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P P T C E S 0 1 1 M T
2 1 - A 1 3 V 1
Clase
Funciones
MT-21
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Resumen de la clase anterior
Inecuación lineal de primer grado
Planteo
Solución
desigualdad
Solución
intervaloSolución
gráfica
Sistemas de inecuaciones
de primer grado
Propiedades
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Aprendizajes esperados
• Definir relación y función estableciendo las diferencias entre un
concepto y otro.
• Determinar si una relación es función.
• Representar información cuantitativa a través de gráficos y esquemas.
• Determinar dominio y recorrido de una función.
• ociones de gráfica de una función en el plano cartesiano.
• !valuar una función.
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Pregunta oficial PSU
"#. Si f$%& ' (%) entonces (*f$(%& es igual a
+& ,"(%
-& "(%
& ,"(%"
D& "(%"
!& ninguna de las e%presiones anteriores.
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE , Proceso de admisión 2008.
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,. Relaciones
". /unciones
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1. Relaciones
1.1. Definición
Ejemplo:
Si A ' 0") 1) 23 y B ' 04) () #3 y R una relación de A en B tal que5
R ' 0 $a) b&∈ + % - 6 b es m7ltiplo de a3
A B ' 0$") 4&8 $") (&8 $") #&8 $1) 4&8 $1) (&8 $1) #&8 $2) 4&8 $2) (&8 $2) #&3
R ' 0$")4&8 $")#&8 $1)#&3 + % -
) entonces5
9na relación R de un con:unto A a un con:unto B !R: A B") es un
subcon:unto del producto cartesiano entre + y - determinado por una o
más condiciones.
A B es el producto cartesiano entre los dos con:untos) es decir)
todos los pares ordenados que se puedan formar) tomando un
elemento de A y un elemento de B) en ese orden.
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1. Relaciones
1.1. Definición
9tili;aremos el e:emplo anterior para e%plicar algunos conceptos.R ' 0$") 4&8 $") #&8 $1) #&3 + % -
"1
2
4(
#
A B
R
on:. de partida on:. de llegada $odominio&
Pre
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1. Relaciones
1.$. Dominio % recorrido
Dominio:!s el con:unto formado por todos los elementos del con:unto de partida
que son pre#imagen de alg7n elemento del con:unto de llegada.
Ejemplo:
!s el con:unto formado por todos los elementos del con:unto de llegada
que son imagen de alg7n elemento del con:unto de partida.
Si A ' 0") 1) 23 y B ' 04) () #3 y R una relación de A en B tal que5
) entonces5R ' 0$")4&8 $")#&8 $1)#&3
Dom$R&
Rec$R&
' 0") 13
' 04) #3
Recorrido:
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$. &unciones
$.1. Definición
9na 'función f( es una relación) tal que todo elemento del con:unto departida tiene imagen) y esta es )nica.
Ejemplos:1. Determine si la siguiente relación R es función5
ab
c
de
f
+ -
R
=a relación R *+ es función) porque c tiene dos imágenes.
R $c& ' e
R $c& ' f
• Dom f , A• -ada pre#imagen tiene una )nica imagen.
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$.1. Definición
$. Determine si la siguiente relación R es función5
1
(
4
#
2
>
+ -R
R es función) ya que cada elemento del
con:unto de partida tiene imagen y esta es
7nica.
$. &unciones
f $1& ' #
f $(& ' #
f $4& ' 2
1
(
4
#
2
>
+ -
f
+demás5
Dominio!f" , A
Recorrido!f" , /0 2
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$.$. E3aluación de funciones
Sea f una función) definida en los reales como5
f$%& ' "% ? 1.
a" f $,& '
Determinar:
IR IR
f
4" f $1& '
c" f $2& '
d" f $,"& '
' "4 ? 1
' "2
Ejemplo 1:
,
12
,"@
%
(
>
,2
"2@
f$%&"*, ? 1 ' (
"*1 ? 1 ' >
"*2 ? 1 ' ,2
"*," ? 1
$. &unciones
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$.$. E3aluación de funciones
"*4 ? 1 A 1$"*B ? 1&
"$A ,& ? 1
f $4& A 1*f $B&
f $A ,&
'
C ? 1 A 1$1&
,
"
,, A >
'
'
'
e" Para f$%& ' "% ? 1) determinar
$. &unciones
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$.5. Dominio % recorrido
Representación gráfica de5 f$%& ' "% ? 1.
f$%& ' "% ? 1 es función af6n0 Dom$f& ' IR y Rec$f& ' IR
$. &unciones
uando es ,) el valor de % es (.
=uego) f$,& ' (.
!s decir) y ' f$%& $%) y&
punto en el
plano cartesiano
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$.5. Dominio % recorrido
Ejemplo 1:Sea
E!s posible calcular este cuociente siempreF
omo la división por 7 no está definida) 8 1 debe ser distinto de B) esdecir5 9 1.
=uego) Dom!f" , R 8 12
Respuesta:
IR IR
f
"
,
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$. &unciones
$.5. Dominio % recorrido
Ejemplo $:
Dom$f& ' G 8 ") ?H G
;Por
Seaf$%& ' % ? "
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$. &unciones
$.5. Dominio % recorrido
omo la división por 7 no está definida) 8 5 debe ser distinto de B) es
decir5 9 5.
=uego) Dom!f" , R 8 52
Para determinar el recorrido de f$%&) se debe despe:ar %.
y$% A 1& ' %
y% A 1y ' %
y% A % ' 1y
%$y A ,& ' 1y
=uego) Rec!f" , R 8 12
y ' %
% A 1
% '1y
y A ,
Ejemplo 5: f$%& ' %% A 1
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$. &unciones
$.5. Dominio % recorrido
Indicar si los siguientes gráficos corresponden a funciones) determinando
el dominio y recorrido de aquellos que representen una función.
Ejemplo ?:
Dom$f& ' IR
Rec$f& ' 0"3
y ' "
#10/
Dom$f& '
−5,
2
5
Rec$f& '
−
5
16,
5
8
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$. &unciones
$.5. Dominio % recorrido
Dom$f& ' IR
Rec$f& ' A H ) 4 o es función
% ' 1
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"#. Si f$%& ' (%) entonces (*f$(%& es igual a
+& ,"(%
-& "(%
& ,"(%"
D& "(%"
!& ninguna de las e%presiones anteriores.
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE , Proceso de admisión 2008.
Pregunta oficial PSU
A@ER*AA-+RRE-A
A
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a4la de corrección
*C -la3e Unidad temtica a4ilidad
1 + Relaciones y funciones +plicación$ + Relaciones y funciones +plicación
5 D Relaciones y funciones +plicación
? D Relaciones y funciones +plicación
F + Relaciones y funciones +plicación
/ D Relaciones y funciones +plicación
+ Relaciones y funciones +nálisis
G - Relaciones y funciones +plicación
H D Relaciones y funciones +plicación
17 Relaciones y funciones +nálisis
11 Relaciones y funciones +plicación
1$ + Relaciones y funciones +nálisis
4l d ió
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a4la de corrección
*C -la3e Unidad temtica a4ilidad
15 Relaciones y funciones +plicación1? D Relaciones y funciones +plicación
1F + Relaciones y funciones +plicación
1/ - Relaciones y funciones +plicación
1 + Relaciones y funciones +plicación
1G - Relaciones y funciones +nálisis
1H Relaciones y funciones +nálisis
$7 - Relaciones y funciones +nálisis
$1 ! Relaciones y funciones +nálisis
$$ - Relaciones y funciones +nálisis
$5 D Relaciones y funciones +nálisis
$? D Relaciones y funciones !valuación
$F - Relaciones y funciones !valuación
S6 t i d l l
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S6ntesis de la clase
Relaciones
% funciones
RelacionesDominio Recorrido
/unciones
Jráfica !valuación
P t ó i l
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Prepara tu próima clase
!n la pró%ima sesión reali;aremos el
aller
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