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COME TROVARE IL DOMINIO COME TROVARE IL DOMINIO
DI UNA FUNZIONEDI UNA FUNZIONE
Ebook con spiegazioni, esempi,
numerosi esercizi
con risoluzione commentata
Mariairene Guagnini
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Prima edizione: gennaio 2014
Sito web: www.mathematice.it
Contatti: [email protected]
La presente opera è rilasciata secondo la licenza Creative CommonsAttribuzione – Non commerciale – Non opere derivate 3.0 Italia License
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INDICE
Schema generale condizioni di esistenza funzioni di variabile reale pag. 4
Come si trova il dominio di una funzione. Alcune indicazioni pag. 7
Esercizi di base pag 10
Risultati degli esercizi di base pag 11
Svolgimento degli esercizi di base pag 14
Esercizi pag 18
Risultati degli esercizi pag 20
Svolgimento degli esercizi pag 24
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SCHEMA GENERALE
CONDIZIONI DI ESISTENZA
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
indice
● funzioni polinomiale. Nessuna condizione
esempi: x3−4 x8 ; y=−4 x 4−√3 x+π ; f x =
3 x−235−1
Esistono per ogni valore reale di x.
● funzioni razionali fratte. Condizione esistenza: denominatore ≠ 0
esempio : y=2 x−32−5 x
. Condizione di esistenza: 2−5 x≠0 x≠25
● radici di indice pari. Condizione esistenza: radicando ≥ 0
esempio : f x =2 x3 . Condizione di esistenza: 2 x3≥0 x≥−32
● radici di indice dispari. Nessuna condizione
esempio : y=52 x3 . Esiste per ogni valore reale di x.
● valore assoluto. Nessuna condizione
esempio : y=∣4−x2∣ . Esiste per ogni valore reale di x.
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● esponenziali a base costante maggiore di zero. Nessuna condizione
esempio : y=2x . Esiste per ogni valore reale di x.
● esponenziali a base variabile. Condizione esistenza: base > 0
esempio : y=x−2x2−3 x . Condizione di esistenza: x−20 x2
● logaritmi a base costante positiva e diversa da 1. Condizione esistenza: argomento > 0
esempio : f x =log2 5 x3 . Condizione di esistenza: 5 x30 x−35
● logaritmi a base variabile. Condizioni di esistenza: argomento > 0 ˄ base > 0 ˄ base ≠ 1.
esempio : y=log x−2 x .
Condizioni di esistenza: {x>0x−2>0x−2≠1
→ {x>0x>2x≠3
→ 2<x<3∨x>3
● seno, coseno. Nessuna condizione
esempi : f (x )=sin(2 x+π) y=cos 3 x . Esistono per ogni valore reale di x.
● tangente (con argomento in radianti).
Condizione di esistenza: argomento≠π2+k π con k∈ℤ (cioè k=0,±1,±2,... )
esempio: tan (2 x+π3) .
Condizione di esistenza: 2 x+π3≠π
2+k π → 2 x≠π
6+k π → x≠ π
12+k π
2k∈ℤ
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● cotangente (con argomento in radianti).
Condizione di esistenza: argomento≠k π con k∈ℤ (cioè k=0,±1,±2,... )
esempio: cot(2 x+π4) .
Condizione di esistenza: 2 x+π4≠k π → 2 x≠−π
4+k π → x≠−π
8+k π
2k∈ℤ
● arcoseno, arcocoseno. Condizioni di esistenza −1≤argomento≤1 cioè {argomento≥−1argomento≤1
esempio: arcsin 3− x
Condizioni di esistenza {3−x≥−13− x≤1
→ {−x≥−4−x≤−2
→ {x≤4x≥2
→ 2≤ x≤4
● arcotangente, arcocotangente. Nessuna condizione.
esempio : y=arctan 3−x . Esiste per ogni valore reale di x.
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COME SI TROVA IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE
ALCUNE INDICAZIONI
indice
Il dominio (campo di esistenza / insieme di definizione) di una funzione f (x ) è l'insieme dei
valori x per cui esiste la funzione.
Generalmente si deve trovare il dominio di una funzione formata a partire da più funzioni base.
Esempi: y=sin x+ln x (somma di due funzioni)
y=ln(sin x) (composizione di due funzioni)
● Casi frequenti
Funzione Dominio della funzione
f (x )±g ( x) Dominio f (x ) ∩ Dominio g ( x)
f (x )⋅g (x ) Dominio f (x ) ∩ Dominio g ( x)
k⋅ f ( x) con k≠0 Dominio f (x )
f ( x)g (x)
Dominio f (x ) ∩ Dominio g ( x) ∩ { x∈ℝ: g (x )≠0 }
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● Funzioni composte.
Occorre analizzare la funzione come negli esempi seguenti.
Esempio 1. y=√ ln x
Lo schema di composizione è x →logaritmo
ln x →radice
√ ln x .
Le condizioni di esistenza sono {x>0 esistenza logaritmoln x≥0 esistenza radice
Esempio 2. y=ln (arcsin x)
Lo schema di composizione è x →arcoseno
arcsin x →logaritmo
ln(arcsin x ) .
Le condizioni di esistenza sono {−1≤ x≤1 esistenza arcosenoarcsin x>0 esistenza logaritmo
● Consigli importanti.
(1) Non modificare la funzione senza aver prima posto tutte le condizioni di esistenza.
Esempio 3: il dominio della funzione f (x )=log(x−2)+log( x+3) è D=(2 ;+∞) .
Se, prima di trovare il dominio, applico la prima proprietà dei logaritmi ottengo
f (x )=log [( x−2)( x+3)] e posso erroneamente pensare che il dominio sia
D=(−∞;−3)∪(2 ;+∞)
(2) Scrivere prima, con cura, tutte le condizioni di esistenza e solo successivamente svolgere i
calcoli relativi a tali condizioni.
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● Esempi
Esempio 5. log 3 x 2−x
La funzione data è la somma di due funzioni: il logaritmo e la radice quadrata.
{3 x>0 esistenza logaritmo2−x≥0 esistenza radice
→ {x>0−x≥−2
→ {x>0x≤2
→ 0<x≤2
NB. Attenzione agli “ = ” .
Esempio 6. f x = 3−xx2−3 x
La funzione data è il rapporto di una radice quadrata e di un polinomio
{3− x≥0 esistenza radicex2−3 x≠0 esistenza frazione
→ { x≥3x≠0∧x≠3
→ x>3
Esempio 7. f x = 3−xx−5
La funzione data è la radice quadrata di una frazione.
{3−xx−5
≥0 esistenza radice
x−5≠0 esistenza frazione→ {3≤x<5
x≠5→ 3≤ x<5
Osservazione sulla definizione di dominio
Nella ricerca del dominio occorre fare attenzione al caso in cui la funzione ha delle limitazioni
nella definizione.
Esempio 8.
E' data la funzione { f (x )=x2−4 x
1≤x<3. Il polinomio esiste sempre, ma ci sono le condizioni
aggiuntive nella definizione della funzione. Quindi il dominio è D=[1;3 ) .
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ESERCIZI DI BASE
indice
Svolgere da ciascuno dei seguenti esercizi, controllando i risultati e gli svolgimenti proposti dal
testo.
1) y=3 x2−4 risultato esercizio 1 svolgimento esercizio 1
2) y= x−2− x risultato esercizio 2 svolgimento esercizio 2
3) 2−x
√x+3risultato esercizio 3 svolgimento esercizio 3
4) y=√2−√1−x risultato esercizio 4 svolgimento esercizio 4
5) y=sin 4√ x risultato esercizio 5 svolgimento esercizio 5
6) y=sin x
cos(2 x−π4)
risultato esercizio 6 svolgimento esercizio 6
7) y= tan(x−4) risultato esercizio 7 svolgimento esercizio 7
8) y=∣sin x∣ risultato esercizio 8 svolgimento esercizio 8
9) y= √ x∣x−2∣
risultato esercizio 9 svolgimento esercizio 9
10) y=ln (x2−3 x ) risultato esercizio 10 svolgimento esercizio 10
11) y=cot (π x ) risultato esercizio 11 svolgimento esercizio 11
12) arccos( x2−3) risultato esercizio 12 svolgimento esercizio 12
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RISULTATI DEGLI ESERCIZI DI BASE
indice Risultato esercizio 1
La funzione y=3 x2−4 esiste per ogni valore di x∈ℝ . D=ℝ .
svolgimento esercizio 1 esercizi di base
Risultato esercizio 2
La funzione y=√ x−√2−x esiste per 0≤x≤2 . D=[0 ;2] .
svolgimento esercizio 2 esercizi di base
Risultato esercizio 3
La funzione 2−x
x3esiste per x>−3 . D=(−3 ;+∞ ) .
svolgimento esercizio 3 esercizi di base
Risultato esercizio 4
La funzione y=2−1− x esiste per −3≤x≤1 . D=[−3 ;1] .
svolgimento esercizio 4 esercizi di base
Risultato esercizio 5
La funzione y=sin 4 x esiste per x≥0 . D=[0 ;+∞ ) .
svolgimento esercizio 5 esercizi di base
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Risultato esercizio 6
La funzione y=sin x
cos(2 x−π4) esiste per x≠
38π+k π
2, k∈ℤ . ℝ∖{
38π+k π
2, k∈ℤ}
svolgimento esercizio 6 esercizi di base
Risultato esercizio 7
La funzione y=tan x−4 esiste per x≠4+π2+k π , k∈ℤ . ℝ∖{ 4+π
2+k π , k∈ℤ}
svolgimento esercizio 7 esercizi di base
Risultato esercizio 8
La funzione y=∣sin x∣ esiste per ogni valore di x∈ℝ . D=ℝ .
svolgimento esercizio 8 esercizi di base
Risultato esercizio 9
La funzione y= x∣x−2∣
esiste per 0≤x2∨x2 . D=[0 ;2 )∪( 2 ;+∞ ) .
svolgimento esercizio 9 esercizi di base
Risultato esercizio 10
La funzione y=ln x2−3 x esiste per x0∨ x3 . D=(−∞ ;0 )∪( 3;+∞ ) .
svolgimento esercizio 10 esercizi di base
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Risultato esercizio 11
La funzione y=cot (π x ) esiste per x≠k , k∈ℤ . D=ℝ∖ℤ
svolgimento esercizio 11 esercizi di base
Risultato esercizio 12
La funzione arccos x2−3 esiste per −2≤ x≤−2∨2≤ x≤2 .
D=[−2 ;−√2 ]∪[ √2; 2 ] .
svolgimento esercizio 12 esercizi di base
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SVOLGIMENTO DEGLI ESERCIZI DI BASE
indice
Svolgimento esercizio 1
La funzione y=3 x2−4 è la radice cubica di un polinomio. Il polinomio non ha condizioni di
esistenza; la radice cubica è di indice dispari e quindi non presenta condizioni di esistenza. Il
dominio (campo di esistenza / insieme di definizione) è quindi formato da tutti i numeri reali.
D=ℝ .
esercizi di base
Svolgimento esercizio 2
Per la funzione y= x−2− x dobbiamo prendere in esame l'esistenza delle due radici
quadrate:
{x≥02−x≥0
→ {x≥0−x≥−2
→ {x≥0x≤2
→ 0≤x≤2 → D=[0 ;2] .
esercizi di base
Svolgimento esercizio 3
Per la funzione 2− x
x3dobbiamo prendere i esame l'esistenza della radice quadrata e il fatto
che il denominatore deve essere diverso da zero:
{x+3≥0√ x+3≠0
→ {x≥−3x+3≠0
→ {x≥−3x≠−3
→ x−3 → D=(−3 ;+∞ ) .
esercizi di base
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Svolgimento esercizio 4
Per la funzione y=2−1− x dobbiamo considerare l'esistenza delle due radici quadrate:
{1− x≥02−√1−x≥0
→ {−x≥−1−√1− x≥−2
→ { x≤1√1−x≤2
→ {x≤11− x≤4
→ {x≤1−x≤3
→
{x≤1x≥−3
→ −3≤x≤1 → D=[−3;1] .
esercizi di base
Svolgimento esercizio 5
Per la funzione y=sin 4 x l'unica condizione che dobbiamo considerare è quella dell'esistenza
della radice (perché ha indice pari): x≥0 . D=[0 ;+∞ ) .
esercizi di base
Svolgimento esercizio 6
Per la funzione y=sin x
cos(2 x−π4) l'unica condizione è quella del denominatore diverso da zero
(seno e coseno esistono perché hanno come argomento un polinomio):
cos (2 x−π4)≠0 → 2 x−π
4≠π
2+k π , k∈ℤ → 2 x≠π
4+π
2+k π , k∈ℤ →
2 x≠3π4+k π , k∈ℤ → x≠
3π8+k π
2, k∈ℤ → ℝ∖{
38π+k π
2, k∈ℤ} .
esercizi di base
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Svolgimento esercizio 7
Per la funzione y=tan x−4 dobbiamo prendere in esame l'esistenza della tangente:
x−4≠π2+k π , k∈ℤ → x≠4+π
2+k π , k∈ℤ → ℝ∖{ 4+π
2+k π , k∈ℤ} .
esercizi di base
Svolgimento esercizio 8
Data la funzione y=∣sin x∣ , sin x esiste per ogni x e il valore assoluto non richiede
condizioni di esistenza → la funzione in esame esiste per ogni x∈ℝ . D=ℝ .
esercizi di base
Svolgimento esercizio 9
Per la funzione y= x∣x−2∣
dobbiamo considerare le condizioni dell'esistenza della radice
quadrata e e del denominatore diverso da zero:
{x≥0∣x−2∣≠0
→ {x≥0x−2≠0
→ {x≥0x≠2
→ 0≤x2∨x2 → D=[0 ;2 )∪( 2 ;+∞ ) .
esercizi di base
Svolgimento esercizio 10
Per la funzione y=ln x2−3 x dobbiamo porre la condizione di esistenza de logaritmo:
x2−3 x0 → x0∨ x3 → D=(−∞ ;0 )∪( 3;+∞ ) .
esercizi di base
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Svolgimento esercizio 11
Per la funzione y=cot (π x ) dobbiamo porre la condizione di esistenza della cotangente:
π x≠k π , k∈ℤ → x≠k , k∈ℤ → D=ℝ∖ℤ .
esercizi di base
Svolgimento esercizio 12
Per la funzione arccos x2−3 dobbiamo porre la condizione di esistenza dell'arcocoseno:
−1≤x2−3≤1 → {x
2−3≥−1
x2−3≤1
→ {x2≥2
x2≤4
→ {x≤−√2∨x≥√2−2≤x≤2
→
−2≤ x≤−2∨2≤x≤2 → D=[−2 ;−2 ]∪[ 2 ;2 ] .
esercizi di base
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ESERCIZI
indice
Svolgere da ciascuno dei seguenti esercizi, controllando i risultati e gli svolgimenti proposti dal
testo.
13) y=arctanx3−x+3
x2risultato esercizio 13 svolgimento esercizio 13
14) y=log0.5 x
log0.5 x−1 risultato esercizio 14 svolgimento esercizio 14
15) y=x+3
2−√ x−1 risultato esercizio 15 svolgimento esercizio 15
16) y=(2− x)(1−√ x) risultato esercizio 16 svolgimento esercizio 16
17) y=log2∣3−x∣ risultato esercizio 17 svolgimento esercizio 17
18) y=ln (e2x−2ex
+1) risultato esercizio 18 svolgimento esercizio 18
19) y=ln (ln ( x)) risultato esercizio 19 svolgimento esercizio 19
20) y=ln 2 x risultato esercizio 20 svolgimento esercizio 20
21) y=log x (2−x ) risultato esercizio 21 svolgimento esercizio 21
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22) y=log x∣2−x∣ risultato esercizio 22 svolgimento esercizio 22
23) y=√ tan x risultato esercizio 23 svolgimento esercizio 23
24) y=√2−4x
4x−2x
risultato esercizio 24 svolgimento esercizio 24
25) y=4x−2x
√2−4xrisultato esercizio 25 svolgimento esesercizio 25
26) y= √ ln x2 ln x−5 risultato esercizio 26 svolgimento esercizio 26
27) y=√log 0.5 x
2√ log0.5 x−5 risultato esercizio 27 svolgimento esercizio 27
28) y=arcsin ( log 12
x) risultato esercizio 28 svolgimento esercizio 28
29) y=arcsin x−arccos(1−2 x2) risultato esercizio 29 svolgimento esercizio 29
30) y=ln (√ x+1−(x−1)) risultato esercizio 30 svolgimento esercizio 30
31) y=sin x
sin 2 xrisultato esercizio 31 svolgimento esercizio 31
32) y=x2−sin x
x2−cos x
risultato esercizio 32 svolgimento esercizio 32
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RISULTATI DEGLI ESERCIZI
indice
Risultato esercizio 13
La funzione y=arctanx3−x+3
x2 esiste per x≠0 . D=ℝ∖{ 0}=(−∞ ;0 )∪( 0;+∞ ) .
svolgimento esercizio 13 esercizi
Risultato esercizio 14
La funzione y=log0.5 x
log0.5 x−1esiste per 0<x<0.5∨x>0 . D=(0 ;0.5 )∪( 0.5 ;+∞ ) .
svolgimento esercizio 14 esercizi
Risultato esercizio 15
La funzione y=x+3
2−√ x−1esiste 1≤x<5∨x>5 . D=[1;5 )∪( 5;+∞ ) .
svolgimento esercizio 15 esercizi
Risultato esercizio 16
La funzione y=(2− x)(1−√ x) esiste per 0≤x<2 . D=[0 ;2 ) .
svolgimento esercizio 16 esercizi
Risultato esercizio 17
La funzione y=log 2∣3−x∣ esiste per x≠3 . D=ℝ∖{ 3}=(−∞ ;3 )∪( 3 ;+∞ ) .
svolgimento esercizio 17 esercizi
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Risultato esercizio 18
La funzione y=ln (e2x−2ex
+1) esiste per x≠0 . D=ℝ∖{ 0}=(−∞ ;0 )∪( 0;+∞ ) .
svolgimento esercizio 18 esercizi
Risultato esercizio 19
La funzione y=ln (ln ( x)) esiste per x>1 . D=(1 ;+∞ ) .
svolgimento esercizio 19 esercizi
Risultato esercizio 20
La funzione y=ln 2 x esiste per x>0 . D=(0 ;+∞ ) .
svolgimento esercizio 20 esercizi
Risultato esercizio 21
La funzione y=log x (2−x ) esiste per 0<x<1∨1<x<2 . D=(0 ;1 )∪( 1; 2 ) .
svolgimento esercizio 21 esercizi
Risultato esercizio 22
La funzione y=log x∣2−x∣ esiste per 0<x<1∨1<x<2∨ x>2 .
D=(0 ;1 )∪( 1; 2 )∪( 2;+∞ ) .
svolgimento esercizio 22 esercizi
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Risultato esercizio 23
La funzione y=√ tan x esiste per 0+k π≤ x<π2+k π , k∈ℤ .
svolgimento esercizio 23 esercizi
Risultato esercizio 24
La funzione y=√2−4x
4x−2x esiste per x<0∨0<x≤
12
. D=(−∞ ;0 )∪( 0;12
] .
esercizi
Risultato esercizio 25
La funzione y=4x−2x
√2−4xesiste per x<
12
. D=(−∞ ;12
) .
esercizi
Risultato esercizio 26
La funzione y= √ ln x2 ln x−5
esiste per x≥1∧x≠e52 . D=[1;e
52 )∪( e
52 ;+∞ ) .
esercizi
Risultato esercizio 27
La funzione y=√log 0.5 x
2√ log0.5 x−5esiste per 0<x<0.5
254∨0.5
254 <x≤1 .
D=(0 ;0.5254 )∪( 0.5
254 ;1 ] . esercizi
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Risultato esercizio 28
La funzione y=arcsin ( log 12
x) esiste per 12≤x≤2 . D=[
12
; 2] .
esercizi
Risultato esercizio 29
La funzione y=arcsin x−arccos(1−2 x2) esiste per −1≤x≤1 . D=[−1 ;1 ] .
esercizi
Risultato esercizio 30
La funzione y=ln (√ x+1−(x−1)) esiste per −1≤x<3 . D=[−1 ;3 ) .
esercizi
Risultato esercizio 31
La funzione y=sin x
sin 2 xesiste per x≠k π
2, k∈ℤ . ℝ∖{ k π
2, k∈ℤ}
esercizi
Risultato esercizio 32
La funzione y=x2−sin x
x2−cos x
esiste per x≠±α con α≈0.8241 .
esercizi
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SVOLGIMENTO DEGLI ESERCIZI
indice
Svolgimento esercizio 13
La funzione y=arctanx3−x+3
x2 è composta nel seguente modo:
x →frazione x3
−x+3x2 →
arcotangentearctan
x3−x+3
x2 .
L'arcotangente esiste sempre (se esiste l'argomento), quindi l'unica condizione è relativa
all'esistenza della frazione: denominatore≠0 → x2≠0 → x≠0 →
D=ℝ∖{ 0}=(−∞ ;0 )∪( 0;+∞ ) .
esercizi
Svolgimento esercizio 14
La funzione y=log0.5 x
log0.5 x−1è costituita dal rapporto di due espressioni, in cui compare lo stesso
logaritmo. Dobbiamo quindi considerare l'esistenza di questo logaritmo e porre il denominatore
della frazione diverso da zero.
{x>0 esistenza logaritmolog0,5 x−1≠0 denominatore≠0 → {x>0
log0.5 x≠1 → {x>0log0.5 x≠ log0.5 0.5 →
{ x>0x≠0.5
→ 0<x<0.5∨x>0 → D=(0 ;0.5 )∪( 0.5 ;+∞ ) .
esercizi
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Svolgimento esercizio 15
La funzione y=x+3
2−√ x−1è costituita dal rapporto di due espressioni e nel denominatore
compare una radice quadrata.
{x−1≥0 esistenza radice2−√ x−1≠0 denominatore≠0
→ { x≥1√ x−1≠2
→ { x≥1x−1≠4
→
{x≥1x≠5
→ 1≤x<5∨x>5 → D=[1;5 )∪( 5;+∞ ) .
esercizi
Svolgimento esercizio 16
La funzione y=(2− x)(1−√ x) è un'esponenziale con base variabile. La base è un polinomio,
l'esponente contiene una radice quadrata.
{2− x>0 cond. base esponenzialex≥0 esistenza radice
→ {x<2x≥0
→ 0≤x<2 → D=[0 ;2 ) .
esercizi
Svolgimento esercizio 17
Lo schema di composizione della funzione y=log 2∣3−x∣ è:
x →polinomio
3−x →valore assoluto
∣3−x∣ →logaritmo
log2∣3−x∣ .
Polinomio e valore assoluto di polinomio non richiedono condizioni, quindi dobbiamo porre solo
la condizione di esistenza del logaritmo:
∣3−x∣>0 → 3− x≠0 → x≠3 → D=ℝ∖{ 3}=(−∞ ;3 )∪( 3 ;+∞ ) .
esercizi
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Svolgimento esercizio 18
Data la funzione y=ln (e2x−2ex
+1) , i due esponenziali esistono per ogni x, quindi dobbiamo
porre solo la condizione di esistenza del logaritmo:
e2 x−2 ex
+1>0 → (ex−1)2>0 → ex−1≠0 → ex
≠1 → ex≠e0 → x≠0 →
D=ℝ∖{ 0}=(−∞ ;0 )∪( 0;+∞ ) .
esercizi
Svolgimento esercizio 19
Lo schema di composizione della funzione y=ln (ln ( x)) è :
x →logaritmo
ln x →logaritmo
ln(ln x ) .
Dobbiamo porre le condizioni di esistenza dei due logartimi
{x>0 esistenza primo logaritmoln x>0 esistenza secondo logaritmo
→ {x>0ln x>ln 1
→ {x>0x>1
→ x>1 →
D=(1 ;+∞ ) .
esercizi
Svolgimento esercizio 20
Lo schema di composizione della funzione y=ln 2 x è:
x →logaritmo
ln x →quadrato
( ln x)2 .
L'unica condizione che dobbiamo porre è quella relativa all'esistenza del logaritmo ( il quadrato
esiste sempre se esiste la sua base): x>0 → D=(0 ;+∞ ) .
esercizi
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Svolgimento esercizio 21
La funzione y=log x (2−x ) è un logaritmo, a base variabile, di un polinomio.
{x>0∧ x≠1 cond. base logaritmo2− x>0 cond. argomento logaritmo
→ {x>0∧ x≠1x<2
→ 0<x<1∨1<x<2 →
D=(0 ;1 )∪( 1; 2 ) .
esercizi
Svolgimento esercizio 22
La funzione y=log x∣2−x∣ è un logaritmo a base variabile.
{x>0∧ x≠1 cond. base logaritmo∣2− x∣>0 cond. argomento logaritmo
→ {x>0∧ x≠12− x≠0
→ {x>0∧ x≠1x≠2
→
0<x<1∨1<x<2∨ x>2 → D=(0 ;1 )∪( 1; 2 )∪( 2;+∞ ) .
esercizi
Svolgimento esercizio 23
Lo schema di composizione della funzione y=√ tan x è:
x →tangente
tan x →radice quadrata
√ tan x .
{x≠π2+k π , k∈ℤ esistenza tangente
tan x≥0 cond. esistenza radice→ {
x≠π2+k π , k∈ℤ
0+k π≤x<π2+k π , k∈ℤ
→
0+k π≤ x<π2+k π , k∈ℤ . D={ x ∣ k π≤ x<π
2+k π , k∈ℤ}
video tan(x)>=0
esercizi
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Svolgimento esercizio 24
La funzione y=√2−4x
4x−2x è il rapporto di due espressioni e il numeratore presenta una radice
quadrata. Gli esponenziali presenti esistono per ogni x.
{2−4x≥0 esistenza radice quadrata
4 x−2x
≠0 denominatore diverso da zero→ {4
x≤2
4x≠2x → {2
2 x≤21
22x≠2x → {2 x≤1
2 x≠x→
{x≤12
x≠0→ x<0∨0<x≤
12
→ D=(−∞ ;0 )∪( 0;12
] .
esercizi
Svolgimento esesercizio 25
La funzione y=4x−2x
√2−4xè il rapporto di due espressioni e il denominatore presenta una radice
quadrata. Gli esponenziali presenti esistono per ogni x.
{2−4 x≥0 esistenza radice quadrata
2−4x≠0 condizione denominatore
→ {2−4 x≥0
2−4 x≠0
→ 2−4x>0 → 4x
<2 →
22x<21 → 2 x<1 → x<
12
→ D=(−∞ ;12
) .
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Svolgimento esercizio 26
La funzione y= √ ln x2 ln x−5
è il rapporto di due espressioni, il denominatore presenta una radice
quadrata e compare due volte ln x .
{x>0 condizione esistenza logaritmoln x≥0 condizione esistenza radice2 ln x−5≠0 condizione denominatore
→ {x>0ln x≥ln 1
ln x≠52
→ {x>0x≥1
ln x≠52
ln e→
{x>0x≥1
ln x≠ln e52
→ {x>0x≥1
x≠e52≈12.18
→ x≥1∧x≠e52 → D=[1;e
52 )∪( e
52 ;+∞ ) .
esercizi
Svolgimento esercizio 27
La funzione y=√log 0.5 x
2√ log0.5 x−5è un rapporto e compare due volte √ log0.5 x .
{x>0 condizione esistenza logaritmolog0.5 x≥0 condizione esistenza radice2√ log0.5 x−5≠0 condizione denominatore
→ {x>0log0.5 x≥log0.51
√log0.5 x≠52
→
{x>0x≤1 (base minore di 1)
log0.5 x≠254
→ {x>0x≤1
log0.5 x≠254
log0.5 0.5→ {
x>0x≤1
log0.5 x≠ log0.5 0.5254
→
{x>0x≤1
x≠0.5254≈0,013
→ 0<x<0.5254∨0.5
254 <x≤1 → D=(0 ;0.5
254 )∪( 0.5
254 ;1 ] .
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Svolgimento esercizio 28
Lo schema di composizione della funzione y=arcsin ( log 12
x) è:
x →logaritmo
log 12
x →arcoseno
arcsin (log 12
x) .
{x>0 esistenza logaritmo−1≤log 1
2
x≤1 condizione arcoseno → {x>0log 1
2
x≥−1
log 12
x≤1→ {
x>0
log 12
x≥−log 12
12
log 12
x≤log 12
12
→
{x>0
log 12
x≥log 12
(12)−1
x≥12
→ {x>0
x≤(12)−1
x≥12
→ {x>0x≤2
x≥12
→12≤x≤2 → D=[
12
; 2] .
esercizi
Svolgimento esercizio 29
E' data la funzione y=arcsin x−arccos(1−2 x2) .
{−1≤ x≤1 esistenza arcoseno−1≤1−2 x2
≤1 esistenza arcocoseno → {
−1≤ x≤11−2 x2
≥−11−2 x2
≤1→ {
−1≤x≤1−2 x2
≥−2−2 x2
≤0→
{−1≤x≤1
x2≤1x2≥0
→ {−1≤x≤1−1≤x≤1∀ x∈ℝ
→ −1≤x≤1 → D=[−1 ;1 ] .
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Svolgimento esercizio 30
E' data la funzione y=ln (√ x+1−(x−1)) .
{x+1≥0 esistenza radice qu.√ x+1−(x−1)>0 esistenza logaritmo
→ { x≥−1√ x+1>x−1 (*)
────────
(*) √ x+1> x−1 → {x−1<0x+1≥0
∨ {x−1≥0x+1>( x−1)2
→ { x<1x≥−1
∨ { x≥1x+1>x2
+1−2 x→
−1≤x<1 ∨ {x≥1x2−3 x<0
→ −1≤x<1 ∨ {x≥10<x<3
→ −1≤x<1 ∨ 1≤x<3 →
−1≤x<3
────────
Riprendiamo il sistema iniziale { x≥−1−1≤x<3
→ −1≤x<3 → D=[−1 ;3 ) .
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Svolgimento esercizio 31
La funzione y=sin x
sin 2 xè il rapporto di due espressioni. L'unica condizione che dobbiamo
porre è la condizione del denominatore:
sin 2 x≠0 → 2 x≠k π , k∈ℤ → x≠k π2
, k∈ℤ . D=ℝ∖{ x=k π2
, k∈ℤ}
Osservazione. Non è corretto il seguente procedimento:
y=sin x
sin 2 x→ y=
sin x2sin x cos x
→ y=1
cos x→ x≠π
2+k π , k∈ℤ , perché non si può
semplificare prima di porre le condizioni di esistenza.
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Svolgimento esercizio 32
La funzione y=x2−sin x
x2−cos x
è il rapporto di due espressioni. L'unica condizione che dobbiamo
porre è la condizione del denominatore:
x2−cos x≠0 → cos x≠x2 .
Risolviamo l'equazione associata cos x=x2 con un metodo grafico:
video metodo grafico
{y=cos xy= x2
x=α , α≃0.8241
Quindi la funzione esiste per x≠±α con α≈0.8241 .
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