Coupled Surface and Saturated/Unsaturated
Ground Water Flow in Heterogeneous Media
Heiko Berninger∗, Ralf Kornhuber, and Oliver Sander
Université de Genève∗, Freie Universität Berlin and Matheon
Multiscale Simulation & Analysis in Energy and the Environment,
Radon Special Semester 2011
Outline
Richards equation with homogeneous equations of state: Berninger, Kh. & Sander 10
• solver friendly finite element discretization: linear efficiency and robustness
Heterogeneous equations of state: Thesis of Berninger 07, Berninger, Kh. & Sander 07,09,...
• nonlinear domain decomposition: linear efficiency and robustness
Coupled Richards and shallow water equations: Ern et al. 06, Sochala et al. 09, Dawson 08, Berninger et al. 11
• continuous of mass flow and discontinuous pressure (clogging)
• mass conserving discretization (discontinuous Galerkin, ...) Dedner et al. 09, ...
• Steklov–Poincaré formulation and substructuring
• numerical experiments
All computations made with Dune Bastian, Gräser, Sander, ...
Outline
Richards equation with homogeneous equations of state: Berninger, Kh. & Sander 10
• solver friendly finite element discretization: linear efficiency and robustness
Heterogeneous equations of state: Thesis of Berninger 07, Berninger, Kh. & Sander 07,09,...
• nonlinear domain decomposition: linear efficiency and robustness
Coupled Richards and shallow water equations: Ern et al. 06, Sochala et al. 09, Dawson 08, Berninger et al. 11
• continuous of mass flow and discontinuous pressure (clogging)
• mass conserving discretization (discontinuous Galerkin, ...) Dedner et al. 09
• Steklov–Poincaré formulation and substructuring
• numerical experiments
All computations made with Dune Bastian, Gräser, Sander, ...
Runoff Generation for Lowland Areas
γE
γSP
saturated
γD
h
γSP
γE
vadose
mathematical challenges:
• saturated/unsaturated ground water flow: non-smooth degenerate pdesl Signorini-type bc (seepage face)
• coupling subsurface and surface water: heterogeneous domain decomposition
• uncertain parameters (permeability, ...): stochastic pdes Forster & Kh. 10, Forster 11
Saturated/Unsaturated Groundwater Flow: Richards Equation
∂
∂tθ(p) + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz)
equations of state: (Brooks & Corey, Burdine)
θ(p) =
{
θm + (θM − θm)(
ppb
)−ε
(p ≤ pb)
θM (p ≥ pb)kr(θ) =
(
θ − θmθM − θm
)3+2ε
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
saturation vs. pressure: p 7→ θ(p)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
relative permeability vs. saturation: θ 7→ kr(θ)
Saturated/Unsaturated Groundwater Flow: Richards Equation
∂
∂tθ(p) + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz)
equations of state: (Brooks & Corey, Burdine)
θ(p) =
{
θm + (θM − θm)(
ppb
)−ε
(p ≤ pb)
θM (p ≥ pb)kr(θ) =
(
θ − θmθM − θm
)3+2ε
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
saturation vs. pressure: p 7→ θ(p)
pb, ε → 0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
relative permeability vs. saturation: θ 7→ kr(θ)
Homogeneous Equations of State Alt & Luckhaus 83, Otto 97
Kirchhoff Transformation: κ(p) :=
∫ p
0
kr(θ(q)) dq =⇒ ∇κ(p) = kr(θ(p))∇p
−3 −1 0 3−4/3
−1
0
3
generalized pressure: u := κ(p)
−2 −4/3 −1 0 20
0.21
0.95
1
M(u) := θ(κ−1(u))
separation of ill–conditioning and numerical solution: semilinear variational equation
u(t) ∈ H10(Ω) :
∫
Ω
M(u)t v dx+
∫
Ω
(
K∇u−kr(M(u))̺gez)
∇v dx = 0 ∀v ∈ H10(Ω)
Solver-Friendly Discretization
lumped implicit/explicit-upwind discretization in time, finite elements Sj ⊂ H10(Ω):
un+1j ∈ Sj :
∫
Ω
ISj(M(un+1j ) v) dx+
∫
Ω
τK∇un+1j ∇v dx = ℓunj (v) ∀v ∈ Sj
equivalent convex minimization problem
uj ∈ Sj : J (uj) + φj(uj) ≤ J (v) + φj(v) ∀v ∈ Sj
quadratic energy J (v) = 12 (τK∇v,∇v) − ℓunj (v)
convex, l.s.c., proper functional φj(v) =∑
Φ(v(p)) hp =∫
ΩISj(Φ(v)) dx
nonlinear convex function Φ : R → R ∪ {+∞} with ∂Φ = M
Algebraic Solution: Monotone Multigrid Kh. 99, 02, Gräser & Kh. 07
• given iterate uνj
• fine grid smoothing:− successive 1D minimization of J + φj in direction of nodal basis functions of Sj:
1 step of nonlinear Gauss–Seidel iteration → smoothed iterate ūνj
• coarse grid correction:
− Newton linearization of M(u) at ūνj− constrain corrections to smooth regime of M
1 step of damped MMG → new iterate uν+1j
=⇒ (J + φj)(uν+1j ) ≤ (J + φj)(u
νj )
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.140
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
���
���
ūνj (p) u
M(u)
Theorem: (for V –cycle)Global convergence and asymptotic multigrid convergence ∀ −pb, ε ≥ 0 (robustness).
Algebraic Solution: Monotone Multigrid Kh. 99, 02, Gräser & Kh. 07
• given iterate uνj
• fine grid smoothing:− successive 1D minimization of J + φj in direction of nodal basis functions of Sj:
1 step of nonlinear Gauss–Seidel iteration → smoothed iterate ūνj
• coarse grid correction:
− Newton linearization of M(u) at ūνj− constrain corrections to smooth regime of M
1 step of damped MMG → new iterate uν+1j
=⇒ (J + φj)(uν+1j ) ≤ (J + φj)(u
νj )
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.140
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
���
���
ūνj (p) u
M(u)
Signorini condition
0
Theorem: (for V –cycle)Global convergence and asymptotic multigrid convergence ∀ −pb, ε ≥ 0 (robustness).
Solver–Friendly Discretization
• Kirchhoff transformation
• discretization: discrete minimization problem for uj
• algebraic solution by monotone multigrid (descent method!)
• inverse discrete Kirchhoff transformation
Solver–Friendly Discretization
• Kirchhoff transformation: u = κ(p)
• discretization: discrete minimization problem for uj
• algebraic solution by monotone multigrid (descent method!)
• inverse discrete Kirchhoff transformation
Solver–Friendly Discretization
• Kirchhoff transformation: u = κ(p)
• discretization: discrete minimization problem for uj
• algebraic solution by monotone multigrid (descent method!)
• inverse discrete Kirchhoff transformation
Solver–Friendly Discretization
• Kirchhoff transformation: u = κ(p)
• discretization: discrete minimization problem for uj
• algebraic solution by monotone multigrid
• inverse discrete Kirchhoff transformation
Solver–Friendly Discretization
• Kirchhoff transformation: u = κ(p)
• discretization: discrete minimization problem for uj
• algebraic solution by monotone multigrid
• discrete inverse Kirchhoff transformation: pj = Ij(κ−1(uj))
Reinterpretation and Convergence Analysis Berninger, Kh. & Sander 10
reinterpretation in terms of physical variables:
inexact finite element discretization with special quadrature points
convergence properties:
generalized variables: uj → u and M(uj) → M(u) in H1(Ω)
physical variables pj → p and θj(pj) = Ij (M(uj)) → θ(p) in L2(Ω)
Reinterpretation and Convergence Analysis Berninger, Kh. & Sander 10
reinterpretation in terms of physical variables:
inexact finite element discretization with special quadrature points
convergence properties:
generalized variables: uj → u and M(uj) → M(u) in H1(Ω)
physical variables pj → p and θj(pj) = Ij (M(uj)) → θ(p) in L2(Ω)
Experimental Order of L2-Convergence
model problem: time discretized Richards equation without gravity
physical parameters: Ω = (0, 2)× (0, 1), sandy soil → ε, θm, θM , pb, n
triangulation; uniformly refined triangulation T11 (8 394 753 nodes)
1e-07
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
0.0001 0.001 0.01 0.1 1
L2-e
rror
mesh size h
1e-07
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
0.0001 0.001 0.01 0.1 1
L2-e
rror
mesh size h
generalized pressure u physical pressure p
Experimental Order of H1-Convergence
model problem: time discretized Richards equation without gravity
physical parameters: Ω = (0, 2)× (0, 1), sandy soil → ε, θm, θM , pb, n
triangulation; uniformly refined triangulation T11 (8 394 753 nodes)
0.001
0.01
0.1
1
10
0.0001 0.001 0.01 0.1 1
H1-e
rror
mesh size h
0.001
0.01
0.1
1
10
0.0001 0.001 0.01 0.1 1
H1-e
rror
mesh size h
generalized pressure u physical pressure p
Evolution of a Wetting Front in a Porous Dam
physical parameters: Ω = (0, 2)× (0, 1), sand → ε, θm, θM , pb, n
triangulation; uniformly refined triangulation T4 (216 849 nodes)
initial wetting front wetting front for t = 100s pressure pj
Efficiency and Robustness of Monotone Multigrid (MMG)
pre- and postsmoothing steps: V(3,3) cycle
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
from unsaturated... ...to saturated soil
t = 0 convergence rates ρ over time t t = 250s
Robustness with respect to Soil Parameters
10−2
10−1
100
1010
0.2
0.4
0.6
0.8
1
10−2
10−1
100
1010
0.2
0.4
0.6
0.8
1
variation of ε: variation of −pb:
ρave over ε ρave over −pb
Part II: Heterogeneous Equations of State
Spatially varying equations of state: no global Kirchhoff transformation!
Ω =⋃N
i=1Ωi
θ = θ(x, p) = θi(p) ∀x ∈ Ωi
kr = kr(x, θ) = kri(θ) ∀x ∈ Ωi
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Jumping soil parameters ε, pbnonlinear domain decomposition: Berninger & Kh. 07, Berninger 07, ...
physical transmission conditions: continuity of p and normal flux v · n
generalized transmission conditions: κ−1i (ui) = κ−1j (uj) and ∇ui = ∇uj
nonlinear Dirichlet-Neumann and Robin methods
efficient and robust subdomain solvers: monotone multigrid
Part II: Heterogeneous Equations of State
Spatially varying equations of state: no global Kirchhoff transformation!
Ω =⋃N
i=1Ωi
θ = θ(x, p) = θi(p) ∀x ∈ Ωi
kr = kr(x, θ) = kri(θ) ∀x ∈ Ωi
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Jumping soil parameters ε, pbnonlinear domain decomposition: Berninger & Kh. 07, Berninger 07, ...
physical transmission conditions: continuity of p and normal flux v · n
generalized transmission conditions: κ−1i (ui) = κ−1j (uj) and ∇ui = ∇uj
nonlinear Dirichlet-Neumann and Robin methods
efficient and robust subdomain solvers: monotone multigrid
Solver–Friendly (?) Discretization
• transmission problem
• local Kirchhoff transformation
• discretization: discrete nonlinear transmission problem
• algebraic solution by domain decomposition (fast local solvers!)
• local inverse discrete Kirchhoff transformation
Solver–Friendly (?) Discretization
• transmission problem
• local Kirchhoff transformation
• discretization: discrete nonlinear transmission problem
• algebraic solution by domain decomposition (fast local solvers!)
• local inverse discrete Kirchhoff transformation
Solver–Friendly (?) Discretization
• transmission problem
• local Kirchhoff transformation
• discretization: discrete nonlinear transmission problem
• algebraic solution by domain decomposition (fast local solvers!)
• local inverse discrete Kirchhoff transformation
Solver–Friendly (?) Discretization
• transmission problem
• local Kirchhoff transformation
• discretization: discrete nonlinear transmission problem
• algebraic solution by domain decomposition (fast local solvers!)
• local inverse discrete Kirchhoff transformation
Solver–Friendly (?) Discretization
• transmission problem
• local Kirchhoff transformation
• discretization: discrete nonlinear transmission problem
• algebraic solution by domain decomposition (fast local solvers!)
• local inverse discrete Kirchhoff transformation
Solver–Friendly (?) Discretization
• transmission problem
• local Kirchhoff transformation
• discretization: discrete nonlinear transmission problem
• algebraic solution by domain decomposition (fast local solvers!)
• local inverse discrete Kirchhoff transformation
Nonoverlapping Domain Decomposition Problem
Richards equation (time-discretized) in two different soils:
θ(x, p) = θi(p), k(x, p) = ki(p) ∀x ∈ Ωi, i = 1, 2,
θi monotonically increasing and Lipschitz, ki ∈ L∞(R), ki ≥ c > 0.
Find p on Ω, p|Ωi = pi ∈ H1(Ωi), i = 1, 2, p|∂Ω = 0, such that
θi(pi)− div(ki(pi)∇pi) = f on Ωi
p1 = p2 on Γ
k1(p1)∇p1 · n = k2(p2)∇p2 · n on Γ
Ω1Ω2
Γ
n
Nonoverlapping Domain Decomposition Problem
Richards equation (time-discretized) in two different soils:
θ(x, p) = θi(p), k(x, p) = ki(p) ∀x ∈ Ωi, i = 1, 2,
θi monotonically increasing and Lipschitz, ki ∈ L∞(R), ki ≥ c > 0.
Find p on Ω, p|Ωi = pi ∈ H1(Ωi), i = 1, 2, p|∂Ω = 0, such that
θi(pi)− div(ki(pi)∇pi) = f on Ωi
p1 = p2 on Γ
k1(p1)∇p1 · n = k2(p2)∇p2 · n on Γ
Ω1Ω2
Γ
n
Kirchhoff transformation (different superposition operators on subdomains):
κi(pi) =
∫ pi
0
ki(q) dq = ui
Transformations in each Subdomain
Properties:
− κ′i = ki a.e. =⇒ κi strictly increasing, Lipschitz and inverse Lipschitz
− c2∫
Ωi|∇pi|
2 ≤∫
Ωi|∇ui|
2 ≤ ‖ki‖2∞
∫
Ωi|∇pi|
2 ⇒ ‖ui|Γ‖H1/200 (Γ)∼ ‖pi|Γ‖H1/200 (Γ)
Transformed problem:
Find u on Ω, u|Ωi = ui ∈ H1(Ωi), i = 1, 2, u|∂Ω = 0, such that
Mi(ui)−∆ui = f on Ωi
κ−11 (u1) = κ−12 (u2) on Γ
∂u1∂n
=∂u2∂n
on Γ
Analysis by Steklov–Poincaré Operators
• For given Dirichlet-value η ∈ Λ = H1/200 (Γ) find wi ∈ H
1(Ωi), wi|∂Ω = 0, with
Mi(wi)−∆wi = f in Ωi,
wi = κi(η) on Γ
and set Siη =∂wi∂ni
∈ Λ′, the Neumann-value.
Analysis by Steklov–Poincaré Operators
• For given Dirichlet-value η ∈ Λ = H1/200 (Γ) find wi ∈ H
1(Ωi), wi|∂Ω = 0, with
Mi(wi)−∆wi = f in Ωi,
wi = κi(η) on Γ
and set Siη =∂wi∂ni
∈ Λ′, the Neumann-value.
• With the Dirichlet-to-Neumann-maps or Steklov–Poincaré operators S1, S2:
Find λ ∈ Λ such that
Sλ = S1λ+ S2λ =∂u1∂n1
+∂u2∂n2
= 0 in Λ′
is equivalent to the substructuring problem.
Nonlinear Dirichlet–Neumann Method
With damping parameter ϑ ∈ (0, 1) and given iterate λ0 on Γ :
M1(uk+11 )−∆u
k+11 = f on Ω1
uk+11 = 0 on ∂Ω1 ∩ ∂Ω
uk+11 = κ1(λk) on Γ
M2(uk+12 )−∆u
k+12 = f on Ω2
uk+12 = 0 on ∂Ω2 ∩ ∂Ω
∂uk+12∂n =
∂uk+11∂n on Γ
λk+1 := κ−12 (ϑuk+12 |Γ + (1− ϑ)κ2(λ
k))
Nonlinear Dirichlet–Neumann Method
With damping parameter ϑ ∈ (0, 1) and given iterate λ0 on Γ :
M1(uk+11 )−∆u
k+11 = f on Ω1
uk+11 = 0 on ∂Ω1 ∩ ∂Ω
uk+11 = κ1(λk) on Γ
M2(uk+12 )−∆u
k+12 = f on Ω2
uk+12 = 0 on ∂Ω2 ∩ ∂Ω
∂uk+12∂n =
∂uk+11∂n on Γ
λk+1 := κ−12 (ϑuk+12 |Γ + (1− ϑ)κ2(λ
k))
For Mi = 0 (stationary case): Convergence in 1D for small ϑ if 0 < c ≤ κ′i(·) ≤ C.
Stationary Richards Equation: Strongly Heterogeneous Case
− domain: unit Yin Yang Ω = Ω1 ∪ Ω2
− hydrological data: USDA soil texture triangle (Maidment)
Ω1 (grey clay): ε2 = 0.165, pb,2 = −0.373 [m],
K1 = 1.67 · 10−7 [m/s]
Ω2 (white sand): ε1 = 0.694, pb,1 = −0.073 [m],
K2 = 6.54 · 10−5 [m/s]
− Right hand side:
source (f1 = 5 · 10−5) in grey circle
sink (f2 = −2.5 · 10−3) in white circle
− no gravity term
Ω1
Ω2
− discretization: uniformly refined triangulations T0 – T7 (938 000 nodes)
Solution
Physical pressure p:
Ranges: p1 ∈ [−56.1, 0.0] (clay)
p2 ∈ [−36.2, 3.0] (sand)pi smooth across pi = pb,i
p nonsmooth across Γ
Comparison of Nonlinear and Linear Dirichlet–Neumann Method
• linear case: mesh-independence for sufficiently small damping parameter (proof)
• nonlinear case:
(i) mesh-independence for sufficiently small damping parameter (proof in 1D)
(ii) numerical mesh-independence (observed in 2D)
(iii) mildly heterogeneous data:much damping (ϑopt ≈ 0.17) needed for acceptable optimal rates ρopt ≈ 0.77
(iv) strongly heterogeneous data:little damping (ϑopt ≈ 0.85) needed for good optimal rates ρopt ≈ 0.15
• general observation:jumping diffusion coefficients K1/K2 ≫ 1 seem to improve convergence
Nonlinear Robin Method Gustave Robin (1855–1897)
With acceleration parameters γ1, γ2 > 0 and given u02 :
M1(uk+11 )−∆u
k+11 = f on Ω1
uk+11 = 0 on ∂Ω1 ∩ ∂Ω
∂uk+11∂n + γ1κ
−11 (u
k+11 ) =
∂uk2∂n + γ1κ
−12 (u
k2) on Γ
M2(uk+12 )−∆u
k+12 = f on Ω2
uk+12 = 0 on ∂Ω2 ∩ ∂Ω
∂uk+12∂n − γ2κ
−12 (u
k+12 ) =
∂uk+11∂n − γ2κ
−11 (u
k+11 ) on Γ
Nonlinear Robin Method Gustave Robin (1855–1897)
With acceleration parameters γ1, γ2 > 0 and given u02 :
M1(uk+11 )−∆u
k+11 = f on Ω1
uk+11 = 0 on ∂Ω1 ∩ ∂Ω
∂uk+11∂n + γ1κ
−11 (u
k+11 ) =
∂uk2∂n + γ1κ
−12 (u
k2) on Γ
M2(uk+12 )−∆u
k+12 = f on Ω2
uk+12 = 0 on ∂Ω2 ∩ ∂Ω
∂uk+12∂n − γ2κ
−12 (u
k+12 ) =
∂uk+11∂n − γ2κ
−11 (u
k+11 ) on Γ
convergence in 1D if 0 < c ≤ κ′i(·) ≤ C andMi : R → R Lipschitz continuous and monotonically increasing, i = 1, 2.
Properties of the Linear Robin Method Lions 90, Gander 04, Liu 06, Dubois 07
• no mesh-independence in general. O.K.
• convergence speed can be increased by a good choice of Robin parameters. O.K.
• for γ1 = γ2 = γ one has the asymptotic behaviour
γopt = O(h−1/2) and ρopt = 1−O(h
1/2). O.K.
• for possibly different γ1 and γ2 one has the improved asymptotic behaviour
γopt = O(h−1/4) and ρopt = 1−O(h
1/4). quite O.K.
• for possibly different γ1 and γ2 and jumping diffusion coefficients K1/K2 > 1
one can even obtain ρopt = 1/µ−O(h1/4/µ), i.e. mesh-independence. O.K.
• optimal Robin tends to undamped Dirichlet-Neumann for K1/K2 → ∞ O.K.
Comparison of Nonlinear and Linear Robin Method
• no mesh-independence in general. O.K.
• convergence speed can be increased by a good choice of Robin parameters. O.K.
• for γ1 = γ2 = γ one has the asymptotic behaviour
γopt = O(h−1/2) and ρopt = 1−O(h
1/2). O.K.
• for possibly different γ1 and γ2 one has the improved asymptotic behaviour
γopt = O(h−1/4) and ρopt = 1−O(h
1/4). quite O.K.
• for possibly different γ1 and γ2 and jumping diffusion coefficients K1/K2 > 1
one can even obtain ρopt = 1/µ−O(h1/4/µ), i.e. mesh-independence. O.K.
• optimal Robin tends to undamped Dirichlet-Neumann for K1/K2 → ∞ O.K.
Robustness: Dirichlet–Neumann Berninger, Kh. & Sander 11
problem: unit Yin Yang problem with homogeneous soil (sand / sand)
10−2
10−1
100
1010
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−101
−100
−10−1
−10−20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
variation of ε: variation of pb:
ρave over ε ρave over pb
Conclusion of Numerical Experiments Berninger, Kh. & Sander 09
Nonlinear Dirichlet-Neumann and Robin methods
behave surprisingly similar as in the linear case.
Part III: Coupling of Ground and Surface Water
non-moving surface water: compartment model
mass conservation: m′(t) =∫
γD∪γSPv(x, p) · n dσ
hydrostatic pressure: p = h(m)ρg on γD, Signorini b.c. on γSP ∪ γE
γE
γSP
saturated
γD
h
γSP
γE
vadose
discretization: explicit Euler method
Compartment Model with Heterogeneous Dam Berninger 07
flow of water through into a 2D-domain
with 4 different soils and surface water:
− soil types (from top to bottom):
sand, loamy sand, sandy loam, loam
soil parameters: εi ∈ [0.252, 0.694],
Ki ∈ [3.67 · 10−6, 6.54 · 10−5],
pb,i ∈ [−0.147,−0.073], i = 1, 2, 3, 4
− initial condition: p0 = −10 (dry soil) and surface water
− boundary conditions: dynamic Dirichlet/Signorini and surface water on the top
−v · n = 3 · 10−4 [m/s] on the left and v · n = 0 elsewhere
− discretization: implicit/explicit Euler (time step size 10 [s]), FE (h = 1/24)
− domain decomposition: nonlinear Robin method (γ = 10−4)
− local solver: monotone multigrid (3 levels, accuracy 10−12 in H1-norm w.r.t. u)
Coupling of Richards Equation with the Shallow Water Equations
(R) θ(p)t + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz) on Ω ⊂ Rd
(S1) mass conservation: ht + div q = gS on Γ
(S2) momentum conservation: qt + div (q2/h+ gh2/2) = 0 on Γ
coupling: mass flux gS = v · n hydrostatic pressure: p = ̺gh on Γ
Γ
Ω
Coupling of Richards Equation with the Shallow Water Equations
(R) θ(p)t + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz) on Ω ⊂ Rd
(S1) mass conservation: ht + div q = gS on Γ
(S2) momentum conservation: qt + div (q2/h+ gh2/2) = 0 on Γ
coupling: mass flux: gS = v · n hydrostatic pressure: p = ̺gh on Γ
Γ
Ω
Coupling of Richards Equation with the Shallow Water Equations
(R) θ(p)t + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz) on Ω ⊂ Rd
(S1) mass conservation: ht + div q = gS on Γ
(S2) momentum conservation: qt + div (q2/h+ gh2/2) = 0 on Γ
coupling: mass flux: gS = v · n hydrostatic pressure: p = ̺gh on Γ
Γ
Ω
Coupling of Richards Equation with the Shallow Water Equations
(R) θ(p)t + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz) on Ω ⊂ Rd
(S1) mass conservation: ht + div q = gS on Γ
(S2) momentum conservation: qt + div (q2/h+ gh2/2) = 0 on Γ
coupling: mass flux: gS = v ·n discont. pressure: p = ̺gh+α div(q/h) on Γ
Jäger–Mikelić condition (Navier–Stokes/Darcy):
pD = pN − αn ·∂uN∂n on Γ and n ·
∂uN∂n = O(ε), ε = char. pore size.
shallow water equations on Γ: n · ∂uN∂n ≈∂∂zuz = −
∂∂xux −
∂∂yuy = −div(q/h).
Coupling of Richards Equation with the Shallow Water Equations
(R) θ(p)t + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz) on Ω ⊂ Rd
(S1) mass conservation: ht + div q = gS on Γ
(S2) momentum conservation: qt + div (q2/h+ gh2/2) = 0 on Γ
coupling: mass flux: gS = v · n discont. pressure: p = ̺gh+ αv · n on Γ
clogging:
pressure discontinuity due to a thin and nearly impermeable river bed
with thickness ε and conductivity Kε. Darcy’s law provides:
v = −Kε∇peff := −Kε̺gh− p
εn , α =
ε
Kε(leakage coefficient)
Formal Steklov–Poincaré Formulation Quarteroni & Valli 99, Deparis et al. 05, ...
coupled problem: Sochala et al. 09, Dawson 08, ...
n θ(p)t + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz) on Ω× [0, T ]
ht + div q = gS, qt + div (q2/h+ gh2/2) = 0 on Γ× [0, T ]
gS = v · n, p = ̺gh on Γ× [0, T ]
Dirichlet to Neumann maps:
subsurface: h 7→ SΩ(h) = v · n
surface: h 7→ SΓ(h) = − div q(h)
Steklov–Poincaré formulation: ht = SΩ(h) + SΓ(h) on Γ× [0, T ]
Formal Steklov–Poincaré Formulation Quarteroni & Valli 99, Deparis et al. 05, ...
coupled problem: Sochala et al. 09, Dawson 08, ...
n θ(p)t + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz) on Ω× [0, T ]
ht + div q = gS, qt + div (q2/h+ gh2/2) = 0 on Γ× [0, T ]
gS = v · n, p = ̺gh on Γ× [0, T ]
Dirichlet to Neumann maps:
subsurface: h 7→ SΩ(h) = v · n
surface: h 7→ SΓ(h) = − div q(h)
Steklov–Poincaré formulation: ht = SΩ(h) + SΓ(h) on Γ× [0, T ]
Formal Steklov–Poincaré Formulation Quarteroni & Valli 99, Deparis et al. 05, ...
coupled problem: Sochala et al. 09, Dawson 08, ...
n θ(p)t + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz) on Ω× [0, T ]
ht + div q = gS, qt + div (q2/h+ gh2/2) = 0 on Γ× [0, T ]
gS = v · n, p = ̺gh on Γ× [0, T ]
Dirichlet to Neumann maps:
subsurface: h 7→ SΩ(h) = v · n
surface: h 7→ SΓ(h) = − div q(h)
Steklov–Poincaré formulation: ht = SΩ(h) + SΓ(h) on Γ× [0, T ]
Formal Steklov–Poincaré Formulation Quarteroni & Valli 99, Deparis et al. 05, ...
coupled problem: Sochala et al. 09, Dawson 08, ...
n θ(p)t + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz) on Ω× [0, T ]
ht + div q = gS, qt + div (q2/h+ gh2/2) = 0 on Γ× [0, T ]
gS = v · n, p = ̺gh on Γ× [0, T ]
Dirichlet to Neumann maps:
subsurface: h 7→ SΩ(h) = v · n
surface: h 7→ SΓ(h) = − div q(h)
Steklov–Poincaré formulation: ht = SΩ(h) + SΓ(h) on Γ× [0, T ]
Iterative SubstructuringDirichlet–Neumann iteration:
hν+1t − SΓ(hν+1) = SΩ(h
ν), on Γ× [0, T ], k = 1, . . . , N
local Dirichlet–Neumann iteration:
hν+1k,t − SΓ(hν+1k ) = SΩ(h
νk), h
0k = h
ν∗
k−1 on Γ× [tk−1, tk], k = 1, . . . , N
Dirichlet–Neumann time stepping:
hk,t + SΓ(hk) = SΩ(hk−1), on Γ× [tk−1, tk], k = 1, . . . , N
other substructuring methods: Neumann–Dirichlet, Neumann–Neumann, ...
Neumann–Dirichlet: hν+1t − SΩ(hν+1) = SΓ(h
ν), Neumann–Neumann, ...
discretization: different schemes, time steps, grids, ...
Iterative SubstructuringDirichlet–Neumann iteration:
hν+1t − SΓ(hν+1) = SΩ(h
ν), on Γ× [0, T ], k = 1, . . . , N
local Dirichlet–Neumann iteration:
hν+1k,t − SΓ(hν+1k ) = SΩ(h
νk), h
0k = h
ν∗
k−1 on Γ× [tk−1, tk], k = 1, . . . , N
Dirichlet–Neumann time stepping:
hk,t + SΓ(hk) = SΩ(hk−1), on Γ× [tk−1, tk], k = 1, . . . , N
other substructuring methods: Neumann–Dirichlet, Neumann–Neumann, ...
Neumann–Dirichlet: hν+1t − SΩ(hν+1) = SΓ(h
ν), Neumann–Neumann, ...
discretization: different schemes, time steps, grids, ...
Iterative SubstructuringDirichlet–Neumann iteration:
hν+1t − SΓ(hν+1) = SΩ(h
ν), on Γ× [0, T ], k = 1, . . . , N
local Dirichlet–Neumann iteration:
hν+1k,t − SΓ(hν+1k ) = SΩ(h
νk), h
0k = h
ν∗
k−1 on Γ× [tk−1, tk], k = 1, . . . , N
Dirichlet–Neumann time stepping:
hk,t − SΓ(hk) = SΩ(hk−1), on Γ× [tk−1, tk], k = 1, . . . , N
other substructuring methods: Neumann–Dirichlet, Neumann–Neumann, ...
Neumann–Dirichlet: hν+1t − SΩ(hν+1) = SΓ(h
ν), Neumann–Neumann, ...
discretization: different schemes, time steps, grids, ...
Iterative SubstructuringDirichlet–Neumann iteration:
hν+1t − SΓ(hν+1) = SΩ(h
ν), on Γ× [0, T ], k = 1, . . . , N
local Dirichlet–Neumann iteration:
hν+1k,t − SΓ(hν+1k ) = SΩ(h
νk), h
0k = h
ν∗
k−1 on Γ× [tk−1, tk], k = 1, . . . , N
Dirichlet–Neumann time stepping:
hk,t − SΓ(hk) = SΩ(hk−1), on Γ× [tk−1, tk], k = 1, . . . , N
other substructuring methods:
Neumann–Dirichlet: hν+1 = S−1Ω (hνt − SΓ(h
ν)), Neumann–Neumann, ...
discretization: different schemes, time steps, grids, ...
Iterative SubstructuringDirichlet–Neumann iteration:
hν+1t − SΓ(hν+1) = SΩ(h
ν), on Γ× [0, T ], k = 1, . . . , N
local Dirichlet–Neumann iteration:
hν+1k,t − SΓ(hν+1k ) = SΩ(h
νk), h
0k = h
ν∗
k−1 on Γ× [tk−1, tk], k = 1, . . . , N
Dirichlet–Neumann time stepping:
hk,t − SΓ(hk) = SΩ(hk−1), on Γ× [tk−1, tk], k = 1, . . . , N
other substructuring methods:
Neumann–Dirichlet: hν+1 = S−1Ω (hνt − SΓ(h
ν)), Neumann–Neumann, ...
discretization: different schemes, time steps, grids, ...
Coupling Conditions Revisited
continuous pressure:
Dirichlet conditions: pν+1Γ (t) = ρghν(t)
regularity gap: hν(t) ∈ L∞(Γ) 6⊂ H1/2(Γ)
clogging: p = ρgh+ αv · n
Robin condition in weak form:
∫
Γ
(pν+1 − ρghν)v dσ
well-defined: hν(t) ∈ L1(Γ) ∩ L∞(Γ) ⊂ H1/2(Γ)′
=⇒ Robin-Neumann iteration
Coupling Conditions Revisited
continuous pressure:
Dirichlet conditions: pν+1Γ (t) = ρghν(t)
regularity gap: hν(t) ∈ L∞(Γ) 6⊂ H1/2(Γ) =⇒ pν+1(t) 6∈ H1(Ω)
clogging: p = ρgh+ αv · n
Robin condition in weak form:
∫
Γ
(pν+1 − ρghν)v dσ
well-defined: hν(t) ∈ L1(Γ) ∩ L∞(Γ) ⊂ H1/2(Γ)′
=⇒ Robin-Neumann iteration
Coupling Conditions Revisited
continuous pressure:
Dirichlet conditions: pν+1Γ (t) = ρghν(t)
regularity gap: hν(t) ∈ L∞(Γ) 6⊂ H1/2(Γ) =⇒ pν+1(t) 6∈ H1(Ω)
discontinuous pressure (clogging): pν+1 = ρghν + αvν+1 · n
Robin condition in weak form:
∫
Γ
(pν+1 − ρghν)v dσ
well-defined: hν(t) ∈ L∞(Γ) ⊂ H1/2(Γ)′
=⇒ Robin-Neumann iteration
Coupling Conditions Revisited
continuous pressure:
Dirichlet conditions: pν+1Γ (t) = ρghν(t)
regularity gap: hν(t) ∈ L∞(Γ) 6⊂ H1/2(Γ) =⇒ pν+1(t) 6∈ H1(Ω)
discontinuous pressure (clogging): pν+1 = ρghν + αvν+1 · n
weak formulation of Robin condition: α−1(
〈pν+1, v〉Γ − (ρghν, v)
)
Γ
well-defined: hν(t) ∈ L∞(Γ) ⊂ H1/2(Γ)′
=⇒ Robin-Neumann iteration
Coupling Conditions Revisited
continuous pressure:
Dirichlet conditions: pν+1Γ (t) = ρghν(t)
regularity gap: hν(t) ∈ L∞(Γ) 6⊂ H1/2(Γ) =⇒ pν+1(t) 6∈ H1(Ω)
discontinuous pressure (clogging): pν+1 = ρghν + αvν+1 · n
weak formulation of Robin condition: α−1(
〈pν+1, v〉Γ − (ρghν, v)
)
Γ
well-defined: hν(t) ∈ L∞(Γ) ⊂ H1/2(Γ)′
=⇒ Robin-Neumann iteration
Coupling Conditions Revisited
continuous pressure:
Dirichlet conditions: pν+1Γ (t) = ρghν(t)
regularity gap: hν(t) ∈ L∞(Γ) 6⊂ H1/2(Γ) =⇒ pν+1(t) 6∈ H1(Ω)
discontinuous pressure (clogging): pν+1 = ρghν + αvν+1 · n
weak formulation of Robin condition: α−1(
〈pν+1, v〉Γ − (ρghν, v)
)
Γ
well-defined: hν(t) ∈ L∞(Γ) ⊂ H1/2(Γ)′
Robin-Neumann iteration: hν+1t − SΓ(hν+1) = SΩ(h
ν),
Discretization of the Shallow Water Equations
spatial discretization of : ∂∂tu = S− divF(u):
uh ∈ VΓ :∂∂t
∫
Γ
uhw dσ =N∑
i=1
∫
Γi
S w − F(uh) · ∇w dσ
−
∫
∂Γi
w G(u+h ,u−
h ) · n dσ ∀w ∈ V2Γ
discontinuous Galerkin: VΓ = {v ∈ L2(Γ) | v|Γi polynomial of degree p ≥ 0}
discrete flux G(u+h ,u−
h ), u+h ,u
−
h ∈ V2Γ
time discretization by a stabilized Runge–Kutta scheme Dedner & Klöfkorn 08
Discrete Robin–Neumann Iteration
Robin boundary conditions for Richards equation:
evaluation of right hand side:
∫
Γ
hν v dσ, hν ∈ VΓ, v ∈ Sh
source term for shallow water equation: extension by zero: E : Sh|′
Γ → V′
Γ
〈E(v · n), w〉 = 〈v · n, wS〉, hierarchical decomposition w = wS + wDG
discrete mass conservation:∫
Ω
θν+1h dx+
∫
Γ
hν+1h dσ =
∫
Ω
θνh dx+
∫
Γ
hνh dσ , ν = 0, 1, . . . ,
Discrete Robin–Neumann Iteration
Robin conditions for Richards equation:
...+ α−1〈pν+1, v〉Γ = α−1(hν, v)Γ, h
ν ∈ VΓ, v ∈ Sh
source term for shallow water equation:
(v · n, v)Γ = α−1(pν+1, v)Γ − (ρgh
ν, v)Γ, pν+1h ∈ Sh, v ∈ VΓ
Discrete mass conservation:∫
Ω
θν+1h dx+
∫
Γ
hν+1h dσ =
∫
Ω
θνh dx+
∫
Γ
hνh dσ , ν = 0, 1, . . . ,
Discrete Robin–Neumann Iteration
Robin conditions for Richards equation:
...+ α−1〈pν+1, v〉Γ = α−1(hν, v)Γ, h
ν ∈ VΓ, v ∈ Sh
source term for shallow water equation:
(v · n, v)Γ = α−1
(
(pν+1, v)Γ − (ρghν, v)Γ
)
, pν+1 ∈ Sh, v ∈ VΓ
Discrete mass conservation:∫
Ω
θν+1h dx+
∫
Γ
hν+1h dσ =
∫
Ω
θνh dx+
∫
Γ
hνh dσ , ν = 0, 1, . . . ,
Discrete Robin–Neumann Iteration
Robin conditions for Richards equation:
...+ α−1〈pν+1, v〉Γ = α−1(hν, v)Γ, h
ν ∈ VΓ, v ∈ Sh
source term for shallow water equation:
(v · n, v)Γ = α−1
(
(pν+1, v)Γ − (ρghν, v)Γ
)
, pν+1 ∈ Sh, v ∈ VΓ
Discrete mass conservation:∫
Ω
θν+1 dx+
∫
Γ
hν+1 dσ =
∫
Ω
θν dx+
∫
Γ
hν dσ + inflow− outflow
Numerical Results: Supercritical Surface Flow over Dry Soil
soil: sandy soil, α = ρgL−1, L = 10−5s−1 (Wiese & Nützmann 09)
problem: p(0) = −20 Pa, h(0) = 10m, q(0) = 10m2s−1 + oscillating bc
discretization: ∆TΩ = 500s, ∆xΩ = 10 ·2−6m, δTΓ = 3−1 ·10−5∆T , δxΓ = 10 ·400−1m
total mass conservation up to 10−10
Convergence of Robin–Neumann Iteration
α = ρg 105: weak coupling
Wiese & Nützmann 09
α = ρg 5: medium coupling
Convergence of Robin–Neumann Iteration
α = ρg 105: weak coupling
Wiese & Nützmann 09
α = ρg 5: medium coupling
Ongoing Work
Further convergence studies of Robin–Neumann iterations
Other substructuring methods (Neumann–Robin, ...)
Analysis of coupled problem (existence, uniqueness, ...)
Numerical analysis of Robin–Neumann iterations (convergence, convergence rates, ...)
flooding
Top Related