CINEMTICA ANGULAR

Para a Mecnica clssica, o estudo dos movimentos circulares de grande importncia. Movimentos circular aquele em que o mvel se desloca numa trajetria circular dependendo para isso, da aplicao de uma fora que mude a direo do vetor velocidade (fora resultante centrpeta), fora essa aplicada para o centro da trajetria. Esta fora responsvel pela chamada acelerao centrpeta, que como vimos, tem a funo de variar a direo do movimento. Porm, como foi visto em cinemtica vetorial, nos movimentos curvilneos variados e uniformemente variados, pode existir ainda a acelerao tangencial,cuja funo variar o mdulo da velocidade. Sendo assim, os movimentos circulares classificam-se, de acordo com a ausncia ou a presena de acelerao tangencial, em movimento circular uniforme (MCU), movimento circular uniformemente variado (MCUV) e movimento circular variado (MCV). Para que possamos estudar estes movimentos, se torna necessrio a introduo de grandezas

angulares tais como o deslocamento angular(), a velocidade angular() , a acelerao() angular e a acelerao centrpeta(ac), bem como a definio de perodo e freqncia do movimento. Vamos reparar que tais grandezas so anlogas as j definidas para o movimento retilneo visto em cinemtica escalar.

1-Espao angular () Na figura acima, no instante inicial t, o mvel se encontra no ponto P. Sua posio angular

dada pelo ngulo , que faz o ponto P com o centro da circunferncia C e a origem de ngulos CO. Chama-se ento espao angular o espao do arco formado, quando um mvel encontra-se

a uma abertura de ngulo qualquer em relao ao ponto denominado origem. Relao entre espao linear e espao angular.

Matematicamente podemos facilmente demonstrar que o ngulo , determinado pelo

quociente entre o comprimento do arco s e o raio da circunferncia r, =s/r. A unidade que ser utilizada para o espao angular ser o radiano (rad), e desta definio

possvel obter a relao 2 rad = 360 .

P

C O

S

2-Deslocamento angular ()

O deslocamento angular (indicado por ) se define de modo similar ao deslocamento linear ou seja, temos um deslocamento angular se calcularmos a diferena entre a posio angular

final e a posio angular inicial: = -o

Relao entre deslocamento linear e deslocamento angular Pelo mesmo raciocnio que definimos a relao entre espao linear e espao angular, podemos mostrar que:

Por conveno temos: No sentido anti-horrio o deslocamento angular positivo. No sentido horrio o deslocamento angular negativo. 3-Velocidade angular mdia (m) Anlogo velocidade linear, podemos definir a velocidade angula mdia, como a razo entre o deslocamento angular e o intervalo de tempo do movimento

Sua unidade no Sistema Internacional : rad/s Relao entre velocidade linear mdia e velocidade angular mdia.

Na cinemtica escalar vimos que vm = S/t. como m = /t e sendo =S / R ,podemos demonstrar que :

m = vm R Tambm possvel definir a velocidade angular instantnea como o limite da velocidade angular mdia quando o intervalo de tempo tender a zero:

o

4-Acelerao angular mdia (m) Da mesma forma utilizada para a velocidade angular, definimos acelerao angular mdia como:

Cuja unidade no SI o rad/s2 Relao entre acelerao mdia e acelerao angular mdia

Podemos demonstrar que m =am/R De uma forma geral, toda grandeza linear corresponde a sua respectiva angular multiplicada pelo raio, ento temos a relao geral:

L = A .R Onde: L = linear A = angular R = raio Ento:

Como fica evidente pelas converses, esses valores angulares nada mais so do que maneiras de se expressar as propriedades lineares de forma conveniente ao movimento circular. Uma vez quer a direo dos vetores deslocamento, velocidade e acelerao modifica-se a cada instante, mais fcil trabalhar com ngulos. Tal no o caso da acelerao centrpeta, que no encontra nenhum correspondente no movimento linear. Surge como j foi mencionado, a necessidade de uma fora que produza essa acelerao centrpeta, fora que chamada analogamente de fora centrpeta, dirigida tambm ao centro da trajetria. A fora centrpeta aquela que mantm o objeto em movimento circular, provocando a constante mudana da direo do vetor velocidade. Como vimos em cinemtica vetorial, a acelerao centrpeta dada por ac = v

2/R como

temos que v = .R, podemos deduzir uma equao que permita determinar a acelerao centrpeta em funo da velocidade angular.

Linear

Angular

S = R

v = R

a = R

Perodo e Frequncia Perodo (T) Intervalo de tempo mnimo para que um fenmeno cclico se repita. No caso do movimento circular, o tempo gasto para efetuar uma volta. Sua unidade a unidade de tempo (segundo, minuto, hora...) Frequncia(f) Indica o nmero de vezes que um fenmeno se repete em certo intervalo de tempo. No caso dos movimentos circulares, indica o nmero de voltas realizadas. Sua unidade mais comum Hertz (1Hz=1/s) sendo tambm encontradas kHz, MHz e RPM.

Converso de RPM para Hz Consiste em transformar de voltas por minuto para voltas por segundo.Sendo assim temos ; RPM= Hz /60 Relao entre freqncia e perodo A frequncia o inverso do perodo.

Movimento Circular Uniforme ( MCU) Um corpo est em Movimento Curvilneo Uniforme quando percorrer uma trajetria circular com velocidade de mdulo constante. Embora o mdulo da velocidade ser constante, ela sofre mudana de direo e sentido, logo existe uma acelerao centrpeta , que como vimos no influencia no mdulo da velocidade. No cotidiano, observamos muitos exemplos de MCU, como uma roda gigante, um carrossel ou as ps de um ventilador girando.

Sabendo que S = .R e que v =.r , pode-se converter a funo horria do espao linear para o espao angular. S = So + v.t. Dividindo a equao pelo raio R: S = So + v.t R R R Ento ficamos com:

=o +t Que a equao angular para a posio no MCU.

Relao entre v,,f e T Como sabemos , v = d /t.

Para uma volta, conclumos que d =2R e t = T(perodo)

Ento ficamos com: v= 2R/T e como T= 1/f , v = 2Rf .

J que v =.R , =2/T e =2f

Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV) Quando um corpo percorre uma trajetria circular variando o mdulo da sua velocidade sofre mudana na sua velocidade angular,de forma que ele possui uma acelerao angular (). As formas angulares das equaes do Movimento Curvilneo Uniformemente Variado so obtidas quando dividimos as equaes do MRUV pelo raio R da trajetria . Sendo assim ficamos com; a) Funo horria das posies

b) Funo horria da velocidade

c) Equao de Torricelli

Exerccio resolvido 1-Um volante circular como raio 0,4 metros gira, partindo do repouso, com acelerao angular igual a 2rad/s. (a) Qual ser a sua velocidade angular depois de 10 segundos? (b) Qual ser o ngulo descrito neste tempo? (c) Qual ser o vetor acelerao resultante? Soluo (a) Pela funo horria da velocidade angular:

(b) Pela funo horria do deslocamento angular:

(c) Pelas relaes estabelecidas de acelerao tangencial e centrpeta:

Fonte do exerccio: http://www.sofisica.com.br

Transmisso de movimento circular Muitos mecanismos utilizam a transmisso de um cilindro ou anel em movimento circular uniforme para outro cilindro ou anel. o caso tpico de engrenagens e correias acopladas as polias. Para entendermos estes movimentos, vamos usar como exemplo a bicicleta. Quando se pedala uma bicicleta, executa-se um movimento circular em uma roda dentada (coroa) atravs dos pedais. Esse movimento transmitindo atravs de uma corrente para outra roda dentada de menor raio, a catraca, que est ligada roda traseira da bicicleta. fcil observar que a bicicleta se move com uma velocidade maior que aquela com que se est pedalando, e isso se d,devido diferena dos raios entre a coroa e a catraca.

Na transmisso de movimento circular apresentada, a velocidade linear a mesma para a coroa e a catraca VA = VB.

Como V = 2Rf ,ento:

2RAfA = 2RBfB e por isso vale a seguinte relao entre raios e freqncia de rotao.

RAfA = RBfB

Como v = .R, podemos ainda concluir que a polia menor tem maior velocidade angular, j que gira mais vezes para o mesmo intervalo de tempo. Outro caso de transmisso de movimentos importante o de polias concntricas.

Como giram juntas, possuem a mesma velocidade angular porm,sendo v = R, a polia maior tem maior velocidade linear

RA

RB

LEITURA COMPLEMENTAR

Como funciona a bicicleta? As bicicletas so mquinas simples e elegantes, e que atraem quase todas as pessoas. Uma bicicleta permite que voc chegue ao lugar que voc quer ir mais rpido e usando menos energia do que se voc estivesse andando ou correndo. E para quem tem interesse em mquinas e mecnica, h uma outra vantagem: todo o seu funcionamento fica completamente exposto. No h coberturas ou placas de metal escondendo nada. Todas as peas ficam mostra. Algumas das pessoas que curtem mecnica no conseguem resistir ao desejo de desmontar uma bicicleta!

Partes da bicicleta Vamos comear mostrando as partes que compem a bicicleta. Na foto abaixo, podemos ver uma bicicleta comum.

As peas que voc consegue ver e identificar imediatamente so : o quadro - composto de tubos de metal soldados. Cada um desses tubos tem um

nome, conforme podemos observar na figura abaixo.

as rodas - so compostas pelo cubo, os raios, o aro de metal e o pneu de borracha.

o selim e o suporte do selim. o guido e a sua haste, que conecta o guido ao quadro. as pedivelas e os pedais. os freios, compostos pelos acionadores no guido, pelo cabo do freio, pelas pinas e

pelas sapatas de freio. a corrente e as engrenagens, formadas pelas coroas dianteiras, a roda livre (ou

catraca) traseira, os cmbios dianteiro e traseiro, as alavancas de cmbio no guido e os cabos.

Rolamentos de esferas As bicicletas usam rolamentos de esferas para reduzir o atrito. possvel encontrar esses rolamentos:

nos cubos dianteiros e traseiros das rodas na caixa de movimento central, onde um eixo liga as duas pedivelas no tubo da forquilha, dentro do qual a haste do guido pode girar nos pedais na roda livre, onde eles tem uma dupla funo (na roda livre, eles tambm ajudam a

fornecer a caracterstica unidirecional) Os rolamentos de esferas do tudo da forquilha so do modelo mais comum e so mostrados na figura a seguir:

Os rolamentos de esferas (amarelo) se movimentam em uma caixa (vermelho). As porcas cnicas (azul escuro) fazem presso sobre o tubo azul claro conectado forquilha. Essas porcas so ajustadas para ficarem firmes a ponto de no haver folga na forquilha, mas no to firmes a ponto de trava as esferas e prend-las. Os cubos da roda e os pedais funcionam exatamente da mesma maneira, com as porcas cnicas fornecendo o ajuste correto. No eixo da pedivela, uma das caixas das esferas que fornece o ajuste. Colocoar um pouco de graxa ajuda os rolamentos de esferas a deslizarem melhor. De vez em quando necessrio desmontar os rolamentos para remover a poeira e trocar a graxa velha por outra nova. As bicicletas mais caras possuem rolamentos selados que nunca precisam de ajuste ou lubrificao

Engrenagens de bicicletas Provavelmente voc j viu uma foto daquelas bicicletas antigas, que tinham uma roda dianteira grande e uma traseira minscula. J pode at ter visto algum andando em uma delas em algum filme. Esse tipo de bicicleta ficou popular a partir de 1870, mas foi substituda pela "bicicleta segura" na virada daquele mesmo sculo. Uma bicicleta construda em 1900 ou 1910 tem quase a mesma aparncia de qualquer bicicleta atual: com duas rodas com o mesmo tamanho, dois pedais no meio e uma corrente que conecta os pedais roda traseira. Ento por que aquelas bicicletas com as rodas da frente gigantes foram inventadas? Em uma bicicleta daquele tipo, os pedais e a roda dianteira so conectados diretamente, da mesma maneira que em um triciclo de criana. Isso quer dizer que, ao girar os pedais uma vez, a roda gira uma vez. E esse um jeito bem barato de construir uma bicicleta, mas tem uma desvantagem. Imagine um triciclo com uma roda dianteira de 40 cm de dimetro (ou 40 * 3,14 = 127 cm de circunferncia). A cada vez que uma criana andando de triciclo faz um giro completo no pedal (e na roda dianteira), o triciclo se move 127 cm para frente. Digamos que a criana est girando a roda dianteira a 60 rpm (ou uma revoluo por segundo). Isso quer dizer que o triciclo est se movendo a 127 cm por segundo, ou seja, a velocidade no passa de 4,5 km/h. Mesmo se a criana pedalasse duas vezes mais rpido, a 120 rpm, o triciclo se moveria a apenas 9 km/h e a criana ficaria com as pernas cansadas, pois 120 rpm corresponde a muitas pedaladas! Se um adulto quiser andar de triciclo a uma velocidade razovel, por exemplo a 24 km/h, mas sem que se exija muito esforo, preciso fazer com que a roda dianteira do triciclo seja bem grande. Por exemplo, se o adulto quiser pedalar a 60 rpm, a roda dianteira precisa ter 213 cm de dimetro, ou seja, mais de dois metros a mais de dimetro. O principal motivo pelo qual as bicicletas tm engrenagens que elas permitem reduzir o tamanho das rodas (veja mais detalhes em Como funcionam as engrenagens). Por exemplo, se voc colocar uma engrenagem com 42 dentes na coroa dianteira e uma engrenagem menor com 14 dentes na coroa traseira, a sua relao de engrenagens de 3 para 1. Agora a roda traseira pode ter (213/3) cm = 71 cm de dimetro, o tamanho usado em uma bicicleta normal. E isso muito mais seguro. Relaes de transmisso A idia por trs das engrenagens mltiplas em uma bicicleta, quer sejam do modelo antigo de 10 marchas ou uma mountain bike moderna com 24 marchas, deixar que voc altere a distncia percorrida pela bicicleta a cada pedalada. Por exemplo, uma bicicleta normal tem rodas com 66 cm de dimetro. A menor relao de transmisso de uma bicicleta pode ser uma engrenagem dianteira com 22 dentes e uma traseira com 30 dentes. Isso quer dizer que a relao de 0,73 para 1 (a roda traseira gira 0,73 vezes a cada pedalada). Em outras palavras, para cada pedalada, a bicicleta se move 152 cm (cerca de 5 km/h se estiver pedalando a 60 rpm). J a maior relao de transmisso de uma bicicleta pode ser uma engrenagem dianteira com 44 dentes e uma traseira com 11 dentes. Essa configurao fornece uma relao de 4 para 1. Com rodas de 66 cm, essa bicicleta vai se mover 828 cm a cada pedalada, e se mantiver 60 rpm, pode atingir a velocidade de 30 km/h ou dobr-la se duplicar tambm a taxa de pedalada (120 rpm). Uma faixa que vai dos 5,4 km/h para os 60 km/h algo fantstico, pois deixa o ciclista subir o morro mais ngreme vagarosamente ou correr quase to rpido quanto um carro. As engrenagens dianteiras so chamadas de coroas e a maioria das bicicletas tem duas ou trs delas.

Conectada roda traseira est a roda livre ou catraca, que tem o seguinte aspecto: A roda livre tem de cinco a nove engrenagens, dependendo da bicicleta. E o interessante que as rodas livres podem girar em uma direo, mas travam na outra. Isso permite que o ciclista escolha entre pedalar ou no, situao na qual dizemos que a bicicleta anda em ponto morto (outra funo que o triciclo e as bicicletas antigas no possuem). Para mudar de marcha, as bicicletas possuem cmbios traseiros e dianteiros. Abaixo, podemos ver a foto de um cmbio traseiro. O cmbio traseiro possui dois pequenos pinhes que giram livremente. A funo do brao e do pinho inferior exercer trao sobre a corrente. O pinho e o brao so conectados a uma mola para que o pinho empurre a corrente para trs o tempo todo. Conforme voc vai mudando de marcha, vai notar que o ngulo do brao se modifica para tensionar ou afrouxar a corrente.

O pinho superior fica prximo roda livre. Quando voc seleciona as marchas no guido, esse pinho se move para uma posio diferente na roda livre e arrasta a corrente com ele.

A corrente desliza naturalmente de uma engrenagem para a outra conforme voc gira os pedais.O funcionamento de uma bicicleta simples e isso o que a torna uma mquina to fantstica de se usar, alm de ser tambm uma obra-de-arte mecnica! Fonte:HowStuffWorks

Exerccios 1. (Fatec-SP) Uma roda gira com freqncia 1200 rpm. A freqncia e o perodo so respectivamente: a) 1200 Hz, 0,05 s. b) 60 Hz, 1 min. c) 20 Hz, 0,05 s. d) 20 Hz, 0,5 s. e) 12 Hz, 0,08 s. 2. Num relgio convencional, enquanto o ponteiro dos segundos descreve um ngulo de 30, o ponteiro dos minutos descreve um ngulo de: a) 3600. b) 1800. c) 1. d) 0,5. e) 0,05. 3. (FEI-SP) Em uma bicicleta com roda de 1 m de dimetro, um ciclista necessita dar uma pedalada para que a roda gire duas voltas. Quantas pedaladas por minuto deve

dar o ciclista para manter a bicicleta com uma velocidade constante de ? a) 300. b) 200. c) 150. d) 100. e) 50. 4. (Mackenzie-SP) Em um experimento verificamos que certo corpsculo descreve um movimento circular uniforme de raio 6 m, percorrendo 96 m em 4 s. O perodo do movimento desse corpsculo aproximadamente: a) 0,8 s. b) 1,0 s. c) 1,2 s. d) 1,6 s. e) 2,4 s. 5. (Uniube-MG) Uma gota de tinta cai a 5 cm do centro de um disco que est girando a 30 rpm. As velocidades angular e linear da mancha provocada pela tinta so, respectivamente, iguais a:

a) e .

b) e .

c) e .

d) e .

e) e .

6. (UFC-CE) Considere um relgio de pulso em que o ponteiro dos segundos tem um comprimento rs = 7 mm, e o ponteiro dos minutos tem um comprimento rm = 5 mm (ambos medidos a partir do eixo central do relgio). Sejam, vs a velocidade da extremidade do ponteiro dos segundos, e vm a velocidade da extremidade do ponteiro dos minutos. A razo vs/vm igual a: a) 35. b) 42. c) 70. d) 84. e) 96. 7. (FEI-SP) Um ciclista est pedalando uma bicicleta, cuja roda traseira possui raio r = 0,5 m. Sabe-se que ele est em uma marcha cuja relao que para cada pedalada

completa a roda gira voltas. Qual a velocidade da bicicleta quando o ciclista executa 60 pedaladas a cada minuto?

a) V = m/s.

b) V = m/s.

c) V = m/s. d) V = 3 m/s. e) V = 6 m/s. 8. (ITA-SP) Uma partcula move-se ao longo de uma circunferncia circunscrita em um quadrado de lado L com velocidade angular constante. Na circunferncia inscrita nesse mesmo quadrado, outra partcula move-se com a mesma velocidade angular. A razo entre os mdulos das respectivas velocidades tangenciais dessas partculas : As alternativas d e e esto iguais! Por favor, dizer qual a correta.

a) .

b) .

c) .

d) .

e) . 9. Para que um satlite artificial em rbita ao redor da Terra seja visto parado em relao a um observador fixo na Terra necessrio que: a) sua velocidade angular seja a mesma que a da Terra. b) sua velocidade escalar seja a mesma que a da Terra. c) sua rbita no esteja contida no plano do equador. d) sua rbita esteja contida num plano que contm os plos da Terra. e) nenhuma das anteriores verdadeira.

10. (UEL-PR) Duas crianas esto brincando em um carrossel de um parque de diverses. Uma delas encontra-se sentada nas proximidades da borda e a outra prxima ao centro do carrossel, conforme figura a seguir. Considerado que o carrossel est girando e que as posies da crianas, em relao ao carrossel, so mantidas constantes, correto afirmar:

a) Suas velocidades escalares so iguais. b) Suas velocidades angulares so iguais. c) Suas velocidades mdias so iguais. d) Suas aceleraes tangenciais so iguais. e) Suas aceleraes centrpetas so iguais. 11. (PUC-MG) A figura mostra uma barra que gira com movimento circular e uniforme, em torno de um eixo E. Os pontos A e B giram com velocidades lineares tais que

vA > vB. Em relao s velocidades angulares e e aos perodos TA e TB, correto afirmar:

a) e .

b) e .

c) e .

d) e .

e) e .

12. (FEI-SP) Duas polias, A e B, rigidamente unidas por um eixo, giram com freqncia f

constante, como mostra a figura. Sendo RA = 2RB' a razo entre as aceleraes dos pontos das periferias das respectivas polias :

a) 4. b) 0,25. c) 1. d) 0,5. e) 2. 13. (Uniube-MG) Duas engrenagens de uma mquina esto acopladas segundo a figura. A freqncia da engrenagem A cinco vezes maior que a de B, portanto a relao entre os raios de A e B :

a) 2. b) 1. c) 1/2. d) 1/4. e) 1/5.

14. (Mackenzie-SP) Quatro polias, solidrias duas a duas, podem ser acopladas por meio de uma nica correia, conforme as possibilidades abaixo ilustradas.

Os raios das polias A, B, C e D so respectivamente, 4,0 cm, 6,0 cm, 8,0 cm e 10 cm. Sabendo que a freqncia do eixo do conjunto CD 4800 rpm, a maior freqncia obtida para o eixo do conjunto AB, dentre as combinaes citadas, : a) 400 Hz. b) 200 Hz. c) 160 Hz. d) 133 Hz. e) 107 Hz. 15. (Olimpada Brasileira de Fsica) Uma partcula inicialmente em repouso executa um movimento circular uniformemente variado ao longo de uma circunferncia de raio R. Aps uma volta completa, o mdulo de sua velocidade igual a v. Nesse instante, o mdulo de sua acelerao vale:

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

GABARITO 1. c 2. d 3. e 4. d 5. a 6. d 7. e 8. a 9. a 10. b 11. c 12. e 13. e 14. b 15. e Fonte: Fundamentos da fsica - Ramalho, Nicolau e Toledo