CLCULO IICIENCIA PARA COHETESINTRODUCCINUncohete espaciales unamquinaque, utilizando unmotordecombustin, produce laenerga cinticanecesaria para la expansin de losgases, que son lanzados a travs de un tubo propulsor (llamadapropulsin a reaccin). Por extensin, el vehculo, generalmenteespacial, que presenta motor de propulsin de este tipo es denominado cohete omisil. Normalmente, su objetivo es enviar artefactos (especialmentesatlites artificialesysondasespaciales) onaves espacialesy hombres al espacio Un cohete est formado por unaestructura, un motor de propulsin a reaccin y una carga til. La estructura sirve para proteger los tanques de combustible y oxidante y la carga til. Se llama tambin cohete al motor de propulsin en s mismo. Muchos cohetes, como el Pegasus XL, que en la actualidad se usa para lanzar satlites, y el Saturn V, que fue el que ayud a llevar al hombre a la L una, estn diseados para usar tres etapas en su ascenso al espacio. Una primera etapa impulsa inicialmente al cohete hasta que se agota el combustible, momento en que la etapa se desprende para reducir la masa del cohete. Las etapas segunda y tercera funcionan de manera similar, y su objetivo es colocar a la tripulacin y al equipo del cohete en rbita alrededor de la Tierra. (Con este diseo se requieren por lo menos dos etapas con el fin de alcanzar las velocidades necesarias, pero el uso de tres etapas ha demostrado ser una buena opcin que combina el costo y el rendimiento.) La meta en este caso es determinar las masas individuales de las tres etapas que se tienen que disear para minimizar la masa total del cohete para que pueda alcanzar la velocidad deseada.

I. EVOLUCIN DE LOS COHETES EN EL MUNDOEl desarrollo de las anteriores ecuaciones por Tsiolkovsky se llev a cabo en Rusia desde 1884 hasta 1903, Fue hasta la dcada de los aos veinte del siglo XX en donde los trabajos tericos de Tsiolkosvky fueron tomados en cuenta para llevarlos a la prctica y poner a prueba el funcionamiento real del cohete como vehculo atmosfrico. Por una parte, el estadounidense Robert Goddard (1882-1945) desarroll el primer prototipo de vehculo cohete de propelentes lquidos en el ao de 1926 y el primer cohete con una carga cient.ca (barmetro y cmara fotogr.ca) (Portilla, 2001) que hoy en da se denominan cohetes sonda. Al mismo tiempo que Goddard, en Alemania los cient.cos de la sociedad para la navegacin espacial, entre ellos Hermann Oberth (1894-1989) y Wernher Von Braun (1912-1977), diseaban prototipos de cohetes con propelentes lquidos e investigaciones sobre el comportamiento del cohete en el espacio interplanetario. Tambin, el padre de la astrodinmica, el alemn Walter Hohmann (1880-1945), present el estudio terico sobre las trayectorias de mnimo consumo de combustible entre dos rbitas (Martos, 2009).Durante el periodo de posguerra, las dos superpotencias, Estados Unidos y la Unin Sovitica, dan comienzo a la Guerra Fra, iniciando una carrera armamentista, que lleg a disputarse en el espacio exterior como punto estratgico para ataques nucleares: la denominada carrera espacial, creando los misiles balsticos intercontinentales (ICBM por sus siglas en ingls). Despus de la Guerra Fra, el espacio ultraterrestre es utilizado por las agencias espaciales, industrias e instituciones educativas alrededor del mundo para investigaciones del ambiente espacial con sondas, estaciones espaciales, satlites, telescopios espaciales, naves espaciales, comunicaciones con transmisin de seales de televisin, telefona, Internet a distintas partes del mundo, entre muchos otros usos.

II. COHETES EN LATINOAMRICA En Latinoamrica se cuenta con la principal plataforma de lanzamiento ubicada en la Guyana Francesa de la Agencia Espacial Europea (ESA). Pases como Chile, Brasil, Mxico, Argentina y Venezuela, cuentan con sus propios satlites de telecomunicaciones. En casos como Mxico, Brasil y Argentina desde hace ms de 15 aos con ms de dos satlites por nacin. El caso mas reciente fue el satlite lanzado en 2008 por China para las telecomunicaciones venezolanasIII. COHETES EN PEREl inventor del motor de propulsin de combustible lquido (1895) y del primer sistema moderno de propulsin para cohetes (1900), fue el peruano Pedro Paulet. El descubri las ventajas del combustible lquido para la propulsin de los cohetes y diseo, construyo y probo con xito el primer motor cohete de combustible liquido conocido en la historia.Pedro Paulet naci en Arequipa en la ciudad de Tiabaya el 2 de julio de 1874. Hijo de Pedro Paulet y Antonia Mostajo. Curs estudios en el clebre colegio del Padre Duhamel. Ingres a la Universidad de San Agustn donde estudi simultneamente en las Facultades de Letras y de Ciencias. En el ao de 1893, cuando tena 18 aos, falleci su madre y al ao siguiente recibi una beca en reconocimiento por su excelencia acadmica, por parte del gobierno peruano que le permiti viajar a Europa a cursar estudios de ingeniera. En la Sorbona de Pars estudia Ingeniera y Arquitectura para luego en el ao de 1898 proseguir con estudios en el campo de la Qumica Aplicada de la Universidad de Pars donde estudi con el Profesor Marcelin Berthelot. Fue all donde investig el tipo de combustible necesario para ser usado en los cohetes para el vuelo en el espacio sideral.EI puesto de Pedro Paulet en la historia se debe a la tecnologa del cohete, con la que inici la era espacial. El propio Director de la NASA y Director del primer vuelo tripulado a la Luna, el cientfico Wernher von Braun, reconoci que con su esfuerzo el peruano Paulet ayud a que el hombre abordara la Luna, y en el libro que el mismo von Braun escribi conjuntamente con Ordway Historia Mundial de la Astronutica" - recuerda que Pedro Paulet, en Pars, entre 1895 y 1897 experiment con su pequeo motor de dos y medio kilos de peso, logrando un centenar de kilogramos de fuerza, y agrega por este hecho, Paulet debe ser considerado como el pionero del motor a propulsin con combustible lquido.1. LANZAMIENTO DE COHETES EN EL PERPaulet Ifue el primercohete sondalanzado por elPer. Fue lanzado desde la base de laFAP, enPucusana , al sur de Limael26 de diciembrede2006.El alcance del cohete es de 450 MPS. Lleva su nombre en honor al pionero peruano de laastronuticay la era espacialPedro Paulet., a la fecha ya se lanzaron 03 cohetes por la Comisin Nacional para la Investigacin y el Desarrollo Aeroespacial (Conida), institucin dedicada a las actividades espaciales en el Per:

Paulet I (2006) Paulet I-M (2009) Paulet I-B (2013)

a. Caractersticas principales del Cohete Paulet I

Longitud Total: 2730 mm. Dimetro exterior: 206 mm. Peso de combustible: 64 Kg. Peso Total: 99 Kg. Carga til: 5 Kg. Alcance: 100 Km.

b. Objetivos El objetico principal de los cohetes es el estudio y medicin de la capa de ozono y mejoramiento de las telecomunicaciones. El estudio de del cohete sonda PAULET en su versin PAULET II debe ser capaz de alcanzar una altura entre 100 a 120 Km., llevando una carga til de 15 a 25 Kg. La versin del PAULET I debe ser capaz de alcanzar una altura 60 Km., llevando una carga til de 5 Kg.Los satlites lanzados UAP-SAT 1 y Chasqui 1 fueron lanzados por cohetes de la Nasa y de la Agencia Espacial Federal Rusa. IV. TIPOS DE COHETES En cuanto al tipo de combustible usado, existen dos tipos de cohete:

Cohete de combustible lquido: En que el propelente y el oxidante estn almacenados en tanques fuera de la cmara de combustin y son bombeados y mezclados en la cmara donde entran en combustin. Cohete de combustible slido- en que ambos, propelente y oxidante, estn ya mezclados en la cmara de combustin en estado

En cuanto al nmero de fases, un cohete puede ser: Cohete de una fase- en este caso el cohete es "monoltico". Cohete de mltiples fases- posee mltiples fases que van entrando en combustin secuencialmente y van siendo descartados cuando el combustible se agota, permitiendo aumentar la capacidad de carga del cohete.

A. COHETES DE VARIAS ETAPASUn cohete es una clase de vehculo o de transporte (de objetos, instrumentos, explosivos, animales, personas, etc.) que utiliza uno o variosmotores de propulsin a chorro. Es decir que el principio fsico que utiliza para impulsarse el cohete es arrojar materia hacia atrs, como tambin hace un avinjeto un simple regador giratorio de jardn que expulsa agua en todas las direcciones. Sin embargo, las ecuaciones que rigen el movimiento del cohete (con las que se determina su velocidad, trayectoria y alcance), son muy diferentes, ya que el cohete no utiliza alas para guiarse, ni est sujeto a un eje de rotacin. Mientras el cohete se aleja o se mueve rozando la atmsfera bajo la influencia gravitatoria de La Tierra, o mientras viaja en el espacio interestelar, va perdiendo masa.

Uncohete de varias etapases uncohetecuya estructura est fragmentada en partes o "etapas", cada una conmotores de propulsin a chorro, combustible y oxidante, con propulsin independiente del resto.

El extraordinariocohete de tres etapasSaturno Vfue desarrollado por laNational Aeronautics and Space Administration(NASA) para elPrograma Espacial Apollode U.S.A. Este gigante de 363 pies (110.64 m) de altura que se desarroll para lanzarlo con un peso 6.4 millones de libras (2903.04 toneladas), fue el resultado de estudios que comenzaron a finales de los aos 50, con el ingeniero alemnWernher von Braun(1912-1977) y su asociados en laBallistic Missile Agency.

B. BENEFICIOS DE VARIAS ETAPAS

Tener varias etapas sirve para alcanzar velocidades mayores y por lo tanto llegar ms lejos. Este es el caso delSaturno V, cuya rplica autntica se observa en la siguiente fotografa. Las tres marcas negras superiores, indican la zona superior (o final) de cada etapa

C. PROPULSIN Y CARACTERSTICAS DE LA ETAPA DEL COHETE SATURNO V

Adems de los sistemas de control, cada etapa est formada por motores de propulsin a chorro, combustible y oxidante, con las correspondientes carcazas y tanques de almacenamiento.

En el caso delSaturno V, en cada misin, cada etapa tuvo caractersticas especiales, como las siguientes:

La secuencia de encendido, duracin de cada motor, forma de separacin, etc. Adems, el empuje producido por cada motor no es constante, el vuelo no es vertical, el cohete gira y La aceleracin de la gravedad cambia durante el vuelo. Es decir, el anlisis detallado es bastante complicado y excede el nivel de esta seccin. Pero se pueden dar algunas caractersticas generales, para tener una idea del tipo de vehculo que fue el Saturno V:

La primera etapa, de 33 pies (10.06 m) de dimetro, tuvo 5 motores F-1 con kerosene y oxgeno lquido, obteniendo un total de 7.6 millones de libras (unas 3447 toneladas) de empuje.El empuje de esta etapa dura 2.5 min, alcanzando una altura de 61 km, una velocidad de 8600 km/h y una aceleracin de 4g(39 m/s2), con 2 millones de kg de propulsor.La separacin se produce a los 62 km de altura, y sigue subiendo hasta los 110 km, cuando empieza su cada al Ocano Atlntico a unos 560 km de la plataforma de lanzamiento.

La segunda etapatuvo 5 motores J-2 con hidrgeno lquido y oxgeno lquido, con 1.155 millones de libras (523.9 tn) de empuje total.La duracin del empuje de esta etapa es 6 min, alcanzando 185 km de altura y una velocidad de 24600 km/h, casi la velocidad orbital.Finalmente cae a unos 4200 km de la plataforma.

La tercera etapa, con 21.7 pies (6.614 m) de dimetro, tuvo 1 motor J-2 con hidrgeno lquido y oxgeno lquido, alcanzando 0.208242 millones de libras (94.46 tn) de empuje, cuya duracin total es de unos 2.5 min.En esta ltima tercera etapa iba la unidad de instrumentos (con el equipo de "navegacin" o guiado). El correspondiente mdulo Apollo iba colocado sobre esta unidad.

V. PROPELENTE Y COMBUSTIBLE

El motor cohete es un conjunto de dispositivos que conforman un sistema de propulsin. Su mayor caracterstica es que la masa propulsada como fuente de energa cintica se encuentra auto contenida en forma de energa qumica, siendo capaz de proporcionar la fuerza de empuje necesaria para generar un movimiento opuesto a la salida de los gases de escape mediante el principio fsico de la tercera ley de Newton, accin y reaccin: A toda accin corresponde una reaccin igual y en sentido contrario. Esta ley es equivalente al Principio de Conservacin de momento para un sistema de partculas aislado, en este caso el sistema lo conforman el cohete, y los gases expulsados. En el motor cohete qumico de propelente slido (SRM Solid rocket motor) el propulsante (molcula mezcla de parte oxidante y combustible) est formado por granos o bloques sujetos a la estructura del motor cohete o a la cmara de combustin, y generando las siguientes caractersticas en el motor:

Altas fuerzas de empuje en pequeos tiempos de actuacin. No se puede apagar cuando esta encendido, y se consume el combustible totalmente. El empuje solo se puede regular por la variacin de rea en la tobera.Los granos o bloques no deben ser corrosivos, ni txicos, ni voltiles, para que admitan largos periodos de almacenamiento. Tienen una alta fiabilidad de funcionamiento. El sistema motor cohete de propelente solido se encuentra conformado por un conjunto de piezas que permiten su rendimiento y ptimo funcionamiento, como de observa en la figura a continuacin:

El propelente es la mezcla qumica entre el oxidante y el combustible. Su creacin surge mediante diferentes procesos qumicos, para dar como resultado un bloque compacto que contiene la energa qumica necesaria, que luego ser transformadapor la ignicin en energa cintica, proporcionando la velocidad necesaria de los gases de escape. En este tipo de cargas o combustibles, se puede variar la forma geometra del rea expuesta, aumentado o disminuyendo la superficie de quemado, lo que permite modificar las presiones y tiempos de quemado del propelente, de all que el propulsor tiene una forma caracterstica dependiendo de la misin del motor cohete. La cmara de combustin es el lugar donde se almacena el propelente solido, y ocurre la ignicin del mismo, expandiendosus gases y haciendo que esta zona soporte las cargas y fuerzas producto de la combustin. Por ltimo la tobera es el ducto propulsivo, donde los gases a baja velocidad son comprimidos en la zona convergente para aumentar su velocidad y luego expandirse al ambiente en la zona divergente de la tobera, adquiriendo velocidades en regmenes supersnicos e hipersnicos caractersticos de estosmotores a reaccin que producen grandes fuerzas de empuje.

SELECCIN DEL PROPELENTE

La mezcla del propelente es seleccionada de acuerdo con el mayor impulso especfico que pueda desarrollar, este es el factor primordial de diseo debido a que relaciona la fuerza de empuje de un motor cohete en funcin del flujo msico del propelente y la gravedad como se observa en la siguiente ecuacin:

Donde los trminos (Isp) representan el impulso especfico del propelente en segundos, (F ) la fuerza de empuje ideal. (g) la constante de gravedad en la superficie de la tierra, ( ) el flujo msico de los gases en el motor cohete, y (Ve) la velocidad de salida de los gases de escape en la tobera. El impulso especfico es determinado por la temperatura y la masa molecular del propelente, entre mayor sea el impulso especfico del propelente tiene mayor energa qumica para transformarla en energa cintica, que de acuerdo con la misin es seleccionada en funcin del empuje o la velocidad a desarrollar como en este caso. Se observan los diferentes tipos de propelente slidos ms comunes en la industria espacial, y se comparan en la tabla siguiente para seleccionar el de mayor impulso.

VI. FUNCIONAMIENTO Y FRMULAS BSICAS Tsiolkovski defini que los vehculos de transporte espacial adquieren la energa necesaria para su movimiento a partir de un sistema de motores cohete, los cuales permiten el desarrollo de grandes velocidades con la transformacin de la energa qumica de sus propelentes en energa cintica de gases de escape mediante el direccionamiento en un ducto propulsivo (tobera). La expulsin de una cantidad significativa de masa en poco tiempo (flujo msico) es lo que hace posible que los cohetes generen altas velocidades, acompaadas de fuerzas de empuje, pero limitados a causa del poco tiempo que dura la combustin (Humble, Henry & Larson, 1995). La ecuacin que relaciona la masa y la velocidad del sistema con su cantidad de movimiento lineal es:Donde Pmom es el momentum lineal del sistema, m la masa y V la velocidad. Derivando esta ecuacin respecto al tiempo se obtiene:Dando como resultado que Fm es la fuerza de empuje generada por el cambio del momentum del cohete respecto al tiempo, o el producto de la variacin de masas dm=dt por la velocidad de salida de los gases respecto al vehculo representada por ve. En otras palabras, el movimiento del cohete en una dimensin, sin considerar fuerzas externas (es decir, un cohete ideal) y en funcin de la fuerza de empuje se puede expresar como:

Siendo m el flujo msico de los gases (tasa de salida de material eyectado por unidad de tiempo), Isp = ve=go el impulso especfico de los mismos y g0 la aceleracin de la gravedad en la superficie de la Tierra. El cambio de velocidad del cohete en el vaco depende entonces de la velocidad de expulsin de los gases y la prdida de masa respecto al tiempo:

En la figura se observa la direccin de los vectores velocidad del cohete V opuesto al vector velocidad de los gases de escape en la tobera ve:

Velocidades del CoheteIntegrando la ecuacin en lmites de la masa inicial del cohete mi y la masa final mf , para velocidades correspondientes a Vi y Vf , tenemos:

donde la velocidad final Vf depende de la fraccin de masa consumida, o la relacin entre la masa inicial y la masa final (Humble, Henry & Larson, 1995). LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTOPara modelar adecuadamente el movimiento del cohete se hace necesario comprender los parmetros fsicos y matemticos que lo regulan de la manera ms aproximada posible. Por tal motivo, lo primero es entender el medio donde se est desplazando el vehculo, el .ruido atmosfrico y sus variaciones en funcin de la altitud debido a que genera las fuerzas aerodinmicas sobre el cuerpo del cohete que sern considerables para el anlisis de la trayectoria de vuelo.Tambin se hace necesario conocer las variaciones gravitacionales en funcin de la ubicacin sobre la super.cie de la Tierra as como su altitud; con ello se conoce la componente de la fuerza de peso para cada instante de tiempo considerando el cohete como un sistema de masa variable. Para conocer la ubicacin del cohete se hace necesario establecer sistemas de referencia para .fijar la posicin del vehculo respecto al centro de masas de la Tierra, durante su ascenso y vuelo orbital. A lo largo de este captulo se describen las ecuaciones que rigen el movimiento del cohete teniendo en cuenta los parmetros mencionados anteriormente. MODELO ATMOSFRICODurante el ascenso del cohete a rbita es necesario que el vehculo atraviese la atmsfera del planeta Tierra. En esta etapa de vuelo sobre el cuerpo se generan cargas aerodinmicas productos de la presin dinmica, y la densidad atmosfrica; en otras palabras, el .ruido atmosfrico genera fuerzas aerodinmicas sobre el cuerpo como el arrastre y la sustentacin. Para modelar matemticamente esas fuerzas que afectan la dinmica de la trayectoria de vuelo, se hace necesario incluir un modelo de la atmsfera terrestre para conocer las condiciones fsicas del .ruido como la densidad, presin y temperatura en funcin de la altitud geomtrica.

Existen varios modelos matemticos para el modelamiento de la atmsfera terrestre que han sido creados a lo largo de los aos, tales como:

la US Standard Atmophere, ISA (International Standard Atmosphere) Earth-GRAM (Earth Global Reference Atmospheric Model ). MSISe (Mass Spectrometer In- coherent Scatter ). ICAO (International Civil Aviation Organization). ARDC (Air Research and Development Comand). El ms reciente y avanzado es el modelo de la NASA Earth Gram 20101, un modelo global que depende de la latitud, longitud y achatamiento terrestre; tambin modela las corrientes que generan los vientos; sin embargo, este cdigo es de acceso restringido al pblico en general ya que solo agencias espaciales y gubernamentales que tengan convenios con Estados Unidos pueden acceder al uso del modelo. Modelo utilizado actualmente por la organizacin de aviacin civil internacional (OACI) es el ISA con lmites de datos hasta los 32 km y el modelo completo hasta los 90 km de altitud (ANSI, 2004).

VII. OPTIMIZACIN

El proceso de optimizacin del cohete se encarga de disminuir la cantidad de masa total en funcin del combustible, relacionando la masa estructural de: las etapas y nmero de etapas del vehculo, con la velocidad de los gases y el impulso especfico del propelente de cada etapa. Es posible, mediante un proceso iterativo, obtener los parmetros de masas en las etapas del cohete, respecto a la masa de la carga til en el lanzamiento. Segn los parmetros de configuracin a nivel Colombia y la misin, el impulso especifico Isp1 para propelente slidos que actualmente se desarrollan en el pas por las industrias militares es del orden de 220 s2 . Debido al escaso desarrollo de propelente qumicos en el pas, este se toma como un estndar para impulso espec.co de todas las etapas Ispk. Partiendo de la ecuacin fundamental del movimiento del cohete _ que depende de los gases de escape de la etapa vek y la relacin de masas iniciales m0k con la .final mfk, donde el subndice k indica el nmero de etapas a analizar (Koelle, 1961; Tewari, 2006), se obtiene:

Si se reemplazan las masas por los factores de carga estructural _k, el factor de relacin de masas iniciales y .finales _k, se encuentra que la ecuacin anterior queda de la forma:

Siendo msk la masa estructural de la etapa y mpropk la masa del propelente qumico. Al relacionar el cambio de velocidad con la velocidad de gases de escape de la primera etapa, y la relacin entre factores de masa ak, la ecuacin a iterar queda de la siguiente forma:

Para este caso k representa la relacin de velocidades de escape, T la relacin entre la carga paga o carga til mpay (masa a transportar) con la masa inicial total del vehculo mi1 (La.eur, Fleming & Saleh, 2012).

Optimizacin del cohete portador Para el caso de estudio se calcula una velocidad neta a desarrollar por el cohete ideal de 9;7 km/s, debido a que este valor se reduce por la influencia de la gravedad y arrastre atmosfrico dejando una velocidad neta (orbital) del orden de los 7.7 km/s (Tewari, 2007). Se comparan datos estadsticos de otros cohetes lanzadores para rbitas bajas determinado el factor de masa estructural _k = 0;1 que sera el peor episodio posible en las tres etapas, es decir, el cohete ms pesado estructuralmente, y los _ = 1 porque todas las etapas tienen el mismo propelente e impulso espec.co (Humble, Henry & Larson, 1995). Los resultados obtenidos del proceso iterativo del cdigo de optimizacin se presentan en la tabla a continuacin.

Con las masas halladas en el cdigo de optimizacin se procede a realizar un diseo conceptual del cohete portador segn las lneas base que se ajusten a nivel mundial con los requerimientos de este cohete, como el nmero de etapas y la masa de la carga til, obteniendo las dimensiones aproximadas para realizar el clculo aerodinmico e incluir estos datos de rendimiento en el cdigo de trayectoria de vuelo. A partir de una lnea base (cohetes construidos a nivel mundial con las mismas o similares caractersticas) se puede determinar estadsticamente las dimensiones del cohete. Con ellas se estima el rendimiento aerodinmico y con la seleccin de lugares de lanzamiento en el cdigo se puede obtener una aproximacin del comportamiento real del cohete (Humble, Henry & Larson, 1995).

VIII. RENDIMIENTO DE LOS MOTORES COHETEEl primer parmetro que depende de las masas es la relacin con la fuerza de empuje a desarrollar por los motores cohete de cada etapa. Para ello se identificar la relacin empuje/peso (T=W) en el momento del encendido del motor de los cohetes histricos o lneas bases (Humble, Henry & Larson, 1995; Sutton & caso que nos ocupa se selecciona el valor medio de 1;3. En los motores de etapas superiores y de posicionamiento orbital el valor es inferior a 1;0. Aplicando la ecuacin con los valores obtenidos de las masas y fuerzas de empuje, teniendo como referencia que la velocidad de salida de los gases de escape del motor es de 2160 m/s por la relacin con el impulso especfico

Una de las ventajas tecnolgicas de realizar un cohete portador de varias etapas es que la estructura de las dos primeras etapas puede ser recuperada mediante paracadas una vez consumido el propelente, para ser reutilizada en otro lanzamiento, mientras que la estructura de la etapa superior puede quedar en rbita baja para luego reingresar a la atmsfera terrestre donde se desintegra por efectos de la friccin y las altas temperaturas que se generan.

En la tabla anterior se muestra la comparacin de las principales propiedades del cohete colombiano (caso de referencia) con otros cohetes de la misma categora (lneas bases), es decir, que sean de propelentes slidos y transporten cargas tiles a rbitas bajas de la tierra (Humble, Henry & Larson, 1995). Con esta comparacin se busca determinar cuales son las ventajas del sistema lanzador desarrollado frente a otros que existen en el mercado mundial de pases como Brasil, Estados Unidos, Francia e India. Se puede observar que una de las ventajas del cohete es el hecho que solo tiene tres etapas frente a los dems cohetes que son de cuatro etapas, pero a su vez esto aumenta la masa total del lanzador porque debe suministrar el cambio de masas necesario para generar la velocidad orbital segn la ecuacin del cohete ideal (ecuacin 6). Estos cohetes son diseados para el transporte de satlites mini a excepcin del Vega Francs y el Minotauro estadounidense (Vought, 1980; Botbyl, 1993). El cohete propuesto para el caso de estudio cumple con los requerimientos de los dems sistemas portadores a nivel mundial y de la regin como es el caso de Brasil, para el transporte de cargas tiles a rbitas bajas.

IX. CASOS PRCTICOSExaminaremos ahora, el movimiento de un cohete que es lanzado verticalmente desde la superficie de la Tierra. Supondremos que se trata de un cohete pequeo, que alcanza una altura limitada. Podemos considerar que la intensidad de la gravedadges aproximadamente constante e igual a 9.8 m/s2.Analizaremos las dos etapas en el movimiento del cohete: Desde que se lanza hasta que agota el combustible Desde el momento en el que agota el combustible, hasta que alcanza la mxima altura.Consideremos un cohete que en el instantet, tiene una masamque lleva una velocidadvrespecto a un Sistema de Referencia Inercial (por ejemplo, la Tierra).En el instantet,el cohete de masamlleva una velocidadv. El momento lineal esp(t)=mvEn el instantet+t El cohete tiene una masam-, su velocidad esv+v. La masa expulsada lleva una velocidadurespecto del cohete o una velocidadu+v, respecto de TierraEl momento lineal en este instante esp(t+t)=(m-)(v+v)+(u+v+v)El cambio de momento lineal entre los instantes t yt+tesp= p(t+t)- p(t)=mv-u-vEn el lmite cuando t0

El cambio de momento lineal se debe a la accin de las fuerzas exteriores al sistema (la fuerza de atraccin gravitatoria, que apunta en sentido contrario al momento lineal).

Por otra parte, la masaMdel sistema formado por el cohetemy el combustible expulsadoes constanteM=+m, por lo qued+dm=0. La masa del cohete disminuye endmy aumenta la masa del combustible expulsado en la misma cantidad.La ecuacin del movimiento del cohete se escribe

Suponemos que la cantidad de combustible quemado en la unidad de tiempo,D, es constante,D=-dm/dt.La masamdel cohete en el instantetvaldrm=m0-Dt.Dondem0es la suma de la carga til ms el combustible inicial, yDtes el combustible quemado al cabo de un cierto tiempot.

Un cohete puede considerarse una partcula de masa variablemsometida a dos fuerzas de la misma direccin pero de sentidos contrarios: el empuje de los gasesuDy el pesomg.Como caso particular, mencionaremos queen el espacio exteriorel pesomgvale cero, y sobre el cohete actuara nicamente la fuerza de empuje que le proporciona la expulsin de los gases al quemarse el combustible.La ecuacin anterior la podemos escribir

Que se puede integrar de forma inmediata

obtenindose la expresin de la velocidad en funcin del tiempo

Volviendo a integrar

Se obtiene la posicinxdel mvil en cualquier instantet.

EjemplosEl empuje es mayor que peso Combustible total en el cohete, 1.0 kg Carga til que transporta, 2.0 kg Combustible quemado por segundo,D=0.1 kg/s Velocidad de salida de los gasesu0=1000 m/s Se considera despreciable la masa del recipiente que contiene el combustibleFuerzas sobre el coheteMasa total del cohete=carga til+combustiblem0=2.0+1.0=3.0 kgEl peso del cohetem0g(29.4 N) es menor que el empujeuD(100 N)2. Tiempo que tarda en agotarse el combustibleComo hay 1.0 kg de combustible que se queman a razn de 0.1 kg/s. Luego, el combustible se agota en el instantet0= 10 s.3. Velocidad mxima alcanzada por el cohete

4. Altura que alcanza hasta que se agota el combustible

5. Una vez que ha agotado el combustible, el cohete prosigue su movimiento hasta que alcanza la mxima altura. Las ecuaciones del movimiento son

Dondex0,v0es la posicin, velocidad del cohete en el instantet0en el que se ha agotado el combustible.La altura mxima se alcanza cuandov=0, en el instantet=41.4 s. La posicin del cohete en dicho instante esx=6223 m.El empuje es menor que peso Combustible total en el cohete, 2.0 kg Carga til que transporta, 9.0 kg Combustible quemado por segundo,D=0.1 kg/s Velocidad de salida de los gasesu0=1000 m/sSe considera despreciable la masa del recipiente que contiene el combustible1. Fuerzas sobre el coheteEl peso del cohete (2.0+9.0)9.8=107.8 N es mayor que el empujeuD=10000.1=100 NSe va quemando el combustible sin que se mueva el cohete hasta el momento en el que el peso se iguala al empuje.(c+9)9.8=100Cuando el combustiblec=1.204 kg el cohete empieza a elevarse. Se han desperdiciado 2-1.204=0.796 kg de combustible.2. Masa inicial del cohete al despeguem0=1.204+9.0=10.204 kg3. Tiempo que tarda en agotarse el combustibleComo hay 1.204 kg de combustible que se queman a razn de 0.1 kg/s. Luego, el combustible se agota en 12.04 s.4. Velocidad mxima alcanzada por el cohete

5. Altura que alcanza hasta que se agota el combustible

6. Tiempo que tarda en alcanzar la mxima altura0=7.56-9.8(t-12.04)t=12.8 sPosicin del cohete en dicho instantex=29.62+7.560.77-4.90.772=32.5 mEjercicio Un cohete de masa total M, de la cual f M, con f menor que uno, es de combustible, descansa verticalmente antes de encender los motores. Si se encienden los motores, que arrojan masa a razn constante ( = dm/dt) con rapidez relativa al cohete de magnitud U0, establezca la condicin que debe cumplirse para que el cohete comience a despegar de inmediato. Para este caso, determine la mxima altura que alcanza, suponiendo aceleracin de gravedad constante y despreciando el roce con el aire.

X. CONCLUSIONES

Per tiene la dicha de tener a Pedro Paulet como pionero de la astronoma a nivel mundial, pero es una pena que tales investigaciones no se hayan continuado ni aprovechado en el Per.

A nivel de Latinoamrica Brasil lidera en tecnologa y conocimientos en relacin a la astronoma.

Estados Unidos y Rusia son pases que encabezan el avance tecnolgico y conocimiento en tema de los cohetes.

Estados Unidos comenz el estudio de la astronoma mas profundidad , lanzando varios cohetes para la medicin de parmetros fsicos y sus variaciones con respecto a la altura. Per a la fecha solo lanzo 03 cohetes similares.

Se utilizan cohetes de diferentes fases para alcanzar mayores distancias, generalmente las estructuras de las primeras etapas se pueden reutilizar.

La Mayora de los cohetes lanzados con xito al espacio son de tres etapas.

La expulsin de una cantidad significativa de masa en poco tiempo (flujo msico) es lo que hace posible que los cohetes generen altas velocidades, acompaadas de fuerzas de empuje, pero limitados a causa del poco tiempo que dura la combustin

Se utilizan varios modelos matemticos para el modelamiento de la atmsfera terrestre que han sido creados a lo largo de los aos, siendo el mas reciente y avanzado el modelo de la NASA Earth Gram 20101.

El proceso de optimizacin del cohete se encarga de disminuir la cantidad de masa total en funcin del combustible, relacionando la masa estructural de: las etapas y nmero de etapas del vehculo, con la velocidad de los gases y el impulso especfico del propelente de cada etapa.

La multiplicada de LaGrange es un apoyo para la optimizacin del cohete.

Los clculos para la optimizacin generalmente son realizados por programas computacionales. Debido a que se manejan diversos datos de dinmica y aerodinmica por ejemplo.

La mejor forma de optimizar el combustible en relacin al peso y carga neta para llevar un cohete, es mejorar la eficiencia del combustible en relacin de tener altas fuerzas de empuje en pequeos tiempos de actuacin..XI. BIBLIOGRAFA

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