rei semn depinde de defazajul dintre curentul �i tensiunea corespunz�toare; eroarea este func�ie �i de semnul expresiei k1−k2, care depinde numai de elementele constructive ale contorului �i deci de faptul c� rangul unei armonici este un num�r întreg, întotdeauna mai mare ca unitatea (n > 1). Deci este foarte probabil ca, în general, eroarea contorului s� fie negativ� �i, deci, un contor reglat în regim sinusoidal �i func�ionând în regim deformant va indica în minus. Dac� în regimul deformant ambele curbe – de curent �i de tensiune – au termeni constan�i, contoarele de induc�ie nu vor indica energia corespunz�toare �i eroarea suplimentar�, având caracterul unei erori sistematice, va fi

PIUIU+

−=ε00

00' . (4.43)


27

Influen�a armonicilor asupra preciziei contoarelor de induc�ie este studiat� de Comitetul Tehnic al CEI, care recomand� ca ele s� nu fie influen�ate cu mai mult de 1% de o tensiune sinusoidal� �i un curent de armonic� 3 de 10%. Trebuie re�inut c� erorile suplimentare devin importante pentru sarcini mici ale contorului �i ele sunt întotdeauna pozitive. Aparatele termice cu fir cald sunt singurele aparate a c�ror func�ionare nu este influen�at� de regimul deformant.

Unele dintre inconvenientele prezentate anterior corespund unor efecte medii p�tratice, necesitând o anumit� durat� de existen�� a energiei electrice armonice, în timp ce altele corespund unor efecte aproape instantanee. În orice caz, m�rimea acestor inconveniente este strâns legat� de valorile componentelor armonice de tensiune. Datele de baz� sunt furnizate de nivelurile componentelor armonice de tensiune, exprimate în valori procentuale. Intensitatea admisibil� a fenomenului deformant se stabile�te pe baza coeficientului de distorsiune pentru tensiune în diferitele noduri ale re�elelor �i care conform reglement�rilor din �ara noastr� este limitat la maximum 5%, în cazul unor valori mai mari fiind necesar� luarea unor m�suri de reducere a acestuia. Pe baza m�sur�torilor efectuate în �ara noastr�, ca �i pe baza datelor din literatura de specialitate, pot fi puse în eviden�� urm�toarele observa�ii pentru re�elele în care nu apar fenomene de rezonan�� sau ferorezonan��: a) în cazul re�elelor de înalt� tensiune (UN ≥ 220 kV), tensiunile armonice care apar

într-un punct al re�elei pot fi reg�site, f�r� atenuare �i amplificare excesiv�, pe o raz� de circa 150 km;

b) în cazul re�elelor cu tensiunea nominal� UN ≤ 220 kV, tensiunile armonice care apar într-un punct al re�elei pot fi reg�site în toate punctele acelei re�ele, ca �i în re�elele cu puteri de scurtcircuit �i tensiuni nominale inferioare, situate în aval.

Rezult� c� poluarea armonic�, ce apare într-un punct al re�elei electrice, afecteaz� un num�r de consumatori cu atât mai mare cu cât ace�tia se racordeaz� la o re�ea de puteri de scurtcircuit �i tensiuni nominale mai ridicate. În consecin��, m�surile de limitare a armonicilor vor avea o importan�� cu atât mai mare, cu cât tensiunea nominal� a re�elei la care se racordeaz� consumatorul neliniar este mai mare. Analiza efectelor regimului deformant, ca �i m�surile specifice care trebuie adoptate, iau în considerare func�ionarea re�elei electrice la frecven�a fundamental�, constant� �i egal� cu frecven�a nominal�. Abaterea frecven�ei fundamentale de la frecven�a nominal� conduce la perturba�ii suplimentare în func�ionarea unor echipamente într-o re�ea poluat� cu armonici. Din acest motiv, în practic�, regimurile deformante trebuie evitate sau limitate.

CIRCUITE ELECTRICE

28

4.3. ANALIZA CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE ÎN REGIM DEFORMANT

4.3.1. CONSIDERA�II GENERALE În circuitele liniare, alimentate cu tensiuni periodice nesinusoidale, circul� curen�i deforma�i, a c�ror form� difer�, în general, de aceea a tensiunii periodice nesinusoidale care îi creeaz�. Dup� cum se va ar�ta mai departe, în circuitele care con�in inductan�e, deform�rile curen�ilor datorit� tensiunilor periodice nesinusoidale sunt atenuate, pe când în circuitele care con�in capacit��i deform�rile curen�ilor sunt accentuate. În circuitele care con�in elemente neliniare (bobine cu miez feromagnetic, redresopare, etc.) chiar în cazul aliment�rii acestora cu tensiuni sinusoidale, curen�ii nu mai p�streaz� caracterul sinusoidal. Ideea care st� la baza studiului regimului deformant const� în descompunerea tuturor semnalelor deformate (periodice nesinusoidale) în sume (serii) de semnale sinusoidale �principiul suprapunerii efectelor.

Prin urmare regimul periodic deformant poate fi studiat ca o suprapunere de regimuri periodice sinusoidale. În cele ce urmeaz� se va studia numai regimul deformant al circuitelor electrice liniare, alimentate cu tensiuni la borne periodice nesinusoidale. Studiul circuitelor electrice cu elemente neliniare în regim variabil se prezint� într-un capitol ulterior. În circuitele electrice liniare func�ionând în regim deformant indiferent de structura lor, semnalele excita�ie �i cele r�spuns sunt periodice nesinusoidale. Vom considera în continuare circuite electrice liniare alimentate cu tensiuni la borne periodice nesinusoidale. Se presupun cunoscute tensiunile periodice nesinusoidale aplicate circuitului �i impedan�ele acestuia. Dac� tensiunile sunt cunoscute numai în forma grafic� (la osciloscop, de exemplu), atunci aceste tensiuni se aproximeaz� la forme particulare, apropiate de forma real� �i se descompun în serii Fourier. Fie

( ) ( )

( )�

�

kk

k

kk

kmk

k

tkUU

tkUU(t)uUtu

+ω⋅+=

=+ω⋅+=+=

�

��

∞

=

∞

=

∞

=

sin2

sin

10

10

10

(4.44)

descompunerea în serie Fourier a tensiunii periodice nesinusoidale aplicat� la bornele unui circuit electric. Curen�ii ce se stabilesc într-o re�ea liniar� în aceste condi�ii sunt desigur semnale periodice nesinusoidale.


29

Circuitele fiind liniare, pentru rezolvarea lor se poate aplica teorema superpozi�iei, calculându-se curen�ii din circuit, ca sume ale componentelor armonice ale curen�ilor respectivi (curen�i ce s-ar stabili în circuit dac� fiecare armonic� a t.e.m. ar ac�iona separat).

Cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff (sau a altor metode) se calculeaz� curentul de aceea�i frecven�� cu armonica de tensiune.

Componenta continu� U0 nu produce curent electric în circuit ( 00 =I ) în cazul circuitelor cu condensatori. Fiecare component� sinusoidal�

( ) ( )kkk tkUtu γ+ω⋅= sin2 (4.45)

produce câte un curent sinusoidal

( ) ( )kkkk tkIti ϕ−γ+ω= sin2 , (4.46)

unde γk este faza ini�ial� a tensiunii pentru armonica de rang k, iar ϕk este defazajul curentului fa�a de tensiune pentru armonica de rang k. Astfel, curen�ii care se stabilesc într-o re�ea liniar� c�reia i se aplic� tensiuni periodice nesinusoidale, se pot ob�ine prin însumarea corespunz�toare a curen�ilor pe care i-ar stabili fiecare armonic� (component�) a tensiunii aplicate, presupus� c� ar ac�iona separat. Similar cu (4.44) se poate scrie curentul din circuit:

( ) ( )

( ).sin2

sin

10

10

10

kkk

k

kkk

kmk

k

�

�

tkII

tkII(t)iIti

ϕ−+ω⋅+=

=ϕ−+ω⋅+=+=

�

��

∞

=

∞

=

∞

= (4.47)

Notând cu ir(t) curen�ii �i cu ur(t) tensiunile ramurilor într-un regim deformant, iar cu irk(t) �i urk(t) armonicile de rang k, corespunz�toare dezvolt�rii în serie Fourier, ecua�iile lui Kirchhoff se scriu sub forma:

( ) ( ) 01

0 =��

�

��

�+=� ��

∈

∞

=∈ nr krkr

nrr tiIti ,

�i

( ) ( ) 01

0 =��

�

��

�+=� ��

∈

∞

=∈ or krkr

orr tuUtu

de unde rezult� în mod evident rela�iile:

00 =�∈nr

rI ; 0=�∈nr

rkI (4.48)

�i 00 =�

∈orrU ; 0=�

∈orrkU , (4.49)

CIRCUITE ELECTRICE

30

relevând faptul c�, în regim deformant teoremele lui Kirchhoff se aplic� separat pentru termenul continuu �i separat pentru fiecare armonic�. Studiul regimului deformant se reduce deci, pe baza acestei metode, la studiul unui regim permanent sta�ionar (pentru componentele continue) �i la studiul unor regimuri sinusoidale, corespunz�toare diferitelor armonici, care se rezolv� prin metodele cunoscute. Se poate de asemenea men�iona c�, diferitele metode de calcul a circuitelor electrice cunoscute de la studiul regimului permanent sinusoidal, bazate pe reprezentarea în complex a semnalelor sinusoidale, se aplic� �i în regim deformant îns� numai pentru fiecare armonic considerat� în parte.

4.3.2. REZISTORUL IDEAL ÎN REGIM DEFORMANT

Se consider� (fig.4.15) un rezistor ideal, c�ruia i se aplic� la borne o tensiune periodic� nesinusoidal� de forma (4.52). Rezistorul fiind liniar, curentul prin el va fi de asemenea periodic nesinusoidal �i va con�ine acelea�i armonici. Se aplic� teorema lui Ohm în valori instantanee:

( ) ( ) ( )ukk

k tkRU

RU

Rtu

ti γ+ω⋅⋅+== �∞

=

sin21

0 . (4.50)

Comparând aceast� expresie a curentului cu forma general� a unui curent periodic nesinusoidal sub forma seriei Fourier, rezult� rela�ii între valorile efective ale tensiunii �i curentului pentru fiecare armonic�, respectiv defazajul tensiune-curent pentru fiecare armonic� k:

RU

I 00 = , (4.51)

RU

I kk = , (4.52)

0kik =γ−γ=ϕ�γ=γ ikukuk . (4.53)

Conform acestor rela�ii, la bornele unui rezistor liniar func�ionând în regim deformant armonicile de tensiune �i curent sunt în faz� pentru orice armonic� k.

Pentru a compara gradul de deformare a tensiunii �i curentului la bornele rezistorului ideal se calculeaz� coeficien�ii de distorsiune în curent kdI �i în tensiune kdU

�

�∞

=

∞

==

1

2

2

2

kk

kk

dU

U

U

k ,

u(t)

i(t)

Figura 4.15


31

dU

kk

kk

k

k

k

k

kk

kk

dI k

U

U

RU

RU

I

I

k ====

�

�

�

�

�

�∞

=

∞

=∞

=

∞

=∞

=

∞

=

1

2

2

2

12

2

22

2

1

2

2

2

.

Se constat� c� cei doi coeficien�i sunt egali, deci gradul de deformare a tensiunii �i curentului la bornele rezistorului ideal este acela�i.

În fig.4.16 sunt reprezentate cele dou� semnale. Puterile corespunz�toare rezistorului liniar ideal se calculeaz� pe baza rela�iilor de defini�ie:

,0

cos

2

0

2

0

2

0 0

>⋅=⋅=⋅=

==ϕ⋅=

��

� �

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

IRIRIR

IUIUP

kk

kk

k kkkkkk

(4.54)

0sin0

=ϕ⋅=�∞

=kkkkIUQ , (4.55)

0=D . (4.56)

Un rezistor ideal în regim deformant absoarbe putere activ�. Puterile reactiv� �i deformant� la bornele acestuia sunt nule.

4.3.3. BOBINA IDEAL� ÎN REGIM DEFORMANT

O bobin� ideal� se alimenteaz� de la un generator de tensiune periodic� nesinusoidal� (fig.4.17). Curentul care se stabile�te în circuit în regim permanent este:

( ) ( ) ( ) t�LkUL

ttuL

ti kkk

tt

dsin21

d1

1 00

+ω⋅=⋅= ��∞

=

.

Efectuând integrarea, rezult� valoarea instantanee a curentului în circuit:

( ) ��

��

� −+ω⋅ω

=�∞

= 2sin2

1

��Lk

LkU

ti kk

k . (4.57)

u(t)

L i(t)

Figura 4.17

Figura 4.16

Tensiunea �i curentul pentru un rezistor ideal în regim deformant

t

i(t)

u(t)

0

CIRCUITE ELECTRICE

32

În seria Fourier ce modeleaz� tensiunea la bornele bobinei nu s-a �inut seama de termenul constant U0 deoarece bobina func�ioneaz� pe principiul tensiunii electromotoare de induc�ie, care presupune varia�ia fluxului magnetic, deci varia�ia curentului în timp. Comparând expresia curentului rezultat� pe baza ecua�iei volt-amper a bobinei cu un curent periodic nesinusoidal scris sub forma seriei Fourier, rezult�:

00 =I (4.58)

LkUI k

k ω= (4.59)

2�

2�

kuk =ϕ�−γ=γ ik . (4.60)

La bornele unei bobine ideale în regim deformant curentul este defazat în urma

tensiunii cu 2�

pentru toate armonicile.

Dac� se noteaz� reactan�a inductiv� pe armonica de rang k:

LkXLk ω= (4.61)

valoarea efectiv� a curentului pe armonica de rang k poate fi scris� ca:

Lk

kk X

UI = (4.62)

Deoarece reactan�a bobinei corespunz�toare diferitelor armonici este direct propor�ional� cu rangul armonicii rezult� c� forma curbei a curentului este mai pu�in deformat� decât curba tensiunii aplicate. Acest rezultat este relevat �i de expresiile factorilor de distorsiune în curent �i în tensiune:

�

�

�

�∞

=

∞

=∞

=

∞

=

+==

2

221

2

2

1

2

2

2

kk

kk

kk

kk

dU

UU

U

U

Uk

�

�

�

�

�

�∞

=

∞

=∞

=

∞

=∞

=

∞

=

��

��

�+

��

��

�

=

��

��

�

ω

��

��

�

ω==

2

221

2

2

1

22

2

1

2

2

2

k

k

k

k

k

k

k

k

kk

kk

dI

kU

U

kU

LkU

LkU

I

Ik

Se observ� dUdI kk < . Pentru o bobin�, factorul de distorsiune al curentului este mai mic decît factorul

de distorsiune al tensiunii. O inductan�� reduce distorsiunea curentului fa�� de distorsiunea tensiunii, deoarece prezint� o impedan�� propor�ional� cu rangul armonicii.


33

Concluziile referitoare la defazaj �i deformarea tensiunii �i curentului se eviden�iaz� �i în graficul din fig.4.18.

Dac� se consider� raportul dintre valoarea efectiv� a tensiunii aplicate �i valoarea efectiv� a curentului prin bobin�, în regim deformant, se ob�ine expresia:

.

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

LLk

kU

U

L

LkU

U

I

U

IU

L

k

k

kk

k

k

kk

kk

kk

ω>ω=

��

��

�ω=

=

��

��

�

ω

==

�

�

�

�

�

�

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=∞

=

∞

=

(4.63)

Reactan�a inductiv� ωL, respectiv inductan�a L, se determin� în regim

permanent sinusoidal cu rela�ia 1

1

IU

L =ω . Rela�ia (4.63) scoate în eviden�� faptul c�,

în regim deformant raportul IU nu determin� reactan�a inductiv�, ci o valoare mai

mare ( 1>Lk ). Calculul puterilor electrice la bornele bobinei ideale func�ionând în regim deformant pune în eviden�� valoarea pozitiv� a puterii reactive:

0cos0�

∞

=

=ϕ⋅=k

kkkIUP , (4.64)

0sin1 1

2

1

>ω==ϕ⋅= � ��∞

=

∞

=

∞

= k kkkk

kkkk LIkIUIUQ , (4.65)

0≠D (4.66)

În concluzie, bobina în regim deformant îmbun�t��e�te caracterul deformant al circuitului, dar înr�ut��e�te caracterul reactiv al acestuia.

Figura 4.18

Tensiunea �i curentul pentru o bobin� ideal� în regim deformant

t

i(t)

u(t)

0

CIRCUITE ELECTRICE

34

4.3.4. CONDENSATORUL IDEAL ÎN REGIM DEFORMANT

Se consider� un condensator ideal (fig.4.19) c�ruia i se aplic� la borne o tensiune periodic� nesinusoidal� care poate fi scris� sub forma:

�∞

=

γ+ω⋅+=1

0 )sin(2)(k

ukk tkUUtu

Curentul în circuit, determinat pe baza ecua�iei volt-amper a condensatorului se determin� cu rela�ia:

( ) ( )��

��

� ++ω⋅ω== �∞

= 2sin2

dd

1

��tkCUk

ttu

Cti ukkk

(4.67)

Comparând expresia curentului determinat� pe baza ecua�iei volt-amper cu forma general� a unui curent periodic nesinusoidal scris ca o serie Fourier, se determin� valorile efective ale curentului pentru fiecare armonic�, respectiv defazajul tensiune-curent pentru toate armonicile:

00 =I , (4.68)

kk

k CUk

Ck

UI ω=

ω

=1

, (4.69)

2�

2�

k −=ϕ�+γ=γ ukik . (4.70)

Rela�iile ob�inute pun în eviden�� c� un condensator ideal în regim deformant nu permite trecerea componentei continue (ca �i în regim sinusoidal), �i defazeaz�

curentul înaintea tensiunii la borne pe fiecare armonic� cu 2�

.

Valoarea efectiv� a armonicii de rang k a curentului poate fi exprimat� �i în func�ie de reactan�a capacitiv� pe armonica de rang k, XCk:

CkXCk ω

= 1 (4.71)

Ck

kk X

UI = . (4.72)

O capacitate accentueaz� deformarea curentului fa�� de distorsiunea tensiunii deoarece impedan�a scade cu rangul armonicii. Deci, pentru condensatori factorul de distorsiune al curentului este mai mare decît factorul de distorsiune al tensiunii ( dUdI kk > ):

C

i(t)

u(t)

Figura 4.19


35

( )

( )

( )

( )

( )

( )dU

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

dI kU

U

kUU

kU

kU

kU

UCk

UCk

I

Ik =>

+==

ω

ω==

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�∞

=

∞

=∞

=

∞

=∞

=

∞

=∞

=

∞

=∞

=

∞

=

1

2

2

2

2

221

2

2

1

2

2

2

1

22

2

22

1

2

2

2

Se poate deci observa, c� prezen�a condensatorilor într-o re�ea accentueaz� distorsionarea curen�ilor (fig.12.20).

În ceea ce prive�te raportul IU , se ob�ine

expresia:

( )

( ).

111

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

CCk

kU

U

C

CUk

U

I

U

IU

C

kk

kk

kk

kk

kk

kk

ω<

ω=

ω=

=

ω

==

�

�

�

�

�

�

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=∞

=

∞

=

(4.73)

Deci, în regim deformant raportul IU

este mai mic decât reactan�a capacitiv�

( 1<Ck ). Puterile electrice calculate la bornele condensatorului ideal în regim deformant, pun în eviden�� puterea reactiv� negativ�:

0cos0�

∞

=

=ϕ⋅=k

kkkIUP (4.74)

0sin1 1

2

1

<ω−=−=ϕ⋅= � ��∞

=

∞

=

∞

= k kkkk

kkkk CUkIUIUQ (4.75)

0≠D . (4.76)

Un condensator ideal în regim deformant furnizeaz� putere reactiv�. Puterea deformant� la bornele acestuia este nenul�.

Figura 4.20

Tensiunea �i curentul pentru un condensator ideal în regim

deformant

t

i(t)

u(t)

0

CIRCUITE ELECTRICE

36

4.3.5. CIRCUITUL RLC SERIE ÎN REGIM DEFORMANT Se consider� (fig.4.21) o ramur� serie format� dintr-un rezistor, o bobin� �i un condensator, toate ideale. Ramurii i se aplic� o tensiune periodic� nesinusoidal� de forma (4.44). Circuitul fiind liniar, curentul care se stabile�te va con�ine acelea�i armonici ca �i tensiunea aplicat�. Se va analiza ramura cu teorema superpozi�iei.

Pentru 0=k , componenta constant� a curentului va fi nul� datorit� prezen�ei condensatorului:

00 =I (4.77)

Pentru 0≠k , armonicile curentului se determin� analizând circuitul în domeniul complex. Semnalul excita�ie pe armonica de rang k fundamental� este:

( )ukkk tkUtu γ+ω⋅= sin2)(

c�ruia îi corespunde în domeniul complex:

ukkk UU γ⋅⋅= je

Impedan�a complex� a ramurii este:

kkk Z

CkLkR

CkLkRZ ϕ⋅=�

�

��

�

ω−ω+=

ω+ω+= je

1j

j1

j (4.78)

în care: 2

2 1��

��

�

ω−ω+=

CkLkRZk (4.79)

RCk

Lkk

ω−ω

=ϕ

1

arctg (4.80)

Conform teoremei lui Ohm, valoarea efectiv� complex� a curentului va fi:

( )kuk

CkLkR

UZU

I k

k

kk

ϕ−γ⋅

��

��

�

ω−ω+

== j

22

e1

(4.81)

R

u(t)

L i(t)

Figura 4.21

C

uR(t) uL(t) uC(t)

R

Uk

jkωL Ik

Figura 4.22

Ckωj1

URk ULk UCk


37

având modulul �i argumentul date de rela�iile:

22 1

��

��

�

ω−ω+

=

CkLkR

UI kk (4.82)

kukik ϕ−γ=γ (4.83)

Valoarea instantanee a armonicii k a curentului este:

��

�

�

��

�

�

ω−ω

−γ+ω⋅

��

��

�

ω−ω+

=R

CkLk

tk

CkLkR

Uti uk

kk

1

arctgsin1

2)(2

2

(4.84)

Dup� determinarea curen�ilor pe toate armonicile existente în semnalul excita�ie, se sumeaz� algebric valorile instantanee ale acestor curen�i, pentru determinarea curentului periodic nesinusoidal:

�∞

=

=+++++=0

210 )(...)(...)()()(k

kk titititiIti

În regim deformant probabilitatea de apari�ie a fenomenului de rezonan�� este mult mai mare, deoarece fenomenul poate apare pe fiecare armonic�. Condi�ia de rezonan�� a armonicii de rang k este anularea reactan�ei echivalente de rang k:

CkLk

ω=ω 1

(4.85)

de unde rezult�:

LCkrk

1=ω � LCk

frk�2

11=

Se observ�:

11

rrk fk

f = . (4.86)