M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
CIRCUITS EN RGIME CONTINU
ELC-1112 CIRCUITS LECTRIQUES
COLE NATIONALE SUPRIEURE DARTS ET MTIERS - CASABLANCAAnnes Prparatoires IntgresDpartement Gnie lectrique
Chapitre
Pr. Mourad ZEGRARI
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Plan
Notations de base
Lois de Kirchhoff
Analyse des circuits par les lois de Kirchhoff
Lois fondamentales : Pouillet, Ponts diviseurs
Thormes gnraux : Millman, Superposition
Thormes de Thvenin-Norton
2
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Plan
3
Notations de base
Lois de Kirchhoff
Analyse des circuits par les lois de Kirchhoff
Lois fondamentales : Pouillet et ponts diviseurs
Thormes gnraux : Millman, Superposition
Thorme de Thvenin - Norton
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Circuit lectriqueEnsemble dlments lectriques (sources, rcepteurs)
connects de faon constituer un circuit ferm.
Nud
Point du rseau o se rejoignent au moins trois conducteurs.
BrancheGroupe dlments situ entre deux nuds successifs.
MailleEnsemble de branches relies dans un circuit ferm (le nud de dpart est le mme que celui darrive).
4
Notations de base
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Nous dfinissons les paramtres suivants :
Nombre de branches : b
Nombre de nuds : n
Nombre de mailles : m
5
Paramtres dun circuit
Nuds
Branches
b = 7 ; n = 4 ; m = 4
Exemple
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Exemple 2.1
Nous considrons le circuit suivant :
Nous distinguons :
Nombre de nuds indpendants : N = (n 1)
Nombre de mailles indpendantes : M = b (n 1)
6
R1 R2
R3
A
B
D
C
F
E
1 2
Vs3
+
-
Vs2
+
-Vs1
+
-
n = 2
Soit : b = 3
m = 3
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Plan
7
Notations de base
Lois de Kirchhoff
Analyse des circuits par les lois de Kirchhoff
Lois fondamentales : Pouillet et ponts diviseurs
Thormes gnraux : Millman, Superposition
Thorme de Thvenin - Norton
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Lois de KIRCHHOFF
1. Loi des nuds
Nous considrons un nud A dans un circuit lectrique :
La quantit de charge amene par les courants entrants (+) est gale celle retire par les courants sortants (-) :
dqe = dqs soit : I1 + I2 + I5 = I3 + I4La somme algbrique des courants dans un nud est nulle :
k=1
n
Ik = 0
8
I1
I2 I3
I4I5
A
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Lois de KIRCHHOFF
2. Loi des mailles
Nous considrons la maille suivante :
Si lon parcoure toute la maille :
VAA = V1 + V2 + V3 + V4 = 0
La somme algbrique des tensions dans une maille est nulle :
k=1
n
Vk = 0
9
R1
R2
R4
D C
BA
R3
V1
V2
V3
V4
Vs2
+
- Vs3+-
Vs1+-
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Plan
10
Notations de base
Lois de Kirchhoff
Analyse des circuits par les lois de Kirchhoff
Lois fondamentales : Pouillet et ponts diviseurs
Thormes gnraux : Millman, Superposition
Thorme de Thvenin - Norton
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Analyse des circuits par les lois de Kirchhoff
Ltude des circuits lectriques a pour objectif la dtermination des courants et tensions dans toutes les branches du circuit.
Les variables courants et tensions sont relies par :
quations de courants dans les nuds : N = (n 1)
quations des tensions dans les mailles : M = (b N)
quations v-i pour des lments de chaque branche : b
Nous obtenons ainsi : (N + M) + b = 2b quations dquilibre
11
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Circuit passif optimal
Afin doptimiser le nombre de nuds et de mailles traiter, nous tudions un circuit passif o toutes les sources sont teintes :
Source de tension vs teinte : vs = 0 source court-circuite.
Source de courant is teinte : is = 0 source ouverte.
quations v-i pour des lments de chaque branche : b
12
vs = 0
+
-
Court-
Circuit
Source de tension teinte
is = 0
+
-
Court
Ouvert
Source de courant teinte
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Exemple 2.2
Considrons le circuit suivant :
13
b = 5
N = n 1 = 2
M = b N = 3
A : i1 + i3 = i2
C : is = i3 + i4 + i5
(1) : vs = v1 + v2
(2) : v4 = v3 + v2
(3) : v3 = v1 + v5
v1 = R1 i1
v2 = R2 i2
v3 = R3 i3
v4 = R4 i4
v5 = R5 i5
N = 2 M = 3 b = 5
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Formulation des quations
Les quations de maille sont reformules telle que :
k=1
n
Vsk = k=1
n
RkIk
Vsk : Somme algbrique des f..m. de chaque maille, affectes du signe de la borne par laquelle on sort suivant le sens
de parcours.
RkIk : Somme arithmtique des tensions rsistives dans chaque maille. Un produit (RkIk) est compt positif si le sens du courant Ii est le mme que celui de parcours de la maille. Il est compt ngatif sil est en sens inverse.
14
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Exemple 2.3
Nous considrons le circuit suivant :
Maille (1) : Vs1 Vs3 = R1I1 + R3I3
Maille (2) : Vs3 Vs2 = R2I2 R3I3
Nud A : I1 = I2 + I3
15
R1 R2I1
R3
Vs3
+
-
I2
I3
2Vs1
+
-Vs2
+
-
1
A
B
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Formulation matricielle
Les quations des tensions de maille peuvent tre reformules sous la forme matricielle suivante :
E = R I
Pour lexemple prcdent :
Vs1 Vs3 = R1I1 + R3I3 = (R1 + R3) I1 R3I2Vs3 Vs2 = R2I2 R3I3 = R3I1 + (R2 + R3) I2
Vs1 Vs3
Vs3 Vs2
=
R1 + R3 R3
R3 R2 + R3
.
I1
I2
16
(E) : Matrice colonne des f..m.
Avec : (R) : Matric carre des rsistances.
(I) : Matrice colonne des courants.
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Mthode des dterminants
La rsolution du systme matriciel linaire se fait come suit :
Dterminant principal :
On calcule le dterminant de la matrice des rsistances.
Dterminants particuliers : Ik
Dans la matrice (R), on substitue la colonne (I) par la colonne (E) des forces lectromotrices.
Calcul des courants
On dtermine chaque courant par son dterminant particulier :
Ik =Ik
17
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Exemple 2.4 (1/2)
Nous considrons le circuit suivant :
(1) : 24 + 8 = 40 I1 + 20 I2
(2) : 16 + 8 = 100 I3 + 20 I2
(A) : I1 = I2 + I3
Ce qui permet dcrire :
32 = 40 I1 + 20 I2
24 = 100 I1 + 120 I2
Soit :32
24=40 20
100 120.
I1
I2
18
40 I1
-
+
I3
I2
224 V
+
-
+
-
1
A
B
20
8 V
16 V
100
n = 2
b = 3
N = n 1 = 1
M = b N = 2
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Exemple 2.4 (2/2)
Calcul du dterminant principal :
=40 20
100 120= 6800
Calcul des dterminants particuliers :
I1 =32 20
24 120= 3360 ; I2 =
40 32
100 24= 4160
Calcul des courants :
I1 =I1=3360
6800= 0.49 A ; I2 =
I2=4160
6800= 0.061 A
I3 = I1 I2 = 0.49 0.61 = - 0.12 A
19
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Minimisation des quations
La mthode de formulation des quations dquilibre est simple. Cependant, le nombre dquations rsoudre) est assez lev.
Afin de rduire le nombre dquations, nous un ensemble de variables indpendantes en fonction desquelles toutes les autres variables du circuit peuvent tre exprimes :
La mthode des nuds : on choisit N tensions indpendantes et on crit N quations de courants : nb. q. = N < b
La mthode des mailles : on choisit M courants indpendants et on crit M quations de tensions : nb. q. = M < b
20
La mthode la plus simple est celle qui fait appel au plus petit nombre dquations.
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Mthode des nuds
Les tapes de synthse de cette mthode sont :
tablir le circuit passif de base, dfinir : b et n.
Choisir un nud de rfrence et dfinir les (n1) potentiels aux autres nuds comme tensions nodales.
crire les N quations des courants pour les N nuds.
Formuler ces N quations en fonctions des N tensions nodales.
Dterminer les N tensions nodales par la mthode des dterminants.
21
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Mise en quation (nuds)
Nous considrons le circuit suivant :
Nud de rfrence : D
Potentiel de rfrence : vD = 0
22
B
n = 3
b = 5
N = n 1 = 2
M = b N = 3
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Forme matricielle (nuds)
Les quations dquilibre obtenus avec la mthode des nuds peuvent se mettre sous la forme matricielle suivante :
23
Gii > 0 : somme des conductances au nud (i)Gij < 0 : somme des conductances reliant les nuds (i) et (j)Gij = Gji : symtrie de la matrice (G)
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Exemple 2.5 (1/4)
Considrons le circuit suivant :
Le nud C est choisi comme nud de rfrence : VC = 0
Les tensions nodales calculer sont : VA et VB
24
Circuit initial Circuit passif
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Exemple 2.5 (2/4)
Formulations des lois de nuds :
crivons ces quations en fonction des tensions nodales VA, VB :
25
A i1 = i2 + i3 + is
B i3 + is = i4 + i5
A Vs1 VAR1=VAR2+VA VBR3+ is
B VA VBR3+ is =
VBR4+VB Vs2R5
1
R1+1
R2+1
R3VA +
1
R3VB =Vs1R3 is
1
R3VA +
1
R3+1
R4+1
R5VB =Vs2R5+ is
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Exemple 2.5 (3/4)
Nous obtenons la forme matricielle suivante :
Calculons les potentiels VA, VB par la mthode des dterminants :
26
1
R1+1
R2+1
R31
R3
1
R3
1
R3+1
R4+1
R5
VA
VB
=
Vs1R3 is
Vs2R5+ is
VB =VB= 11.60 V
VA =VA= 4.59 V
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Exemple 2.5 (4/4)
Nous calculons les diffrents courants partir de VA et VB :
27
i1 =Vs1 VAR1=8 4.59
50= 68.2 mA
i2 =VAR2=4.59
250= 18.3 mA
i3 =VA VBR3=4.59 11.6
100= 70.1 mA
i4 =VBR4=11.6
200= 58 mA
i5 =VB Vs2R3=11.6 12
50= 8mA
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Mthode des mailles
Les tapes de synthse de cette mthode sont :
tablir le circuit passif de base, dfinir : b et n.
Choisir un sens de parcours unique pour toutes les M mailles indpendantes et dfinir les courants fictifs associs.
crire les M quations des tensions pour les M mailles.
Formuler ces M quations en fonctions des M courants fictifs.
Dterminer les M courants fictifs par la mthode des dterminants.
28
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Mise en quation (mailles)
Nous considrons le circuit suivant :
Nud de rfrence : D
Potentiel de rfrence : vD = 0
29
B
n = 3
b = 5
N = n 1 = 2
M = b N = 3
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Forme matricielle (maille)
Les quations dquilibre obtenus avec la mthode des mailles peuvent se mettre sous la forme matricielle suivante :
30
Rii > 0 : somme des rsistances de la maille (i)Rij < 0 : somme des rsistances communes entre (i) et (j)Rij = Rji : symtrie de la matrice (R)
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Exemple 2.6 (1/4)
Considrons le mme circuit de lexemple prcdent :
Nous choisissons arbitrairement le sens horaire comme positif.
Les courants de maille (fictifs) calculer sont : J1, J2, J3
31
j3j1 j2
Circuit initial Circuit passif
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Exemple 2.6 (2/4)
Formulations des lois de mailles :
crivons ces quations en fonction des courants de maille J1, J2, J3 :
32
1 Vs1 = R1J1 + R2 J1 J2
2 R3is = R2 J2 J1 + R3J2 + R4 J2 J3
3 Vs2 = R4 J3 J2 + R5J3
R1 + R2 J1 R2 J2 = Vs1
R2 J1 + R2 + R3 + R4 J2 R4 J3 = R3is
R4 J2 + R4 + R5 J3 = Vs2
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Exemple 2.6 (3/4)
Nous obtenons la forme matricielle suivante :
Calculons les courants J1, J2, J3 par la mthode des dterminants :
33
R1 + R2 R2 0
R2 R2 + R3 + R4 R4
0 R4 R4 + R5
J1
J2
J3
=
Vs1
R3is
Vs2
J2 =J2= 49.9 mA
J1 =J1= 68.2 mA
J3 =J3= 8.1 mA
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Exemple 2.6 (4/4)
Nous calculons les diffrents courants partir de J1, J2, J3 :
34
i1 = J1 = 68.2 mA
i2 = J1 J2 = 68.2 49.9 = 18.3 mA
i3 = J2 is = 49.9 120 = 70.1 mA
i4 = J2 J3 = 49.9 + 8.1 = 58 mA
i5 = J3 = 8.1 mA
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Plan
35
Notations de base
Lois de Kirchhoff
Analyse des circuits par les lois de Kirchhoff
Lois fondamentales : Pouillet et ponts diviseurs
Thormes gnraux : Millman, Superposition
Thorme de Thvenin - Norton
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Pour lanalyse des circuits lectriques simples (une deux mailles),
nous pouvons utiliser des outils de calcul permettant la
dtermination directe des courants et tensions dans un circuit.
Nous distinguons les lois fondamentales suivantes :
Loi de Pouillet
Loi du diviseur de tension
Loi du diviseur de courant
36
Lois fondamentales
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Cest une loi drive des lois de Kirchhoff, elle s applique un
circuit simple contenant une maille unique :
37
Loi de Pouillet
R1
R2 R3
+
+ -Vs3
+
-Vs1
+
-
-+
R4
R5Vs4
Vs2I
Vs1 Vs2 Vs3 + Vs4 = R1 + R2 + R3 + R4 + R5 I I =Vs1 Vs2 Vs3 + Vs4R1 + R2 + R3 + R4 + R5
Vsk = I Rk
I = Vsk Rk
Somme
algbriqueSomme
arithmtique
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Un circuit lectrique comprend deux sources de tension (Vs1,Rs1) et
(Vs2, Rs2) et deux rsistances R1, R2 montes en srie :
38
Exemple 2.7
Rs2 = 4
+
-
IR1 = 15 R2 = 25
Vs1 = 48 V
Calcul du courant :
I =Vs1 Vs2
Rs1 + Rs2 + R1 + R2=
48 15
2 + 15 + 25 + 4= 0.72 A
Rs1 = 2
+
-Vs2 = 15 V
+
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Considrons n rsistances Rk, couples en srie et alimentes par
une source de tension Vs :
39
Loi du Diviseur de Tension
Vk = RkI =RkReq Vs
I =VsReq=Vs Rk
V1
RkVs
+
-
R1
Rn
Vk
I
Vn
Intensit du courant dans le circuit :
Tension aux bornes de la rsistance Rk :
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Une source de tension Vs = 12 V alimente trois rsistances R1, R2,
R3 montes en srie :
40
Exemple 2.8
R3 = 20
+
-
V1
I
Req = Rk = 60
R1 = 15 R2 = 25
V2
V3Vs = 12 V
Rsistance quivalente :
Calcul des tensions :
V3 =R3Req Vs =
20 12
60= 4 VV1 =
R1Req Vs =
15 12
60= 3 V
V2 =R2Req Vs =
25 12
60= 5 V
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Considrons n rsistances Rk, couples en parallle et alimentes
par un courant principal Is :
41
Loi du Diviseur de Courant
Ik =VsRk=ReqRk Is
Is =VsReq
Intensit du courant total :
Courant dans la rsistance Rk :
I1
RkVs
+
-
R1 Rn
Ik In
Is
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Une source de courant Is = 2.4 A alimente trois rsistances R1, R2,
R3 montes en parallle :
42
Exemple 2.9
R120
+
-
I3
1
Req=1
20+1
50+1
10= 0.17 SIs = 2.4 A
Rsistance quivalente :
Calcul des courants :
I3 =5.88
10 2.4 = 1.41 AI1 =
5.88
20 0.24 = 0.71 A
I2 =5.88
50 2.4 = 0.28 A
I1 I2
R250
R310
Req =1
0.17= 5.88
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Plan
43
Notations de base
Lois de Kirchhoff
Analyse des circuits par les lois de Kirchhoff
Lois fondamentales : Pouillet et ponts diviseurs
Thormes gnraux : Millman, Superposition
Thorme de Thvenin - Norton
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Ce thorme permet de calculer le potentiel en un nud du circuit :
La loi des nuds au point M permet dcrire :
Le thorme de Millman est :
44
Thorme de Millman
VM = VkRk
1Rk
Ik = 0 soit Vk VMRk
= VkRk VM
1
Rk
I1
I2
I3
I4
A1
R1
A2
R2
R3
A3
R4 A4M
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Calculons le potentiel au point A du circuit suivant :
En considrant le potentiel au point B comme rfrence :
45
Exemple 2.10
VA =
4530 36 +1515
130 +16 +115
= 7.5 V
30
VAB
A
B
45 V
+
-
3 V
-
+
6 15
15 V
+
-
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
quivalence des couplages toile (Y) et en Triangle () :
46
Thorme de Kennelly
Y : RA =RABRCA
RAB+RBC+RCA; RB =
RBCRABRAB+RBC+RCA
; RC =RCARBC
RAB+RBC+RCA
RAB =RARB+RBRC+RCRA
RC; RBC =
RARB+RBRC+RCRARA
; RCA =RARB+RBRC+RCRA
RBY :
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Calculons la rsistance quivalente entre les bornes A et B :
On transforme le couplage triangle (AMN) des rsistances en un
couplage toile.
47
Exemple 2.11 (1/2)
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Nous obtenons les structures suivantes :
La rsistance quivalente entre les points A et B scrit :
48
Exemple 2.11 (2/2)
RAB = 25 +212.5 75
212.5 + 75= 80.43
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Le principe de superposition dcoule directement des proprits des systmes linaires.
49
Thorme de Superposition
S = k=1
n
Sk
La sortie S dun circuit excit simultanment par plusieurs sources dentre Ek, est gale la somme des sorties Sk du circuit pour chaque entre prise individuellement.
Principe
SystmeLinaire
E1
SE2
En
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Considrons un circuit comportant deux sources dnergie :
Calculer lintensit du courant I dans la rsistance 150 laide du
thorme de superposition.
50
Exemple 2.12 (1/2)
100
I
vs = 24 V
+
-
-+
50
100 150
is = 0.15 A
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
1er cas : is = 0
51
Exemple 2.12 (2/2)
Ieq =24
100 +100 150 + 50100 + 150 + 50
= 144 mA
100
I1
vs = 24 V
+
-
50
100 150
100
I2
-+
50
100 150
is = 0.15 A
Ieq
I1 =100
100 + 150 + 50 144 = 48 mA
I2 =50
50 + 50 + 150 0.15 = 30 mA
50
I = I1 I2 = 48 30 = 18 mA
2me cas : vs = 0
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Plan
52
Notations de base
Lois de Kirchhoff
Analyse des circuits par les lois de Kirchhoff
Lois fondamentales : Pouillet et ponts diviseurs
Thormes gnraux : Millman, Superposition
Thorme de Thvenin - Norton
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Le principe consiste remplacer une partie dun circuit actif par un modle quivalent dune source de tension (VT, RT) :
53
Thorme de Thvenin
VT = VAB(co) VT : Tension vide aux bornes A et B
A
VT
+
-
RT
B
A
B
Rseau actif
RT = RAB(eq) RT : Rsistance quivalente vue A-B
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Considrons un circuit suivant :
Calculer lintensit du courant I dans la rsistance 120 laide du
thorme de Thvenin.
54
Exemple 2.13 (1/2)
100
I
vs = 12 V
+
-
150 120
A
B
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Calcul de VT :
55
Exemple 2.13 (2/2)
VT =150
100 + 150 12 = 7.2 V RT =
100 150
100 + 150= 60
I =7.2
60 + 120= 40 mA
Calcul de RT :
100
vs = 12 V
+
-
150
A
B
100
150
A
B
I
VT = 7.2 V
+
-120
RT = 60
VT RT
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Le principe consiste remplacer une partie dun circuit actif par un modle quivalent dune source de courant (IN, RN) :
56
Thorme de Norton
IN = IAB(cc) IN : Courant de court-circuit entre A-B
A
VT
+
-
RN
B
A
B
Rseau actif
RN = RAB(eq) RN : Rsistance quivalente vue A-B
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Considrons un circuit suivant :
Calculer lintensit du courant I dans la rsistance 120 laide du
thorme de Norton.
57
Exemple 2.14 (1/2)
100
I
vs = 12 V
+
-
150 120
A
B
M. ZEGRARICircuits en
Rgime Continu
Calcul de IN :
58
Exemple 2.14 (2/2)
IN =12
100= 0.12 A RN =
100 150
100 + 150= 60
I =60
60 + 120 0.12 = 40 mA
Calcul de RN :
100
vs = 12 V
+
-
150
A
B
100
150
A
B
I
IN = 0.12 A
+
-
120 RN = 60
IN RN
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