Cours de mathématiques économiques
EL Ghali KHAMLICH EL Ghali KHAMLICH
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
A- Algèbre linéaireA- Algèbre linéaire
- Chapitre I- Chapitre I Calcul matricielCalcul matriciel- Chapitre II- Chapitre II Systèmes Systèmes
linaireslinaires- Chapitre III- Chapitre III DiagonalisationDiagonalisation
B- B- AAnalysenalyse
- Chapitre I- Chapitre I Modélisation Modélisation optimisationoptimisation
- Chapitre II - Chapitre II Suites numériquesSuites numériques
Plan du cours
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
Matrices:Matrices:
1- Définition :1- Définition :On appelle matrice M de type (n, p); un tableau de nombres réels aij à n On appelle matrice M de type (n, p); un tableau de nombres réels aij à n lignes et p colonnes. aij désigne le coefficient de la matrice M situé à lignes et p colonnes. aij désigne le coefficient de la matrice M situé à l ’intersection de la ligne n°i et de la colonne n°j. i : indice des l ’intersection de la ligne n°i et de la colonne n°j. i : indice des lignes; i = 1,2,3,........,nlignes; i = 1,2,3,........,n j : indice des colonnes; j = 1,2,3,....,p j : indice des colonnes; j = 1,2,3,....,p
On notera par On notera par MM(n,p) (n,p) l’ensemble des matrices du type (n,p) à coefficients dans l’ensemble des matrices du type (n,p) à coefficients dans IR (les aij ).IR (les aij ).
pj1
ni1M a
aaaa
aaaa
aaaaaaaa
ij
npnjn2n1
ipiji2i1
2p2j2221
1p1j1211
Chapitre I Calcul matriciel
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
Remarques:
*Si n = p : la matrice M est dite matrice carrée d’ordre n.
exemple:L’écriture de la matrice carrée d’ordre 3 est:
*Si n = 1 : la matrice M est dite matrice ligne (ou vecteur ligne)
11
21
n1
a
a
a
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
11 12 1pa a a
*Si p = 1 : la matrice M est dite matrice colonne (ou vecteur colonne) M=
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
A
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a1 i n
1 j p
11 12 1j 1p
21 22 2j 2p
i1 i2 ij ip
n1 n2 nj np
ij
11 21 i1 n1
12 22 i2 n2
1j 2j ij nj
1p 2p ip np
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
3- Opérations sur les matrices:3.1-Transposition d’une matrice:
Soit A une matrice de type (n,p). (n lignes et p colonnes)
On appelle transposée de la matrice A; la matrice qu’on note tA telle que :
tA =
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
Remarque:tA est une matrice de type (p,n) (p lignes et n colonnes) c’est à dire: les lignes
deviennent colonnes et les colonnes deviennent lignes.
5010
2913
10875
6321
52106
0983
1172
0351
Exemple:
A=
La matrice transposée est telle que:
3.2-Somme des matrices:On appelle somme de deux matrices A et B de même type (n,p); la matrice C = A + B du type (n,p); telle que: si A = (aij) et B = (bij) alors, C = (cij) et pour chaque
élément cij, on a,
cij = aij + bij , avec i = 1,2,.......,n et j = 1,2,.........,p.
tA=
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
2254
3660
5831
A
2350
98117
3012
B
225104
61457
8823
C
Exemples:
Soient les deux matrices de type (3,4) suivantes telles que:
et
La matrice C = A + B du même type que A et B (3,4) sera donnée de la façon suivante:
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
Propriétés:Soient A, B et C trois matrices du même type (n,p); on a:P1- A + B = B + A et (A + B) + C = A + (B + C)P2- Soit O(n,p) M(n,p) la matrice nulle de M(n,p) avec:
0 0 0
0 0 0
0 0 0
On a A M(n,p) ; A + O(n,p) = O(n,p) + A = A
O(n,p) =
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
A
1 7 8 5
0 6 6 3
4 5 1 2
( , )3 4
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0O
2254
3660
5831
A
2254
3660
5831
Exemple:Soit la matrice A de type (3,4) donnée par :
et la matrice nulle de type (3,4) donnée par
A + O = O + A = A
P3- L’opposée de la matrice A = (aij) M(n,p) est la matrice (-A) M(n,p) telle que :
(-A) = -(aij) = (-aij) avec i = 1,2,.......,n et j = 1,2,.........,p.
Exemple:L’opposée de la matrice
est la matrice - A =
P4- La transposée d’une somme de deux matrices A et B est égale à la somme des transposées tA et tB , autrement dit : t(A+B) = tA + tB
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
11 12 1j 1p
21 22 2j 2p
i1 i2 ij ip
n1 n2 nj np
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
11 12 1j 1p
21 22 2j 2p
i1 i2 ij ip
n1 n2 nj np
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
2254
3660
5831
A
224108
612120
101662
A
3.3-Produit d’une matrice par un scalaire:Soit A M(n,p) ; IR
=
Exemple:
2*
AA =
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
11 12 13
21 22 23
a a a
a a a
11 12
21 22
31 32
b b
b b
b b
11 12 13
21 22 23
a a a
a a a
11 12
21 22
31 32
b b
b b
b b
babababababababababababa
322322221221312321221121
321322121211311321121111
Propriétés: A, B M(n,p) et , IR P1- (A + B) = A + BP2- ( + ) A = A + AP3- ( A) = ( ) AP4- 1.A = AP5- t( A) = tA
3.4-Produit de deux matrices:
Soient deux matrices A et B de types respectifs (2,3) et (3,2) tel que:
et B =
La matrice C qui est le produit de la matrice A par la matrice B est donnée de la façon suivante :
Remarque:Le produit de deux matrices n’est possible que si le nombre de colonnes de la 1ère matrice A est égal au nombre de lignes de la 2ème matrice B.
A =
C = A.B = =
(2,3) (3,2) (2,2)
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
11 1 1
1
1
11 1 1
1
1
11
1 11
1 11
11
1 1
11
1 1
a a a
a a a
a a a
b b b
b b b
b b b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
k p
i ik ip
n nk np
j q
k kj kq
p pj pq
kk
p
k kk
p
kj kk
p
kq
ikk
p
k ikk
p
kj ikk
p
kq
nkk
p
k nkk
p
kj nkk
p
kq
Cas général:
Soit A = (aij) une matrice de type (n,p) et B = (bij) une matrice de type (p,q), on appelle
produit de la matrice A par la matrice B: la matrice C = (cij) de type (n,q) défini par :
C = A.B ; avec 1 i n et 1 i q et
; A(n,p) . B(p,q) = C(n,q)
cij = babababa pjipjijikj
p
kik
..............2211
1 ou encore
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
543
211
64
01
72
5130
1911
Applications:
1- Soit A = et B =
La matrice produit C = A.B =
Propriétés:P1- Soit A M(n,p) et B M(p,q). (A.B) existe, mais en général si q n, (B.A) n’existe pas.a- Si n = q, on a A(n,p). B(p,n) = C(n,n) matrice carrée ; et
B(p,n). A(n,p) = D(p,p) matrice carrée
b- Supposons maintenant qu’on a p = q = n , on a pas forcément C = D (A.B = B.A)
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
132
153
012
601
470
121
8171
17292
632
61710
114729
186
0 1 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Exemple:
Soient les deux matrices A et B suivantes:
et B =
Calculer les produits: A.B et B.A et conclure.
Et B.A =
P2- Le Produit A.B = O n’implique pas que A = O ou B = O, en effet:
= O3 ;
A =
A.B =
A.B = alors que A O3 et A O3
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
P3- [(A(n,p)). (B(p,n))]. (C(q,r)) = (A(n,p)). [(B(p,n)) .(C(q,r))]On dit que le produit matriciel est associatif.P4- [(A(n,p)) + (B(n,p))]. (C(p,q)) = (A(n,p)).(C(p,q)) + (B(n,p)]. (C(p,q))On dit alors que la multiplication est distributive par rapport à l’addition.P5- t(A.B) = tB. tA
3.5-Matrices particulières: 3.5.1-Matrice carrée:
On appelle matrice carrée d’ordre n, toute matrice A ayant n lignes et n colonnes.
nj1
ni1A a
aaaa
aaaa
aaaaaaaa
ij
nnnjn2n1
iniii2i1
2n2j2221
1n1j1211
a11, a22, a33, ......., aii, ........., ann sont les termes de la diagonale principales de la matrice A.
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
3.5.2-Matrice diagonale: On appelle matrice diagonale d’ordre n, toute matrice dont les éléments en dehors de sa diagonale principale sont nuls : c’est à dire , aij = 0 si i j.
A
a
a
a
a
a
11
22
33
ii
nn
3.5.3-Matrice triangulaires: a- On appelle matrice triangulaire supérieure, toute matrice carrée dans laquelle les éléments situés au dessous de la diagonale principale sont nuls; c’est à dire:
A
a a a a
a a a
a a
a
a1 i n
1 j na
11 12 1j 1n
22 2j 2n
ii in
nn
ij ij
tel que si i j0
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
b- On appelle matrice triangulaire inférieure, toute matrice carrée dans laquelle les éléments situés au dessus de la diagonale principale sont nuls; c’est à dire:
A
a
a a
a
a a a
a1 i n
1 j na
11
21 22
ii
n1 n2 nn
ij ij
tel que si i j0
Propriété: Si A et B sont deux matrices triangulaires supérieures (respectivement inférieures) d’ordre n alors, (A + B) et (A.B) sont aussi des matrices triangulaires supérieures (respectivement inférieures).
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
100
150
012
200
820
311
300
970
323
200
38100
202
Exemples:1) Soient les matrices triangulaires supérieures A et B suivantes:
et B =
Calculer : (A + B) et (A.B).
et A.B =
Les matrices A + B et A.B sont bien des matrices triangulaires supérieures
A=
A + B =
3.5.4-Matrice unitaire:
On appelle matrice unitaire, une matrice diagonale d’ordre n notée In dont les éléments
qui forment la diagonale principale sont unitaires : c’est à dire , aii = 1.
A
1
1
1
1
1
Si A est une matrice carrée d’ordre n : A.In = In.A = A
A et I
1 6 0 2
1 4 1 5
3 3 9 6
4 2 7 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
4
1724
6933
5141
2061
A
Exemple:Soit A une matrice carrée d’ordre 4 et I4 la matrice unitaire d’ordre 4 tel que:
Calculer A.I et I.A.
A.I = I .A =
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
A
110
151
012
110
151
012
3.5.5-Matrice symétrique: On dit que la matrice carrée a d’ordre n est symétrique si tA = A, c’est à dire que :
aij = aji avec, i = 1,2,3,......,n et j = 1,2,3,......,n
Exemple:Soit A une matrice tel que:
; donner la matrice tA, que peut-on déduire?
tA =
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
Propriétés:
P1- Si A et B sont deux matrices symétriques, alors (A+B) est une matrice symétrique.En effet: on sait que tA = A et tB = B et que t(A+B) = tA + tB = A + B.Donc (A + B) est une matrice symétrique.P2- Si A est une matrice symétrique et IR, alors (A) est une matrice symétrique.En effet: on sait que tA = A et que tA = tA = A.Donc (A) est une matrice symétrique.P3- Si A et B sont deux matrices symétriques, la matrice (A.B) n’est pas nécessairement une matrice symétrique.En effet: t(AB) = tB .tA = B.A, or en général A.B B.A
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 21 31
12 22 32
13 23 33
a a a
a a a
a a a
et t
a a a
a a a
a a a
A
Or t Aa a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a
a a
a a
a a a
A
11 21 31
12 22 32
13 23 33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 11
22 22
33 33
11 22 33
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
4.5.6-Matrice antisymétrique:On dit que la matrice carrée A est antisymétrique si tA = -A, c’est à dire que: aij = -aji
Remarque:Soit A une matrice carrée d’ordre 3 donnée comme suit:
A est antisymétrique si tA = -A tA + A = O3.
A=
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P2- Si A et B sont deux matrices antisymétriques, alors la matrice (A.B) n’est pas forcément antisymétrique.En effet: t(A.B) = tB .tA + = (-B) (-A) = (B.A) -(A.B) généralement
Aa a
a a
11 12
21 22
II- Déterminants des matrices:A chaque matrice A on fait correspondre un nombre réel, appelé déterminant de la matrice, et noté det A, ou encore A . Ce nombre s’obtient à partir des règles de calculs suivantes:
1- Déterminant d’ordre 2:Soit la matrice A donnée comme suit:
Le déterminant de A est donné de la façon suivante:
= a11.a22 - a12.a21
det A = 11 12
21 22
a a
a a
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
A
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a1 i n
1 j n
11 12 1j 1n
21 22 2j 2n
i1 i2 ii in
n1 n2 nj nn
ij
Exemple:
Soit la matrice A=
2- Déterminant d’ordre n:Soit A une matrice d’ordre n tel que:
43
12; calculer son déterminant.
Det A = 11
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Définitions:
D1- On appelle mineur de l’élément aij, le déterminant Mij d’ordre (n-1) obtenu à
partir du déterminant de A en supprimant dans ce déterminant la ième ligne et la jème colonne.
Exemple:
Soit A la matrice tel que: A =
110
151
012
Déterminer les mineurs M32, M22, et M33
11
02
10
0251
12
M32 =
= 2 M22 = = 2 M33 = = 9
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
D2- On appelle cofacteur de l’élément aij, le nombre Aij = (-1)i+j Mij
Exemple:
Pour la même matrice A, déterminer les cofacteurs A32 et A21
A32 = (-1)3+2 M32= -2 A21 = (-1)1+2 M21= 1
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ijj
n
ija A
1
iji
n
ija A
1
D3- Le déterminant d’une matrice carrée A d’ordre n est égal à la somme des produits de chaque élément d’une ligne (ou d’une colonne) par son cofacteur.
Si on développe le déterminant suivant la ligne n° i, on a :
det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ai3Ai3 +........... + ainAin =
Si on développe le déterminant suivant la colonne n° j, on a : det A = a1jA1j + a2jA2j + a3jA3j +........... + anjAnj =
Remarques:R1- Les deux relations précédentes sont identiques. Le déterminant d’ordre n ne change pas de valeur quelle que soit la ligne ou la colonne suivant laquelle le développement est effectué.R2- Dans chaque cas, on est ramené au calcul de n déterminants d’ordre (n-1). On applique la même règle pour calculer chacun d’eux et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on arrive à des déterminants d’ordre 2.R3- Pour le calcul de déterminant d’une matrice, il convient de choisir la ligne ou la colonne qui contient un maximum de termes nuls (des zéros).
EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
110
151
012
10
51
10
12 51
12
11
1510
11
Exemple:Soit la matrice A tel que:
calculer la déterminant de A en le développant suivant:1) la 3ème colonne.2) la 1ère ligne.Que peut-on conclure?
1.det A = 0 - 1 + 1
2. det A = 2
+ 0 = -13
A =
=-13
-(-1)
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iii
n
a
1
7000
0300
0010
0001
A
Cas particuliers :le déterminant d’une matrice d’ordre n diagonale, diagonale supérieure, diagonale inférieure est égal au produit des termes constituant sa diagonale principale.
Det A = a11.a22.a33. ..............ann =
Exemple:Soit A une matrice diagonale d’ordre 4 tel que: Calculer le déterminant de .
Det A = 21
• 3- Propriétés:• P1- Si les éléments d’une colonne dans une matrice sont
tous nuls, alors le déterminant de cette matrice est nul.• P2- Si dans une matrice une colonne est multipliée par un
scalaire , alors son déterminant est multiplié par ce même scalaire.
• Application:
• A = et B =
• Calculer les déterminants des matrices A et B:• Det A = -13 et det B = -26
110
151
012
110
152
014
Remarques:R1- Si A est une matrice d’ordre 3, alors la matrice A =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
a pour déterminant: det (A) = det A = 3 det A.
R2- Généralement, si A est une matrice d’ordre n, alors: det (A) = n det A
• Propriété: Un déterminant ne change pas de valeur si aux éléments d’une colonne on ajoute les éléments d’une autre colonne multipliés par le même nombre
• • Exemple:• Calculer les déterminants des matrices A et B suivantes:
• A = et B =
• • Que peut-on déduire?• Det A = det B = -4
110
152
011
110
130
011
Chapitre II Systèmes linéaires
x
Chapitre III Diagonalisation
Exercices d’applicationExercices d’application
Corrigé des exercices
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