PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 1
CHÖÔNG
Doøng chaûy coù theá ⇔∃ϕ/thoaû ñ.k. (1) ⇔ 0xyyx
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂ϕ∂
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂ϕ∂
∂∂ ⇔ 0
yu
xu xy =
∂∂
−∂
∂⇔ rot(u)=0
doøng chaûy phaúng, löu chaát lyù töôûng khoâng neùn ñöôïc chuyeån ñoäng oån ñònhGiôùi haïn:
I. CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN1. Haøm theá vaän toác:Ta ñònh nghóa haøm ϕ sao cho:
θ∂ϕ∂
=∂ϕ∂
=∂ϕ∂
=∂ϕ∂
= θ r1u;
ruhay
yu;
xu ryx
Tröôøng veùctô u laø tröôøng coù theá khi: ∫B
A
dsu chæ phuï thuoäc vaøo hai vò trí A vaø B. Ta coù:
BA
B
A
B
A
B
A
)1(thoaûtoàntaïi
y
B
Ax
B
A
d
)dyy
dxx
(dsu)dyudxu(dsu
ϕ−ϕ=ϕ=
∂ϕ∂
+∂ϕ∂
=+=
∫
∫∫⇒∫∫ϕ
chæ phuï thuoäc vaøo giaù trò haøm theá taïi A vaø B.Roõ raøng töø chöùng minh treân, ∫B
A
dsuVaäy:
(1)
A
B
n
u
un
us
0dyudxu0d yx =+⇔=ϕ2. Phöông trình ñöôøng ñaúng theá:3. YÙ nghóa haøm theá vaän toác: ABAB ϕ−ϕ=Γ ∫=Γ
B
AsAB dsu laø löu soá vaän toác
4. Tính chaát haøm theá:Töø ptr lieân tuïc, ta coù:
0yx
0yyxx
0y
ux
u2
2
2
2yx =
∂ϕ∂
+∂
ϕ∂⇔=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂ϕ∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂ϕ∂
∂∂
⇔=∂
∂+
∂∂
⇔ Haøm theá thoaû phöông trình Laplace
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 2
5. Haøm doøng:Khi doøng chaûy löu chaát khoâng neùn ñöôïc toàn taïi, thì caùc thaønh phaàn vaän toác cuûa noùthoaû ptr lieân tuïc :
ru;
r1uhay
xu;
yu/0
yu
xu
ryxyx
∂ψ∂
−=θ∂ψ∂
=∂ψ∂
−=∂ψ∂
=ψ∃⇔=∂
∂+
∂∂
θ
ψ goïi laø haøm doøng. Nhö vaäy ψ toàn taïi trong moïi doøng chaûy,coøn ϕ chæ toàn taïi trong doøng chaûy theá.
6. Haøm doøng trong theá phaúng:
Vì laø doøng chaûy theá neân: 0yx
0yyxx
0y
ux
u2
2
2
2xy =
∂ψ∂
+∂
ψ∂⇔=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂ψ∂
∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂ψ∂
∂∂
−⇔=∂∂
−∂
∂
Vaäy trong doøng theá thì haøm ψ thoaû ptr Laplace.7. Ñöôøng doøng vaø ptr:
Töø ptr ñöôøng doøng: 0d0dxx
dyy
0dxudyu yx =ψ⇔=∂ψ∂
+∂ψ∂
⇔=−
x
y
O
n
nx
ny
dxdy
ds
α
(-dx=ds.sinα)
Nhö vaäy treân cuøng moät ñöôøng doøng thì giaù trò ψ laø haèng soá.
8. YÙ nghóa haøm doøng:
Ta coù:
∫∫∫
∫∫∫ ∫
ψ−ψ=ψ=∂ψ∂
−∂ψ∂
=−=
α+α=+===
B
AAB
B
A
B
Ayx
B
Ayx
B
Ayyxx
B
A
B
AnAB
ddxx
dyy
dxudyu
dssinudscosudsnudsnudsnudsuq
Vaäy: ABABq ψ−ψ=
9. Söï tröïc giao giöõa hoï caùc ñöôøng doøng vaø ñöôøng ñaúng theá:
0)u(u)u(uyyxx xyyx =+−=
∂ψ∂
∂ϕ∂
+∂ψ∂
∂ϕ∂
Suy ra hoï caùc ñöôøng doøng vaø caùc ñöôøng ñaúng theá tröïc giao vôùi nhau.
10. Coäng theá löu:
......
21
21
+ψ+ψ=ψ+ϕ+ϕ=ϕ
11. Bieãu dieãn doøng theá:
vôùi z = x+iy = eiα . Theá phöùc f(z): ψ+ϕ= i)z(f
Nhö vaäy: dydi
dxdiuu
dzdf
yxψ
+ϕ
=−=
Ñeå bieåu dieãn doøng chaûy theá, ta coù theå bieãu dieãn rieâng töøng haøm doøng vaø haøm theá, tacuõng coù theå keát hôïp haøm doøng vôùi haøm theá thaønh moät haøm theá phöùc nhö sau::
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 3
II. CAÙC VÍ DUÏ VEÀ THEÁ LÖU
xO
y
ϕ=0ϕ=1
ϕ=2ϕ=3
ϕ=-1ϕ=-2
ϕ=-3
ψ=0ψ=1
ψ=2ψ=3
ψ=-3ψ=-2
ψ=-1
V0
α
1. Chuyeån ñoäng thaúng ñeàu: töø xa voâcöïc tôùi, hôïp vôùi phöông ngang moät goùcα.
ux = V0cosα; uy = V0sinαdψ = uxdy - uydxψ = V0ycosα - V0xsinα + C
Choïn:ψ=0 laø ñöôøng qua goác toaï ñoä⇒ C=0.
Vaäy: ψ = V0ycosα - V0xsinαTöông töï: ϕ = V0xcosα + V0ysinα
Bieãu dieãn baèng haøm theá phöùc: F(z) = ϕ+iψ = (V0xcosα + V0ysinα) + i(V0ycosα - V0xsinα)
= x(V0cosα- iV0sinα)+yi(V0cosα - iV0sinα)= az
vôùi: a=(V0cosα -iV0sinα) laø soá phöùc; z=x+iy laø bieán phöùc.
2. Ñieåm nguoàn, ñieåm huùt: vôùi löu löôïng q taâm ñaët taïi goác toaï ñoä.(q>0:ñieåm nguoàn; q<0:ñieåm huùt).
⇒ Hoï caùc ñöôøng doøng laø nhöõng ñöôøng thaúng qua O.
)yxln(4q
)rln(2q
1rkhi0choïn;C)rln(2q
drr2
qdrudrudruddr
rd
22
rr
+π
=π
=ϕ⇒
==ϕ+π
=ϕ⇒
π==θ+=θ
θ∂ϕ∂
+∂ϕ∂
=ϕ θ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
π=θ
π=ψ⇒
=θ=ψ+θπ
=ψ⇒
θ=θ+−=θθ∂ψ∂
+∂ψ∂
=ψ⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=π θ
θ
xyarctg
2q
2q
0khi0choïn;C2q
drudrudruddrr
d0ur2
qurr
r=
Haøm doøng: Haøm theá vaän toác:
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=π
=π
=
+π
=θ+π
=
+π
=π
=ϕ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
π=θ
π=ψ
θ
θ
zlnazln2q
)reln(2q
)elnr(ln2q
)ir(ln2q
)z(f
)yxln(4q
)rln(2q
xy
arctg2q
2q
i
i
22
Keát luaän: O
ϕ
ψ=0
ψ=(q/4)
ψ=q/2
ψ=3q/4
Ghi chuù:Tröôøng hôïp ñieåm nguoàn (huùt) coù taâm ñaët taïi moät vò trí khaùc goác toaï ñoä, ví duï ñaët taïiA(x0; y0) thì trong coâng thöùc tính haøm doøng (hoaëc theá vaän toác), tai vò trí naøo coù caùc bieán x phaûi thay baèng (x=x0) ; taïi vò trí naøo coù bieán y phaûi thay baèng (y-y0).
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 4
3. Xoaùy töï do: ñaët taïi goác toaï ñoä vaø coù löu soá vaän toác ∫ ==ΓC
constdsu
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=πΓ−
=πΓ−
=
θ+πΓ
−=−θπ
Γ=
+πΓ−
=πΓ−
=ψ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
πΓ
=θπ
Γ=ϕ
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=πΓ
=
=
θ
θ
zlnazln2i)reln(
2i
)ir(ln2i)rlni(
2)z(f
)yxln(4
)rln(2
xyarctg
22
constr2
u
0u
i
22r
O
ψ
ϕ=0
ϕ=Γ/4
ϕ = Γ/2
ϕ=3Γ/4Γ>0: xoaùy döông
Ghi chuù:Γ>0: xoaùy döông ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà; Γ<0: xoaùy aâm thuaän chieàu kim ñoàng hoà;
Töông töï, ta coù treân ñaây laø xoaùy ñaët taïi O(0,0). Muoán bieãu dieãn cho xoaùy coù taâm ñaët taïi ñieåmbaát kyø, ta cuõng thöïc hieän nhö trong phaàn ghichuù cuûa ñieåm nguoàn, huùt.
4. Löôõng cöïc: laø caëp ñieåm nguoàn + huùt coù cuøng löu löôïng qñaët caùch nhau moätñoaïn ε voââ cuøng nhoû (cho ε→0 vôùi ñieàu kieän εq→m0 , laø moment löôõng cöïc). Ví duï ta xeùt tröôøng hôïp naèm treân truïc hoaønh:Tìm haøm doøng:
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+ε
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ε
+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ε
−
π=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
ε−⎟
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
ε+
+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
ε−
−⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
ε+
π=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
ε−
−ε
+π=θ−θ
π=ψ+ψ=ψ
22
2
hnhn
y4
x
2xy
2xy
arctg2q
2x
y
2x
y1
2x
y
2x
y
arctg2q
2x
yarctg
2x
yarctg
2q
)(2q
Khi ε→0 töû soá trong daáu arctg tieán tôùi 0 neân ta coù theå vieát:
220
22
222
2 yxy
2m
y4
x
y2q
y4
x
2xy
2xy
2q
+π−
→
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+ε
−
ε−π
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+ε
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ε
+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ε
−
π=ψ
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 5
+q -q
ψ
Tìm haøm theá vaän toác:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ε
−
ε+
π=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ε
−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ε
+
π=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ε
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ε
+π
=ϕ+ϕ=ϕ
22
22
22
22
22
hn
y2
x
x21ln4q
y2
x
y2
xln
4q
y2
xlny2
xln4q
Trieån khai ...2
xx)x1ln(2
+−=+ vaø boû qua caùc soá haïng baäc cao voâ cuøng beù, ta coù:
0khiyx
x2m
y2
x
x22q
220
22
→ε+π
→
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ε
−
επ
=ϕ
Vaäy toùm laïi, ñoái vôùi chuyeån ñoäng löôõng cöïc thì:
z1
2m
)sini(cosrsincos
2m
rsinicos
2m
)z(f
rcos
2m
yxx
2m
rsin
2m
yxy
2m
022
00
022
0
022
0
π=
θ+θθ+θ
π=
θ−θπ
=
θπ
=+π
=ϕ
θπ
−=
+π−
=ψ
Laø choàng nhaäp cuûa chuyeån ñoäng thaúng ñeàu ngang (U0)+ nguoàn taïi goác toaï ñoä (q)5. Doøng chaûy quanh nöûa coá theå:
θπ
+θ=π
+=ψ
π+θ=+
π+=ϕ
2q
sinru)xy
(arctg2q
yu
rln2q
cosru)yxln(4q
xu
00
02
02
Ñieåm döøng A:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⇔=+π
=∂ϕ∂
π−=⇔=
+π+=
∂ϕ∂
⇔
==⇔=
⇑
0y0yxy2
4q
y
u2qx0
yxx2
4qu
x
0u;0u0u
A22
0A220
yAxAA
A
Ñieåm döøng
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 6
6. Doøng chaûy quanh coá theå daïng Rankin
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+π+=ψ
+−++
π+=ϕ
axyarctg
axyarctg
2qyu
y)ax(y)ax(ln
4qxu
o
22
22
o
Coù hai ñieåm döøng A vaø B:
{
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
+π
±=⇔=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−π+⇔
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−+π
+⇔=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−−
−++
+π
+=∂ϕ∂
=⇔=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−−
++π=
∂ϕ∂
⇔⎩⎨⎧
==
⇔=
2
0220
0
22220
2222
y
x
auaqx0
axa4
4qu
0)ax(
2)ax(
24q
u0ytheá
0y)ax(
)ax(2y)ax(
)ax(24q
ux
0y0y)ax(
y2y)ax(
y24q
y
0u0u
0u
Laø toå hôïp cuûa doøng chuyeån ñoäng thaúngngang ñeàu (u0) + nguoàn (+q) + huùt(-q).Trong ñoù ñieåm nguoàn vaø huùt naèm treân truïchoaønh, caùch nhau moät ñoaïn 2a höõu haïn,
A B
u0
+q -q
2a
7. Doøng chaûy quanh truï troøn (Γ=0)Xeùtø toå hôïp cuûa chuyeån ñoäng thaúng ñeàu, naèm ngang (u0)+löôõng cöïc (m0)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
π−θ=
θπ
−θ=+π
−+=ψ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
π+θ=
θπ
+θ=+π
+=ϕ
20
0o
0o22
0o
20
0o
0o22
0o
ru2m
1sinrur
sin2m
sinruyx
y2m
yu
ru2m
1cosrur
cos2m
cosruyx
x2m
xu Xeùt ñöôøng doøng ψ=0 ⇔ θ = 0
vaø0
0
u2m
rπ
=
0
0
u2m
Rπ
=baèng ñöôøngtroøn
Do khoâng coù söï traoñoåi löu chaát giöõatrong vaø ngoaøiñöôøng doøng ψ=0
0
0
u2m
rπ
=Thay ñöôøngtroøn
thì baûn chaátdoøng chaûy vaãn
khoâng ñoåi
Ta coù hình aûnh cuûa doøngchaûy bao quanh truï troøn.
(truï khoâng xoay)
Ñieåm döøng
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−θ=ψ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+θ=ϕ
2
2
o
2
2
o
rR1sinru
rR1cosru
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 7
)θsin41(2uρp 220 −=dö
tr
Tìm phaân boá vaän toác treân maët truï r=R:
A BC
D
uC = -2u0
uD = 2u0
pA = pB = ρu02/2
pC = pD = -3ρu02/2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
θ−=θ∂ϕ∂
=⇒θ=ϕ⇒ =
θ
0u
sinu2r1u
cosRu2
r
0Rr0
Tìm hai ñieåm döøng treân maët truï:πθ0θ0uθ ==⇔= vaø
⇒ coù hai ñieåm döøng A. B tröôùc vaø sau maët truï. Tìm hai ñieåm coù giaù trò vaän toác lôùn nhaát treân maët truï:
0D0C
max
u2u;u2u2
3;2
uu
=−=
π=θ
π=θ⇔=θ ⇒ C, D naèm treân vaø döôùi maët truï
coù giaù trò vaän toác lôùn nhaát.
Khaûo saùt phaân boá aùp suaát reân maët truï:AÙp duïng P.Tr NL treân ñöôøng doøng ψ=0 töø ñieåm xa voâ cöïc ñeán ñieåm treân maët truï:
2u
p2u
p2tr
tr
20 ρ
+=ρ
+∞ Giaû sö û p∝=pa )u
θsinu41(2uρ)
uu1(
2uρp 2
0
220
20
20
2tr
20 −=−=dö
tr
Taïi A, B: 2u
pp20
BAρ
==
Taïi C, D: 2u3
pp20
DDρ
−== Do bieåu ñoà phaân boá aùp suaát ñoái xöùng qua ox laãn oy neântoång löïc taùc duïng leân maët truï trong tröôøng hôïp naøy = 0Nhaän xeùt:
7. Chuyeån ñoäng quanh truï troøn xoay (Γ≠0):Bao goàm chuyeån ñoäng quanh truï troøn + xoaùy töï do (Γ +)
rln2r
R1sinru
2rR1cosru
2
2
o
2
2
o
πΓ
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−θ=ψ
θπ
Γ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+θ=ϕ
Phaân boá vaän toác treân maët truï :
πΓ
+θ−== θ 2R1sinu2u;0u 0rVì r = R neân
suy ra:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→π>Γ
→π=Γ
→π<Γ
⇒π
Γ=θ⇔
πΓ
=θ⇔=
döøng.ñieåm.0Ru4döøng.ñieåm.1Ru4döøng.ñieåm.2Ru4
Ru4sin
R2sinu20u
0
0
0
00
Phaân boá aùp suaát treân maët truï :
2u
p2u
p2tr
tr
20 ρ
+=ρ
+∞ vôùiπ
Γθθ 212 0 R
sinuu +−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=−=
2
0
20
20
2tr
20
Ruπ2Γθsin21
2uρ)
uu1(
2uρp dö
trGiaû sö û p∝=pa
Löïc taùc duïng treân maët truï:
0
2
0try Ud.sinRpF Γρ−=θθ−=⇒ ∫
πdö
Phöông x: Fx =0Phöông y:
--- Löïc naâng Jukovs
Löu yù :
0d.sin2
0
n∫π
=θθ
Doøng ñeàu L cöïc
Xoaùytöï do
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 8
Caùctröôøng
hôïp xoaùyΓ>0 Γ/2πRu0=2
Γ/2πRu0=3
Γ/2πRu0=1
Fy
Ñieåm döøng Ñieåm döøng
Ñieåm döøng
y
| Γ | /2πRu0=3
StagnationPoint
r
Γ
Fy
| Γ | /2πRu0=1
StagnationPoint
y
r
Γ
| Γ | /2πRu0=2
StagnationPoint
y
r
Γ
Caùctröôøng
hôïp xoaùyΓ< 0
Ñieåm döøngÑieåm döøng
Ñieåm döøng
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 9
Ví duï 1:Chuyeån ñoäng theá cuûa chaát loûng hai chieàu treân maët phaúng naèm ngang xoy vôùi
haøm theá vaän toác ϕ = 0,04x3 + axy2 + by3 , x,y tính baèng m, ϕ tính baèng m2/s.1. Tìm a, b.2. Tìm ñoä cheânh aùp suaát giöõa hai ñieåm A(0,0) vaø B(3,4), bieátb khoái löôïng
rieâng loûng baèng 1300kg/m3
Giaûi:Töø haøm theá vaän toác ϕ = 0,04x3 + axy2 + by3 ta coù:
2y
22x by3axy2
yu;ayx12,0
xu +=
∂ϕ∂
=+=∂ϕ∂
=
Caùc thaønh phaàn vaän toác phaûi thoaû phöông trình div(u)=0 neân:
0by6x)a224,0(0by6ax2x24,00yu
xu yx =++⇔=++⇔=
∂∂
+∂
∂
Vì div(u)=0 ñuùng vôùi moïi ñieåm neân theá (x=0; y=1) vaøo ta ñöôïc b = 0(x=1; y=0) vaøo ta ñöôïc a = -0,12
Vì ñaây laø chuyeån ñoäng theá neân p.tr Ber ñuùng cho hai ñieåm baát kyø A vaø B, ta coù:
⇔−ρ
=−⇔+ρ
=+ρ 2
)uu()pp(2up
2up 2
A2B
BA
2BB
2AA
⇒ uA=0; uB = ((0,12*32 -0,12*42)2+(-0,24*3*4)2)1/2 = 3 m/s
22
AB m/KN85,52
)3(1300p ==Δ
Ví duï 2:
Giaûi:
)xy(21)y,x( 22 −=ϕ
x
yDoøng chaûy theá uoán cong moät goùc 900 vôùi haøm theá vaän toácñöôïc cho nhö sau:
(x,y tính baèng m).Tìm löu löôïng phaúng qua ñöôøng thaúng noáihai ñieåm A(1,1) vaø B(2,2)
x yu x ; u yx y
∂φ ∂φ= = − = =
∂ ∂
yu y xx
yx C(y)
∂ψ= − ⇒ ∂ψ = − ∂
∂⇒ ψ = − +
xu x C'(y) xyC(y) const xy const
∂ψ= ⇒ − + = −
∂⇒ = ⇒ ψ = − +
22 2 1 1 3AB B Aq * * m / s⇒ = ψ − ψ = − + = −
-5
0
5
10
15
20
25
-30 -20 -10 0 10 20 30
y(phi=70)
y(phi=60)
y(phi=50)
y(phi=40)
y(phi=30)
y(phi=20)
y(phi=10)
y(phi=0)
y(phi=-10)
y(phi=-20)
y(phi=-30)
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 10
AÙp suaát dö treân maët truï baèng: )θsin41(2uρp 220 −=dö
tr
Fy dF
θ
0Rd)cos()sin41(2u)cos(pdsdFF
0
220
00xx =θθθ−
ρ−=θ−==⇒ ∫∫∫
πππ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡θθ−θ−θ
ρ−=θθ−θ
ρ−=⇒
θθθ−−ρ
−=θ−==⇒
∫ ∫∫
∫∫∫π ππ
πππ
0 0
220
0
220
y
0
220
00yy
d)sin(3))(cos(d(cos4(2uRd)sin()3cos4(
2uRF
Rd)sin())cos1(41(2u)sin(pdsdFF
3uR5
343
343
2uRcos
34cos3
2uRF
20
20
0
320
yρ
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
ρ−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ θ−θ
ρ−=⇒
π
Giaûi:
Ví duï 3:Gioù thoåi qua maùi leàu daïng baùn truï R=3m vôùiV=20m/s, khoâng khí coù khoái löôïng rieângbaèng 1,16 kg/m3 . Tìm löïc naâng taùc duïng leân1m beà daøi leàu.
Ñeå tìm löïc naâng Fy taùc duïng leân 1m beà daøi leàu, treân baùn truï ta chon moät vi phaân dieântích ds, tìm löïc dF taùc duïng leân ds, sau ñoù chieáu dF leân phöông y →dFy. Vaø tích phaân(dFy) treân toaøn baùn truï
N2320Fy =⇒
Giaûi:
Ví duï 4:Moät xi lanh hình truï troøn di chuyeån trongnöôùc vôùi vaän toác u0 khoâng ñoåi ôû ñoä saâu 10m. Tìm u0 ñeå treân beà maët xi lanh khoâng xaûy rahieän töôïng khí thöïc , bieát nöôùc ôû 200C
A BC
D
uC = -2u0
uD = 2u0
pA = pB = ρu02/2
pC = pD = -3ρu02/2
ÔÛ 200C aùp suaát hôi baõo hoaø cuûa nöôùc : pbh = 0,25m nöôùcÑeå treân beà maët xi lanh khoâng xaûy ra hieän töôïng khí thöïcthì ptru
tñ > pbh = 0,25m nöôùc
⇒ ptruck < 9,75m nöôùc hay ptru
dö > - 9,75m nöôùc
AÙp suaát dö nhoû nhaát treân maët tru (neáu truï di chuyeån treân maët thoaùng )ï, nhö ta ñaõbieát, taïi vò trí C vaø D, baø baèng: pC = pD = -3ρu0
2/2
Suy ra, vaän toác toái ña maø truï coù theå di chuyeån ñöôïc ñeå khoâng coù hieän töôïng khí thöïcxaûy ra treân maët truï phaûi giaûi töø baát p.tr :
pC = pD = 10γn -3ρu02/2Vaäy neáu truï di chuyeån ôû ñoä saâu 10m thì :
Ptrudö = 10γn -3ρu0
2/2 > - 9,75 γn
⇔ 3ρu02/2 < 19,75 γn
⇔ u0 < 11,365 m/s
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 11
Giaûi:
Ví duï 5:Hai nöûa xi lanh ñöôïc noái vôùi nhau vaø ñaët trong tröôøng chaûyñeàu coù theá nhö hình veõ. Ngöôøi ta khoeùt 1 loã nhoû taïi vò trígoùc α ñeå cho khoâng coù löïc taùc duïng leân hai moái noái. Giaûthieát raèng aùp suaát beân trong xi lanh baèng aùp suaát beân ngoaøixi lanh taïi loã khoeùt. Xaùc ñònh goùc α
Ñeå cho khoâng coù löïc taùc duïng leân hai moái noái thì toång löïc Fx taùc duïng leân moãi nöûamaët truï phaûi baèng khoâng. Do bieåu ñoà aùp suaát treân maët truï phaân boá ñoái xöùng qua truïc ox, neân ta chæ caàn xeùt toånglöïc Fx treân ¼ maët tr. Ta xeùt treân ¼ maët truï töø 0 ñeán π/2:AÙp suaát dö treân maët truï:
)θsin41(2uρp 220 −=dö
tr
Treân ¼ maët truï ta choïn vi phaân ds, goïi dFn laø löïc taùc duïng leân ds töø beân ngoaøi maëttruï, ta coù: dFn=pds ⇒ dFnx= - pdscosθ = -pRcosθdθ
6Rusin
34sin
2RuRdcos)sin41(
2uF
20
2/
0
320
2/
0
220
nxρ
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ θ−θ
ρ−=θθθ−
ρ−=⇒
ππ
∫
0
π/2
α
dF
dFxθ
ds
[ ] RpsinRpRdcospdspF 2/0
2/
0
2/
0tx α
πα
π
α
π
α =θ=θθ==⇒ ∫∫
Goïi pα laø aùp suaát taïi loã khoeùt, ta coù: )sin41(2up 220 α−
ρ=α
dö
)sin41(2RuF 22o
tx α−ρ
=⇒
Ta coù: Fnx + Ftx = 0
Suy ra:
31sin
31sin
34sin4
)sin41(2Ru
6RuFF
22
22o
2o
txnx
=α⇒
=α⇒=α⇒
α−ρ
−=ρ
⇒−=
026,35=α
Nhaän xeùt:Löïc F nx >0 höôùng theo chieàu döông⇒löïc Ftx töø beân trong maët truï phaûi höôùng theochieàu aâm. Nhö vaäy, aùp suaát taïi loã khoeùt phaûi laø aùp suaát chaân khoâng
0
π/2
α FnxFtx
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 12
Ví dụ 6 (tự giải)Xoáy tự do âm có cường độ 12m2/s chồng nhập với một nguồn cường độ 10m2/s. Cả hai đặt tại gốc tọa độ. Cho khối lượng riêng của không khí bằng 1,23 kg/m3. Nếu áp suất khí ởxa vô cực bằng áp suất khí trời và xem như không khí tĩnh.Tính áp suất tại điểm A(3,4)ĐS: pck
A=0,512 N/m2
HD: Tìm vận tốc tại A. Áp dụng phương trình năng lượng để suy ra áp suất tại A
Ví dụ 7 (tự giải)Dòng thẳng đều ngang với vận tốc 3m/s từ xa vô cực đến gặp một điểm nguồn cường độ2m2/s đặt tại điểm A(1,2). Biết áp suất xa vô cực bằng không, Tìm vị trí và và áp suất tại điểm dừng BĐS: B(0,89; 2); pB=0,46 m lưu chất.HD: Vị trí điểm dừng B trong hệ trục tọa độ mới XOY là: Y=0; X= - q/(2πu)
Tọa độ của B trong xoy tìm được nhờ áp dụng công thức chuyển trục tọa độ.Áp suất pB tìm từ ph. tr năng lượng
Ví dụ 8 (tự giải)Dòng chảy đều song song trục hoành bao quanh trụ tròn (không xoay) đặt tại gốc tọa độ. Vận tốc dòng đều V=2m/s. Áp suất xa vô cực bằng 5m nước. Tìm vận tốc và áp suất tại điểm A trên mặt trụ hợp với phương Ox một góc 1500 .ĐS: VA=2m/s và pA=49050 N/m2
HD: A trên mặt trụ chính là điểm có áp suất dư bằng 0 nếu xem áp suất xa vô cực =0
Top Related