Download - TaiLieuLuyenThi.Net Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ......Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 4 CLB Giáo

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 1

ĐỀ THI ĐẠI HỌC: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Đề 01: A- 2012 (1) Cho đường thẳng 1 2

:1 2 1

x y zd

+ −= = và ( )0;0;3I . Viết phương trình mặt

cầu tâm (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông cân tại I. Bài giải:

Vectơ chỉ phương của d là ( )1;2;1a =�

. Gọi H là trung điểm AB, suy ra IH AB⊥ .

Ta có ( ) ( )1;2 ; 2 1;2 ; 1H t t t d IH t t t− + ∈ ⇒ = − −��

1 2 2 2. 0 1 4 1 0 ; ; .

3 3 3 3IH AB IH a t t t t IH ⊥ ⇔ = ⇔ − + + − = ⇔ = ⇒ = − −

��

Tam giác IAH vuông cân tại H, suy ra bán kính mặt cầu (S) bằng 2 6

2 .3

S IA IH= = =

Do đó, phương trình mặt cầu (S): ( )22 2 83

3x y z+ + − = .

Đề 02: A- 2012 (2) Cho đường thẳng 1 2

:2 1 1

x y zd

+ −= = , mặt phẳng (P): 2 5 0x y z+ − + = và

điểm ( )1; 1;2A − . Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là

trung điểm của đoạn MN. Bài giải:

Ta có:

1 2

:

2

x t

d y t

z t

= − +

= = +

. Gọi ( )1 2 ; ;2M t t t d− + + ∈

Do A là trung điểm của MN, suy ra ( )3 2 ; 2 ;2N t t t− − − − .

Mặt khác: ( ) ( ) ( )3 2 2 2 2 5 0 2 3;2;4N P t t t t M∈ ⇔ − − − − − + = ⇔ = ⇒ .

Đường thẳng ∆ đi qua A và M có phương trình: 1 1 2

2 3 2

x y z− + −= = .

Đề 03: B- 2012 (1) Cho đường thẳng 1

:2 1 2

x y zd

−= =

− và hai điểm ( ) ( )2;1;0 , 2;3;2A B − . Viết

phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc d . Bài giải: Gọi (S) là mặt cầu cần viết phương trình và I là tâm của (S). Do ( )1 2 ; ; 2I d I t t t∈ ⇒ + − . Do ( ), A B S∈ suy ra:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 222 1 1 4 2 3 3 2 2 1IA IB t t t t t t t= ⇔ − + − + = + + − + + ⇔ = −

Do đó ( )1; 1;2I − − , suy ra bán kính của (S): 17R IA= = .

Vậy phương trình (S): ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 17.x y z+ + + + − =

Đề 04: B- 2012 (2) Cho ( ) ( )0;0;3 , 1;2;0A M . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các

trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM. Bài giải: Do , B Ox C Oy∈ ∈ nên tọa độ B, C có dạng ( ) ( );0;0 , 0; ;0 B b C c .

TaiLieuLuyenThi.Net



Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra ; ;13 3

b cG

.

Ta có ( )1;2; 3AM = −��

nên đường thẳng AM có phương trình: 3

1 2 3

x y z −= =

−.

Do 22

43 6 3

bb cG AM

c

=−∈ ⇔ = = ⇔

=− .

Do đó phương trình mặt phẳng (P): 1 6 3 4 12 0.2 4 3

x y zx y z+ + = ⇔ + + − =

Đề 05: D- 2012 (1) Cho mặt phẳng (P): 2 2 10 0x y z+ − + = và điểm ( )2;1;3I . Viết phương trình

mặt cầu tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4. Bài giải:

Gọi H là hình chiếu của I trên (P), suy ra H là tâm đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cần viết phương trình.

Ta có: ( )( ), 3dIH I P= = , bán kính mặt cầu (S): 2 23 4 5R = + = .

Phương trình mặt cầu (S): ( ) ( ) ( )2 2 22 1 3 25.x y z− + − + − =

Đề 06: D- 2012 (2) Cho đường thẳng 1 1

:2 1 1

x y zd

− += =

− và hai điểm ( ) ( )1; 1;2 , 2; 1;0 A B− − .

Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M. Bài giải: Do M d∈ nên tọa độ M có dạng ( )1 2 ; 1 ; .M t t t+ − −

Ta có ( ) ( )2 ; ; 2 , 1 2 ; ; . AM t t t BM t t t= − − = − + −��

Theo giả thiết, tam giác AMB vuông tại M ( ) ( )2. 0 2 1 2 2 0AM BM t t t t t⇔ = ⇔ − + + + − =��

20

6 4 0 2

3

tt t

t

=⇔ − = ⇔ =

.

Do đó có 2 điểm M thỏa yêu cầu bài toán là ( ) 7 5 21; 1;0 , ; ;

3 3 3 M M − −

.

Đề 07: A- 2011 (1) Cho hai điểm ( ) ( )2;0;1 , 0; 2;3−A B và mặt phẳng ( ) : 2 4 0.− − + =P x y z

Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho 3= =MA MB . Bài giải:

Gọi ( ); ;M x y z , ta có ( )∈M P và ( ) ( )

( ) ( )

2 22

2 22

2 4 0

2 1 9

2 3 9

− − + =

= ⇔ − + + − =

+ + + − =

x y z

MA MB x y z

x y z

( ) ( )2 2 22

2 4 0 2 2

2 0 3

7 11 4 02 1 9

− − + = = −

⇔ + − + = ⇔ = − + =− + + − =

x y z x y

x y z z y

y yx y z

TaiLieuLuyenThi.Net



( ) ( ); ; 0;1;3⇔ =x y z hoặc ( ) 6 4 12; ; ; ;

7 7 7

= −

x y z .

Vậy ta có ( )0;1;3M hoặc 6 4 12

; ;7 7 7

−

M .

Đề 08: A- 2011 (2) Cho mặt cầu ( ) 2 2 2: 4 4 4 0+ + − − − =S x y z x y z và điểm ( )4;4;0A . Viết

phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều. Bài giải:

(S) có tâm ( )2;2;2 ,I bán kính 2 3.=R Nhận xét: O và A cùng thuộc (S).

Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp 4 2

3 3= =

OAr .

Khoảng cách: ( )( ) 2 2 2d ,

3= − =I P R r

(P) đi qua O có phương trình dạng: ( )2 2 20 0 (*)+ + = + + >ax by cz a b c

(P) đi qua A, suy ra: 4 4 0 .+ = ⇒ = −a b b a

( )( ) ( ) 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2d , 2 3 .

32 2

+ += = ⇒ = ⇒ + = ⇒ = ±

+ + + +

a b c c cI P a c c c a

a b c a c a c

Theo (*) suy ra (P): 0− + =x y z hoặc 0− − =x y z .

Đề 09: B- 2011 (1) Cho đường thẳng 2 1

:1 2 1

− +∆ = =

− −x y z

và mặt phẳng ( ) : 3 0.+ + − =P x y z

Gọi I là giao điểm của ∆ và ( )P . Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với ∆ và

4 14=MI . Bài giải:

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: ( )2 1

1;1;11 2 13 0

− + = =⇒− −

+ + − =

x y z

I

x y z

Gọi ( ); ;M a b c , ta có: ( )( ) ( ) ( )2 2 2

3 0

: 2 2 04 14

1 1 1 224

+ + − =⊥ ∆

∈ ⇔ − − + = =

− + − + − =

a b cMI

M P a b cMI

a b c

( ) ( ) ( )2 2 2

2 1

3 4

1 2 2 3 3 224

= −

⇔ = − +

− + − + − + =

b a

c a

a a a

( ) ( ); ; 5;9; 11⇔ = −a b c hoặc ( ) ( ); ; 3; 7;13= − −a b c .

Vậy ta có ( )5;9; 11−M hoặc ( )3; 7;13− −M .

Đề 10: B- 2011 (2) Cho đường thẳng 2 1 5

:1 3 2

+ − +∆ = =

−x y z

và hai điểm ( )2;1;1 ,−A

( )3; 1;2− −B . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho ∆MAB có diện tích bằng 3 5.

TaiLieuLuyenThi.Net



Bài giải:

Gọi ∈∆M , suy ra tọa độ M có dạng ( )2 ;1 3 ; 5 2 .− + + − −M t t t

( ) ( )

( )

( ) ( )2 2 2 2

;3 ; 6 2 ; 1; 2;1

, 12; 6;

03 5 12 6 180 12 0

12∆

⇒ = − − = − −

⇒ = − − +

== ⇔ + + + + = ⇔ + = ⇔ = −

��

��

MAB

AM t t t AB

AM AB t t t

tS t t t t t

t

Vậy ( )2;1; 5− −M và ( )14; 35;19− −M .

Đề 11: D- 2011 (1) Cho điểm ( )1;2;3A và đường thẳng 1 3

:2 1 2

+ −= =

−x y z

d . Viết phương trình

đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox. Bài giải:

Mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với d, có phương trình: 2 2 2 0.+ − + =x y z Gọi B là giao điểm của trục Ox với (P), suy ra ∆ là đường thẳng đi qua các điểm A, B. Ta có: ( );0;0∈ ⇒B Ox B b thỏa mãn phương trình ( )2 2 0 1;0;0 .+ = ⇒ −b B

Phương trình

1 2

: 2 2

3 3

= +

∆ = + = +

x t

y t

z t

Đề 12: D- 2011 (2) Cho đường thẳng 1 3

:2 4 1

− −∆ = =

x y z và mặt phẳng ( ) : 2 2 0.− + =P x y z

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆ , bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mp(P). Bài giải:

Gọi I là tâm của mặt cầu. Do ( )1 2 ;3 4 ;∈∆⇒ + +I I t t t .

Mặt cầu tiếp xúc với (P) ( )( ) ( ) ( )2 1 2 3 4 2 2d , 1 1

3 1

+ − + + =⇔ = ⇔ = ⇔ = −

t t t tI P

t

Suy ra ( )5;11;2I hoặc ( )1; 1; 1− − −I .

Phương trình mặt cầu: ( ) ( ) ( )2 2 25 11 2 1− + − + − =x y z hoặc ( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 1 1+ + + + + =x y z

Đề 13:A- 2010 (1) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 1 2

:2 1 1

− +∆ = =

−x y z

và mặt phẳng

(P): 2 0− + =x y z . Gọi C là giao điểm của ∆ và (P), M là một điểm thuộc ∆ . Tính khoảng cách

từ M đến mp(P), biết 6=MC .

Bài giải: Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương ( )2;1; 1= −�v và

mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến ( )1; 2;1= −�n .

Gọi H là hình chiếu của M trên (P), ta có:

( )cos cos , .=� �

HMC v n

Ta có:

( )( ) � ( )2 2 1 1

d , .cos . cos , 6.6 6 6

− −= = = = =

� �M P MH MC HMC MC v n

∆∆∆∆

M

HC

P

TaiLieuLuyenThi.Net



Đề 14: A- 2010 (2) Cho điểm (0;0; 2)−A và 2 2 3

:2 3 2

+ − +∆ = =

x y z. Tính khoảng cách từ A đến

∆ . Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B, C sao cho 8=BC . Bài giải:

Đường thẳng ∆ đi qua điểm ( )2;2; 3− −M , nhận ( )2;3;2=�v làm vectơ chỉ phương.

Ta có: ( ) ( )2; 2;1 , 7;2; 10 = − ⇒ = − �� MA v MA

Suy ra: ( ), 49 4 100

d , 34 9 4

+ + ∆ = = =+ +

��

�

v MAA

v

Gọi (S) là mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại B và C sao cho 8=BC . Suy ra bán kính của (S) là: 5=R . Đề 15: B- 2010 (1) Trong kh«ng gian täa ®é Oxyz, cho çc ®iÓm (1;0;0), (0; ;0), (0;0; ), A B b C c

trong ®ã , 0 vµ mÆt ph¼ng ( ) : 1 0. X¸c ®Þnh vµ , biÕt mÆt ph¼ng (ABC) vu«ng

1gãc víi mÆt ph¼ng (P) vµ kho¶ng çch tõ O ®Õn mÆt ph¼ng (ABC) b»ng .

3

> − + =b c P y z b c

Bài giải:

Mặt phẳng (ABC) có phương trình: 11+ + =

x y z

b c.

Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P): 1 0− + =y z , suy ra: 1 1

0− =b c

(1)

Ta có: ( )( ) 2 2

2 2

1 1 1 1 1d O, ABC 8

3 31 11

= ⇔ = ⇔ + =

+ +b c

b c

(2)

Từ (1) và (2), do , 0>b c suy ra 1

2= =b c .

Đề 16: B- 2010 (2) 1

Trong kh«ng gian täa ®é Oxyz, cho ®−êng th¼ng : . X¸c ®Þnh 2 1 2

−∆ = =

x y z

täa ®é ®iÓm M trªn trôc hoµnh sao cho kho¶ng çch tõ M ®Õn b»ng OM.∆

Bài giải:

Đường thẳng ∆ đi qua điểm ( )0;1;0A và có vectơ chỉ phương ( )2;1;2=�v .

Do M thuộc trục hoành, nên M có tọa độ ( );0;0t , suy ra: ( ); 1;0= −��AM t .

( )

( )2

2

, 2;2 ; 2

15 4 8d , 2 0

3 2

⇒ = − −

= −+ +⇒ ∆ = ⇔ = ⇔ − − = ⇔ =

��v AM t t

tt tM OM t t t

t

Suy ra ( )1;0;0−M hoặc ( )2;0;0M .

Đề 17: D- 2010 (1) Cho hai mp(P): 3 0 vµ (Q): 1 0.+ + − = − + − =x y z x y z ViÕt ph−¬ng tr×nh mp(R) vu«ng gãc víi (P) vµ (Q) sao cho kho¶ng çch tõ O ®Õn (R) b»ng 2.

Bài giải:

Ta có vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) lần lượt là: ( )1;1;1=�P

n và ( )1; 1;1= −�Q

n , suy ra:

TaiLieuLuyenThi.Net



( ), 2;0; 2 = − � �P Q

n n là vectơ pháp tuyến của (R).

Mặt phẳng (R) có phương trình dạng 0− + =x z D .

Ta có ( )( )d ,2

=D

O R suy ra: 2 2 22= ⇔ =

DD hoặc 2 2= −D .

Vậy phương trình mặt phẳng (R): 2 2 0− + =x z hoặc 2 2 0− − =x z .

Đề 18: D- 2010 (2) 1

3

Cho ®−êng th¼ng :

= +

∆ = =

x t

y t

z t

2

1vµ :

2 1 2

−∆ = =

x y z

1 2X¸c ®Þnh täa ®é ®iÓm M thuéc sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn b»ng 1.∆ ∆

Ta có: + 1∈∆M , nên ( )3 ; ;+M t t t .

+ 2∆ đi qua ( )2;1;0A và có vectơ chỉ phương ( )2;1;2=�v .

Do đó: ( ) ( )1; 1; ; , 2 ;2; 3 . = + − = − − �� AM t t t v AM t t

Ta có: ( )2

2

, 2 10 17d ,

3

− + ∆ = =

��

�

v AM t tM

v suy ra

22 10 171

3

− +=

t t

2 15 4 0

4

=⇔ − + = ⇔ =

tt t

t

Suy ra ( )4;1;1M hoặc ( )7;4;4M .

Đề 19: A- 2009 (1) Cho mặt phẳng ( ) : 2 2 4 0− − − =P x y z và mặt cầu ( ) 2 2 2S : 2 4 6 11 0x y z x y z+ + − − − − = .

Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó. Bài giải:

(S) có tâm ( )1;2;3I , bán kính 5=R .

Khoảng cách từ I đến (P): ( )( ) 2 4 3 4d , 3

3

− − −= = <I P R ; suy ra đ.p.c.m

Gọi H và r lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến, H là hình chiếu vuông góc của I

trên (P): ( )( ) 2 2d , 3, 4= = = − =IH I P r R IH .

Tọa độ ( ); ;H x y z thỏa mãn:

1 2

2 2

3

2 2 4 0

= + = −= −

− − − =

x t

y t

z t

x y z

Giải hệ ta được ( )3;0;2H .

Đề 20: A-2009 (2) Cho mặt phẳng ( )P : 2 2 1 0x y z− + − = và 2 đường thẳng

TaiLieuLuyenThi.Net



∆1: 1 9

1 1 6

+ += =

x y z và ∆2:

1 3 1

2 1 2

− − += =

−x y z

. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1

sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau. Bài giải:

2∆ qua ( )1;3; 1−A và có vectơ chỉ phương ( )2;1; 2= −�u .

( )

( ) ( )1

2

1 ; ; 9 6

2 ;3 ;8 6 , , 8 14;20 14 ; 4

, 3 29 88 68

∈∆ ⇒ − + − +

= − − − = − − −

⇒ = − +

��

��

M M t t t

MA t t t MA u t t t

MA u t t

Khoảng cách từ M đến 2∆ : ( ) 22

,d , 29 88 68

∆ = = − +

��

�

MA uM t t

u

Khoảng cách từ M đến (P): ( )( )( )22 2

1 2 12 18 1 11 20d ,

31 2 2

− + − + − − −= =

+ − +

t t t tM P

( )

2 2

111 20

29 88 68 35 88 53 0 533

35

53 18 53 31 0;1; 3 ; ; ;

35 35 35 35

=− ⇒ − + = ⇔ − + = ⇔ =

= ⇒ − = ⇒

tt

t t t tt

t M t M

Đề 21: B-2009 (1) Cho tứ diện ABCD có các đỉnh ( )1;2;1 ,A ( ) ( ) 2;1;3 , 2; 1;1B C− − và ( )0;3;1D .

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). Bài giải:

Mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau: Trường hợp 1: (P) đi qua A, B và song song với CD.

Vec tơ pháp tuyến của (P): , = ��

n AB CD .

( ) ( ) ( )3; 1;2 , 8; 4; 14 8; 4; 14= − − = − − − ⇒ = − − −�� AB CD n .

Phương trình (P): 4 2 7 15 0+ + − =x y z Trường hợp 2: (P) qua A, B và cắt CD. Suy ra (P) cắt CD tại trung điểm I của CD.

Ta có: ( ) ( )1;1;1 0; 1;0⇒ = −��

I AI ; vectơ pháp tuyến của (P): ( ), 2;0;3 = = ��

n AB AI

Phương trình (P): 2 3 5 0+ − =x z . Vậy (P): 4 2 7 15 0+ + − =x y z hoặc (P): 2 3 5 0+ − =x z .

Đề 22: B-2009 (2) Cho mặt phẳng ( )P : 2 2 5 0x y z− + − = và hai điểm ( ) ( )3;0;1 , 1; 1;3A B− − .

Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. Bài giải:

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm; ∆ nằm trong mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P). Phương trình (Q): 2 2 1 0− + + =x y z .

TaiLieuLuyenThi.Net



K, H là hình chiếu của B lên ∆ , (Q). Ta có ≥BK BH nên AH là đường thẳng cần tìm.

Tọa độ ( ); ;H x y z thỏa mãn: 1 1 3

1 11 7; ;1 2 2

9 9 92 2 1 0

− + − = = ⇒ −− − + + =

x y z

H

x y z

26 11 2; ;

9 9 9

= −

��AH . Vậy phương trình

3 1:

26 11 2

+ −∆ = =

−x y z

.

Đề 23: D-2009 (1) Cho các điểm ( ) ( ) ( )2;1;0 , 1;2;2 , 1;1;0A B C và mp ( )P : 20 0x y z+ + − = . Xác

định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P). Bài giải:

( )1;1;2= −��AB , phương trình

2

: 1

2

= −

= + =

x t

AB y t

z t

.

D thuộc đường thẳng AB ( ) ( )2 ;1 ;2 1 ; ;2 .⇒ − + ⇒ = −��

D t t t CD t t t

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): ( )1;1;1=�n .

Ta có: C không thuộc mặt phẳng (P).

( ) 1//( ) . 0 1. 1 1. 1.2 0

2⇔ = ⇔ − + + = ⇔ = −

��CD P n CD t t t t . Vậy

5 1; ; 1

2 2

−

D .

Đề 24: D-2009 (2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: 2 2

1 1 1

+ −= =

−x y z

và mặt phẳng ( )P : x 2y 3z 4 0+ − + = . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d

cắt và vuông góc với đường thẳng ∆. Bài giải:

Tọa độ giao điểm I của ∆ với (P) thỏa mãn hệ: ( )2 2

3;1;11 1 12 3 4 0

+ − = =⇒ −−

+ − + =

x y z

I

x y z

.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): ( )1;2; 3= −�n , vectơ chỉ phương của ( ): 1;1; 1∆ = −

�u .

Đường thẳng d cần tìm qua I và có vectơ chỉ phương [ ] ( ), 1; 2; 1= = − −� � �v n u .

Phương trình

3

: 1 2

1

= − += −

= −

x t

d y t

z t

.

Đề 25: A-2008 Trong không gian với hệ toạ độ Oxy, cho điểm ( )2;5;3A và 1 2

:2 1 2

− −= =

x y zd

a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d. b) Viết phương trình mp(α ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α ) lớn nhất .

Bài giải:

a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ( )2;1;2=�u . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d,

suy ra ( ) ( )1 2 ; ;2 2 ; 2 1; 5;2 1 .+ + = − − −��

H t t t AH t t t B

TaiLieuLuyenThi.Net



Vì ⊥AH d suy ra ( ) ( ). 0 2 2 1 5 2 2 1 0 1.= ⇔ − + − + − = ⇔ =�� AH u t t t t

Suy ra ( )3;1;4H .

b) Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( )α .

Ta có: ( )( )d A, α = ≤AK AH .

Do đó ( )( )d A, α lớn nhất AK AH⇔ = , hay ≡K H .

Suy ra ( )α qua H và nhận ( )1; 4;1= −��AH làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình của ( )α là: ( ) ( ) ( )1 3 4 1 1 4 0 4 3 0.− − − + − = ⇔ − + − =x y z x y z

Đề 26: B-2008 Cho ba điểm ( ) ( ) ( )0;1;2 , 2; 2;1 , 2;0;1A B C− − .

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. b) Tìm toạ độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2 2 3 0x y z+ + − = sao cho MA MB MC= = .

Bài giải:

a) Ta có: ( ) ( ) ( )2; 3; 1 , 2; 1; 1 , 2;4; 8 = − − = − − − ⇒ = = − �� AB AC n AB AC .

Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C nhận �n làm vetơ pháp tuyến nên có phương trình:

( ) ( ) ( )2 0 4 1 8 2 0 2 4 6 0− + − − − = ⇔ + − + =x y z x y z .

b) Ta có . 0=�� AB AC nên điểm M thuộc đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại trung

điểm ( )0; 1;1−I của BC.

Tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ phương trình: 2 2 3 0

1 1

1 2 4

+ + − = + −

= = −

x y z

x y z

Suy ra ( )2;3; 7−M

Đề 27: D-2008 Cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3). a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D. b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài giải:

a) Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng:

( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 0 * 0 (**)+ + + + + + = + + − >x y z ax by cz d a b c d

Thay tọa độ của các điểm A, B, C, D vào (*) ta được hệ phương trình:

6 6 18

6 6 18

6 6 18

6 6 6 27

+ + = − + + = −

+ + = − + + + = −

a b d

a c d

b c d

a b c d

Giải hệ phương trình trên và đối chiếu điều kiện (**) ta được phương trình mặt cầu:

2 2 2 3 3 3 0+ + − − − =x y z x y z .

b) Mặt cầu đi qua A, C, C, D có tâm 3 3 3

; ;2 2 2

I .

Gọi phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là: ( )2 2 20 0+ + + = + + >mx ny pz q m n p .

Thay tọa độ các điểm A, B, C vào phương trình ta được:

TaiLieuLuyenThi.Net



3 3 0

3 3 0 6 6 6 0

3 3 0

+ + =

+ + = ⇒ = = = − ≠ + + =

m n q

m p q m n p q

n p q

Do đó phương trình mặt phẳng (ABC) là: 6 0+ + − =x y z . Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là hình chiếu vuông góc H của điểm I trên mặt phẳng (ABC).

Phương trình đường thẳng IH:

3 3 3

2 2 21 1 1

− − −= =

x y z

.

Tọa đọ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

6 0

3 3 3

2 2 21 1 1

+ + − = − − − = =

x y z

x y z

Giải hệ trên ta được ( )2;2;2H .

Đề 28: Dự bị A 1-2008

Cho hai đường thẳng 1

3 3 3:

2 2 1

− − −= =

x y zd ; 2

5 6 6 13 0:

6 6 7 0

− − + =− + − =

x y zd

x y z

a) Chứng minh rằng 1d và 2d cắt nhau .

b) Gọi I là giao điểm của 1d và 2d . Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt thuộc 1d , 2d sao cho

tam giác IAB cân tại I và có diện tích bằng 41

42.

Bài giải:

a) Tọa độ giao điểm của 1d và 2d ( nếu có )là nghiệm của hệ phương trình:

3 3 312 2 1

5 6 6 13 0 1

6 6 7 0 2

− − − = = =

− − + = ⇔ = − + − = =

x y z

x

x y z y

x y z z

Vậy 1d cắt 2d tại giao điểm ( )1;1;2I .

b) 1d đi qua điểm ( )1 3;3;3M có vectơ chỉ phương 1 (2;2;1)u =�

;

2d là giao tuyến hai mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến lần lượt là 1 (5; 6; 6)n = − −�

; 2 (1; 6;6)n = −�

nên

có vectơ chỉ phương là [ ] ( )1 2; 72; 36; 24n n = − − −� �

. Chọn vectơ chỉ phương là 2 (6;3;2)u =�

Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng 1d và 2d .

Ta có: 1 2 2

1 2

. 20 41cos sin 1 cos

. 21 21

u u

u uϕ ϕ ϕ= = ⇒ = − =

� �

� �

Giả sử 0.IA IB a= = > Diện tích của tam giác IAB là 21 41 41. . .sin . 1

2 42 42S IA IB a aϕ= = = ⇒ =

Vậy A nằm trên mặt cầu (S) tâm I bán kính bằng 1: (S) : 2 2 2( 1) ( 1) ( 2) 1− + − + − =x y z

TaiLieuLuyenThi.Net



Ta có ( )1A d S= ∩ nên tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình

2 2 2

3 2

3 2

3

( 1) ( 1) ( 2) 1

= + = + = + − + − + − =

x t

y t

z t

x y z

2 2 2

3 2 2 5 5 7; ;3 2 3 3 3 3

3 4 1 1 5; ;

3 3 3 3(2 2) (2 2) ( 1) 1

= + = − ⇒ = = = = +

⇔ ⇒ = + = − ⇒ = = = + + + + + =

x tt x y z

y t

z tt x y z

t t t

và ( )2B d S= ∩ nên tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình

2 2 2

1 6

1 3

2 2

( 1) ( 1) ( 2) 1

= + = +

⇔ = + − + − + − =

x t

y t

z t

x y z

2 2 2

1 6 1 13 10 16; ;1 3 7 7 7 7

2 2 1 1 4 12; ;

7 7 7 7(6 ) (3 ) (2 ) 1

= + = ⇒ = = = = +

⇒ = + − = ⇒ = = = + + =

x tt x y z

y t

z tt x y z

t t t

Vậy có 4 cặp điểm A, B cần tìm là:

5 5 7 13 10 16

; ; ; ; ;3 3 3 7 7 7

A B hoặc 5 5 7 1 4 12

; ; ; ; ;3 3 3 7 7 7

A B

Hoặc 1 1 5 13 10 16

; ; ; ; ;3 3 3 7 7 7

A B hoặc 1 1 5 1 4 12

; ; ; ; ;3 3 3 7 7 7

A B

Đề 29: Dự bị A 2-2008

Cho mặt phẳng (P): 2 3 3 1 0x y z+ − + = , đường thẳng 1

3 5:

2 9 1

− += =

x y zd và 3 điểm

( ) ( ) ( )4;0;3 , 1; 1;3 , 3;2;6 .A B C− −

a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) . b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính lớn nhất .

Bài giải:

a) Gọi mặt cầu (S) cần tìm có phương trình 2 2 2( ) : 2 2 2 0+ + + + + + =S x y z ax by cz d

có tâm ( ); ;I a b c− − − .

Ta có: A, B, C thuộc (S) và I thuộc (P) nên ta có hệ phương trình: 8 6 25 0

2 2 6 11 0

6 4 12 49 0

2 3 3 1 0

+ + + =− − + + + =

⇔+ + + + =

− − + + =

a c d

a b c d

a b c d

a b c

8 6 25 0 1

10 2 14 0 2

2 4 6 24 0 3

2 3 3 1 0 1

+ + + = = − + + = = −

⇔ − + + + = = − − − + + = =

a c d a

a b b

a b c c

a b c d

Phương trình mặt cầu: 2 2 2( ) : 2 4 6 1 0+ + − − − + =S x y z x y z có tâm ( )1;2;3I .

b) Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính lớn nhất là mặt phẳng đi qua tâm I của mặt cầu.

Đường thẳng d đi qua điểm M(3;0;–5) và có vectơ chỉ phương (2;9;1)u =�

, ( )2; 2; 8= − −��IM

( ), 70; 18;22IM u ⇒ = − ��

TaiLieuLuyenThi.Net



Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến ( )35; 9;11n = −�

nên có phương trình

(Q): ( ) ( ) ( )35 1 9 2 11 3 0 35 9 11 50 0.x y z x y z− − − + − = ⇔ − + − =

Đề 30: Dự bị B 1-2008 Cho đường thẳng 1

3 5:

2 9 1

− += =

x y zd và hai điểm ( ) ( )5;4;3 , 6;7;2 .A B

a) Viết phương trình đường thẳng 2d đi qua hai điểm A, B. Chứng minh rằng hai đường

thẳng 1d và 2d chéo nhau

b) Tìm điểm C thuộc 1d sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Bài giải:

a) Đường thẳng 1d qua điểm ( )3;0;5M và nhận 1 (2;9;1)u =�

làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng 2d đi qua điểm ( )5;4;3A và nhận 2 (1;3; 1)u AB= = −��

làm vectơ chỉ phương nên có

phương trình 2

5 4 3:

1 3 1

− − −= =

−x y z

d .

Ta có: (2;4;8)=��MA và [ ]1 2, ( 12;3; 3)u u = − −

� � [ ]1 2, . 24 12 24 36 0u u MA⇒ = − + − = − ≠��

Vậy hai đường thẳng 1d và 2d chéo nhau .

b) Ta có: C thuộc đường thẳng 1d nên tọa độ (3 2 ;9 ; 5 )+ − +C t t t và (2 2;9 4; 8)= − − −��AC t t t

2, (12 28; 3 10;3 2) , 162 720 888AB AC t t t AB AC t t ⇒ = − − + + ⇒ = − +

��

21 162 720 888,

2 2

− + = =

��

ABC

t tS AB AC

Diện tích nhỏ nhất khi 20 67 25

;20;9 9 9

= ⇒ −

t C và min 22S = (đ.v.d.t)

Đề 31: Dự bị B 2-2008 Cho 3 điểm ( ) ( ) ( )1;0; 1 , 2;3; 1 , 1;3;1A B C− − và d: 1 0

4

− + =+ + =

x y

x y z

a) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d sao cho thể tích của tứ diện ABCD bằng 1. b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Bài giải:

a) (1;3;0); (0;3;2) , (6; 2;3)AB AC AB AC = = ⇒ = − ��

Phương trình mặt phẳng (ABC): 6 2 3 3 0.x y z− + − =

Diện tích tam giác ABC : 1 7

,2 2 = = ��

ABCS AB AC

Gọi h là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) : 3 6

7= =

ABC

Vh

S

Từ phương trình đường thẳng d: 1 0

4

− + =+ + =

x y

x y z.

Ta có ( ) ( ) ( )0;1;3 , 1;0;5 1;1; 2M N NM− ⇒ = −��

.

TaiLieuLuyenThi.Net



Phương trình đường thẳng d: 1

3 2

=

= + = −

x t

y t

z t

Ta có: ( );1 ;3 2D d D t t t∈ ⇒ + − . Do 5 (5;6; 7)6 | 4 2 | 6

7 7 7 1 ( 1;0;5)

= − −= ⇒ = ⇒ ⇒ = − −

t Dth

t D

b) Gọi ( ); ;H a b c là tọa độ trực tâm tam giác ABC:

( 1; ; 1) ; ( 2; 3; 1) ; ( 1;0;2) ; (0;3;2)AH a b c BH a b c BC AC= − + = − − + = − =��

Ta có hệ phương trình

. 0 2 2 085 135 31

. 0 3 2 7 0 ; ; 49 49 49

( ) 6 2 3 3 0

AH BC a c

BH AC b c a b c

H ABC a b c

= − + + = − = ⇒ + − = ⇒ = = =

∈ − + − =

��

��

Phương trình đường thẳng cần tìm

856

49135

24931

349

= +

= −

−= +

x t

y t

z t

Đề 32: Dự bị D-2008 Cho mặt phẳng (α): 2 2 1 0x y z− + + = và: 1 1

:1 2 2

− −= =

−x y z

d

a) Tìm tọa độ giao điểm của d với (α). Tính sin của góc giữa d và (α). b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) và (Oxy).

Bài giải:

a) Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mp(α) là nghiệm hệ phương trình : 2 1 0 3/ 21 1

31 0 2 ;2; 11 2 2

22 2 1 0 2 2 1 0 1

− − = = − −= = ⇔ + − = ⇔ = ⇒ −−

− + + = − + + = = −

x y xx y z

y z y A

x y z x y z z

d có VTCP (1;2; 2)u = −�

; (α) có vectơ pháp tuyến (2; 1;2)n = −�

.

Gọi ϕ là góc giữa d và (α). 4

sin. 9

u v

u vϕ⇒ = =

� �

� �

b) Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mp(Oxy) là nghiệm hệ phương trình :

( )11 1

1 1;1;01 2 20 0

=− −= =

⇔ = ⇒− = =

xx y z

y B

z z

Mặt cầu có tâm I thuộc d tiếp xúc với (α) và (Oxy) ⇒ Tâm I là trung điểm AB

Tâm 5 3 1

; ;4 2 2

−

I bán kính R = ( ) 1d ;( xy)

2I O =

Phương trình mặt cầu cần tìm 2 2 2

5 3 1 1( ) :

4 2 2 4

− + − + + =

S x y z

TaiLieuLuyenThi.Net



Đề 33: A-2007 Cho hai đường thẳng 1

1 2:

2 1 1

− += =−

x y zd và 2

1 2

: 1

3

= − +

= + =

x t

d y t

z

a) Chứng minh rằng 1d và 2d chéo nhau.

b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7 4 0x y z+ − = và cắt

hai đường thẳng 1d và 2d .

Bài giải:

a) + 1d đi qua ( )0;1; 2−M , có vectơ chỉ phương ( )1 2; 1;1 ,= −�u

+ 2d đi qua ( )1;1;3−N , có vectơ chỉ phương ( )2 2;1;0 .=�u

Ta có [ ] ( )1 2, 1;2;4= −� �u u và ( )1;0;5= −

��MN .

[ ]1 2, . 21 0= ≠ ⇒��

u u MN 1d và 2d chéo nhau.

b) Giả sử d cắt 1d và 2d lần lượt tại A, B. Vì 1 2, ∈ ∈A d B d nên

( ) ( ) ( )2 ;1 ; 2 , 1 2 ;1 ;3 2 2 1; ; 5− − + − + + ⇒ = − − + − +��

A s s s B t t AB t s t s s .

(P) có vec tơ pháp tuyến ( )7;1; 4 .= −�n

Ta có ( )⊥ ⇔��

AB P AB cùng phương với �n .

5 9 1 0 12 2 1 5

7 1 4 4 3 5 0 2

+ + = = − − + − +⇔ = = ⇔ ⇔

− + + = = −

t s st s t s s

t s t

Phương trình của d là: 2 1

7 1 4

− += =

−x y z

Đề 34: B-2007 Cho mặt cầu ( ) 2 2 2: 2 4 2 3 0S x y z x y z+ + − + + − = và mặt phẳng ( ) : 2 2 14 0P x y z− + − = .

a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính bằng 3. b) Tìm toạ độ M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mp(P) lớn nhất.

Bài giải:

a) (S): ( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 9− + + + + =x y z có tâm ( )1; 2; 1− −I và bán kính 3.=R

Mặt phẳng (Q) cắt (S) theo tròn có bán kính 3=R nên (Q) chứa I.

(Q) có cặp vectơ chỉ phương là: ( ) ( )1; 2; 1 , 1;0;0= − − =�� OI i

⇒ vectơ pháp tuyến của (Q) là: ( ), 0; 1;2 = = − ��

n OI i .

Phương trình của (Q) là: ( ) ( ) ( )0. 0 1. 0 2 0 0 2 0.− − − + − = ⇔ − =x y z y z

b) Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P). Đường thẳng d cắt (S) tại hai điểm A, B.

Nhận xét: Nếu ( )( ) ( )( )d , d ,≥A P B P thì ( )( )d ,M P lớn nhất khi .≡M A

Phương trình đường thẳng d: 1 2 1

.2 1 2

− + += =

−x y z

Tọa độ giao điểm của d và (S) là nghiệm của hệ phương trình:

TaiLieuLuyenThi.Net



( ) ( ) ( )2 2 2

1 2 1

2 1 2

1 2 1 9

− + += = −

− + + + + =

x y z

x y z

Giải hệ ta tìm được hai giao điểm ( ) ( )1; 1; 3 , 3; 3;1 .− − − −A B

Ta có: ( )( ) ( )( )d , 7 d , 1= ≥ =A P B P .

Vậy khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất khi ( )1; 1; 3− − −M .

Đề 35: D- 2007 Cho hai điểm ( ) ( )1;4;2 , 1;2;4 A B − và đường thẳng 1 2

:1 1 2

x y z− +∆ = =

−.

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB). b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho 2 2MA MB+ nhỏ nhất.

Bài giải:

a) Tọa độ trọng tâm: ( )0;2;2G . Ta có: ( ) ( )1;4;2 , 1;2;4= = −�� OA OB

Vectơ chỉ phương của d là: ( ) ( )12; 6;6 6 2; 1;1= − = −�n .

Phương trình đường thẳng d: 2 2

2 1 1

− −= =

−x y z

.

b) Vì ( ) ( )22 2 21 ; 2 ;2 12 48 76 12 2 28 28∈∆⇒ − − + ⇒ + = − + = − + ≥M M t t t MA MB t t t .

Ta có: 2 2+MA MB nhỏ nhất 2⇔ =t . Khi đó ( )1;0;4−M .

Đề 36: Dự bị 1-A-2007 Cho 2 điểm ( ) ( )1;3; 2 , 3;7; 18 A B− − − − và mp ( )P : 2 1 0− + + =x y z .

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P) . b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho MA MB+ nhỏ nhất.

Bài giải:

a) Ta có ( 2;4; 16)AB = − −��

cùng phương với ( )1;2; 8a = − −�

.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến ( )2; 1;1n = −�

. Ta có [ ] ( ), 6;15;3n a =� �

cùng phương với (2;5;1)

Phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (P) là:

( ) ( ) ( )2 1 5 3 1 2 0 2 5 11 0x y z x y z+ + − + + = ⇔ + + − =

b) Vì khoảng cách đại số của A và B cùng dấu nên A, B ở cùng phía với mặt phẳng (P). Gọi A' là

điểm đối xứng với A qua (P). Phương trình AA' : 1 3 2

2 1 1

+ − += =

−x y z

Ta có AA' cắt (P) tại H, tọa độ H là nghiệm của hệ: 2 1 0

(1;2; 1)1 3 2

2 1 1

− + + =

⇒ − + − += = −

x y z

Hx y z

Vì H là trung điểm của AA' nên ta có: ( )'

'

'

2

2 ' 3;1;0

2

= +

= + ⇒ = +

H A A

H A A

H A A

x x x

y y y A

z z z

Ta có ' ( 6;6; 18)= − −��A B (cùng phương với ( )1; 1;3− )

TaiLieuLuyenThi.Net



Phương trình đường thẳng A'B : 3 1

1 1 3

− −= =−

x y z

Vậy tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: ( )2 1 0

2;2; 33 1

1 1 3

x y z

Mx y z

− + + =

⇒ − − −= = −

Đề 37: Dự bị 2-A-2007

Cho các điểm ( ) ( )2;0;0 , 0;4;0 ,A B ( )2;4;6C và đường thẳng d: 6 3 2 0

6 3 2 24 0

− + =

+ + − =

x y z

x y z

a) Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau. b) Viết phương trình đường thẳng //∆ d và cắt các đường thẳng AB, OC.

Bài giải:

a) Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là ( 2;4;0)− hay ( 1;2;0)a = −��

, vectơ chỉ phương

của đường thẳng OC là (2;4;6) hay (1;2;3)b =��

.

và (2;0;0)OA =��

cùng phương với (1;0;0)c =��

Lúc đó: , . 6 = � � �a b c ≠ 0 ⇔ AB và OC chéo nhau.

b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ( )12;0;36− hay ( )1;0;3u = −�

Ta có ( ), 6;3;2a u = � �

Phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, có PVT , � �a u :

( ) ( ) ( ) ( ): 6 2 3 0 2 0 0 6 3 2 12 0x y z x y zα − + − + − = ⇔ + + − =

Ta có ( ), 2 3; 3;1b u = − � �

Phương trình mặt phẳng (β) qua O có vectơ pháp tuyến là ( )3; 3;1n = −�

: ( ) : 3 3 0x y zβ − + = .

Vậy phương trình đường thẳng ∆ song song với d cắt AB, BC là: 6 3 2 12 0

3 3 0

+ + − =

− + =

x y z

x y z

Đề 38: Dự bị 1–B-2007 Cho các điểm ( ) ( )3;5; 5 , 5; 3;7A B− − − và mặt phẳng ( )P : 0x y z+ + = .

a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P). b) Tìm điểm M thuộc (P) sao cho 2 2MA MB+ nhỏ nhất.

Bài giải:

a) Đường thẳng AB có VTCP ( ) ( )8; 8;12 4 2; 2;3a = − = −�

Phương trình đường thẳng AB:

3 2

5 2

5 3

= − +

= − = − +

x t

y t

z t

Điểm ( ) ( )3 2 ;5 2 ; 5 3I t t t AB P− + − − + ∈ ∩ khi ( ) ( ) ( )3 2 5 2 5 3 0 1t t t t− + + − + − + = ⇔ =

Vậy đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại ( )1;3; 2I − − .

b) Gọi H là trung điểm của đoạn AB.

TaiLieuLuyenThi.Net



Tam giác MAB có trung tuyến MH nên: 2

2 2 222

+ = +AB

MA MB MH

Do đó MA2 + MB2 nhỏ nhất ⇔ MH2 nhỏ nhất. Ta để thấy ( ) ( )1;1;1 , H M P∈ .

Suy ra MH nhỏ nhất ⇔ MH ⊥ (P) và để ý rằng mặt phẳng (P): 0x y z+ + = có vectơ pháp

( )1;1;1OH =��

và O∈ (P) ⇒ ( )0;0;0M O≡ .

Vậy, với M(0, 0, 0) thì MA2 + MB2 nhỏ nhất. (khi đó, ta có min(MA2 + MB2) = OA2 + OB2 = (9 + 25 + 25) + (25 + 9 + 49) = 142)

Đề 39: Dự bị 1- B- 2007 Cho các điểm ( ) ( )2;0;0 , 0; 3;6A M − .

a) Chứng minh rằng mặt phẳng ( ) 2 9 0+ − =P : x y tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính

MO. Tìm toạ độ tiếp điểm . b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tương

ứng B, C sao cho 3=OABC

V (đ.v.t.t ).

Bài giải:

a) Theo giả thiết ( ) ( ) ( )2;0;0 , 0; 3;6 , 0;0;0A M O− .

Bán kính mặt cầu ( )2 23 6 3 5= = − + =R MO .

Khoảng cách từ tâm M của mặt cầu đến mặt phẳng (P): 2 9 0x y+ − =

( )( ) 0 6 9 15d , 3 5

5 5

− −= = = =M P R

Vậy (P) tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO. Phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) là:

3

3 21 26 6

=+=

⇔ = − + = =

x tx y

y t

z z

(t ∈ R)

Thế vào phương trình (P) ta có: ( )2 2 3 9 0 3t t t+ − − = ⇔ =

Vậy tọa độ tiếp điểm I của mặt cầu với mặt phẳng (P) là ( )3;3;6t .

b) Gọi b là tung độ của B, c là cao độ của điểm C.

Vì ( )2;0;0A Ox∈ nên phương trình (Q): 12+ + =

x y z

b c

Ta có ( )0; 3;6M − ∈ mặt phẳng (yOz) nên: 3 6

1 6 3− + = ⇔ − =b c bcb c

(1)

Ta lại có 1 2 1

. . 33 3 2 3

= = = =OABC OBC

bcV OA S bc ⇒ 9=bc (2)

Từ (1) và (2) ta có 9 9

hay 6 3 9 6 3 9

= = −

− = − = −

bc bc

b c b c

TaiLieuLuyenThi.Net



3

3 hay 26

= −⇔ = =

= −

bb c

c

Vậy có 2 mặt phẳng (Q) có phương trình là: 12 3 3+ + =

x y z hoặc

21

2 3 6− − =

x y z.

Đề 40: Dự bị 1- D-2007 Cho đường thẳng 3 2 1

:2 1 1

− + += =

−x y z

d và mp ( )P : 2 0x y z+ + + = .

a) Tìm giao điểm M của d và P .

b) Viết phương trình ( )∆ ⊂ P sao cho ∆ ⊥ d và ( )d , 42M ∆ = .

Bài giải:

a) Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

Phương trình số của d:

3 2

2

1

= +

= − + = − −

x t

y t

z t

có vec tơ chỉ phương là ( )2;1; 1a = −�

Thế vào phương trình (P): ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 1 2 0 1 1; 3;0t t t t M+ + − + + − − + = ⇔ = − ⇒ − .

Mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc (P) có vectơ pháp tuyến là ( ), 2; 3;1Q Pn a n = = − � � �

Suy ra phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc (P) là:

( ) ( ) ( ) ( ): 2 1 3 3 1 0 0 2 3 11 0Q x y z x y z− − + + − = ⇔ − + − =

b) Phương trình đường thẳng (d') hình chiếu của d lên mp(P) là:

d': 2 0

2 3 11 0

+ + + =

− + − =

x y z

x y z có vectơ chỉ phương ( )' 4;1; 5

da = −�

⇒ Phương trình tham số của d':

1 4

3

5

= +

= − + = −

x t

y t

z t

Trên d' tìm điểm N sao cho MN = 42 . Vì ( )' 4 1; 3 ; 5N d N t t t∈ ⇒ + − + − .

( ) ( )2 22 24 5 42 42= + + − = =MN t t t t 2 11

1

=⇒ = ⇔ = −

tt

t

* Với ( )21 5; 2; 5t N= ⇒ − −

Đường thẳng ∆1 qua N1 nằm trong (P), vuông góc d' có vectơ chỉ phương

( ) ( )1 ', 6;9; 3 3 2; 3;1P da n a∆ = = − − = − − � � �

.

Vậy phương trình ∆1: 5 2 5

2 3 1

− + += =

−x y z

* Với ( )21 3; 4;5t N= − ⇒ − −

Đường thẳng ∆2 qua N2 nằm trong (P), vuông góc d' có vectơ chỉ phương

( )2 ', 3 2; 3;1P da n a∆ = = − − � � �

Q

P

∆

N M

d

d'

TaiLieuLuyenThi.Net



Vậy phương trình ∆2: 3 4 5

2 3 1

+ + −= =

−x y z

Đề 41: Dự bị 1- D-2007

Cho mp(P): 2 2 1 0x y z− + − = và 2 đường thẳng 1 2

1 3 5 5: ; : .

2 3 2 6 4 5

− − − += = = =

− −x y z x y z

d d

a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa 1d và (Q) vuông góc với (P).

b) Tìm các điểm 1 2 , N d∈ ∈M d sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.

Bài giải:

a) d1 đi qua ( )1;3;0A và có vectơ chỉ phương ( )2; 3;2a = −�

. Mặt phẳng (P) có PVT ( )1; 2;2P

n = −��

Mặt phẳng (Q) chứa d1 và ⊥ (P) nên (Q) có vectơ pháp tuyến ( ), 2; 2; 1Q P

n a n = = − − − ��

Vậy (Q) qua A có vectơ pháp tuyến ( )2; 2; 1Q

n = − − −��

nên phương trình (Q):

( ) ( ) ( )2 1 2 3 1 0 0 2 2 8 0x y z x y z− − − − − − = ⇔ + + − =

b) Phương trình trình tham số d1:

1 2

3 3

2

= +

= − =

x t

y t

z t

. Do ( )1 1 2 ;3 3 ;2M d M t t t∈ ⇒ + −

Phương trình tham số d2:

5 6 '

4 '

5 5 '

= +

= = − −

x t

y t

z t

. Do ( )2 5 6 ';4 '; 5 5 'M d N t t t∈ ⇒ + − −

Vậy ( )6 ' 2 4;4 ' 3 3; 5 ' 2 5MN t t t t t t= − + + − − − −��

. Mặt phẳng (P) có PVT ( )1; 2;2P

n = −��

Vì MN // (P) . 0⇔ =��

PMN n ( ) ( ) ( )1 6 ' 2 4 2 4 ' 3 3 2 5 ' 2 5 0 '⇔ − + − + − + − − − = ⇔ = −t t t t t t t t

Ta lại có khoảng cách từ MN đến (P) bằng d(M, P) vì MN // (P)

( ) ( )1 2 2 3 3 2 2 1

21 4 4

+ − − + −=

+ +

t t t 6 12 6 16 12 6

6 12 6 0

− + = = ⇔ − + = ⇔ ⇔ − + = − =

t tt

t t

* Với ( ) ( )1 11 ' 1 3;0;2 , 1; 4;0 .t t M N= ⇒ = − ⇒ − −

* Với ( ) ( )1 10 ' 0 1;3;0 , 5;0; 5 .t t M N= ⇒ = ⇒ −

Đề 42: A- 2006 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với ( ) ( ) ( )0;0;0 , 1;0;0 , 0;1;0 , A B D

( )' 0;0;1 .A Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN.

b) Viết phương trình mp chứa A'C và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc α biết 1

cos6

α =

Bài giải:

a) Gọi (P) là mặt phẳng chứa A’C và song song với MN. Khi đó: ( ) ( )( )d ' , d , .=A C MN M P

Ta có: ( ) ( ) ( )1 11;1;0 , ;0;0 , ;1;0 ' 1;1; 1 , 0;1;0

2 2

⇒ = − =

�� C M N A C MN

( )' , 1;0;1 ⇒ = �� A C MN .

TaiLieuLuyenThi.Net



Mặt phẳng (P) đi qua điểm ( )' 0;0;1A , có vec tơ pháp tuyến là ( )1;0;1=�n , có phương trình là:

( ) ( ) ( )1. 0 0. 0 1. 1 0 1 0− + − + − = ⇔ + − =x y z x z .

Vậy ( ) ( )( )2 2 2

10 1

12d ' , d ,

2 21 0 1

+ −= = =

+ +A C MN M P .

b) Gọi mặt phẳng cần tìm là (Q): ( )2 2 20 0+ + + = + + >ax by cz d a b c .

Vì (Q) đi qua ( )' 0;0;1A và ( )1;1;0C nên: 0

0

+ =⇔ = − = +

+ + =

c dc d a b

a b d.

Do đó, phương trình của (Q) có dạng: ( ) ( ) 0.+ + + − + =ax by a b z a b

Mặt phẳng (Q) có vec tơ pháp tuyến ( ); ;= +�n a b a b , mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến ( )0;0;1=

�k .

Vì góc giữa (Q) và (Oxy) là α mà 1

cos6

α = nên ( ) 1cos ,

6n k =��

( )

( ) ( )2 2 2

22 2

216 2

26

a b a ba b a b ab

b aa b a b

+ = −⇔ = ⇔ + = + + ⇔ = −+ + +

Với 2= −a b , chọn 1= −b , được mặt phẳng ( )1 : 2 1 0.− + − =Q x y z

Với 2= −b a , chọn 1=a , được mặt phẳng ( )2 : 2 1 0.− − + =Q x y z

Đề 43: B-2006

Cho điểm ( )0;1;2A và hai đường thẳng 1 2

11 1

: 1 2 ; :2 1 1

2 .

= +− +

= − − = =− = +

x tx y z

d y t d

z t

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A ,đồng thời song song với 1d và 2d .

b) Tìm toạ độ điểm N thuộc 1d và điểm M thuộc 2d sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.

Bài giải:

a) Vectơ chỉ phương của 1d và 2d lần lượt là: ( )1 2;1; 1= −�u và ( )2 1; 2;1= −

�u .

⇒ Vectơ pháp tuyến của (P) là: Vectơ [ ] ( )1 2, 1; 3; 5 .= = − − −� � �n u u

Vì (P) qua ( ) ( )0;1;2 : 3 5 13 0.⇒ + + − =A P x y z

Do ( ) ( )1 20;1; 1 , 1; 1;2− ∈ − ∈B d C d nhưng ( ), ∉B C P nên ( )1 2, //d d P .

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là (P): 3 5 13 0+ + − =x y z .

b) Vì 1 2, ∈ ∈M d N d nên ( ) ( )2 ;1 ; 1 , 1 ; 1 2 ;2+ − − + − − +M m m m N n n n .

( ) ( )

( )

2 ; ; 3 , 1 ; 2 2 ;

, 2 6 6; 3 3 3; 5 5 .

⇒ = − − = + − −

⇒ = − − − − − − − − − −

��

��

AM m m m AN n n n

AM AN mn m n mn m n mn m

A, M, N thẳng hàng ( ) ( ), 0 0, 1 0;1; 1 , 0;1;1 . ⇔ = ⇔ = = − ⇒ − �� AM AN m n M N

Đề 44: D-2006

Cho điểm ( )1;2;3A và hai đường thẳng 1 2

2 2 3 1 1 1: ; :

2 1 1 1 2 1

x y z x y zd d

− + − − − += = = =

− −.

TaiLieuLuyenThi.Net



a) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng 1d .

b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với 1d và cắt 2d .

Bài giải:

a) Mặt phẳng ( )α đi qua ( )1;2;3A và vuông góc với 1d , có phương trình là:

( ) ( ) ( )2 1 2 3 0 2 3 0.− − − + − = ⇔ − + − =x y z x y z

Tọa độ giao điểm H của 1d và ( )α là nghiệm của hệ:

( )02 2 3

1 0; 1;22 1 12 3 0 2

=− + −= =

⇔ = − ⇒ −− − + − = =

xx y z

y H

x y z z

Vì A’ đối xứng với A qua 1d nên H là trung điểm của AA’ ( )' 1; 4;1 .⇒ − −A

b) Vì ∆ đi qua A, vuông góc với 1d và cắt 2d , nên ∆ đi qua giao điểm B của 2d và ( )α .

Tọa độ giao điểm B của 2d và ( )α là nghiệm của hệ:

( )21 1 1

1 2; 1; 21 2 12 3 0 2

=− − += =

⇔ = − ⇒ − −− − + − = = −

xx y z

y B

x y z z

.

Vectơ chỉ phương của ∆ là: ( )1; 3; 5= = − −��

u AB .

Phương trình của ∆ là: 1 2 3

.1 3 5

− − −= =

− −x y z

Đề 45: Dự bị 1- A- 2006 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ( ) ( ) ( ) ( )0;0;0 , 2;0;0 , 0;2;0 , ' 0;0;2 .A B C A

a) Chứng minh A'C vuông góc với BC'. Viết phương trình mặt phẳng (ABC'). b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B'C' trên mặt phẳng (ABC').

Đề 46: Dự bị 2- A- 2006 Cho mặt phẳng ( ) : 3 2 4 0x y zα + − + = và hai điểm ( ) ( )4;0;0 , 0;4;0A B .Gọi I là trung điểm

của đoạn thẳng AB. a) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng ( )α . b) Xác định toạ độ K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng ( )α , đồng thời K cách đều gốc

toạ độ O và mặt phẳng ( )α .

Đề 47: Dự bị 1- B- 2006 Cho hai đường thẳng 1 2

13 1

: 1 ; :1 2 1

2

x tx y z

d y t d

z

= +− −

= − − = =− =

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 1d và song song với 2d .

b) Xác định điểm A trên 1d và điểm B trên 2d sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất .

Đề 48: Dự bị 2 - B- 2006 Cho mp ( )P : 2 2 5 0x y z− + + = và các điểm ( ) ( )0;0;4 , 2;0;0 .A B

a) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P). b) Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Đề 49: Dự bị 1- D-2006 Đề 50:

TaiLieuLuyenThi.Net



Cho mp(P): 4 3 11 26 0x y z− + − = và 2 đường thẳng 1 2

3 1 4 3: ;d : .

1 2 3 1 1 2

− + − −= = = =

−x y z x y z

d

a) Chứng minh rằng 1d và 2d chéo nhau .

b) Viết phương trình đường thẳng ( )∆ ⊂ P , đồng thời cắt cả 1d và 2d .

Đề 51: A-2005 Cho đường thẳng 1 3 3

:1 2 1

− + −= =

−x y z

d và mặt phẳng ( )P : 2 2 9 0x y z+ − + = .

a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2. b) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vuông góc với d.

Bài giải:

a) Phương trình tham số của d:

1

3 2

3

x t

y t

z t

= −

= − + = +

.

Ta có: ( ) ( )( ) 2 21 ; 3 2 ;3 , ,

3 d

tI d I t t t I P

− +∈ ⇒ − − + + =

( )( )4

, 2 1 32

dt

I P tt

=⇒ = ⇔ − = ⇔ = −

Vậy có hai điểm ( ) ( )1 23;5;7 , 3; 7;1 I I− − .

b) Vì ( )1 ; 3 2 ;3A d A t t t∈ ⇒ − − + + .

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 2 3 9 0 1A P t t t t∈ ⇔ − + − + − + + = ⇔ =

Vậy ( )0; 1;4A − .

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến ( )2;1; 2 .n = −�

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ( )1;2;1 .u = −�

Vì ( )P∆ ⊂ và d∆ ⊥ nên ∆ có vectơ chỉ phương [ ] ( ), 5;0;5u n u∆ = =� � �

.

Phương trình tham số của : 1

4

x t

y

z t

=

∆ = − = +

Đề 52: B-2005 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với ( ) ( ) ( ) ( )10; 3;0 , 4;0;0 , 0;3;0 , 4;0;4 .A B C B−

a) Tìm toạ độ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1). b) Gọi M là trung điểm của A1B1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, M và song song với BC1. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N. Tính độ dài MN.

Bài giải:

a) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 10; 3;4 , 0;3;4 4;3;0 , 0;0;4 A C BC BB− ⇒ = − =��

.

Vec tơ pháp tuyến của ( )1 1BCC B là ( )1, 12;16;0n BC BB = = ��

.

Phương trình mặt phẳng ( )1 1BCC B : ( )12 4 16 0 3 4 12 0x y x y− + = ⇔ + − = .

TaiLieuLuyenThi.Net



Bán kính mặt cầu: ( )( )1 1 2 2

12 12 24,

53 4dR A BCC B

− −= = =

+.

Phương trình mặt cầu: ( )22 2 5763

25x y z+ + + = .

b) Ta có: ( )1

3 32; ;4 , 2; ;4 , 4;3;4 .

2 2 M AM BC − = = −

��

Vectơ pháp tuyến của (P) là ( )1, 6; 24;12Pn AM BC = = − − ��

.

Phương trình (P): ( )6 24 3 12 0 4 2 12 0x y z x y z− − + + = ⇔ + − + = .

Ta thấy ( ) ( )4;0;0 .B P∉ Do đó (P) đi qua A, M và song song với 1BC .

Ta có: ( )1 1 0;6;0AC =��

. Phương trình tham số của đường thẳng 1 1AC là:

0

3

4

x

y t

z

=

= − + =

( )1 1 0; 3 ;4N AC N t∈ ⇒ − + . Vì ( )N P∈ nên ( )0 4 3 8 12 0 2.t t+ − + − + = ⇔ =

Vậy ( ) ( ) ( )2

2 23 170; 1;4 2 0 1 4 4

2 2N MN − ⇒ = − + − + + − =

.

Đề 53: D-2005 Cho hai đường thẳng 1 2 1

:1 3 1 2

− + += =

−x y z

d và 2

2 0:

3 12 0

+ − − =+ − =

x y zd

x y

a) Chứng minh rằng 1d và 2d song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P)

chứa cả hai đường thẳng 1d và 2d .

b) Mặt phẳng toạ dộ Oxy cắt hai đường thẳng 1d và 2d lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ).

Bài giải:

a) 1d đi qua ( )1 1; 2; 1M − − và có vectơ chỉ phương ( )1 3; 1;2u = −�

.

2d có vectơ chỉ phương là ( )2

1 1 1 1 1 1; ; 3; 1;2

3 0 0 1 1 3u

− − = = −

�.

Vì 1 2u u=� �

và 1 2 1 2//M d d d∉ ⇒ .

Mặt phẳng (P) chứa 2d nên phương trình có dạng:

( ) ( ) ( )2 22 3 12 0 0 . x y z x yα β α β+ − − + + − = + >

Vì ( ) ( ) ( )1 1 2 1 2 1 6 12 0 2 17 0M P α β α β∈ ⇔ − + − + − − = ⇔ + = .

Chọn 17 2.α β= ⇒ = − Phương trình (P) là: 15 11 17 10 0.x y z+ − − = b) Vì , 0 A BA B Oxz y y∈ ⇒ = = .

Vì 1A d∈ nên ( )1 2 15 5;0; 5

3 1 2A A

A A

x zx z A

− += = ⇒ = = − ⇒ − −−

.

( )2

2 0 1212;0;10

12 0 10B B B

B B

x z xB d B

x z

− − = = ∈ ⇒ ⇔ ⇒

− = =

( ) ( ) ( )5;0; 5 , 12;0;10 , 0; 10;0 OA OB OA OB = − − = ⇒ = − ��

.

TaiLieuLuyenThi.Net



Lúc đó: 1 1

, .10 52 2OABS OA OB∆ = = = ��

(đ.v.d.t)

Đề 54: Dự bị A 1-2005 Cho 3 điểm ( ) ( ) ( )1;1;0 , 0;2;0 , 0;0;2 .A B C

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O và vuông góc với BC. Tìm tọa độ giao điểm của AC với mặt phẳng (P). b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Bài giải:

a)Ta có ( )0; 2;2BC = −��

. Mặt phẳng (P) qua ( )0;0;0O và vuông góc với BC có phương trình là

0. 2 2 0 0− + = ⇔ − =x y z y z

Ta có ( )1; 1;2AC = − −��

, phương trình tham số của AC là

1

1

2

= −

= − =

x t

y t

z t

.

Thế phương trình (AC) vào phương trình mp(P). Ta có 1

1 2 03

− − = ⇔ =t t t . Thế 1

3=t vào

phương trình (AC) ta có 2 2 2

; ;3 3 3

M

là giao điểm của AC với mp(P).

b) Với ( )1;1;0A , ( )0;2;0B , ( )0;0;2C . Ta có: ( )1;1;0AB = −��

, ( )1; 1;2AC = − −��

⇒ . 1 1 0= − = ⇔ ⊥�� AB AC AB AC⇒ ∆ABC vuông tại A

Ta dễ thấy ∆BOC cũng vuông tại O. Do đó A, O nhìn đoạn BC dưới 1 góc vuông. Do đó A, O

nằm trên mặt cầu đường kính BC, có tâm I là trung điểm của BC. Ta dễ dàng tìm được ( )0;1;1I

và 2 21 1 2= + =R .

Vậy pt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là : ( ) ( )2 22 1 1 2+ − + − =x y z

Đề 55: Dự bị A 2-2005 Cho 3 điểm ( ) ( ) ( )2;0;0 , 0;4;0 , 0;0;4A C S .

a) Tìm tọa độ điểm B thuộc mp(Oxy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, B, C, S. b) Tìm tọa độ điểm 1A đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC.

Bài giải:

a) Tứ giác OABC là hình chữ nhật ⇒ =�� OC AB ⇒ B(2;4;0)

* Đoạn OB có trung điểm là ( )1;2;0H . Điểm H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

vuông OBC. Vì A, O, C cùng nhìn SB dưới một góc vuông nên trung điểm I(1;2;2) là tâm mặt

cầu và bán kính R = 1 1

4 16 16 32 2

= + + =SB ,

Vậy phương trình mặt cầu là ( ) ( )2 2 21 2 ( 2) 9− + − + − =x y z

b) ( )0;4; 4SC = −��

chọn ( )0;1; 1− là vectơ chỉ phương của SC.

TaiLieuLuyenThi.Net



Pt tham số đường thẳng SC:

0

4

=

= = −

x

y t

z t

Mp(P) qua ( )2;0;0A và vuông góc với SC có phương trình là: ( )0 2 0 0− + − = ⇔ − =x y z y z

Thế phương trình tham số của SC và phương trình (P) 2t⇒ = và suy ra ( )0;2;2M .

Gọi ( )1 ; ;A x y z là điểm đối xứng với A qua SC.

Có M là trung điểm của 1AA nên

2 2.0 2

0 2.2 4

0 2.2 4

+ = = − + = ⇒ =

+ = =

x x

y y

z z

Vậy ( )1 2;4;4A −

Đề 56: Dự bị B-1 2005 Cho hai đường thẳng 1 :1 1 2= =

x y zd và 2

1 2

:

1

= − −

= = +

x t

d y t

z t

a) Xét vị trí tương đối của 1d và 2d .

b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc 1d và N thuộc 2d sao cho đường thẳng MN song song với

mặt phẳng (P): 0− + =x y z và độ dài đọan 2MN = .

Bài giải:

a) 1d qua ( )0,0,0O và có vectơ chỉ phương ( )1,1,2=�a

2d qua ( )1;0;1B − và có vectơ chỉ phương ( )2;1;1b = −�

Ta có: ( ), 1; 5;3a b = − − � �

, ( )1;0;1OB = −��

1 2, . 1 3 4 0 , a b OB d d ⇒ = + = ≠ ⇔ � � ��

chéo nhau

b) ( )1 '; ';2 'M d M t t t∈ ⇒ ; ( )2 1 2 ; ;1N d N t t t∈ ⇒ − − +

( )2 ' 1; '; 2 ' 1MN t t t t t t= − − − − − +��

. Vì MN // (P) ( )1; 1;1p

MN n⇔ ⊥ = −��

. 0 2 ' 1 ' 2 ' 1 0⇔ = ⇔ − − − − + + − + =��

pMN n t t t t t t '⇔ = −t t .

( ) ( )2 22' 1 4 ' 1 3 ' 2= − + + − =MN t t t ( )2

' 0

14 ' 8 ' 2 2 2 ' 7 ' 4 0 4'

7

=⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =

t

t t t tt

* Với ' 0t = ta có ( ) ( )0;0;0M O P≡ ∈ (loại)

* Với 4

'7

=t ta có 4 4 8 1 4 3

; ; ; ; ;7 7 7 7 7 7

M N −

Đề 57: Dự bị B-2 2005 Cho điểm ( )5;2; 3M − và mp(P): 2 2 1 0+ − + =x y z .

a) Gọi 1M là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P). Xác định tọa độ điểm 1M

và tính độ dài đọan 1MM .

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa đường thẳng: 1 1 5

2 1 6

− − −= =

−x y z

.

TaiLieuLuyenThi.Net



Bài giải:

a) Tìm 1M là h/c của M lên mp (P) . Mp (P) có vectơ pháp tuyến ( )2;2; 1n = −�

Phương trình tham số 1MM qua M và ( )⊥ P là

5 2

2 2

3

= +

= + = − −

x t

y t

z t

Thế vào phương trình(P): ( ) ( ) ( )2 5 2 2 2 2 3 1 0+ + + − − − + =t t t 18 9 0 2⇔ + = ⇔ = −t t .

Vậy ( ) ( )1 1 1; 2; 1MM P M∩ = − −

Ta có ( ) ( ) ( )2 2 2

1 5 1 2 2 3 1 16 16 4 36 6= − + + + − + = + + = =MM

b) Đường thẳng 1 1 5

:2 1 6

− − −∆ = =

−x y z

đi qua A(1;1;5) và có vectơ pháp tuyến ( )2;1; 6a = −�

Ta có ( )4;1; 8AM = −��

.

Mặt phẳng (Q) đi qua M, chứa ∆ ⇔ mp (Q) qua A có vectơ pháp tuyến là ( ), 2;8;2AM a = ��

hay

( )1;4;1 nên Phương trình (Q): ( ) ( ) ( )5 4 2 3 0− + − + + =x y z 4 10 0⇔ + + − =x y z .

Đề 58: Dự bị D-1 2005 Cho lăng trụ đứng 1 1 1OAB.O A B với ( ) ( ) ( )12;0;0 , 0;4;0 , 0;0;4A B O .

a) Tìm tọa độ các điểm 1 1, A B . Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, 1O .

b) Gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với 1O A và cắt

OA, 1OA lần lượt tại N, K . Tính độ dài đoạn KN.

Bài giải:

a) Vì ( ) ( )1 1 2;0;4AA Oxy A⊥ ⇒

( ) ( )1 1 0;4;4BB Oxy B⊥ ⇒

Viết phương trình mặt cầu (S) qua O, A, B, O1 Gọi phương trình mặt cầu (S):

2 2 2 2 2 2 0+ + − − − + =x y z ax by cz d

Vì ( ) 0∈ ⇒ =O S d

( ) 4 4 0 1∈ ⇒ − = ⇒ =A S a a

( ) 16 8 0 2∈ ⇒ − = ⇒ =B S b b

và ( )1 16 8 0 2∈ ⇒ − = ⇒ =O S c c

Vậy (S) có tâm ( )1;2;2I .

Ta có 2 2 2 2= + + −d a b c R ⇒ 2 1 4 4 9= + + =R

Vậy pt mặt cầu (S) là: ( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 9− + − + − =x y z

b) Tính KN

Ta có ( )1,2,0M , ( )1 2,0, 4= −��O A

Mp(P) qua M vuông góc với 1O A nên nhận 1

��O A hay ( )1;0; 2− làm vectơ pháp tuyến.

⇒ phương trình (P): ( ) ( ) ( )1 1 0 2 2 0 0x y z− + − − − =

TaiLieuLuyenThi.Net



(P): 2 1 0− − =x z

PT tham số OA là 0

0

=

= =

x t

y

z

. Thế vào phương trình (P): ( ) ( )1 0 1 1,0,0− = ⇒ = ⇒ ∩ =t t OA P N

Phương trình tham số 1OA là: 0

2

=

= =

x t

y

z t

với ( )1 2;0;4OA =��

hay (1;0;2) là vectơ chỉ phương.

Thế vào phương trình (P): 1

4 1 03

− − = ⇒ = −t t t ( )1

1 2;0;

3 3OA P K

⇒ ∩ = − −

Vậy ( )2 2

21 2 20 20 2 51 0 0 0

3 3 9 3 3

= + + − + + = = =

KN

Đề 59: Dự bị D 2005 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 với ( ) ( ) ( )10;0;0 , 2;0;0 , 0;2;2A B D .

a) Xác định tọa độ các điểm còn lại của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) vuông góc nhau. b) Chứng minh rằng tỷ số khỏang cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 (N ≠ A) tới 2 mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. Bài giải:

a) Ta có ( ) ( ) ( )0,0,0 ; 2,0,0 ; 2,2,0A B C ;D(0;2;0), ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 10,0,2 ; 2,0,2 ; 2,2,2 ; 0,2,2A B C D

Mp ( )1 1AB D có cặp VTCP là: ( )1 2,0,2=��AB , ( )1 0,2,2=

��AD

⇒ mp ( )1 1AB D có 1 PVT là ( )1 1

1, 1, 1,1

4 = = − −

� �� u AB AD

mp ( )1AMB có cặp VTCP là: ( )2,1,0=��AM , ( )1 2,0,2=

��AB và ( )2,1,0M

⇒ mp ( )1AMB có 1 PVT là ( )1, 1, 2, 1

2 = = − −

� �� v AM AB

Ta có: ( ) ( ) ( ). 1 1 1 2 1 1 0= − − − + − = ⇔ ⊥� � � �u v u v⇒ ( ) ( )1 1 1⊥AB D AMB

b) ( )1 2,2,2=��AC ⇒ Pt tham số 1 :

=

= =

x t

AC y t

z t

, ( )1 , ,∈ ⇒N AC N t t t .

Pt ( ) ( ) ( ) ( )1 1 : 0 0 0 0 0− − − − + − = ⇔ + − =AB D x y z x y z

⇒ ( )1 1 1,3 3

+ −= = =

t t t td N AB D d

Pt ( ) ( ) ( ) ( )1 : 0 2 0 0 0 2 0− − − − − = ⇔ − − =AMB x y z x y z

( )1 2

2 2,

1 4 1 6

− − −⇒ = = =

+ +

t t t td N AMB d ⇒ 1

2

6 6 232 2 23 2 3

6

= = = =

t

td

td t

TaiLieuLuyenThi.Net



Vậy tỉ số khoảng cách từ ( )1 0∈ ≠ ⇔ ≠N AC N A t tới 2 mặt phẳng ( )1 1AB D và ( )1AMB không

phụ thuộc vào vị trí của điểm N.

Đề 60: A-2004 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O.

Biết ( ) ( ) ( )2;0;0 , 0;1;0 , 0;0;2 2A B C . Gọi M là trung điểm của cạnh SC.

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM. b) Giả sử mp(ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.

Bài giải:

a) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2;0;0 , 0; 1;0 , 1;0; 2 , 2;0; 2 2 , 1; 1; 2 . C D M SA BM− − − = − = − −��

Gọi α là góc giữa SA và BM.

Ta được: ( ) 0. 3

cos cos , 302.

SA BMSA BM

SA BMα α= = = ⇒ =

��

��

Ta có ( ) ( ), 2 2;0; 2 , 2;1;0 . SA BM AB = − − = − ��

Vậy ( ), . 2 6

,3,

dSA BM AB

SA BMSA BM

= =

��

��

b) Ta có // //MN AB CD

⇒ N là trung điểm của SD1

0; ; 22

N ⇒ −

.

( ) ( ) ( )( )

.

. . . .

12;0; 2 2 , 1;0; 2 , 0;1; 2 2 , 0; ; 2

2

, 0;4 2;0

1 2 2, .

6 3

1 2, . 2

6 3

S ABM

S AMN S ABMN S ABM S AMN

SA SM SB SN

SA SM

V SA SM SB

V SA SM SN V V V

= − = − − = − = − −

⇒ =

= =

= = ⇒ = + =

��

��

��

��

Đề 61: B-2004 Cho điểm ( )4; 2;4A − − và đường thẳng d:

3 2

1 .

1 4

x t

y t

z t

= − +

= − = − +

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với dường thẳng d. Bài giải:

Đường thẳng d có vec tơ chỉ phương ( )2; 1;4v = −�

.

( ) ( )( ) ( ) ( )

3 2 ;1 ; 1 4 1 2 ;3 ; 5 4 .

. 0 2 1 2 3 4 5 4 0 1.

B d B t t t AB t t t

AB d AB v t t t t

∈ ⇔ − + − − + ⇒ = + − − +

⊥ ⇔ = ⇔ + − − + − + = ⇔ =

��

��

( )3;2; 1AB⇒ = − ⇒��

Phương trình của 4 2 4

:3 2 1

x y z+ + −∆ = =

−.

Đề 62: D-2004 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’.

N M

D C

BA

O

S

TaiLieuLuyenThi.Net



Biết ( ) ( ) ( ) ( ) ( );0;0 , ;0;0 , 0;1;0 , ' ;0; 0, 0A a B a C B a b a b− − > > .

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AC’ theo , a b . b) Cho , a b thay đổi , nhưng luôn thoả mãn 4a b+ = . Tìm , a b để khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AC’ lớn nhất

Bài giải:

a) Từ giả thiết suy ra:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 10;1; , ;1; , ;1; , ;0; C b B C a b AC a b AB a b= − = − = −��

.

Ta có: ( )1 1 1

1 1 2 21 1

, ., .

,d

B C AC AB abB C AC

a bB C AC

= = +

��

��

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

( )1 1 2 2

1 1, 2

22 2 2d

ab ab a bB C AC ab

aba b

+= ≤ = ≤ =

+.

Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi 2a b= = .

Vậy khoảng cách giữa 1B C và 1AC lớn nhất bằng 2 khi 2a b= = .

Đề 63: D-2004 Cho ba điểm ( ) ( ) ( )2;0;1 , 1;0;0 , 1;1;1A B C và mặt phẳng ( )P : 2 0x y z+ + − = .

Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P). Bài giải:

( ); ;I x y z là tâm mặt cầu cần tìm ( )I P⇔ ∈ và IA IB IC= = .

Ta có: ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 22 1 ; 1 IA x y z IB x y z= − + + − = − + +

( ) ( ) ( )2 2 22 1 1 1IC x y z= − + − + −

Suy ra hệ phương trình:

2 2

2 2

2 0 2

2 1; 0

1

x y z x y z

IA IB x z x z y

y zIB IC

+ + − = + + =

= ⇔ + = ⇔ = = = + ==

.

1R IA= = ⇒ Phương trình mặt cầu là: ( ) ( )2 221 1 1.x y z− + + − =

Đề 64: Dự bị A-1 2004 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có A trùng với gốc toạ độ O,

( ) ( ) ( )11;0;0 , 0;1;0 , 0;0; 2B D A .

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A1, B, C và viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B1D1 trên mặt phẳng (P). b) Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A1C. Tính diện tích thiết diện của hình chóp A1.ABCD với mặt phẳng (Q). Đề 65: Dự bị A-2 2004 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AC cắt BD tại

gốc toạ độ O. Biết ( ) ( ) ( )2; 1;0 , 2; 1;0 , 0,0,3A B S− − − .

1) Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh AB, song song với hai đường thẳng AD, SC. 2) Gọi (P) là mặt phẳng qua trung điểm B và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P).

z

y

x

O

C1

B1

A1

C

B

A

TaiLieuLuyenThi.Net



Đề 66: Dự bị B-1 2004 Cho ( ) ( )4;2;2 , 0;0;7A B và đường thẳng 3 6 1

: .2 2 1

− − −= =

−x y z

d Chứng

minh rằng hai đường thẳng d và AB thuộc cùng một mặt phẳng. Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC cân tại đỉnh A . Đề 67: Dự bị B-2 2004 Cho hai điểm ( )2;0;0A và ( )1;1;1M .

a) Tìm tạo độ điểm O’ đối xứng với O qua đường thẳng AM. b) Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua đường thẳng AM, cắt các trục Oy, Oz lần lượt

tai các điểm B, C.Giả sử ( ) ( ) ( )0; ;0 , 0;0; 0, 0B b C c b c> > . Chứng minh rằng: 2

bcb c+ = .

Xác định , b c sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất .

Đề 68: Dự bị D-1 2004 Cho điểm ( ) ( ) ( )2;0;0 , 2;2;0 , 0;0;2 .A B C

1) Tìm toạ độ điểm O’ đối xứng với gốc toạ độ O qua mặt phẳng (ABC). 2) Cho điểm S di chuyển trên trục trên trục Oz và gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng SA. Chứng minh rằng diện tích tam giác OBH nhỏ hơn 4.

Đề 69: Dự bị D-2 2004 Cho điểm ( )0;1;1A và 0

:2 2 0.

x yd

x z

+ =

− − =.

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc B’ của điểm ( )1;1;2B trên mặt phẳng (P).

Đề 70: A-2003 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc hệ toạ độ,

( ) ( ) ( ) ( );0;0 , 0; ;0 , ' 0;0; 0, 0B a D a A b a b> > . Gọi M là trung điểm cạnh CC’.

1) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b .

2) Xác định tỷ số a

b để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.

Bài giải:

a) Từ giả thiết ta có: ( ) ( ); ;0 ; ' ; ; ; ;2

b

C a a C a a b M a a ⇒

Vậy ( ) 2; ;0 , 0; ; , ; ; .2 2 2

b ab ab

BD a a BM a BD BM a = − = ⇒ = −

��

( )23

' ;0; , . '2

a bBA a b BD BM BA

− = − ⇒ = ��

Do đó: 2

'

1, . '

6 4BDA M

a bV BD BM BA = =

�� .

b) Mặt phẳng (BDM) có vectơ pháp tuyến

là 21 , ; ;

2 2

ab abn BD BM a = = −

�� ,

mặt phẳng (A’BD) có vectơ pháp tuyến là ( )22 , ' ; ; .n BD BA ab ab a = = ��

Do đó: ( ) ( )2 2 2 2

41 2' . 0 0 1.

2 2

a b a b aBDM A BD n n a a b

b⊥ ⇔ = ⇔ + − = ⇔ = ⇔ =

� �

Đề 71: B-2003 Cho hai điểm ( ) ( )2;0;0 , 0;0;8A B và điểm C sao cho ��AC = (0;6;0). Tính khoảng

cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.

x

y

z

B'

A'

C'

D'

D

CB

A

TaiLieuLuyenThi.Net



Bài giải:

Từ ( )0;6;0AC =��

và ( )2;0;0A suy ra ( )2;6;0C , do đó ( )1;3;4I .

Phương trình mặt phẳng ( )α qua I và vuông góc với OA là: 1 0x − = .

⇒ Tọa độ giao điểm của ( )α với OA là ( )1;0;0K .

⇒ Khooảng cách từ I đến OA là ( ) ( ) ( )2 2 21 1 0 3 0 4 5.IK = − + − + − =

Đề 72: D-2003 Cho đường thẳng 3 2 0

:1 0.

+ − + =

− + + =k

x ky zd

kx y z. Tìm k để đường thẳng

kd vuông góc

với mặt phẳng ( )P : 2 5 0x y z− − + = .

Bài giải:

Ta có cặp vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng xác định kd là ( )1 1;3 ; 1n k= −�

và ( )2 ; 1;1n k= −�

.

Vectơ pháp tuyến của (P) là: ( )1; 1; 2 .n = − −�

Đường thẳng kd có vectơ chỉ phương là: [ ] ( )21 2, 3 1; 1; 1 3 0 u n n k k k k= = − − − − − ≠ ∀

��

Nên ( )23 1 1 1 3

// 1.1 1 2k

k k kd P u n k

− − − − −⊥ ⇔ ⇔ = = ⇔ =

− −� �

Vậy giá trị k cần tìm là 1.k =

Đề 73: Dự bị A-1 2003 Cho hai đường thẳng 1 2

3 1 07: vµ :

1 2 1 2 1 0

x zx y zd d

x y

− + =−= =

+ − =

1) Chứng minh rằng 1 2, d d chéo nhau .

2) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng 1 2, d d và song

song với đường thẳng 4 7 3

: .1 4 2

− − −∆ = =

−x y z

Đề 74: Dự bị A-2 2003 Cho tứ diện ABCD với ( )2;3;2 ,A ( ) ( ) ( )6; 1; 2 , 1; 4;3 , 1;6; 5B C D− − − − −

1) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. 2) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất.

Đề 75: Dự bị B-1 2003 Cho tứ diện OABC với ( )0;0; 3 ,A a ( ) ( ) ;0;0 , 0; 3;0B a C a . Gọi M là

trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM. Đề 76: Dự bị B-2 2003 Cho hai điểm ( ) ( )0;0;1 , 3;0;0I K . Viết phương trình mặt phẳng đi qua

hai điểm I, K và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc bằng 300. Đề 77: Dự bị D-1 2003 Cho (P): 22 2 3 0x y z m m+ + − − = (m là tham số) và mặt cầu (S):

( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 9x y z− + + + − = . Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với mvừa tìm

được hãy xác định tọa độ tiếp điểm của (P) và (S).

Đề 78: Dự bị D-2 2003 Cho 2 điểm ( ) ( )2;1;1 , 0; 1;3A B − và 3 2 11 0

:3 8 0.

− − =+ − =

x yd

y z

1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn AB và vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Chứng minh d vuông góc với IK.

2) Viết phương trình tổng quát hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng có phương trình 1 0x y z+ − + = .

TaiLieuLuyenThi.Net



Đề 79: A-2002 Cho hai đường thẳng 1

2 4 0:

2 2 4 0

− + − =+ − + =

x y zd

x y zvà 2

1

: 2

1 2

= +

= + = +

x t

d y t

z t

1) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1d và song song với 2d .

2) Cho điểm ( )2;1;4M . Tìm toạ độ điểm H thuộc đường thẳng d2 sao cho đoạn thẳng MH

có độ dài nhỏ nhất. Bài giải:

Cách 1: Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1∆ có dạng:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 22 4 2 2 4 0 0

2 2 2 4 4 0

x y z x y z

x y z

α β α β

α β α β α β α β

− + − + + − + = + >

⇔ + − − + − − + =

Vậy ( ); 2 2 ; 2Pn α β α β α β= + − + −�

. Ta có: ( )2 21;1;2 //u = ∆�

và ( )2 21;2;1M ∈∆ .

( )( ) ( ) ( )2

222

. 0 0//

1;2;1Pn u

PM PM P

α β= − = ∆ ⇔ ⇒

∉∉

� �

. Vậy ( ) : 2 0P x z− = .

Cách 2: Ta có chuyển phương trình 1∆ sang dạng tham số như sau:

Từ phương trình 1∆ suy ra 2 0x z− = . Đặt 1

2 '

2 ' : 3 ' 2

4 '

x t

x t y t

z t

=

= ⇒ ∆ = − =

( ) ( )1 1 1 10; 2;0 , 2;3;4 // . M u⇒ − ∈∆ = ∆�

(Ta có thể tìm tọa độ điểm 1 1M ∈∆ bằng cách 0 2, 0 x y z= ⇒ = − = và

tính ( )1

2 1 1 1 1 2; ; 2;3;4

2 2 2 1 1 2u

− − = =

− −

�)

Ta có ( )2 21;1;2 // .u = ∆�

Từ đó ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

[ ] ( )1 2, 2;0; 1Pn u u= = −� � �

. Vậy phương trình mặt phẳng (P) đi qua ( )1 0; 2;0M − và ( )2;0; 1Pn⊥ = −�

là: 2 0.x z− = Mặt khác ( ) ( )2 1;2;1M P∉ ⇒Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2 0.x z− =

b) Cách 1: ( ) ( )2 1 ;2 ;1 2 1; 1;2 3H H t t t MH t t t∈∆ ⇒ + + + ⇒ = − + −��

.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 221 1 2 3 6 12 11 6 1 5MH t t t t t t⇒ = − + + + − = − + = − +

đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ( )1 2;3;3t H= ⇒ .

Cách 2: ( )2 1 ;2 ;1 2H H t t t∈∆ ⇒ + + +

MH nhỏ nhất ( )2 2. 0 1 2;3;3MH MH u t H⇔ ⊥ ∆ ⇔ = ⇔ = ⇒��

.

Đề 80: D-2002 Cho mặt phẳng (P): 2 2 0x y− + = và ( ) ( )

( )2 1 1 1 0

:2 1 4 2 0

+ + − + − =

+ + + + =m

m x m y md

mx m z m

Xác định m để đường thẳng m

d song song với mặt phẳng (P).

Bài giải:

Cách 1: Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến ( )2; 1;0 .n = −�

Đường thẳng md có vectơ chỉ phương

TaiLieuLuyenThi.Net



( )( ) ( ) ( )( )21 2 1 ; 2 1 ; 1 .u m m m m m= − + − + − −

�

Suy ra: ( ). 3 2 1 .u n m= +� �

md song song với (P) ( ) ( )

. 0

, m m

u n u n

d P A d A P

⊥ = ⇔ ⇔

⊄ ∃ ∈ ∉

� � � �

Ta có điều kiện 1

. 02

u n m= ⇔ = −� �

.

Mặt khác khi 1

2m = − thì md có phương trình:

1 0

0

y

x

− =

=. mọi điểm ( )0;1;A a của đường thẳng

này đều không nằm trong mặt phẳng (P), nên điều kiện ( ), mA d A P∃ ∈ ∉ được thỏa mãn.

Cách 2: Viết phương trình md dưới dạng tham số ta được:

( )( )

( )( )

2

1 2 1

1 2 1

2 1

x m m t

y m t

z m m t

= − +

= − + = − − −

( )//md P ⇔ hệ phương trình ẩn t sau

( )( )

( )( )

2

1 2 1

1 2 1

2 1

2 2 0

x m m t

y m t

z m m t

x y

= − +

= − += − − −

− + =

vô nghiệm

⇔ phương trình ẩn t sau ( )3 2 1 1 0m t+ + = vô nghiệm 1

2m⇔ = − .

Cách 3: ( )//md P ⇔ hệ phương trình ẩn , , x y z sau ( ) ( )( )

2 2 0

2 1 1 1 0

2 1 4 2 0

x y

m x x y m

mx m z m

− + =

+ + − + − = + + + + =

vô nghiệm.

Từ 2 phương trình đầu của hệ phương trình trên ta suy ra

1

32 4

3

mx

my

− =

+ =

.

Thế , x y tìm được vào phương trình thứ 3 ta có:

( ) ( )212 1 11 6

3m z m m+ = − + + .

Hệ vô nghiệm 1

2m⇔ = −

Đề 81: Dự bị A-1 2002

Cho đường thẳng d: 2 2 1 0

2 2 4 0

− − + =+ − − =

x y z

x y zvà mặt cầu (S): 2 2 4 6 0x y x y m .+ + − + = Tìm m để

đường thẳng d cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 8.

Đề 82: Dự bị A-2 2002 Cho hai đường thẳng 1 2

0 3 3 0: ; :

1 0 3 6 0

x az a ax yd d

y z x z

− − = + − = − + = + − =

TaiLieuLuyenThi.Net



1) Tìm a để hai đường 1d và 2d chéo nhau.

2) Với 2a = ,viết phương trình mặt phẳng (p) chứa 2d và song song với 1d .

Tính khoảng cách giữa 1d và 2d khi 2a = .

Đề 83: Dự bị B-1 2002

Cho đường thẳng 2 1 0

: vµ mÆt ph¼ng (P) : 4 2 1 0.2 0

x y zx y z

x y x

+ + + =∆ − + − =

+ + + =

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ∆ trên mặt phẳng (P). Đề 84: Dự bị B-2 2002 Cho mặt phẳng (P): 3 0x y z− + + = và hai điểm ( ) ( )1 3 2 5 7 12A ; ; , B ; ;− − − − .

1) Tìm toạ độ điểm C đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P). 2) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho tổng MA MB+ đạt giá trị nhỏ nhất.

--------------------------------------- RẤT MONG NHẬN ĐƯỢC GÓP Ý CỦA QUÍ THẦY CÔ

VÀ CÁC BẠN HỌC SINH! Xin trân trọng cám ơn!

TaiLieuLuyenThi.Net