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Tópicos aula #24
1. Tipos de bombas.
2. Modelo ideal para uma bomba centrífuga.
3. Curvas características de bombas e ventiladores.
Capítulo 10
Turbo-Máquinas
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Tipos de bombasBomba de deslocamento positivo
• Bomba de pistão
• Bomba peristaltica
• Bomba de engrenagem
• Bomba com dois lóbulos rotativos
• Bomba de parafuso
Jet pumps
Turbo Máquinas
• Fluxo - axial (hélice)
• Fluxo - radial (rotor radial)
• Fluxo misto (rotor misto radial/hélice)
Este capítulo aborda o estudo de turbo máquinas apenas.
Veja no apêndice I características das bombas de deslocamento positivo e a Jet Pump.
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Turbo-máquinas, o foco desta disciplina
1a Uso de bomba centrífuga que se tem conhecimento, Demour - 1730
Veja análise da máquina de Deamur no apêndice da aula #12, cap. 4
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Classificação das Turbo-máquinas entre aquelas que recebem ou realizam trabalho
Máquinas que recebem trabalho:
bombas, sopradores, compressores
Máquinas que realizam trabalho :
turbinas hidráulicas, a vapor e a gás.
Bombas centrífugas para líquidos e gases
Três tipos de turbinas para líquidos
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Classificação das turbo máquinas quanto ao tipo de rotor
Turbomáquinas:• Escoamento radial (Centrifuga)
• Escoamento axial
• Escoamento misto
RadialAxial Mixed
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Bombas com rotor radial ou centrífugas• Possuem grande aplicação, larga faixa de vazões e altura de elevações. • O aumento do diâmetro rotor ou da rotação aumenta a pressão
Sucção,perpendicular
ao plano Pás do rotor
Carcaça
Voluta, expansão do fluidorecupera pressão
Descarga
descarga
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Tipos de rotores radiais
Rotor fechado. Possui alta eficiência mas trabalha com
líquidos sem sólidos
Rotor aberto. Possui baixa eficiência mas pode operar com partículas sólidas sem
entupimento.
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Máquinas com rotor axial
Características:
• Possuem baixa pressão ( menor que 12 mCA);
• Capazes de movimentar gandes volumes;
• Podem operar com líquidos ou gases;
• Também conhecidas máquinas de fluxo axial;
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Compressor e palhetas do rotor da turbina para uma instalação industrial a gás
Detalhes do acento do compressor e da turbina
Detalhes do compressor de gás
e câmera de combustão ao
fundo.
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Rotores com características mistas entre radial e axial
Possuem características intermediárias entre os rotores radial e axial.
Ventilador com pás mistas
Compressor com pás mistas
Turbo-compressor automotivo
Compressão do ar admissão motor
Gases exaustão aciona turbina que por sua vez aciona o compressor
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Análise teórica de um rotor radial
Teoria de Euler: modelo idealizado de uma bomba centrífuga.
Teoria baseada em análise de V.C. visto no capítulo 4.
Parte 2 da aula
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Princípio do momento angular (conteúdo da aula #13)
V.C. empregado e
referencial inercial.
1 – índice relativo a entrada
2 – índice relativo a descarga
V – velocidade fluido absoluta (ref. inercial)
U – velocidade absoluta rotor, U = r
Vn – vel. abs. do fluido normal ao rotorVt – vel. abs. do fluido tang. ao rotor
Hipóteses:
• Escoamento sem viscosidade;
• Torque no rotor desprezível devido às forças de
superfície e de campo (viscosidade , pressão e g)
• Regime permanente, d/dt = 0
eixo r
S.C.
T Vr n V dA
O momento angular reduz para
xyz r eixo
S.C.
V n V dA Tr
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Equações de Euler para rotores
• Velocidade angular do rotor: U = r;• Vt vem do triângulo vel. da entrada e de saída (é mais complexa);
Conteúdo visto em V.C., aula #12, exemplo 3
• Hipóteses para modelo de Euler:• Escoamento uniforme na admissão e descarga do rotor;• Na entrada a vel. é normal, não há vel. tangencial, Vt1 = 0. As eqs.
possibilitam Vt1 = 0 porém, Euler estima a máx. potência possível.
A partir da altura de elevação ‘idealizada’ , H = U2.Vt2/g, será deduzida a curva teórica da bomba: H = C1 - C2Q
Potência:
Altura :
Torque eixo
V ref. inercial estacionário
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1 – índice relativo a entrada2 – índice relativo a descargar – raio do rotorb – altura da pá do rotorA – área do rotor ao fluxo (veja definição)
r2
b2
2 2 2A 2 r b Descarga - transversal ao
fluxo no rotor
1 1 1A 2 r b Entrada – área transversal
ao fluxo no rotor
Se a vazão Q que atravessa
o rotor é conhecida então a
velocidade normal é: n,2 n,1
2 1
Q QV e V
A A
Definição da área na direção radial que define a vazão que sai do rotor
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Diagrama de velocidades no rotor
Vn – vel. abs. do fluido normal ao rotorVt – vel. abs. do fluido tang. ao rotor - ângulo da pá em relação à tangente do rotor - ângulo entre V e Vn (não representado fig.)
1 – índice relativo a entrada2 – índice relativo a descargaV – velocidade fluido abs. (ref. inercial) U – vel. abs rotor, U = rW – vel. relativa à pá (tangente a pá)
Velocidade absoluta do fluido V é a soma vetorial da velocidade relativa do fluido com a pá, W, e velocidade absoluta do rotor, U.
W é medida de um referencial que gira com o rotor mas V é medida de um referencial inercial!
Hipótese: W é sempre tangente à pá, veja W1 e W2 na figura!
V W U
pá virada p/ tráz, 2 < 90o
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Diagramas de velocidade no rotor (ent. e saída)Vn – vel. abs. do fluido normal ao rotorVt – vel. abs. do fluido tang. ao rotorW – vel. relativa fluido com a pá (tangencia a pá) - ângulo da pá em relação à tangente do rotor - ângulo entre V e Vn
1 – índice relativo a entrada2 – índice relativo a descargaV – velocidade abs. (ref. inercial) U – vel. abs. rotor, U = r
V = W+U.
Componentes da velocidade entrada do
rotor com Vt1 0
11
1W
1V
1U
Vn1
Componentes da velocidade na saída do
rotor
2W
Vn2
2V
2U
22
Ex. c/ pá virada para trás, 2 < 90o
Objetivo: determinar Vt2?
Do triângulo vel. saída:
n,2 2i V W Sen
2 n,2W V Sen
t,2 2 2ii V U W Cos
t,2 2 n,2V U V Cot
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2
2 2 2
2 2
U U cotH Q
g D b g
Substituindo Vt,2 na altura idealizada H = U2.Vt2/g (slide 14) chega-se que H é linear com Q.
Modelo de Euler para rotor radial
A curva H = C1-C2.Q baseia-se num fluido sem viscosidade. É pressuposto que:i. Torque no rotor desprezível devido às forças de pressão e de campoii. Escoamento uniforme na admissão e descarga;iii. Na admissão (entrada) Vt = 0
As hipóteses empregadas são fortes. A viscosidade do fluido faz com que haja perdas irreversíveis no rotor, correntes secundárias, escoamento não uniforme e mesmo choques porque a velocidade não tangencia as pás na entrada e saída.
Os resultados do modelo Euler aproxima-se do ponto de eficiência máxima da turbomáquina real.
Os resultados do modelo Euler representam um limite superior do desempenho.
t 2 2 2 2 t 2 2 2 2V U W cos V U Q A cot Pode-se expressar Vt,2 em função de Q:
Mod. Euler Hmáx = U22/g & Q=0
Qmáx = U2..D2.b2.g.tg2 & H=0
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Exemplo 1 – Um rotor centrífugo ‘ideal’ possui :
Velocidade rotor a N = 575 rpm e o fluido é água.
i. Calcule a altura ideal H e a potência se Q = 5 m3s.
ii. Calcule a altura considerando rotação na entrada e Q = 5 m3/s.
iii. Determine ângulo 1 de entrada da pá para que a componente da velocidade
tangencial seja nula se Q =8m3s.
Entrada Saída
Raio, r (mm) 400 1200
Espessura, b (mm) 120 80
Ângulo pá, (graus) 40o 60o
Resp.: (i) Hideal = 497,0 m C.A. e P = 23,9 MW(ii) Com rotação entrada, H = 486.3 m e P = 24.4 MW(iii) 1 = 47,75º Link: exel 10-13
Triângulo vel. entrada
1
1
1W
1V
1U
Vn1
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Curva idealizada carga (m) x vazão
Pá curvada p/
frente, 2 > 90o
Se > 90o; cot < 0
2
2 2
2
U UH Q
g D bg
cot
Pá curvada p/
tráz, 2 < 90o
2
2 2
2
U UH Q
g D bg
cotSe < 90o; cot > 0
2
2U
Hg
Se = 90o; cot = 0
2
2 2 2
2 2
U U cotH Q
g D b g
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Inconsistências da curva idealizada
Pá curvada p/ frente, 2 > 90º:São instáveis pq H aumenta com
Q e faz com que a potência de
bombeamento sempre aumenta
Pá radial 2 = 90o
Exibe H constante para qualquer
vazão Q. Isto não ocorre com
bombas reais!
Pá curvada para traz, 2 < 90o :
Mostra que N diminui e Q
aumenta. Esta é uma
configuração estável, a potência
de acionamento é finita: P = gHQ
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Qual rotor possui pás curvadas para trás, < 90º?
Rotação sentido horário
Considere o rotor aberto nas figuras. Determine o sentido de rotação(horário ou anti-horário) para que < 90o (estável). Lembre que a Wtangencia a pá!
W2
Rotação sentido anti-horário
W2>90o
<90o
Resposta: sentido anti-horário resulta em < 90o.
Veja link sobre: Harzadous of reverse pump rotation
Pás curvadas para frente. Pás curvadas para trás.
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Rotor ‘ideal’ x realEscoamento real não segue teoria ideal p/ rotor devido a:• Nos lados das pás a pressão é diferente, há também ação da viscosidade. Combinadas, estes dois fatores causam torques resistivos não previstos na teoria.
• Escoamento na entrada e na saída não é uniforme nem tangente às pás, de fato há choques.
• Operação fora da vazão de projeto pode levar ao descolamento do escoamento no canal formado entre as pás dissipando parte da energia e diminuindo a eficiência.
• Os canais formados entre as pás do rotor com a rotação criam correntes secundárias que também dissipam energia em calor e reduzem a eficiência da bomba.
• A combinação destes fenômenos induzem uma perda dentro do rotor reduz significativamente a eficiência da bomba.
A curva ideal aproxima-se da real próx. ponto de eficiência máx.
idealH
Qreal
Descriminação das perdas entre o ideal e o real
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Performance de curvas de bomba reais: HxQ, , e potência
Parte 3
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Bombas, compressores, sopradores
Turbinas hidráulicas
Conteúdo visto em V.C. –eq. energia, aula #13
Potência transferida p/ fluido:
f f bW gH Q
Eficiência da bomba:
f bfb
eixo
gH QW
W T
Potência extraída do fluido:
f f tW gH Q
Eficiência da turbina:
eixo
t
f f t
W T
W gH Q
Conteúdo visto em cap.8. –aula #19
2 2
b
ent sai
0
P Pw V VH z z
g g 2g g 2g
2 2
t
ent sai
0
P Pw V VH z z
g g 2g g 2g
Altura elevação bomba
Altura elevação turbina
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Exemplo 2 - Dados de testes com uma bomba operada a 1750 rpm e com um rotor de 14”de diâmetro são mostrados na tabela ao lado.
Determine as curvas HxQ, PotxQ e hxQ. Localize o ponto de melhor eficiência BEP e especifique a vazão e a altura de elevação.
Q H Pot
(gpm) (ft) (hp)
270 198 25
420 195 30
610 178 35
720 165 40
1000 123 45
Pergunta:
O que você deve fazer se receber uma tabela em unidades inglesas?
Resposta:
Converter em SI para realizar os cálculos.
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Exemplo 2 - redução dados experimentais
Eficiência da bombaPotência transferida ao fluido.
Note que Q, H e Pot eixo são fornecidas nos dados experimentais, enquanto
que Pot transferida p/ o fluido e eficiência da bomba são calculadas como:
Q H Pot Mec Pot Hidr efic
(m3/s) (m) (KW) (KW) (%)
0.01703 60.4 19 10 54
0.02650 59.4 22 15 69
0.03848 54.3 26 20 78
0.04542 50.3 30 22 75
0.06308 37.5 34 23 69
calculadodados experimentais
f f bW gH Q f bf
b
eixo
gH QW
W T
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Cu
rva
s
de
D
es
em
pe
nh
o,
pro
b.
10
-19
0
10
20
30
40
50
60
70
0.000 0.020 0.040 0.060 0.080
Vazão (m3/s)
Alt
ura
de
Ca
rga
H (
m)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0.000 0.020 0.040 0.060 0.080
Vazão (m3/s)
Po
ten
cia
Mecan
ica (
W)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0.000 0.010 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070
Vazão (m3/s)
Efi
cie
nc
ia (
%)
BEP
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Ajuste de curva HxQ: H = H0 – AQ2
A curva HxQ ideal é linear, mas devido as perdas a curva HxQ é melhor representada por uma curva do segundo grau: H = H0 - AQ2 onde H0
representa a altura de ‘shut-off’
• O gráfico mostra que H ~ Q2 e não linear como o modelo ideal de Euler.
• Mas é inconveniente que o eixo x seja Q2 pois o dado de campo é Q!
y = -6386.4x + 63.241R² = 0.9944
0
10
20
30
40
50
60
70
0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
Alt
ura
de e
lev
ação
H (
m)
[Vazão (m3/s)]^2
y = -6386.4x2 - 3E-12x + 63.241R² = 1
0
10
20
30
40
50
60
70
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
Alt
ura
deele
vação
H (
m)
Vazão (m3/s)
• Se eixo x representa Q há associação direta de Q com H, é mais prático!
Gráfico H x Q2
Gráfico H x Q• No ajuste H x Q o termo linear c.Q é
desprezível.
• Por essa razão: H = H0 - AQ2
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Ajuste curva eficiência
A curva de eficiência começa em zero quando Q = 0 (shutoff), a medida que Q cresce atinge um máximo de eficiência e depois diminui a medida que Q aumenta.
O ponto de melhor eficiência PME ou Best Efficiency Point BEP é aquele onde a eficiência é máxima.
y = 421960x3 - 79322x
2 + 4415.3x
R2 = 0.9837
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0.000 0.010 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070
Vazão (m3/s)
Efi
cie
ncia
(%
)
BEP
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Ajuste da curva de potência Eixo, PxQ
Pot ≈ Q.H, mas H = H0 - AQ2, logo Pot ≈ H0.Q - AQ3, mas H0 >> A, portanto Pot ≈ H0.Q (linear)
y = 329.61x + 13.551R² = 0.9811
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
Po
ten
cia
Mecan
ica (
W)
Vazão (m3/s)
Para Q = 0 encontra-se que a potência requerida é de 13 KW, esta
potência é toda dissipada na recirculação interna a bomba porque a
vazão é nula!
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Carta de seleção e curva HxQ
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Carta para seleção de bombas: com a vazão e altura
elevação do processo pode-se selecionar uma bomba
Considere o exemplo: Q = 1000 gpm e H = 120 ft.
A bomba selecionada é 6AE12
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Co
mo
ob
ter
cu
rva
Hx
Q d
o c
atá
log
o? Rotor D = 10,25”; considere dois pontos: shutoff e BEP.
Shutoff: H0 = 115’ e BEP (H,Q) = (90’, 880 gpm)
Eq. H=H0 – AQ2 H0=110ft e A = (H0-HBEP)/Q2 = 2,58E-05 ft/gpm2
Verifique ajuste. Use o excel e compare contra curva do catálogo.
Eixo x – cada divisão = 20 gpm
Eixo
y –
cad
a d
ivis
ão
= 5
ft
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Exercícios recomendados(1) Considere uma bomba centrífuga cuja geometria e condições de escoamento são:
Raio de entrada rotor - 2,5 cmRaio de saída rotor - 18 cmLargura de saída rotor - 1 cmVelocidade de projeto - 1800 rpmVazão de projeto - 30 m3/minPás curvadas para trás (ângulo saída pá) - 75o
Faixa de vazão requerida - 50% a 150% da de projeto
Admita comportamento ideal da bomba com 100% de eficiência. Determine a altura de carga de bloqueio.Calcule as velocidades absoluta e relativa de descarga, a altura de carga total e a potência teórica requeridana vazão de projeto. Resp.: H0 = 117 m; w2 = 45,8 m/s e v2 = 49,5 m/s
(2) Uma bomba centrífuga, projetada para bombear água a 1200 rpm, tem dimensões:
ENTRADA SAÍDARaio rotor (mm) 90 150Largura da pá, b (mm) 10 7,5Ângulo da pá (graus) 25 45
Determine a vazão para a qual a velocidade de entrada não possui componente tangencial. Trace o diagramade velocidades de saída e determine o ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direçãonormal), para esta vazão. Determine a altura de carga desenvolvida pela bomba. Avalie a potência hidráulicafornecida pela bomba, se a sua eficiência for de 70%. Resp.: 29,8 L/s; H =28,1 m.
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FIM
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Apêndice I
Características das bombas de deslocamento positivo• Bomba de pistão
• Bomba peristaltica
• Bomba de engrenagem
• Bomba com dois lóbulos rotativos
• Bomba de parafuso
Características de Jet Pumps
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Bomba com diafragma• Uma bomba de diafragma (também conhecida como bomba de membrana) é uma bomba de deslocamento positivo que usa uma combinação da ação recíproca de um diafragma de borracha, termoplástico ou teflon e válvulas adequadas em ambos os lados do diafragma (válvula de retenção, válvulas borboleta, válvulas de flap ou qualquer outra forma de válvulas de bloqueio) para bombear um fluido.• O movimento cíclico do diafragma faz com que o volume da camara seja enchido e descarregado a cada ciclo. • Produz baixas pressões ;• Pode trabalhar com líquido e gases;• Ver aplicações em: https://www.verderliquids.com/int/en/industries/chemical/
Vídeo 0,27’ coração artificial
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Bomba Persitaltica
• O diâmetro da tubulação e a velocidade do rolo em relação à tubulação determinam a vazão.
• Fluido pode vazar no tubo em altas pressões.
• Tubo flexível pode falhar por fadiga e também por abrasão.
• O fluido só entra em contato com a tubulação. É uma vantagem para ambientes na área de alimentos e de saúde.
• Pode trabalhar com líquidos de baixa a alta viscosidade.
• A faixa operacional de vazão é baixa.
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Bombas de engrenagens e lóbulosBomba de engrenagem• O fluido fica preso entre os dentes da
engrenagem e o alojamento. • A vazão volumétrica é diretamente
proporcional a rotação da bomba.• Trabalha com líquidos viscosos sem
sólidos em suspensão.
Bomba rotativa de dois lóbulos• Possui dois lóbulos em contra rotação que
deslocam um volume por cada rotação.
• Uma fração do volume deslocado recircula devido ao vazamento entre lóbulo e carcaça e também no contato entre lóbulos
• Por possuir a dois lóbulos apresenta vazão pulsátil.Trabalha com líquidos viscosos sem sólidos em suspensão.
Fluidoaprisionado
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Bomba de parafuso (Arquimedes 280 AC)
Bomba de parafuso
• Pode operar com líquido (principalmente água) sem e com sólidos em suspensão. Também pode ser empregada para transporte de grãos na agricultura e sóliods na mineração.
Bomba com duplo parafuso
Mecânica de precisão capaz de bombear gás e líquido simultâneamente empregada na indústria do petróleo.
Link – Archim
Bornemann pump
Bomba para gás e líquido simultaneamente
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Bomba de deslocamento positivo
O que acontece se na linha de descarga bloqueada?
Resp. : Como é uma bomba de deslocamento é necessário ter uma válvula de segurança, caso contrário pode quebrar a bomba ou romper o tubo, o mais fraco dos componentes.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 2 4 6 8 10
tota
l flo
w
rads
1st piston
2nd piston
3rd piston
3 pistons
Quando o pistão desloca p/ esquerda e direita a bomba faz
sucção e descarga!
Como é a vazão versus tempo para uma bomba de pistão?Resp.: é pulsátil. Se tiver mais de um pistão as oscilições de Q suavizam, veja figura
Grande mercado em injeção de diesel ou gasolina.
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Detalhes mecânicos bomba deslocamento
São dispositivos mecânicos de precisão capazes de trabalhar em elevadas
pressões e dosar, com precisão, o volume injetado. Muito empregado em
indústria química, petróleo e automobilistica (bomba injetora Diesel)
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Bomba deslocamento positivo
Qual o modelo de bomba de deslocamento com mais de 7,7 bilhões de usuários em 2018?
Quantos ciclos numa vida?
80 anos: 3,3 bilhoes de ciclos!
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Bomba rotor misto de sangue para cirurgia
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Jet PumpUm jato com alta velocidade transfere quantidade de movimento para o fluido que se quer bombear para vencer a resistência hidraulica.
• Vantagens
Sem partes móveis
Lida com sólidos facilmente
• Desvantagem
Ineficiente;
• Aplicação:
poço profundo de bombeamento
bombeamento de água misturada
com sólidos
• Teoria:
baseada em análise V.C. do cap. 4
Veja teoria de jet pump no cap4, aula#9,
exercício recomendado n.2
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Apêndice II
Relações entre velocidades absolutas, V, relativas, W e tangenciais U e relações entre triângulos de velocidades
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Diagramas de vel. e velocidades absolutas Vt e Vn
São conhecidos Q que cruza o rotor e a velocidade do rotor: U = r.
Objetivo: determinar Vt1 e Vt2 em função de Q e para calcular T, P e H.
1a etapa: expressar Vt em função de W e U a partir do triângulo de velocidades
Se Vt1 = 0 é necessário que: 1 1 1
U W cos
2 2 2
n 2 2 2 2 2
t 2 2 2 2 2 2
V W U
V V cos W sen
V V sen U W cos
1 1 1
n1 1 1 1 1
t1 1 1 1 1 1
V W U
V V cos W sen
V V sen U W cos
Componentes da velocidade na saída rotorComponentes da
velocidade na entrada rotor
1
1
1W
1V
1U
Vn12
WVn2
2V
2U
22
Vn – vel. abs. do fluido normal ao rotorVt – vel. abs. do fluido tang. ao rotor - ângulo da pá em relação à tangente do rotor - ângulo entre V e Vn
1 – índice relativo a entrada2 – índice relativo a descargaV – velocidade abs. (ref. inercial) U – vel. abs rotor, U = rW – vel. rel. fluido à pá (tangente a pá)
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Definição da área na direção radial que define a vazão que sai do rotor
1 – índice relativo a entrada2 – índice relativo a descargar – raio do rotorb – altura da pá do rotorA – área do rotor ao fluxo (veja definição)
r2
b2
2 2 2A 2 r b
Área transversal ao
fluxo do rotor na
descarga.
1 1 1A 2 r b
Área transversal ao
fluxo do rotor na
entrada. (não
representada na figura)
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vazão de entrada e saída do rotor
Expressar W em função de Q e do ângulo da pá 2.
A1 e A2 são as áreas de entrada e saída do rotor ao escoamento.
n1 1 1 1 1
1
1
1
1
QV V cos W sen
A
Q AW
sen
n 2 2 2 2 2
2
2
2
2
QV V cos W sen
A
Q AW
sen
Componentes da velocidade na saídaComponentes da
velocidade na entrada
1
1
1W
1V
1U
Vn1
2W
Vn2
2V
2U
22
Vn – vel. abs. do fluido normal ao rotorVt – vel. abs. do fluido tang. ao rotor - ângulo da pá em relação à tangente do rotor - ângulo entre V e Vn
1 – índice relativo a entrada2 – índice relativo a descargaV – velocidade abs. (ref. inercial) U – vel. abs rotor, U = rW – vel. rel. fluido à pá (tangente a pá)
(1) (2)
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Apêndice III
Um modelo alternativo ao modelo de Euler
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O desenvolvimento a seguir apresenta uma equação de Bernoulli para um rotor num escoamento ideal, veja Frank White, Fluid Mechanics.
A velocidade absoluta V possui as componentes tangencial e normal, Vt e Vn definidas no slide 38.
pá virada p/ tráz, 2 <
90o
W2
Aplicando a lei de cosenos nos triângulos de velocidade na entrada e na saída:
2 2 2V u W 2 u W cos (1)
Vt é tbém expresso pela relação
tW cos u V (2)
No slide 28 mostra que:
2 12 t 1 t
H u V u V g (3)
O produto u.Vt vem (2)2
tu V u u W cos (4)
O último termo (4) expresso por (1) dá
2 2 2
t
1u V V W u
2 (5)
Subs (5) em (3)
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1H V V u u W W 2g 0
(6)
Eq energia na saída-entrada rotor2 2
2 1
P V P VH 0
g 2g g 2g
(7)
Igualando (6) e (7)
2 22 2
2 12 2 1 1r rP W P W
Cg 2g 2g g 2g 2g
Lembrando que em (1) usualmente é zero
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22 2
1 2 22 1W W rP P
Hg 2g 2g
2
1 2
1 2
2 2 2 2 2
C U g, máx H, Q = 0H C C Q onde
C U cot D b g
Se Vt1 = 0 é necessário que: 1 1 1 1 1 1
U W cos W U cos
2 22
2 12
1
r rWH
2g 2g 2g cos
Do triângulo velocidades: 2
2
2
Q AW
sen
2
1
22 2
2 1
1 2 2
2
r2 2
2 cos
2 2
r r 1 QH
2g 2g cos 2g A sen
1 QH r 0
2g A sen
Esta análise dá um H shutoff metade do modelo de Euler
Esta análise mostra que H cai com Q2, consistente com dado experimental
Esta análise não depende do ângulo da pá portanto sempre estável, contrário
do modelo de Euler.
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FIM
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