Dr. Zaguia-CSI2501-H12 1
CSI 2501 / Règles d'inférence (§1.5-1.6-1.7)
Introduction Preuves mathématiques.
Arguments en logique propositionnelle équivalence des expressions quantifiées
Règles d'inférence en logique propositionnelle
La déduction naturelle est fondée sur des règles d'inférence
Les règles d'inférence pour construire des arguments pièges dans lesquels il est facile de tomber
Règles d'inférence pour les phrases quantifiées.
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 2
preuve mathématiques
Une preuve mathématiques correcte (valable logiquement) et complète (claire et détaillée) est un argument qui établie d’une façon rigoureuse et définitive la vérité d’une déclaration mathématique.
Un argument correct permet de s’assurer du résultat.
Un argument complet permet a quiconque de vérifier le résultat.
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 3
preuve mathématiques
Applications des preuves C’est un exercice de communication claire et
précise d’arguments logiques dans tous les domaines.
L’activité fondamentale des mathématiciens est la découverte et l’élucidation, par des preuves des nouveaux théorèmes intéressants.
La théorie et méthodes de preuves a des applications dans la vérification des programmes, sécurité informatique, systèmes de raisonnement automatiques, etc.
Prouvez un théorème permet de l’utiliser dans des applications critiques sans soucis.
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 4Dr. Zaguia-CSI2501-H12 4
Terminologie
Théorème: Une déclaration dont la vérité a été démontrée. Axiomes, postulats, hypothèses: Des suppositions (la plus
part du temps non prouvées) et qui définissent les règles et structures sur lesquelles la théorie se repose.
Règles d'inférence: suite de déductions logiques et qui mènent des hypothèses vers la conclusion.
Lemme: un résultat d’importance moindre qu’un théorème. En général c’est une étape pour prouver un théorème plus important.
Corollaire: Un théorème d’importance mineure et dont la preuve est une conséquence simple d’un théorème majeur.
Conjecture: Une déclaration dont la vérité n’a pas été démontrée. (En général on propose une conjecture si on croit qu’elle est vrai sans être capable de la prouver.)
Théorie: L’ensemble de tous les théorèmes qui peuvent être prouver a partir des axiomes.
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 5
Visualisation d’une théorie
…
Les théorèmesLes théorèmesLes axiomesLes axiomesde la théoriede la théorie
Une théorie particulièreUne théorie particulière
Une preuveUne preuve
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 66
Comment concevoir une preuve?
Considérer les déclarations suivantes:
• Si hier soir vous n’avez pas dormi alors vous allez dormir durant le cours.
• Hier soir vous n’avez pas dormi
On peut conclure que vous allez dormir durant le cours.
Soit P “hier soir vous n’avez pas dormi”
Soit Q “vous allez dormir durant le cours”
Ceci est le forme de notre argument:
Ca reviens a une tautologie: ((pq) p)
qP QP---------- Q
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 7
Règles d'inférence
On peut utiliser toutes les formes d’arguments
• On peut (et on doit) toujours vérifier la validité d’un arguments (i.e. avec les tables de vérité).
• Il y a une infinité de formes d’arguments possibles.
Les formes d’arguments les plus simples sont les plus utiles et qui sont utilisées le plus couramment.
• le lecteur pourra facilement vérifier l’argument
•Des arguments complexes se décomposent et peuvent se dériver a partir d’arguments simples
L’idée originale est de créer des méthodes automatiques de génération de preuves.
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 8
Règles d'inférence
Une règle d'inférence logique est une forme qui indique que si toutes les prémisses (hypothèses) sont vrais alors on en déduit que la conclusion est aussi vrai.
antécédent 1 antécédent 2 … conséquence “” veut dire “par conséquent”
Toute règle logique d'inférence correspond a une implication qui est une tautologie:
((ante. 1) (ante. 2) …) conséquence
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 9Dr. Zaguia-CSI2501-H12 9
Des Règles d'inférence
p Règles d’addition pq
pq Règles de simplification p
p Règles de conjonction q pq
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 10Dr. Zaguia-CSI2501-H12 10
Modus Ponens & Tollens
p Règles de modus ponenspq (Règle de détachement)q
qpq Règles de modus tollens p
“le mode d’affirmation”
“le mode de nier”
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 11Dr. Zaguia-CSI2501-H12 11
Syllogism & Resolution Inference Rules
pq qr
pr p q
p q
Règles « syllogisme » transitivité
Règles « syllogisme » disjonctive
Règles de Résolution p qp r q r
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 12Dr. Zaguia-CSI2501-H12 12
Preuves formelles
Etant données les hypothèses p1, p2,…,pn. une preuve formelle de la conclusion C consiste d’une séquence d’étapes qui mènent a C.
Chaque étape utilise une règle d’inférence appliquées aux hypothèses, et mène a une nouvelle assertion qui soit vrai.
Une preuve démontre que si les prémisses (hypothèses) sont vrais alors la conclusion est vrai.
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 13Dr. Zaguia-CSI2501-H12 13
Exemple d’une Preuve formelle
Supposant qu’on a les prémisses suivants:
“Il ne fait pas beau et il fait froid.”“S’il fait beau on va nager.”“Si on ne va pas nager alors on va faire du canoë.”“Si on va faire du canoë, alors on rentrera tôt a la maison.”
Etant données les prémisses ci-dessus prouver le théorème suivant:“on rentrera tôt a la maison.”
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 14Dr. Zaguia-CSI2501-H12 14
Exemple d’une Preuve formelle
Adoptons l’abréviation suivante: beau = “Il fait beau”; froid = “Il fait froid”; nager= “On va nager”; canoë = “on va faire du canoë”; tôt = “on rentrera tôt a la maison”.
Les prémisses peuvent êtres écrites comme suit:
(1) beaufroid (2) nager beau(3) nager canoë (4) canoë tôt
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 15Dr. Zaguia-CSI2501-H12 15
Exemple d’une Preuve formelle
étape Prouver par1. beau froid Prémisse #1.2. beau Simplification de 1.3. nagerbeau Prémisse #2.4. nager Modus tollens sur 2,3.5. nagercanoë Prémisse #3.6. canoë Modus ponens sur4,5.7. canoëtôt Prémisse #4.8. tôt Modus ponens sur 6,7.
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 16Dr. Zaguia-CSI2501-H12 1616
Exercices
Quelles sont les règles d’inférence utilisées:
•Il neige ou il pleut. Il ne neige pas et donc il pleut.
•S’il y a de la neige je vais faire du ski. Si je vais faire du ski alors je m’absenterais du cours. Il y a de la neige, par conséquent je m’absenterais du cours.
•Je suis riche ou je dois travailler. Je ne suis pas riche ou j’aime jouer du hockey. Par conséquent je dois travailler ou j’aime jouer du hockey.
•Si tu est blonde alors tu es intelligente. Tu es intelligente donc tu es blonde.N P N
P
BII
B
R TR H
T H
NSS AN A
Faux
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 17Dr. Zaguia-CSI2501-H12 1717
Construire des arguments avec les règles d’inférence
Prouver le théorème suivant: “S'il ne pleut pas ou s'il n'est pas brumeux, alors la course a la voile et la démonstration du sauvetage auront lieu. Si la course a la voile aura lieu alors le prix sera décerné. Le prix n’a pas été décerné par conséquent il a plut.”# Proposition Règle
1 (PB) (VS) hypothèse
2 V R hypothèse
3 R hypothèse
4 V modus tollens 2 & 3
5 V S addition a 4
6 P B modus tollens 1 & 5
7 P simplification de 6
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 18Dr. Zaguia-CSI2501-H12 18
Autres exemples
Que peut-on en déduire: “Je suis intelligent ou chanceux. Je ne suis pas
chanceux. Si je suis chanceux alors je gagnerais le loto.”
“Tous les rongeurs rongent leur nourriture. Les souris sont des rongeurs. Les lapins ne rongent pas leur nourriture. Les chauves-souris ne sont pas des rongeurs.
C LLLT ???
R GS RL GC R ???
R “rongeur”G “rongent leur nourriture”L “Lapin”S “Souris”C “chauves-souris”
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 19Dr. Zaguia-CSI2501-H12 1919
Résolution
Règle de résolution p qpr------- qr
•Utilisée par les systèmes automatiques de raisonnement et preuves.
•C’est la base de la programmation logique, comme Prolog. Toutes les hypothèses et les conclusions sont exprimées sous format de clauses (disjonction de variables ou de leurs négations). Résolution est la seule règle d’inférence utilisée.
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 20Dr. Zaguia-CSI2501-H12 2020
Résolution
Exprimer sous la forme de conjonction de clauses:
• p(qr)
• (pq)
• p q
• (pq)
Utiliser la règle de résolution pour monter que
(pq)(pq)(pq)(pq) n’est pas satisfaite
(pq)(pr)
(p) (q)
(pq)
(q q) = F
((pq)(qp))= (pq) (qp)= (p q) ( pq)= ((p q) ( p)) ((p q) q)) = (q p) (p q)
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 21Dr. Zaguia-CSI2501-H12 21
Règles d’inférence pour les assertions quantifiées
(x) P(x)
P(c) Instance Universelle
P(c) pout tout c (x) P(x)
Généralisation Universelle
(x) P(x) P(c) pour un certain c
Instance Existentielle
P(c) pour un certain élément c (x) P(x)
Généralisation Existentielle
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 22Dr. Zaguia-CSI2501-H12 2222
Révision
Formes d’arguments les plus utilisées en logique propositionnelle
• modus ponens, modus tollens, syllogisme (transitivité d’implication), syllogisme disjonctive , addition, simplification, conjonction, résolution
Règles d’inférence pour les expressions quantifiées
• Instance universelle, généralisation universelle
• Instance existentielle, généralisation existentielle
Résolution et programmation logique
• tout peut s’exprimer avec des « clauses »
• Il est suffisant de n’utiliser que les résolution.
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 23Dr. Zaguia-CSI2501-H12 2323
Combiner les règles d’inférence
x (P(x) Q(x))P(a)-------- modus ponens Universel
Q(a)
x (P(x) Q(x))Q(a)-------- modus tollens Universel
P(a)
# Assertion Règle
1 x (P(x) Q(x)) hypothèse
2 P(a) hypothèse
3 P(a) Q(a) universelle
4 Q(a) 2 & 3 modus ponens
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 24Dr. Zaguia-CSI2501-H12 2424
Exemples/exercices
Utiliser les règles d’inférence pour montrer ce qui suit:
x (P(x) Q(x))
x(Q(x) S(x))
x (R(x) S(x)
x P(x)
x R(x)x (P(x) Q(x)) etx(Q(x) S(x)) impliquex(P(x) S(x))x (R(x) S(x)) est équivalent to x( S(x) R(x))
Donc x(P(x) R(x))Puisque x P(x) est vrai. Donc P(a) pour un certain a du domaine. Puisque P(a) R(a) est vrai. Conclusion R(a) est vrai et donc x R(x) est vrai
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 25Dr. Zaguia-CSI2501-H12 2525
Examples/exercises
Trouver l’erreur dans l’argument ci-dessous • xP(x) xQ(x) implique x(P(x)Q(x))
1. xP(x) xQ(x) hypothèse
2. xP(x) simplification de 1.
3. P(c) instance universelle de 2.
4. xQ(x) simplification de 1.
5. Q(c) instance universelle de 4.
6. P(c)Q(c) conjonction de 3. et 5.
7. x (P(x) Q(x)) généralisation existentielle
c????
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 26Dr. Zaguia-CSI2501-H12 2626
Exemples/exercices
Est-ce que l’argument suivant est correct?
Si Superman est capable et s’il veut arrêter le mal alors il arrêtera le mal.
Si Superman n’est pas capable d’arrêter le mal alors il est impotent; s’il n’a pas le désir d’arrêter le mal alors il est malveillant.
Superman n’arrête pas le mal.
Si Superman existe alors il est ni impotent ni malveillant.
Par conséquent, Superman n’existe pas. C V AC IV MAE I M E
A partir de C V A and A on en déduit (CV) .
C V (1) C I donc C I (2) V M donc V M (3)(4)=(1)&(2) I V(5)=(1) & (4) C I D’après (1)&(5) on a I. D’après E I M on a E
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 27Dr. Zaguia-CSI2501-H12 27
Preuve?
Preuve formelle
• séquence d’assertions finissant par une conclusion
• assertions avant la conclusion sont les prémisses
• chaque assertion doit être un axiome ou bien elle doit être dérivée d’une prémisse précédente en utilisant une règle d’inférence.
Preuve informelle
• Preuve formelle sont difficile a suivre
• On n’a pas nécessairement besoin de tous les détails. On peut sauter sur les étapes simples et évidentes, ou on peut les joindre dans un seul argument. On peut aussi sauter sur quelques axiomes et les supposer implicitement.
• On se concentre sur l’écriture des preuves informelles (qui sont assez formelles et précises.)
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 28Dr. Zaguia-CSI2501-H12 28
Terminologie
Théorème: Une déclaration dont la vérité a été démontrée. Axiomes, postulats, hypothèses: Des suppositions (la plus
part du temps non prouvées) et qui définissent les règles et structures sur lesquelles la théorie se repose.
Règles d'inférence: suite de déductions logiques et qui mènent des hypothèses vers la conclusion.
Lemme: un résultat d’importance moindre qu’un théorème. En général c’est une étape pour prouver un théorème plus important.
Corollaire: Un théorème d’importance mineure et dont la preuve est une conséquence simple d’un théorème majeure.
Conjecture: Une déclaration dont la vérité n’a pas été démontrée. (En général on propose une conjecture si on croit qu’elle est vrai sans être capable de la prouver.)
Théorie: L’ensemble de tous les théorèmes qui peuvent être prouver a partir des axiomes.
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 29Dr. Zaguia-CSI2501-H12 29
Comment prouver un théorème?Tout dépends de la forme du théorème
• Cas simple– preuve d’une assertion existentielle x P(x):
Il existe un entier pair qui peut s’écrire de deux façons différentes comme somme de deux nombres premiers Comment prouver ce théorème?
Trouver un tel x et les 4 nombres premiers “10 = 5+5 = 3+7” FAIT
Pour tout entier x il existe un entier y tel que y > x. x y: y>x
Trouver un algorithme pour trouver un tel y: Il suffit de prendre y = x+1
Les deux sont des preuves d’existence constructives
Il existe des preuves non constructives
•En générale les preuves constructives sont plus utiles.
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 30Dr. Zaguia-CSI2501-H12 30
Preuve par un contre exemple
Un autre cas simple
Réfuter la négation d’une assertion existentielle x P(x)
x P(x) x P(x)
Réfuter une assertion universelle
• Donner un contre exemple
Exemples:
Réfuter: Pour tous nombres réels a and b, si a2 = b2 alors a = b
Réfuter : Il n’existe pas d’entiers x tel que x2 = x.
Ce sont des preuves constructives
• Mais on peut avoir aussi des preuves non-constructives
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 31
Comment refuter un théorème existentiel?
En prouvant la négation (assertion universelle)
Exemple: Réfuter: Il existe un entier positif n tel que n2+3n+2 est premier
On va prouver: Pour tout entier positif n, n2+3n+2 n’est pas premier.
Preuve:
Supposons que n est un entier positif. En factorisant n2+3n+2 on obtiens n2+3n+2 = (n+1)(n+2).
Puisque n 1 alors n+1>1 et n+2>1. Les deux nombres n+1 et n+2 sont des entiers puisqu’ils sont des sommes d’entiers.
Puisque n2+3n+2 est le produit de deux entiers plus grand que 1, alors il n’est pas premier.
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 32Dr. Zaguia-CSI2501-H12 32
Comment prouver un théorème universel?
La plupart des théorèmes sont universels de la forme x P(x) Q(x)
Comment prouver ce type de théorème?
• En analysant tous les cas
• Si le domaine est fini
• Il n’y a qu’un nombre fini de x satisfaisant P(x).
Exemple: x x est un entier pair tel que 4x16, x peut être écrit comme somme de deux entiers premiers
4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 5+5, 12 = 5+7, 14 = 7+7, 16 = 3+13
Analyse de tous les cas ne peut marcher si le domaine est infini ou il est très grand.
• pas moyen d’utiliser «Analyse de tous les cas » pour prouver que le circuit de la multiplication du CPU est correcte.
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 33Dr. Zaguia-CSI2501-H12 33
Comment prouver un théorème universel?
La plupart des théorèmes sont universels de la forme x P(x) Q(x)
généraliser a partir du cas particulier
• Soit x un élément particulier du domaine, prouver que si x satisfait P alors x doit aussi satisfaire Q.
• En utilisant des définitions, des résultats déjà prouvés et les règles d’inférence.
• Il est important de n’utiliser que les propriétés qui s’applique a tous les éléments du domaine.
Preuve directe: On suppose P(x) et on en déduit Q(x).
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 34
Exemple 1: Preuve directe
Théorème: Si n est impair alors n2 est impair.
Définition: un entier n est pair s’il existe un entier k tel que n = 2k. Un entier n est impair s’il existe un entier k tel que n = 2k+1. Tout entier est pair ou impair et ne peut être les deux en même temps.
Théorème: (n) P(n) Q(n), Où P(n) est “n est un entier impair” and Q(n) est “n2 est
impair.”
On dois montrer P(n) Q(n)
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 35
Théorème: Si n est impair alors n2 est impair.
Preuve:Soit p --- “n est impair”; q --- “n2 est impair”; On veux prouver que p q.
Supposons p, i.e., n est impair. Par définition n = 2k + 1, pour un certain entier k.
Donc n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2 (2k2 + 2k ) + 1. Par conséquent n2 =2k’ + 1, ou k’ = (2k2 + 2k). Par définition de impair, on en déduit que n2 est impair.
QED
Exemple 1: Preuve directe
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 36
Exemple 2: Preuve directe
Théorème: La somme de deux entiers pairs est un entier pair.
• Point de départ: Soient m et n deux entiers pairs arbitraires
• Conclusion: n+m est pairPreuve:
Soient m et n deux entiers pairs arbitraires. Par définition de pair, il existes deux entiers r et s tels que m=2r et n=2s. Donc
m+n = 2r+2s (substitution)
= 2(r+s) (factoriser par 2)
Soit k = r+s. Puisque r et s sont des entiers alors k est un entier. Par conséquent m+n = 2k, ou k est un entier. Par définition de pair, on en déduit que m+n est pair.
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 37
Directions générales en écrivant une preuve
• Preuve précise et complète.
• Indiquer clairement le théorème a prouver
• Indiquer clairement le début de la preuve (i.e. Preuve:)
• self-contained: introduire/identifier toutes les variables
• “Soient m et n deux entiers pairs quelconques”
• “… pour certains entiers r et s”
• des phrases complètes “Par conséquent m+n = 2r+2s = 2(r+s).”
• donner les raisons pour chaque étape ou assertion
• par hypothèse, par définition de pair, par substitution
• Clarifier l’argument logique avec des petits mots: puisque, donc, par conséquent, Observons, soit, …
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 38
Exemples/exercices
Théorème: Le carré d’un nombre pair est divisible par 4.
Théorème: Tout produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6.
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 39
Théorie des nombres: très basique
Définition: un entier n est pair si et seulement si entier k tel que n = 2k
Définition: un entier n est impair si et seulement si entier k tel que n=2k+1
Définition: Soient k et n deux entiers. On dit que k divise n (qu’on note k | n) si est seulement si il existe un entier a tel que n = ka.
Définition: un entier n est premier si et seulement si n>1 et pour tous entiers positifs r et s, si n = rs, alors r=1 ou s = 1.
Définition: Un nombre réel r est rationnel si et seulement si deux entiers a et b tels que r= a/b et b 0.
Parmi ces nombres, lesquels sont rationnels?
7/13 0.3 3.142857 3.142857142857142857142857… 3/4+5/7
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 40
Exemples/exercices
Théorème: Le carré d’un nombre pair est divisible par 4.
Preuve:
Soit n un entier pair quelconque. Par définition de pair, il existe un entier r tel que m=2r. Alors n2 = (2r)2= 4r2. Par conséquent et d’après la définition « de divisible par 4 », l’entier n2 est divisible par 4.
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 41
Exemples/exercises
Théorème: Tout produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6.
J’ai plus de connaissances dans la théorie des nombres, ce qui me permet de prouver ce théorème.
Lemme 1: entiers k,n,a: k | n k | an
Lemme 2: Parmi n’importe quels k entiers consécutifs, un unique entier est divisible par k.
Lemme 3: x: 2| x 3| x 6| x
(un cas spécial d’un théorème plus général)
x, y, z: y | x z|x yz/GCD(y,z) | x
(On prouvera Lemme 2 et Lemme 3 plus tard lorsqu’on saura plus sur la théorie des nombres)
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 42
Preuve du Théorème
Théorème: Tout produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6.
Preuve: Soit n un entier quelconque.
D’ après Lemme 2, on a 2|n ou 2|(n+1). A partir de Lemme 1, on en déduit que 2|n(n+1) and donc en appliquant de nouveau Lemme 1 on a 2|n(n+1)(n+2).
D’ après Lemme 2, on a 3|n ou 3|(n+1) ou 3|(n+2). En appliquant deux fois Lemme 1 on obtient 3|n(n+1)(n+2).
Par conséquent, 2 | n(n+1)(n+2) et 3 | n(n+1)(n+1). A partir de Lemme 1, on en déduit que 6=2*3 | n(n+1)(n+2).
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 43
Preuve par Contradiction
A – On veut prouver p.On démontre que:(1) ¬p F;(2) On en déduit que ¬p est faux puisque (1) est vrai et donc
p est vrai.
B – On veut prouver p q(1) On suppose la négation de la conclusion, i.e., ¬q (2) On utilise la supposition de (1) pour montrer (p ¬q ) F(3) Puisque ((p ¬q ) F) (p q) la preuve est faite!
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 44
Théorème “Si 3n+2 est impair, alors n est impair”Preuve.Soit p = “3n+2 est impair” et q = “n est impair”
1 – On suppose p et ¬q i.e., 3n+2 est impair et n n’est pas impair
2 – Puisque n n’est pas impair alors n est pair.3 – si n est pair, n = 2k pour un certain entier k, et donc
3n+2 = 3 (2k) + 2 = 2 (3k + 1), et donc pair.4 – On a obtenu une contradiction, 3n+2 est impair et
3n+2 est pair et donc p q, i.e., “Si 3n+2 est impair , alors n est impair ”
Q.E.D.
Exemple 1: Preuve par Contradiction
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 45
Prouver que 2 est irrationnel (Preuve classique).
• Supposons que 2 est un nombre rationnel. Alors ils existent deux entiers a et b (relativement premiers) tels que 2 = a/b.
• Donc 2 = a2/b2 et 2b2 = a2.• Par conséquent a2 est pair et donc a est pair, c’est a
dire a=2k pour un certain entier k.• On en déduit que 2b2 = (2k)2 = 4k2 et donc b2 = 2k2
• Donc b2 est pair et b est pair (b = 2k pour un certain entier k)
Mais puisque a et b sont tous les deux pairs alors
ils ne sont pas relativement premiers!
Exemple2: Preuve par Contradiction
contradiction
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 46
Ma preuve n’est pas si complète?
• a2 est pair, et donc a est pair (a = 2k pour un certain entier k)??
• J’avais raison, a est pair.
contradiction
• Supposons le contraire, c’est a dire supposons que a n’est pas pair.
• Donc a = 2k + 1 pour un certain entier k
• Donc a2 = (2k + 1)(2k + 1) = 4k2 + 4k + 1
• Par conséquent a2 est impair.
Exemple 2: Preuve par Contradiction
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 47
Plus d’exemples/ exercices
Exemples:
• Il existe un plus grand entier
• Proposition 2: parmi k entier consécutifs il y a au plus un seul entier divisible par k.
• Il existe un plus grand nombre premier
On sait déjà qu’il existe un nombre irrationnel: 2
• La somme de deux nombres irrationnel est un nombre irrationnel
• Ils existent deux nombres irrationnels a and b tels que ab est un nombre rationnel
• preuve non-constructive existentielle
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 48
Preuve par contraposition
Preuve par contraposition
• On veut prouver x (P(x) Q(x))
• réécrire comme x (Q(x) P(x)) (c’est la contraposition)
• prouver la contraposition avec une preuve directe:
• Prenons un élément x arbitraire du domaine tel que Q(x) est faux
• prouver que P(x) est faux.
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 49
• Prouver que si a est b sont des entiers et a + b ≥ 15, alors a ≥ 8 et b ≥ 8.
(a + b ≥ 15) (a ≥ 8) v (b ≥ 8)
(Suppose q) Suppose (a < 8) (b < 8).(montrer p) Alors (a ≤ 7) (b ≤ 7).
Donc (a + b) ≤ 14.Donc (a + b) < 15.
Exemple 1: Preuve par Contraposition
QED
(a < 8) (b < 8) (a + b < 15)
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 50
Example 2: Preuve par Contraposition
Théorème:Pour un entier n , si 3n + 2 est impair, alors n est impair. i.e. Pour un entier n, 3n+2 est impair n est impair
Preuve par Contraposition: Soit p --- “3n + 2” est impair; q --- “n est impair”; on veut prouver p q La contraposition est ¬q ¬p
n est pair 3n + 2 est pair Maintenant on peut utiliser une preuve directe:
supposons ¬q , i.e, n est pair et donc n = 2 k pour un certain k. Par conséquent 3 n + 2 = 3 (2k) + 2 = 6 k + 2 = 2 (3k + 1) qui est pair.
QED
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 51
Contradiction vs Contraposition
Peut-on convertir les preuves par contraposition a des preuves par contradiction?
Preuve de x (P(x) Q(x)) par contraposition:
Soit c un élément arbitraire tel que Q(c) est faux
… (séquence d’étapes)
P(c)
Preuve de x (P(x) Q(x)) par contradiction:
Soit x tel que P(x) et Q(x)
alorsQ(c) // instance existentielle
… (même séquence d’étapes)
Contradiction: P(c) et P(c)
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 52
Contradiction vs Contraposition
Mais quelle méthode doit-on utiliser?
Avantage de la méthode par Contraposition:
• On évite des erreurs en exprimant la négation de l’assertion.
• ce qu’on veut prouver est clair
Inconvénient de la méthode par Contraposition:
• n’est utilisable que pour des assertions universelles et conditionnelles.
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 53
Stratégies de preuves
Assertion: Pour tous les éléments du domaine, si P(x) alors Q(x)
Imaginer les éléments satisfaisant P(x). On doit se demander s’ils ont la propriété pour satisfaire Q(x)?
• si tu est convaincu que c’est « OUI » alors utiliser les raisons pour lesquelles tu penses que c’est OUI comme base d’une preuve directe.
• Si ce n’est pas clair que la réponse est « OUI », utiliser les raisons pour peut être arriver un contre exemple.
• Si vous n’arrivez pas a trouver un contre exemple essaye de réfléchir sur les raisons:
• Peut être en supposant P(x) Q(x) tu arrives a une contradiction
• Peut être en supposant P(x) Q(x) tu peux en déduire P(x)
Il n’y a pas de recettes pour les preuves
• La pratique, pratique et pratique
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 54
Plus d’exemples/exercices
Prouver qu’ils n’y a pas d’entiers qui sont solutions de x2+3y2=8
Prouver qu’ils n’y a pas d’entiers qui sont solutions de
x2-y2 = 14.
Prouver qu’on peut remplir un échiquier avec des dominos.
Prouver qu’un échiquier sans une case du coin ne peut être remplie avec des dominos.
Prouver qu’un échiquier sans deux cases de coins situées sur une diagonale ne peut être remplie avec des dominos.
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 55
Plus d’exemples/exercices
Prouver qu’il n’y a pas d’entiers qui sont solutions de xn+yn = zn et tels que xyz 0 for n>2.
Dernier théorème de Fermat (Ca pris plusieurs siècles pour le prouver, la preuve consiste de quelques centaines de pages)
La conjecture 3x+1 : Est-ce que ce programme s’arrête pour tout entier i?
tantque(i>1) {si (pair(x)) x = x/2;sinon x = 3x+1;
}
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 56
Erreurs a éviter
• Généraliser a partir d’exemples
• On observe que 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sont premiers, donc on en déduit que tout nombre impair est premier??
• Le code produit des résultats correctes pour les cas qu’on a tester et donc on en déduit que toujours le code produit un résultat correcte
• Utiliser la même variable ou lettre pour exprimer deux choses différentes
• xP(x) xQ(x) ca ne veut pas dire qu’il existe c tel que(P(c)Q(c))
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 57
Erreurs a éviter
D’autres erreurs assez communes:
1. L’erreur d’affirmer la conclusion2. L’erreur de nier l’hypothèse3. Tourner en rond ou raisonnement
circulaire
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 58
L’erreur d’affirmer la conclusion
Si André l’a fait, il aura du sang sur les mains.André a du sang sur les mains.Par conséquent, André l’a fait.
La forme d’argumentPQQ P
ou ((PQ) Q)P qui n’est pas une tautologie et donc pa une forme d’inférence valable
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 59
L’erreur de nier l’hypothèse
Si André est nerveux, il l’a fait.André n’est pas vraiment nerveux.Par conséquent, André ne l’a pas fait.
La forme d’argumentPQ¬P ¬Q
ou ((PQ) ¬P) ¬Q qui n’est pas une tautologie et donc pa une forme d’inférence valable
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 60
Tourner en rond ou raisonnement circulaire
Lorsqu’on utilise la vérité l’assertion qu’on veut prouver (ou quelque chose d’équivalent) dans la preuve.
Exemple: Conjecture: si n2 est pair alors n pair. Preuve: Si n2 est pair alors n2 = 2k pour un
certain k. Soit n = 2l pour un certain l. Donc n doit être pair.
(Noter que l’assertion n = 2l est introduite sans aucun argument.)
Dr. Zaguia-CSI2501-H12 61
Méthodes de preuves
Preuve directe Preuve par Contraposition Preuve par Contradiction Preuve par Equivalences Preuve par Cas (Exhaustive) Preuves d’existence Preuves par contre exemples