UNIVERSIDAD POLITECNICA DE TULANCINGO SEP-DIC 2011
FFT BASE 2
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DEFINICIÓN
El término genérico “transformada rápida de Fourier” abarca distintos algoritmos con distintas características, ventajas y desventajas.
Este tipo de algoritmo reducen el problema de calcular una DFT de N puntos al del calculo de una DFT mas pequeña.
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La FFT es un algoritmo (no una aproximación) a iguales intervalos de espaciamiento.
Las limitaciones de la FFT surgen de las que tiene la DFT.
No es ni mejor ni peor. Sin embargo se logra una eficiencia debido a los números de operaciones menores que utiliza la FFT para ser resuelta.
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La FFT se basa en lo siguiente:
Todos los algoritmos aprovechan la simetría y periodicidad de la exponencial WN= e^(-j2π*n/N) como se muestra en la siguiente tabla.
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La longitud de la señal N se escoge como un numero que sea el producto de números mucho mas pequeños de modo que N= r1 *r2 ... rm . Se obtiene una selección mas útil cuando los factores son iguales, de modo que N= r^m , donde el factor “r” se conoce como base. La opción mas acostumbrada en la practica es r=2 , de modo que N = 2^m , y conduce a lo que se conoce como algoritmo FFT de base 2.
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El algoritmo de FFT descompone la DFT de N puntos en transformadas más pequeñas. Una DFT de N puntos es descompuesta en dos DFT’s de N/2 puntos. Cada DFT de N/2 puntos se descompone a su vez en dos DFT’s de N/4 puntos y así sucesivamente. Al final de la descomposición se obtienen N/2 DFT´s de 2 puntos cada una).
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La transformada más pequeña viene determinada por la base de la FFT. Para una FFT de base 2, N debe ser una potencia de 2 y la transformada más pequeña es la DFT de 2 puntos. Para implementar la FFT existen dos procedimientos: diezmado en el tiempo (DIT Decimation In Time) y diezmado en frecuencia (DIF Decimation In Frequency).
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ALGORITMO DE LA FFT BASE 2
Consideremos el cálculo de la DFT de N = 2v a partir de dividir la secuencia de datos de N puntos, en dos secuencias de N/2, correspondientes a las muestras pares e impares de x[n], respectivamente, esto es:
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Recordando el enfoque de divide y vencerás para el caso en el que N es una potencia de 2, comenzamos seleccionando a M=N/2 y L=2 con lo cual partimos la secuencia de N puntos en dos secuencias de N/2:
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A partir de que f1(n) y f2(n) representan a N se obtiene la formula:
Después se sustituyen los equivalentes de WN y WN/2 quedando de la siguiente manera:
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Como se puede apreciar en la formula existe una división en la que se utilizan las referencias de f1(n) y f2(n) mostrando el uso de las muestras pares e impares.
Muestras paresMuestras impares
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Ejemplo:
Teniendo las muestras de x(n)={1,3,5,7} deducimos que:
N=4
K={0,1,2,3}
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