Chapitre 2
Moyenne, écart type et incertitude de mesure.
temps
Tension U moyenne
On étudie l’évolution d’une grandeur (tension) dans le temps.
U = f(t) à cause des fluctuations de la tension elle-même ou à cause de l’instrument de mesure; ou les deux.
On peut considérer que U est une variable aléatoire, chaque mesure effectuée correspond à une réalisation de cette variable.
On caractérise cette variable par sa valeur moyenne
et par l’écart type qui rend compte de la dispersion
des résultats autour de la valeur moyenne.
.
2-1 Propriétés des distributions.
Selon le cas, la grandeur physique étudiée doit être considérée comme une variable aléatoire discrète ou comme une variable aléatoire continue.
2-1-1. Moyenne.
Variable aléatoire discrète X définie sur [xmin, xmax], valeurs associées x1 ,x2, …xN.On définit xN : moyenne discrète des N réalisations de X:
N
N
1ii xNx
N
1iiN x
N
1x
Cette moyenne n ’est pas complètement caractéristique de la variable X .
Elle dépend des N réalisations considérées.
Pour N autres réalisations on aura :
x ’N xN
Cependant, si N est suffisamment grand on définit
la moyenne de X ou espérance de X:
N
1ii
NN
Nx
N
1limxlim)X(EX
Dans le cas d’une variable continue, la moyenne s ’écrit:
max
min
x
xdx)x(xpX
Ex: Libre parcours moyen du photon.
= L
Les photons parcourent donc, en moyenne, la distance L.
000
du)uexp(uLdx)]L
xexp(
L
1[xdx)x(xpX
X
X
2-1-2 Variance et écart type.
On cherche à caractériser la dispersion des valeurs de
la variable aléatoire autour de la moyenne.
Comme
ce n ’est pas une bonne idée.
On définit alors la variance V(X):
Pour une variable discrète:
Pour une variable continue:
0)Xx(N
1lim
N
1ii
N
2N
1ii
N)Xx(
N
1lim)X(V
dx)x(p)Xx()X(V maxmin
xx
2
On démontre la relation:
2222 )X(E)X(EXX)X(V
)Xx2Xx(N
1lim)X(V
N
1ii
N
1i
2N
1i
2i
N
2222 XXXXN
N2X
N
NX
N
N
V(X) est la variance de X.
On utilise plus généralement l’écart quadratique moyen ou écart type (X) qui a la même dimension que la variable X:
V(X) =(X)
2-1-3 Combinaisons linéaires de variables aléatoires
Deux variables aléatoires indépendantes X1et X2; a partir
de ces variables on définit une nouvelle variable Y:
Y= 1X1 +2X2
Toute réalisation y de Y correspond à la combinaison
des réalisations x1 et x2 de X1 et X2.
Y vérifie les propriétés: )X(E)X(E)Y(E 2211
)X(V)X(V)Y(V 2221
21
On obtient plus généralement:
)X()X(V)X(V i2I
n
1i
2ii
n
1i
2ii
n
1ii
2-2. Quelques types de distributions.
2-2-1. Distribution uniforme.
2-2-2. Distribution binomiale (Bernouilli).
Un événement E a une probabilité p d ’apparaître au cours d’une expérience .
On considère n expériences indépendantes avec p identique:
P(observer k fois E en n exp.) = pk(1-p)n-k
= pk(1-p)n-k
knC
k
n
ou représente le nombre de combinaisons de k objets d ’un ensemble de n objets. Les sont les coefficients du
binôme: (a+b)n = k)kn(
n
0k
kn baC
k
n
)!kn(!k
!n
!k
)1kn).....(1n(n
)nspermutatio(nb
)tarrangemen(nbCk
n
Ex: Ensemble E {1 ,2 ,3 ,4 ,5} . Nombre de sous ensembles de 2 objets?
{(1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ; (3,4) ; (3,5) ; (4,5)}
102
4*5
)!25(!2
!5C2
5
knC
knC
Ex: Urne avec T boules, a1 boules blanches p=a1/T
a2 boules noires pN=a2/T=1-p
On tire n boules avec remise ( tirage non exhaustif) et on cherche
la probabilité P d ’obtenir k blanches ( donc (n-k) noires):
- toutes les séries de même taille n et contenant k blanches sont
équiprobables. La probabilité de chacune d ’elle est pk(1-p)n-k
Le nombre de ces séries est égal au nombre de combinaisons possibles
de k éléments dans une série de n soit
P(observer k fois E en n expériences) =
knC
kknn
0k
kn p)p1(C
Ex: probabilité d ’obtenir un événement X k fois si p(X)=2/5 et n=30
On calcule la distribution de probabilité:P(4 )=0,001
P(5)=0,004
P(6)=0,011
P(7 )=0,026
P(8)=0,050
P(9)=0,082
P(10 )=0,15
P(11)=0,139
P(12)=0,147
P(13)=0,136
P(14)=0,110
P(15)=0,078
P(16 )=0,049
P(17)=0,027
P(18)=0,013
P(19 )=0,005
P(20)=0,002
P(21)=0,0005 10 15 20 25 30
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
Pro
babi
lité
loi b
inom
iale
X
E(x)=npV(x)=np(1-p)= )p1(np
2-2-3. Distribution normale.
Une variable aléatoire X suit une loi normale (ou loi de
Gauss ou de Laplace-Gauss) si la densité de probabilité est:
>0
- f(x)>0
-
- Valeur moyenne de X=µ
- Variance V(X) =2
- Ecart type
2
2
2
)x((exp
2
1)x(f
1dx)x(f
2 3 4 5 6 7 8
0.000
0.075
0.150
0.225
0.300
f(x
)
X
C ’est la loi limite de la loi binomiale dans une suite infinie
d ’épreuves répétées ( beaucoup plus facile à utiliser).
Pour pouvoir utiliser des tables on utilise la loi normale
réduite pour µ=0 et =1:
qui donne une courbe en cloche de Gauss.
Les tables donnent f(x) et la fonction (x) (analogue à une fonction de répartition):
.
)2
x(exp
2
1)x(f
2
dt)2
t(exp
2
2)x(
2x
0
dt)2
t(exp
2
2)x(
2x
0
Valeurs de (x) en fonction de x:
Table de dépassement de l écart absolu:Valeur de l’écart x qui possède la probabilité d’être dépassé en valeur absolue
0.00 0.10 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
x 1.645 1.282 1.036 0.842 0.674 0.524 0.385 0.253 0.126
x 0 0.25 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50
(x) 0 0.197 0.383 0.682 0.866 0.955 0.987 0.997 0.999
-3 -2 -1 0 1 2 30.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
f(x)
variable réduite x
Pour x=3 , Surface(x=3)= (3)=0,9974 la variable x a 99,74% de chance de se trouver dans l ’intervalle [-3,+3].Ceci a des applications pour le calcul des incertitudes.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(x)
variable réduite
De nombreuses distributions naturelles sont approchées
par une loi normale.
Ex:- Répartition des valeurs mesurées autour de la valeur
Moyenne (grand nombre de mesures indépendantes).
- Elargissement des raies spectrales par certaines
perturbations qui provoquent une distribution de l ’énergie
autour d ’une valeur centrale.
- Taille des individus autour de la taille moyenne.
- Usure de marches d ’escalier.
2-3 Etude statistique des mesures expérimentales.
2-3-1. Incertitude sur une mesure.On mesure la masse d’un objet: variable aléatoire M.A partir d’un très grand nombre de réalisations mi, on détermine la moyenne <M> , la variance V(M) et l’écart type (M). On observe que plus de 99% des résultats vérifient:
)M(3Mmi
On définit alors l ’incertitude absolue sur la mesure: (M)=3(M)
(M) est telle que on a 99% de chances d ’obtenir:
)M(Mm)M(M i )M(Mmi
noté également: )M(mM i
2-3-2 Influence du nombre limité de réalisations.
Soit une variable aléatoire X caractérisée par sa valeur moyenne <X> et son écart type On suppose par exemple que les réalisations x1, x2,…..,xj de X sont réparties selon une loi normale centrée sur <X> .
Si on fait 1 mesure x1 on a
<X>= x1 ± (X) = x1 ± 3 (X)
On cherche à connaître plus précisément <X>.
On fait N mesures de X: x1, x2,…..,xj et xN et on calcule la moyenne
d’ensemble <x>N sur ces N réalisations.
-1 0 1 2 3 4 5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
x
<X>
f(x)
x1
1 2 3 4 5
1.24
1.26
1.28
1.30
1.32
1.34
1.36
vale
ur
mo
yen
ne
ln(N)
Comme
on comprend intuitivement que si N est assez grand la moyenne <x>N se rapproche de <X>
NN
xlimX
Comment varie l’écart type si on fait l’effort de faire Nréalisations (mesures ) au lieu de une seule mesure?
Pour interpréter <x>N , on considère N nouvelles variables
aléatoires X1, X2 ,X3…,XN , indépendantes mais de distribution identique à celle de X,
et on définit une nouvelle variable Y:
La moyenne d’ensemble
apparaît alors comme la réalisation de la variable Y telle que xi=xi.
N
1i
iXN
1Y
N
1iiN x
N
1x
-1 0 1 2 3 4 50.0
0.1
0.2
0.3
0.4
X1
x1
<X1>
f(x1 )
x1
-1 0 1 2 3 4 5
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
X2
x2
2
<X2>
f(x2 )
x2 -1 0 1 2 3 4 5
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
X3
x3
<X3>
f(x3 )
x3
-1 0 1 2 3 4 5
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
x4
X4
x4
4
<X4>
f(x4 )-1 0 1 2 3 4 5
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
x4
x2x
1
X
x
<X>
f(x)
x3
N
)X(3)Y(.3)Y(
XXN
1Y
N
1i
i
)X(N
1)X(
N
1)Y( 2i
N
1i
22
2
Y étant une combinaison linéaire de variables aléatoires indépendantes sa moyenne et sa variance s’écrivent:
En faisant N réalisations de la variable X, on a amélioré la détermination de la valeur moyenne et divisé l’écart type par
Soit
)Y(Yy N
)X(Xx N
N
Approximations.On admet donc que si le nombre N d’évaluations est assez élevé:
est une bonne approximation de (X).
On obtient alors
La valeur moyenne de X est déterminée avec d’autant plus de précision que N est élevé.
2NN
2NN xx3)x(3)x(
N
)x(xX N
N
0 1 2 3 4 50.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Evolution de l'incertitude sur la valeur moyenne.
ln(N)
Ex: Si on répète 10 fois une épreuve représentée par une variable aléatoire X d’espérance 40 et d’écart type 5 la variable sur les 10 épreuves a une espérance de 40 et un écart type de
58.110/5
Ex: S’ il faut 100 parties de pile ou face pour contrôler au 1/10
la relation p =q=0.5
Il faut 10 000 parties pour la contrôler au 1/100
Il faut 1 000 000 parties pour la contrôler au 1/1000
convergence lente.
2-4 Calcul d ’incertitude.
2-4-1. Combinaison linéaire de variables aléatoires
indépendantes.
Soient n variables aléatoires X1, X2…Xn avec n mesures x1, x2 ….xn
associées et n incertitudes (Xi) associées.
Si la nouvelle variable Y , est une combinaison linéaire de X1, X2…Xn :
n
1iiiXY
l ’incertitude associée à Y:
n
1ii
22i ))X(()Y(
peut être surestimée par: )X(.)Y( in
1ii
2-4-2 Fonctions non linéaires de variables aléatoires indépendantes. FonctionLes incertitudes étant réputées petites devant les valeurs moyennes, on passe par le développement linéaire de la fonction f autour du point moyen
on estime la variance associée à Y à partir des dérivées partielles de f:
)X(V)x
f()Y(V i
2n
1i i
)X(V)x
f()X(V)
x
f()Y(V)Y(V i
2n
1i ii
2n
1i i
)Xx(x
f)X,...,X,X(f)x,...,x,x(fy ii
n
1i in21n21
)X,...,X,X(fY n21
)X,...,X,X(fY n21
On en déduit l ’écart type:
Méthode: On calcule la différentielle df de la fonction f
à partir de ses dérivées partielles.
)X()x
f()Y( i
22n
1i i
2
)X(x
f)X()
x
f()Y( i
n
1i i
n
1i i22
i
Ex: Dipôle électrique; On mesure la tension U : valeur u et incertitude (u) et le courant I : valeur i et incertitude (I).
Incertitude sur la puissance dissipée P=U.I ?
Avec p=u.i
)u(.i)i(.u)u(.i)i(.u)p( 2222
Ce qui correspond bien à la relation donnant l ’incertitude relative calculée, dans ce cas,à partir des différentielles logarithmiques :
Ln (P )= Ln(U) + Ln(I)
U
dU
I
dI
P
dP
On obtient:i
)i(
u
)u(
p
)p(
I
I
U
U
P
P
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