i
CONTRIBUIÇAO AO PROJETO DE FUNDAÇÕES EM RADIER
Mauro Jorge da Costa Santos
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇAO DOS PROGRAMAS DE
PÕS-GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JA
NEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENÇAO DO
GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M.Sc.) EM ENGENHARIA CIVIL.
Aprovada:
FRANCISCO DE REZENDE LOPES
( Orientador )
DIRCEU DE ALENCAR VELLOSO
HUMBERTO LIMA SORIANO
RAUL ROSAS E SILVA
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
JUNHO DE 1987
i i
SANTOS, MAURO JORGE DA COSTA
Contribuição ao Projeto de Fundações em Radier (Rio
de Janeiro) 1987.
XI,196 p. 29,7 cm {COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia Ci
vi1, 1987).
Tese - Universidade Federa1 do Rio de Janeiro,CCPPE.
1. Estudo de esforços em placas sobre base e1ãstica
I. COPPE/UFRJ II. Titulo (serie)
i i i
CURRICULUM VITAE
Engenheiro Civil - PUC-RJ - dezembro de 1973.
Engenheiro Estrutural - Estudos Têcnicos e Projetos
ETEP-LTDA - janeiro 1974/maio 1985.
Engenheiro Estrutural - Krebs Engenharia LTDA - a
partir de junho de 1985.
Professor Assistente do Departamento de Engenharia
Civil da Universidade Santa Orsula - a partir de
agosto de 1978.
i V
A minha esposa e filhos
Marliicia
Maria Christina
Maria Carolina
Mauro Liicio
pelo carinho e incentivo.
V
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Francisco de Rezende Lopes, pela orientação deste
trabalho.
Aos colegas do Departamento de Engenharia Civil da Universi
dade Santa Orsula pelo incentivo e apoio recebidos.
Ao corpo docente do Programa de Engenharia Civil da COPPE ,
pelos ensinamentos recebidos no curso de mestrado.
à Pedro Paulo de Souza Pereira Junior, pela ajuda nos tra~
balhos de computação.
à Gilberto Ant6nio Candido e Evandro da Silva Machado pe
la preparação dos desenhos.
vi
Resumo da Tese apresentada ã COPPE/UFRJ como parte dos requisi
tos para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
CONTRIBUIÇÃO AO Pr.~JETO DE
FUNDAÇOES EM RADIER
Mauro Jàrge da Costa Santos
J~nho de 1987
Orientador: Francisco de Rezende Lopes
Programa Engenharia Civil
Este trabalho apresenta uma revisão dos mêtodos mais conheci
dos para o cãlculo de fundações em radier e a aplicação em exem
plos prãticos.
O objetivo principal da tese ê a obtenção de critêrios de
cãlculo de esforços solicitantes em radiers, atravês do estudo
comparativo entre vãrios modelos e mêtodos sugeridos em publica
ções e normas de cãlculo.
Vi i
Abstract of Thesis presented to COPPE/URFJ as partial fulfillment
of the requirements for the degree of Master of Science{M.Sc.)
A CONTRIBUTION TO THE DESIGN OF
MAT FOUNDATIONS
Mauro Jorge da Costa Santos
June, 1987
Chairman: Francisco de Rezende Lopes
Department: Civil Engineering
The thesis presents a review of the better known design
methods for mat foundations and their application to practical
cases.
The main objective of the thesis is to establish criteria
for the computation of internal forces in mat foundations, follo
wing a comparative study of the various models and methods pro
posed in the technical literature and Codes of Practice.
Vii i
Resume de la these presentee ã COPPE/UFRJ d'apres les
pour obtenir le degrede Maitrise en Sciences (M.Sc.)
CONTRIBUTION POUR LE PROJET DE FONDATIONS
EN RADIER
Mauro Jorge da Costa Santos
June, 1987
Conseiller: Francisco de Rezende Lopes
Programme : Genie Civil
Ce travail presente une revision des mêthodes plus
demandes
connues
pour le calcul des fondations en radier et l 'application a des
exemples pratiques.
L ' o b j e c t i f p ri n c i p a 1 d e 1 a t h e s e e s t d ' o b te n i r d e s cri teres
de calcul des efforts sollicites en radiers, par l'etude comparative
entre plusieurs modeles et methodes presentes dont des publica
tions et normes de calculs.
I.
I !.
ix
INDICE
INTRODUÇi'IO ....................................... .
REVISIIO DA LITERATURA ........................... .
Página
. l .
. 3 •
Il.l - Radier- Definição .3.
II.2 - Sistemas Estruturais Empregados em Ra-
dier .. .. . . .. .. .. .. . . .. . .. . . . . .. . . . .. . . .. .3.
II.3 - Métodos de Análise da Interação Solo
Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.
II. 4 - Métodos de Solução ...................... . • 5 •
III. METO DOS DE CIILCULO ESTUDADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15.
III.l - Métodos Selecionados.................... .15,
III.2 - Modelização do Solo...................... .15.
III.3 - Método das Diferenças Finitas............ ·15.
II!. 4 -
III. 5 -
III.3.1 - Base Teórica................. .15·.
III.3.2 - Condições Gerais de Aplicação. .21.
III.3.3 - Metodologia de Cãlculo Empre -
gada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22.
III.3.4 - Estrutura Bãsica do Programa.. .22 .
Método
III.4.1
III.4.2
III.4.3
r'étodo
III.5.1
III.5.2
III.5.3
da
da
Grelha sobre Base Elástica .....
- Base Teórica ................ - Condições Gerais de Aplicação
- Metodologia de Cãlculo Empre-
gada ........................
Viga sobre Base Elãstica ......
- Base Teõri ca ............... .
- Condições Gerais de Aplicação
- Metodologia de Cálculo Empre-
ga da ....................... .
. 26 .
.26 .
.27 .
.28 .
.28.
.28 .
·29 ·
.29 .
IV.
X
TNDICE Pãgina
III.6 - Metodo dos Elementos Finitos ... .. . . .. .. . .29 .
III.6.1
III.6.2
III.6.3
- Base Teõri ca ............... .
- Considerações Gerais de Apli-
caçao . , .................... .
- Metodologia de Cãlculo Empre-
gada
III.7 - Método do AC!
........................
III.7.1
III.7.2
III.7.3
III.7.4
- Base Teõrica ................ - Condições Gerais de Aplicação
do AC! (20)
- Metodologia de Cãlculo Empre-
ga da ....................... .
- Estrutura Básica do Programa.
APLICAÇIIO A CASOS REAIS ......................... .
IV.l - Exemplo l: Radier com Distribuição Regu-
IV.l.l
IV.1.2
IV.1.3
IV.1.4
lar de Pilares .............. .
- Métodos dos Elementos Finitos
- Método das Diferenças Finitas
- Método do AC!
- Método da Grelha sobre Base
. 29.
. 32.
. 3 2 .
. 3 3 .
. 3 3 .
• 3 7 •
. 39,
. 39.
. 7 3 .
. 7 3.
• 7 3 .
. 74.
.7 4.
Elãstica .................... .74.
IV.1.5 - Método da Viga Sobre Base
El ãsti ca . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . .75.
IV.1.6 - Anãlise dos Métodos de Cãlcu-
1 o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • .76.
IV.2 - Exemplo 2: Radier com Distribuição lrreg~
lar de Pilares . . . . . . . . . . . .. . . .83 .
V •
xi
INDICE
IV. 2. 1 - Método dos Elementos Finitos.
IV.2.2 - Método das Diferenças Finitas
IV. 2. 3 - Método do ACI
IV.2.4 - Método da Grelha sobre Base
Elâstica .................... IV.2.5 - Método da Viga sobre Base
Elãstica .................... IV. 2. 6 - Anãlise dos Resultados ......
CONCLUSÕES ...................................... .
V • 1
V.2
- Anâl i se Geral
- Recomendações para o Projeto de Radiers ..
V.3 - Sugestões para os Desenvolvimentos Futu-
ros .................... · · . · · · · · · · · · · · · · ·
REFERtNCIAS BIBLIOGRAFICAS ............................ .
APtNDICE A: Fundações em Radier por Diferenças Finitas ..
APtNDICE B: Fundações em Radier pelo Método do ACI(20) ..
NOMENCLATURA ........................................... .
Pãgina
.83.
. 83.
. 84.
. 84.
. 84.
. 85.
. 162.
. 1 6 2.
. 1 64.
. 166.
. 1 70.
. 1 7 3.
• 1 86 .
. 195.
. l.
CAPITULO I
INTRODUÇÃO
O objetivo deste trabalho e apresentar e comparar dife
rentes metadas de cãlculo de fundações em radier. Inicialmente fo
ram selecionados alguns metadas mais facilmente empregados em es
critõrios de projeto. Foram revistas as bases teóricas dos meto
dos selecionados e desenvolvidos programas para micro- computad~
res aplicãveis a dois deles.
Em seguida, exemplos de projetos correntes foram resolvi
dos com o objetivo de se avaliar os procedimentos de cãlculo mais
indicados. A anãlise aqui apresentada aborda apenas aspectos es
truturais do radier como placa sobre uma base elãstica. Não houve
intenção neste trabalho de discutir questões geotecnicas, como
por exemplo, a escolha de parâmetros dos solos.
A importância do tema escolhido para este trabalho se de
ve ao fato de que fundações em radier são empregadas em grande
numero de estruturas, tais como silos, metrôs, edif1cios com ma
quinãrias pesadas, tanques, edif1cios residenciais e comerciais,
castelos d'ãgua e torres de chamines de grande altura.
Em contrapartida, a bibliografia que trata especificame~
te do cãlculo de radiers e pouco extensa, acarretando ao engenhei
ro estrutural uma serie de duvidas quando surge a necessidade de
projetar uma fundação em radier. Os trabalhos e livros textos na
cionais e internacionais apresentam na maioria das vezes casos
particulares de placas sobre base elãstica ou metadas simplific~
dos empregados no cãlculo de radiers. Estas simplificar.ões visam
eliminar as dificuldades de um cãlculo matemãtico exato, possibi
. 2.
li tando ao engenheiro a elaboração do projeto estrutural do radier,
empregando tabelas e procedimentos usuais; ocorre, entretanto,que
na maioria dos casos hã um super dimensionamento da estrutura,com
repercussões sensíveis na economia da obra. Com a facilidade de
acesso aos micro e grandes computadores, existe uma tendência na
tural do emprego de mêtodos numéricos como os das Diferenças Fini
tas, Elementos Finitos e Elementos de Contorno, contornando-se
assim as dificuldades e deficiências das formulações teóricas e
obtendo-se atravês de cãlculos mais exatos uma economia na estru
tura projetada e um maior rigor científico no dimensionamento e
especificações dos materiais empregados no radier. Deste modo es
te trabalho se preocupou prioritariamente com a anãlise de mêto
dos númericos, em detrimento de uma revisão extensa da literatura
no que se refere a têcnicas simplificadas e casos particulares de
placas sobre apoio elãstico.
Do Capítulo II consta uma revisão da literatura, aprese~
tando principalmente os mêtodos de anãlise de interação solo x es
trutura. No Capítulo III estão detalhados os mêtodos de cãlculo
selecionados para serem programados e empregados nos exemplos nQ
mericos. O Capítulo IV apresenta a aplicação dos mêtodos
tos no Capítulo anterior a dois exemplos de fundações em
descri
radier
e a anãlise comparativa dos resultados obtidos atravês das vãrias
soluções empregadas. O Capítulo V procura apresentar as conclu-
sões gerais obtidas pelo presente trabalho, sugerindo ainda proc~
dimentos para cãlculo,bem como possíveis temas de tese. Os -ape~
dices A e B apresentam, respectivamente, os fluxogramas bãsicos
e as listagens dos programas de cãlculo de radier baseados no Mé
todo das Diferenças Finitas e no Método do AC! (20) .
. 3 .
CAPITULO II
REVISÃO DA LITERATURA
II.l - RADIER - DEFINIÇÃO
O radier ê uma placa de fundação em concreto que recebe o
carregamento total de urna estrutura F l G • I I • 1 ) , trans
mitindo-o ao terreno de fundação, ou a um conjunto de estacas, no
caso dos chamados '' radiers estaqueados ", que não serão tratados
nesta tese.
Na maioria dos casos, o radier ê utilizado em solos com
baixa capacidade de suporte, onde, descarregando-se os pilares
numa placa englobando vãrios pilares, consegue-se uma redução na
pressão transmitida ao terreno e uma maior capacidade de
pelo aumento de largura e profundidade total da ·~ndação
I 1 . 2 ) .
carga
~IC .
A adoção do radier acarreta ainda uma sensível redução nos
recalques totais da estrutura e, por solidarizar vãrios pilares,
reduz tambêm os recalques diferenciais, que sao os que maiores
danos causam ã obra e suas instalações.
11.2 - SISTEMAS ESTRUTURAIS EMPREGADOS EM RADIER
Os tipos mais usuais estão descritos na FIG.II.3.
A escolha e emprego do tipo mais adequado dependerã das
condições particulares de cada obra, tais como:
- cargas a transmitir
- terreno de fundação
- recalques mãximos permitidos
mêtodo e prazo de execuçao
- viabilidade econômica
.4.
11.3 - M[TODOS DE ANÃLISE DA INTERAÇAO SOLO-ESTRUTURA
Os métodos de análise podem ser classificados (i) quanto
ao modelo de representação do solo e (ii) quanto ã consideração
ou nao da linearidade nestes modelos.
Quanto ao modelo de representação do solo, hã dois
principais:
tipos
- solo representado por um sistema de molas ( Modelo de
Winkler (1867) )
solo representado por um semi espaço (elástico ou não)
O modelo de Winkler (FIG.11.4)equivale a uma placa sobre
fluido denso, onde a tensão de contato despertada num ponto e
diretamente proporcional ao deslocamento (recalque) sofrido pelo
ponto. A relação do modelo de Winkler, q = K0 ~, é analoga ã do
princípio de Arquimedes, sendo o modulo Ko idéntico ao peso espe
cifico do fluido.
No modelo do semi-espaço ( FIG.11.5), o solo é idealizado
como um meio continuo, onde a superfície deformada do terreno de
fundação não ocorrerã somente na região carregada. Esta modela
gem emprega a teoria clássica da elasticidade e conduz, no caso
da interação solo-estrutura, ã resolução de problemas de comple
xa formulação matemática.
Quanto ã consideração da nao linearidade, existem basica-
mente duas possibilidades:
- modelos elásticos
- modelos elasto-plãsticos
Os modelos elãsticos utilizam caracteristicas puramente
elásticas como o modulo de reação vertical K0 empregado no método
de Winkler ou o modulo de elasticidade longitudinal E e coefici-
. 5.
ente de Poisson µ empregados nos mêtodos de semi-espaço, com
relações constitutivas lineares entre tensão e deformação.
Os modelos elasto-plãsticos consideram a não linearidade
das relações tensão deformação em que, cessada a causa ( carrega
mento), parte da deformação ocorrida no solo permanece de maneira
residual. Os modelos elasto-plãsticos não são empregados no mome~
to, na prática dos escritórios de projeto. Uma revisão deste tipo
de modelo pode ser encontrada em Selvadurai (12).
Il.4 - MrTODOS DE SOLUÇAO
(a) Soluções Fechadas: São soluções matemãticas do proble-
ma de uma placa sobre apoio elãstico. Como em outras
areas da engenharia, as soluções fechadas sô são disp~
niveis para casos simples, como problemas axissimêtri
cos e plano deformação. Uma vez que o problema a ser
resolvido se enquadra numa dessas soluções fechadas, o
trabalho ê grandemente facilitado pelo emprego de aba
cos e tabelas jã elaborados. O livro de Selvadurai (12)
cita como exemplos os trabalhos de Schleicher (1926) ,
Hetênyi (1946), Timoshenko e Woinowsky - Krieger{l959),
Kerr(l963), Fryba {1972), Pane (1975), Westergaard
(1923, 1926, 1948), Wiseman (1973), Leonards and Harr
(1959), Richartand Zia (1963), Naghdi and Rowley{l953),
Reissner (1945, 1947, 1955), Selvadurai (1977), Nadai
(1963), Brotchie e Silverter (1969), Walcott (1970)
Andrews (1974), Le Pichon(l973), Me Nutt e Merand(l978),
Cathles (1975), Filonenko - Borodick (1940), Pas ter-
nack (1954), Vlazov e Leontiev (1966), Pane (1975 )
Korenev (1951, 1960), Key (1973), Hogg (1938),Holl(l938),
. 6.
Popov (1971), Shekhter (1937,1939), Leonev (1939), Pi
ckett (1951), Sneddon (1975), Pister e Westmann (1962,
1963), Burmister (1943,1945), Fox (1948), Acum and Fox
(1951), Jones (1962), Plevako (1972), Hoskin e Lee
(1959), Pister (1963), Murphy (1937), Gladwell (1975),
Pu e Hussain (1970), Gladwell e Iyer (1974),Svec{l974),
Laermann (1976,1977), Yoon e Rim (1971), Tsai (1974) ,
Green (1952). Os trabalhos de Beyer (26),Kany (27) e
Grasshof (28) apresentam soluções para câlculo de pl~
cas circulares ( problema axissimétrico) ou
( problema plano-deformação).
corridas
(b) Soluções Aproximadas: Se caracterizam por simplifica-
çoes no esquema e na modelagem estrutural do radier.
Como exemplo,pode-se citar uma prãtica muito utiliza
da de se calcular um radier como se fosse uma laje com
carregamento vertical de baixo para cima gerado pela
reaçao do terreno suposta uniformemente distribu1da
ou com distribuição linear, empregando-se no câlculo
dos esforços solicitantes e no dimensionamento as tabe
las usuais de lajes.
Um outro exemplo é o método simplificado do ACI (20) ,
que calcula a influência isolada das cargas em cada
ponto do radier, totalizando depois os efeitos parci
ais de cada carga e obtendo os esforços no ponto em
estudo.
O método de Gorbunov - Posadov (1959) reproduzido por
Selvadurai (12) trata de placas lisas com uma distri
buição regular de pilares. O método foi classificado
como aproximado por Sel vadurai (12) porque nao consi-
. 7 ..
dP.ra o efeito dos bordos. E um método bastante
lhante ao do ACI (20)
seme-
O método de Zemochkim e Sinitsyn (1947), descrito tam
bém por Salvadurai (12) , analisa de forma aproximada
placas retangulares apoiadas em um meio elãstico. As
pressões de contato são determinadas pela compatibili
zação entre a deformação da laje e do meio elãstico
conectados através de barras rigidas, conforme Figura
II. 6.
Scott (11) apresenta o método de Baker ( 1948), uti 1 i za
do também no cálculo de vigas em base elástica e adaf
tado para o cálculo aproximado de radiers.
(c) Soluções Numéricas: Consistem em se obter uma solução
discreta (e~ pontos discretos) para o proble~a que se
rã tão aproximada quanto refinados forem a discretiz3
ção e o tipo de solução. Pode-se citar como e~emplos
bastante C:irunc!idos os 11etocos dos Elementos Finitos ,
üas Ciferenças Finitas e dos Elementos de Contorno.
Exemplos do emprego do Método de Elementos Finitos,re~
lizados por Cheung e Zienkiewicz (1965) utilizando el~
mentes retangulares, Svec e Gladwell (1973) utilizando
elementos triangulares e Yang (1972) utilizando uma
técnica interativa de Elementos Finitos com elementos
retangulares, acham-se descritos por Selvadurai (12)
Bowles (9) utiliza elementos de grelha na modelage~
através do Método de Elementos Finitos ao invés de
elementos de placa.
Exemplos do emprego do Método das Diferenças Finitas
. 8,
sao apresentados por Bowles (9) , através de
aplicações prãticas.
Uma outra forma de discretização é a modelagem
posta por Hudson e Matlock (1966) e ilustrada na
Il.7. Uma apresentação resumida deste modelo ê
por Salvadurai (12) .
vãrias
pro
Fig.
feita
Outro exemplo de aplicação do Método dos Elementos Fi
nitos a radiers é o trabalho de De Mello (23) .
~ 1 1
RAOIER
o . _, .
n
n
F'IG.JI.I-RADIER E SAPATA ASSOCIADA
SAPATA ASSOCIADA
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SAPATAS ISOLADAS
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LARGUR~ DA FUNDAÇAO
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p ROFUNDIDADE DA FUNDAÇÃO
/; N.T.
... PROFU NDIDADE
NOAÇllO DAFU
FIG.JI.2-PROFIJNDIDADE E LARGURA DA FUNDAÇÃO NO CASO DE SAPATAS ISOLADAS E RADIER
l .
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li l 1 11 L - _J l.--.J '---J , ___ .} ... --, ... --., .--- ....... ---. 1 t I I[ 1 1 1 1 11 li 11 1 L---''---JL --..J L--.J
( f )
FIG.II.3- TIPOS COMUNS DE RADIER a J Radi,r //ao b J Radl,r //ao com capil•I c-d J Radl•r n•rvurado •- f J Rad l•r ,m caixão c•lular
. l 2 .
q
FIG.lI.5-SOLO NA HIPOTESE DE SEMI-ESPAÇO CONTINUO.
p
,--- -
t '
FIG.II. 4-SOLO NA HIPOTESE DE WINKLER
PLACA ELÁSTICA ---~
/
y
PLACA
/
/ l z
'
P( x,y)
/
'
P(x,y)
z
i--1--------;BARRAS RIGIDAS .•
./ /
FIG • .II. 6- METODO DE ZEMOCHKIN E SINITSYN
X
, MEIO ELASTICO
X
' MEIO ELASTICO
••••• ic block
j+l--
. l A.
'\ riglcl ttar
,·. jjl{
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iii;.i • 1
1l'i ·1.I.
~~~ ~;;, t~~~·- i1'.1~-~1\:-~~~.:,' 1!, i=-~~.:/: 7 i+.;~;~1.c:::.~?-{ ~:~, i:{i; 111,11 l'jl, '.1.. ·l:1 -1!!'.!!! !ii 1i 111: 1, ,.,
l --- l.j i+l,J
rii ii j•1.!1
Y BAR .li1ii '=-==-'!t .1'./'c-c~,....
l?~ i-1,j ~If5::- ~:;_:"';_~-=;:~ i.l '""-t~';?.i+1.f/ .. ,,;_~~~i i+-\J ~~J~,
i-1---
i-1
1!i1i"
i1i'11 i!1 1i"
(a) The dl1crot element modol of a plote or slab.
,.,
l • 1
l • 1
( b) Plan view of lhe plote oi 1howin9 ali paris with 9enera l lzed numberln9 sistem ( alter HUDSON and Matlock)
FIG.JI. 7- a J MODELO OE OISCRETIZAÇAÕ 00 RAOIER b} MODELAGEM 00 RAOIER
. l 5.
CtAPfTULO III
METODOS DE CÃLCULO ESTUDADOS
dll.l - MÉTODOS SELECIONADOS
Como base para o estudo dos procedimentos de cãlculo, sele·
cionou-se os seguintes mêtodos:
- Mêtodo das Diferenças Finitas
- Mêtodo da Grelha sobre Base Elãstica
- Mêtodo da Viga sobre Base Elãstica
- Mêtodo dos Elementos Finitos
- Mêtodo do ACI (20)
III.2 - MODELAGEM DO SOLO
O solo serã considerado como um material puramente elãsti
co, deformando-se sob a ação de um sistema de forças externas, o
qual cessando farã que o mesmo retome ã sua configuração inicial.
O modelo adotado para representar o solo serão proposto
por Winkler (1867), onde a pressão de contato q no ponto e dire
tamente proporcional ao seu deslocamento, independente dos des-
locamentos no restante da superficie do radier, ou seja
III.l):
q ponto
= w ponto
(FIG.
O coeficiente K0
e denominado coeficiente de reaçao verti
cal e serã constante com a dimensão FL- 3.
III.3 - METODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
III. 3. l - Base Teõri ca
Serã analisado o comportamento de uma placa delgada finita
apoiada em um meio elãstico linear.
. l 6.
Sendo a placa de espessura uniforme h e tendo como suporte
um terreno com modulo de reação vertical constante de valor
k0 , obedecendo ao modelo de Winkler, temos a seguinte equação di
ferencial para um elemento de placa (FIG.III.2):
4 4 4 k o w a w 2 a w a w p + + = a x4 a X
2 aY 2 aY 4 D D
D rigidez flexão da placa E h 3 = a =
• 12(1-µ 2)
E = mõdulo elasticidade longitudinal do material da placa
µ=coeficiente de Poisson do material da placa
Para se contornar as dificuldades matemãticas da resolução
da equaçao diferencial acima e obter-se uma solução aproximada,
pode-se substituir o meio contínuo da placa por uma malha formada
por setores finitos ( FIG.III.3).
A superfície deformada da placa com· curvatura continua se
transforma em uma superfície poliedrtca, o que significa matema
ticamente a transformação da equaçao diferencial parcial em uma
equação de diferenças finitas.
Os coeficientes diferenciais sao substituídos então por fu~
çoes dos deslocamentos wk dos nõs da malha. Usando então uma inter
polação com operadores centrais obtem-se:
6 WK aw w K+1 -w ( = K-1 =
3 X K 26 X 6 X
a w wi - Wi ) = =
ay K 26 y 6 y
a 2 w wi+1 - w - w. + w. 6 2 W ( ) = i-1 , + 1 , - 1 K = a x a y K 4 6x 6y 6x 6y
2 w -2w + w 2
( a w K+1 K K-1 6 WK = = 3 X 2 K 6x 2 6 xz
a2 w wi -2w + wi 6 2 ._wk ) K ( = = a y2 K 6y2 6 2 y
(
(
=
(
a 3w ) = a X 3
K
a 'w ) =
a y' K
a 4w
ô X 2 ay2 K
~ 1:,x21:,y2
â 4 w ) =
a x• K
a•w ) =
~ y• K
. 17 .
-w -2w +2w w /::, 3WK K+2 K+1 K-1 K-2
wm
=
= 2/::, X 3 /::, x3
-2w + 2w. - wh 3
t 1 /::, WK =
2 t,y 3 /::, y'
4w -2(w + w +w +w 1.) + (w. +w. +w, +w, K K+1 K-1 t 1-1 1+1 N+J N-j =
/::, X 2 /::, y2
w -4w + +6w -4w +w K+2 K ! K K-1 K-2 /::, X 4
wm -4wt +6wK -4wi + wh
t,y• =
' /::, w K =
/::, X 4
/::, y'
A equaçao diferencial de flexão da placa se transforma em:
/::, 'w 21:, 'w I!.' w p ko wk K K K K +· + = /::, x' t,x, t,y2 /::, y' D D
Examinando as expressoes obtidas constata-se que para os
pontos da placa próximos ao seu contorno e necessãrio o uso de
nõs fictícios situados fora do domínio da placa, conforme mostra
do na FIG.111.4.
Nas expressões Pk e o valor da intensidade da carga distri
buida no ponto K fazendo /::, y2 = CI .temos
/::, x2
w ( 6 l -4 ( ( l +a ) (WK+l (a+ -)+8) +w ) + K a K-1
l + ( l + -) ( w, +w . ) ) + 2 ( w . 1 Ç( N 1 1-
da.
t,x4
D
1
- K W a O K
/::, X'
D
Caso l!.x = t,y = s, tem-se uma expressao bastante simplica-
= p s' K D
- K W O K
. l fl .
s 4
D
Utilizando as condições de contorno de Kirchhoff associadas
com uma placa retangular com os bordos livre te~-se:
(a) bordos verticais
MX (0,y) = MX ( J/,X' y ) = o
vx = Qx - a Mxy = o para X = o e X = J/,x
d y
(b) bordos horizontais
ax = O para y = O e y = J/,y
Adicionalmente te~-se as condições de reaçoes nulas nos can-
tos das placas:
( c) a 2w o o o = para X = y = ax ay
X = J/,x y = o
X = o y = J/,y
X = J/,x y = J/, y
Considerando uma malha de m x n pontos nodais tem-se para
o sistema mostrado na FIG.III.5 um total de (mn + 4m + 4n + 4)
incõgnitas ou seja deslocamentos verticais wk.
Pelas equações aplicadas a cada ponto da malha dentro do
domínio da ;placa obtem-se mn equaçoes.
. l 9 .
Considerando as condições de contorno de Kirchhoff de momen
to fl etor ~x e 1·1y nulos bem como Vx e Vy tem;c,e 4 (m + n) equaçoes
adicionais.
As 4(quatro) equaçoes remanescentes sao obtidas através da
condição de reação nula nos cantos da placa.
Consequentemente a partir desse conjunto de equaçoes linea
mente independentes, os deslocamentos wk podem ser obtidos através
da resolução do sistema- assim gerado.
O numero de equações pode ser bastante reduzido ao se utili
zar as condições de contorno, exprimindo-se os valores dos deloca
mentos dos pontos ficticios em termos de deslocamentos dos pontos
do dominio da placa, restando portanto um sistema de m x n equa
ções que fornecerão diretamente os valores das m x n deslocamentos
wk dos pontos nodais da placa.
Esse processo e utilizado por Joseph E.Bowles (9) e repro
duzido nas figuras III.6 e III.7.
Nas deduções feitas ate o momento, assumiu-se que a carga
externa atuante em toda placa seja um carregamento distribuído de
intensidade P = P ( x,y) co~ a dimensão cL- 2 .
Quando a carga aplicada for concentrada em um ponto do dominio
de placa, seus efeitos podem ser levados em consideração de uma
maneira aproximada, substituindo-a por uma carga distribuida equl
valente, como abaixo.
p
t::.Y
carga concentrada: p
t::.X carga distribuida equl
valente: p = p
. 20.
Se a carga concentrada nao atuar exatamente em um no da
placa, basta distribuí-la pelos nõs vizinhos, como abaixo:
PI P2
p
ll y / P3 P4.
t:. X
Incluindo a carga concentrada, a eauaçao diferencial de
flexão da placa em termos de diferenças finitas sera: ~\"- y
'w •w 4 ,,-----,
w pi l:,. 2A A w p K K K . K o K K + + = +
1', x' t,,x2 t,,y2 1', y• D D Dt,,x t,,y
Apõs o cãlculo dos deslocamentos dos pontos da malha pode-se
tambêm empregando a interpolação por diferenças finitas centrais
ealcular os esforços solicitantes e reações do terreno, confor
me mostrado a seguir na FIG .. III.B.
Pela teoria das placas temos as seguintes equaçoes diferen
ciais par~iais que exprimem os valores dos momentos fletores e es
forças cortantes:
a 2 a 2 M -D ( w + w = 2 µ
X a X a y
a2w a 2 M -D ( w ) = 2 + µ y ay a X
M = -M = -D ( l -µ) a2w yx xy ax ay
Q = y
'<JM ~ X
.àx .
d y
. 21 .
+ ay
3M xy
;)X
Utilizando-se diferenças finitas temos as seguintes expre
soes em termos dos deslocamentos nodais para um ponto K generico
-W +2W -W /" = D( k-1 k k+l + ., k x, 6 x2
M y,x
µ(-wi+2Wk-w9.))
6 y 2
(-V\f2Wk -W Q. ------)
6 y2
M = xy,k D(l-µ) (wQ.-1-wQ.+l-wi-l+wi+l) 46x6y
Mx, k+l -Mx, k-1
26x
M -M . y,'l y,1,
2 6y
As pressões no terreno sao obtidas facilmente atraves do
conceito do mõdulo de reação vertical do terreno.
K = qk
o 6x 6y w K
qK - K 6 6 w o X y K
Os esforços cortantes obtidos sao expressos por unidade de
comprimento FL-l o mesmo ocorrendo para os momentos
FLL-l ( dimensão de força).
III.3.2 - Condições Gerais de Aplicação
fletores
Para os casos de radier com ;ormato regular na süa geome -
t ri a.
.22.
No caso de placas com reentrâncias ou saliências, a monta
gem das equações se torna bastante complexa nos limites do domí
nio da estrutura.
Teoricamente ê sempre possível estabelecer-se um sistema
de equaçoes linearmente independentes que simulem as condições de
contorno da placa, e cuja solução nos forneça os valores dos des
locamentos da estrutura.
III.3.3 - Metodologia de Cálculo Empregada
Para a aplicação e análise do método da resolução de pla
cas, empregando a interpolação por diferenças finitas, foi desen
volvido um programa em linguagem BASIC para o micro-computador da
linha PC com aproximadamente 60 K de memória RAM.
Este programa foi baseado na metodologia empregada por
Bowles (9)
Com o objetivo de se aperfeiçoar a metodologia empregada
por Bowles (9) , utilizou-se a têcnica do armazenamento dos coefi
cientes das equações em forma de matriz retangular e o conceito
de faixa, bem como a resolução do sistema de equações pelo mêtodo
de Gauss, o que não ê feito por Bowles (9) . Obtivemos assim uma
grande economia de posições de ~enõrias do micro-computador.Esta
adaptação foi realizada de acordo com os conceitos desenvolvidos
na disciplina Técnicas Computacionais em Análise Estrutural da
COPPE-UFRJ.
III.3.4 - Estrutura Básica do Programa
O programa subdivide o radier gerando automaticamente uma
malha retangular com m divisões na direção horizontal (X) e n
divisões na direção vertical (Y). (FIG.III.9}
Os dados necessários para a definição da geometria, mate-
. 2 3.
rial e carregamento atuante no radier sao introduzidos via tecla
do:
- titulo do programa
- vao na direção X
- vao na direção Y
- divisões na direção X
- divisões na direção Y
- mõdulo de reação vertical do terreno K0
- espessura do radier = h
- modulo de elasticidade do radier = E
- peso específico do radier ( o programa concentra as car
gas devidas ao peso prÕprio nos pontos da malha)
- coeficiente de Poisson do radier = µ
- valores das intensidades das cargas concentradas e seus
respectivos pontos de aplicação= P K
No caso de carga externa distribu1:da,basta se adotar um
peso específico equivalente para se levar em consideração a açao
deste tipo de carregamento.
O programa realiza automaticamente a subdivisão do
gerando uma malha formada por elementos retangulares.
radier
Utilizando-se os coeficientes de deslocamento de cada ponto
segundo Bowles (9) (FIG.III.6}, monta-se ponto a ponto a
respectiva equação diferencial da placa em termos de diferenças
finitas, jã embutidas as condições de contorno para os bordos li
vres
. 2 4.
equação de deslocamento
do ponto
= D D
Como os coeficientes dos deslocamentos do Bowles (9) estão di
vididos por r 2 teremos:
+
equação com os coeficientes divididos por r2
=
N
p h2 k + -----
rD
rr termos de carga
O programa utiliza a matriz W para armazenar os coeficien
te dos deslocamentos de cada ponto em que o radier e dividido.E como
se fosse a "matriz de rigidez do ponto'', anãlogo i matriz de rig!
dez de uma barra em estruturas reticuladas (FIG.III.10 e 111.11)
A equação montada e a seguir armazenada na matriz Y.
. 2 5.
Repetindo-se este processo para cada ponto do radier temos
desta forma um sistema K x K de equações linearmente independen
tes, sendo K o numero de pontos nodais: K = (m+l) x (n+l). A ma
triz Y ê a '' matriz de rigidez do radier'', anãlogo ã matriz de
rigidez global de uma estrutura.
Ao montar-se a matriz Y (FIG.III.12), nota-se que ela ê si
métrica, positiva definida e possui um índice de esparsidade bas
tante elevada.
Para se evitar o desperdício de posições de memõria com ar
mazenamento de grande quantidade de termos nulos, pode-se traba
lhar com os coeficientes da matriz Y em um arranjo retangular,co~
tendo somente os elementos não nulos situados na diagonal princl
pal e na parte superior da mesma, utilizando-se a técnica da lar
gura de faixa.
No nosso caso a largura de faixa sera.: (m+ l) x 2+1 = 2m+3 ,
onde me o nQ de divisões do radier na direção X.
A matriz Y se transforma da dimensão K x K para a dimensão
( K,2m+4), jã se utilizando uma coluna para o armazenamento dos
termos de carga (FIG.III.13).
O programa realiza a resolução do sistema de equaçao utili
zando o método de Gauss, conforme o algoritimo descrito por Humberto
Lima Sariano (3), obtendo-se os deslocamentos verticais dos
nodais da malha do radier.
pontos
Verifica-se se houve tração em cada no, eliminando-se a
parcela de 4
reaçao do terreno nos pontos onde tal fato ocorre:
K0 h wk = O, repetindo-se o processo atê chegar-se a todos
valores de reação no solo de compressão.
os
O programa executa o cãlculo ponto a ponto dos esforços so
. 2 6.
licitantes utilizando os deslocJmentos calculadas, e finalmente im
prime os valores dos deslocamentos, momentos fletores e torsores.
Através do somatõrio das reações no solo calculada's a par
tir dos deslocamentos pode-se comparar com a resultante das cargas
aplicadas, verificanc'.o-se assim. a precisão dos resultados.
O fluxograma básico da estrutura do programa e a respecti
va 1 istagem encontram-se no Apendi ce A.
Ill.4 - METODO DA GRELHA SOBRE BASE EL~STICA
III.4.1 - Base Teõrica
Será analisado o comportamento de uma placa finita, subdi
vidida em uma serie de vigas ficticias apoiadas em um meio elásti
colinear (FIG.III.14).
Temos então uma grelha formada . pelas vãrias vigas em
que foi subdividido o radier, com as respectivas cargas aplicadas.
A reaçao do solo será discretizada nos pontos nodais da
malha, através de uma mola linear com rigidez constante K (FIG.
III.15).
Caso o solo possua um modulo de reaçao vertical - -3 dimensao (FL ), a rigidez de cada mola será obtida
K0
, com a
diretamente
através do produto de K0
pela area de influência respectiva da
mola (FIG.III.16).
A dimensão da rigidez K será (FL-l).
Note-se que o somatõrio das rigidez de cada mola deverá
ser igual ao produto do módulo de reação vertical do terreno pela
area do radier: i = n9 molas
~Ki = K o X area radier
i = l
As constantes elásticas da grelha serao idênticas ao do
radier ou sejam modules de elasticidade longitudinal([) e trans
• 2 7 .
versal (G).
O peso espec1fico adotado serã a metade do peso especffico
do radier, jã que ele entra no cãlculo em ambas as direções X e Y.
As barras de grelha serão dotadas de caracterfsticas geom~
tricasque confer.ir-lhes -a rigidez a flexão e a torção (FIG.III.17).
Efetuando o cãlculo estãtico da grelha obtemos então os
valores dos esforços solicitantes e das reações do terreno.
Mostra-se na F!G.III.18 um nõ t1pico da grelha com os re
sultados obtidos e o respectivo cãl cul o dos· momentos fl e tores nas
direções X e Y, que deve ser feito utilizando-se os momentos fle
tores e de torção do nõ , conforme descrito por.Bowles (9).
Como alternativa pode-se realizar o cãlculo da grelha sem
a consideração da rigidez ã torção das vigas, conforme descrito
por Kurt Beyer (13). Neste caso os valores dos momentos fletores
obtidos em cada nõ serão diretamente os momentos Mx e My da placa
no ponto em questão. (FIG.III.19).
III.4.2 - Condições Gerais de Aplicação
Este mêtodo pode ser empregado para qualquer radier com
a: mais diversa configuração geomêtrica, incluindo alturas variã
veis, furos e reentrâncias.
O sistema de cargas tambêm pode ser bastante diversificado
tais como:
- momentos fletores e de torção concentrados.
- cargas distribuídas e concentradas em qualquer posição
- deslocamentos impostos
Pode-se,tambêm,variando a rigidez da mola em cada ponto
simular-se poss1veis heterogeniedadesdo terreno de fundação.
. 28.
111.4.3 - Metodologia de Cálculo Empregada
Para a aplicação deste método nos exemplos numéricos, ;fo1
utilizado o sistema LORANE LINEAR implantado no NCE da UFRJ.
Utilizo.~·-se o elemento de grelha ~baixo detalhado:
Nome: "GP"
Plano de definição: XV
Incõgnitas nodais: w, u, v
Caracteristicas básicas: uma grelha e uma estrutura
contida em um plano, com carregamento perpendicular ao plano ou
momentos cujos eixos estão contidos no plano da grelha. As solicl
tações são esforços cortante, momento fletor e momento torsor, e
respectivos deslocamentos. Opicionalmente pode-se levar em conta
a deformação por corte, na consideração dos deslocamentos. O ele
mente é linear, de eixo reto.
111.5 - M[TODO DA VIGA SOBRE BASE ELÃSTICA
111.5.1 - Base Teõrica
A base teõrica e a mesma empregada no caso do método de
grelha sobre base elástica descrito no Item 111.4.
A placa e subdividida em uma série de vigas em ambas as di
reçoes {FIG.III.14), e o solo modelizado por molas lineares de -1 , constante K{ FL }.(FIG.IIl.l6}.
A diferença fundamental consiste no cálculo estático da
placa nas direções X e Y sem a consideração da continuidade en
tre as várias faixas.
O método realiza o cálculo das várias vigas sem a conside
raçao de qualquer interação entre elas.(FIG.111.20}.
As constantes elásticas das vigas são as mesmas do radier:
.29.
- modulo de elasticidade: E
O peso especifico e os carregamentos externos serao adota
dos na sua totalidade para o cãlculo em ambas as direções X e Y
do radier.
As barras das vigas serao dotadas somente de rigidez a
flexão.(FIG.III.21).
Efetuando o cãlculo estãtico das vãrias vigas, temos os
valores dos esforços solicitantes, reações do terreno e a linha
elãstica das vigas em configuração deformada.
Conforme demonstrado este mêtodo e um caso particular do
mêtodo da grelha sobre base elãstica.
III.5.2 - Condições Gerais de Aplicação
As mesmas condições do mêtodo da grelha, ress·altando-se se~
pre que deve-se avaliar com bastante critêrio o fato de ~ão se l.e
var ·em consideração as interações entre as vãrias faixas nas
quais o radier foi subdividido.
III.5.3 - Metodologia de Cálculo Empregado
Para a aplicação deste mêtodo nos exemplos numêricos, uti
lizou-seo sistema LORANE LINEAR e o SAP IV implantado no NCE da
UFRJ.
Foi utilizado sempre o elemento de põrtico plano sobre vin
culos elãsticos para se especificar as constantes de mola de cada
ponto.
III.6 - MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
III.6.1 - Base Teõrica
Considerando-se o caso de uma placa finita sobre um meio
. 30.
elãstico linear segundo a ~ódela~em · de Winkler.
O domínio da placa ê dividido em uma malha de elementos de
placa.(FIG.111.22).
A superfície de contato entre o radier e o terreno e repr~
sentado por um conjunto de molas situadas nos pontos nodais da
malha. Desta maneira a reação do terreno serã transmitida a placa
por uma sêrie de cargas concentradas oriundas das reações das mo
las .(FIG.111.23).
A rigidez de cada mola K com a dimensão (FL- 1 ) serã cale~
lada a partir do produto K0
x ( 6x 6y), onde K0
(FL- 3) ê o mõdu
lo de reação vertical do terreno e
presentada pela mola.(FIG.111.23).
6x 6y) a ãrea do solo re-
Os elementos de placas são supostos interligados nos pon
tos nodais e os deslocamentos destes pontos são as incõgnitas bã
sicas.
Uma função (ou conjunto de funções) ê escolhida para defi
nir univocamente o estado de deslocamentos de cada elemento em
termos dos deslocamentos nodais.
As funções dos deslocamentos definem tambêm univocamente as
deformações especificas de cada ponto nodal em termos dos seus
deslocamentos.
A partir das deformações especificas e das propriedades
elãsticas dos materiais, o estado de tensões do elemento e defi
nido empregando as relações constitutivas.
Baseado nas funções que definem o estado de deslocamentos
e desenvolvida a matriz de rigidez de cada elemento K, utilizando
-se o principio do trabalho virtual ou o principio da energia PQ
tencial total mínima. A matriz de rigidez K relaciona o sistema *
das forças F concentradas nos pontos nodais com os seus respectl
vos deslocamentos~. O sistema de forças nodais em equilíbrio com
. 31 .
os esforços atuantes no contorno do elemento e em conjunto com as
cargas externas distribuídas no elemento, resultam numa
de rigidez do tipo abaixo:
-F* + F p + FE = K S
onde:
relação
- F e o vetor de forças nodais que simulam as cargas dis p
·tribuidas aplicadas ao elemento.
- F e o vetor de forças nodais que simulam as E
de contorno iniciais.
condições
- K S representa o sistema de forças induzidas pelos des
locamentos nodais.
Nem sempre as funções dos deslocamentos adotados para o
elemento conseguem satisfazer a continuidade dos deslocamentos en
tre elementos adjacentes. Esta compatibilidade pode ser ~tolada.
nos contornos, porem sempre existirã no seu interior e nos pontos
nodais devido a solução ser unívoca.
Ao substituir-se as cargas aplicadas por cargas nodaisequi
valentes, as condições de equilíbrio global serao sempre satisfei
tas, o mesmo porem poderã nao ocorrer para pontos no interior e
no contorno dos elementos.
Apõs a determinação da matriz de rigidez de cada elemento,
obtem-se a matriz de rigidez global da placa pela superposição da
contribuição em cada ponto nodal dos diversos elementos que nele
incidem.
Pela formulação e resolução das equaçoes de equilíbrio ex
primindo o relacionamento entre as forças nodais aplicadas e o
respectivo deslocamento, calculam-se as incógnitas bãsicas que sao
os respectivos deslocamentos nodais de cada ponto da malha.
. 3 2.
A partir dos deslocamentos obtidos e utilizando-se a rigi-
dez· de cada elemento pode~se determinar o correspondente estado
de tensões do elemento, os quais integrados fornecerão os esforç~
solicitantes.
III.6.2- Considerações Gerais de Aplicação
As mesmas descritas no mêtodo da grelha sobre base elãsti
ca, Convêm porem resaltar que a precisão dos resultados estã
estreitamente ligada ao tipo de elemento adotado,· ã malha utili
zada na modelJgem do radier, e ao seu refinamento.
Como exemplo cita-se que o elemento retangular Rl2 de qu!
tro nós utilizado em flexão de placas apresenta pouca confiabili
dade nos resultados relativos aos valores dos momer.tos de torção.
Este elemento ê utilizado ~elos ~rogramas S~P VI e LO~ANE'.
III.6.3 - Metodologia de Cãlculo Empregada
Para a aplicação do mêtodo dos elementos finitos, foi uti
lizado o sistema LORANE LINEAR e o tipo de elemento descrito abai
xo:
Nome: FPRNC {elemento retangular nao conforme)
Plano de definição: xy
Incógnitas nodais: w, ru, rv
Modelo: de deslocamentos
Caracterfsticas bãsicas: este ê um elemento de placa delg!
da,retangular de quatro nõs.A i~plementação deste elemento ê ba
seado em uma variação do tipo polinômio incompleto de quarta or
d~m para o deslocamento transversal w. Não existindo compatibili
dade inter-elemento.para os pendentes normais aos lados do elemen
to , o me s mo r e s u l t.a .~.r d o t i p o não c o n f,o .r. me . ,.
. 33.
4 3
FPR NC
2
Na literatura este elemento e conhecido como Rl2.
III. 7 - MfTODO DO ACI (20)
III.7.1 - Base Teõrica
O mêtodo do I\CI e baseado na solução de vlestergaarc para nl_~
cas de pavimentos apoiadas ern um meio elãstico linear(FIG.III.24).
Neste caso a equaçao diferencial da placa del~ada :de espessLira cons
tante h suportada por um solo com um mbdulo de reação vertical uni
forme de valor K0
, segundo o modelo de Winkler ê:
D ( )+Kw=O o
D= rigidez a flexão da placa= 12 ( 1-µ
2)
E= modulo elasticidade longitudinal do material da placa
µ=coeficiente de Poisson do material da placa
Considerando a atuação de uma carga concentrada na origem,
podemos tratar o modelo como axissimetrico reescrevendo a equaçao
di·ferencial em termos de coordenadas polares, jã tirando parti-
do da simetria de revolução onde as grandezas independem do âng~
1 o 0·.(FIG.III.25).
d 4w 2 d Jw 1 a 2 w 1 ....!!:'!!__) D (-- + - - -2- + -- + K \'i = o ai dr 3
dr 2 3
dr o r r r
Sendo nulo o carregamento externo distribuído p.
. 3 4.
4 Definindo a grandeza L = To' çomo o raio da
K rigidez
efetiva, a solução da equação difergncial acima serã:
tas na
onde:
sendo x = r/L o argumento, as funções z. podem ser escri-1,
forma de serie de potenciais conforme mostrado a seguir: X 4 X 8 X
) 1 2;. z
1 (x)
( 2 ) . ( 2 ) ( 2 -------= 1 + ' 2 1 2 1 2 2. 4. 6.
X 2 X )6 X 10
z2
(x} - (2" ) ( 2 ( -z ) + = + 3!2-
-------1 !2 5 ! 2
zl (x} 2 ( Rl + log e ( Yx ) X z
2 (x}) z
3(x) =
2 1[
2
z4
(x) z
2(x}
2 (R2 + l o 9\ ( _2i___ f X z1
(x}) = + 2 1[ 2
(~)2- Í(3) (_x_) 6 J( 5) 10
Rl - + ~) - -------
2 3!2 2 5!2 2
J (2) 4 .J( 4) 8 J (6) 12
(~) (~) R2
- (_x_) - + -1 2 2 2 . 2 4!2 2 6'2
j (n} 1 1 1 1 1 = 1 + + + + ~- + ---- + ~-~2- --3~ 4 5 n
log y = 0.577216 = constante de Euler e
- - - - -
Apresenta~se· a seguir o grãfico das funções z4 e das suas
primeiras derivadas ( FIG.Ill.26)
Conforme os grãficos apresentados nota-se que z1
e z2 cre~
cem rapidamente com o acréscimo do argumento x. sendo que z3 e z4
ao contrãrio decressem rapidamente com o acréscimo do argumento z.
.35.
Retomando ao cãlculo inicial, considerando uma laje infi-
nita carregada na origem por uma carga concentrada P, atuando
portanto em r = O, serão determinadas as constantes Ci, confor
me a anãl ise apresentada por Hetenyi (18):
- deslocamento vertical e rotação da placa nulos em
r = oo ... c1 = c2 = o
- rotação nula na origem em r =O.,. c4 = O
A equaçao solução da linha elãstica sera:
A constante c3 e obtida igualando-se a carga aplicada P
com a reação do terreno na hipôtese de Winkler, obtendo-se en
tão:
w = PL 2
40
Os esforços solicitantes e as rotações sao obtidos atra
ves das equações diferenciais cor~espondentes:
e dw = dr
Mr = -0 (
Q = -0 ( r
PL2 Z' = 40
d2w + _µ_ dr 2
d2w + 1 dr2 r
r
+ _l_ r
3 ( r/L)
Z' 3
~) __ p_(Z 4 (r/L)-(l-µ) = dr 4
~) = - _P_(µ Z. (r/L )+(1-µ) 4 4 dr
1 ~) =
7 dr
p
4L
onde z3 e z4 sao as pri melras derivadas de z3 e z4 .
(r/L)
r/L
Para a anãlise dos resultados obtidos serao plotados(FIG.
)
III.27) os valores dos esforços e deslocamentos obtidos, ressal
tando-se que os momentos são expressos por unidade de comprimento
.36.
ou seja com a seguinte diriensão , ( FLL- 1) ( dimensão de Força F )
e o esforço cortante tambem por unidade de comprimento{FL-l ).
Pela análise dos diagramas obtidos verifica-se que os
efeitos gerados pela carga concentrada P sao rapidamente amor
tecidos, e que para distâncias da ordem de x = ~r~ ~ 5 os va-L
lores remanescentes são praticamente nulos, ou seja para distân-
cias r ~ 5 L os efeitos gerados pelo carregamento são desprezí
veis.
Outro fato que os diagramas apontam,e que os
gerados na origem r = O ou seja no ponto de aplicação da
tendem para infinito.
esforços
carga
Isto mostra que a teoria aplicada ao nosso modelo nao e
satisfatória nas regiões prõximas ã carga concentrada.
Para se contornar esta falha serâ assumido que na realicia
de a força concentrada se distribui em uma pequena area, por exem
plo sobre um circulo de raio C.(FIG.III.28).
Neste caso segundo ''STRESSES ON CONCRETE PAVEMENTS COM-
PUTED BY THEORETICAL ANALYSIS de WESTERGAARD'' descritos por
Selvadurai (12)e Scott (11) os esforços solicitantes no ponto de
aplicação da carga serao:
M (r=O} = M (r=O} = r 8
(1 + µ}P (loge
4 11
y =constante de Euler = 0.5772157
Q = (r =O} I'
= p
211C
2L +
e 1
2
:.. y}
Para se converter os esforços obtidos em termos de coor-
. 3 7.
denadas polares para cartesianas, usaremos o procedimento normal
da teoria das placas abaixo resumido:
Q cose 1'
Q = Q sin e y 1'
II!.7.2 - Condições Gerais de Aplicação (AC! (20) item 7.3)
Para os casos gerais de radiers suportando cargas com p~
sições e valores aleatórios, o procedimento de projeto pode ser
baseado na teoria vista. Os efeitos gerados pelas cargas conce
tradas, conforme foi demonstrado, são .rapid,rn~ente amorteci dos. De~
ta maneira ê possivel considerar o radier como uma placa e deter
minar os efeitos das cargas na vizinhança da mesma
r :;; 5 L.
ou seja
Usando o principio de superposição, pode-se determinar os
esforços solicitantes e deslocamentos em qualquer ponto do radier,
considerando apenas as cargas na zona de influência do ponto. Es
ta zona de influência geralmente não ê muito extensa, não sendo
necessãrio considerar muitas cargas para o cãlculo. Como o efeito
da carga em um determinado ponto ê transmitido pelo radier na
direção radial, o uso de coordenadas polares se impõe.
O seguinte roteiro ê recomendado:
(1) Determinação da espessura
conta o efeito de punção.
do radier levando em
(2) Determinação do mõdulo de reaçao vertical K0
do ter-
rena.
. 38.
(3) Cálculo da rigidez a flexão da placa D=
E= modulo elasticidade longitudinal
ll = coeficiente de Poisson
(4) Cálculo do raio da rigidez efetiva
Et 3
2 12( 1-µ )
(5) Cálculo dos momentos radial e tangencial mãximo atuan
tes no radier em cada ponto utilizado para o dimensionamento
(Z4(r/L) z' (r;LJ ) M = - p - (1-1-!) 3 r
4 r/r,
p ( ]J Z4 (rj L) z' (rir,) ) M = - + ( 1 - ll) 3
e 4 r/L
r = distância da.ca:r>ga·ao ponto em estudo (metros)
Mr = momento radial ( mt/m)
Me= momento tangencial ( mt/m)
P = carga concentrada ( t)
z3 e Z4 = funções descritas na teoria apresentada
(6) Conversão dos esforços para coordenadas retangulares
M Mr cos 2e + Me . 2 = s,z,n e
X
M . 2 cos2 = Mr s,z,n e + Me y e
( 7) Cálculo do esforço cortante radia 1
Qr p z' (rir, )
= - -- 4 4L
Qr = cortante radial ( t/m)
zi' = função descrita na teoria apresentada 4
. 39.
(8) Quando o contorno do radier estiver na zona de in-
fluência das cargas aplicadas, os esforços deverão ser computados
ao longo do contorno como se a descontinuidade não existisse. Mo
mentos e cortantes de módulos iguais e sinais contrãrios aos cal
culados deverão ser aplicados no contorno para restabelecer as
condições de momento e cortante nulos ao longo dos bordos livres.
Os efeitos dessas correções devem ser somados aos jã cal
culados para cada ponto do radier.
lores
durai
(9) (item não incluído no AC!)
Para os pontos situados sobre as cargas aplicadas, os va-
dos esforços solicitantes serao calculados conforme Selva
(1 2 ) e Scott ( 11 ) .
M r ( r = O) = Me (r=Q) = (1-)J) p log. 2L + 1 - y)
e 4~ e 2
Y = constante de Euler= 0,5772157
C = raio da seção transversal do pilar ou no caso de pi
lar quadrado de lado s o valor de C é C = 0,56418 s
Q r ( r=O ) p
pilar - circular = - com seçao 2 ~ e
(r=O ) p
pilar - quadrada de lado Qr = - com seçao S
4 S
111.7.3 - Metodologia de Cãlculo Empregada
Para a aplicação deste método aos exemplos numéricos, foi
desenvolvido um programa em linguagem BASIC para o micro computa
dor DISMAC da linha Apple com 48 K de memõria RAM.
111.7.4 - Estrutura Bãsica do Programa
O programa gera uma reticula de pontos nodais formando
uma malha retangular com m divisões na direção X (horizontal) e
n divisões na direção Y. (vertical) - FIG.111.29.
. 40 .
Utiliza-se então uma matriz de trabalho Y para armazena
mento das coordenadas dos pontos nodais gerados, das cargas apli
cadas e dos esforços solicitantes a serem calculados.(FIG.III.30)
Os dados necessãrios ã inicialização do programa são in
troduzidos via teclado, tais como:
- titulo do programa
- vao na direção X
- vao na direção y
- divisões na direção X
- divisões na direção y
- modulo de reação vertical do terreno
- espessura do radier
- modulo de elasticidade do radier
peso especifico do radier ( no caso de valor nao nulo o
o programa concentra as cargas devidas ao peso prõprio nos pontos
nodais, somando-as as cargas concentradas aplicadas)
- coeficiente de Poisson do radier
- raio da seção transversal do pilar
- cargas concentradas aplicadas nos pontos nodais da ma-
lha do radier.
O programa apos a geraçao dos pontos nodais executa o cãl
culo ponto a ponto dos esforços solicitantes, armazenando-os na
matriz Y para a impressão final.
A compatibilização dos esforços solicitantes nos bordos
da placa ê feita conforme determina o ACI, atravês de uma sub-
rotina especifica, programada utilizando-se as expressoes de
Hetenyi (18) para o cãlculo de vigas em base elãstica.
Este programa devido aos polinômios utilizados nas fun-
. 4 l .
çoes de Hetêhyi (18), apresenta um elevado consumo de tempo de
mãquina.
t apresentado no Apêndice B o fluxograma bãsico da estru
tura do programa descrito, bem como a sua respectiva listagem on
de se encontram identificados as variãveis utilizadas.
• /l 2.
p p
} L ~ > ) '
----/-= •• "' . ·- - ,c .~.
( . ) ( b )
p
p
11
> > .
1 1 ·-;,: _-. ·, ' - -.
( e > ( d )
FIG.III.I-DESLOCAMENTOS SEGUNDO A TEORIA DE WINKLER.
a - Carregamento distrlbu/do não uniforme . b - Carga concentrada Isolada. c - Carga concentrada sobre estrutura rlgida. d - Carregamento distribuldo uniforme.
Y,v
. 43 .
• ~ - -- - - - - - /-1------- x,u / )- - - - - - - - -
/ / i
/ / 1 //
// 1
// 1
/// 1
// /
1 t l t q, REAÇÃO 00
SOLO: Kc,w
Z,w
h
FIG.III.2 -ELEMENTO OE PLACA COM CARGAS ATUANTES E A RESPECTIVA REAÇÃO DO TERRENO
y
llX
lly ~ m
L- 1 L L+1
L K-2 K -1
J K Kt1 K+2
1 - , i i+1
h
X LX
FIG.JII.:I-MALHA FORMADA POR SETORES FINITOS E A , RESPECTIVA SUPERF/CIE DEFORMADA
1 m '
L-1 L
K-2 K-1 K
+ i-1 • i 1
h
1 1 t
. 45.
1 1 L-1 L IL+l ' 1
1 T T 1
IK-2 K-1 K K+l i K+21 T l l 1 i
1 1-1 i+l '
1
T 1 1
Ih !
1 T i 1
iK-2
1
' 1
1
L+l
K+l 'K+2
1+1
FIG . .llI. 4- PONTOS PRÓXIMOS AO CONTORNO DA PLACA
'
1 m 1
L- 1 L L+l i
1 K- 1 K K+l 'K+ 2
T
i-1 i · 1+1
h
1
y
.. . .. ._ ____ --<I .. ~•---- t -- . . --' - ~
.__ • l- -- ---'4 i.,_..__ --'t-- -----4...__
_ 4
~ __ .,;;l_...__ ..... _ ___, ..... _...__...,. _ _, ..... _.__...,. _ _, ..... _.__...,.m ,. __ __._ __ l
' . • • A < .. -------1
"-.._____ PONTO FICTÍCIO ~' . 1...---- ... ' • j t- 1!.- _.,..____ - ~• ... ._ -- lt,__ - -4~ .. ._ --
, p, NTO REAL ---iL___ .... ---i -- - -
_ ____. .. ____ _,L_ ---<L ____ ..,i.. .~. --------11----- - " ' -- - t- ••
~-~!...- ... - ._ __ -4 ~ -------< ...__ . - .._ -- l-------·-1------ ..
.. n
F/G.Jll.5-MALHA OE m x n PONTOS NODAIS ACARRETANDO NA UTILIZAÇÃO OE (mn+4m+4nf4) PONTOS
X
(a)
(e)
(.)
( g )
( h)
. 4 7 .
( b)
(d)
( f)
( i )
C i 1 h h h h
h rh h rh h rh h rh
rh rh rh rh
h rh rh h 4y
Oeflectlon-coeficient matrlx for indicated nod11. AI I horizontal grid d imen1ion1 are rh; alt vertical value1 are h. Any set ot grld cofficienta ia equated to
4 • • nodal loods of Phi'Drh -( 11,,•h/D) •ij .
FIG.1/I. 6-IDENTIFICA~ÃO DAS VAR/AVEIS DOS COEFICIENTES DOS DESLOCAMENTOS ONDE iJx = rh e JJy = h.
1 • Xl = -:;-:.,(1-A)
2r
. 4 8 .
1 2 2 1 2 X3= - 4(1--«) +2 (1-.M.)+-(1-"')
2r r 2
2 • X 5 : - -:t ( 1 -.«) - ( 1 - " ) r
2 z 2 X7=·-(1-.u) --(1-.a)
,• ,2
1 X9 = -( 2 ·-"') r
X 13 = • .!_ • .!_ ( 2 -M) r4 ,2
Xl5•· 4
2 ·4 r
6 8 Xl7=-+-+5 r4 ,2
2 1 X 19 = • 2 ( 1 •-'< ) - 2 ( 1 - .« )
r
5 8 X21=-+-+5 r4 ,2
1 4 1. X 23•-.+-:;r( 1 ·M) + 3( 1 -.<.q
r r
1 2 2 X2= - 4 (1 -A) - 2 (1-.a)
r r
X4 = ~( 1 • ...- ) r
5 2 4 XB=-(1-,;) +-(1-.«) + 1.0
2r4 ,2
XIO = 1.0
2 X 12 = • 2 (2-.«) -2.0 r
1 4 5 2 X 14 = - +-( 1 - .u) + - ( 1 -.a)
r4 ,2 2
4 4 X16= ·- ·
r4 ,2
2 XIB = r2
5 8 6 X20•-+-+ ,4 ,2
6 8 X22•-+-+6 r4 ,2
X27 = -k-r
FIG.IIr.7-COEFICIENTES DOS DESLOCAMENTOS EM TERMOS DOS PONTOS DO DOMINIO DA PLACAd 2 I (MULTIPLICADO PELO FATOR o<= y2 = 2
dx r ONDE r= dx/dy)
. 49.
llyx
Mx 4x
My X
Mxy tJ.y Mxy
Mx My
1 y Myx
y
z
F/6.III.8-ESFORÇOS SOLICITANTES NUM ELEMENTO OE PLACA NOS SENTIDOS CONVENCIONADOS COMO POSITIVO
1 • 1
ja:n+1=6
y
j = 1
1
' 1
7
1
i <n 13
1~ <n ... -
_J 1 ~ ' e: 19
25
·1 = m + 1 = 6
1 T2 --
--- ··v- -16 3 4
8 9 10 11 i'2
~. r "- j .. ~;/115 16
' '
1
20 21 122 23 : 24 --- .. --·
26 27 28 29 1
,30 -·---- ---- ---
PONTO 16 = =( 1-l)•(m+l)+J=
• ( 3-l)x( 5+1) +4 = = 16
_L-._+3:..:l ___ ..::.3=.2 ___ ._3:::3:_ __ .....:3:..:4 __ __.._:3:::5:_ __ ._3:.:6:_ ___________ X
Lx
m OIVISÕES
FIG . .III.9-MALltA RETAN6fJLAR GERADA POR fJM RADIER ONDE m=n=~
cn o
. 51 .
= 1 j , m + 1
1 - j:J
~
w' ( 1 i )
""- -- ' PONTO GENERICO
i-l)x(m+l)+j
__,__i=m+l
-FIG.III.10- MATRIZ W DOS COEFICIENTES DOS PONTOS NODAIS
=
j = 1
PONTO 1 I
1 X3
X5
X6
(
1
1..:
. 5 2.
VALORES SEGUNOO
/FIG.m.6
X2
X4
"'
Xl -
~ -\ VALORES NULOS
( TIPICO)
j=m+l =6
1
FIG.III.li - MArRIZ w DO PONro l DE UM RADIER ONDE m=n=~
-l=n+l=6
. 5 3 .
â=K
1 Í =i
I LARGURA FAIXA
1 1 '
i=l__,_.~5~-~z+'-1!-+--l-+"5+-"'4!-+--l--+-t-le~•l-+--l--+-+--4-+--l-+-H-+--l-+-t-2 1 T 1 9 12 9 I 10 '
1
' 1
1 7 li Tt-l+-+-~9~1"'1-'9+-+-;'-+-+IO"+--+-l-+-+-+-H-+-+--+-+-~ 1171171 9129 ,,
1 T: +,±z+-t-l--=+9='r.'o,±-9H l-+-+-'tl H-+-+-+-H-+-+-+-t-1 •• • • •
• 9 1411 119 • '
4 IZ 9 115111411~ 9 IS li 10 1
9129 2111111 :111!11 9·12 9 2 11 ITIIZ'l U 1511
' 1 12 4 ,. li 11 1 ,. 115 9 10
9 5 2 IJl4 9 19 • ' • 1991 1~112· 199 •
10 ,9 1 l li 1 911! 1 ii 10 IIU!H 1!1~8 9"" l1a1911 101
~•111111 l•I"'~ 11111 I'
Y= 101 11 1• 9 1 ~IS ffll 11
11 1
1 IO
8 1 _a ! -f''-l""l--+--4-r--l--l"l+-H--1--+-~+-I •
1 199 1 199 • ' H-r,-t-+-H~.1-.!-+-t- .j.... 9 18 1 l'I 1c•~,.~t:;j~+~9,,_ '+'-l'1'"9~ "~llt.~t+=t~~1ot.~~~=tj
1 0 18 1 1 181111 18 2 1 15 18 10 ;10 1' 11 11 16 111 1!:li l' 10
1 10 111! 9 li! ,,,., li 18 15 9 1
' ! • 9 19 18' 1'51
'"" 9 14
NO 25 - l-<--i--l-+.\-!----+-l---+"-ªJ-.i-l-+.\-J!'19"!."9-He--+--+-ll'-'11, ,µ1,._,,i'.'f~--l-+.J!º·=• 1--J.-'--I-J •
' 10
10
1
'
10
•
9 ·,, 18 111111,1... 4 12 9 111511 ~· 181711 2 9129
18 UI li Z 18 ~17~1~:ll--i-i.!IJ'.j!1~2+J9~ 1 15 9 llr,:1• ;;ª;;'i;.l';;+--+-1~·"--fcl"l4~
1 1 1514 9 5
·1 110 ,u, 11az
i: K - --~-~~~~ i , , [L___l_,__[I_L-=·j_J_L_J_J:·=ªj_JL.L...J..'..1.1'2'-'=JS
""'---- COEFICIENTES NULOS NÃO INDICADOS (TÍPICO)
"' F/G.l/[./2-MATRIZ Y PARA m:n•6 K = 36
LARGURA FAIXA
(m+1)x2+1=
= 2m + 3
ARMAZENADA NA MATRIZ
Y(K,2m+3)
EXEMPLO ,
m = 5 lorgura·· foixa • 2 X 5 + 3: 13
COEFICIENTE
BOWLES (9 NÃO NULO
(TÍPICO)
FIG.JII. .6
-y =
NÓ 2!1 -
. se..
í' 2m + 4
I • 1
1 ;, 2m+3
1
• 2 1 1 • • •' • 7 1 1
' i • ' 12 9 10
li 7 1 1 • 12 • ''º ! li 1 1 9 ! 12 • ! : 'º ... -~
• 2 • 12, 9 'º • ! 1 • 5 1 ' • 14 ,. 27' 19 ' 9 • 21111!211 I• li li + ! 10
17 ,. 21 1 T,. 15 ,. ' ' 'º 1 ' 10' 17' li 27 li: 19 li
21 ,. 1 11 ! 1• • i 10
,. 1 9 ! 19 ,8
-l--23 i 13 27,
' 19 9 . '
.. 20 li 27 I• ,. '18 i l 10
22 18 27 1 ! T 18 ,. ,. 10
22, 'ª 27. 'ª ,. ,. 10
i 'ª 1 15 9 ' 20 13i 10
23 • 11: • 23 IS 27 19 9 :• 20 li l7'
' ! 9 151 li i 101 .. .. 27 ,. 15 ,. ' ' 10: _
1
,-22., 18 27' 'ª li ,. 10 ~
20 isl . li, li 9 1 101
~ -w· '
23 9 19 • Ili ~-~- .
• IS· 27 • ,, 21,11121. ; •• . 12 • i '~
T • i ' 17 li lT t • 12 li:
111
11 27 1 --- ~-
• 12 9 1-
21,,. i rt' ... 14 : • f..!' 1 ' ' ..
3 1
2 1 1 ~~~-- '
• 1 7 ' 1 ' .. r 1 li· T, 1 .
li 1 7 1 1 1
• ,2
!:::L 1
1
• 'r--. 1 1
1
' '
BOWLES ~ COEFICIENTE NÃO NULO (TÍPICO)
FIG. fil. 6
~
9
FIG.III 13 - MATRIZ Y ARMAZENADA EM ARRANJO RETANGULAR m=n=5 K=36
- COEFICIENTES NULOS NÃO INDICADOS ( TÍPICO)
. 5 5.
Lx
-~--X
y
FIG . .III.14- ELEMENTO DE PLACA SUBDIVIDIDO EM FAIXAS FORMANDO UMA GRELHA
z
y
. 5 6.
z
FIG. III. 15 - MODELAGEM DO RADIER POR f.lMA GRELHA SOBRE MOLAS
. 5 7.
t--~.,........,A;:..X-,-,_,
h / y
X
MOMENTO OE INERCIA A FLEXÃO , Iy = Ax h3
12
MOMENTO OE INERCIA A TORÇitO • Ix = n Ax h3 :. ( Ax>h)
MÓDULO ELASTICIDADE LONGITUDINAL E
MÓDULO ELASTICIDADE TRANSVERSAL • G
, , , FIG.IJI-17- CARACTER/STICAS ELASTICAS E GEOMETRICAS
DE UM MEMBRO DA GRELHA
Ax
/ '/
/ / /
K=K0 AxAy
AREA OE INFLUÊNCIA
FIG.'III. 16 - DISCRETIZAÇAÕ DA REAÇÃO DO SOLO
.,,
. 58 .
••·••• ft kips
o
~ 1 '-... 1
J.. ,, '
Horizontal 91ament• 28.387+ 10.802.• 39.119 24.556 + 14.633: 39.119
P•rpendic11lar monient1 Sam• from IJMfflatry os lllorizontol moment.
Computing tbe •odol b•nding momentstor dflh;in u•in9 the compute, output.
' FIG. OI. 18 - CALCULO DOS MOMENTOS FLETORES NAS 0/REÇOÉS X ti Y SEGUNDO BOWLES EM
"ANALYTICAL ANO COMPUTER METHOOS IN FOUNOATION EN6ENEERIN6 " CAPITULO 7. 9 {9]
,- o • J::;.
Mx
\ /ZERO
/
-FIG. III. 19- MOMENTOS FLETORES NAS 0/REÇOES X e Y SEGUNDO KURT BEYER C/3 J
I y
y
1 I l
. 60.
I t.X ,/
I i
J' t. X
.. -:;?,/_
I /
F"IG.I!I-20- MODELAGEM DO RAD/ER POR VIGAS SOBRE BASE ELÁSTICA
DIREÇÃO X
X
DIREÇAÕ Y
. 61 .
X
MOMENTO DE INÉRCIA A FLEXÃO Iy' Ax h• 12
MODULO DE ELASTICIDADE LONGITUDINAL , E
' ' FIG.III. 21 - CARCTERISTICAS ELAST/CAS E GEOMETRICAS DE f.lM MEMBRO DE VIGA
. f. 'Z •
dX
ELEMENTO DE PLACA
X,u ---~-
i
j 1
1 ! l y'.
Z,w REAÇÃO DO SOLO
FIG.III.22-PLACA FINITA COM CARGAS ATUANTES E RESPECTIVA MALHA DE ELEMENTOS FINITOS
. 6 3.
K = Ko .õ. x .õ.y
ELEMENTO DE PLACA
5
ELEMENTO DE SOLO
Y,v
1 REAÇÃO DO TERRENO R =Ko W
Z,w
FIG.10.. 23 - PLACA FINITA COM CARGAS ATUANTES E MODELAGEM EM ELEMENTOS FINITOS DA PLACA E DO SOLO
. 6 ~.
/ o /
11- - - - - /~/'-,,<----- X, u ,, 1 /
/ / / 1 /
/ /
h l=L---"------: _-__,,/ Y,v
Z,w
~
FIG.III. 24- ELEMEN70 DE PLACA NA CONFIGURAÇAO INDEFORMADA
. 6 5.
/ y
z
Qr
• o
Mr ( 1
z
(')
r
Qr+ ~Qr dr 11,
1 ) Mr + 'aa~r dr
Qr+~ dr "ilr
q(r)•Ko w(r)
r
FIG. III. 25 - ELEMENTO OE PLACA SOB AÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES E SUBMETIDO AO CARREGAMENTO
, -EXTERNO DISTRIBUIDO p E A REAÇAO DE CONTATO q
o
FIG. III. 26 -
. 66.
~,o.o
to.
t<J.3
tO. I
o
-0.1
·0.2
·!JO
-o.3
-0.4
-,ao ·o.
-
o
dZ4( X)
dx
Z4 (x)
dx
FUNÇOES z,,zz,Z3,Z4
z; ,z2 ,z~, z4 BEAMS ON ELAST/C FOVNDA T/ON , M. HETENYI C/8]
6
X
A o
o.e
8 o
-O.e
e o
1.0
o o
2.0
E o
-100
-•
. 6 7.
-· -4 -· -· _, o
,
2 •
AisZ1 (.Sr)
Oefiection= ~A 4/J O
e isZ'1 ~rl
Slope=..Ls '\SD
o is!Az';c~>+.,',z~(,ar)l
Moment = .f.. O .. 4
4
Fl6.Jlr. 27- ANALISE EFETUADA POR S(ll(}Tr C li J ~
a)DESLOCAMENro VERTICAL, ROTAÇAO, MOMENTOS TAN6ENCIAL E RADIAL E ESFORÇO CORTANTE RADIAL b) a f) 6RÁFIC0S AMPLIADOS
JJr= r /L ONDE ,S = 1/L
•
o
o,,
0,2
••• 0,4
. 6 8.
1 A
j O~'-"----'--~-'---'-~-'---_.._~_,__----'~---'-----'~---'-~L...---'--~L...-'-~-'----'
o 0.4 011 1.2 111 2,0 2.-1 2.a ~2 s,1 •,o 414 4,e s,2 s,1 ep
+l,2
+-1,1
e
~· DeflectlH
~· 11.,. (.)
+tp~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~___.,
O 0,4 0 18 11 2 119 2 10 2 14 z.a 1,2 :S,I 4 10 4,4 4,8 5,2 15,8 1 10
6•
IUdlal •••Ht
,. )
FIG.III. 27 CONTINUAÇÃO
o
+0.4
+o.a
+ 1.2
+1.6
. 69.
D
+ 2.0 L...-'----'--'----'---L--'--'--J._-'---'---'--'---'--......J'--'---' o o.4 o.a 1.2 1.s 2.0 2.4 2.a 3.t 3.6 4.o 4.4 4.e s.2 ,.e s.o ,,
(o)
flnilllle Beams o•d Sloll1 on Winltter Foundatlo11
ºr~---------------------• 20
· 40
·•o
·ao
-100L...~-~-~-L...~----'--~-~~----'--~-~~----'--~~ o o.4 o.a 1.2 1.1 2.0 2.4 z.a a.2 3.8 4.o 4.4 4.a a.z s.s e.o
(f)
FIG. III. 27 - continuação
( a )
( b )
. 70.
p Po= Trc2
FIG.III.28 - a) CARGA CONCENTRADA TEORICA
b)CARGA DISTRIBUIDA REAL
r
Y,
i = ,
i = n + 1
j ' ,
1
~
/
/ /
-T 1
'
" T
l
. 71 .
r
0 ~ ---__,-~-
1-1 l .1;..l1i+1 PONTO ( i
'
!
,
1. ---~
m OIVISOES
~ _, %1
F"IG.III.29- MALHA DE PONTOS NODAIS GERADOS
J = m+ 1
i -r ! ' '
1
1
1
"' i ' ...
' «> "' >
.!: õ e
~ . -X
i= 1
i=I~ •
CI) C( o C( lt:
y: w "' " "' e o e z lt: w o lt: o
i = o ~ u
n2 F'ONTOS
NODAIS = ( m + 1)
i= 2
y
CI)
< o < lt: ... "' ""
V,
< o e z lt: w o lt: o o u
(n + 1 )
. 7 2 .
CI)
e o o z CI)
e "' lt: e u
-FIG.'1/I. 30 - ESTRUTURA DA MATRIZ Y
i = 4
Mx
" o ,e .,. ... lt:
o e z
J:! z w :li o :li
j=5
My
"" o .. , <> w lt:
o
C(
z
o .... z w :I! o :E
j=6
Qx
" o
lC <> w lt:
o
< z
w 1-z i'! a: o u
j=7
Qy
"" o
}C .,. w lt:
o
e z
w 1-z C( 1-a: o u
. 7 3.
CAP1TULO IV
APLICAÇÃO A CASOS REAIS
Neste Capitulo serão analisados dois radiers de edifícios
no Rio de Janeiro, o primeiro com uma distribuição bastante re
gular de pilares e cargas e o segundo com uma distribuição irre
gular, com o objetivo de se verificar a aplicabilidade dos mêto
dos descritos no Capitulo III a casos da prática e comparar seus
resultados.
IV. l - EXEMPLO l: RADIER COM DISTRIBUIÇÃO REGULAR DE PILARES
O primeiro radier a ser analisado tem dimensões em planta
de 45m x 52.5m, com uma modulação uniforme para os pilares (Figu
ras IV.l e IV.2).
As cargas transmitidas ao radier sao forças concentradas
de intensidade elevada. O estudo será feito para um radier com-
posto por placa lisa em concreto. A análise sera efetuada para
2 (duas) espessuras:
- lQ caso: espessura= 2,50m
- 29 caso: espessura = 1, 70m
A seguir são apresentadas as modelagens do radier para
cada mêtodo de análise, e os respectivos diagramas de
fletores nas direções X e Y da placa.
IV.1.1 - Mêtodo dos Elementos Finitos
momentos
Na análise foi utilizado o programa LORANE LINEAR e o
elemento de placa retangular não conforme descrito no item III.6.
3 com vínculos elásticos (molas) nos seus quatros pontos nodais.
Devido ã dupla simetria geomêtrica e das cargas aplicadas, foi
. 7 4.
moéelado apenas um quarto do radier.
Na Figura IV.3 é apresentada a modela9em- adotada.
Nas Figuras IV.4 a IV.7 estão apresentados os diagramas
de momentos fletores para as direções X e Y relativos às alturas
de· l , 70m e 2, 50m.
IV. l.2 - Método das Diferenças Finitas
Na análise foi utilizado o programa descrito no item III.
3.4 e Apêndice A.
O cálculo foi elaborado segundo a modela9e~ apresentada
na Figura IV.8, utilizando-se o radier total, pois o programa nao
simula as condições de simetria do exemplo em estudo.
Os valores dos momentos fletores estão apresentados nas
Figuras IV.9 a IV.12, para um quarto do radier e alturas de 1,70m
e 2,50m.
IV. l .3 - Método do AC!
O cálculo foi elaborado utilizando-se o programa descrito
no item 111.7.4 e Apêndice B, que elabora, conforme já descrito,
a compatibilização das condições de contorno da placa exigido
-+ pelo ACI (20).
A escolha de pontos onde os esforços sao calculados se-
guiu a malha do Método das Diferenças Finitas (FIG.IV.8).Como no
caso anterior, não se pode tirar partido da dupla simetria.
Nas Figuras IV.13 a IV.16 estão apresentados os diagramas
de momentos fletores em um quarto do radier para ambas as
çoes e para alturas de l,70 e 2,50m.
IV.1.4 - Método da Grelha sobre Base Elástica
d ire-
Na anãlise foi utilizado o programa LORANE LINEAR e o ele
. 7 5.
mente de grelha descrito no item III.4.3 com vínculos elãsticos
(molas) nos pontos de cruzamento das vigas da grelha e tambem
nos pontos intermediários e do contorno, essenciais para um cor
reto desempenho do modelo em estudo. (FIG.IV.17).
Neste caso tambem foi tirado partido da dupla simetria
existente, sendo calculado um quarto do radier.
Nas Figuras IV.18 a IV.21 estão apresentados os valores
dos momentos fletores nas direções X e Y no caso de consideração
ou não da rigidez à torção das barras de grelha descrita no item
III.4.1, para a altura do radier de 1,70m.
Nas Figuras IV.22 a IV.25 estão apresentados os resulta
dos para a altura do radier de 2,50m.
IV.1.5 - Metodo da Viga sobre Base Elãstica
Conforme a Figura IV.26, a modelagem adotada dividiu o
radier em vigas independentes nas direções X e V, sem qualquer
vínculos entre elas conforme descrito no item III.5. l. Esta divi
sao serviu como base para se efetuar o cãlculo do radier por fai
xas em ambas as direções:
(i ) faixas das vigas externas (englobando as linhas de
pilares prõximas ao contorno externo) .
(ii) faixas das vigas internas (englobando as linhas de
pilares internas).
O carregamento adotado foi o total para ambas as direções,
conforme e usual no cãlculo de lajes cogumelo.
Para a anãlise foram utilizados elementos de viga com
vínculos elãsticos nos pontos nodais sendo o cãlculo elaborado p~
los programas SAP IV e LORANE LINEAR conforme jã descrito no item
lll.5.3.
. 76.
Os valores dos momentos fletores totais obtidos para cada
viga estão apresentados nas Figuras IV.27 a IV.30 para as alturas
de 1 , 70m e 2, 50m.
IV.1.6 - Anãlise dos Metodos de Cãlculo
Serã efetuada a análise dos resultados dos diversos meto-
dos de cálculo, comparando os valores dos momentos fletores nas
diversas faixas em que foi dividido o radier.
Como a distribuição dos pilares e regular, poder-se-á di-
vidir o radier em duas faixas (para cada direção de estudo), a
exemplo do que se faz em lajes cogumelo.
Teremos 2(dois) tipos de faixas (FIG.IV.31 e IV.32).
- as faixas coincidentes com os eixos dos pilares, deno
minada de faixa dos pilares.
- as faixas situadas entre 2(duas) linhas de pilares, de
nominada de faixa interna.
A análise sera efetuada para 2(duas) alturas distintas do
radier 1,70m e 2,50m.
r conveniente lembrar que os Metodos dos Elementos Fini
tos, Diferenças Finitas e ACI, fornecem os valores dos esforços
por unidade de comprimento. Para se obter o valor do momento fle
tor total atuando na faixa deve-se efetuar a integração dos valo
res apresentados nos diagramas solicitantes.
Os Metodos da Grelha e da Viga sobre Base Elástica já
apresentam os valores, dos esforços totais em cada faixa, dispe~
sando portanto cálculos adicionais.
Apresenta-se nas Figuras IV.33 e IV.34 um resumo dos mo
mentos fletores totais nas cinco faixas em que o radier foi divi
dido na direção X e nas Figuras IV.36 e IV.37 um resumo dos momen
tos fletores totais nas quatro faixas em que o radier da,direção Y.
. 7 "J •
As Figuras IV.35 e IV.38 apresentam um resumo com a soma
dos momentos fletores entre a faixa dos pilares e a metade dos
momentos fletores de cada faixa interna vizinha ã faixa dos pila
res considerada, de modo a se poder comparar com os valores ob
tidos no cãlculo do Metada da Viga em Base Elãstica, para as dire
ções X e Y.
(a) Direção X:
Os momentos fletores obtidos a partir do emprego dos
Metadas dos Elementos Finitos e das Diferenças Fini
tas, apresentam valores significativamente próximos.
As diferenças medias dos resultados se situam em tor
no dos 15%.(ver Figura IV.33 e IV.34).
Os momentos fletores calculados pelo Metada do ACI se
aproximam dos valores dos metadas anteriores, para
pontos do radier afastados dos bordos. As diferenças
medias dos resultados obtidos pelo ACI, Elementos Fi
nitos e Diferenças Finitas são de ordem dos 20%. Para
os pontos próximos aos bordos os valores obtidos dife
rem de atê 48%, apresentando resultados sempre inferi o
res, denotando que o Metada do ACI não simula de modo
correto as condições do contorno da placa.
Lembramos que os valores dos esforços nos bordos jã
se acham compatibilizados conforme o item 7.3.8 da
AC I.
Para o Método da Grelha sobre Base Elãstica, os valo
res dos momentos Fletores nos casos da consideração
ou não da torção, diferem entre si em media de 15%.
Com o objetivo de não sobrecarregar a nossa anãlise ,
plotou-se nas FIG.IV.33 e IV.34 apenas os resultados
. 7 3,
numéricos do caso da grelha com torção. Observando-se
os valores dos momentos fletores, concluimos que os
mesmos diferem bastante dos obtidos pelos outros me
todos. Para pontos do balanço em torno de 60% (trecho
entre a linha de pilares e o bordo da laje) e para
os centros do lQ vão em torno de 35% (trecho entre os
2(dois) pilares extremos de uma faixa). Esta diferen
ça entre os resulta dos ê devi da a m:ode.l:crgem adotada,
que resulta sempre em trechos com balanços para os
bordos de placa. Desta maneira o" maior quinhão de
cargas'' das faixas dos pilares fica com uma esquemat!
zação deficiente, não conseguindo interagir entre
duas faixas de balanço consecutivas, acarretando um
fraco momento fletor e uma correspondente majoração
dos momentos positivos no lQ vão. Note-se ainda que
para as faixas internas os momentos fletores obtidos
se aproximam em media cerca dos 20% dos obtidos pelos
Mêtodos dos Elementos Finitos e das Diferenças Fini
tas.
Os valores totais dos momentos fletores do cãlculo
como viga sobre base elãstica se diferenciam dos
valores totais mêdios da soma dos momentos fletores
das faixas dos pilares e da faixa interna de no mãxi
mo 20% (em relação aos Mêtodos das Diferenças Finitas
e Elementos Finitos - FIG.IV.35). Observa-se que, ao
menos para o exemplo l, este método aproximado forne
ce resultados totais satisfatürios, faltando apenas
definir-se o modo da distribuição dos momentos fleto
res entre as diversas faixas do radier. A NB-1 (22) ,
. 79.
sugere a seguinte distribuição para lajes do tipo co
gumelo:
- faixas dos pilares:
momentos positivos 55%
momentos negativos 75%
- faixas internas:
momentos positivos 45%
momentos negativos 25%
Baseado nos resultados obtidos, observa-se uma pequ~
na alteração nos valores acima, para o seguinte modo
de distribuição na direção X:
- faixas dos pilares:
momentos positivos 52%
- momentos negativos 68%
- faixas internas:
momentos positivos 48%
momentos negativos 32%
Convêm ressaltar que conforme explicado no item IV.l.5
foi tomada para cada direção de estudo como viga, a
totalidade da carga nos pilares.
Na anâlise dos resultados obtidos nos casos do
radier com a altura de l , 70m ou 2 , 50m, os valores dos
momentos fletores variaram de no mâximo 10%.
Como exceção temos os momentos do centro do 19 vão(tr~
cho entre os dois pilares extremos de uma mesma fai
xa), onde para a placa com uma altura de 2,5 metros
foram atingidas majorações de em mêdia 25%. Como ilus
. 80.
tração, a variação do ''raio da rigidez relativa'' pl!
ca X terreno ida ordem de 25% e a variação da rig!
dez a flexão da placa da ordem de 70%, conforme de
monstrado abaixo:
19 caso: espessura do radier = 1,70m
Et 3 rigidez a flexão da placa= D 2
E =3000000 t/m2
\1 = O , 20
h = 1 , 70m
12(1-µ)
+ D = 1 2 7 9 4 2 7 • 1 tm
modulo reação vertical do terreno: K0
= 3000 t1
m3
raio de rigidez relativa= •J 1279427. 11=4,54m
v 3000
29 caso: espessura do radier = 2,50m 3
rigidez a flexão da placa= D Et 2
E= 3000000 t/m2
µ = 0,20
h = 2,50m
12(1-µ)
+D= 4069010.4 tm
modulo reação vertical do terreno: K = 3000 t1
3 o m
raio da rigidez relativa = ~ = ]4069010.4~ Ko 3000
6,07m
A Figuras IV.39 e IV.40 apresentam as pressoes de con
tato (reações do terreno) nos casos de h = 1,7.0m e
h = 2,50m, respectivamente, onde se constata uma me
lhor distribuição das pressões no caso do radier com
altura de 2,50m em relação ao de 1,70m de altura. As
variações atingiram uma midia de 10% nos bordos e de
15% no interior do radier, bastante distante das va-
. 81.
riações do raio da rigidez relativa e da rigidez a
flexão da placa. A distribuição de pressões obtida ex
plica as variações ocorridas nos diagramas de momen
tos fletores nos casos das duas alturas do radier que
foram analisadas neste exemplo.
(b) Direção Y:
A comparação entre os momentos fletores resultante do
emprego dos Mêtodos dos Elementos Finitos e das Dife-
renças Finitas, apresentaram valores com diferenças
mêdias da ordem de 13% para as faixas dos pilares
(19 e 39 faixas). Para as faixas internas (29 e 49 fai
xas), as diferenças atingiram atê 46%. Nestas faixas
internas os valores dás esforços são da ordem de
20% dos esforços das faixas dos pilares. Por este mo
tivo apesar da variação em termos absolutos entre os
2(dois) mêtodos de cãlculo analisados, terem mantidos
a mesma ordem de grandeza (ver FIG.IV.36 e IV.37), em
termos relativos as diferenças constatadas se tornam
elevadas.
O Mêtodo do ACI, mantêm alguma aproximação dos Mêto
dos dos Elementos Finitos e das Diferenças Finitas p~
ra pontos do interior da placa, e resultados inferio
res para pontos prõximos ao contorno.
O Mêtodo da Grelha sobre base elãstica apresenta valo
res prõximos (diferenças mêdias não superiores a
15%), para os casos da consideração ou não da rigidez
ã torção das barras. Continuaremos de maneira anãloga
a anãlise efetuando para a direção X, a plotar nas
FIG.IV.36 e IV.37 os resultados numêricos do caso da
. 82.
grelha com torção. Para a direção Y, esse método apr~
sentou momentos fletores com diferenças médias da or-
dem de 45% em relação aos outros métodos, para as
faixas dos pilares. Esta majoração dos esforços nes-
tas faixas, acarretou em contrapartida uma diminuição
nos valores absolutos das faixas internas,tornando as
diferenças relativas aos outros métodos bastante sig
nificativas. As observações feitas para a direção X
com respeito ã modelage~ adotada para os pontos dos
balanços (trechos entre os bordos do radier e a linha
de pilares), também se verificam.
De modo semelhante a direção X, o Método da Viga sobre
Base Elãstica, apresenta valores totais dos momentos
fletores com diferenças médias da ordem de 21% (exceto
em 2(dois) pontos nao representativos do trecho em
balanço no Método dos Elementos Finitos) em relação
aos valores totais médios da soma dos momentos fleta
res das faixas internas e da faixa dos pilares em
comparaçao com o Método das Diferenças Finitas e dos
Elementos Finitos). O modo de distribuição observado
nas diversas faixas, foi o seguinte:
FIG.IV.38).
- faixa dos pilares:
momentos positivos 68%
momentos negativos 90%
- faixas internas:
momentos positivos 32%
- momentos negativos 10%
. 83.
A variação dos resultados numêricos dos momentos fle
tores para a direção Y, entre as alturas do radier de
1,70m e 2,50m se situaram na mêdia de 15%. Esta varia
çao ocorreu de forma aleatoria ao contrãrio da dire
çao X.
IV.2 - EXEMPLO 2 - RADIER COM DISTRIBUIÇÃO IRREGULAR DE PILARES
Este exemplo refere~se a um radier com 8,00m de largura
e 16,00m de comprimento, com um arranjo de pilares bastante irre
gular. As cargas concentradas tem valores moderados (Figura IV.
41 e IV.42).
O radier e uma placa lisa em concreto e a anãlise sera
feita para 2(duas) espessuras:
- 19 caso: espessura 0,50m
- 29 caso: espessura 0,80m
A seguir são apresentados, em conjunto com a modelagem
do radier para cada mêtodo jã descrito no Capitulo III, os res-
pectivos diagramas de momentos fletores nas direções X e Y.
IV.2.1 - Mêtodo dos Elementos Finitos
A anãlise foi elaborada utilizando-se o programa LORANE
LINEAR e o elemento de placa retangular não conforme descrito no
item III.6.3 com molas nos pontos nodais.
A Figura IV.43 apresenta a modelaoem e as cargas atuan
tes.
As Figuras IV.44 a IV.47 apresentam os diagramas de mome~
tos fletores para as direções X e Y e alturas 0,50m e 0,80m.
IV.2.2 - Mêtodo das Diferenças Finitas
A anãlise utilizou o programa jã descrito no item III.3.4
. 8'4,
e Apêndice A. A malha adotada e as cargas estão apresentadas na
Figura IV.43.
Os momentos fletores para as direções X e Y e alturas de
0,50m e 0,80m estão apresentados nas Figuras IV.48 a IV.51.
IV.2.3 - Mêtodo do AC!
A escolha dos pontos de cãlculo seguiu a malha empregada
no Mêtodo das Diferenças Finitas (FIG.IV.43).
As Figuras IV.52 a IV.55 apresentam os diagramas de mame~
tos fletores para as alturas de 0,50m e 0,80m nas direções X e Y.
O programa descrito no item III.7.4 e Apêndice B foi utilizado Pi
ra os cãlculos dos esforços, incluindo a compatibilização das
condições de contorno conforme determina o AC! (20) .
IV.2.4 - Mêtodo da Grelha sobre Base Elãstica
Efetuou-se a anãlise atravês do programa LORANE LINEAR
utilizando-se o elemento de grelha com vinculas elãsticos nos
pontos de cruzamento das vigas da grelha, pontos intermediârios e
do balanço, a exemplo do que foi explicado no item IV.1.4 do
exemplo 1.
As cargas aplicadas estão descritas na Figura IV.57 e a
modela~em empregada na Figura IV.56.
Os diagramas dos momentos fletores para os casos da con
sideração ou não da rigidez ã torção das barras estão apresenta
das nas Figuras IV.58 a IV.65 para as direções X e Y e para as
alturas de 0,50m e 0,80m.
IV.2.5 - Mêtodo da Viga sobre Base Elãstica
Conforme as Figuras IV.66 e IV.67, o radier foi dividido
em quatro vigas no sentido horizontal (direção X) e em cinco vi-
. 85.
gas no sentido vertical (direção Y).
O emprego deste mêtodo constou do cálculo das vigas acima
descritas utilizando-se o elemento de viga do programa LORANE
LINEAR com vinculação elástica nos pontos nodais de cada elemento.
As vigas não interagem entre si, sendo o trabalho de cada uma to
talmente independente das demais. As cargas totais foram aplicadas
em ambas as direções X e Y. Os valores dos momentos fletores para
as vigas 1 a 9 acham-se apresentadas nas Figuras IV.68 a IV.71.
IV.2.6 - Análise dos Resultados
De maneira análoga ao exemplo 1, a análise será feita ba-
seando-se nos resultados dos valores dos momentos fletores obti
dos para cada mêtodo.
Por não existir uma uniformidade na distribuição dos pila
res, a análise feita no exemplo 1, onde subdividimos o radier em
faixas denominadas internas e faixas dos pilares, fica sem senti
do.
A avaliação dos resultados sera baseada de maneira
nas FIG. IV .43 e IV. 71.
total
Os esforços obtidos no Mêtodo dos Elementos Finitos, Mê-
todo das Diferenças Finitas e Método do AC!, apresentam os resul
tados numêricos dos momentos fletores por unidade de comprimento,
ou seja mt/m. No caso do Mêtodo da Grelha sobre Base Elástica e
Viga sobre Base Elástica os momentos fletores apresentados já sao
totais para cada trecho correspondente do radier, ou seja mt.
(a) Direções X e Y
Os momentos fletores do Mêtodo dos Elementos Finitos
comparados com os Mêtodo das Diferenças Finitas, apr~
sentaram valores muito prõximos. As diferenças nao
.86.
suplantaram o valor de 10%, exceto para 2(dois) pontos
localizados do radier. Estes pontos são exatamente os
situados sob os pilares P2 e P10 que tem cargas elev~
das junto ao bordo da laje. Neste caso a diferença
nos valores dos momentos fletores atingiu o mãximo
de 36%.
O Mêtodo do AC!, comparado com os anteriores, atingiu
diferenças relativas elevadas. Este mêtodo em toda a
extensão da placa apresentou sempre valores inferio
res, da ordem de 75% aos Mêtodos dos Elementos Finitos
e Diferenças Finitas.
No Mêtodo da Grelha sobre Base Elãstica, a comparaçao
entre os casos da consideração ou não da rigidez a
torção das barras, conduz a resultados com diferenças
pouco significativas (da ordem de no mãximo 10%). De~
te modo efetuamos, seguindo o jã feito para o exemplo
l, a anãlise para o caso da grelha com rigidez a ter
ção das barras. A comparaçao deste mêtodo com os ante
riores mostra que os valores diferem de maneira alea
teria variando entre 24% e 80%.
Em alguns pontos os valores sao totalmente invertidos.
E conveniente ressaltar que para a comparaçao entre
os valores numêricos, os resultados da grelha sao os
momentos totais correspondentes a 2,00m de largura,
enquanto que no Mêtodo das Diferenças Finitas, AC! e
Elementos Finitos, os momentos fletores são apresent~
dos para os pontos nodais de cada elemento, que neste
caso tem l ,OOm de largura. A comparação deve ser fei
ta integrando-se os esforços neste trecho de 2,00m
. 87.
para possibilitar a comparaçao.
O Mêtodo da Viga sobre Base Elãstica apresentou a
mesma configuração do Mêtodo da Grelha sobre Base
Elãstica, embora com valores um pouco mais prõximos
do Mêtodo dos Elementos Finitos e Diferenças Finitas.
Estes valores apresentaram diferenças relativas aos
Mêtodos dos Elementos Finitos e Diferenças Finitas
entre 8% e 70%.Este mêtodo tambêm apresenta os
res totais dos momentos fletores para uma faixa
2,00m.
valo
de
No tocante as diferenças verificadas nos momentos fle
tores para as espessuras do radier de 0,50m e 0,80m ,
pode-se resumir o seguinte:
- os Mêtodos dos Elementos Finitos,ACI, e das Diferen
ças Finitas apresentaram uma redução da ordem de
20% no pico dos momentos, nos pontos onde atuam
cargas concentradas, no caso da majoração da espes
sura do radier de 0,50m para 0,80m. Em contraparti
da ocorreu um aumento da ordem de 30% nos momentos
fletores do restante da placa.
- O Metodo da Grelha sobre Base Elãstica apresentou
variações pequenas, da ordem de 10% sempre com mo
mentos menores nos pontos sob a ação de cargas con
centradas, e maiores no restante da placa, quando
da majoração da espessura de 0,50m para 0,80m.
- O Mêtodo da Viga sobre Base Elãstica apresentou gra~
des variações, da ordem de 50%, seguindo o modo dos
mêtodos anteriores, ou seja redução nos picos dos
momentos e uma consequente majoração em outros pon
tos.
,88.
Como ilustração, conforme demonstrado abaixo o raio
da rigidez relativa variou de 30% e a rigidez a fle
xão da placa de 75%, quando da alteração das espess~
ras.
19 caso: espessura: t = 0,50m
rigidez a flexão da placa= D = Et3
E = 3000000 t/m 2
h = 0,50m + D = 32552 tm
µ = 0,20
raio da rigidez relativa = L = fi1 K
o K0 = 3000 t/m3 "*L=l.Slm
29 caso: espessura: t = O ,Som
Et 3 D =
1 2 ( 1 -µ 2)
rigidez a flexão da placa=
E= 3000000 t/m2
h = 0,80m + D = 133333 tm
µ = O , 20
raio da rigidez relativa= L = Yº, Ko
K0
= 3000 t/m3 + L = 2,58m
A rigidez relativa radier-solo influe nas pressoes de
contato, conforme pode ser observado nas Figuras IV.72
e IV.73, que apresenta os resultados obtidos para o
Metodo das Diferenças Finitas. Os pontos internos do
radier apresentaram uma variação nas pressoes medias
de 30% para o contorno e de 25% para o interior da
placa.
* 1500 t -®5C)Ot 1500f l!SOOt ~ . , .... '
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~ººº' ,<! !C>QOt SOOOt 2000 ti
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-- ' w L , Hteom '
F/G.:OZ: 1-RADIER- FORMAS
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TERRENO, MÓOULO DE REAÇÃO VERTICAL =3000t/m5
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MOMENTOS FLETORES TOTAIS NAS FAIXAS INTERNAS E NAS FAIXAS h=l,70m, ESCALA /cm= ~OOmt
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BASE ELÁSTICA --•--•--•---
DOS PILARES
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(INTERNA)
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MÉTODO DOS !LIMINTOJ l'INl,TOI --. • --·-
.. E.TODO DAI OIFE1'ENÇA~ FINITAS-------
~ITO!)O DO ACT
·MÉTODO DA GRELHA $OBRE
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EF: 1920 {4%) EF: 23S'3 (4•4,)
o,: 1110 tv%1 · oF: uu <•%1
VII&: 1,11 Vl&A: 1411
EP': 1138(2'%} IP' :1521(3%)
DP' : 1571 (2%) EP': 1414 ( 1%)
b • 1,70 M Ili• 2,80,a
• • r 110 • 111 • a,eo •
VIIA: J.190
EF: 5!48 ( 1%) o,: 5237 (1%1
YIIA EXTERNA VIIA: 12815 li• 1,70•
VIIA: 1194
VtlA: 1271 VII&; 1200
EP': 1BZ3(4'%) EF:, 1288(1%1 DF: IUl(4%) Dff: 1211 (7%)
,.1,10. , • Z,IOa
•• : 1510(1%)
., : 1510(2%1
EP': 1191(1%)
º': 1111 (1%)·
11 • r ,so "'
Vla&:!511
EF: 1101 o,'11,1
DF: IU~(IS%)
!li• 11 70M
t.A: 1110
EF: 17'3 (1%)
•• : 1114 (12 %) ·
• • ,. 70 a
VISA: 35SI
H: !IH ( 11% 1 o,: 5411(1%)
Ili•ª·ªº· VIIA: 953
H: 1011(1~) •• : 1011(10%)
11. • l'.70•
YIIA~l443
1,: 1711 ( 11'!1,)
o,: 1141(20%)
,.z,,o.
F'IG.IY.35 • ANALISç DA SOMA DOS MOMENTOS FLE'T;ORES ENTRE AS FAIXAS DOS PILARES E AS FAIXAS INTERNAS DIREÇÃO X h= t, 70 m ti h = 2,50 m
VI.A: 1148
EF; 1180 (8%),
o,: 1151(11%)
•• 1,10 •
Yll!A: Ili.
U: 1113(1%)
•• : 1178 (4%)
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MOMENTOS FLETORES TOTAIS NAS FAIXAS INTERNAS • NAS FAIXAS DOS PILARES h=l,70m. ESCALA." /cm= 500ml
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MiTODQ DOI IU:NINTO. flN!TO. - ~ --· -
MÉTODO DAS DIFERiNÇAI P'INITAI-- - - - - --' ,
M!TODO DO ACI -----------
' "'"TODO DA .. ELHA aou , ~~·E ELAITIÇA ---x----x---
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.. "" FIG. IJl'. 37 - DIREÇAO Y
MOMENTOS FLETORES TOTAIS NAS FAIXAS INTERNAS t1 NAS FAIXAS DOS PILARES h :r 2,50 m. ESCALA: /cm" 500 mf
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M!TODO DOS [Ll!MENTOS P'INITOS-· _.,_ . MITODO DAI DIFllll!NÇAI ,iNITAI- - - - -
wirooo oo ACT ----------' . !,IETODO DA ORELHA S08AE
un ELUTICA ---·X----X--. -
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VIIA.: 1113 v11.1:. 710
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VIIA: 1901
VIIA: 1144 v1e.1: 1111
!f:IITC(I%) r,:14H(t%) DF: IH&(&%) Df: 144& (10%)
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VIIA.: Ili Vl8A.: 917
Ef:1140(42%) .,, llll (44%)
n: HIT(4%) o,: 1421(0%)
EF: 290 5(0%) ~~,0•~:~2~04-'-7~-+-'V-'-l"'8Acc:cc•cc•ccec.1 _~ --º-"_7_•_•_0_1_%_>-1-__ •_•:_7_7_7_<_••_% l
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VIIA: 1514
EF: 1891 (1%) Df: 105(0%)
h•l,TOM
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VIIA.: 157!5
u: 1714(1%1 o,: 1780(10%)
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VIIA.:1.71
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YIIA: 1415
1,: 1&41(~%) Dr. 1.1u:·c11%1
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VIIA: 12TI YIIA.! 1414
EF:1111(1%) EF:1291 (12%) DF:1171(1'!4) DF: IHO (11%)
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El':11141(11%) EF:I049 (~9'14) o,:11uu,%i, DF: 9!1 (21%1
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FIG . .IZ.38- ANALISE DE SOMA DOS MOMENTOS FLET'ORES ENTRE
AS FAIXAS DOS PILARES E FAIXAS INTERNAS DIREÇÃO y' h=l,70m "h=2,$0m
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RADIER : PESO ESPEC(FICO = 2,50 t/m3
MÓDULO ELASTICIDADE= E= 3000 000 t/m2·
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METOOO DAS DIFERENÇAS FINITAS
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41,0 320 21. 11,2 18,t 22,7 18,1 14,9
•º' 19,1 IB17 1111 11, 4 11,4 11,0 •••
\ ' \ \ 2,9 1,2 0,1 0,1 1,2 ••• 1,2
' FIG.:IIZ:. 47'- METOOO DOS ELEMENTOS FINITOS DIREÇÃO Y
h = O,Bm
1,4 o,a 1,6
/ 24,9/ 19,2
/ 28.9 40,1
32,8 49,1
29,5 44,0
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19,5 28,7
12,7 15,1
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X
CAPITULO V
CONCLUSOES
V. l - ANALISE GERAL
Com base nos resultados dos exemplos estudados e na teoria
dos diversos métodos expostos, pode-se apresentar as
conclusões:
seguintes
- O Método dos Elementos Finitos, para o elemen -
to retangular nao conforme da biblioteca do programa LORANE, apr~
sentou sempre na proximidade das cargas concentradas descontinui-
dades nos valores dos momentos fletores. O fato ocorreu nos nos
comuns a dois elementos nodais, independente do refinamento da
malha adotada. Este elemento não parece se comportar bem para
cargas concentradas; talvez devido a este fato, o programa SAP
IV, que trabalha com o mesmo elemento, sã fornece os esforços no
centro do elemento e não em seus pontos nodais. Nos exemplos ado
tou-se como momento fletor no ponto a media aritimetica dos mo-
mentos nos pontos nodais dos elementos que concorrem no ponto
em estudo. Este procedimento pode não ser o mais indicado e a me
dia aritimetica nao ser a melhor forma de avaliação. Conforme
comentado anteriormente, os valores numéricos dos momentos torso
res não estão condizentes com a realidade conhecida através de
exemplos teóricos. Os torsores resultantes do emprego do elemento
retangular de placa apresentaram valores, em alguns casos, da
mesma ordem de grandeza que os momentos fletores, o que nao e
correto. No cômputo geral, este elemento fornece uma razoãvel
precisão apenas para os valores dos momentos fletores e das fle
chas.
- O Método das Diferenças Finitas, onde sao clãssicas as
. 163.
dificuldades da modelagem, das condições de contorno nos bordos,
não apresentou aparentemente nenhuma distorção ou duvidas em seus
resultados. Os valores dos deslocamentos,_ momentos fletores e tor
sores se mostraram bastante compativeis, inclusive o câlculo da
reação total do terreno, obtida a partir dos deslocamentos calcula-
das, apresentou uma diferença praticamente nula em relação -as
cargas aplicadas. Com o programa implantado em micro-computador da
linha PC, este mêtodo se mostrou realmente bastante eficiente.
- Os Mêtodos dos Elementos Finitos e das Diferenças Finitas
apresentaram valores bastante semelhantes nos dois exemplos ana
lizados, exceto para os momentos torsores onde os valores obtidos
no Mêtodo dos Elementos Finitos são bastante superiores ao das
Diferenças Finitas.
- O Mêtodo do AC! nao se mostrou confiâvel, pois na maioria
dos pontos do radier, os momentos fletores apresentaram valores
bastante inferiores aos Mêtodos dos Elementos Finitos e Diferen
ças Finitas. Este Mêtodo s6 parece ter uma razoãvel performace
para pontos distantes dos bordos da placa, bem como para cargas
aplicadas longe do contorno. No tocante ã parte computacional, o
emprego das funções de Hetényi (18) conduz a grandes tempos de
processamento.
- O Mêtodo da Grelha sobre Base Elâstica, apesar de se mos
trar muito prãtico, apresentou valores bastante diversos dos
Mêtodos dos Elementos Finitos e das Diferenças Finitas. Estes va
lores foram na maioria das vezes superiores aos Mêtodos citados.
O emprego de barras sem rigidez ã torção ê mais prãtico do que
a consideração da torção, não acarretando grandes diferenças nume
ricas.
. l 6 4.
- O Mêtodo da Viga sobre Base Elãstica apresentou pratica
mente a mesma performace do Mêtodo da Grelha sobre Base Elãstica,
no caso de radiers irregulares (exemplo 2). Para os radiers reg~
lares (exemplo l), este Mêtodo se mostrou um Mêtodo
com excelentes resultados.
aproximado
- r interessante comparar o tempo gasto na solução dos dois
exemplos pelos diferentes Mêtodos. A TABELA V.l apresenta os
tempos aproximados empregados na preparação e entrada dos dados
e obtençio dos resultados para os exemplos 1 e 2. Para o Mêtodo
das Diferenças Finitas e do ACI, foi utilizado um micro- computi
dor e para os '1etodos restantes utiliz_çi,u - se os pro
gramas SAP IV e LORANE LINEAR implantados no Nucleo de Computaçio
Eletrônica da UFRJ ( que dispõe de um sistema Borroughs 6700). O~
servou-se que a grande rapidez de processamento obtida no NCE-UFRJ
ê grandemente perdida no tempo gasto em espera na fila para pro
cessamento e na liberaçio da respectiva listagem. Tendo em vista
a grande facilidade na introduçio dos dados no micro- computador,
onde as correções sio feitas em paralelo sem a necessidade da
espera de listagens, a vantagem operacional obtida ê insuperã
vel, desde que o problema se limite, logicamente, ã memõria cen
tral disponivel no micro-computador.
V.2 - RECOMENDAÇOES PARA O PROJETO DE RADIERS
Com base no estudo realizado, sugerem-se os seguintes proc~
dimentos de cãlculo:
- O cãlculo empregando o Método das Diferenças Finitas ê o
que mostrou resultados mais confiãveis.Os exemplos foram sempre
de placas com geometria bastante regular, sem variações de espes
suras e ou reentrâncias. O solo foi sempre homogêneo ao longo do
. l 6 5.
dominio da placa ( sem variações no modulo de reaçao vertical).
Na elaboração do programa descrito no Capitulo III , os testes
feitos para comparaçao com resultados analiticos ( incluindo os
exemplos do Capitulo 7 do Livro do Bowl es (9): apresentaram resul
tados coincidentes.
- O cãlculo empregando o Mêtodo dos Elementos Finitos ( el~
menta retangular de flexão de placas conhecido como Rl2) aprese~
tou resultados menos razoãveis que o Mêtodo das Diferenças Fini
tas. Este Mêtodo conduz a valores razoãveis para os momentos fle
tores e flechas. Tem a seu favor a vantagem da existência de
software desenvolvido para vãrios sistemas computacionais, tais
como SAP IV, LORANE e EASE 2. Aplicando tal Mêtodo em conjunto
com outros tipos de elementos finitos, pode-se simular por exem
P lo:
- apoios em estacas
- terrenos heterogeneos
- variação de espessura
- inclusão da superestrutura
- carregamentos dinâmicos e estãticos
- retração e deformação lenta do concreto
- esforços de origem têrmica
- forças de protensão
- A utilização do Mêtodo da Grelha sobre Base Elãstica deve
ser feita com bastante critêrio, pois apesar de apresentar confi
guração idêntica, os esforços solicitantes não se mostraram compi
tiveis com os Mêtodos anteriores. E preferivel neste caso calcu
lar a grelha não considerando a rigidez ã torção das barras.
. l 6 6.
- O cálculo empregando o Método da Viga sobre Base Elástica
pode ser adotado como um Método aproximado nos casos de radiers
regulares, com os pilares possuindo distribuição uniforme na
placa e simetria nos valores das cargas transmitidas.
- Os resultados do Método do ACI devem ser encarados com
restrição, pois o Método não simula com exatidão os esforços so
licitantes na estrutura, especialmente prõximo aos bordos.
V.3 - SUGESTOES PARA OS DESENVOLVIMENTOS FUTUROS
Pode-se sugerir os seguintes tÕpicos sequenciais a este tra
balho:
- Desenvolvimento de um programa que elabore o cálculo de
radiers utilizando o Método das Diferenças Finitas para os casos
mais gerais de geometria, condições de contorno, apoios sobre
estacas, terrenos heterogêneos ( com diferentes modulas de rea
çao vertical} e diferentes espessuras da placa.
- Análise do comportamento de uma placa sobre base elástica,
com a utilização de uma série de tipos de elementos finitos se
guida de análise comparativa dos resultados gerados.
- Análise de Métodos de cálculo para o projeto de fundações
em radiers, utilizando o modelo de Filonenko-Borodich para o
solo, conforme citado por Selvadurai (12} . Este modelo simula a
interação entre as várias molas utilizadas no modelo de Winkler
conectando-as através de uma membrana elãstica (ver FIG.V.l}. Con
siderando o equilíbrio membrana X mola, obtém-se a pressão q em
termos da deformação w da placa:
2 q {x,y) = K0
w {x,y) - T 9 w (x,y)
. l 6 7.
onde K0
é o modulo de reaçao vertical do terreno e Ta tensão
constante atuante na membrana.
Neste caso tem-se duas constantes elãsticas para caracteri
zar o modelo adotado para o solo.
- Anãlise do comportamento de uma placa espessa sobre ba
se elãstica, utilizando-se os métodos da presente tese.
EXEMPLQ 1 EXE~PLO 2
' -MH MDF : ACI 8RELHJ VIIA .. ., MOF
'
1,.
' 1 PllJ~AMACi'! ºº' '~A~PJ 6 6 6
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1[
1 1 -
INPl.!T- DO. DA pgs i ( INCLUSIVE CORREÇÕES )
3 1 1 4 3 4 1
TEMPO DE PROCEIIAMENTO ( ou AIUARDANDO A s.u'o• 3 2 3 4 2 4 2
001 RESULTADOS)
·- --
TEMPO TOTAL 12 9 10 16 10 16 11
TABELA .Jl: /- TEMPO EM HORAS GAS70 NA ELABORAÇJO E PROCESSAMENTO COMPUTACIONAL DOS EXEMPLOS I • 2
ACI e9'ILHA
1
' 10
1 5
3 5
--·
(2 20
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7
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4
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Surfaco dlaplacemonta of lho Filonenko-Borodich ,modo!. (à) Bàaic modo!, (b) concentratod load,(c)ri9id load,(d) unlform floxlble ,toad.
FIG.:1'. I-MODELO FILONENKO- BORODICH APUD SEL VADURAI ( 12}
. l 70.
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. l 73.
APtNDlCE A
FUNDAÇÕES EM RADIER POR DIFERENÇAS FINITAS
Apresenta-se a seguir o fluxograma bisico e a respectiva
listagem do programa em linguagem BASIC destinado ao cilculo
placas de espessuras constantes sobre base elistica de modulo
com os bordos livres e submetidas aos carregamentos gerados
de
K o
pelo
peso prõprio, cargas distribuidas uniformemente e cargas concen
tradas.
A capacidade do programa e limitada a:
- computador da linha PC com 60 K de memõria RAM:252 ele
mentos de placa totalizando 285 pontos nodais.
- computador da~linha APPLE com 48 K de memõria RAM: 121
elementos de placa totalizando 144 pontos nodais.
2
uu'c10
INICIALIZAÇÃO
f fruLO, h; ly a,w 1 ko, t 1 E
ª'"
' CALCULO DAS
CONSTANTES
1NT1t0DUÇÂO
DAS CAlteAS J!
lrilONTAelM DA
MATRIZ W 1PAIIA CADA
PONTO
tlONfAIEM DE ' !,ATRIZ DE
TllABAUfO Y
. 174.
RIIOLuyio DO
SISTEMA DE ~
EQUAÇOES
CÁLCULO DOS,
u•o•ços SOUCI•·
TANTII
M1 1 lly, M•Y
tMPRf!99Ãõ ;rlN-AL
iDOS DESLOCAMENTOS
E u,oRÇ08 ~,ll•'iMY1May
~MftRESalo DIS
PRESSOl!:S ·E REAÇOES:·
NO SOLO
,iw
FIG. A.I-FWXOGRAMA BÁSICO
•1111:.litlt4AIII·
Novo--c1ci:::o t
. l 7 5.
10 l~EM -FLJNDAL:ClES E~! R~DIEf~ FOR DIFEREl~CAS Fii~ll"AS 11 F'F:\:I: 1 12 F'F( I l\!T li F'UNDr.:1coE:H E:M r;:1':\l} 1 Ei::;; -··· D l F"FFi::!\!C(-lS r.~· I N l T ?.i::; l! .t:~; r-·r:::Ihl·i- 11 1·,taur·u Jor·(~E..~ da Cost,~i_ ~3-s.ntos ·····CF~E:t-\ '..?~59l~-7--·D 11
:!.4 F'F:;;Jh!l- ''\.1EF'.SP1CJ ~."::'. ·····cic.•:::'.c-:mUi'"'D 1'?86'' l~i PF,::a O ló G0!3UB "/9(! ~20 DJM [_,.J(12,1.:?)!1 V(144 1,'..?é))~Z(:27>:,X(144) 10c) REM DADOS DE EN.fRAi)A 11 o I r\iFlJ·r 11 ·r r ·ruL_CJ? 11
; t\t; 1. 2() I l\!F'U'r !! \){-)[) N(-\ D I F(E:cr.:·1U X ( fnE.·ti'"Clf.-) 7 !\ j\ l_ X
1 125 IF l...X -- O~ Tl'··!EN .t:·?o 1 ::~;o l i'·~F·u·r li l)r''4D j\\(.'1 D l f~:ECP,D y ( mEt.1-··u-::.:1-) '? i! ~ J __ y l.35 IF l_Y ·- O. THEN 130 1-~~o 1.1\lF'Lrr 11 D I \) I EH]!:.:':S !'-.!() D I r.:t.:.C(::D \ ( > -:::4 < ,::: 1. J.)? 11 ~ 1"'! :i.!.50 IF. l'--1 < lj. UF~ 1··1 > 1.1 THEN J.-<'.i-0 J.b() INF'l..JT !
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IF SM O. 1·~·!E~I 180 , 1E5 190 195
I!\IF'UT 11 E:.:;p1::~ESLJF~;!=1 DD F\ADIEi~( (mc:~t:r··c!::.) ? 11; T
IF. ·r = < O. T~·IEN :190
21.U .-,-11:::· .,::..id
.~::./• ... ;
I !\!F'l.JT !! MODULO DE EL.?~ST .i: C I D(if)E~: ( t. / rn2) ~? il ~ E: IF E =1 O~ 1·~tE!~ 200 I l'·-./F'UT 11 PEE:lCJ E~lF'EC I i--: I CCJ ( t. / ff:::~;) '? 1
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1595 WCI,J) := 7(3) + Z(25) 1.~i9t':.\ IF ( X ( I l) .,~; Oi TH[.hl L•J ( I:, a J Z: (:::::) 1~~/ W(I,J i· KJ) ·- Z(~) J.598 l1J(I~-.J ·!· '.2 -!t:· l<1:J) :::: Z(1) J:sci'9 t,J(I + i<I,~r, = Z(5) 1600 WCI + l(l,J + K:J) ~ ZC~) jf::.,()l hi(I + :? ·R· VI,a) :::: Z(b>
1. ó()2 UClTC) 1.7 :!. () ·i ;.,c;-::: i ... ,i ( l :i ,J) ~=, Z ( B) + -r ' ,., : '
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1666 W<I,J + l<J) = Z(13) 1667 WCI,J ~- 2 * KJ> = ZC27) 1668 WCI -- 1,J) 2(19) .tat:i~t ~1J ( I + l :1 \J) ~::: Z ( 1~7) !~ 11 .. • liCI - l~J + KJ) = Z(9) 16"71 !_;.J ( I + 1 :, 11 ··I· l<,.J l ;;;:: :t (9) 1672 W(I 2,J) ZC6) 167:5 WCI ~ 2,J) 2(6) l6'7l-i- IF (J ::.:: h + 1 t1ND 1 i\!
1 t) 7~::i GíJ"T'O l 71 O 167·(:, l1J ( I i, J J :.::: Z C'.?0) + Z (:?l~)
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. l 85 .'
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1 ~- IJ,J i· 1 + JI) J .r. ) )
. l 86 .
. APrNDICE B
~UNDAÇOES EM RADIER PELO METODO DO ACI (20)
A listagem em linguagem BASIC e o fluxograma bãsico
programa elaborados para os cãlculos efetuados no Capitulo
são apresentados a seguir. O programa ê destinado ao cãlculo
radier de espessura constante sobre base elãstica de modulo
e submetida a ação de cargas concentradas. As condições de
do
IV
de
K o
con-
torno de bordo livre são corrigidos por uma sub rotina especifi
ca.
A capacidade do programa e limitado a:
- computador de linha APPLE com 48 K de mem~ria RAM: 529
pontos de cãlculo.
O programa tambêm permite o cãlculb para cargas, distri
buidas em toda a extensão da placa.
IN,'CIALI ZAÇÃO
TITULO, l x I ly
•, 11, li.o, t, • )' 1Ui'•C
' CALCULO DAI
CONSTANTES
INTIIOOuçÃo
DAS CAR8AI
.P
IERAÇÂO DA
MALHA .. ,
CÁLCULOS , 001
EIP09ÇOI IOLICITAll·
TIS Mx,My,Qx,Qr
. l 8 7,
FIG.A. 2 - FLUXOGRAMA
IIIPIIESSÃO
PAIICIAL
C~RREÇÃO DOS !S"FORÇOS S Ot.1-
CITANTES
IO ROOI
,
INPIIESSAO
DOS E9'0RÇOS
BASICO
NOS
. 1 88.
:JL.J.ST
100 REl1 - r=·LJND(~COES EM RADIER F'~L(I METODO 1)0 AC'.I
1. 20 _. FF( I NT 11 i:.:U!\!D{~CUEU EM F~AD 1 E!:-:: l.,..lE:T DDU ,~·iC J '1
:L:~:,o F·r::ri··,lT lJJ"'·laui·-·D 1Jc:.r-qe: da CD-::c:.t.i::l [;anto~s ····CF'.E(\ ~,~:~;,7.,:+7·-·D 1; :i. Lj.(l F'F~ I l'·JT r; \JEF(!3P1U 1 dez e11ibt- e :!. 9Bi:1 11
:i. bO Go~;uB 1000 1·70 DIM YC529,7) 180 RE~i DAt>OS IJE ENTRADA :é ?O I (.IFUT "TI TIJLD? ·,, ; r-'l+ 200 11\IF'UT !
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:1.) ~- FN (.;(X2) -t:- '.-?.Jl\! \X~)))) /
6050 REM -F'R#l:PRINT X,M1,Q1: F'RIN·1· ~
hOóU. F:E.T Uf":I\!
-··· ( s 1 r--! ::::: ) PRIN1. X,M2,Q2: NEX1 X
. 1 95.
NOMENCLATURA
h = altura total do radier
K = modulo de reação vertical do solo o
q = reaçao do terreno na superfície de interação com o
radier
w = deslocamento vertical de um ponto do radier( direção Z)
P = carga concentrada vertical
E = modulo de elasticidade longitudinal do material
radier
µ = coeficiente de Poisson do material do radie r
G = modulo de elasticidade transversal do material
radier
p = carga distribuída vertical na superfície do radier
X, Y, Z = eixos coordenados
do
do
u = deslocamento horizontal na direção X de um ponto do
radier
v = desloc.amento horizontal na direção Y de um ponto do
radier
D = rigidez a flexão do radier
1 = vao do X
radier ·na direção X
1 = vao do y radier na direção y
m, 1, k, i = pontos nodais de uma malha
6X = 1 ado na direção X de um elemento de placa
f!,y = 1 a do na direção y de um elemento de placa
M = momento fletor na direção X de um ponto da placa X
. l 96.
M = momento fl etor na direção y de um ponto da placa y
M = Myx = momentos torsores xy de um ponto da placa
Qx = esforço cortante na direção X de um ponto da placa
Qy = esforço cortante na direção y de um ponto da placa
K = rigidez de uma mola linear adotada para fl discretiza
çao do solo
L = raio da rigidez relativa
e = raio da seçao transversal de um pi l ar circular
M e= momento fl etor tangencial
Mr= momento fl etor radial
Qr= esforço cortante radial
Y = constante de Euler
s = lado da seção transversal de um pilar quadrado