Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Curs 4Serii de numere reale
Facultatea de HidrotehnicaUniversitatea Tehnica "Gh. Asachi"
Iasi 2014
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul radacinii sau Criteriul lui Cauchy
Teorema (Criteriul radacinii)
Fie∞∑
n=0xn o serie cu termeni pozitivi. Presupunem ca exista
limn→∞
n√
xn = l ∈ [0,+∞] .
(i) Daca l < 1, atunci seria∞∑
n=0xn este convergenta.
(ii) Daca l > 1, atunci seria∞∑
n=0xn este divergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul radacinii sau Criteriul lui Cauchy
Demonstratie
(i) Sa presupunem ca limn→∞
n√
xn = l < 1 si fie q ∈ (l ,1) . Atunciexista n0 ∈ N astfel încât, pentru orice n ∈ N, n ≥ n0, sa avem
n√
xn ≤ q.
Deoarecexn ≤ qn, pentru orice n ≥ n0,
iar seria∞∑
n=0qn, q ∈ (0,1), este convergenta, conform Criteriului
de comparatie rezulta ca∞∑
n=0xn este convergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul radacinii sau Criteriul lui Cauchy
(ii) Daca limn→∞
n√
xn = l > 1, atunci exista n0 ∈ N astfel încât,pentru orice n ∈ N, n ≥ n0, sa avem
n√
xn ≥ 1.
Cum xn ≥ 1, pentru orice n ≥ n0, sirul (xn)n≥0 nu converge la
zero. Rezulta ca seria∞∑
n=0xn este divergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul radacinii sau Criteriul lui Cauchy
Observatie
Daca l = 1, atunci natura seriei∞∑
n=0xn nu poate fi stabilita cu ajutorul
acestui criteriu. Într-adevar, considerând seriile∞∑
n=1
1n2 si
∞∑n=0
n,
observam ca, pentru prima serie,
l = limn→∞
n√
xn = limn→∞
n
√1n2 = 1,
iar pentru a doua serie,
l = limn→∞
n√
xn = limn→∞
n√
n = 1,
deci în ambele cazuri l = 1; însa, prima serie este convergenta, iar adoua serie este divergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul radacinii sau Criteriul lui Cauchy
ExercitiuSa se studieze natura seriei
∞∑n=1
1(1 +
1n
)n2 . (1)
Solutie. Termenul general al seriei este xn =1(
1 +1n
)n2 . Calculam
limn→∞
n√
xn = limn→∞
1(1 +
1n
)n =1e< 1.
Conform Criteriului radacinii, seria (1) este convergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul radacinii sau Criteriul lui Cauchy
ExercitiuSa se studieze natura seriei
∞∑n=1
(a · n2 + n + 1
n2
)n
, a > 0.
Solutie. Termenul general al seriei este xn =
(a · n2 + n + 1
n2
)n
.
Calculam
limn→∞
n√
xn = limn→∞
(a · n2 + n + 1
n2
)= a.
Conform Criteriului radacinii, daca a < 1, atunci seria data esteconvergenta, iar daca a > 1, seria este divergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul radacinii sau Criteriul lui Cauchy
Daca a = 1 nu putem aplica Criteriul radacinii, dar, în acest caz,observam ca
limn→∞
xn = limn→∞
(n2 + n + 1
n2
)n
= limn→∞
(1 +n + 1
n2
) n2n+1
n(n+1)
n2
= e.
Termenul general al seriei neavând limita 0, seria∞∑
n=1
(n2 + n + 1
n2
)n
este divergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul raportului
Teorema (Criteriul raportului)
Fie seria∞∑
n=0xn, cu xn > 0, pentru orice n ∈ N. Presupunem ca
existal = lim
n→∞
xn+1
xn∈ [0,+∞] .
(i) Daca l < 1, atunci seria∞∑
n=0xn este convergenta.
(ii) Daca l > 1, atunci seria∞∑
n=0xn este divergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul raportului
Observatie
Daca l = limn→∞
xn+1
xn= 1, atunci nu putem decide natura seriei cu
ajutorul Criteriului raportului.
Într-adevar, considerând seriile∞∑
n=1
1n
si∞∑
n=1
1n2 , observam ca în
ambele cazuri l = 1; însa, prima serie este divergenta, iar a doua serieeste convergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul raportului
ExercitiuSa se studieze natura seriei
∞∑n=0
2n + 53n . (2)
Solutie. Termenul general al seriei este xn =2n + 5
3n . Calculam
limn→∞
xn+1
xn= lim
n→∞
(2n+1 + 5
)3n
(2n + 5)3n+1 =13
limn→∞
2n+1(
1 +5
2n+1
)2n(
1 +52n
) =23< 1.
Conform Criteriului raportului, seria (2) este convergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul raportului
ExercitiuSa se studieze natura seriei
∞∑n=1
nn
n!. (3)
Solutie. Termenul general al seriei este xn =nn
n!. Calculam
limn→∞
xn+1
xn= lim
n→∞
(n + 1)n+1
(n + 1)!· n!
nn = limn→∞
(n + 1
n
)n
= e > 1.
Conform Criteriului raportului, seria (3) este divergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul Raabe-Duhamel
Teorema (Criteriul Raabe-Duhamel)
Fie seria∞∑
n=0xn, cu xn > 0, pentru orice n ∈ N. Presupunem ca
exista
limn→∞
n(
xn
xn+1− 1)
= l ∈ [0,+∞] .
(i) Daca l > 1, atunci seria∞∑
n=0xn este convergenta.
(ii) Daca l < 1, atunci seria∞∑
n=0xn este divergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul Raabe-Duhamel
Observatie
Daca l = limn→∞
n(
xn
xn+1− 1)
= 1, atunci natura seriei nu poate fi
precizata cu ajutorul Criteriului Raabe-Duhamel.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul Raabe-Duhamel
ExercitiuSa se studieze natura seriei
∞∑n=1
1 · 3 · 5 · ... · (2n − 1)2 · 4 · 6 · ... · 2n
· 1n2 . (4)
Solutie. Termenul general al seriei este
xn =1 · 3 · 5 · ... · (2n − 1)
2 · 4 · 6 · ... · 2n· 1
n2 .
Vom încerca sa aplicam Criteriul raportului. Avem
xn+1 =1 · 3 · 5 · ... · (2n − 1) · (2n + 1)
2 · 4 · 6 · ... · 2n · (2n + 2)· 1
(n + 1)2
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul Raabe-Duhamel
limn→∞
xn+1
xn= lim
n→∞
2n + 12n + 2
· n2
(n + 1)2 = 1,
deci nu putem stabili natura seriei cu ajutorul Criteriul raportului.Vom aplica Criteriul Raabe-Duhamel. Pentru aceasta calculam
limn→∞
n(
xn
xn+1− 1)
= limn→∞
n
(2n + 22n + 1
· (n + 1)2
n2 − 1
)
= limn→∞
5n2 + 6n + 22n2 + n
=52> 1.
Prin urmare, seria (4) este convergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul condensarii (al lui Cauchy)
Teorema (Criteriul condensarii)
Fie (xn)n≥0 un sir descrescator de numere reale pozitive.
Atunci seriile∞∑
n=0xn si
∞∑n=0
2nx2n au aceeasi natura.
Corollary
Seria∞∑
n=1
1nα, α ∈ R, este convergenta pentru α > 1 si
divergenta pentru α ≤ 1.
Seria∞∑
n=1
1nα
, cu α ∈ R, se numeste seria armonica generalizata.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul condensarii (al lui Cauchy)
Demonstratie
Termenul general al seriei este xn =1
nα.
Daca α < 0, atunci limn→∞
xn = +∞, deci seria∞∑
n=1
1nα
este
divergenta.
Daca α = 0, atunci limn→∞
xn = 1, deci seria∞∑
n=1
1nα
este
divergenta.Daca α > 0, atunci sirul (xn)n≥1 este descrescator, astfel caputem aplica Criteriul condensarii.
Conform acestui criteriu, seria∞∑
n=1
1nα
are aceeasi natura cu
seria∞∑
n=02n 1
(2n)α=∞∑
n=0
(1
2α−1
)n
, care este o serie
geometrica de ratie q =1
2α−1 .
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criteriul condensarii (al lui Cauchy)
Daca1
2α−1 < 1, adica α > 1, seria∞∑
n=1
(1
2α−1
)n
este
convergenta, prin urmare si seria∞∑
n=1
1nα
este convergenta.
Daca1
2α−1 ≥ 1, adica α ≤ 1, seria∞∑
n=1
(1
2α−1
)n
este
divergenta, deci si seria∞∑
n=1
1nα
este divergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criterii de convergenta
Teorema (Criteriul lui Dirichlet)
Fie seria∞∑
n=0xnyn, unde (xn)n≥0 si (yn)n≥0 sunt siruri de numere
reale. Daca:(i) seria
∞∑n=0
xn are sirul sumelor partiale marginit si
(ii) sirul (yn)n≥0 este monoton descrescator si are limita 0,
atunci seria∞∑
n=0xnyn este convergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criterii de convergenta
ExercitiuSa se arate ca seria
∞∑n=1
sin nxn
(5)
este convergenta, pentru orice x ∈ R.Solutie. Sa observam mai întâi ca aceasta serie se poate scrie subforma
∞∑n=1
sin nx · 1n.
Vom folosi Criteriul lui Dirichlet cu xn = sin nx si yn =1n. Fie
(Sn)n≥1 sirul sumelor partiale asociat seriei∞∑
n=1xn.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criterii de convergenta
Daca x 6= 2kπ, k ∈ Z, atunci
|Sn| = |sin x + sin 2x + ...+ sin nx | =
∣∣∣∣∣∣∣cos
x2− cos(n +
12)x
2 sinx2
∣∣∣∣∣∣∣≤ 2
2∣∣∣sin
x2
∣∣∣ = 1∣∣∣sinx2
∣∣∣ , pentru orice n ∈ N.
Daca x = 2kπ, k ∈ Z, atunci
|Sn| = |sin x + sin 2x + ...+ sin nx | = 0.
Prin urmare, sirul (Sn)n≥1 este marginit.
Sirul yn =1n
este descrescator si convergent la 0.Conform Criteriului lui Dirichlet seria (5) este convergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criterii de convergenta
Teorema (Criteriul lui Abel)
Fie seria∞∑
n=0xnyn, unde (xn)n≥0 si (yn)n≥0 sunt siruri de numere
reale. Daca:(i) seria
∞∑n=0
xn este convergenta si
(ii) sirul (yn)n≥0 este sir monoton si marginit,
atunci seria∞∑
n=0xnyn este convergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Criterii de convergenta
ExercitiuSa se studieze natura seriei
∞∑n=1
cos n cos1n
n. (6)
Solutie. Scriem seria sub forma
∞∑n=1
cos nn· cos
1n
si folosim Criteriul lui Abel cu xn =cos n
nsi yn = cos
1n.
Seria∞∑
n=1
cos nn
este convergenta, iar sirul (yn)n≥1 este crescator si
marginit. Conform Teoremei lui Abel, seria (6) este convergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Serii alternante
Definitie
O serie∞∑
n=0xn se numeste alternanta daca termenii sai alterneaza ca
semn, adicaxnxn+1 < 0, pentru orice n ∈ N.
Orice serie alternanta poate fi scrisa în una din urmatoareledoua forme:∞∑
n=0
(−1)n an sau∞∑
n=0
(−1)n+1 an, cu an ≥ 0, pentru orice n ∈ N.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Serii alternante
Teorema (Criteriul lui Leibniz)Fie (an)n≥0 un sir descrescator de numere reale pozitive,
convergent la 0. Atunci seria∞∑
n=0(−1)n an este convergenta.
Demonstratie
Utilizam Criteriul lui Dirichlet. Fie xn = (−1)n si yn = an, pentruorice n ∈ N. Fie (Sn)n≥0 sirul sumelor partiale asociat seriei∞∑
n=0(−1)n . Se observa usor ca Sn = 1 pentru n par si Sn = 0
pentru n impar, deci (Sn)n≥0 este marginit. Cum sirul (yn)n≥0este descrescator si convergent la 0, conform Criteriului lui
Dirichlet obtinem ca seria∞∑
n=0(−1)n an este convergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Serii alternante
ExempluSeria
∞∑n=1
(−1)n
n
este convergenta conform Criteriului lui Leibniz, deoarece sirul
an =1n
tinde descrescator la 0.
ExempluSeria
∞∑n=0
(−1)n
2n
este convergenta conform Criteriului lui Leibniz, deoarece sirul
an =12n tinde descrescator la 0.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Serii absolut convergente
Definitie
Spunem ca seria∞∑
n=0xn este absolut convergenta daca seria
modulelor, adica seria∞∑
n=0|xn| , este convergenta.
ExempluSeria
∞∑n=1
(−1)n
n2
este absolut convergenta întrucât seria modulelor este
∞∑n=1
1n2
despre care am aratat ca este o serie convergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Serii absolut convergente
Teorema
Daca∞∑
n=0xn este absolut convergenta, atunci
∞∑n=0
xn este
convergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Serii absolut convergente
Demonstratie
Deoarece seria∞∑
n=0xn este absolut convergenta, rezulta ca
∞∑n=0|xn| este convergenta. Conform Criteriului lui Cauchy,
pentru orice ε > 0 exista nε ∈ N astfel încât, pentru orice n ∈ N,n ≥ nε, si orice p ∈ N∗, avem
||xn+1|+ ...+ |xn+p|| < ε,
adica|xn+1|+ ...+ |xn+p| < ε.
Fie n ∈ N∗, n ≥ nε si p ∈ N. Avem
|xn+1 + ...+ xn+p| ≤ |xn+1|+ ...+ |xn+p| < ε,
prin urmare, seria∞∑
n=0xn este convergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Serii absolut convergente
ObservatieReciproca acestei teoreme nu este adevarata. Exista serii convergentecare nu sunt absolut convergente.
Exemplu
Seria∞∑
n=1
(−1)n
neste convergenta, dar seria modulelor
∞∑n=1
∣∣∣∣(−1)n
n
∣∣∣∣ = ∞∑n=1
1n
este divergenta.
Definitie
Spunem ca seria∞∑
n=0xn este semiconvergenta daca seria
∞∑n=0
xn este
convergenta, dar seria modulelor,∞∑
n=0|xn| , este divergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Serii absolut convergente
ExercitiuStudiati absoluta convergenta a seriei
∞∑n=1
sin nxn2 , x ∈ R.
Solutie. Deoarece∣∣∣∣sin nx
n2
∣∣∣∣ ≤ 1n2 , pentru orice n ≥ 1 si orice x ∈ R,
iar seria∞∑
n=1
1n2 este convergenta, conform Criteriului de comparatie,
rezulta ca seria modulelor∞∑
n=1
∣∣∣∣sin nxn2
∣∣∣∣ este convergenta. Prin urmare,
seria∞∑
n=1
sin nxn2 este absolut convergenta.
Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta Serii cu termeni oarecare
Serii absolut convergente
ExercitiuStudiati absoluta convergenta a seriei
∞∑n=1
(−1)n√
n.
Solutie. Observam ca seria∞∑
n=1
(−1)n√
neste o serie alternanta si,
conform Criteriului lui Leibniz, este convergenta. Seria modulelor∞∑
n=1
∣∣∣∣(−1)n√
n
∣∣∣∣ = ∞∑n=1
1√n
este divergenta (seria armonica generalizata
cu α =12< 1). Prin urmare, seria
∞∑n=1
(−1)n√
neste semiconvergenta.
Top Related