Download - cinematica punctului - marinca.freewb.romarinca.freewb.ro/feltolt/e-book-cinematica-punctului.pdf · CINEMATICA PUNCTULUI 7.1 Cinematica punctului material Cinematica punctului material

CINEMATICA PUNCTULUI

CINEMATICA PUNCTULUI

7.1 Cinematica punctului material Cinematica punctului material studiază mişcarea mecanică a punctelor

materiale, fără a se tine cont de masele şi forţele ce acţionează asupra lor. Mişcarea punctelor materiale se raportează la un reper de care se consideră fixat un anumit sistem de referinţă. Reperul (sistemul de referinţă) poate fi fix sau mobil. În raport cu reperul fix, mişcarea punctului material se numeşte mişcare absolută, iar în raport cu reperul mobil, mişcarea se numeşte mişcare relativă.

7.2. Elementele cinematice ale mişcării punctului material

7.2.1. Legea de mişcare Mişcarea unui punct material M este cunoscută dacă în orice moment se

poate preciza poziţia lui în raport cu un reper presupus fix O. Pentru aceasta, se defineşte vectorul de poziţie OMr = al punctului material M faţă de originea O a reperului, ca funcţie de timp (fig. 7.1):

)t(rr = (7.1)

Funcţia vectorială )(trr = reprezintă legea de mişcare a punctului material sub formă vectorială. Această funcţie vectorială trebuie să îndeplinească anumite restricţii impuse de fenomenul fizic al mişcării punctului: ea trebuie să fie continuă, uniformă, finită în modul şi derivabilă de cel puţin două ori.

Acest vector fiind definit de două funcţii scalare în plan sau de trei funcţii scalare în spaţiu rezultă că punctul material liber are două grade de libertate în plan sau trei grade de libertate în spaţiu.

Definirea vectorului de poziţie r poate fi făcută în coordonate carteziene prin cunoaşterea funcţiilor scalare în timp

x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) (7.2) deoarece

kzjyixr ++= (7.3)

versorii kji ,, ai reperului fix fiind vectori constanţi.

Dacă se folosesc coordonatele cilindrice, cunoaşterea lui r este echivalentă cu cunoaşterea următoarelor funcţii scalare:

ρ = ρ(t) , θ = θ(t) , z = z(t) (7.4)

7.1 Cinematica punctului material 3

care reprezintă raza polară, unghiul polar, respectiv cota punctului material M (fig.7.1). Vectorul de poziţie este de forma:

kzur p ⋅+⋅= ρ (7.5)

Versorii pu şi θu care se folosesc în cadrul coordonatelor cilindrice sunt vectori variabili iar derivatele lor se exprimă cu ajutorul derivatelor unghiului polar θ.

Funcţiile de timp x = x(t), y = y(t), z = z(t), ρ = ρ(t), θ = θ(t) care definesc poziţia punctului material M faţă de reperul O, formează legile de mişcare (ecuaţiile de mişcare) scalare ale punctului material.

7.2.2. Traiectoria punctului material Traiectoria este locul geometric al poziţiilor succesive ocupate de punct în

mişcare. Între traiectorie şi curba pe care se deplasează punctul nu există întotdeauna o identitate. Spre exemplu, pe un cerc, un punct poate parcurge numai un arc sau poate parcurge de mai multe ori cercul.

Ecuaţiile (7.1), (7.2), (7.3), (7.4) şi (7.5) pot fi considerate ca fiind ecuaţiile parametrice ale traiectoriei. Prin eliminarea parametrului t între ecuaţiile scalare ale mişcării (7.2), se obţin ecuaţiile a două suprafeţe:

f1 (x, y, z) = 0 , f2 (x, y, z) = 0 (7.6) care prin intersecţia lor determină traiectoria sub forma implicită.

Cu ajutorul legilor de mişcare în coordonate cilindrice, se pot obţine în mod analog ecuaţiile implicite ale traiectoriei:

Φ1 (ρ, θ, z) = 0 , Φ2 (ρ, θ, z) = 0 (7.7) În unele probleme de cinematică se cunoaşte traiectoria. În acest caz,

mişcarea punctului material poate fi definită printr-o singură ecuaţie scalară, astfel: se alege pe curba (C) un punct arbitrar Mo şi un sens pozitiv de măsurare a arcelor pe curbă. Poziţia unui punct oarecare M poate fi definită prin valoarea s(t) a arcului de

curbă ∧

MMo (fig. 7.1). Legea de mişcare a punctului M pe traiectorie în acest caz, este dată de ecuaţia

s = s(t) (7.8) care se numeşte ecuaţie orară (lege orară) a mişcării puntului material.

4 CINEMATICA PUNCTULUI

7.2.3. Viteza punctului material Mişcările se pot deosebi între ele şi prin faptul că punctele materiale pot

parcurge aceleaşi distanţe în intervale de timp diferite sau distanţe diferite în acelaşi interval de timp. Aceste considerente impun introducerea unei noi noţiuni numită viteză. Viteza este o mărime vectorială care precizează direcţia şi sensul în care se efectuează mişcarea. Pentru determinarea vectorului viteză, vom urmări variaţia în timp a vectorului de poziţie OMr = a punctului M de pe traiectorie în raport cu un reper fix O.

La un moment oarecare t, punctul M are vectorul de poziţie )(tr . Într-un interval suficient de scurt dt, punctul M ajunge în poziţia M’ căruia îi corespunde vectorul de poziţie t)(t ∆+r . (fig. 7.2). Prin urmare, în intervalul de timp dt, punctul

a parcurs arcul de curbă ∧

`MM de lungime ∆s căruia îi corespunde vectorul variaţie:

)()( trttrr −∆+=∆

a vectorului de poziţie r . Intervalul de timp ∆t fiind foarte mic, se poate asimila elementul de arc cu elementul de coardă. În acest caz raportul tr ∆∆ / se defineşte ca viteză medie:

( ) ( )r r t t r tvm t t∆ +∆ −

= =∆ ∆

(7.9)

Viteza medie dă o imagine asupra modului cum se deplasează

punctul. De cele mai multe ori însă interesează direcţia şi sensul mişcării. Acestea se obţin cu ajutorul vitezei instantanee. Limita acestui raport când ∆t tinde la zero, reprezintă viteza instantanee (sau viteza) punctului material la momentul t:

rdtrd

ttrttr

trv

tt

&==∆

−∆+=

∆∆

=→∆→∆

)()(limlim00

(7.10)

Deci în mişcarea unui punct material, viteza este un vector reprezentat de derivata vectorului de poziţie al punctului în raport cu timpul.

Derivatele unei funcţii vectoriale (sau scalare) în raport cu timpul se notează cu puncte. Astfel, de exemplu

dtdxx =& şi 2

2

dtvdv =&&

v ∆s

rrvm ∆

∆=

M (C) M ′∆r t)(tr )( ∆+tr O fig. 7.2


Pentru determinarea elementelor caracteristice ale vectorului viteză, din relaţia (7.10) deducem:

ττ sdtds

ts

sr

rr

trv

tttt

&=×=∆∆

×∆∆

×∆∆

=∆∆

=→∆→∆→∆→∆ 0000

lim||lim||

limlim (7.11)

deoarece

τ=∆

∆

→∆ ||0lim

r

r

t(versorul tangentei) s

dt

ds

t

s

t&==

∆

∆

→∆ 0lim , 1

||

0lim =

∆

∆

→∆ s

r

t (7.12)

În concluzie, vectorul viteză v este aplicat în punctul M, are direcţia tangentei în M la traiectorie iar sensul este dat de mişcarea punctului pe traiectorie. Mărimea vectorului viteză este

sdtdsvv &=== || (7.13)

Ecuaţia de dimensiuni a vitezei este [ ] 1−= LTv (7.14)

Unitatea de măsură pentru viteză este m/s (din relaţia (7.13)).

7.2.4. Acceleraţia punctului material Acceleraţia este o mărime care arată variaţia vitezei unui punct în decursul

mişcării, ca direcţie, sens şi modul. În intervalul mic de timp ∆t, punctul material străbate pe traiectorie arcul

∧`MM şi are în M viteza )(tv iar în M’ )tt(v ∆+ . În acest fel, viteza s-a modificat cu

)()( tvttvv −∆+=∆ (fig. 7.3). Pe porţiunea∧

`MM , acceleraţia medie este definită prin raportul:

ttvttv

tvam ∆

−∆+=

∆∆

=)()(

(7.15)

Acceleraţia la momentul t (acceleraţia instantanee sau momentană) va fi limita când ∆t tinde la zero a raportului (7.15):

rvdtvd

ttvttv

tva

ttm&&& ===

∆−∆+

=∆∆

=→∆→∆

)()(limlim00

(7.16)

Prin urmare acceleraţia este derivata în raport cu timpul a vitezei sau derivata a doua în raport cu timpul a vectorului de poziţie al punctului respectiv. Acceleraţia este o mărime vectorială, având punctul de aplicaţie în M, este conţinută în planul de variaţie al vitezei, deci în planul osculator în punctul M la traiectorie (planul a două


tangente infinit apropiate) şi este îndreptată spre interiorul traiectoriei (înspre concavitate).

Ecuaţia de dimensiuni a acceleraţiei este

[ ] 2−= LTv (7.17) Unitatea de măsură a

acceleraţiei este m/s2.

7.2.5. Hodograful vitezei Punctul M în deplasarea sa pe curba (C) ocupă poziţiile M1, M2, ..., Mn cu

vitezele nvvv ,...,, 21 . Într-un punct arbitrar O, construim vectorii echipolenţi cu vectorii viteză (fig. 7.4). Locul geometric al extremităţilor vectorilor echipolenţi cu vitezele este o curbă (H) numită hodograful vitezelor. Cu ajutorul curbei (H) se poate observa variaţia vitezei punctului M.

Ecuaţia vectorială a hodografului vitezei se obţine din relaţia

)()( tvr H = (7.18) Ecuaţia analitică a hodografului vitezei se obţine proiectând relaţia (7.18) pe

axele unui reper ales şi eliminând parametrul t. Rezultă imediat că viteza unui punct oarecare P de pe hodograf este tocmai

acceleraţia:

)()( tadtvd

dtOPdr H ===& (7.19)

fig. 7.4

1v

2v

3v M1

M2 M3

(C)

(H) 1v

2v

3v

)(tv M M' (C) v∆ ma t)(tv )( ∆+∆+ ttv a fig. 7.3


7.2.6. Invarianţii mişcării în raport cu schimbarea reperului Considerăm două repere fixe (O şi O1) în raport cu care se studiază mişcarea

punctului (fig. 7.5), astfel că putem scrie: )()( 01 trrtr += (7.20)

cu =0r constant. Vitezele şi acceleraţiile unui punct

arbitrar M de pe traiectorie raportate la cele două repere se obţin din relaţia (7.20) prin derivări succesive:

arravrrv ====== &&&&&&1111 , (7.21)

Observăm că viteza şi acceleraţia sunt invariante în raport cu schimbarea reperului.

7.2.7. Viteza şi acceleraţia unghiulară În unele cazuri, de exemplu în mişcarea punctului pe cerc, poziţia acestuia pe

traiectorie este dată de un unghi θ. În raport cu o axă fixă Ox (fig. 7.6), obţinem: θ = θ(t) (7.22)

Dacă M şi M’ sunt două poziţii succesive, la momentele t respectiv t+∆t pe cercul cu centrul în O, definim viteza unghiulară medie:

tttt

tm ∆−∆+

=∆∆

=)()( θθθω (7.23)

Viteza unghiulară instantanee va fi limita raportului (7.23) pentru ∆t tinzând la zero:

0 0

( )lim limm

t t

t t d

t t dt

θ θ θω θ

∆ → ∆ →

∆ + ∆= = = =

∆ ∆& (7.24)

În mod analog, definim acceleraţia unghiulară instantanee:

θωωωωε &&& ===∆

−∆+=

→∆ dtd

tttt

t

)()(lim0

(7.25)

Ecuaţiile de dimensiuni sunt:

M (C) )(r )( 1 ttr O1 O 0r fig.7.5

fig. 7.6

x

M


[ ] [ ] 21 , −− == TT εω (7.26) Viteza unghiulară se măsoară în rad/s iar acceleraţia unghiulară în rad/s2.

7.2.8. Viteza şi acceleraţia areolară Sunt cazuri când este necesară introducerea unei mărimi care să caracterizeze

variaţia ariei cuprinse între două raze vectoare şi arcul de traiectorie parcurs de un punct M (fig. 7.7). În intervalul de timp ∆t mic, punctul parcurge arcul MM’ iar aria triunghiului curbiliniu OMM’ se aproximează cu aria unui triunghi a cărui arie este:

rr21A ∆×=∆ (7.27)

Mărimii scalare ∆A îi asociem vectorul A∆ de mărime ∆A, perpendicular pe planul OMM’ iar sensul dat de regula burghiului drept (prin deplasarea lui M către M’):

rr21A ∆×=∆ (7.28)

Viteza areolară se introduce pentru a descrie modul cum vectorul de poziţie

r parcurge („mătură”) suprafaţa conică OMM’. Viteza areolară medie se consideră prin definiţie:

trr

tA

m ∆∆

×=∆∆

=Ω21

(7.29)

Prin trecere la limită pentru ∆t tinzând la zero (M tinde spre M’), obţinem viteza areolară instantanee:

vr21

trlimr

21

tAlim

0t0t×=

∆∆

×=∆∆

=Ω→∆→∆

(7.30)

Proiecţiile vitezei areolare pe un sistem de axe cartezian se obţin din relaţia (7.30):

)(21,)(

21,)(

21 yxyxzxxzzyzy zyx &&&&&& −=Ω−=Ω−=Ω (7.31)

Viteza areolară este nulă când vectorii r şi v sunt colineari sau când punctul M trece prin O.

În particular, dacă traiectoria este o curbă plană (situată în planul Oxy), atunci 0,0 ≠Ω=Ω=Ω zyx . În coordonate polare, se poate scrie:

θθ sin,cos ryrx == (7.32) astfel că se obţine:

(C) M v M ′∆r )( ttr ∆+ O fig. 7.7


θθ && 222

21)(

21 ryxz =+=Ω (7.33)

Acceleraţia areolară caracterizează modul de variaţie al vitezei areolare. Prin definiţie, acceleraţia areolară este derivata vitezei areolare în raport cu timpul:

arvrvrdt

d×=×+×=Ω=

Ω=Γ

21)(

21 &&& (7.34)

Proiecţiile acceleraţiei unghiulare sunt:

)(21,)(

21,)(

21 yxyxzzxxzyyzzyx &&&&&&&&&&&& −=Γ−=Γ−=Γ (7.35)

În particular, dacă mişcarea se efectuează cu viteză areolară constantă, atunci vectorii r şi v sunt colineari tot timpul mişcării, deci acceleraţia punctului M trece permanent prin punctul fix O. Urmează că 0=Ω=Γ & , iar din c=Ω rezultă

cvr 2=× astfel că vectorii r şi c sunt perpendiculari. Deci locul geometric al punctelor M este un plan perpendicular pe c care trece prin punctul fix O.

7.3. Studiul mişcării punctului în diferite sisteme de coordonate

7.3.1. Sistemul de coordonate carteziene În sistemul de coordonate carteziene, vectorul de poziţie al unui punct

material M este definit prin coordonatele sale x, y, z (fig. 7.8): kzjyixr ++= (7.36)

Cunoaşterea mişcării revine la cunoaşterea acestor coordonate ca funcţii de timp:

x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) (7.37) Relaţiile (7.37) definesc legea

de mişcare şi reprezintă de asemenea ecuaţiile parametrice ale traiectoriei. Prin eliminarea timpului din ecuaţiile (7.37), se obţin ecuaţiile traiectoriei sub formă implicită:

f1(x, y, z) = 0 , f2(x, y, z) = 0 (7.38) Pentru obţinerea vitezei în

coordonate carteziene, folosim formula (7.10) şi ţinem seama că versorii axelor kji ,, sunt vectori constanţi:

ax vx z M vy ay vx ax (C) a v r z

k j

i y x y M' x fig. 7.8


kzjyixrv &&&& ++== (7.39) Proiecţiile vitezei sunt:

zvyvxv zyx &&& === ,, (7.40) iar mărimea vitezei este:

sdt

ds

dt

dzdydxxyxzvyvxvv &&&& ==

++=++=++=

222222222 (7.41)

Unghiurile suportului vectorului viteză cu axele rezultă din relaţiile:

vzkv

vyjv

vxiv

&&&=== ),cos(,),cos(,),cos( (7.42)

Acceleraţia punctului se determină din relaţia (7.16): kzjyixrva &&&&&&&&& ++=== (7.43)

Proiecţiile acceleraţiei sunt: zvayvaxva zzyyxx &&&&&&&&& ====== ,, (7.44)

iar mărimea acceleraţiei este: 222222 zyxaaaa zyx &&&&&& ++=++= (7.45)

Cosinusurile unghiurilor făcute de acceleraţie cu axele sunt:

azka

ayja

axia

&&&&&&=== ),cos(,),cos(,),cos( (7.46)

În particular, pentru mişcări în plan, considerăm sistemul de referinţă Oxy, astfel că legea de mişcare a punctului este dată de ecuaţiile:

x = x(t) , y = y(t) (7.47) Ecuaţia traiectoriei (C) rezultă prin eliminarea timpului din relaţiile (7.47):

f(x, y)=0 (7.48) Vectorul viteză este:

jyixv && += (7.49) iar mărimea vitezei:

22 yxv && += (7.50) Vectorul acceleraţie este:

jyixa &&&& += (7.51) cu mărimea

22 yxa &&&& += (7.52) Dacă mişcarea este rectilinie, se

alege axa Ox ca traiectorie a mişcării (fig. 7.10).

Legea mişcării este: x = x(t) (7.53)

y (C) ax M vx a aγ vy v r y M' x O x fig. 7.9


cu viteza: ixv &= (7.54)

şi acceleraţia ixa &&= (7.55)

Se observă că acestea au direcţia axei Ox.

Pentru obţinerea hodografului mişcării, folosim formula (7.18). Coordonatele unui punct

de pe curba hodografului, în raport axele carteziene, le notăm cu X, Y, Z, astfel că se poate scrie:

)()(,)()(,)()( tztZtytYtxtX &&& === (7.56) Prin eliminarea din ecuaţiile (7.56) a parametrului t se obţin ecuaţiile

hodografului sub formă analitică: F(X, Y, Z)=0 , G(X, Y, Z)=0 (7.57)

Aplicaţie: Un punct material se deplasează în planul Oxy după legea: x = 2 a sin2 t , y = 2 b sin t cos t , a, b >0 Să se determine traiectoria, viteza, acceleraţia şi hodograful mişcării.

Rezolvare: Prin eliminarea timpului între cele două ecuaţii parametrice ale traiectoriei, obţinem ecuaţia analitică a traiectoriei (elipsă): b2x2 + a2y2 - 2ab2x=0, Viteza are proiecţiile: tavx 2sin2= , tbvy 2cos2= ,cu modulul

tbtav 2cos2sin2 2222 += , acceleraţia are proiecţiile: taax 2cos4= ,

tbay 2sin4−= , modulul acceleraţiei este: tbtaa 2sin2cos4|| 2222 += , iar

ecuaţiile parametrice ale hodografului mişcării sunt: taX 2sin2= , tbY 2cos2= , din care rezultă ecuaţia analitică a hodografului: 222222 4 baYaXb =+ .

7.3.2. Sistemul de coordonate polare Dacă un punct are o traiectorie plană, putem folosi sistemul de coordonate

polare. Poziţia unui punct M este definită prin coordonatele: OM=r (rază polară) şi unghiul θ dintre axa fixă Ox şi raza polară (fig. 7.11). Mişcarea punctului este definită dacă se cunosc coordonatele r şi θ ca şi funcţii de timp:

r = r(t) , θ = θ(t) (7.58) Relaţiile (7.58) formează ecuaţiile parametrice ale traiectoriei în coordonate

polare. Prin eliminarea timpului între relaţiile (7.58), obţinem ecuaţia traiectoriei în

coordonate polare sub formă analitică: f(r, θ) = 0 (7.59)

O x a v M i Fig. 7.10


Pentru stabilirea direcţiilor pe care se proiectează viteza şi acceleraţia în sistemul de coordonate polare, procedăm astfel: considerăm că unghiul polar θ rămâne constant iar r variază. Deci punctul M descrie dreapta OM care reprezintă una

din direcţiile de proiectare. Pe această direcţie alegem versorul ru în sensul de creştere al razei polare. Considerăm apoi că raza polară rămâne constantă (r = constant). Rezultă că punctul M descrie un arc de cerc de rază OM = r. A doua direcţie se alege tangenta la acest arc de cerc în punctul M.

Pe această direcţie se alege versorul θu cu originea în punctul fix O, cu sensul pozitiv

dat de sensul de creştere al unghiului θ. Versorii ru şi θu sunt perpendiculari şi

definesc axele sistemului de coordonate polar. În timpul mişcării, versorii ru şi θu îşi schimbă direcţia, deci axele sistemului de coordonate polare sunt mobile, dar versorii

ru şi θu rămân perpendiculari.

Deoarece vom avea nevoie de derivatele în raport cu timpul ale versorilor ru şi θu (care în general sunt diferite de zero), vom exprima aceşti vectori în funcţie de

versorii axelor fixe Oxy, i şi j : jiujiur θ+θ−=θ+θ= θ cossin,sincos (7.60)

Derivând în raport cu timpul relaţiile (7.60) şi având în vedere că 0,0 == ji && , obţinem:

r

r

ujiu

ujiu

θ−=θ×θ−θ×θ−=

θ=θ×θ+θ×θ−=

θ

θ&&&

&&&

sincos

cossin (7.61)

Vectorul de poziţie OMr = al punctului M se exprimă în funcţie de versorul

ru astfel:

rurr = (7.62) Viteza se obţine prin derivarea în raport cu timpul a relaţiei (7.62) şi ţinând

seama de relaţiile (7.61):

y v (C) vθ vr aθ a M(r,θ) ar r θ j ru

θu θ x

O i fig. 7.11


θθururururrv rrr&&&&& +=+== (7.63)

Dar θθ+= uvuvv rr (7.64)

astfel că obţinem proiecţiile vitezei în coordonate polare: θθ&& rvrvr == , (7.65)

Componentele vr şi vθ fiind perpendiculare, modulul vitezei este: 22222 θθ&& rrvvv r +=+= (7.66)

Acceleraţia se obţine derivând expresia (7.63) în raport cu timpul şi ţinând seama că termenii rur& şi θθ ur & sunt produse de două respectiv trei funcţii de timp:

)()( θθθ θθθ urururururva rr&&&&&&&&&&& ++++==

Înlocuind pe ru& şi θu& cu expresiile lor (7.61) şi grupând termenii, obţinem:

θθθθ urrurra r )2()( 2 &&&&&&& ++−= (7.67) Dar

θθuauaa rr += (7.68) astfel încât proiecţiile acceleraţiei în coordonate polare sunt:

θθθ θ&&&&&&& rrarrar 2;2 +=−= (7.69)

Aplicaţie: Mişcarea unui punct are loc într-un plan, astfel încât în coordonate polare, legea de mişcare este dată de:

0,)3(,2cos45 00 >=−= attgarctgtar θ Să se determine traiectoria în coordonate polare şi carteziene, viteza şi

acceleraţia punctului şi hodograful mişcării.

Rezolvare: În coordonate polare, traiectoria este curba θθ

2

2

0 913

tgtgar

++

= ,

iar în coordonate carteziene, putem scrie: tarx coscos 0±== θ ,

tary sin3sin 0±== θ de unde putem obţine elipsa: 20

229 ayx =+ . Proiecţiile

vitezei sunt: t

arvt

tarv rr 2cos453,

2cos452sin4 00

−==

−== θ&& , iar mărimea

vitezei este:

tattarrv 2cos45

2cos452sin169

0

2

0222 +=

−+

=+= θ&& . Proiecţiile

acceleraţiei sunt: 02,2cos4502 =+=−−=−= θθθ θ

&&&&&&& rratarrar şi deci

mărimea acceleraţiei devine: rtaa =−= 2cos50 . Hodograful mişcării în


coordonate polare, are ecuaţiile parametrice:

ta

vYt

tavX r 2cos45

3,

2cos452sin4 00

−==

−== θ astfel că ecuaţia analitică

devine: 0910 40

220

422 =+−+ aYaYYX : În coordonate carteziene, forma

hodografului coincide cu traiectoria mişcării: 20

22 99 aYX =+ .

7.3.3. Sistemul de coordonate cilindrice În sistemul de coordonate cilindrice (sistem mobil), poziţia unui punct

oarecare M este cunoscută cu ajutorul unghiului polar θ = θ(t), a razei polare ρ = ρ(t) şi a cotei z = z(t) (fig. 7.12), unde Oxy este un sistem de axe fixe şi )',( OMOx=<θ , ρ = OM’, z = MM’ iar M’ este proiecţia lui M pe planul Oxy )20( πθ ≤≤ . Ecuaţiile:

θ = θ(t); ρ = ρ(t) ; z = z(t) (7.70) reprezintă şi ecuaţiile parametrice ale traiectoriei (sau legea de mişcare în coordonate cilindrice).

Versorii sistemului de coordonate cilindrice sunt: ρu ,

versorul razei polare; θu perpendicular pe ρu conţinut în planul Oxy dirijat în sensul de creştere al unghiului θ şi versorul k al axei Oz. Numai versorul k este un vector constant. Ecuaţiile traiectoriei se obţin din relaţiile (7.70) prin eliminarea lui t:

0),,(,0),,( 21 == zfzf θρθρ (7.71)

Legătura dintre versorii iuu ,, θρ şi j este dată de relaţiile:

jiujiu ×+×−=×+×= θθθθ θρ cossin,sincos (7.72) Prin derivare în raport cu timpul a relaţiilor (7.72), obţinem:

( sin cos )

( cos sin )

u i j u

u i j u

θ θ θ θρ θθ θ θ θ ρθ

= − × + × =

= − × − × = −

& &&

& && (7.73)

k z

O θu y up ρ θ M' fig. 7.12


Din figura 7.12, vectorul de poziţie r al punctului material M se scrie sub forma:

' 'r OM M M u zkρρ= + = + (7.74) Prin derivarea vectorului de poziţie (7.74) în raport cu timpul, ţinând seama

de relaţiile (7.73) şi de 0k =& , obţinem vectorul viteză: v r u u zk u u zkρ ρ ρ θρ ρ ρ ρθ= = + + = + +&& && && & (7.75)

Dar zv v u v u v kρ ρ θ θ= + + , astfel încât proiecţiile vitezei pe axe sunt:

zvvv z &&& === ;; θρρ θρ (7.76) Modulul vitezei este:

2 2 2 2 2 2 2zv v v v zρ θ ρ ρ θ= + + = + +&& & (7.77)

Acceleraţia se obţine prin derivarea vectorului viteză (7.75), în raport cu timpul:

a v u u u u u zkρ ρ θ θ θρ ρ ρθ ρθ ρθ= = + + + + +& && && & &&& & & && Înlocuind derivatele versorilor, rezultă:

2( ) (2 )a u u zkρ θρ ρθ ρθ ρθ= − + + +& & &&&& & && (7.78)

Dar za a u a u a kρ ρ θ θ= + + conduce la proiecţiile acceleraţiei pe axe: 2;aρ ρ ρθ= − &&& 2 ;aθ ρθ ρθ= +& &&& za z= && (7.79)

şi la mărimea acceleraţiei: 2 2 2 2 2 2 2( ) (2 )za a a a zρ θ ρ ρθ ρθ ρθ= + + = − + + +& & &&&& & && (7.80)

Sistemul de coordonate cilindrice sunt o generalizare a sistemului de coordonate polare din plan ( 0z ≡ )

Viteza areolară, în coordonate cilindrice se scrie: 21 1 1 1( )

2 2 2 2pr v z u z z u kθρ θ ρ ρ ρ θΩ = × = − + − +& && & (7.81)

iar acceleraţia areolară: 2 21 1 1 1( ) ( ) (2 )

2 2 2 2pr a z u z z z u kθρ ρθ ρ ρθ ρ ρ ρθ ρθΓ = × = − − + − − + +& & & &&&& && &&& (7.82)

Aplicaţie: Un punct material M se mişcă pe un cilindru drept cu baza elipsa

de ecuaţie 22

2 2 1yxa b+ = , descriind o elice cu unghiul de înclinare α . Viteza

areolară a proiecţiei M' a punctului M pe planul Oxy este constanta k. Să se determine viteza punctului M (fig. 7.13)


Rezolvare: Din ecuaţia elipsei, deducem: cos ;x a ϕ= sin ;y b ϕ= R∈ϕ . Pe de altă parte, în funcţie de raza polară şi de unghiul polar, putem scrie: cos ;x ρ θ= siny ρ θ= . Din relaţiile anterioare rezultă:

2 2 2 2 2 2cos sin ;x y a bρ ϕ ϕ= + = + y btg tgx a

θ ϕ= = (a)

Din condiţia z kΩ = , rezultă 2 2p kθ =& şi deci:

2 2 2 2

2cos sin

ka b

θϕ ϕ

=+

& (b)

Derivând relaţia (a) în raport cu timpul, obţinem:

2 2 2 2cos sinab

a bϕθ

ϕ ϕ=

+&& (c)

Din relaţiile (b) şi (c) obţinem: 2 ;kab

ϕ =& 02k tab

ϕ ϕ= +

Lungimea arcului de elipsă elementar ds parcurs de punctul M' (proiecţia punctului M pe planul Oxy) este

2 2 2 2 2 2sin cosds dx dy a bϕ ϕ= + = + dtϕ& şi deci:

2 2 2 22 sin cosks a bab

ϕ ϕ= +&

Cunoscând unghiul de înclinare α , rezultă z=s tgα .

Cu acestea, putem obţine derivatele coordonatelor cilindrice:

z

M'0 M'0

M'0 M O a y M0 z M0 M0 M' s M' x θ fig. 7.13


2 2 0

2 2 2 20 0

4sin( 2 )( )2 2cos ( ) sin ( )

k tk b a abab k ka t b t

ab ab

ϕρ

ϕ ϕ

+−= ⋅

+ + +

&

2 2 2 20 0

22 2cos ( ) sin ( )

kk ka t b t

ab ab

θϕ ϕ

=+ + +

& ;

2 2 2 20 0

2 2 2sin ( ) cos ( )k k kz a t b t tgab ab ab

ϕ ϕ α= + + + ⋅&

şi prin urmare, viteza devine:

2 2 2 2v zρ ρ θ= + +&& & = 2 2 2 20 0

2 2 2sin ( ) cos ( )cosk k ka t b t

ab ab abϕ ϕ

α+ + +

7.3.4. Sistemul de coordonate sferice Poziţia unui punct M în coordonate sferice este determinata cu ajutorul razei

vectoare r, a azimutului θ şi a longitudinii ϕ (fig. 7.14). Legea de mişcare a punctului M (sau ecuaţiile parametrice ale traiectoriei) este:

r=r(t); θ =θ (t); ϕ =ϕ (t) (7.83)

unde r=OM, ),(∧

=θ OMOz , θ ∈[0,π ], ϕ = ),(∧OMOx , ϕ ∈[0,2π ] iar M' este

proiecţia punctului M pe planul Oxy.Ecuaţia analitică a traiectoriei în coordonate sferice se obţine prin eliminarea parametrului t între ecuaţiile (7.83)

1( , , ) 0f r θ ϕ = , 2 ( , , ) 0f r θ ϕ = (7.84) Versorii sistemului de coordonate

sferice sunt: ru în prelungirea razei vectoare OM cu sensul pozitiv dat de creşterea acesteia; uθ - conţinut în planul zOM, perpendicular pe OM în sensul crescător al lui θ şi uϕ în sensul crescător al lui ϕ şi perpendicular pe planul zOM.

Deoarece vom avea nevoie de derivatele acestor versori în raport cu timpul, legătura între versorii sistemului

z ru

M ϕu

θ r θu O y φ M' x fig. 7.14


de coordonate sferice şi ai sistemului de coordonate carteziene fixe, este dată de relaţiile:

kjiur θ+ϕθ+ϕθ= cossinsincossin ; cos cos cos sin sinu i j kθ θ ϕ θ ϕ θ= + − ; (7.85)

sin cosu i jϕ ϕ ϕ= − ⋅ + Prin derivare în raport cu timpul a relaţiilor (7.85), obţinem:

ϕθ θϕ+θ=

=ϕθ+ϕθ−ϕ+θ−ϕθ+ϕθθ=

uu

jikjiur

sin

)cossinsinsin()sinsincoscos(cos&&

&&&

ϕ

θ

θϕ+θ=

=ϕθ+ϕθ−ϕ+θ+ϕθ+ϕθθ−=

uu

jikjiu

r cos

)coscossincos()cossinsincos(sin&&

&&&

(cos sin ) (cos sin )ru i j u uϕ θϕ ϕ ϕ ϕ θ ϕ= − + = − +& & & (7.86)

Vectorul de poziţie al punctului M se poate exprima cu ajutorul versorului ru astfel:

rr ru= (7.87) Prin derivare în raport cu timpul a relaţiei (7.87) şi ţinând seama de relaţiile

(7.86), obţinem viteza punctului M: sinr r rv r ru ru ru r u r uθ ϕθ ϕ θ= = + = + +&& && & & & (7.88)

Dar: r rv v u v u v uθ θ θ ϕ= + +

astfel că proiecţiile vitezei pe axele sistemului de coordonate sferice sunt: ;rv r= & ;v rθ θ= & sinv rϕ ϕ θ= & (7.89)

Mărimea vitezei este: 2 2 2 2 2 2 2 2 2sinrv v v v r r rθ ϕ θ ϕ θ= + + = + +&& & (7.90)

Prin derivarea relaţiei (7.88) în raport cu timpul, obţinem vectorul acceleraţie:

ϕϕ

ϕϕθθθ

θϕ+θθϕ+

+θϕ+θϕ+θ++θ+θ++==

urur

urururururururva rr&&&&

&&&&&&&&&&&&&&

sincos

sinsin

Ţinând seama de relaţiile (7.86) şi grupând termenii, acceleraţia se mai scrie: 2 2 2 2( sin ) (2 sin cos )

( sin 2 sin 2 cos )ra r r r u r r r u

r r r uθ

ϕ

θ ϕ θ θ θ ϕ θ θ

ϕ θ ϕ θ θϕ θ

= − − + + − +

+ + +

& & &&& & & &

&&& & & & (7.91)

Rezultă: 2 2 2sinra r r rθ ϕ θ= − −&&& &


22 sin cosa r r rθ θ θ ϕ θ θ= + −& && & (7.92)

sin 2 sin 2 cosa r r rϕ ϕ θ ϕ θ θϕ θ= + + &&& & & & iar mărimea acceleraţiei

2 2 2ra a a aθ ϕ= + + (7.93)

Aplicaţie: Bara DE de lungime 2 R culisează cu capătul D pe sfertul de cerc AB de rază R situat în planul Oxy iar cu capătul E pe sfertul de cerc BC de rază R situat în planul planul Oyz. Viteza culisei E este vo (constantă). Să se determine viteza şi acceleraţia mijlocului M al barei (fig.7.15), cunoscând că în momentul iniţial D se află în A ∈ Ox.

Rezolvare: Din datele problemei rezultă: ∧

DOE =90°. Vom rezolva

problema în coordonate sferice. Pentru aceasta notăm β=∧OyM ` şi γ=

∧OMM ` şi

unde M’ este proiecţia punctului M pe planul fix Oxy. De asemenea, notăm cu E’

proiecţia lui E pe axa Oy. Coordonatele sferice sunt : 2

2r R= , θ=

2π γ− ,

φ=2π β− . Pentru determinarea unghiului β, se foloseşte triunghiul OM’E’ în care:

z C 0v R E R θ O α E' B y γ M θ R R M' A D x fig. 7.15


' cosOE R α= , 2 2 2' ' 1 sin2ROM OM M M α= − = +

2 2 21 1' ' ' ' 1 cos2 2 2

RM E DE DE E E α= = − = +

Rezultă 2

coscos1 cos

αβα

=+

şi deci 2

cosarccos1 cos

αβα

=+

; Unghiul γ se

determină din triunghiul OMM’ în care 2 2 2' 1 cos2ROM OM M M α= − = + ,

astfel că rezultă 21 coscos

2αγ +

= şi prin urmare 21 cosarccos

2αγ +

= .

Pentru a determina viteza, calculăm în prealabil derivatele coordonatelor sferice:

.r =0,

. .0

2

cos1 cos

vR

αθ γα

−= − = ⋅

+;

.0

2

sin1 cos

vR

αϕ βα

⋅ −= − = ⋅

+

Proiecţiile vitezei în coordonate sferice sunt:

.0rv r= = ;

0.

0 02

cos

2(1 cos )

v tRv r v

v tR

θ θ= = −

+

;

.0

01sin sin2

vv r v tRϕ ϕ θ= = −

Mărimea vitezei este:2 4

02

1 2cos cos2 1 cosvv α αα

α+ −

=+

; 0v tR

α =

Proiecţiile acceleraţiei pe axele sistemului sferic sunt în acest caz : 2 2 2 4 2. .

2 02

cos 2cos 1( sin )1 cos2 2r

va rR

α αθ ϕ θα

− −= − + = ⋅

+

23

2

420

)cos1(

)cos1(sinR2

vaα+

α+α⋅=θ ;

2 30

2

cos1 cos

vaRϕ

αα

= − ⋅+

7.3.5. Sistemul de coordonate intrinseci (naturale, Frenet) Sistemul de coordonate intrinseci, numite şi coordonate naturale sau

coordonate Frenet se foloseşte în cazul în care traiectoria este cunoscută. Triedrul lui


Frenet este mobil, având originea în punctul mobil M care efectuează mişcarea.Axele triedrului sunt numite axe intriseci şi acestea sunt: tangenta (de versorτ ) cu sensul pozitiv în sensul parametrului scalar s crescător, măsurat de la originea arcelor Mo; normala principală (de versor n ) definit ca intersecţie a planului osculator cu planul normal; binormala (de versor b ) definită ca intersecţie dintre planul normal şi planul rectifiant (fig.7.16).Mişcarea punctului este cunoscută cu ajutorul ecuaţiei orare a mişcării:

s=s(t) (7.94) Pentru determinarea componentelor vitezei şi acceleraţiei în triedrul Frenet,

vom folosi două relaţii cunoscute din geometria diferenţială: drds

τ= (7.95)

c

d ndsτ

ρ= (7.96)

În relaţia (7.96) (Frenet) ρc reprezintă raza de curbură a traiectoriei în punctul considerat.

Vectorul de poziţie r se exprimă în funcţie de arcul de curbă s, adică:

( )r r s= (7.97) Viteza se obţine prin

derivarea vectorului de poziţie în raport cu timpul, ţinând seama că acest vector depinde implicit de timp. Din relaţiile (7.97) şi (7.95) rezultă:

dr dsv r sds dt

τ= = ⋅ =& & (7.98)

Proiecţiile vitezei pe axele triedrului Frenet vor fi:

v sτ = & ; vn=0; vb=0 (7.99) Se poate deduce că viteza este dirijată după tangentă, (fapt cunoscut de la

definiţia vitezei) şi că mărimea vitezei este v = s& . Derivând relaţia (7.98) în raport cu timpul, obţinem expresia vectorului

acceleraţiei: a v s sτ τ= = +& &&& & unde, ţinând seama de relaţia (7.96), se poate

scrie:d ddt dsτ ττ = =&

c

ds nsdt ρ

= & astfel că acceleraţia devine:

s M Plan M0 τ rectificat

b r (C) n Plan osculator Plan normal O fig. 7.16


2

nc

sa s n a a nττ τρ

= + = +&

&& (7.100)

Proiecţiile acceleraţiei pe axele sistemului intrinsec sunt deci:

;a s vτ = =&& &2 2

nc c

s vaρ ρ

= =&

(7.101)

Modulul acceleraţiei este : 4

2 2 22n

c

va a a vτ ρ= + = +& (7.102)

Se observă că acceleraţia are proiecţia pe binormală nulă în tot timpul mişcării, vectorul acceleraţiei fiind cuprins în planul osculator. Acceleraţia tangenţială aτ este pozitivă sau negativă, după semnul lui v& . Acceleraţia normală na este întotdeauna centripetă, deoarece este îndreptată în acelaşi sens cu versorul n adică spre centrul de curbură. Vectorul acceleraţie a va fi deci îndreptat întotdeauna spre interiorul concavităţii traiectoriei.

Dacă într-un interval de timp, acceleraţia tangenţială este nulă (aτ = 0), rezultă 0v =& şi deci v = constant. O astfel de mişcare se numeşte uniformă. În cazul unei

mişcări uniforme curbilinii (ρc ≠ ∞), acceleraţia nu poate fi nulă deoarece na = v2/ρc ≠ 0. Aceasta se explică prin aceea că acceleraţia normală na apare datorită variaţiei direcţiei vitezei, care are loc chiar şi atunci când mişcarea este uniformă. Traiectoria fiind curbă, tangenta într-un punct mobil al ei îşi schimbă continuu direcţia.

Dacă mişcarea este rectilinie, ρc = ∞ şi deci na = 0, astfel că a a sττ τ= = && direcţiile acceleraţiei şi a vitezei fiind aceleaşi.

Pentru ca acceleraţia să fie nulă tot timpul mişcării, trebuie ca aτ = 0 şi na = 0, ceea ce conduce la viteză constantă (mişcare uniformă) şi la ρc = ∞ (mişcare rectilinie). Prin urmare, singura mişcare fără acceleraţie este mişcarea rectilinie şi uniformă.

Dacă v = 0, punctul material se află în repaus, caz neinteresant. Din relaţia (7.102) se poate determina raza de curbură:

2

2 2cv

a vρ =

− & (7.103)

Din relaţiile (7.98) şi (7.100), rezultă: 2 3

c c

v vv a v v n bτ τρ ρ

⎛ ⎞× = × + =⎜ ⎟

⎝ ⎠& & (7.104)

Din această relaţie, rezultă:


3

cv

v aρ =

× (7.105)

ceea în coordonate carteziene, conduce la formula:

( )( ) ( ) ( )

32 2 22

2 2 2c

x y z

yz zy zx xz xy yxρ

+ +=

− + − + −

& & &

& && && & &&& &&&&& & & && (7.106)

Din formula (7.106) rezultă că raza de curbură se poate calcula numai cu elemente cinematice (proiecţii de viteze şi acceleraţii).

În particular, dacă curba este plană: y = f(x), z = 0 şi ţinând seama

că ( )'y dy f xx dx= =&& , ( ) ( )2' ''y xf x x f x= +&& && & , obţinem formula razei de curbură

sub forma:

( )( )( )

32 21 '

''c

f x

f xρ

+= , ( ) ( )2

2''d f x

f xdx

= (7.107)

Aplicaţii: 1) Să se determine raza de curbură pentru fiecare din aplicaţiile de la

paragrafele 7.3.1, 7.3.2 şi 7.3.4 . Rezolvare : Folosind formula (7.103), obţinem:

Pentru aplicaţia 7.3.1: ( )

32 2 2 2 2sin 2 cos 2

c

a t b tab

ρ+

=

Pentru aplicaţia 7.3.2: ( )3

0 25 4cos 23ca tρ = +

Pentru aplicaţia 7.3.4:

( ) ( )3 4 6

2 42 4 8 10 12 14

1 3cos cos cos1 2cos cos2 1 cos 14cos 27cos 20cos 11cos 6cosc R α α αρ α α

α α α α α α+ + −

= + −− + − + − +

2) Un punct se deplasează cu viteză constantă vo pe lănţişorul de

ecuaţie xy kchk

= (k=constantă). Să se determine raza de curbură a lănţişorului şi

acceleraţia punctului la un moment dat t.

Rezolvare: Folosind formula (7.107), obţinem: 2c

xkchh

ρ =

Pentru a-l exprima pe x ca funcţie de t, folosim formula vo= s& , unde lungimea arcului de curbură elementar este dat de relaţia:


22 2 2 2 2 21 1dy xds dx dy dx sh dx

dx k⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ sau

21 xds sh dxk

= + care prin integrare devine: 2

0

1x xs sh

k= +∫

xdx kshk

=

Rezultă, x dxs chk dt

= ⋅& astfel că 0x dxv chk dt

= ⋅ care se scrie: 0xv dt ch dxk

=

Această ecuaţie se integrează şi se obţine 0xv t kshk

= de unde rezultă:

220 0

2ln 1v vx k t tk k

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Folosind ultima expresie, raza de curbură ρc se scrie în funcţie de t: 2

20c

v t kk

ρ = + . Acceleraţia punctului considerat are proiecţiile: 0a vτ = =& ;

2 20 0

2 2 20

nc

v kva av t kρ

= = =+

Rezultă că acceleraţia este îndreptată spre centrul de curbură.

7.4. Cinematica vibraţiilor

7.4.1. Generalităţi În practică se întâlnesc frecvent procese şi mişcări vibratorii. Cunoscând

cauzele care provoacă vibraţiile, se încearcă prin diferite studii să se diminueze efectul lor dăunător. Dar sunt şi situaţii când funcţionarea unor tipuri de maşini se bazează pe fenomene vibratorii.

Vibraţiile motoarelor sau a unei bare, oscilaţiile unui pendul sunt câteva exemple de mişcări de acest gen. Este necesar să fie studiate în mod special mişcările unui sistem material la care vitezele îşi schimbă sensul de mai multe ori într-un interval de timp.

Un sistem material efectuează o vibraţie (oscilaţie) dacă parametrii care îi determină configuraţia la un moment dat, variază alternativ în timp faţă de valorile poziţiei de echilibru static.

O mişcare oscilatorie este periodică dacă toate elementele mişcării se repetă identic după un interval minim de timp T (numit perioadă). Perioada se măsoară în secunde (s). După o perioadă, poziţia, viteza şi acceleraţia tuturor punctelor sunt


aceleaşi. Dacă notăm cu x(t) parametrul care determină configuraţia sistemului material la un moment dat t, atunci mişcarea este periodică dacă există T>0 astfel ca: x(t)=x(t+T) oricare ar fi timpul t, cu t şi t+T din domeniul de interes. De exemplu, mişcarea unui punct material pe axa Ox după legea de mişcare x(t)=7sin9πt are perioada T=2/9 [s].

Mişcarea efectuată într-o perioadă se numeşte ciclu al vibraţiei (oscilaţiei) periodice. Numărul de perioade într-o secundă se numeşte frecvenţa vibraţiei şi

1fT

= . Frecvenţa se măsoară în hertz [Hz]. În exemplul de mai sus frecvenţa este

f=9/2 [Hz]. În cazul unui sistem mecanic cu un număr finit (n) de grade de libertate, mişcarea este periodică dacă fiecare parametru xk( 1,k n= ) ce defineşte configuraţia sistemului este o funcţie periodică de perioadă Tk: xk(t) =xk(t+Tk).

Dacă perioadele Tk sunt comensurabile între ele şi dacă există n numere

naturale Nk ( 1,k n= ) astfel încât ( )1 20

1 2

... n

n

TT T TN N N

= = = = atunci perioada

mişcării este egală cu produsul dintre To (valoarea comună a rapoartelor din ultima relaţie şi cel mai mic multiplu comun al numerelor N1, N2,…, Nn. De exemplu mişcarea unui sistem mecanic cu trei grade de libertate definită prin ecuaţiile

x1=3sin6t, 2 5cos 89

x t π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

, 3 7 sin12x t= este periodică de perioadă T=π[s],

deoarece 1 [ ],3

T sπ= 2 [ ]

4T sπ

= , 3 [ ]6

T sπ= sunt comensurabile între ele şi

( )31 204 3 2 12

TT T Tπ= = = = iar cel mai mic multiplu comun al numerelor 4,3 şi 2 este

12(T=12To=π). Dar mişcarea unui sistem cu două grade de libertate definită prin

ecuaţiile y1=3sin6t, 2 7sin 5y t= nu este periodică cu toate că 1 3T π= şi 2

25

T π= ,

numerele T1 şi T2 nu sunt comensurabile. Se observă că frecvenţa şi perioada sunt inverse. În general se întâlneşte un

spectru larg de frecvenţe (de la cele joase până la valori foarte înalte). Cea mai simplă şi cea mai des întâlnită mişcare vibratorie este vibraţia

armonică.

7.4.2. Vibraţia armonică O mişcare cu un singur grad de libertate a unui sistem mecanic este o vibraţie

armonică, dacă funcţia x = x(t) care defineşte mişcarea (şi poate fi lungime sau un unghi) este de forma:


( )0 sinx x tω ϕ= + sau ( )0 cosx x tω ϕ= + (7.108)

cu x0, ω şi ϕ constante reale. Perioada vibraţiei armonice este 2T π

ω= deoarece perioada funcţiei

trigonometrice sinus (sau cosinus) este 2π astfel că:

( ) ( ) 2t T tω ϕ ω ϕ π+ + − + =⎡ ⎤⎣ ⎦ . Frecvenţa vibraţiei armonice este 12f T

ωπ= =

Pulsaţia vibraţiei armonice este numărul de perioade într-un interval de timp egal cu 2π secunde. Rezultă 2p T

π ω= = Pulsaţia se mai numeşte frecvenţa

circulară. Argumentul ωt+ϕ este faza şi se măsoară în radiani, iar ϕ este faza iniţială, ω este pulsaţia (frecvenţa circulară) vibraţiei şi se măsoară în rad/s. Centrul de vibraţie este punctul în care acceleraţia x&&este nulă. În cazul vibraţiei reprezentate de ecuaţiile (7.108) centrul de vibraţie este în originea axei. Dacă centrul de vibraţie este punctul de abscisă x = x’, ecuaţia vibraţiei armonice are forma:

( )0' sinx x x tω ϕ= + + sau ( )0' cosx x x tω ϕ= + + (7.109) Elongaţia este valoarea scalară a distanţei la un moment dat între centrul de

vibraţie şi mobil. În cazul relaţiei (7.108), elongaţia este x, iar în cazul relaţiei (7.109) elongaţia este x-x’.

Amplitudinea vibraţiei armonice este maximul elongaţiei, deci xo. Convenim să reprezentăm o vibraţie armonică printr-o ecuaţie de forma (7.108) sau (7.109) în care xo>0. Dacă xo<0 atunci se va înlocui faza iniţială ϕ cu π-ϕ sau π+ϕ.

Două vibraţii armonice ce se efectuează după legile ( )1 10 sinx x tω ϕ= + , ( )2 20 0sinx x tω ϕ ϕ= + + (7.110)

sunt în fază dacă ϕo=0. Dacă ϕo>0, atunci mişcarea dată de x2 este defazată de mişcarea dată de x1 cu unghiul ϕo (defazaj). Dacă ϕo=π, cele două mişcări sunt în opoziţie.

Derivând în raport cu timpul succesiv în formula (7.108), obţinem viteza şi acceleraţia punctului M:

( )0 0sin cos2

v x x t x t πω ω ϕ ω ω ϕ⎛ ⎞= = − + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

& (7.111)

( ) ( )2 20 0cos cosa x x t x tω ω ϕ ω ω ϕ π= = − + = + +&& (7.112)

Rezultă că viteza şi acceleraţia sunt de asemenea funcţii armonice de timp. Viteza are amplitudinea xoω şi este defazată înainte faţă de mişcare cu unghiul ϕo= 2

π , iar acceleraţia are amplitudinea xoω2 şi este defazată înainte faţă de mişcare

cu unghiul ϕo=π. Diagramele mişcării armonice sunt date în figura 7.17


Dacă amplitudinea xo sau pulsaţia ω sunt funcţii de timp, atunci vibraţia armonică respectivă se spune că este modulată în amplitudine respectiv în frecvenţă. Legea unei vibraţii armonice modulată în amplitudine este de forma x(t) = f(t)cos(ωt+ϕ) în care f(t) este o funcţie de timp neconstantă. Legea unei vibraţii

armonice moduată în frecvenţă este de forma x(t) = xocos g(t) în care funcţia g(t) nu este o funcţie liniară în timp.

7.4.3. Reprezentarea vectorială a vibraţiilor armonice Considerăm vectorul OA de modul xo care se roteşte în jurul originii cu viteza

unghiulară constantă ω (fig.7.18). În momentul iniţial, unghiul dintre OA şi axa Ox este ϕ. Urmează că la un moment dat t, unghiul dintre OA şi axa Ox este ωt+ϕ. Vectorul OA reprezintă mişcarea armonică (7.1082), deoarece legea acestei mişcări este dată de proiecţia

( )0' cosOA x tω ϕ= + a vectorului pe axa fixă Ox, iar mişcarea

fig. 7.17

x 0

ωx 0

ω2 x 0

y A'' A B x0 ωx0 ω ωt+φ O A' x ω2x0 fig. 7.18 C


armonică (7.1081) de proiecţia ( )0'' sinOA x tω ϕ= + pe axa Oy. Viteza unghiulară de rotaţie este egală cu pulsaţia

mişcării armonice. În acelaşi mod, deducem că viteza vibraţiei armonice dată de relaţia (7.111)

poate fi reprezentată printr-un vector OB a cărui mărime este ωxo şi se roteşte cu aceeaşi viteză unghiulară ω, fiind în avans cu unghiul π/2 faţă de vectorul OA .Acceleraţia se reprezintă prin vectorul OC a cărui mărime este ω2xo şi este în avans cu unghiul π faţă de vectorul OA .Urmează că acceleraţia şi mişcarea sunt în opoziţie de fază.

Mişcările armonice ( )1 10 cosx x tω ϕ= + şi ( )2 20 sinx x tω ϕ= + sunt

defazate cu unghiul 2π deoarece x2 se mai poate scrie sub forma

( )2 20 sin 2x x t πω ϕ= + − . Deci acestea se reprezintă prin doi vectori

perpendiculari cu mărimile x10 respectiv x20.

7.4.4. Reprezentarea prin numere complexe a vibraţiilor armonice Vectorul rotitor OA din paragraful precedent se reprezintă în planul complex

Oxy prin afixul z al extremităţilor sale A: ( ) ( ) ( )

0 0cos sin i tz x t i t x e ω ϕω ϕ ω ϕ += + + + =⎡ ⎤⎣ ⎦ (7.113)

Numărul complex z reprezintă fie vibraţia armonică (7.1082) (prin partea sa reală) fie vibraţia armonică (7.1081) (prin partea sa imaginară).

Viteza vibraţiei armonice se obţine prin derivare în raport cu timpul în relaţia (7.113):

( ) ( ) ( )0 0 0sin cos i tz x t i x t i x e i zω ϕω ω ϕ ω ω ϕ ω ω+= − + + + = =& (7.114)

iar acceleraţia va fi derivata în raport cu timpul a vitezei: ( ) ( )2 2 2

0 0cos sinz x t i x t i z zω ω ϕ ω ω ϕ ω ω= − + − + = = −&& & (7.115) Relaţiile (7.114) şi (7.115) se mai pot scrie şi sub formele:

20

i tz i z x e

πω ϕω ω

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠= =& , ( )2

0i tz z x e ω ϕ πω ω + += − =&&

astfel că putem scrie (ca la paragraful 7.4.3.) că viteza este defazată de mişcare cu π/2 iar acceleraţia este defazată faţă de mişcare cu unghiul π.

Observăm din relaţia (7.114) că derivata unui număr complex este echivalentă cu înmulţirea acestuia cu iω ceea ce înseamnă că înmulţirea cu numărul


pur imaginar i dă unghi π/2 în sensul lui ω, iar înmulţirea cu ω transformă amplitudinea xo în ωxo.

Practic, în calcule legea de mişcare se înlocuieşte cu z, viteza cu z& iar acceleraţia cu z&& iar după efectuarea calculelor corespunzătoare se interpretează rezultatul obţinut alegând partea sa reală dacă ne interesează vibraţia armonică (7.1082) sau partea sa imaginară dacă ne interesează vibraţia armonică (7.1081).

7.4.5. Compunerea vibraţiilor armonice coliniare de aceeaşi pulsaţie

Considerăm axele coliniare Ox şi O’x’ (fig.7.19) astfel încât originea O’ are

faţă de originea fixă O o mişcare armonică cu legea ( )1 0 1' cosx OO x tω ϕ= = + . Punctul M are în raport cu originea O o altă mişcare vibratorie armonică după legea

( )2 20 2' cosx O M x tω ϕ= = +. În cele ce urmează, vom arăta că mişcarea absolută a punctului M în raport cu

originea O este tot o mişcare vibratorie armonică. Notăm x=OM=OO’+O’M=x1+x2 şi deci:

..........................).........tcos(xtsinCtcosCtsin)sinx

sinx(tcos)cosxcosx()tcos(x)tcos(xx

0

21220

110220110

220110

ϕ+ω==ω−ω=ωϕ+

+ϕ−ωϕ+ϕ==ϕ+ω+ϕ+ω=

(7.16)

unde am notat: 1 10 1 20 2 0cos cos cosC x x xϕ ϕ ϕ= + =

2 10 1 20 2 0sin sin sinC x x xϕ ϕ ϕ= + = (7.117) Din sistemul (7.117) se deduc valorile xo şi ϕ:

( )2 2 2 20 1 2 10 20 10 20 1 22 cosx C C x x x x ϕ ϕ= + = + + − (7.118)

10 1 20 2

10 1 20 2

sin sincos cos

x xtgx x

ϕ ϕϕϕ ϕ

+=

+ (7.119)

y y' M O O' x2 x=x' x1 fig. 7.19 x


În mod analog se poate generaliza rezultatul obţinut pentru un număr de n>2 vibraţii armonice coliniare de aceeaşi pulsaţie ( )0 cos , 1,i i ix x t i nω ϕ= + =

compunerea acestora va fi tot o vibraţie armonică ( )0 cosx x tω ϕ= + unde:

∑ ∑= =<=

ϕ−ϕ+=n

1i

n

2ji1ji0j0i

20i0 )cos(xx2xx ,

01

01

sin

cos

n

i iin

i ii

xtg

x

ϕϕ

ϕ

=

=

=∑

∑ (7.120)

Un caz particular, dar des întâlnit, este când legea de mişcare a punctului M este de forma:

10 20cos sinx x t x tω ω= + (7.121)

adică cele două mişcări componente sunt defazate cu unghiul 2π

Legea mişcării rezultate se mai scrie sub forma: ( )0 cosx x tω ϕ= + , unde:

2 20 10 20x x x= + ; 20

10

xtgx

ϕ = −

Din relaţia (7.116), rezultă viteza punctului M în mişcarea rezultantă: ( )0 sinv x x tω ω ϕ= = − +& (7.122)

iar acceleraţia devine: ( )2 2

0 cosa v x x t xω ω ϕ ω= = = − + = −& && (7.123

7.4.6. Compuneri de vibraţii coliniare cu pulsaţii diferite. Fenomenul de bătăi

Presupunem că cele două vibraţii armonice componente au pulsaţii diferite

1ω şi 2ω ; 1 2ω ω> :

( )1 10 1 1cosx x tω ϕ= + ; ( )2 20 2 2cosx x tω ϕ= + (7.124) Mişcarea rezultantă este:

( ) ( )1 2 10 1 1 20 2 2cos cosx x x x t x tω ϕ ω ϕ= + = + + + (7.125) Expresia (7.125) se mai poate scrie sub forma:


1 2 1 2 1 2 1 210 1 20 2cos cos

2 2 2 2x x t t x t tω ω ω ω ω ω ω ωϕ ϕ+ − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 1 2 1 2 1 210 1 10 1cos cos sin sin

2 2 2 2x t t x t tω ω ω ω ω ω ω ωϕ ϕ+ − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 1 2 1 2 1 220 2 20 2cos cos sin sin

2 2 2 2x t t x t tω ω ω ω ω ω ω ωϕ ϕ+ − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 1 2 1 210 1 20 2cos cos cos

2 2 2x t x t tω ω ω ω ω ωϕ ϕ⎡ − − ⎤ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

1 2 1 2 1 210 1 20 2sin sin sin

2 2 2x t x t tω ω ω ω ω ωϕ ϕ⎡ − − ⎤ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

1 2 1 2 1 21 2 0( ) cos ( )sin ( ) cos ( )

2 2 2C t t C t t x t t tω ω ω ω ω ω ϕ+ + +⎡ ⎤= + = +⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.126)

unde am notat:

1 2 1 21 10 1 20 2

1 2 1 22 10 1 20 2

( ) cos cos2 2

( ) sin sin2 2

C t x t x t

C t x t x t

ω ω ω ωϕ ϕ

ω ω ω ωϕ ϕ

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(7.127)

Din relaţia (7.126), prin identificare, deducem sistemul: 0 1 0 2( ) cos ( ) ( ), ( )sin ( ) ( )x t t C t x t t C tϕ ϕ= = − (7.128)

şi de aici obţinem funcţiile:

( )2 2 2 20 1 2 10 20 10 20 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 2 cosx t C t C t x x x x tω ω ϕ ϕ= + = + + − + −⎡ ⎤⎣ ⎦ (7.129)

1 2 1 210 1 20 2

2

1 2 1 2110 1 20 2

sin sin( ) 2 2( )( ) cos cos

2 2

x t x tC tt arctg arctgC t x t x t

ω ω ω ωϕ ϕϕ

ω ω ω ωϕ ϕ

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − =⎢ ⎥ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎣ ⎦ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(7.130)

După cum se observă, prin compunerea a două vibraţii armonice se obţine o mişcare vibratorie rezultantă care prezintă următoarele deosebiri esenţiale faţă de o vibraţie armonică: amplitudinea vibraţiei rezultante este o funcţie periodică de timp de perioadă )/(2 21 ωωπ −=′T deoarece )()( 00 txTtx =′+ ; faza la momentul t a

vibraţiei rezultante nu mai este liniară în t, fiind de forma ))(2/)()( 21 ttt ϕωωθ ++= iar funcţia )(tϕ verifică ecuaţia: NtTt ∈+=′+ λλπϕϕ ,)()(


Vibraţia definită de relaţia (7.126) este numită vibraţiie cvasiarmonică modulată în amplitudine şi frecvenţă. Este important de reţinut că, deşi funcţia amplitudine este periodică iar )(tϕ are proprietatea enunţată, totuşi vibraţia rezultată va fi periodică numai daca pulsaţiile 1ω şi 2ω ale vibraţiilor armonice componente vor fi comensurabile, adică raportul lor este o fracţie raţională: *

21 ,,// Nnmnm ∈=ωω . Deoarece )/()(// 2121 ωωωω −−== nmnm , perioada T a mişcării rezultante definită de relaţia (7.126) va fi:

21212121

2)()(2)(22ωωπ

ωωπ

ωπ

ωπ

++=′−=

−−===== nmTnmnmnmnTmTT (7.131)

unde 11 /2T ωπ= şi 22 /2T ωπ= sunt perioadele mişcărilor armonice componente (7.124). Dacă cele două pulsaţii 1ω şi 2ω ale mişcărilor componente au valori foarte

apropiate, diferenţa 21 ωω − este foarte mică în comparaţie cu media pulsaţilor 2/)( 21 ωω + deci funcţiile x0(t) si )(tϕ variază foarte încet in comparaţie cu funcţiile

cos 2/)( 21 tωω + şi sin 2/)( 21 tωω + . Perioada T1 şi T2 ale mişcărilor componente sunt aproape egale astfel că în timpul unei perioade 21 TT ≈ , amplitudinea mişcării rezultante si funcţia ϕ rămân constante, astfel că în acest timp, mişcarea rezultantă re poate considera armonică.

Într-un interval de timp oarecare, mişcarea rezultantă poate fi considerată ca o succesiune de mişcări armonice, fiecare având aceeaşi durată 21 TT ≈ dar cu amplitudini diferite. Amplitudinile acestor mişcări armonice sunt cuprinse între limitele |x10-x20|, x10+x20 (din relaţia (7.129)) de variaţie ale amplitudinii mişcării rezultante. Fenomenul se repetă după intervalele de timp egale cu perioada

)./(2 21 ωωπ −=′T Mişcarea în condiţiile de mai sus poartă numele de bătăi (fig.7.20). Frecvenţa bătăilor este: .2/2//1 2121 ffTf −=−=′= πωπω

x 10 +

x20

|x10

– x

20|

T'

t

x

fig.7.20


În mod asemănător se pot compune un număr finit n de mişcări componente,

obţinându-s mişcarea rezultantă. Viteza mişcării rezultante va fi obţinută prin derivarea în raport cu timpul a

relaţiei (7.126):

)](2

sin[)](2

)[()](2

cos[)( 21210

210 ttttxtttxxv ϕωωϕωωϕωω

++

++

−++

== &&&&

Acceleraţia mişcării rezultante este:

−++

++

−++

=== )](2

sin[)](2

)[(2)](2

cos[ 21210

210 ttttxttxvxa ϕ

ωωϕ

ωωϕ

ωω&&&&&&&

)](2

cos[)](2

)[()](2

sin[)()( 212210

210 ttttxttttx ϕωωϕωωϕωωϕ +

++

+−+

+− &&&

7.4.7. Compunerea vibraţiilor rectilinii armonice ortogonale Există numeroase situaţii când punctele unor elemente ale unui sistem vibrant

cu două sau trei grade de libertate au mişcări astfel încât coordonatele lor carteziene se prezintă sub forma unor legi armonice. Aceasta revine la a considera mişcarea unui asemenea punct ca o compunere de două, respectiv trei vibraţii rectilinii armonice ortogonale. În cele ce urmează, vom considera numai doua astfel de mişcări: fie sistemul fix de axe Oxy şi un sistem mobil yxO ′′ a cărui origine O′ se mişcă pe Oy după legea ).cos( 220 ϕω +==′ tyyOO Pe axa

xO ′′ care rămâne paralelă cu Ox se mişcă punctul M după legea )cos( 110 ϕω +=′==′ txxxMO (fig.7.21). Mişcarea punctului M va fi rezultanta

compunerii a două vibraţii armonice ortogonale. Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei punctului M care se mişcă in planul Oxy sunt:

)cos();cos( 220110 ϕωϕω +=+= tyytxx (7.132) Considerăm mai multe cazuri particulare: 1. Daca cele două pulsaţii sunt egale ωωω == 21 (vibraţii armonice

ortogonale sincrone), atunci din sistemul (7.132) eliminăm parametrul t şi obţinem o conică rotită faţă de reperul fix, faţă de care au fost scrise ecuaţiile mişcării punctului:

0)(sin)cos(2 2122

020210

20

220

220 =−−−−+ ϕϕϕϕ yxxyyxyxxy (7.133)

Discriminantul conicei (7.133) este: =ϕ−ϕ−=−=δ )(cosyxyxaaa 21

220

20

20

20

2122211

0)(sinyx 2122

020 >ϕ−ϕ= (7.134)

y=y' x O' M x' y x O

fig.7.21


ceea ce este caracteristica unei elipse. Deci, prin compunerea a două vibraţii armonice ortogonale sincrone se obţine

o mişcare a punctului pe o elipsă cu centrul în originea sistemului de axe fixe Oxy şi care este rotită faţă de aceasta. În funcţie de defazajul 21 ϕϕ − , se întâlnesc următoarele două situaţii particulare:

a) Zkk ∈=− ,21 πϕϕ caz în care ecuaţia (7.133) se mai

scrie: 0)( 200 =± yxxy de unde rezultă:

xxy

y0

0±= (7.135)

Ecuaţiile (7.135) reprezintă două drepte care trec prin origine şi au pantele egale cu 00 / xy± , semnul superior corespunde defazajului 021 =ϕ−ϕ radiani, iar

semnul inferior corespunzând defazajului π=ϕ−ϕ 21 radiani. Putem trage concluzia că prin compunerea a două vibraţii armonice

ortogonale sincrone şi defazate de un multiplu întreg de π radiani, se obţine o mişcare rectilinie oscilatorie armonică, cu centrul de oscilaţie situat în originea axelor.

b) Zkk ∈+=− ;2

)12(21πϕϕ , caz în care ecuaţia (7.133) devine:

01)()( 2

0

2

0=−+

yy

xx (7.136)

ceea ce reprezintă o elipsă de semiaxe x0 şi y0 cu centrul în originea axelor. Pentru diverse valori ale lui k∈Z, vor rezulta doar sensuri alternânde de

parcurs pe elipsă. În figura 7.22 sunt arătate traiectoriile punctului pentru câteva valori ale defazajului 21 ϕϕ − .

021 =−ϕϕ 421πϕϕ =−

221πϕϕ =−

43

21πϕϕ =− πϕϕ =− 21

2. Dacă cele două pulsaţii sunt diferite, avem două situaţii distincte: a) Pulsaţiile ω1 şi ω2 nu sunt comensurabile (raportul lor nu este un număr

raţional). În acest caz, traiectoria punctului va fi o curbă închisă, înscrisă în dreptunghiul cu centrul în originea sistemului de axe şi cu laturile egale cu 2x0 şi 2y0 (fig. 7.23).

fig.7.22

O x


b) Pulsaţiile ω1 şi ω2 sunt comensurabile: există două numere naturale prime între ele m şi n astfel încât:

mn

=1

2

ωω

(7.137)

Presupunem ω2 > ω1, ceea ce implică n>m. Notăm:

112 ωωωωm

mn −=−=∆ (7.138)

Din relaţiile (7.132) deducem perioadele celor două mişcări:

21

2;2ωπ

ωπ

== yx TT (7.139)

Din relaţia (7.137) şi pentru intervale de timp egale cu multiplii întregi ai intervalului rezultă: T=mTx=nTy=(n-m)Txy unde

12

22ωω

πωπ

−=

∆=xyT (7.140)

Din relaţia (7.1322) rezultă: cos(ω2t+ϕ2)=cos(∆ωt+ϕ2-ϕ1+ω1t+ϕ1)=

=cos(ω1t+ϕ1)cos(∆ωt+∆ϕ)-sin(ω1t+ϕ1)sin(∆ωt+∆ϕ)=0y

y (7.141)

Din relaţiile (7.141) şi (7.1321), prin eliminarea funcţiei ω1t+ϕ1, obţinem:

0)(sin)cos(2 220

2000

220

220 =ϕ∆+ω∆−ϕ∆+ω∆−+ tyxtyxyxxy (7.142)

unde am notat ∆ϕ=ϕ2-ϕ1. Funcţiile sin(∆ωt+∆ϕ) şi cos(∆ωt+∆ϕ) care apar în relaţia (7.142) au

proprietăţile: sin[∆ω(t+T)+∆ϕ]=sin[∆ωt+∆ϕ+(n-m) ∆ωTxy]=sin(∆ωt+∆ϕ) cos[∆ω(t+T)+∆ϕ]=cos[∆ωt+∆ϕ+(n-m) ∆ωTxy]=cos(∆ωt+∆ϕ)

fig. 7.23

22

1 =ωω

32

1 =ωω

012 =−ϕϕ 212πϕϕ =−

43

12πϕϕ =−

23

12πϕϕ =−

fig.7.24


Pe de altă parte şi funcţiile cos(ω1t+ϕ1) şi cos(ω2t+ϕ2) au proprietăţile: cos[ω1(t+T)+ϕ1]=cos(ω1t+ϕ1+ω1mTx)=cos(ω1t+ϕ1) (7.143) cos[ω2(t+T)+ϕ2]=cos(ω2t+ϕ2+ω2nTy)=cos(ω2t+ϕ2) (7.144) Relaţiile (7.143) şi (7.144) pun în evidenţă faptul că în condiţiile relaţiei

(7.137), punctul M trece periodic prin aceleaşi valori după intervale de timp egale cu perioada T.

Prin urmare, se poate trage concluzia că traiectoria punctului M în mişcarea determinată prin ecuaţiile (7.132) este condiţia (7.137) o curbă închisă, încadrată într-un dreptunghi cu centru în originea sistemului de axe şi de laturi egale cu 2xo respectiv 2yo şi care se repetă identic cu perioada T.

Formulele acestor curbe închise, numite curbe Lissajous depind de raportul celor două pulsaţii ale vibraţiilor ortogonale componente, precum şi de defazajul lor.

În figura 7.24 sunt reprezentate câteva forme ale acestei curbe pentru valorile:

21

2 =ωω

şi 31

2 =ωω

şi pentru defazajele 2

3;4

3;2

;012πππϕϕ =−

7.4.8. Vibraţia amortizată Vibraţia amortizată are legea:

)cos(0 ϕ+= − ptexx ht (7.145) unde x0, h, p, ϕ sunt constante. Coordonata x se numeşte elongaţie, constanta h>0 se numeşte factor de amortizare, p se numeşte pseudopulsaţie iar ϕ este faza iniţială (la momentul t=0).

Viteza se obţine din relaţia (7.145) prin derivare în raport cu timpul: )sin(0 ϕ+−−== − ptpexhxxv ht& (7.146)

iar acceleraţia devine: xpxhxhvxa 222 −−−=== &&&&

(7.147) Se observă că valorile

vitezei şi acceleraţiei descresc în timp. Amplitudinea x0e-ht este funcţie de timp, descreşte şi tinde spre zero, deci vibraţia amortizată este modulată în amplitudine. În cazul h<0 vibraţia este crescătoare, modulată crescător în amplitudine.

Mişcarea oscilatorie amortizată nu este periodică,

`1t ``

1t 1t2t

`2t ``

2t 3t`3t ``

3tO

x

ht0ex−

ht0exT

fig. 7.25


deoarece nu se repetă identic după un anumit interval de timp. Totuşi, anumite proprietăţi ale mişcării cum sunt: intersecţia diagramei vibraţiei cu axa timpului (x=0) în acelaşi sens, intervalul de timp între două puncte de extrem succesive, precum şi intersecţia diagramei vibraţiei amortizate cu curbele exponenţiale htexx −= 0 , se repetă după un interval de timp, T=2π/p numit pseudoperioadă.

Diagrama vibraţiei amortizate (7.145) este dată în figura 7.25. Punctul material intersectează axa timpului când cos(pt+ϕ)=0 ceea ce implică:

Zkppp

ktk ∈−+= ,2

ϕππ (7.148)

Între două treceri consecutive prin axa timpului, intervalul de timp este:

21T

ptt kk ==−+

π iar între două treceri succesive în acelaşi sens prin axa t,

intervalul de timp este:

Tp

tt kk ==−+π2

2 (7.149)

Poziţiile de extrem (maximul şi minimul elongaţiei) ale punctului se obţin

prin anularea derivatei (7.146), ceea ce conduce la ecuaţia: phpttg −=+ )( ϕ care

are soluţiile:

Zkpharctg

pppktk ∈−−=′ ,1ϕπ

(7.150)

Pentru k număr par, se obţin maxime iar pentru k impar, minime. Intervalul de timp între două puncte de extrem consecutive de aceeaşi natură este:

Tp

tt kk ==′−′+π2

2 . Dacă )( ktx ′ şi )( 2+′ktx sunt două maxime consecutive, atunci

rezultă: hT

k

2k e)t(x)t(x −+ =

′′

(7.151)

ceea ce înseamnă că maximele (sau minimele) formează o progresie geometrică de raţie e-hT. Diagrama vibraţiei amortizate (7.145) este cuprinsă între curbele exponenţiale

x=±x0e-ht (7.152) Pentru valorile lui t pentru care cos(pt+ϕ)=±1, ceea ce conduce la valorile:

Zkpp

ktk ∈−=′′ ,ϕπ (7.153)

diagrama vibraţiei amortizate este tangentă la curbele (7.152).


Acest lucru rezultă imediat, prin calculul derivatelor în raport cu timpul ale funcţiei date de relaţiile (7.145) şi (7.152) şi ţinând seama că 0)sin( =+′′ ϕktp . Se

obţin aceeaşi coeficienţi unghiulari daţi de kthehxx ′′−±= 0& . Pentru k număr par, diagrama este tangentă la curba exponenţială x=x0e-ht, iar pentru k număr impar, diagrama este tangentă la exponenţială x=-x0e-ht. Şi în această situaţie vom calcula intervalul de timp între două puncte de tangenţă succesive cu una din aceste curbe:

Tp

tt kk ==′′−′′+π2

2

Urmează ca si punctele de tangenţă cu una din curbele (7.152) se repetă cu perioada T. Comparând relaţiile (7.150) şi (7.153), pentru aceeaşi valoare a lui k∈Z, constatăm că:

pharctg

ptt k

1+′=′′ (7.154)

ceea ce înseamnă că momentul când elongaţia este extremă este anterior momentului când diagrama mişcării este tangentă curbelor (7.152) cu intervalul de timp egal cu 1/parctg h/p. Prin logaritmarea relaţiei (7.151) obţinem:

δ==′′

+

hTtxtx

k

k

)()(

ln2

(7.155)

Logaritmul natural al câtului a două maxime sau minime succesive se numeşte decrementul logaritmic al vibraţiei amortizate, şi este deci egal cu produsul dintre factorul de amortizare h si pseudoperioada T.

Inversul τ al factorului de amortizare se numeşte constanta de timp şi deci:

δτ T

h==

1 . Dacă decrementul logaritmic δ este mai mic, prin dezvoltarea în

serie a funcţiei eδ în relaţia (7.151) se poate obţine aproximativ δ+=+

11n

n

xx de unde

δ=−

+

+

1

1

n

nn

xxx . În concluzie: descreşterea relativă a două maxime (minime)

succesive, este egală cu decrementul logaritmic. Aplicaţie: Legea de mişcare x1 a unui punct material este vibratorie

amortizată cu factorul de amortizare h si pseudopulsaţia p ≠ h. Un al doilea punct se mişcă după legea 1

2112 22 xhxhxx ++= &&& . Să se determine legea de mişcare x2

cunoscând că la momentul t=0, x2=x0, 02 vx =& . Rezolvare: Notăm x1=C e-htcos(pt+ϕ) unde C şi ϕ şi se vor determina ulterior

din condiţiile iniţiale pentru al doilea punct. Din definirea lui x2, rezultă: x2=(h2-p2)C e-htcos(pt+ϕ) şi 2x& = -hx2-p(h2-p2)C e-ptsin(pt+ϕ). Din condiţiile

iniţiale date, rezultă: (h2-p2)C cosϕ= x0 şi hx0+p(h2-p2)C sin ϕ = -v0 de unde se obţin:


O M0 v0 a0 M v a x

x

x0

fig. 7.26

pxvhxarctgsi

phphxvxp

C0

0022

200

20

2 )( +−=

−

++= ϕ

Există următoarele situaţii: a) h>p astfel că:

)cos()(1

0

00200

20

22 px

vhxarctgptehxvxpp

x ht +−++= −

b) h<p astfel că:

)cos()(1

0

00200

20

22 px

vhxarctgptehxvxpp

x ht +−+++= − π

7.5. Mişcări particulare ale punctului material

7.5.1. Mişcarea rectilinie În cazul mişcării rectilinii, punctul material are ca traiectorie o dreaptă

.Studiul mişcării se simplifică dacă se alege axa Ox chiar traiectoria mişcării (fig.7.26), iar mişcarea poate fi studiată cu o singură funcţie de timp, legea de mişcare fiind:

x=x(t) (7.156) Viteza şi acceleraţia au

respectiv expresiile: xv &= , xa &&= (7.157)

Diagramele mişcării vitezei şi acceleraţiei se obţin prin reprezentarea într-un plan,

pe axa absciselor timpul, iar pe ordonată legea mişcării x=x(t), respectiv legea vitezei v= x& (t) şi a acceleraţiei a= x&& (t). Aceste diagrame dau o imagine intuitivă asupra modului cum se desfăşoară mişcarea. În unele cazuri, se pune şi problema inversă: cunoscând viteza sau acceleraţia punctului material, se pune problema să determinăm legea sa de mişcare. Aceasta conduce la ecuaţii diferenţiale de forma:

x& =f(t,x), x&& =g(b,x, x& ) (7.158) care sunt de ordinul unu, respectiv doi. Prin integrarea acestor ecuaţii, se obţine legea de mişcare care depinde de o constantă, respectiv două constante de integrare. Pentru determinarea lor trebuie să cunoaştem condiţiile iniţiale adică poziţia şi viteza la momentul iniţial:

t=t0; x(t0)=x0; v(t0)=v0 (7.159) Un alt mod de reprezentare sintetică a mişcării este imaginea mişcării în

planul fazelor, unde pe axa absciselor se reprezintă legea de mişcare x iar pe ordonata


x x=v0t + x0 α t v a v=v0 a=0 O t fig. 7.27

X0

viteză v. Astfel de reprezentări grafice se pot utiliza numai pentru studiul mişcărilor sistemelor cu un singur grad de libertate.

Apliciaţie: Un punct material se mişcă pe axa Ox, după legea: x(t)=v3(t)+v2(t)-2 (a)

unde v(t) este viteza punctului. Să se determine legea de mişcare ca funcţie de timp, dacă x(0)=0.

Rezolvare: Din condiţia x(0)=0, ecuaţia v3(t)+v2(t)-2=0 are singura soluţie acceptabilă v(0)=1. Prin derivarea relaţiei (a) in raport cu timpul şi simplificare cu v(t)≠0, rezultă ecuaţia diferenţială în necunoscuta v(t): (3v+2)dv=dt cu soluţia

23

v2(t)+2v(t)=t+C1 (b)

Din condiţia v(0)=1, rezultă constanta de integrare C1=7/2 care înlocuită în ecuaţia (b), conduce la ecuaţia de grad doi în v: 9v2(t)+4v(t)-t-7=0. Această ecuaţie are soluţiile:

3

6252)(1ttv ++−

−= ; 3

t6252)t(v2+−−

=

Soluţia v2(t) nu convine pentru ca v(0)=1, astfel că 3

6252)(1ttv ++−

=

care se mai scrie sub forma dt3

2t625dx −+= . Ultima ecuaţie se integrează

şi obţinem: 2

3 Ct32)t625(

271)t(x +−+= . Din condiţia x(0)=0, rezultă

C2=27

125− şi deci:

27125

32)

3625()( 3 −−

+= tttx

7.5.2. Mişcarea rectilinie uniformă Mişcarea rectilinie şi uniformă este mişcarea

a cărei traiectorie este o dreaptă şi a cărei viteză este constantă:

=== 0vxv & constant (7.160) Prin integrarea ecuaţiei (7.160), se obţine

legea de mişcare: x(t)=v0t+c (7.161)

Unde constanta de integrare c se determină din condiţia t=0 , x=x0, astfel că c=x0, deci legea de mişcare se scrie sub forma:

x=v0t+x0 (7.162) Acceleraţia punctului este:

a= v& =0 (7.163)


Mişcarea rectilinie şi uniformă este singura mişcare cu acceleraţie nulă. În figura 7.27 sunt reprezentate diagramele mişcării pentru v0>0 şi x0>0. Din ecuaţia (7.162) rezultă că această diagramă este o linie dreaptă, cu ordonata la origine egală cu x0 iar unghiul format cu axa timpului este dat de α=arctg v0.

Diagrama vitezei este o dreaptă paralelă cu axa timpului la distanţa v0 de origine. Acceleraţia se reprezintă printr-o dreaptă ce se confundă cu axa timpului. Dacă vectorul acceleraţie este nul: 0=a , rezultă 0;0;0 === zyx &&&&&& . Prin integrare, obţinem:

x=At+x0,y=Bt+y0,z=Ct+z0 (7.164) unde constantele de integrare A, B, C, x0,y0,z0 se determină din condiţiile iniţiale. Prin eliminarea timpului între ecuaţiile (7.164), obţinem traiectoria:

Czx

Byx

Axx 000 −

=−

=− care reprezintă ecuaţia unei drepte. Proiecţiile

vitezei pe axe sunt: Axvx == & , Byvy == & , Czvz ==& iar modulul vitezei este:

222222 CBAvvvv zyx +++++= = constant.

7.5.3. Mişcarea rectiline uniform variată Mişcarea rectiline uniform variată are traiectoria o dreaptă şi acceleraţia

constantă. Mişcarea se numeşte uniform accelerată dacă acceleraţia este pozitivă şi uniform încetinită dacă acceleraţia este negativă. Daca axa Ox coincide cu traiectoria, rezultă: 0axa == && = constant. Prin integrare de două ori, obţinem: x& =a0t+C1

212

021 CtCtax ++= .

În condiţiile iniţiale: t=0, x=x0, v=v0, se obţin: C1=v0, C2=x0 şi deci legea mişcării şi viteza devin respectiv:

002

0 xtvta21x ++= (7.165)

00 vtav += (7.166) În aplicaţii este uneori util să se exprime viteza v a punctului material în

funcţie de abscisa x. Eliminând timpul între relaţiile (7.165) şi (7.166), obţinem formula lui Galilei:

)(2 0020 xxavv −+=

Exemple de diagrame ale mişcării sunt date în fig.7.28 pentru mişcarea uniform accelerată iar in fig. 7.29 pentru mişcarea uniform încetinită.

Se observă că valoarea extremă (maximă sau minimă) a lui x este atinsă la momentul t1 când v=0.

Caz particular: mişcarea unui punct sub acţiunea gravitaţiei (fig. 7.30)


În acest caz putem scrie: a=g. Pentru condiţiile iniţiale t=0, x=x0, v=v0, rezultă: hxtvgtx =++= 00

221 . Pentru căderea liberă din origine, condiţiile

iniţiale sunt t=0, x0=0, v0=0 şi obţinem: 221 gth = , v=gt de unde deducem:

ghvg

vhgvt 2;

2;

2===

Aplicaţie: Un punct material, porneşte din repaus, se deplasează rectiliniu şi

după 20 s atinge viteza de 36km/h efectuând o mişcare uniform accelerată. În continuare, punctul are o mişcare uniformă pe distanţa de 1 km. După aceea punctul este frânt uniform şi se opreşte pe o distanţă de 0,2 km. Să se studieze mişcarea şi să se traseze diagramele mişcării.

Rezolvare: În prima etapă (primele 20s), mişcarea este uniform accelerată, cu legea

002

121 xtvtax ++= . Alegem originea timpului şi a spaţiului în A. Plecând

din repaus, avem v0=0 şi x0=0, astfel că legea de mişcare şi viteza sunt respectiv: tax 12

1= ; v=a1t (a)

0a


După timpul t=20 [s], viteza v=36 [km/h]=10 [m/s], astfel că punctul ajunge în B cu acceleraţia constantă dată de ]/[5,0

2010 2

1 smt

va B === . Din relaţia (a),

distanţa parcursă este: xB=AB=21 x 0,5 x 202 = 100[m]

În etapa a doua (spaţiul BC) mişcarea este uniformă cu legea: x=v0t (b)

deoarece viteza este constantă tot timpul (şi egală cu viteza în punctul B deci v0=v=10[m/s] iar originea spaţiului şi a timpului le-am considerat in punctul B.

Timpul necesar ajungerii in punctul C este dat de relaţia (b):

][10010

1000

0

svxt c

c === . Ultima etapă

este o mişcare uniform întârziată. Originea timpului şi a spaţiului le considerăm în punctul C. În acest moment viteza este tot v0 astfel că legea de mişcare are forma

tvtax 02

321

+−= iar viteza v=-

a3t+v0. În punctul D, mobilul se opreşte: vD=0=-a3tD+v0 de unde rezultă

a3tD=v0=10. Distanţa CD este necunoscută:

CD=xD= D0D0D0D02D3 tv

21tvtv

21tvta

21

=+−=+− . Rezultă:

]s[4010200x2

vCD2t

0D === şi ]s/m[25,0

4010

tva 2

D

03 === . Diagramele mişcării

sunt reprezentate în fig. 7.31 în care am ţinut seama la fiecare etapă de rezultatele precedente.

7.5.4. Mişcarea circulară a) Studiul mişcării în coordonate Frenet Ecuaţia orară a mişcării circulare este (fig.7.32). s(t)=M0M=Rθ unde θ=θ(t).

Folosind rezultatele din paragraful 7.3.5., viteza este:

fig. 7.31


τω=τθ=τ= RRsv && (7.167) iar acceleraţia: nssva

c

2

ρ+τ==

&&&&

cu componentele: 22

2

; ωθρ

εθτ RRsaRRsac

n ====== &&&&&& (7.168)

Modulul acceleraţiei este 4222 ωετ +=+= Raaa n .

În particular, dacă ω=constant, rezultă ε=0, aτ=0 şi an≠0, deci mişcarea circulară este uniformă. Dacă e=constant, rezultă aδ≠0 şi an≠0, deci mişcarea circulară este uniform variată. Dacă ω şi ε au acelaşi sens, mişcarea circulară este uniform

accelerată iar dacă ω şi ε au sensuri opuse, mişcarea circulară este uniform întârziată. Se poate stabili o analogie între mişcările rectilinie şi circulară ale punctului

material (uniform şi uniform variate), comparând mărimile x cu θ, v cu ω şi a cu ε. b) Studiul mişcării în coordonate carteziene Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei punctului arbitrar M sunt: x=R cosθ; y=R sinθ unde θ=θ(t), ωθ =& , εθ =&& . Ecuaţia traiectoriei este

x2+y2=R2. viteza are proiecţiile (fig.7.33). ωθωθθ yRRxvx −=−=−== sinsin&&

ωθωθθ xRRyvy ==== coscos&&

Vectorul viteză este de forma jxiyv ωω +−= . Cum

jRiROM θ+θ= sincos şi 0=⋅vOM rezultă că viteza este perpendiculară pe

vectorul de poziţie OM . Modulul vitezei este Ryxv ω=+ω= 22 . Proiecţiile acceleraţiei sunt:

22 cossin ω−ε−=θω−θε−=== xyRRxva xx &&& 22 sincos ωεθωθε yxRRyva yy −=−=== &&&

iar vectorul acceleraţie este jyxixya )()( 22 ωεωε −+−−=

Modulul acceleraţiei este 4222 ω+ε=+= Raaa yx

c) Studiul mişcării în coordonate polare În coordonate polare, ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt:

r=R=constant; θ=θ(t). Viteza în coordonate polare are expresia (fig.7.34):

fig. 7.32


θθ ωθ uRururv r =+= && iar

acceleraţia θθ ε+ω−=θ+θ+θ−= uRuRurrurra rr22 )2()( &&&&&&&

Mărimea acceleraţiei este 2222 ω+ε=+= θ Raaa r Aplicaţie: Două puncte M1 şi M2 se deplasează pe un cerc de rază R

(fig.7.35). Ele pornesc în acelaşi moment t=0 din punctul A cu aceeaşi viteză iniţială v0 dar de sensuri contrare. Punctul M1 are o mişcare uniformă, iar punctul M2 o mişcare uniform întârziată. Cele două puncte se întâlnesc prima dată în punctul B când punctul M2 se opreşte. Să se determine poziţia punctului B şi timpul după care are loc întâlnirea.

Rezolvare: Legile de mişcare sunt: ∧

= 11 AMs şi ∧

= 22 AMs . Mişcarea punctului M1 este uniformă, deci 01 =s&& de unde rezultă prin integrare s1=C1t+C2. Din condiţiile iniţiale: t=0, s1=0, 01 vs =& deducem: C1=v0, C2=0, astfel că: s1=v0t. Mişcarea punctului M2 este uniform întârziată, deci:

Cs2 −=&& = constant iar prin integrare, obţinem: 43

22 CtCCt

21s ++−= .

Condiţiile iniţiale pentru punctul M2 sunt: t=0, s2=0, 02 vs =& iar constantele de integrare au valorile: C3=v0, C4=0. Ecuaţia de mişcare a lui M2 este:

tvCts 02

2 21

+−= .

In punctul B de întâlnire, avem condiţiile: s1+s2=2πR; v2=0 din care deducem:

R4v3C

20

π= ,

0v3R4t π

= astfel că legile de mişcare ale celor

două puncte sunt: Rs π34

1 = ; Rs π32

2 = . Unghiul

AOB este 3

4π .

s2

s1

fig. 7.35

M1

M2

O

A

B

a

a


7.5.5. Mişcarea elicoidală Considerăm punctul M în mişcare pe o elice circulară cu rază R şi pasul p

(fig.7.3.6) Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei în coordonate carteziene sunt:

x=Rcosθ; y=Rsinθ; z=Rθtgα unde tgαR

pπ2

= şi deci πθ2

pz = .

Proiecţiile vitezei sunt: θθθ &&& yRxvx −=−== sin ; θθθ &&& xRyvy === cos

αθ=π

θ== tgR

2pzv z &&

& iar vectorul viteză este ktgRjxiyv αθ+θ+θ−= &&& .

Modulul vitezei este:

αθ

=α++θ=cosRtgRyxv 2222 &

& (7.169)

Acceleraţia are proiecţiile: 22

xx xy)cossin(Rxva θ−θ−=θθ+θθ−=== &&&&&&&&& 22 )sincos( θθθθθθ &&&&&&&&& yxRyva yy −=−−===

αθ=== tgRzva zz&&&&&

şi deci vectorul acceleraţie este: ktgRjyxixya αθθθθθ &&&&&&&& ++++−= )()( 22

Modulul acceleraţiei devine:

αθ+θα

=αθ+θ−θ+θ+θ= 2422222222 coscos

RtgR)yx()xy(a &&&&&&&&&&& (7.170)

z R p

α

p α M p M o y α z

M' Rθ M’

x θ 2πR

fig. 7.36


y I' 2R M O x fig. 7.37 I

vM C vC aM θ R

Pentru determinarea razei de curbură a elicei circulare, vom folosi sistemul de coordonate naturale (fig.7.36)

s=∧

MM0 =αθ

cosR

(7.171)

Din relaţia (7.171) sau din relaţia (7.169) se deduce modulul vitezei:

αθ

cos

&&

Rsv == . Proiecţiile acceleraţiei sunt: αρ

θ=

ρ=

αθ

==τ 22c

22

c

2n

cosRva;

cosRsa

&&&&& iar

mărimea acceleraţiei:

αρθ

+θα

=+= τ 22c

2222

n2

cosR

cosRaaa

&&& (7.127)

Egalând mărimile acceleraţiei determinate cu relaţiile (7.170) respectiv (7.172), obţinem raza de curbură ρc a elicei circulare:

αρ 2cos

Rc =

7.5.6. Mişcarea punctului material pe o cicloidă Cicloida este curba descrisă de un punct M fixat pe periferia unui disc

circular care se rostogoleşte fără alunecare pe o axa, viteza centrului C fiind cunoscută vc(t) (fig.7.37)

Vom studia în cele ce urmează mişcarea punctului M. Presupunem că discul se rostogoleşte pe axa Ox iar originea O o considerăm în punctul când M se află pe axa x. Notăm unghiul MCI cu θ, unde I este punctul de contact dintre disc si axă.

Legea de mişcare a punctului M (sau ecuaţiile parametrice ale cicloidei) este dată de ecuaţiile:

x=OI=MCsinθ;

y=CI-MCcosθ unde OI=∧

MI =Rθ şi deci x=R(θ-sinθ); y=R(1-cosθ) iar θ=θ(t). Expresia unghiului θ în funcţie de timp, o exprimăm ţinând seama de felul cum se


mişcă discul: ∫=θt

0c dt)t(v)t(R de unde rezultă: ∫=θ

t

0c dt)t(v

R1)t( ;

ε==θω==θR

)t(v)t(;

R)t(v

)t( cc &&&&

Proiecţiile vitezei punctului M pe axele Ox şi Oy sunt respectiv: )cos1()cos1( θθθ −=−== cx vRxv && şi θθθ sinsin cy vRyv === &&

Vectorul viteză devine: jivv c θθ sin)cos1[( +−= (7.173)

Modulul vitezei punctului M este: 2

sin2sin)cos1( 22 θθθ cc vvv =+−= .

Viteza punctului M trece tot timpul mişcării prin punctul I ′ diametral opus

lui I. Pentru a demonstra această proprietate, vom arăta că vectorii vsiIM sunt

perpendiculari, adică 0=⋅vIM . Pentru aceasta scriem vectorul: jRiRIM )cos1(sin θθ −+−= (7.174)

de unde rezultă 0=⋅vIM . De asemenea, se poate stabili că 2

sinR2IMv θω=θ= &

deoarece, din relaţia (7.174), deducem 2

sinR2)cos1(sinRIM 22 θ=θ−+θ= .

Proiecţiile acceleraţiei pe axe sunt:

θθθθθθ sin)cos1(sin)cos1(2

2

RvvRRvxa c

cxx +−=+−=== &&&&&&&

θθθθθθ cossincossin2

2

RvvRRvya c

cyy +=+=== &&&&&&&

Vectorul acceleraţie se scrie sub forma:

jRvvi

Rvva c

cc

c ]cossin[)sin)cos1([22

θθθθ +++−= && (7.175)

iar modului acceleraţiei devine

2

422222 sin2

2sin4

Rv

Rvvvaaa cc

ccyx ++=+= θθ&&

În particular, daca vc=constant, acceleraţia punctului M trece tot timpul mişcării prin centrul discului C. În adevăr, vectorii MC şi a sunt paraleli deoarece

).cos(sin jiRMC θθ += Pentru calculul razei de curbură ρc a cicloidei, folosim formula

222naaa += τ unde

2sinv4va;

2cos

Rv

2sinv2va 22

ccc

2n

2c

cθ

ρ=

ρ=

θ+

θ==τ &&

astfel că IM22

sinR4va

v22

2c =

θ=

−=ρ

&


7.6. Probleme 7.6.1. Mecanismul din figura 7.38 se mişcă astfel: capătul A al barei AB

culisează pe dreapta (∆) din planul Oxy iar capătul B pe axa Oz. Dreapta ∆ se roteşte în jurul axei Oz iar OP se roteşte în jurul unei drepte perpendiculare pe planul

determinat de axele Oz si ∆. Se cunosc unghiurile de rotaţie: ∧∧

= BOPAox =θ=ωt+θ0; ω>0 şi OP=BP=AP=L. Să se determine traiectoria, viteza, acceleraţia punctului M (BM=1) şi raza de curbură a traiectoriei.

Rezolvare: Legea de mişcare a punctului M în coordonate carteziene este dată de relaţiile:

θ=θθ= 2sinl21cossinlx

)2cos1(21sin 2 θθ −== lly

şi z=(2L-l)cosθ (a) Eliminând parametrul θ între relaţiile (a) obţinem ecuaţia traiectoriei ca fiind elipsoidul de ecuaţie

1)lL2(

zly

lx

2

2

2

2

2

2=

−++ .

Proiecţiile vitezei pe axele carteziene sunt:

θωθωθω sin)2(;2sin;2cos Llvlyvlxv zyx −===== && . Vectorul viteză devine kLljlilv θωθωθω sin)2(2sin2cos −++= .

Mărimea vitezei este θω 222222 sin)2( lLlvvvv zyx −+=++= .

Proiecţiile acceleraţiei punctului M pe axe sunt: θω 2sin2 2lxva xx −=== &&& ;

θω 2cos2 2lyva yy === &&& ; θω 2cos)2( 2Llzva zz −=== &&& Vectorul acceleraţie este:

kcos)lL2(j2cosl2i2sinl2a 222 θω−−θω+θω−= iar mărimea acceleraţiei este

θω 2222222 cos)2(4 lLlaaaa zyx −+=++=

z B M P θ O y θ A (∆) x fig. 7.38


Raza de curbură a traiectoriei o determinăm cu formula 22

2

cva

v&−

=ρ

unde

θ−+

θθ−ω=

222

22

sin)lL2(lcossin)lL2(v& .

Se obţine: θθ

θρ22222

23

222

sin)2(4cos)2(4]sin)2([

lLlLlllLl

c−+−+

−+=

7.6.2. Pentru mecanismul cu culisă oscilantă din figura 7.39, se cunosc θ=ωt;

O2A=R; O1O2=2R, O1B=l; BC=D. Cursorul C se mişcă rectiliniu pe orizontala punctelor BsiB ′′′ , poziţiile limită a articulaţiei B. Punctul M se află pe bara BC astfel că CM=d. Să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului M.

Rezolvare: Notăm

φ=∧

AOO 12 şi ψ=∧

`BCB . Unghiul φ este cunoscut din relaţia

=θ+

θ=ϕ

sinRR2cosRtg

θ+θ

=sin2

cos

Poziţia limită a barei O1B conduce la valoarea maximă a unghiului φ:

;3

13R

RAOAO

tg1

20 ==

′′

=ϕ

60π

=ϕ

Calculând distanţa BD în două moduri, obţinem: D sinψ=lcosφ-lcosφ0 de unde:

)23(cos

Dlsin −ϕ=ψ

Alegem un sistem de axe cu originea în O care coincide cu poziţia culisei C când articulaţia B ocupă poziţia extremă B' (fig.7.39)

ψ

θ

fig. 7.39


Distanţa OC o determinăm din relaţia OC=CB'-OB' şi aceasta devine: 222 )

23(coslDD)sin2

1(lOC −ϕ−+−ϕ−=

Coordonatele punctului M în raport cu reperul Oxy sunt:

222 )23(coslD

DdD

D)sin21(l)OCcosd(x

−ϕ−−

+

+−ϕ−=−ψ−= y = d sinψ

Traiectoria punctului M o obţinem din ultimele relaţii prin eliminarea parametrului φ. Obţinem ecuaţia traiectoriei:

0)dD(ld

ydl

dD)]Dx(l21[Dy

dl3

lDx

l)Dx(y]

l)dD(

ldD[

22

2

222

22

2

2

22

2

=−+

+−−

+−+++

−+

+−

−

Proiecţiile vitezei pe axe sunt:

ϕωϕ

ϕ

ϕϕω sin],cos

)23(cos

)23(cossin

[222

Ddlyv

dD

llxv yx −==−

−−

−== &&

iar proiecţiile acceleraţiei pe axe sunt:

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

ϕ+

−ϕ−

−ϕϕ−−ϕ−ϕ−ϕω== sin

])23(cosdD[

)23(cossin])

23(cosdD)[cos

232(cos

lxa

23

222

222222

x &&

ϕω cos2

Ddlyay −== &&

7.6.3. O bilă de biliard este lansată din punctul A(d,0), cu viteza v0 în planul

orizontal Oxy (fig.7.40). Bila întâlneşte axa Oy într-un punct C după care îşi schimbă direcţia şi ajunge în punctul B(2d,4d) cu viteza v0/2. Ştiind că viteza bilei descreşte proporţional cu distanţa parcursă şi se neglijează efectul ciocnirii în punctul C, să se determine:

a) Poziţia punctului C; b)Timpul necesar parcurgerii spaţiului ACB c)Viteza şi acceleraţia bilei la un moment dat.

Rezolvare: În această problemă a biliardului, se ştie că α==∧∧

BCDACO , astfel că triunghiurile BCD şi AOC sunt asemenea.

Rezultă relaţia CDBD

OCOA

= iar din egalitatea OC+CD=4d, rezultă


OC= d43

Din enunţ rezultă ca viteza este proporţională cu spaţiul s parcurs, deci: v=C1s+C2 (a)

Distanţa parcursă de bilă până în B va fi:

d5d9

64d4

d9

16dCBAC

22

22

=++

++=+

Constantele C1 şi C2 care apar în relaţia (a) se determină din condiţiile iniţiale (în A) şi finale (în B), care sunt: t=0; s=0; 0vsv == & şi t=tB;

s=5d; 02

1 vv =

Se obţin

020

1 ;10

vCd

vC =−= astfel că

formula (a) devine:

sd10

vvv 00 −=

care se mai scrie:

00 vd10

vs =+& (b)

Ecuaţia diferenţială (b) are soluţia generală:

deCst

dv

10103

0

+=−

(c) Constanta de integrare C3 din ecuaţia (c) se determină din condiţia iniţială

t=0, s=0. Obţinem C3=-10d, astfel că legea de mişcare (c) este de forma:

)1(10 100 td

v

eds−

−= (d) Relaţia (d) este adevărată pentru s>AC, adică pentru

56ln10

0vdt > . Din

condiţia s(tB)=5d, rezultă 2ln10

0vdt B =

Mişcarea fiind rectilinie, viteza bilei pe direcţia CB este:

)56ln

vd10t(evsv0

td10

v

0

0

>==−

& iar acceleraţia este t

dv

ed

vva 100

100

−

== & .

fig. 7.40


y A B (C) O x

fig. 7.42

Din ultima ecuaţie se vede că acceleraţia are sens opus vitezei tot timpul mişcării.

7.6.4. Bara OA se roteşte cu viteza unghiulară constantă ω, în jurul punctului

O şi intersectează în punctul M cercul de rază OC=R (fig.7.41). Să se determine: a)Viteza punctului M pe cerc şi pe bară b)Acceleraţia punctului M pe cerc şi pe bară Rezolvare: Vom adopta sistemul de coordonate polare:

r = OM=2Rsinθ, θ=ωt. Viteza punctului M pe bară este:

θω cos2 Rrvr == & . Componenta vθ a vitezei este: θωθθ sin2 Rrv == & , astfel că viteza punctului pe cerc

este Rvvv r ωθ 222 =+= . Acceleraţia lui M pe bară este

θωθ sin4 22 Rrrar −=−= &&& . Componenta aθ a acceleraţiei este: θωθθθ cos42 2Rrra =+= &&&& iar acceleraţia punctului M

pe cerc este R4aaa 222r ω=+= θ

7.6.5. Bara AB de lungime 1 se mişcă în planul fix Oxy, astfel încât capătul

A culisează pe axa Oy cu viteza constantă v0 începând din O, iar capătul B pe o curbă (C) astfel încât bara este tangentă tot timpul mişcării în B la curba (C) (fig.7.42). Să se determine curba (C) şi viteza punctului B.

Rezolvare: Vectorul AB este tangent la curba (C) şi dacă notăm coordonatele punctului B cu x respectiv y, putem scrie relaţia:

0xyy

dxdy a

−−

= (a)

unde :

xy

dtdxdtdy

dxdy;tvy 0A &

&=== (b)

Din relaţiile (a) şi (b) rezultă:

yxtvyx && =− )( 0 (c) Din condiţia AB=l, rezultă:

x2+(y-v0t)2=l2 (d) Relaţia (d) derivată în raport cu timpul devine:

θ


0))(( 00 =−−+ tvyvyxx && (e) Relaţiile (c) şi (e) le considerăm un sistem cu necunoscutele x& şi y& şi deci

obţinem

)( 020 tvyx

lvx −=& şi 2

020 )( tvy

lvy −=& (f)

Relaţia (f2) se scrie în formele echivalente:

20

220

02

02

0 )()(

)( ldtv

ltvytvyd

ldtv

tvydy

=−−

−⇔=

− (g)

Ultima relaţie din (g), prin integrare, conduce la formula:

Cldtv2

tvyltvylln 0

0

0 +=−++− (h)

În momentul iniţial: t=0; x=x0; y=y0 şi deci constanta de integrare C devine

0

0lnylylC

+−

= (i)

Iar din relaţiile (h) şi (i), obţinem:

ltv

eylyl

tvtltvyl 02

0

0

0

0

+−

=−++− (j)

Din relaţia (j) rezultă:

tl

vlcht

lv

shy

tl

vlsht

lv

chyl

e)yl(yl

e)yl(ylltvy

000

000

ltv2

00

ltv2

000 0

0

−

−−=

−++

−−+=− (k)

Cu notaţia:

kthly

=0 (l)

din relaţia (k) deducem:

)( 00 kt

lvthltvy −−= (m)

astfel că relaţia (f1) devine:

dtktlvth

lv

xdx )( 00 −−= .

Ultima relaţie o integrăm şi obţinem:

Cktlvchx ′+−−= )(lnln 0 (n)

Din condiţia iniţială, rezultă constanta de integrare: C'=ln x0 ch k .Din relaţia (d) pentru t=0, rezultă 2

022

0 ylx −= şi de aici, ţinând seama de notaţia (l), obţinem x0chk=l, iar din relaţia (n) obţinem:


)ktl

v(ch

1x0 −

= (o)

Relaţiile (m) şi (o) formează ecuaţiile parametrice ale curbei (C). Proiecţiile vitezei punctului B pe axe se obţin din relaţiile (f) în care ţinem

seama de relaţiile (m) şi (o).

)(;)(

)(02

002

00

ktl

vthvykt

lvch

ktl

vshvx −=

−

−−= &&

Mărimea vitezei punctului B este:

)()(1)(

)(0

002

02

00

22 ktl

vthvktl

vshkt

lvch

ktl

vshvyxv −=−+

−

−=+= &&

7.6.6. Pe suprafaţa exterioară a unui trunchi de con circular drept, având

razele R respectiv R/2, este practicat un canal elicoidal, de lungime minimă ce uneşte extremităţile A şi B ale unei generatoare a trunchiului de con AB=3R (fig.7.43a). Un punct material M se deplasează în acest canal de la A spre B cu viteza v=a0t (a0 constantă>0). Să se determine:

a)Timpul de mişcare a punctului M b)Timpul în care punctul M ajunge în B c)Raza de curbură a traiectoriei. Rezolvare: Notăm O vârful conului circular drept din care provine trunchiul

de con considerat. Alegem sistemul de referinţă cu originea în O, iar axa Oz dirijată după axa conului, generatoarea AB conţinută în planul xOz. Notăm cu M' proiecţia punctului M pe planul Oxy. Unghiul dintre generatoarea conului şi axa Oz de simetrie a conului se notează cu α şi este dat de relaţia:

61

33sin 2 =

+==

RRR

OBBOα

Pentru determinarea legii de mişcare a punctului M, vom folosi sistemul de coordonate cilindrice care sunt:

OM'=ρ; <xOM'=θ; M'M=z (a) Coordonatele carteziene ale punctului M sunt: x= ρcosθ; y=ρsinθ; z=ρctgα; Vectorul de poziţie al punctului M este: )sin(cos kctgjiOMr αθθρ ++== În figura 7.43 b este reprezentată suprafaţa exterioară desfăşurată a

trunchiului de con. Punctele A' şi B' coincid cu A respectiv cu B de pe trunchiul de con. Drumul de lungime minimă între A şi B pe trunchiul de con este segmentul AB' din figura 7.43b.


Notăm cu γ unghiul BOB' şi îl vom determina din relaţia 2πR= γ6R. Rezultă

3πγ = .

În concluzie, triunghiul OB'B este echilateral iar segmentul AB' este perpendicular pe generatoarea OB a conului. Din faptul că traiectoria punctului M pe trunchiul de con are lungimea minimă, rezultă că distanţa de la tangenta într-un punct oarecare de pe traiectorie la punctul O este constantă. Această distanţă constantă este OA=δ=3R (fig.7.43b), Ţinând seama că viteza punctului M este tangentă

la traiectorie, distanţa δ se mai obţine şi din relaţia:

v

v×=

OMδ (b)

în care kctgj)cossin(i)sincos(rv αρ+θθρ+θρ+θθρ−θρ== &&&&&&

αθρ+ρα

=αρ+θρ+ρ=υ 222222222 sinsin

1ctg &&&&& (c)

x )kjctgsin1ctgcos(MO 2 +αθ−αθ−θρ=υ & (d) iar mărimea vectorului din relaţia (d) este:

θρα

=+αθρ=υ && 222

sin11ctg| x MO| (e)

Înlocuind (c) şi (e) în relaţia (b) obţinem:

αθρ+ρ

θρ=δ

22

2

sin&&

& (f)

R2π

ρ

fig. 7.43


Din relaţia (f) obţinem viteza unghiulară dată de relaţia:

αδ−ρρ

ρδ=θ

222 sin

&& (g)

Cu ajutorul relaţiei (g), formula vitezei dată de relaţia (c) devine:

αδ−ρα

ρρ=υ

222 sinsin

& (h)

Prin integrarea relaţiei (h), obţinem:

sau

α=αδ−−αδ−ρ

υα=αδ−ρ

ρρ ∫∫ρ

sinta21sin

4Rsin

dt)t(sinsin

d

20

222

222

t

02R 222

de unde rezultă:

220

22222 )sinta21sin4R

21(sin α+αδ−+αδ=ρ (i)

Ţinând seama de relaţiile lui δ si sin α în relaţia (i), obţinem:

(j) taR36121 42

02 +=ρ

Integrând ecuaţia (j) obţinem

∫ ∫∫ρ ρθ

ραδ

−ρ

ρδ=

αδ−ρρ

ρδ=θ

2R

2R

2

222

2220 sin1

d

sin

dd

de unde

aus |sin arcsin |sin

- 2Rρ

ραδ

αδδ

=θ

(k) )sinarcsinRsin2(arcsin

sin1

ραδ

−αδ

α=θ

Ţinând seama de expresiile lui δ, sin α si ρ din relaţia (k), avem:

(l) taR36

R6arcsin63 42

02 +

−π=θ

Coordonata z rezultă din relaţia:

(m) )taR36(35121ctg z 42

02 +=αρ=

Legea de mişcare a punctului M este dată de coordonatele cilindrice ρ(t),θ(t), z(t) date respectiv de expresiile (j),(l),(m). b) Viteza punctului M este dată de expresia:


(n) tas v 0== &

unde s(t)=∩

AM . Prin integrarea ecuaţiei (n) obţinem : 20ta

21s(t) =

Dar lungimea totală s1 =AB`=6R sinγ =3 3 R (fig 7.43b) rezultă in timpul

mişcării de la A la B: 00

1AB a

R36as2t == .

c) Raza de curbură a traiectoriei este dată de formula:

22

2

cva

v &−

=ρ unde acceleraţia a este dată de formula (7.80):

22222 z)2()(a &&&&&&&&& +θρ+θρ+θρ−ρ=

Se obţine: 3420

2

440

420

2

)taR36(taR181440aa

++= şi deci:

181440)taR36(

R1 342

02

2c

+=ρ

7.6.7. Punctul M se deplasează pe o sferă de rază R=constant între două

puncte A si B pe drumul cel mai scurt (fig 7.44). Punctul A are longitudinea φ=0, azimutul θ=π/2 iar punctul B longitudinea φ=α şi azimutul θ=β. Sistemul de axe Oxyz este ales astfel ca axa Ox să coincidă cu raza puncului A. Să se determine:

a) Traiectoria punctului M. b) Dacă mişcarea punctului M

este uniformă, se cer legile mişcării, acceleraţia punctului M şi raza de curbură a traiectoriei.

Rezolvare: Componentele vitezei în coordonate sferice sunt (θ scade):

=θ−=== ϕθ v ,Rv ; 0Rvr&&&

sinR θϕ= & (a) Viteza este tangentă la traiectorie, arcul sferic AB are lungimea minimă, deci unghiul γ dintre viteza si versorul

θu definit în paragraful 7.3.4. este constant. Prin urmare, se mai poate scrie:

sinvv , cosvv γ=γ= ϕθ (b) unde unghiul γ se va determina ulterior. Având în vedere relaţiile (a), relaţiile (b) se mai scriu sub froma:


sinvsinR , cos vR- γ=θϕγ=θ && (c) Vom determina traiectoria punctului M, împărţind relaţiile (c) membru cu

membru si obţinem:

ϕγ=θ

− dctgsin

dt (d)

Integrând ecuaţia diferenţială (d), obţinem:

C ctg|2

ctg|ln +γϕ=θ

(c)

In momentul iniţial, punctul M se află în A, deci φ=0, θ=π/2 şi deci din relaia (e) deducem C=0, astfel că din relaţia (e), obţinem ecuaţia traiectoriei in coordonate sferice:

constantR ; |2

ctg|lntg =θ

γ=ϕ (f)

Unghiul constant γ se determină din conditia ca traiectoria să treacă prin punctul B, deci pentru φ=α si θ=β obţinem:

|2

ctg|lntg

βα

=γ (g)

b) În ipoteza v=v0=constant, obţinem din relaţiile (c) si (f):

(h) |)tcosR2

v4

(ctg|lntg , tcosRv

20o ⋅γ−

π⋅γ=ϕ⋅γ−

π=θ

Relaţiile (h) exprimă legile de mişcare ale punctului M in coordonate sferice iar unghiul γ este cunoscut din relaţia (g).

Viteza are componentele în acest caz: ttanconssinvv , ttanconscosvv , 0v 00r =γ==γ== ϕθ

iar acceleraţia are componentele:

)tcosRv tg(cossin

RvcosR2sinR2sinRa

)tcosRv(tg sin

RvcossinRRR2a

RvsinRRRa

020

02202

20222

r

⋅γγγ−=θϕθ+θϕ+θϕ=

⋅γγ−=θθϕ−θ+θ=

−=θϕ−θ−=

ϕ

θ

&&&&&&

&&&&&

&&&&

Modulul acceleraţiei este: )tcosRv(ctg sin1

Rva 022

20 ⋅γγ+=

Raza de curbură este: )tcos

Rv( tgsin1

Rav

022

20

c

⋅γγ+==ρ


7.6.8. Un punct material M se deplasează pe hiperbola echilateră y=1/x, 0 < x

≤ 1, astfel încât viteza este proportionala cu distanta OM, factorul de proporţionalitate fiind k>0. În momentul iniţial M se află în A(1,1).

Să se determine: Legea de mişcare a punctului M Viteza punctului Acceleraţia punctului Raza de curbură a traiectoriei (fig 7.45) Rezolvare: Rezolvarea este dificilă în coordonate carteziene şi deci vom

rezolva problema în coordonate polare: notăm OM=r şi <MOx=θ. Coordonatele punctului M în sistemul de

coordonate carteziene în funcţie de coordonatele polare sunt:

(a) sinry ; cosrx θ=θ= Înlocuind în relaţia (a) ecuaţia hiperbolei

echilatere obţinem:

(b) sin2

2rθ

=

Derivata razei polare în raport cu timpul este:

θθθ

θ−= &&

2sin2sin2cos2r

Ţinând seama de formula vitezei în coordonate polare:

θθ

θ=θ+=

2sin2sin2rrv 222&

&&

condiţia din enunţ se reduce la ecuaţia diferenţială:

(c) kdt2sin

d=

θθ

Ecuaţia (c) are soluţia generală: Ckttgln21

+=θ unde constanta C se

determină din condiţiile iniţiale: t=0; x=1; y=1; care se mai scriu cu ajutorul relaţiilor

(a) sub forma: 2r ,4

,0t =π

=θ= .

Rezultă C=0 şi deci kttgln21

=θ , de unde obţinem :

(d) e arctg kt2=θ Raza polară (b), cu ajutorul relaţiei (d) devine:

fig. 7.45


(e) 2ktch 2r = Legile de mişcare ale punctului M in coordonate polare sunt date de relaţiile

(d) si (e). b) Viteza punctului M are proiecţiile pe axele sistemului de coordonate

polare:

2kt chk2rv

2ktch 2kt shk2rvr −=θ=== θ

&&

iar modulul vitezei este: kr2kt ch2kvvv 22

r ==+= θ c) Acceleraţia punctului M în coordonate polare are proiecţiile: 0r2ra , kt2 ch2krra 22

r =θ+θ==θ−= θ&&&&&&&

şi deci acceleraţia are ca şi viteza mărimea proporţională cu distanţa: rk2kt ch2kaa 22

r ===

d) Ţinând seama că derivata vitezei este: 2ktch

2kt shk2v 2=& raza de curbură

a traiectoriei este 23

22

2

c )2kt ch(2va

v=

−=ρ

&

7.6.9. Un punct material A se

deplasează pe un sfert de cerc de centru O şi rază R, astfel încât acceleraţia lui este tot timpul mişcării paralelă cu axa Ox. În momentul iniţial, punctul A se află în A0 şi are viteza v0 (fig 7.46). Un alt punct B se mişca uniform cu viteza v0 şi rectiliniu pe axa Oy. Să se arate că dacă mişcările celor două puncte încep simultan ele se şi întâlnesc simultan pe cerc.

Rezolvare: Notăm cu α unghiul dintre acceleraţia punctului A

şi viteza lui şi deci obţinem:

vRv

aa

tg2

n

&==α

τ

(a)

Dar:

dsdvv

dtds

dsdv

dtdvv =×==& (b)

fig. 7.46


unde s=A0A Notăm cu θ= <A0OA= s/R astfel că din condiţia ca acceleraţia rămâne

paralelă cu axa Ox, rezultă α=π/2-θ şi deci ţinând seama de relaţia (b), relaţia (a) se

mai scrie sub forma: sau Rdvvds

Rsctg = :

dsRstg

vRdv

= (c)

Relaţia (c) devine prin integrare: s

0

v

v||

Rscos|lnR||v|lnR

0

−= de unde

obţinem:

Rscos

vv 0= (d)

Ţinând seama că dtdsv = relaţia (d) devine o ecuaţie diferenţială de forma:

dtvdsRscos 0= , cu soluţia generală: Ctv

RssinR 0 += .

Din condiţia t=0, s=0 obţinem C=0 şi deci: tr

vsin

Rssin 0=θ=

Din ultima relaţie rezultă tvsinR`AA o=θ= unde A` este proiecţia punctului A pe axa Ox. Mişcarea punctului B este uniformă şi deci OB=v0t.

Urmează ca OB=AA` tot timpul mişcării şi deci cele două puncte se întâlnesc simultan în punctul P pe aaxa Oy şi de pe sfertul de cerc.

7.6.10. Un punct material M se deplasează pe cicloidă OA de ecuaţie:

(a) ]2,0[)t( )];t(cos1[Ry )];t(sin)t([Rx π∈θθ−=θ−θ= cu viteza constantă v0. In momentul iniţial M≡0 (fig 7.47). Să se determine:

a) Legea de mişcare a punctului b) Proiecţiile vitezei şi a acceleraţiei şi să se arate că vectorii acceleraţie şi

viteză sunt perpendiculari Rezolvare: Prin derivare în raport cu timpul a relaţiei (a) obţinem:

;)cos1(Rxvx θθ−== && sinRyvy θ⋅θ== && şi deci:

=+= 2y

2x vvv

0v|2

sin|R2 =θθ

= & (b) fig. 7.47


Relaţia (b) este o ecuaţie diferenţială de forma: dtR2

vd2

sin 0=θθ care prin integrare şi

ţinând seama că la momentul iniţial t=0, θ=0, conduce la legea de mişcare:

)R4tv1arccos(2 0−=θ care este definită pentru

0vR8t ≤ .

Proiecţiile vitezei pe axe sunt :

)tvR4(R4

vyv , )tvR8(tvR4

vxv 00

y000

x −==−== &&

Proiecţiile acceleraţiei pe axe sunt:

R4vya ;

)tvR8(tvR4)tvR4(vxa

20

y00

020

x −==−

−== &&&&

Vectorii viteză, respective acceleraţie se scriu sub forma:

]ji)tvR8(tv

tvR4[

R4v

a , ]j)tvR4(i )tvR8(tv[R4

vv

00

020

o000 −

−

−=−+−= De

oarece 0av =⋅ , rezultă ce cei doi vectori sunt perpendiculari tot timpul mişcării. 7.6.11. Să se arate că mişcarea rectilinie definită de ecuaţia

(a) t8sin3t6sint2sin2t2sin25x 2 −−−=este o mişcare oscilatorie armonică. Să se determine centrul de vibraţie, pulsaţie, perioada, frecvenţa, amplitudinea, viteza si acceleraţia punctului.

Rezolvare: Folosind formule trigonometrice cunoscute, relaţia (a) se mai poate scrie sub forma:

(b) t8sin3-cos8t4x += Relaţia (b) se mai scrie astfel:

(c) )t8cos(x4x 0 ϕ++=

unde, indentificând relaţiile (b) si (c), obţinem: 3

,2x0π

=ϕ= .

Mişcarea definită de relatia (a) este echivalentă cu:

(d) )3

t8cos(24x π++=

Centrul de oscilatie se determină din condiţia 0x =&& care are loc pentru

0)3

cos(8t =π

+ . Centrul de oscilaţie are abscisa 4x0 = . Pulaţia este ]s/rad[8=ω .

Perioada mişcării ,respectiv frecvenţa, sunt:

]Hz[27,14T1f ; ]s[

4822T ≈

π==

π=

π=

ωπ

= .


Valorile extreme ale elongaţiei (d) sunt: 2x ,6x minmax == astfel că

amplitudinea mişcării este: 22

xxA minmax =−

= .

Viteza şi acceleraţia sunt respectiv:

)3

t8cos(128xa , )3

t8sin(16xv π+−==

π+−== &&&

7.6.12. Un punct material M execută o mişcare oscilatorie armonică pe o axă,

având centrul C de vibraţie de abscisă: ]m[1,0xc = . În momentul iniţial t=0 punctul M trece prin origine cu viteza 1[m/s]. Să se determine: legile de mişcare, perioada şi amplitudinea dacă frecvenţa oscilaţiilor este f=5/π[Hz].

Rezolvare: Legea mişcării este de forma: ]s/rad[10f2 unde )tcos(x1,0x 0 =π=ωϕ+ω+= iar ϕ si x0 le

vom determina din condiţiile: t=0, x=0, 1x =& care devin: 1,0sinx , 1,0cosx 00 −=ϕ−=ϕ .

Din acest sistem, rezultă 4

5 , 2101x0

π=ϕ= deci legea mişcării are forma:

)4

5t10cos(142,01,0x π++=

Perioada este 5f

1T π== iar amplitudinea ]m[142,0

2042,0242,0A =

+=

7.6.13. Un punct material execută o mişcare vibratorie amortizată de-a lungul

axei Ox. Constanta de timp este ]s[5=τ şi decrementul logaritmic δ=0,4. În momentul iniţial t=0 punctul trece prin origine cu viteza v=2[m/s]. Se cer:

a) Legea de mişcare b) Curbele exponenţiale tangente diagramei mişcării. Rezolvare: Legea mişcării amortizate are forma:

)ptcos(exx ht0 ϕ+= − unde ]s[2,01h 1−=

τ= iar pseudopulsaţia p este dată de

relaţia π=δπ

=π

=h2

T2p . Constantele ϕ si x0 le determinăm din condiţiile inţiale:

t=0, x=0, 2x =& :

2)sinpcosh( x,0cosx 00 −=ϕ+ϕ=ϕ rezultă: 2

- ,2x0π

=ϕπ

= şi

deci legea de mişcare a punctului este:

)2

tcos(e2x t2.0 π−π

π= −


Curbele exponenţiale tangente diagramelor mişcării au formele: t2,0e2x −

π±= şi sunt tangente în punctele de abscise:

Zk,21kt k ∈+= .

7.6.14. Un punct M1 parcurge un drum rectiliniu (∆) cu viteza constantă v1.

Punctul M2 se află în momentul iniţial pe dreapta Ox, perpendiculară pe (∆) iar punctul M1 în O (fig 7.48). Punctul M2 se deplasează cu viteza constantă v2 în direcţia punctului M1. Să se determine traiectoria punctului M2 şi să se cerceteze dacă cele două traiectorii se pot întâlni.

Rezolvare: Alegem axa Oy după direcţia axei (∆). Legea de mişcare a punctului M1 este OM1=v1t iar a punctului M2 este y=y(x) (necunoscută). Deoarece viteza punctului M2 este tangentă la traiectoria acestuia, coeficientul unghiular al tangentei M1M2 se scrie sub forma:

dxdy

xtvy 1 =

− relaţie care se mai scrie

astfel:

tvydxdyx 1−= (a)

Prin derivarea relaţiei (a) in raport cu x rezultă:

dxdtv

dxydx 12

2−= (b)

Din relaţia:

222222 )

dxdy(1x)

dtdx

dxdy(xyxv +=⋅+=+= &&&&

rezultă:

dxdt1

)dxdy(1

vx2

2 =+

−=& (c)

Din relaţiile (b) şi (c) obţinem:

2

2

12

2)

dxdy(1

vv

dxydx += (d)


În ecuaţia (d), notăm dxdy =u şi

2

1

vv =k (constantă) , astfel că ea se mai scrie:

x

dxku1

du2=

+ (e)

În momentul iniţial, t=0, x=a, dy/dx=tgπ şi deci u=0, astfel că prin integrarea ecuaţiei diferenţiale (e), obţinem: aln k -ln xk )u1ln(u 2 =++ , relaţie din care deducem:

k2 )ax(u1 u =++ (f)

Înmulţim relaţia (f) cu -1 si obţinem:

k2 )ax(uu1 −=−+ (g)

Din scăderea relaţiilor (f) şi (g), obţinem:

])ax()

ax[(

21u

dxdy kk −−== (h)

Pentru k=1 (v1=v2) integrând ecuaţia (h), obţinem traiectoria punctului M2:

axln

2a

a4axy(x)

22

−−

= . Pentru x=0, y devine infinit, axa Oy este

asimptotă, deci cele doua puncte M1 şi M2 nu se pot întalni în acest caz. Pentru k ≠ 1, din ecuaţia (h) prin integrare, deducem:

1k

ka]1k

axa)1k(

x[21)x(y 2

kk1

k

1k

−−

−+

+= −

+

În cazul k>1, din nou axa Oy este asimptotă, iar M1 şi M2 nu se intâlnesc. În cazul k<1, x=0 implică y=ka/(1-k2), deci cele două traiectorii se pot intâlni.

7.6.15. Punctul M descrie curba ABCD, formată din arcul de cerc AB de

rază 2R şi unghi la centru θ, segmentul de dreaptă BC de lungime 6Rθ şi arcul de cerc CD de rază R şi unghi la centru 2θ (fig 7.49). Punctul execută o mişcare uniform

accelerată, în momentul iniţial viteza este v0 iar în D ajunge cu viteza 5v0. Să se determine legea de mişcare, viteza şi acceleraţia punctului M.

Rezolvare: Notăm lungimea arcului de curbă AM=s. Mişcarea fiind uniform accelerată avem:

(a) 0)constanta(C Cs 11 >==&& Prin integrarea ecuaţiei (a)

obţinem viteza punctului:

θ2

θ

fig. 7.49

9. CINEMATICA MIŞCĂRII COMPUSE7.1 Cinematica punctului material 67

(b) CtCsv 21 +== & şi apoi legea de mişcare:

(c) CtCtC21s 32

21 ++=

Condiţiile iniţiale sunt: t=0, s=0, 0s =&

astfel că rezultă: C2=v0, C3=0, iar relaţiile (c) şi (b) devin respectiv:

(e) vtCsv

(d) tvtC21s

01

02

1

+==

+=

&

În punctul D, pentru t=tD (deocamdată necunoscut), se poate scrie:

5v0=C1tD+v0 , D02D1 tvtC

21R10 +=θ , unde 10Rθ este lungimea drumului

ABCD. Din sistemul de mai sus rezultă:

(f) Rv

C ;vR4t

20

10

D θ=

θ=

Expresiile (d) şi (e) cu ajutorul relaţiei (f) devin:

0

20

0

220 vt

Rvv , tv

R2tvs +

θ=+

θ=

Componenta tangentială a acceleraţiei pentru arcele de cerc AB şi CD şi în

acelaşi timp acceleraţia pe segmentul BC este dată de formula: θ

==τ Rvva

20& . Expresia

componentei normale a acceleraţiei pentru arcul AB este: 2023

20

2

n )Rtv(R2

vR2

va θ+θ

==

iar pentru arcul CD este: 2022

20

2

n )Rtv(R

vRva θ+

θ== .

9. CINEMATICA MIŞCĂRII COMPUSE

9.1. Mişcarea relativă a punctului material

9.1.1. Generalităţi În capitolele precedente , am analizat mişcarea unui punct material şi a unui

solid rigid în raport cu un sistem de referinţă presupus fix. În unele cazuri este necesar

fig. 9.1.


să raportăm mişcarea la un sistem de referinţă care se află în mişcare faţă de un sistem fix. În acest caz, se pune problema să se determine parametrii cinematici ce caracterizează mişcarea sistemului material în raport cu reperul fix, atunci când se cunosc parametri cinematici care caracterizează mişcarea în raport cu unul sau mai multe mobile.

Considerăm un punct material M în mişcare faţă de sistemul de referinţă Oxyz, care la rândul său se mişcă în raport cu un sistem de referinţă presupus fix O1x1y1z1 (fig. 9.1). În mişcarea relativă a punctului material intervin trei noţiuni importante şi anume: mişcarea absolută care este mişcarea punctului material faţă de sistemul de referinţă fix. Viteza şi acceleraţia punctului în această mişcare se vor numi viteză absolută; respectiv acceleraţia absolută; mişcarea relativă este mişcarea punctului material faţă de reperul mobil. Viteza şi acceleraţia punctului în această mişcare se numesc viteză relativă, respectiv acceleraţie relativă; mişcarea de transport este mişcarea punctului presupus solidar cu sistemul de referinţă mobil, faţă de sistemul de referinţă fix. Viteza şi acceleraţia punctului fixat de sistemul de referinţă mobil faţă de cel fix se numeşte viteză de transport, respectiv acceleraţie de transport. Pentru a studia mişcarea de transport se imobilizează punctul faţă de sistemul mobil care se va mişca cu acesta.

În general în astfel de probleme, se cunosc elementele cinematice ale mişcării relative şi a celei de transport şi se urmăresc determinarea elementelor cinematice ale mişcării absolute.

În figura 9.2. se consideră un exemplu de mişcare relativă: punctul M se mişcă pe cercul de centru O care la rândul său se roteşte în jurul punctului fix O1 în planul O1x1y1. Vom determina mişcarea absolută, relativă şi de transport ale punctului

M. Astfel, considerăm reperul mobil solidar în cercul având originea O în centrul cercului iar axa Ox de-a lungul diametrului ce trece prin punctul fix O1. Axa fixă O1x1 este orizontală.

Mişcarea absolută este mişcarea punctului M faţă de sistemul fix O1x1y1.

Mişcarea relativă este mişcarea pe cerc, faţă de sistemul Oxy şi este dată de unghiul ϕ = MOx. Mişcarea de transport este mişcarea punctului M faţă de reperul Oxy (ca şi cum ϕ =constant) faţă de reperul fix O1x1y1. Aceste punct descrie un cerc de rază O1M

)2( 11 ϕθ +=xunghiMO . Legea mişcării absolut a punctului M (fig. 9.1) este:

rrr += 01 (9.1)

fig. 9.2


unde MOr 11 = este vectorul de poziţie al punctului M faţă de reperul fix, OOr 10 =

este vectorul de poziţie al originii reperului mobil faţă de cel fix şi OMr = este vectorul de poziţie al punctului M faţă de sistemul de referinţă mobil.

Legea mişcării absolute a punctului M se scrie vectorial:

1111111 kzjyixr ++= (9.2) sau scalar:

)(11 txx = ; )(11 tyy = ; )(11 tzz = (9.3) ceea ce mai înseamnă şi ecuaţiile parametrice ale traiectoriei absolute a punctului M.

Legea mişcării relative a punctului M se scrie vectorial: jyixr += kz+ (9.4)

sau scalar: x = x(t); y = y(t); z = z(t); (9.5)

deci relaţiile (9.5) pot fi considerate şi ca ecuaţii parametrice ale traiectoriei relative a punctului M.

Legea de mişcare a originii reperului mobil faţă de reperul fix este dată de vectorul:

r 0 = x0 i 1 + y0 j 1 + z0 k 1 (9.6) deci de scalarii:

x0 = x0(t); y0 = y0(t); z0 = z0(t); (9.7) Relaţiile (9.7) împreună cu cosinuşii directori ai axelor mobile faţă de cele

fixe, determină poziţia sistemului de referinţă mobil faţă de sistemul de referinţă fix.

9.1.2. Compunerea vitezelor în mişcarea relativă Prin derivarea relaţiei (9.1) în raport cu timpul şi ţinând seama că vectorul

r este definit în raport cu sistemul de referinţă mobil, obţinem: r& 1 = r& 0 + r& (9.8)

r& 1 = ω × r + tr∂∂

(9.9)

Observăm că: r& 0 = 0v (9.10)

reprezintă viteza lui O faţă de sistemul de referinţă fix. Relaţia (9.8) se mai scrie:

r& 0 = 0v + tr∂∂

+ ω × r (9.11)

Din definiţiile date în paragraful 9.1., rezultă: Viteza punctului M faţă de sistemul de referinţă fix, este viteza absolută:

av = r& 1 (9.12)


Viteza punctului M faţă de sistemul de referinţă mobil, ca şi cum ar fi fix, este viteza relativă:

rv = tr∂∂

(9.13)

Viteza punctului M fixat de reperul mobil în mişcare faţă de sistemul de referinţă fix, este viteza de transport:

tv = 0v + ω × r (9.14) Relaţiile (9.11), (9.12), (9.13) şi (9.14) conduc la relaţia de compunere a

vitezelor în mişcarea relativă a punctului material: av = rv + tv (9.15)

9.1.3. Compunerea acceleraţiilor în mişcarea relativă Pentru determinarea acceleraţiilor, vom deriva relaţia (9.11) în raport cu

timpul:

=1r&& 0v& + rrtr

dtd && ×+×+

∂∂ ωω)( (9.16)

Vectorul tr∂∂

este raportat la sistemul de referinţă mobil şi deci derivata sa

absolută va fi:

)(tr

dtd

∂∂

= )(tr

dtd

∂∂

+ ×ω )(tr∂∂

= 2

2

tr

∂∂

+ ×ω )(tr∂∂

(9.17)

Acceleraţia originii reperului mobil este: =aa 0v& (9.18)

Din relaţiile (9.17), (9.18) şi (9.19) rezultă:

)(2

2

01 rtrr

tr

trar ×+

∂∂

×+×+∂∂

×+∂∂

+= ωωεω&&

sau:

tr2)r(ra

trr 02

21 ∂

∂×ω+×ω×ω+×ε++

∂

∂=&& (9.19)

Din definiţiile anterioare, rezultă: Acceleraţia punctului M faţă de sistemul de referinţă fix şi deci acceleraţia

absolută a punctului, este:

1raa&&= (9.20)

Acceleraţia punctului M faţă de sistemul de referinţă mobil ca şi cum acesta ar fi fix, este acceleraţia relativă a punctului:


2

2

trar ∂

∂= (9.21)

Acceleraţia punctului M fixat de sistemul de referinţă mobil, în mişcare faţă de cel fix este acceleraţia de transport a punctului:

)(0 rraat ××+×+= ωωε (9.22) Termenul

rc vtra ×=∂∂

×= ωω 22 (9.23)

se numeşte acceleraţie Coriolis sau acceleraţie complementară şi exprimă după cum se observă, influenţa simultană a mişcării de rotaţie a sistemului de referinţă mobil şi a mişcării relative a punctului asupra acceleraţiei absolute a acestuia. Acceleraţia Coriolis este un vector perpendicular pe planul determinat de vectorii ω şi rv cu sensul dat de rotirea vectorului ω peste rv după regula de înaintare a burghiului drept. Modulul de acceleraţie Coriolis este:

),sin( 2 rrc vva ωω= (9.24) Acceleraţia Coriolis este nulă în următoarele cazuri: a) 0=ω când mişcarea sistemului de referinţă mobil este o translaţie; b) 0=rv , situaţie corespunzătoare poziţiei de echilibru relativ; c) ω şi rv sunt paraleli. Înlocuind relaţiile (9.20), (9.21) şi (9.23) în relaţia (9.19), obţinem relaţia de

compunere a acceleraţiilor în mişcarea relativă a punctului material: ctra aaaa ++= (9.25)

Aplicaţie: Să reluăm exemplul din figura 9.2. Se cunosc raza R a cercului, t1ω=ϕ , 212 ,, ωωωθ t= - constante. Să se determine viteza absolută şi acceleraţia

absolută a punctului M la un moment dat (fig. 9.3). Rezolvare Soluţie geometrică Ţinând seama de concluziile analizei

mişcării făcute anterior, vitezele componente sunt: viteza relativă rv tangentă în M la cerc cu sensul dat de creşterea unghiului ϕ şi de mărime: 1ωϕ RRvr == & . Viteza de transport

tv este perpendiculară pe O1M în sensul creşterii unghiului ϕ şi de mărime:

2cos2 21

ϕωθ RMOvt == & . fig. 9.3


Viteza absolută este vectorul diagonală a paralelogramului construit cu suporţii vectorilor rv şi tv şi de mărime:

)v,vcos(vv2vvv trtr2t

2ra ++= =

2cos)(4 2

12221

ϕωωωω ++R

Acceleraţiile componente sunt: Acceleraţia relativă ra are numai componenta normală, deoarece 1ω =constant şi deci direcţia este a razei MO cu sensul spre O şi de

mărime: 2r Ra ϕ= & 2

1Rω= . Acceleraţia de transport ta are numai componenta

normală ( ttancons2 =ω ), adică direcţia dreptei MO1 şi are sensul spre O1 cu

mărimea: 2

cos2 22

21

ϕωθ RMOat == & . Acceleraţia Coriolis ca este un vector

perpendicular pe rv situat în planul mişcării, deci are direcţia identică cu acceleraţia relativă. Din definiţia produsului vectorial, deducem că sensul vectorului ca este spre O şi are mărimea: 2112 22 ωωωω RRac == . Acceleraţia absolută aa este vectorul diagonală a paralelogramului construit cu suporţii vectorilor ta şi cr aa + iar mărimea este:

2cos)(4)2(

2cos)(2)( 22

2122

221

21

22 ϕωωωωωωϕ+++=++++= Raaaaaaa crtcrta

Soluţie analitică Problema mai poate fi rezolvată şi cu ajutorul formulelor stabilite la

paragrafele 9.2 şi 9.3. Pentru aceasta, alegem sistemele de referinţă O1x1y1 şi Oxy ca în figura 9.3. Faţă de reperul mobil, vom scrie toţi vectorii componenţi. Astfel:

k);j sini (cosROMr 2ω=ωϕ+ϕ== . Vectorul 0v îl raportăm la reperul

fix: )j cosi sin(ROOv 11210 θ+θ−ω==•

apoi la reperul mobil: jRv 20 ω= . Deci vitezele componente sunt:

) cos sin(1 jiRtrvr ϕϕω +−=∂∂

=

])cos1( sin[20 jiRrvvt ϕϕωω ++−=×+= Prin urmare, viteza absolută are expresia vectorială: jRiRvvv tra ]cos)([ sin)( 21221 ϕωωωϕωω ++++−=+=

iar mărimea

2cos)(4R]cos)([sin)(Rv 2

21221

2212

2221a

ϕω+ωω+ω=ϕω+ω+ω+ϕω+ω=

Acceleraţiile sunt:


)j sini (cosRtra 2

12

2

r ϕ+ϕω−=∂∂

=

]j sini)cos1[(R)r(raa 220t ϕ+ϕ+ω−=×ω×ω+×ε+=

)j sini (cosR2v2a 21r2c ϕ+ϕωω−=×ω= Prin urmare, acceleraţia absolută este:

jRiRaaaa ctra sin)( ]cos)([ 221

221

22 ϕωωϕωωω +−++−=++=

iar mărimea =ϕω+ω+ϕω+ω+ω= 24

2122

2122a sin)(]cos)([Ra

2212

221

21 ]

2cos)(2[)2( ϕ

ω+ωω+ω+ωω=

Se constată cu uşurinţă că rezultatele obţinute prin cele două metode sunt identice.

9.2. Compunerea a două mişcări ale corpului rigid

9.2.1. Generalităţi În cadrul cinematicii rigidului, am studiat distribuţia de viteze şi acceleraţie în

mişcarea acestuia faţă de un reper fix. În cele ce urmează, vom studia aceeaşi problemă în cazul când mişcarea se raportează la un reper mobil şi vom determina distribuţiile de viteze şi de acceleraţii în acest caz.

Vom considera un corp rigid (C) care se mişcă faţă de triedrul mobil T1 (O1x1y1). Triedrul T0 (Ox0y0z0) este fix iar triedrul T2 (O2x2y2z2) este solidar cu corpul.

În general, se cunoaşte mişcarea corpului faţă de triedrul mobil (T1) precum şi mişcarea triedrului mobil (T1) faţă de triedrul fix (T0) şi ne punem problema să determinăm mişcarea corpului faţă de triedrul fix (T0). Pentru studiul vitezelor şi acceleraţiilor se alege un punct arbitrar M din rigid. Mişcarea corpului faţă de triedrul mobil (T1) este definită de vectorii:

21v - viteza originii triedrului T2 faţă de triedrul T1; 21a - acceleraţia originii triedrului T2 faţă de triedrul T1; 21ω - viteza unghiulară a corpului faţă de triedrul T1; 21ε - acceleraţia unghiulară a corpului faţă de triedrul T1; Mişcarea triedrului (T1) faţă de triedrul fix T0 este definita de vectorii: 10v - viteza originii triedrului (T1) faţă de triedrul (T0); 10a - acceleraţia originii triedrului (T1) faţă de triedrul (T0);


10ω - viteza unghiulară în mişcarea triedrului (T1) faţă de (T0); 10ε - acceleraţia unghiulară în mişcarea triedrului (T1) faţă de (T0); Mişcarea corpului rigid (C) faţă de triedrul fix (T0) se numeşte mişcare

absolută, iar mişcarea corpului, deci a triedrului (T2) faţă de triedrul (T1) reprezintă mişcarea relativă a corpului. Mişcarea corpului (C) solidar cu triedrul (T1) faţă de triedrul fix (T0) este mişcarea de transport a corpului.

Considerăm cunoscuţi parametrii cinematici ai mişcărilor relativă şi de transport şi anume: 21v , 21a , 21ω , 21ε , parametrii ce caracterizează mişcarea reperului (T2) faţă de (T1) şi 10v , 10a , 10ω , 10ε , parametrii ce caracterizează mişcarea reperului (T1) faţă de reperul fix (T0).

Un punct arbitrar M din corp este definit de vectorii de poziţie MOr 22 = în raport cu originea reperului (T2);

MOr 11 = în raport cu originea

reperului (T1); OMr = în raport cu originea reperului fix (T0).(fig. 9.4).

Pentru vectorii de poziţie ai punctelor O2 şi O1 faţă de reperul fix (T0), vom folosi notaţiile: 220 OOr = ;

110 OOr = iar poziţia punctului O2 faţă de O1 este dată de vectorul de poziţie

2121 OOr = . Pentru a determina distribuţia de viteze şi de acceleraţii trebuie sa

determinăm viteza absolută şi acceleraţia absolută a punctului arbitrar M precum şi vectorii viteză unghiulară absolută 20ω şi acceleraţia unghiulară absolută 20ε în mişcarea corpului faţă de triedrul fix (T0).

Legea mişcării absolute a punctului M se scrie în formă vectorial astfel: 22022110 rrrrrr +=++= (9.26)

9.2.2. Distribuţia de viteze Viteza punctului arbitrar M al corpului faţă de triedrul fix (T0) se obţine

folosind rezultatele de la paragraful 9.1.2., deoarece putem considera că punctul M se mişcă faţă de triedrul (T1) care se mişcă la rândul său faţă de (T0).

Viteza relativă a punctului M este viteza lui M faţă de triedrul (T1). Punctul M este solidar legat cu triedrul (T2), astfel că:

fig. 9.4


22121 rvvr ×+= ω (9.27) Viteza de transport a punctului M este viteza punctului M solidar legat cu

triedrul (T1) faţă de triedrul fix (T0), deci: 11010 rvvt ×+= ω (9.28)

Viteza absolută se calculează cu formula tra vvv += (9.29)

de unde viteza absoluta a lui M solidar legat cu triedrul (T2) fata de triedrul fix (T0) este:

221110211020 rrvvvv aM ×+×++== ωω (9.30)

Relaţia (9.30) nu permite determinarea vitezei absolute a punctelor corpului in funcţie de parametrii cinematici ai mişcărilor componentei.

9.2.3 Distribuţia de acceleraţii În cele ce urmează, vom folosi rezultatele de la paragraful 9.1.3. Astfel,

acceleraţia relativă a punctului M este acceleraţia lui M faţa de triedrul (T1) ( )2212122121 rraar ××+×+= ωωε (9.31)

Acceleraţia de transport a punctului M este acceleraţia lui M solidar legat de triedrul (T1) faţă de reperul fix (T0) :

( )1101011010 rraat ××+×+= ωωε (9.32) Acceleraţia Coriolis se va calcula cu viteza unghiulară de transport 10ωω =

şi cu viteza relativă dată de formula (9.27), deci : ( )221211022 rvva rc ×+×=×= ωωω (9.33)

Expresia acceleraţiei absolute a punctului M al rigidului se obţine folosind formula (9.25):

( )( ) ( ) (9.34) rv2r

rrraaaaaaa

221211022121

110102211102110ctraM20

×ω+×ω+×ω×ω+

+×ω×ω+×ε+×ε++=++==

Relaţia (9.34) ne permite determinarea acceleraţiei absolute a punctelor corpului in funcţie de parametrii cinematici ai mişcărilor componente.

9.3. Compunerea a n mişcări instantanee ale corpului rigid În paragraful anterior, am considerat un singur reper intermediar mobil. In

cele ce urmează vom considera reperul fix (T0) şi reperele intermediare (T1), (T2), … , (Tn-1) mobile ce execută mişcări unul faţă de celălalt. De asemenea reperul (Tn) este


fixat de corpul (C). Vom determina mişcarea punctului M din corp in raport cu reperul fix (T0), cunoscând mişcările relative ale fiecărui triedru de referinţă faţă de triedrul precedent.

Parametrii cinematici ce caracterizează mişcarea relativă a triedrului (Tk+1) faţă de triedrul (Tk) sunt : 1,1,,,, ,1,1,1,1 −=∀++++ nkav kkkkkkkk εω iar poziţia

punctului M faţă de triedrul (Tk) este definită de vectorul de poziţie MOr kk = ,

nk ,1= iar faţă de triedrul fix (T0) de vectorul de poziţie OMr = . Originea 1+kO a triedrului (Tk+1) faţă de triedrul (Tk) este definită prin vectorul de poziţie

1,1 ++ = kkkk OOr . Legea mişcării absolute a punctului arbitrar M din corp se scrie vectorial sub forma :

∑=

−− +=++++=n

knkknnn rrrrrrr

11,1,1,20,1 ... (9.35)

9.3.1. Distribuţia de viteze Relaţia (9.30) a vitezei absolute 20v a punctului M în cazul unei singure

mişcări relative şi a unei singure mişcări de transport a corpului (C) poate fi generalizată prin inducţie completă la cazul unei mişcări relative şi n-1 mişcări de transport. În acest caz, expresia vitezei absolute a punctului M este :

∑∑=

−=

− ×ω+==n

1kk1k,k

n

1k1k,k

M0,n rvvv (9.36)

Pentru demonstrarea prin inducţie completă a acestei relaţii, facem observaţia că pentru n=2 relaţia (9.36) a fost demonstrată in paragraful 9.2.2. Pentru a demonstra relaţia (9.36) în care în locul lui n se consideră n+1, adică :

∑∑+

=−

+

=−+ ×ω+=

1n

1kk1k,k

1n

1k1k,k

M0,1n rvv (9.36’)

facem observaţia că primele n mişcări le considerăm mişcări de transport şi deci viteza de transport are forma :

∑∑=

−=

− ×+==n

kkkk

n

kkk

Mnt rvvv

11,

11,0, ω (9.36’’)

iar a “n+1”-a mişcare este mişcarea relativă: viteza punctului M fixat de reperul (Tn+1) faţă de reperul (Tn) este viteza relativă a punctului :

1,1,1 +++ ×+= nnnnnr rvv ω (9.37) Viteza absolută a punctului M în acest caz este :


Mntra vvvv 0,1+=+= (9.38)

unde Mnv 0,1+ este dată de relaţia (9.36’), ceea ce demonstrează formula generală (9.36). Pentru a calcula viteza unghiulară instantanee a corpului (C) faţă de reperul

fix 0,nω , considerăm punctele M si N din rigid, astfel că aplicând formula (9.36) pentru fiecare punct, se poate scrie :

∑∑=

−=

− ×+=n

kikk

n

kkkM MOvv

11,

11, ω (9.39)

∑∑=

−=

− ×+=n

kikk

n

kkkN NOvv

11,

11, ω (9.40)

Ţinând seama de relaţia vectorială MNMONO ii += (9.41)

formula (9.40) devine :

MNvMNMOvvn

1k1k,kM

n

1k1k,k

n

1ki1k,k

n

1k1k,kN ×⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ω+=×ω+×ω+= ∑∑∑∑

=−

=−

=−

=− (9.42)

Dar punctele M si N fiind din rigid, putem scrie relaţia lui Euler între vitezele celor două puncte, sub forma :

MNvv MN ×+= ω (9.43) Comparând relaţiile (9.42) si (9.43), deducem formula vitezei unghiulare

instantanee a corpului (C) faţă de reperul fix :

∑=

−==n

kkkn

11,0, ωωω (9.44)

Deci viteza absolută (instantanee) în mişcarea compusă a rigidului, este suma vectorială a vitezelor unghiulare relative a mişcărilor componente.

Cu ajutorul vectorilor Mv si 0,nω se poate determina distribuţia de viteze a rigidului. Astfel un punct arbitrar P din rigid va avea viteza absoluta in funcţie de

Mv de forma :

MPvv nMp ×+= 0,ω (9.45) Relaţia (9.45) arată că vitezele absolute ale diferitelor puncte ale rigidului

sunt vectori legaţi, asemănători vectorilor moment din statică. Vectorii viteză unghiulară sunt vectori alunecători, asemănători cu vectorii forţă din statică, formula (9.44) este analoagă celei cu care se calculează forţa rezultantă. Se poate face o analogie formală cu relaţiile din statică care dau rezultanta şi momentul rezultant. Vectorul viteză unghiulară absolută o,nω este analog vectorului rezultant R iar

vectorul viteză absolută pv este analog vectorului moment rezultant pM în raport cu


punctul P. Determinarea vectorilor 0,nω şi pv se face deci efectuând reducerea

vectorilor alunecători 1, −kkω şi a vectorilor liberi 1, −kkv în punctul P. În baza acestei analogii, aşa cum în statistică din analiza torsorului de

reducere într-un punct, R şi pM s-au tras concluzii asupra sistemului de forţe, tot

astfel din cercetarea vectorilor 0,nω şi pv se pot trage concluzii asupra mişcării rezultante.

Discuţia asupra distribuţiei de viteze în cazul mişcării rezultante, este rezumată în cele ce urmează prin analogie cu cazurile de reducere :

I. Dacă 0vP0,n ≠⋅ω , distribuţia de viteze este aceea a unei mişcări

rezultante de rotranslaţie cu viteza unghiulară 0,nω în jurul unei axe ce trece prin punctul M, definit în raport cu punctul P prin vectorul

20,

0,

n

pn vPM

ωω ×

= (9.46)

Viteza de alunecare u în lungul axei instantanee este dată de formula :

0,20,

0,n

n

pn vu ω

ωω ⋅

= (9.47)

II. Dacă 00, =⋅ pn vω şi 00, ≠nω viteza de lunecare u este zero, deci corpul

are o distribuţie de viteze specifică unei rotaţii cu viteza unghiulară 0,nω în jurul unei axe ce trece prin punctul M definit prin relaţia (9.46).

III. Dacă 00, =nω şi 0≠v distribuţia de viteze este specifică unei

translaţii de viteză pv .

IV. Dacă 00, =nω şi 0=v , vitezele tuturor punctelor rigidului sunt nule şi deci rigidul este în repaus faţă de sistemul fix.

9.3.2 Distribuţia de acceleraţii Expresia (9.34) obţinută pentru acceleraţia absolută a punctului M din corp în

cazul unei mişcării relative şi a unei singure mişcări de transport se poate generaliza prin recurenţă în cazul unei mişcări relative şi n-1 mişcări de transport. Astfel, considerăm punctul M din corp fixat de reperul arbitrar (Tk+1). Procedând ca în paragraful 9.2.3 avem următoarele componente :

Acceleraţia relativă este : ( )1,1,11,1,1 ++++++ ××+×+= kkkkkkkkkkr rraa ωωε (9.48)


Acceleraţia de transport este : Mkt aa 0,= (9.49)

iar acceleraţia Coriolis : ( )1,1,10,0, 22 +++ ×+×=×= kkkkkkrkc rvva ωωω (9.50)

Acceleraţia absolută a punctului M o notăm Mka 0,1+ şi se obţine din formulele

(9.48), (9.49) şi (9.50) folosind relaţia (9.34) : ( )+×ω×ω+×ε++= +++++++ 1kk,1kk,1k1kk,1kk,1k

M0,k

M0,1k rraaa

( )1kk,1kk,1k0,k rv2 +++ ×ω+×ω (9.51)

În relaţia (9.51), înlocuim pe rând pe 1,0 −= nk şi obţinem succesiv : ( ) 00 10,10,110,10,10,1 +××+×++= rraa M ωωε

( ) ( )21,21,20,121,21,221,21,20,10,2 2 rvrraaa MM ×+×+××+×++= ωωωωε

( ) ( )32,32,31,20,132,32,332,32,3M

0,2M

0,3 rv)(2rraaa ×ω+×ω+ω+×ω×ω+×ε++= ……

( )+×ω×ω+×ε++= −−−−− n1n,n1n,nn1n,n1n,n0,1nM

0,n rraaa

( ) ( )n1n,n1n,n2n,1n0,1 rv....2 ×ω+×ω++ω×+ −−−− (9.52) Relaţiile (9.52) le adunăm termen cu termen, reducem termenii

Mn

MM aaa 0,10,20,1 ..., − şi obţinem formula căutată pentru distribuţia de acceleraţii în mişcarea compusă :

( ) ( )+×ω×ω+×ε+= ∑∑∑=

−−=

−=

−

n

1kk1k,k1k,k

n

1kk1k,k

n

1k1k,k

M0,n rraa

( )∑∑=

−

=−−− ×ω+×ω

n

2k

1k

1jx1k,k1k,k1j,j rv2 (9.53)

Pentru determinarea acceleraţiei unghiulare instantanee 0,nε din mişcarea absolută a triedrului (Tn) faţă de triedrul fix (T0), vom folosi formula de definiţie :

∑∑=

−=

− =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==

n

kkk

n

kkknn dt

ddtd

dtd

11,

11,0,0, ωωωε (9.54)

Dar vectorii 1, −kkω au fost definiţi prin proiecţiile lor pe sistemul de referinţă mobil (Tk), astfel că putem scrie :

1,1

1,1,1,0,1,1, −=

−−−−− ×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=×+

∂∂

= ∑ kk

k

jjjkkkkkkkkk tdt

d ωωεωωωω (9.55)

unde am folosit relaţia :


1,1, −− =∂∂

kkkktεω

Ţinând seama că 01,1, =× −− kkkk ωω şi cu ajutorul relaţiei (9.52) formula (9.51) capătă forma finală:

∑ ∑∑= =

−

=−−− ×+=

n

k

n

k

k

jkkjjkkn

1 2

1

11,1,1,0, ωωεε (9.57)

Acceleraţia absolută a unui punct oarecare N se obţine folosind formula generală a distribuţiei de acceleraţii:

)( 0,0,0, MNMNaa nnnMN ××+×+= ωωε (9.58) Aplicaţie: Se consideră mecanismul din figura 9.5 cu dimensiunile:

OA=O’B=1, O1A=O1B=O1D=1/2, OO’=a. Paralelogramul articulat OABO’ se mişcă în planul fix Oy0z0 astfel încât AOO’=ωt. Bara cotită în unghi drept O1DE rămâne tot timpul mişcării paralelă cu planul fix Ox0y0 şi AO1D=2ωt, (ω=constantă). Punctul M se deplasează pe porţiunea DE după legea DM=aω t (ω=constantă). Să se determine:

Viteza şi acceleraţia absolută a punctului M; Viteza şi acceleraţia unghiulară absolută; Viteza şi acceleraţia punctului E. Rezolvare. Reperul (T1) îl alegem cu originea în O1 (mijlocul lui AB) cu

axele paralele cu cele fixe, deoarece bara AB are o mişcare de translaţie. Reperul (T2) îl alegem cu originea în D, axele O2z2 şi Oz0 paralele iar O2x2 este de-a lungul dreptei DE. Reperul (T3) este paralel cu (T2) şi O3=M.

Pentru determinarea vitezei punctului M, vom apela la formula (9.36) în care vom calcula următorii termeni: deoarece bara AB execută o mişcare de translaţie,

fig.9.5


rezultă: •

== OAvv A10 unde: ) sin (cos 0kttjlOA ωω += şi deci:

) cos sin( 0010 ktjtlv ωωω +−= Punctul O2 are faţă de reperul (T1) o mişcare circulară (iar bara O1DE o

mişcare de rotaţie în jurul axei O1z1), iar (T3) faţă de (T2) de translaţie, deci:

0022121 sin2 2cos2 2 jtaitaiaOOv ωωωωω +===•

00232 2sin 2cos jtaitaMOv ωωωω +==•

Vectorii viteză şi acceleraţie unghiulară sunt: 010 =ω ; 021 2 kωω = ; 032 =ω Vectorii de poziţie ai punctului M sunt: 0 ; 2sin 2cos 300222 =+=== rjttaittaitaMOr ωωωωω Viteza absolută a punctului M devine:

]k t coslj)t sinlt 2cost a 2t 2sina 3(

i)t 2sint 2t 2cos3( a[ rvvvvv

00

0221322110M

30M

ω+ω−ωω+ω+

+ωω−ωω=×ω+++== −

Mărimea vitezei este

t 2cos sin t l a 4t 2sint sinl a 6la9ta4v 22222M ωωω−ωω−++ωω=

Acceleraţia se determină cu formula (9.53) în care apar şi termenii următori: ) sin (cos 00

21010 ktjtlvaa A ωωω +−=== &

21a =4 a ωωω 2(sin4 22

2 aj −= t 0i -cos 2 ω t 0j )

32a =0 =21ε ,021 =ω& 032 =ε

Acceleraţia punctului M devine: =×+××+++== −

32212212132211030 2)( vraaaaa MM ωωω – 4 a 2ω (2 sin2ω t+ + t cos2ω t) cos(2

0 li −+ω ω t + 8 a cos2ω t – 4 a

t sin2ω t) ωω sin20 lj − t 0k

Mărimea acceleraţiei punctului M este:

a M = tttlattlaltaa 2sin cos 8 2cos cos 161664 22222 ωωωωω +−++ b) Viteza unghiulară absolută este: ωωωω 2211020 =+= 0k iar

acceleraţia unghiulară absolută este: 02020 == ωε &


c) Viteza punctului E este dată de formula (9.30) deoarece nu mai este necesar reperul (T 3 ). Calculele sunt asemănătoare celor de la a) cu menţiunea ca

32v =0. Se obţin :

2=Ev a ω ( 2cos ω t ω− t sin 2ω t) ω+0i (2 a sin 2ω t + 2 a ω t cos 2ω t –

– l sin ω t) 0j + l+ ω cos ω t 0k

4−=Ea a 2ω (sin 2 ω t + ω t cos 2ω t) cos(20 li ω− ω t +4 a ω t sin

2ω t – 4acos 2 ωωω sin) 20 ljt − t 0k

9.3.3. Cazuri particulare de compuneri de mişcări Rigidul solidar legat de reperul (T n ) are anumite mişcări particulare in raport

cu triedrele (T )1−n ,…, (T )0 , dar care sunt întâlnite mai des in practică. Compunerii de translaţii Mişcările relative ale triedrelor mobile (T (),1 T )2 ,…, (T )1−n sunt translaţii,

ceea ce înseamnă: ,01, =−kkω ,01, =−kkε k= n,1 (9.59)

Relaţiile (9.36),(9.53),(9.44) respectiv (9.54) devin:

∑=

−− =

n

kkk

Mn vv

11,0, (9.60)

∑=

−− =

n

kkk

Mn aa

11,0, (9.61)

∑−

−− ==

n

kkk

Mn

11,0, 0ωω (9.62)

∑ ∑∑= =

−

−

=−− =×+=

n

k

n

kkk

k

jjjkkn

1 21,

1

11,1,0, 0ωωεε (9.63)

Daca 00, ≠nv , distribuţia de viteze este a unei mişcării de translaţie. Folosind analogia cu cazurile de reducere din statică, acest caz corespunde sistemelor de cupluri din statică, vectorul M

nv−0, este un vector liber ca si vectorul moment al unui

cuplu de vectori din statică. Cazul corespunde stării de repaus pentru reperul(T n ).


Aplicaţie: Mecanismul din figura 9.6 se deplasează într-un plan după direcţiile d 1 ⊥ d 2 , d 3 || d 1 cu vitezele de mărimi .3,2,1,2 == kktvk Să se determine distribuţia de viteze si acceleraţii pentru bara 3.

Rezolvare: Fiecare din cele trei bare are o mişcare de translaţie, ceea ce înseamnă ca suntem în cazul compunerii de translaţii. Viteza unui punct arbitrar al

barei 3 este 321 vvvvM ++= si are mărimea 52)( 22

231 =++= vvvvM 2t .

Acceleraţia punctului M este: 321321 vvvaaaaM&&& ++=++= iar mărimea

54)( 22

231 =++= aaaaM t

Compuneri de rotaţii concurente Presupunem că toate mişcările relative ale

triedrelor (T )1 ,(T )2 ,…,(T )n sunt rotaţii sau au distribuţii de viteze caracteristice rotaţiilor, vectorii ,1, −kkω nk ,1= având suporturile concurente intr-un punct O. Fără a particulariza problema, presupunem ca toate originile 0 k ,

k= n,1 ale reperelor mobile sunt în punctul fix O. In acest caz, rezultă:

;01, =−kkv ,OMrrk == k= n,1 (9.64) Vitezele sunt arbitrare. Din formulele

(9.44) respectiv (9.36) deducem:

∑=

−=n

kkkn

11,0, ωω (9.65)

∑=

−− ×=

n

kkkk

Mn rv

11,0, ω =( rr on

n

kkk ×=×∑

=− ,

11, ) ωω (9.66)

Din relaţiile (9.64) rezultă că din compunerea de mişcări de rotaţie cu axe concurente în O, sau cu distribuţii de viteze caracteristice rotaţiei având axele instantanee de rotaţie concurente în acelaşi punct O se obţine o mişcare rezultantă cu o distribuţie de viteze de rotaţie a cărei axă instantanee de rotaţie trece prin punctul O şi a cărei viteză unghiulară de rotaţie este suma vectorială a vitezelor unghiulare ale mişcărilor componente. In particular, daca 00, =nω se obţine o stare de repaus.

Acceleraţia absolută a punctului M data de relaţia (9.53), devine:

∑ ∑∑∑=

−

=−−

=−−

=−

− ××+××+×=n

k

k

jkkjj

n

kkkkk

n

kkk

Mon rrra

1

1

11,1,

21,1,

11,, )(2)()( ωωωωε (9.67)

fig. 9.6


Acceleraţia unghiulara absoluta 0,nε a corpului (C) data de relaţia (9.54) este diferită de zero chiar si in cazul in care rotaţiile relative sunt uniforme, adică

,01, =−kkε k= n,1 si deoarece 00,0, ≠× nn ωε , distribuţia de acceleraţii a mişcării rezultante este specifica distribuţiei de acceleraţii in mişcarea rigidului cu punct fix

Aplicaţie: (vezi problema 8.8.10) Suportul de fixare al carcasei unui motor electric se roteşte cu viteza unghiulară constantă 1ω în jurul unei axe care face unghiul α =constant cu axul motorului. Pe axul motorului se află un disc care are o viteză unghiulară constantă 2ω . Să se determine viteza şi acceleraţia unghiulară absolută a rotorului (fig. 9.7).

Rezolvare. Avem un exemplu de două rotaţii concurente. Din relaţia (9.65)

rezultă: 210,2 ω+ω=ω cu mărimea

0,2ω = αωωωω cos2 2122

21 ++ . Acceleraţia

unghiulară absolută se determină din relaţia (9.57) cu menţiunea că ,00,11 == εε 01,22 =ε=ε şi

deci : 210,2 ω×ω=ε . Vectorul 0,2ε este perpendicular pe planul determinat de suporturile celor doi vectori viteze unghiulare şi cu mărimea dată de relaţia : 0,2ε = αωω sin21

Compuneri de rotaţii paralele In acest caz, mişcările relative ale triedrelor (T 1 ), (T 2 ),…(T n ) sunt rotaţii cu

axele paralele sau mişcări de distribuţii de viteze caracteristice mişcării de rotaţie. Alegem originile O k ale triedrelor (T k ) pe axele de rotaţie ( sau se află în repaus) şi deci :

,0v 1k,k =− nk ,1= (9.68) Vitezele unghiulare instantanee relative sunt vectori paraleli cu o direcţie

comună, astfel că putem scrie : ,1,1, ukkkk −− = ωω nk ,1= (9.69)

unde u este versorul direcţiei comune. Din relaţia (9.44) deducem viteza unghiulară instantanee:

u)(n

1k1k,k

n

1k1k,k0,n ∑∑

=−

−− ω=ω=ω (9.70)

de unde rezultă modulul vitezei unghiulare instantanee:

fig. 9.7


∑=

−=n

kkkn

11,0, ωω (9.71)

Din relaţia (9.36), ţinând seama de relaţiile (9.69) deducem expresia vitezei absolute a punctului M:

∑∑=

−=

−− ×=×=

n

kkkk

n

kkkk

Mn ruruv

11,

11,0. )()( ωω (9.72)

Acceleraţia unghiulară instantanee a corpului (C) dată de relaţia (9.57) are expresia:

∑ ∑= =

−− ==n

k

n

kkkkkn u

1 11,1,0, )( εεε (9.73)

Acceleraţia absolută a punctului M data de formula (9.53) este în acest caz :

∑ ∑=

−=

−−− +××+×=

n

kkkk

n

kkkkkk

Mn rra

11,

11,1,0, 2)()( ωωε

)( 1,

1

11,

2kkk

k

jjj

n

kr×× −

−

=−

=∑∑ ωω (9.74)

Relaţia (9.72) arată că vectorii 0,nv şi u sunt ortogonali, aceeaşi concluzie

reiese şi pentru vectorii 0,nv şi 0,nω deoarece vectorii 0,nω si u sunt paraleli. Rezultă :

0. 0,0, =−n

Mnv ω (9.75)

În cadrul compunerii rotaţiilor paralele se disting două cazuri, după cum

∑=

− ≠=n

kkkn

11,0, 0ωω sau 0,nω =0.

Cazul 0,nω ≠ 0. Relaţia (9.72) se mai scrie :

∑=

−− =

n

kkk

Mn uv

11,0, )( ω cnn

kkk

k

n

kkk

rr

×=×

∑

∑

=−

=−

0,

11,

11,

ωω

ω (9.76)

unde am înmulţit si împărţit cu scalarul ∑=

− ≠n

kkk

11, 0ω , viteza absolută a punctului M

punând in evidenţă vectorul de poziţie Cr al vectorilor paraleli ,1, −kkω care analog centrului forţelor paralele, este definit de expresia:


CMr

r n

1k1k,k

n

1kC1k,k

C =ω

ω=

∑

∑

=−

=−

(9.77)

Relaţia (9.76) demonstrează ca distribuţia de viteze a mişcării rezultante este o distribuţie de viteze de rotaţie cu viteza unghiulară 0,nω şi a cărei axa instantanee de rotaţie trece prin punctul C, centrul roţilor paralele definit de relaţia vectorială

∑

∑

=−

=−

ω

ω

=n

1k1k,k

n

1kk1k,k OO

CO (9.78)

Acest lucru rezultă imediat ţinând seama de relaţia nkOOOMMOr kkk ,1, =−== (9.79)

Care înlocuită în formula (9.77), conduce la relaţia:

=

ω

−ω

=

ω

ω

=

∑

∑

∑

∑

=−

=−

=−

=−

n

1k1k,k

kn

1k1k,k

n

1k1k,k

n

1kk1k,k

C

)OOOM(rr

CMOCOMOO

OM n

1k1k,k

k

n

1k1k,k

=−=ω

ω−=

∑

∑

=−

=−

(9.80)

Cazul .00, =nω Considerăm punctele arbitrare M şi N din corp. Viteza punctului M, conform relaţiei (9.72) se scrie sub forma:

MOuv k

n

kkk

Mn ∑

=−

− ×=1

1,0, ω (9.81)

Folosind identitatea NMNOMO kk += (9.82)

în relaţia (9.81), obţinem

NOuv k

n

kkk

Mn ∑

=−

− ×=1

1,0, ω + )(1

1,∑=

−×n

kkku ω NM (9.83)


Dar ∑=

n

k 101, =−kkω , astfel că relaţia (9.83) devine :

∑=

−− ×=

n

kkk

Mn uv

11,0, ω NOk

N0,nv= (9.84)

Punctele M şi N sunt alese arbitrar, prin urmare toate punctele rigidului au la un moment dat aceeaşi viteză, deci mişcarea rezultantă are o distribuţie de viteze caracteristică translaţiei.

În concluzie, din compunerea de mişcări de rotaţii cu axele instantanee paralele, se obţine o mişcare rezultantă care are fie o distribuţie de viteze caracteristică rotaţiei, fie una caracteristică translaţiei, după cum vectorul 0,nω este sau nu zero

Aplicaţii: 1. Arborele unui rulment se roteşte in jurul axei sale cu viteza unghiulara 1ω . Să se determine viteza unghiulară absolută a unei bile de rulment şi viteza centrului sau C. Se cunosc raza R a arborelui, diametrul d al bilei şi faptul că nu există alunecare între arbore, bile şi lagăr (fig 9.8)

Rezolvare. Viteza unghiulară absolută 0,2ω este rezultatul a două rotaţii

paralele : rotaţia arborelui cu viteza unghiulară 1ω în jurul axei sale şi rotaţia relativă a bilei faţă de arbore cu viteza unghiulară 2ω (necunoscută) în jurul axei instantanee ce trece prin punctul B, deoarece viteza relativă dintre arbore şi bilă este nulă, neavând alunecare. Suportul lui 20ω trece prin punctul A deoarece viteza acestui punct de pe bielă este egală cu viteza lagărului, care prin convenţie se consideră în repaus. Deci se poate scrie:

210,2 ω+ω=ω , 120,2 ωωω −=

fig. 9.8 fig. 9.9


Am luat în considerare faptul că vectorii sunt de sensuri contrare. Ţinând seama de analogia cu reducerea forţelor paralele de la statică, avem:

RdRd0,221 ωωω

=+

= de unde rezultă : 10,2 ωωdR

= . Viteza punctului C este :

10,2 21 ωω RACvC ==

2. În cazul particular n=2 şi 00,2 =ω , cele două viteze unghiulare

componente 0,1ω şi 0,2ω formează un cuplu de rotaţie 0,20,1 ωω −= . Distribuţia de

viteze este specifică unei translaţii cu viteza dv ×= 10ω , unde d este distanţa dintre suporţii paraleli ai vectorilor 0,1ω şi 0,2ω . Vectorul v este perpendicular pe planul determinat de cele două axe şi are sensul dat de regula burghiului drept. Deci orice viteză de translaţie se poate înlocui printr-un cuplu de rotaţie.

În figura 9.9 se consideră un astfel de exemplu. Roata unui scrânciob are o mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară ω în jurul centrului său O. Scaunul scrânciobului execută o mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară ω în jurul punctului A cu aceeaşi viteză unghiulară ω dar în sens opus. Deci scaunul scrânciobului execută o mişcare de translaţie, toate punctele având la un moment dat aceeaşi viteză şi anume:

Rvv AM ω==

9.4. Probleme 9.4.1. Mecanismul din figura 9.10 se deplasează pe planul fix O1x1y1 astfel

încât AO1x1=ωt, ω=constant. Punctul M se deplasează pe latura OB după legea OM=(1/2)t2+t. Se cunosc : O1A=OA=OB=AB=1. Să se determine :

a) viteza absolută a punctului M;

b) acceleraţia absolută a punctului M.

Rezolvare: Mişcarea relativă a punctului M este mişcarea rectilinie de-a lungul laturii OB a triunghiului echilateral ABC. Mişcarea plăcii OAB este o mişcare plană iar mişcarea de transport este mişcarea

y1

y

I

ω1

x

x1

O1OJ ≡

ω M

BA

θ θπ −2

6π

θ

cara

rv

a

Aa

fig. 9.10

tv


punctului M fixat pe latura OB faţă de punctul fix O1. Reperul fix l-am notat O1x1y1, iar reperul mobil Oxy cu axa Oy de-a lungul laturii OA (fig. 9.10). Toate calculele le vom efectua în raport cu reperul mobil.

Viteza relativă are forma: jtitOMdtdvr )1(

21

23)1( +++== . Pentru a

determina viteza în mişcarea de transport, trebuie să determinăm centrul instantaneu de rotaţie I al plăcii OAB. Acesta se afla la intersecţia dreptei O1A cu perpendiculara în O pe O1x1. Viteza unghiulară instantanee ωI se determină scriind viteza punctului A astfel : 1ωω AIlvA == . Din triunghiul isoscel OAI deducem AI=l, astfel că ω1=ω

Viteza de transport a punctului M este: IMvt ×= 1ω unde vectorul IM se scrie sub

forma : jlttilttIM ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= θθ 2

22

sin224

sin22

3

Rezultă viteza de transport din ultimele două relaţii :

jlttilttvt ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= θωθω 2sin

243sin2

21

41 2

222

Din prima şi ultima relaţie deducem viteza absolută a punctului M :

( )

( ) jlttt

iltttvvv tra

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+++=+=

θωωω

θω

2sin24

3121

sin221

411

23

2

222

Acceleraţia relativă a punctului M este de forma: jiva rr 21

23.

+== .

Pentru determinarea acceleraţiei de transport, trebuie să aflăm polul acceleraţiilor plăcii OAB. Pentru aceasta determinăm acceleraţia punctului A care este coliniară cu vectorul 1AO şi de mărime 2ωlaA = . Distanţa JA este de forma

laJAII

A =+

=42 ωε

din ecuaţia trigonometrică 02 ==I

Itgωεϕ rezultă

0),( 1 ==ϕJOaA deci polul J al acceleraţiilor coincide cu punctul O1. În acest fel, acceleraţia de transport a punctului M devine :

jttittlMJa It ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−==

3sin

23cos

2cos2

22

222 πθωπθθωω

Acceleraţia Coriolis este : ( )( )jitva rIC 3122 −+=×= ωω

Acceleraţia absolută a punctului M va fi :


( )

( ) ( ) jttt

ittltaaaa ctra

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−+−+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−++=++=

3sin13

21

3cos

2cos21

23

22

222

πθωω

πθωθωω

9.4.2. Conul circular drept cu vârful O şi cu unghiul plan de la vârf 2α se

roteşte în jurul axei sale cu viteza unghiulară constantă ω. Un punct material M se deplasează pe suprafaţa conului astfel încât distanţa OP de la vârful O la viteza sa absolută rămâne tot timpul mişcării aceeaşi cu distanţa OM0=d, unde M0 este poziţia iniţială a punctului M (fig 9.11). Să se determine: mişcarea relativă a punctului M; traiectoria absolută a punctului M; viteza absolută a punctului M în raport cu reperele fix şi mobil; lungimea traiectoriei absolute M0M; legea de mişcare a punctului P; traiectoria punctului P; raza de curbură a traiectoriei punctului P.

Rezolvare: a) Alegem reperul

fix O1x1y1z1 cu originea în vârful axei conului iar punctul M0 se află în planul O1x1z1. Reperul mobil Oxyz îl alegem astfel ca axele Oz1 şi Oz să coincidă iar punctul M se află în planul Oxz. Notăm unghiul x1Ox=ωt. Coordonatele absolute ale punctului M le notăm cu x1,y1,z1 iar coordonatele sale în raport cu reperul mobil x , y, z cu y=0.

Între cele două sisteme de coordonate avem relaţiile:

tcosxx1 ω= , tcosxy1 ω= , αctg1 xzz == (a)

Viteza absolută a punctului M are proiecţiile :

txtxx ωωω sincos1 −= && txtxy ωωω cossin1 += && ,

txz αctg1 && = (b)

Din triunghiul dreptunghic OMP rezultă: 222

121

21

222 dMPzyxMPOMOP =−++=−= (c) unde distanţa MP o vom interpreta ca fiind distanţa de la punctul M la planul (Q) normal pe viteza absolută a punctului M şi a cărui ecuaţie va fi, notând cu x΄, y΄, z΄

vω

y1

y

x1

α

α

M

P M0

O

fig. 9.11

tω tω

x

z1=z


coordonatele unui punct curent din planul (Q), de forma : 0,1

,1

,1 =++ zzyyxx &&& , astfel

că: ( )

21

21

21

21111112

zyxzzyyxxMP

&&&

&&&

++++

= (d)

Ţinând seama de relaţiile (a) şi (b) relaţia (d) se mai scrie în forma: ( )

( ) 2222

22222

11

xctgxctgxxMP

ωαα

++

+=&

& (d’)

Din relaţia (a) rezultă : ( )α222

121

21 1 ctgxzyx +=++ (e)

Cu ajutorul relaţiilor (d’) şi (e), relaţia (c) conduce la ecuaţia :

( ) ( )( )

22222

222222

11

1 dxctgx

ctgxxctgx =

+++

−+ωαα

α&

& sau după simplificări

( )αω 2222222 sindxxxd −=& . Ultima relaţie este o ecuaţie diferenţială care se maiscrie sub forma:

dtddxx

dx ωα

±=− 222 sin

. Cu substituţia u

dxcossinα

= suntem conduşi la soluţia

Ctu +±= αωsin şi deci

)sincos(sin

Ctdx

+±=

αωα (f)

Constanta de integrare se determină din condiţia: t=0, x=dsinα (g)

Din relaţiile (f) şi (g) rezultă C=0 şi deci, ţinând seama de paritatea funcţieicosinus, obţinem:

)sincos(sin

tdx

⋅=

αωα (f’)

Din relaţiile (a3) şi (f’) rezultă legea mişcării relative a punctului M:

)sincos(sin

tdx

⋅=

αωα ;

)sincos(sin

tdz

⋅=

αωα (h)

Traiectoria mişcării relative se obţine din ultimele relaţii prin eliminarea parametrului t : αtgzx = şi este deci generatoarea conului corespunzătoare punctului M. Legea de mişcare relativă se obţine din ultima relaţie :

)sincos(22

tdzxOM

⋅=+=

αω

b) Legea mişcării absolute a punctului M se obţine din relaţiile (a) şi (h)


)sincos(cossin

1 ttd

x⋅

=αωωα

; )sincos(

sinsin1 t

tdy⋅

=αωωα ;

)sincos(cos

1 tdz

⋅=

αωα

Eliminând timpul între ultimele trei relaţii, obţinem traiectoria absolută a punctului M care este de forma : 0tg2

121

21 =−+ αzyx evident un con cu vârful în

originea O. c) Viteza absolută a punctului M în raport cu reperul fix are proiecţiile date

de formulele (b) : ( ) ( )[ ]

( )tttttd

x⋅

⋅−⋅=

αωαωωαωαωαω

sincossincossinsincossinsinsin

21&

( ) ( )[ ]( )tsincos

tsincostcossintsintsinsinsindy 21 ⋅αω⋅αωω+αω⋅αωαω

=&

( )( )t

tdz

⋅⋅

=αω

αωααωsincos

sinsincossin21&

În raport cu reperul mobil, viteza absolută a punctului M se scrie: kvjvivv zyxa ++=

Între versorii celor două sisteme de referinţă există relaţiile : jtiti ωω sincos1 −= , jtitj ωω cossin1 += , kk =1

În raport cu reperul fix, viteza absolută a punctului M este dată de forma :

111111 kzjyixva &&& ++= Ţinând seama de ultimele trei relaţii deducem :

( )

α==⋅αω

⋅αωααω==⋅+⋅+⋅=

ω=⋅αω

αω=ω+ω−=⋅+⋅+⋅=

=⋅α

⋅ωα⋅αω=ω+ω=⋅+⋅+⋅=

ctgxz)tsin(cos

)tsinsin(cossindzkkzjkyikxv

x)tsin(cos

sindtcosytsinxkjzjjyijxv

x)tsinw(cos

tcossinsindtsinytcosxkizjiyiixv

21111111z

211111111y

2

2

11111111x

&&&&&&

&&&&&

&&&&&&

d) Lungimea arcului de curbă M0M este :

)tsintg(ddt)tsin(cos

sinddtzyxdzdydxMMt

02

t

0

21

21

21

t

0

21

21

210 ⋅αω=⋅

⋅αωαω

=++=++= ∫∫∫ &&&

e) Vectorul de poziţie al punctului P se scrie în forma: MPOMOP += (k)

Ţinând seama de formula (f’), distanţa MP dată de relaţia (d’) devine:

MP = MM)tsintg(dsinxxsin

xx02222

=⋅αω=αω+α &

&


Proiecţiile pe axele reperului mobil ale vectorului OP dat de relaţia (k) sunt :

)sincos(cosctg)sintg(ctg

)sinsin()sintg(0

)sincos(sin)sintg(

tdv

xtdxvvMPzZ

tdv

xtdvv

MPyY

tdvxtdx

vvMPxX

aa

zMP

aa

yMP

aa

xMP

⋅=⋅−=−=

⋅−=⋅−=−=

⋅=⋅−=−=

αωαααωα

αωωαω

αωααω

&

&

(i)

În raport cu reperul fix, coordonatele punctului P sunt:

)sincos(coscos]cos)sinsin(sin)sincos([sincossin]sin)sinsin(cos)sincos([sinsincos

1

1

1

tdzzttttdtytxyttttdtytxx

PP

PPP

PPP

⋅==⋅−⋅=+=⋅+⋅=−=

αωαωαωωαωαωωωαωωαωαωω

(j)

f) In raport cu reperul mobil, traiectoria punctului P se obţine din relaţiile (i) şi este arcul de sferă de rază OP=d şi centru O:

2222 dzyx PPP =++ (l) Traiectoria punctului P în reperul fix este obţinută din relatiile (j) si este

evident aceeaşi sferă dată de relaţia (l) dar ecuaţia ei este: 221

21

21 dzyx PPP =++

g) Raza de curbură a traiectoriei punctului P este raza sferei dc =ρ . 9.4.3. Punctul M se mişcă pe un cerc cu viteza v(t). Planul cercului se roteşte

în jurul unui diametru al său, astfel ca tot timpul mişcarii punctul M are viteza absolută de marime 2v(t) şi perpendiculară pe acceleraţia sa absolută. Să se determine:

a) Mişcarea relativă şi de transport a punctului M;

b) Vitezele relativă, absolută şi de transport ale punctului M;

c) Acceleraţia absolută a punctului M; d) Traiectoria absolută a punctului M. Rezolvare: Considerăm reperul mobil

Oxyz cu originea în centrul cercului, axa Oz coincide cu axa de rotaţie a planului cercului iar planul xOz coincide cu planul cercului. Originea timpului este momentul în care punctul M se află în punctul M0 pe axa Ox. Mişcarea absolută a punctului M o raportăm la reperul fix

111 zyOx care are aceeaşi origine cu reperul mobil, axa 1Oz coincide cu axa Oz iar planul 11Ozx

M y

x

z1=z

vt

y1

x1

R

O θ φ

M0

v(t)

fig. 9.12


reprezintă poziţia planului xOz în momentul iniţial. Mişcarea relativă este mişcarea punctului pe cercul dat cu unghiul θ= M0OM şi cu viteza de mărime v(t)(Fig. 9.12). Dacă notăm cu R raza cercului dat, vectorul viteză relativă este:

jRiRvr ⋅+⋅−= θθθθ cossin && (a) unde: θ&Rtvvr == )( . Unghiul ϕ al arcelor Ox1 şi Ox defineşte mişcarea de transport.

Viteza de transport este: jRvt ⋅= ϕθ &cos (b)

Viteza absolută a punctului M devine: )kcosjcosisin(Rvvv tra θθ+θϕ+⋅θθ−=+= && iar mărimea are valoarea:

θθϕθ &&& RRva 2cos222 =+= . Din ultima formulă deducem relaţia de legătură între parametrii θ şi ϕ dată de ecuaţia diferenţială:

θθ

ϕ &&cos

3= (c)

care integrată în condiţia iniţială: t=0, ϕ=0, θ=0 conduce la relaţia: )42

lntg(3π

+θ

=ϕ .

Acceleraţia relativă a punctului M este de forma : kRiRar )sincos()sincos( 22 θθθθθθθθ &&&&&& −++−=

Acceleraţia de transport este: jRiRat ⋅+⋅−= ϕθϕθ &&& coscos 2 iar acceleraţia Coriolis:

jRvka rC θϕθϕ sin22 &&& −=×= Ţinând seama de ultimele trei relaţii acceleraţia absolută devine:

+θϕθ−θϕ+θϕ+θθ+θθ−=++= j)sin2cos(Ri)cossincos(Raaaa 22ctra &&&&&&&&

k)sincos(R 2 θθ−θθ+ &&& Ţinând seama de relaţia dintre ϕ& şi θ& , ultima expresie devine:

( ) +θθ−θθθ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θθ+θ

θθ+

−= jsincoscos

R3isincoscos3Ra 22

2

a&&&&&&

( )ksincosR 2 θθ−θθ+ &&& (d) Punând condiţia ca viteza absolută şi acceleraţia absolută a punctului M să fie

perpendiculare: 0=⋅ aa av , rezultă 0cos =θθθ &&& de unde deducem singura soluţie convenabilă 0=θ&& sau:

θ=ωt, ω=constantă (e) deci mişcarea relativă a punctului M este mişcarea uniformă pe cerc de viteză

unghiulară constantă ω. Miscarea de transport este o mişcare circulară de rază


R cos ωt şi viteză unghiulară: tω

ωϕcos

3=&

b) Viteza relativă rezultă din relaţiile (a) şi (e): jtRitRvr ωωωω cossin +−= . Viteza de transport se deduce din relaţiile

(b),(c) şi (e): jRvt ω3= şi deci viteza absolută este: )cos3sin( jtjitRva ωωω ++−= (f) c) Acceleraţia absolută a punctului M o deducem din relaţia (d) în care ţinem

seama de relaţia (e):

ktRjtRit

tRaa ωωωωωω

ω sintg3cos

)cos3( 2222

−−+

−=

d) Viteza absolută dată de relaţia (f) are proiecţiile pe axele fixe tRx ωω sin1 −=& ; ωRy 31=& ; tRz ωωcos1 =&

Prin integrarea ultimelor ecuaţii şi ţinând seama de alegerea axelor fixe, deci de condiţiile iniţiale, obţinem ecuaţiile traiectoriei sub forma parametrică:

tRx ωcos1 = ; tRy ω31 = ; tRz ωsin1 = (g) Eliminând parametrul t între ecuaţiile (g), obţinem ecuaţia analitică a

traiectoriei absolute a punctului M, ca intersecţie a suprafeţelor de ecuaţii:

RyRx3

cos 11 = ;

RyRz3

sin 11 = .

9.4.4. Planul cercului de centru O2 şi rază R se roteşte în jurul axei fixe Oz0

cu viteza unghiulară constantă ω1. În acelaşi timp cercul se rostogoleşte pe axa Oz0 fără alunecare cu viteza unghiulară constantă ω2 (fig.9.13).

Să se determine: a) Viteza şi acceleraţia unui

punct arbitrar M fixat în planul cercului;

b) Locul geometric al axei instantanee a mişcării compuse, în spaţiu şi faţă de cercul mobil;

c) Să se arate că există în fiecare moment, un punct de acceleraţie nulă şi să se gasească locul geometric al acestui punct, în spaţiu şi faţă de cerc.

Rezolvare: Alegem ca

origine a timpului momentul în care punctul de contact al cercului cu axa

>

M(x2,y2).O2 ω2t

ω1t O1

x1

y0

y1

y2

x2

z0

z2

x0

A0

z1 O

A`0

1ω

2ω

O`2

fig. 9.13


fixă se află în punctul fix O. Reperul fix Ox0y0z0 îl alegem astfel încât planul Ox0z0 să coincidă cu planul cercului în poziţia iniţială. Reperul mobil O1x1y1z1 îl alegem cu originea O1 în punctul în care se proiectează centrul O2 al cercului la un moment dat pe planul Ox0y0, iar planul Ox1y1 coincide cu planul cercului, axa O1x1 fiind în planul Ox0y0. Reperul O2x2y2z2 este fixat de planul cercului, astfel că în momentul iniţial cele două sisteme mobile de axe coincid şi sunt paralele cu reperul fix (O1=O2=O2’; A0’=A0).

Punctul de contact al cercului cu axa Oz0 este centrul instantaneu I de rotaţie relativ al cercului, viteza acestuia fiind 02kRvI ω= . Din alegerea acestor repere rezultă: x0Ox1=ω1t; A0’O2x2=ω2t. Între versorii reperelor mobile şi cel fix există relaţiile:

01011 sincos jtiti ωω += ; 01011 cossin jtitj ωω += ; 01 kk =

020210212 sincossincoscos ktjttitti ωωωωω ++=

020210212 cossinsinsincos ktjttittj ωωωωω +−−=

01012 cossin jtitk ωω −= (a) Pentru determinarea vitezei punctului arbitrar M(x2,y2) vom folosi formula

(9.30) în care termenii corespunzători sunt: =++ω=+== 22220222111 jyixktRMOOOMOr

−ωω+ωω−ωω= tcostsinx(i)tsintcosytcostcosx( 2120212212

0222220212 k)tcosytsinxtR(j)tsintsiny ω+ω+ω+ωω−

+ω−ωω+ω−ωω== 02222102222122 j)tsinytcosx(tsini)tsinytcosx(tcosMOr

02222 k)tcosytsinx( ω+ω+

)jtcositsin(ROOvv 0101110110

.ω+ω−ω===

022121 kROOv.

ω==

0110 kωω = ; )jtcosit(sink 010122221 ω−ωω=ω=ω Se obţine:

0222222202112

21222122

21121102112

21222122

211211

2211102110M20M

k)tsinytcosxtR(j)tsintcosy

tcostsinytsintsinxtcostcosxtcosR(i)tsintsiny

tcostcosytsintcosxtcostsinxtsinR(

rrvvvv

ωω−ωω+ω+ωωω−

−ωωω−ωωω−−ωωω+ωω+ωωω+

+ωωω−ωωω−−ωωω−ωω−==×ω+×ω++==


Acceleraţia punctului M se calculează cu formula (9.34) cu următorii termeni:

)jtsinit(cosROOa 010121

21110 ω+ωω−=ω⋅= ; 0OOa

..2121 == ;

01010

.=ω=ε ; )jtsinit(cos 0101212121

.ω+ωωω=ω=ε

Se obţine:

0222222021212

2122

2122121221

22

2121

21021212

2122

21221212

2122

2121

21

M20M

k)tcosytsinx(j]tcostcosy2

tsintsin)(ytsintcosx2tcostsin

)(xtsinR[i]tcostsiny2

tsintcos)(ytsintsinx2

tcostcos)(xtcosR[aa

ω+ωω−ωωωω−

−ωωω+ω+ωωωω−ωω

ω+ω−ωω−+ωωωω+

+ωωω+ω+ωωωω+

+ωωω+ω−ωω−==

b) Viteza unghiulară instantanee este:

0101012211020 )cos(sin kjtit ωωωωωωω +−=+= (b) Legea mişcării absolute a unui punct arbitrar M este dată de relaţia (9.26):

MOOOrrr 22220 +=+= , iar viteza sa absolută este: 22020

.rrva ×+= ω . Locul

geometric al punctelor de viteză nulă se obţine din ultima relaţie şi este dreapta de ecuaţie vectorială:

20220

20202

.ωλ

ωω

+×

=rr ; R∈λ (c)

Vectorul 20r se scrie analitic sub forma: )sin(cos 02010120 ktjtitRr ωωω ++= şi deci:

)cossin( 0201101120

.kjtitRr ωωωωω ++−= (d)

Din relaţiile (b) şi (d) rezultă 2020r ω⋅& = 0 deci viteza de lunecare dată de relaţia (9.47), 0=u , astfel că mişcarea compusă se reduce la o rotaţie. În raport cu reperul fix, axa instantanee dată de relaţia (c) are ecuaţiile parametrice:

ttRx 1210 sincos ωλωω +−= , ttRy 1210 cossin ωλωω −−= , 120 λωω +−= tRz Eliminând parametrii λ şi t între ultimele ecuaţii, obţinem ecuaţia axei

instantanee de rotaţie ca fiind suprafaţa de rotaţie având ecuaţia:

220

20

2

1

0

220

200

1

20 arctg2 Ryx

RxRyxy

Rz −++−

−+±=

ωω

ωω (e)

Pentru determinarea locului geometric al axei instantanee faţă de reperul O2x2y2z2, vom exprima vectorii din relaţia (c) în raport cu acest reper. Pentru aceasta, din relaţiile (a) deducem:

212212210 sinsincoscoscos ktjttitti ωωωωω +−=


212212210 cossinsincossin ktjttittj ωωωωω −−=

22220 cossin jtitk ωω += (f) Din relaţiile (b) şi (f) obţinem: 222222120 )cos(sin ktjtit ωωωωω ++= , iar din

relaţiile (d) şi (f) deducem: 212222220 )cos(sin.

kRjtitRr ωωωω −+= Înlocuind ultimele două relaţii în relaţia (c) obţinem ecuaţia:

2

2

21

222

21

22

2

21

222

21

22

2

cos

sin

sin

cos

ωωω

ωωω

ω

ωω

ωωω

ωz

t

tRy

t

tRx=

+−

=+

+ (g)

Eliminând parametrul t între relaţiile (g) obţinem ecuaţia analitică a axei instantanee de rotaţie faţă de reperul O2x2y2z2. Acesta este hiperboloidul de ecuaţie:

222

21

42

2222

2

212

222 )( ωω

ωωω

++=+

Rzyx (h)

Suprafata dată de relaţia (h) se rostogoleşte fără alunecare pe suprafaţa dată de relaţia (e), ele rămânând tangente de-a lungul unei generatoare.

c) Acceleraţia absolută a punctului arbitrar M (x0,y0,z0) se obţine prin derivare în raport cu timpul a vitezei absolute:

)(..

2202022020 rrraa ××+×+= ωωε (i) În raport cu reperul fix ,termenii care apar în relaţia (i) sunt

)sin(cos 01012

1

..jtitRr ωωω +−= , )sin(cos 01012120 jtit ωωωωε += (j)

Cu condiţia 0=aa , din relaţia (i) deducem după identificarea coeficieanţilor versorilor, ecuaţiile:

0)(0sin)(cos2)sin(cossin0cos)(cos2cossin)cos(

2022

12

1201210122

22

101122

12

1201210112201

222

21

=−

=+−+++

=+−−++

tRztRtRztyttxttRtRzttytxt

ωω

ωωωωωωωωωωωω

ωωωωωωωωωωωω

(k)

Din sistemul (k) deducem:

tcosR

x 122

21

21

0 ωω+ω

ω−= ; tsin

Ry 12

221

21

0 ωω+ω

ω−= ; tRz 20 ω= (l)

Din ecuaţiile (l) rezultă locul geometric al punctelor de acceleraţie nulă, faţă de reperul fix: o elice cilindrică.

Faţă de reperul mobil O2x2y2z2,relaţiile (j) se scriu în forma

)jtsinit(cosRr 22222120

..ω−ωω−= , )jtsinit(cos 22222120 ω−ωωω=ε , iar

ecuaţiile (k) în forma: tcosRtycostsintxsin 222222

2 ω=ωω+ω tsinRy)tsin(txcostsin 2

212

222

221222

21 ωω−=ω−ωω−ωωω


0z)()tycostx(sin2 222

21222221 =ω+ω−ω+ωωω

Din ultimul sistem rezultă:

ttRx2

22

22

21

22

2 sincos

ωω

ωωω

⋅+

= , t

Ry2

22

21

21

2 sin)( ωωωω

+= , tctg

)(R2

z 222

21

212 ω

ω+ωωω

= .

Eliminând timpul t între aceste ecuaţii obţinem locul geometric al punctelor de acceleraţie nulă faţă de reperul O2x2y2z2 ca intersecţie a suprafetelor de ecuaţii:

1)(

422

222

21

41

2

22

22

21

22 =

++⋅

yR

zy

ωωω

ωω , 223

1

22

212

2 2)( yz

Rx

ωωωω +

= .

9.4.5. Triunghiul dreptunghic isoscel ABC care are catetele de lungime 1, se

mişcă în planul fix Ox0y0. Mişcarea instantanee a planului triunghiului este rezultanta a trei rotaţii în jurul punctelor A,B,C cu vitezele unghiulare de mărimi, respectiv:

)2sin2cos3( 0001 tt ωωωω −+= ; )2cos2( 002 tωωω +−= ; t003 2sin ωωω = a) Viteza şi acceleraţia unui punct solidar cu triunghiul ; b) Centrul instantaneu de rotaţie, polul acceleraţiilor şi rostogolitoarea

mişcării; c) Traiectoriile punctelor A,B,C. Rezolvare: Mişcarea rezultantă se obţine prin compunerea a trei rotaţii

paralele deoarece vectorii de rotaţie instantanee kω , k=1,2,3 sunt perpendiculari pe planul mişcării.

Considerăm reperul Ax1y1 solidar cu triunghiul ,având axele Ax1,Ay1 de-a lungul laturilor unghiului drept, respectiv AB şi AC (figura 9.14).

Mărimea vitezei unghiulare instantanee este dată de relaţia (9.71): ω=ω30=ω1+ω2+ω3=ω0=constantă şi deci alegând ca axă fixă Ox0 poziţia iniţială a axei Ax1 rezultă că unghiul θ dintre axele Ax1 şi

Ox0 este dat de relaţia 0ωθ =& şi prin urmare: θ=ω0t. Mişcarea triunghilui ABC este o mişcare plană caracterizată prin parametrii: xA=xA(t), yA=yA(t), θ=ω0t unde xA şi yA sunt coordonatele punctului A faţă de reperul fix Ox0y0.

Viteza unui punct arbitrar M solidar cu triunghiul este: CMBMAMvM ×+×+×= 321 ωωω (a)

..

M

x1 y1

x0

y0

P

I

O

(R)

C B

A ω1

ω2

ω3

fig. 9.14

(B)


Notăm: 1111 jyixAM += şi ţinând seama de relaţiile AMBABM += ; AMCACM += , relaţia (a) se mai scrie în forma:

110

1101312321M

j)]2cos2(lx[

i)y2sinl(jlilAM)(v

θ++ω+

+−θω=×ω−×ω−×ω+ω+ω=(b)

Acceleraţia punctului arbitrar M se determină cu ajutorul formulei (9.69):

)]CM()(

)BM([2)CM()BM(

)AM(CMBMAMa

221

213322

11321M

×ω×ω+ω+

+×ω×ω++×ω×ω+×ω×ω+

+×ω×ω+×ε+×ε+×ε=

Faţă

de reperul mobil Ax1y1, după simplificări, ultima relaţie devine:

1122

0

1122

0

112030

23211

2021

223M

j]y2sinl[

i]x)82cos2cos124sin2sin6(l[

j)y2(li)x2(la

+θω−

−−−θ−θ−θ+θω=

=ω−ωω+ω−ε−+ω−ωω+ω+ε=

(c)

b) Centrul instantaneu de rotaţie I(x1I,y1I)se determină din condiţia că vI =0 în relaţia (b), ceea ce conduce la determinarea coordonatelor punctului faţă de reperul mobil: x1I= –l(2+cos2θ); y1I=lsin2θ eliminând parametrul θ între ultimele relaţii, obţinem ecuaţia analitică a rostogolitoarei ca fiind cercul de centru P(-21,0) şi rază R=1: 034:)( 2

121

21 =+++ llxyxR III

Pentru determinarea bazei trebuie să cunoaştem viteza originii reperului mobil faţă de reperul fix. Din relaţiile (8.189) obţinem cu notaţiile corespunzătoare mişcării compuse, sistemul:

)2cos2(cossin 010 θωωθθ +−==− lxyx IAA && )2sinsincos 010 θωωθθ lyyx IAA ==− && (d)

Din relaţiile (d), deducem proiecţiile vitezei punctului A pe axele fixe: θω sin0lxA −=& , θω cos3 0lyA =& (e)

Integrând ecuaţiile (e) şi ţinând seama de alegerea axelor, obţinem: )1(cos −= θlxA ; θsin3lyA = (f)

Coordonatele punctului I faţă de reperul fix, le determinăm din ecuaţiile (8.192) în care ţinem seama de relaţiile (f):

)1cos2(0

0 +−=−= θω

lyxx AAI

&, θ

ωsin2

00 lxyy A

AI =+=&

.

Ecuaţia analitică a bazei este cercul de centru Q(-1,0) şi rază R’=2l (fig.9.14): 032:)( 2

020

20 =−++ llxyxB III . Coordonatele (x1J,y1J) ale polului acceleraţiilor J

se obţin din relaţia (c) punând condiţia 0=Ja : )82cos2cos124sin2sin6(6 2

1 −−−+= θθθθlx J ; θ2sin21 ly J = .


c) Traiectoria absolută a punctului A se obţine eliminând parametrul θ între relaţiile (f) de unde rezultă elipsa (faţă de reperul fix): 0189 0

20

20 =++ lxyx . Traiectoria

punctului B rezultă din relaţia ABOAOB += : xB=xA+lcosθ=l(2cosθ-1); yB=yA+lsinθ=4lsinθ şi este elipsa de ecuaţie: 01284 2

020

20 =−++ llxyx .

Traiectoria punctului C are forma parametrică: xC=xA-lsinθ=l(cosθ-sinθ-1); yC=yA+lcosθ=l(3sinθ+cosθ), iar cea analitică este de forma:

0l3ly2lx10yx2yx5 20000

20

20 =−++++ .

9.4.6. Paralelipipedul dreptunghic OA1A2A3A4A5A6A7 cu muchiile OA1=a,

A1A2=b participă simultan la patru mişcări de rototranslaţie ai căror vectori caracteristici sunt dirijaţi după cele patru muchii A1A4, A2A5, A3A6 respectiv OA7.Vitezele unghiulare au mărimile 0ωω kk = , 4,1=k iar vitezele de lunecare sunt vk=kv, 4,1=k unde ω0 şi v sunt constante pozitive (fig.9.15). Să se studieze mişcarea instantanee rezultantă a paralelipipedului.

Rezolvare: Considerăm un sistem de referinţă Oxyz legat de corp cu axele dirijate după muchii. Vom calcula prametrii cinematici ai distribuţiei de viteze şi de acceleraţii.

Viteza unghiulară instantanee 40ωω = are expresia: 0432 000040 =+−−== kkkk ωωωωωω ceea ce înseamnă că la momentul considerat, distribuţia de viteză este caracteristică unei mişcări de translaţie. Toate punctele rigidului au aceeaşi viteză, de exemplu egală cu a punctului O. Din relaţia (9.36), deducem:

kvjaibOAOAOAvvvvv 105 0033221143210 ++−=×+×+×++++= ωωωωω

Mărimea vitezei de translaţie este: 220

220

20 10025 vabv ++= ωω . Deoarece

acceleraţia unghiulară instantanee 0.4040 === ωεε , rezultă că şi distribuţia de

acceleraţii este caracteristică unei mişcări de translaţie, astfel că toate punctele paralelipipedului au aceeaşi acceleraţie, egală cu a punctului O. Din formula (9.53) obţinem:

jbiaOAv

OAvOAOAOAa20

2033321

22213332221110

143)]()(

)([2)()()(

ωωωωω

ωωωωωωωω

+=×+×++

+×+×+××+××+××=

Acceleraţia de translaţie este perpendiculară pe axa Oz şi are mărimea: 222

0 1969 baaa +=ω .

A7 A6

A3

A5 A4

A1 A2

z

y

x b

a O 1ω

2ω

3ω

4ω

1v 2v

3v4v

fig. 9.15


9.4.7. Un tetraedru regulat de muchie 2l are o mişcare compusă din 6 rotaţii

cu vitezele unghiulare ωk=ω0=constant, 6,1=k dirijate după muchiile tetraedrului (fig.9.16). Să se determine:

a) Distribuţia de viteze şi acceleraţii ; b) Viteza şi acceleraţia punctului B.

Rezolvare: Considerăm sistemul de referinţă Oxyz fixat pe corpul în mişcare cu axele dirijate ca în figura 9.16: originea O este centrul cercului circumscris triunghiului echilateral ABC, axa Ox trece prin punctul A, axa Oz trece prin D iar axa Oy este paralelă cu muchia BC.

Parametrii cinematici ai distribuţiei de viteze şi de acceleraţii sunt 06060 ,, vεω şi 0a . Astfel:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=== ∑

=

kjik

k 36

33

0

6

160 ωωωω ;

0.6060 === ωεε

klCODOBOAOv 06543210 3)()( ωωωωωωω =×+×++×++×=

)3(.

20060

000 jilv

tvva −−=×+∂∂

== ωω

Mărimile acestor vectori sunt: 02ωω = ; ε=0; ωlv 30 = ; 200 2 ωla = .

Deoarece 0≠ω şi 00 ≠v , mişcarea rezultantă este de rototranslaţie instantanee, cu

viteza de lunecare: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

⋅= kjilvu

33

22

66

020 ωω

ωω

Ecuaţia analitică a axei instantanee de rototranslaţie este:

z

xyz

y

zxy

x

yzx yxvxzvzyvω

ωωω

ωωω

ωω +−=

+−=

+− 000

Înlocuind proiecţiile vectorilor ω şi 0v în ecuaţiile de mai sus rezultă: 0223 =+− zyx ; lzyx 33235 −=++

1ω

3ω

2ω

4ω

5ω

6ω

z

yx A

B

D

C

O

fig. 9.16


b) viteza punctului B o deducem din formula generală de distribuţie a vitezelor:

kljlilOBvvB 0000 323

36 ωωωω ++=×+= care are modulul:

0335 ωlvB = . Din formula generală de distribuţie a acceleraţiilor, obţinem:

)(0 OBOBaaB ××+×+= ωωε sau )694

313

97(2

0 kjilaB +−−= ω

Mărimea acceleraţiei punctului B este : 209

28 ωlaB =

9.4.8. Bara O1O2 se roteşte cu viteza unghiulară constantă ω1 (fig.9.17) în

jurul axei fixe (∆1). În O2 este articulat axul unui disc circular de rază R2 care se roteşte cu viteza unghiulară constantă ω2 paralelă cu (∆1) .Discul O2 este în contact fără alunecare cu un disc de centru O1 şi rază R1 care se poate roti liber în jurul axei (∆1).Să se determine mişcarea rezultantă a discului O2 şi viteza unghiulară Ω a discului de centru O1.

Rezolvare: Discul de rază R2 efectuează două mişcări de rotaţie în jurul axelor (∆1) şi (∆2) (care trece prin centrul O2) perpendiculare pe planul mişcării.

Mişcarea rezultantă a discului O2 are o distribuţie de viteze ca într-o rotaţie ,cu excepţia cazului când 12 ωω −= , iar mişcarea rezultantă va fi o translaţie circulară.

În cazul când ω1 şi ω2 au acelaşi sens, centrul rotaţiilor paralele I este situat între O1 şi O2 astfel că (figura 9.17):

2121 RRIOIO +=+ ; 1

2

2

1

ωω

=IOIO

Rezultă :

21

2121

)(ωω

ω++

=RR

IO ;

21

2112

)(ωω

ω++

=RRIO

Mişcarea rezultantă a discului de rază R2 este o rotaţie instantanee cu viteza unghiulară

21 ωωω += în jurul axei

fig. 9.17


instantanee de rotaţie (∆) care trece prin punctul I şi este paralelă cu axele (∆1) şi (∆2). Viteza punctului A de pe discul O2 are valoarea :

22112122 ))(( RRRIOIAvA ωωωωω −=+−=⋅= iar viteza punctului B va fi:

222113122 )2())(( RRRRIOIBvB ωωωωω ++=++=⋅=

În figura (9.17) sunt reprezentaţi vectorii Av şi Bv pentru 1ω R1> 2ω R2. Viteza unghiulară de rotaţie a discului de rază R1, se obţine ţinând seama de

contactul fără alunecare dintre cele două discuri şi de mărimea vitezei punctului A:

12211 RRRvA Ω=−= ωω de unde rezultă: 1

2211

RRR ωω −

=Ω

Dacă 2211 RR ωω = atunci centrul rotaţiilor I coincide cu punctul A, astfel că rezultă 0=Ω , Av =0, )(2 212 ωω += RvB . Rezultă că discul de rază R1 nu se roteşte (fig.9.18)

Dacă 2211 RR ωω < , centrul rotaţiilor paralele I dacă există, se găseşte între A şi O2 iar vitezele punctelor A şi B sunt dirijate în sensuri opuse.

Viteza unghiulară de rotaţie a discului de rază R1 are sensul opus lui 1ω şi este indicat în fig.9.19.

9.4.9. Manivela OM de lungime l are o mişcare de rotaţie in jurul unei axe

fixe perpendiculară pe aceasta cu viteza unghiulară constantăω . La capătul manivelei este aşezat liber un disc de rază R tangent interior unui cerc fixat de centrul O (fig.9.20). Manivela OM şi discul de centru M se mişcă în planul cercului de centru O. Să se determine poziţia acelui punct P situat pe periferia discului a cărui viteză trece prin punctul B, extremitatea diametrului care formează unghiul t ωθ = cu manivela OM. Să se determine viteza şi acceleraţia punctului P.

fig. 9.18. fig. 9.19.


Rezolvare: Centrul instantaneu de rotaţie al discului se află în punctul I de tangenţă al discului cu cercul. Notăm cu 1ω viteza unghiulară instantanee a discului

în jurul lui I. Aceasta se determină exprimând viteza punctului M în două moduri:

Rlv IM ωω == de unde rezultă:

ωωRl

I = .

Viteza punc]tului P este perpendiculară pe IP deci trece prin punctul N de intersecţie al manivelei cu discul. Aceasta implică coliniaritatea punctelor B,N şi P de unde deducem poziţia punctului P: intersecţia dreptei BN cu discul. Viteza punctului P este: IPvP 1ω= .

Pentru determinarea mărimii segmentului IP facem următoarele consideraţii geometrice. În triunghiul BON, aplicând teorema cosinusului, obţinem:

Rlv IM ωω == de unde rezultă:

ωωRl

I = . Viteza punctului P este perpendiculară pe IP deci trece prin

punctul N de intersecţie al manivelei cu discul. Aceasta implică coliniaritatea punctelor B,N şi P de unde deducem poziţia punctului P: intersecţia dreptei BN cu discul. Viteza punctului P este: IPvP 1ω=

2sin

2cos2cos)(2)()( 22222222 θθθ RlRlRlRlBN +=−+−++=

În triunghiul BNI notăm α = NBI şi din teorema sinusurilor, deducem:

2sin

2cos

2sin2

2sin

sin2222 θθ

θθ

αRl

R

BN

NI

+==

fig. 9.20

Din triunghiul dreptunghic BIP, deducem:

2sin

2cos

sin)(sin2222 θθ

θαRl

RlRBIIP+

+==

În final obţinem mărimea vitezei punctului P:

2sin

2cos

sin)(

2222 θθθω

Rl

RllvP

+

+=

Din mişcarea plană a discului de centru M deducem poziţia polului

acceleraţiilor J: acesta se va afla pe direcţia manivelei OM la distanţa: l

RMJ2

= .

Acceleraţia punctului P are direcţia şi sensul vectorului PJ şi are mărimea: 21ωJPaP = unde 1ω este cunoscut anterior iar distanţa JP se obţine din triunghiul

JIP:

)2

sin()(2)( 22

22 θα ++

−++

= IPl

RlRIPl

RlRJP

BIBLIOGRAFIE

1. Aizenberg T.B., Voronkov I.M., Oseţkii V.M: Rukovodstvo k reşeniu zadaci po teoreticeskoi mehanike, Izd. Vîsşaia Skola, Moskva, 1965.

2. Bălan St.: Culegere de probleme de mecanică. Editura didactică şi pedagogiă, Bucureşti, 1979.

3. Bath M.I., ş.a.: Theoreticeskaia mehanika v primerah i zadaciah Tom I, Statika, Kinematika, Izd. Fiziko-Mathematiceskoi, Literaturî, Moskva, 1968.

4. Brândeu L.: Mecanica-Statică, litografiat I.P “Traian Vuia”, Timişoara 1980. 5. Bukhholtz N.N., Voronkov I.M., Minakov I.A.: Culegere de probleme de

mecanică raţională (trad. din limba rusă), Editura Tehnică, Bucureşti, 1951. 6. Darabonţ A., Munteanu M., Văiteanu D.: Mecanică tehnică. Culegere de

probleme. Scrisul Românesc, Craiova, 1983. 7. Doceul P. : Problemès de mécanique, Paris, Gauthier-Villars, 1968. 8. Gantmacher G.: Lectures in Analythical Mecanics, Mir Publishers, Moskow,

1970.

9. Kabalskii M.M., ş.a.: Tipovîie zadaci po theoreticeskoi mehanike i metodi ih reşenia, G.I.T.L., U.S.S.R., Kiev, 1956.

10. Klepp H.: Curs de mecanică. Statică. Cinematică., litografiat, I.P. “Traian Vuia”, Timişoara, 1975.

11. Levinson L.: Funamentals of Engineering Mechanics, Mir Publishers, Moskow, 1970.

12. Mangeron O., Irimiciuc N.: Mecanica rigidelor cu aplicaţii în inginerie. Mecanica rigidului, Vol. 1, Ed. Tehnica, Bucureşti, 1978.

13. Marinca V.: Statica, litografiat I.P. “Traian Vuia”, Timişoara, 1994. 14. Marinca V.: Cinematica, Ed. Eurostampa, Timişoara, 1996. 15. Olariu S.: Geneza şi evoluţia reprezentărilor mecanicii clasice, Ed. St. şi

Enciclop., Bucureşti, 1987. 16. Orgovici I., Smicala I.: Mecanica, Vol. II, Cinematica, litografiat Univ.

Tehnică, Timişoara, 1993. 17. Radu A.: Probleme de mecanică, Ed. Didactică şi pedagogică, Bucureşti,

1978. 18. Rădoi M., Deciu E.: Mecanica, Ed. Didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1977. 19. Rogai E.: Culegere de probleme de mecanică, litografiat, Univ. Bucureşti,

1987. 20. Sarian M., s.a.: Probleme de mecanică pentru ingineri şi subingineri, Ed.

Didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1975. 21. Silaş Gh., Groşanu I.: Mecanica, Ed. Didactică şi pedagogică, Bucureşti,

1981. 22. Stan A., Grumăzescu M.: Probleme de mecanică, Ed. Didactică şi

pedagogică, Bucureşti, 1974. 23. Stoenescu A., ş.a.: Culegere de probleme de mecanică teoretică, Ed. II, Ed.

Didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1961. 24. Vâlcovici V., Bălan St., Voinea R.: Mecanică teoretică, Ed. Tehnică, Ed. III,

Bucureşti, 1968. 25. Voinea R., Voiculescu D., Ceauşu V.: Mecanică, Ed. Didactică şi

pedagogică, Bucureşti, 1975. 26. Wittenbauer F.: Aufgaben aus der technischen Mechanik, Berlin, Verlag von

Julius, Springer, 1929. 27. ***: Probleme de mecanică date la concursurile profesional ştiinţifice, Ed.

III-I.P. “Traian Vuia”, Timişoara, 1981.