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Capítulo 1: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO NUMÉRICO. Capítulo 1.1. EL OBJETIVO DEL CÁLCULO NUMÉRICO. Dado un problema matemático, el objetivo del Cálculo Numérico es obtener el valor
numérico de la solución. Este objetivo tiene dos aspectos fundamentales: a) Encontrar un método factible para determinar la solución numérica (métodos
numéricos). b) Analizar tanto el método como la solución calculada (análisis numérico). Capítulo 1.1.1. MÉTODOS NUMÉRICOS: El Cálculo Numérico, que es esencialmente una rama de las Matemáticas, difiere de las
Matemáticas tradicionales en poner su énfasis central en las necesidades del Cálculo Numérico.
En particular, un método numérico factible debe tener las siguientes propiedades: • Debe ser eficiente • Debe contener un número finito de operaciones En las matemáticas tradicionales es típico que los métodos se describan por argumentos
académicos o conceptuales que suelen ser poco eficientes desde el punto de vista de la implementación.
Un ejemplo puede ser la regla de Cramer para calcular un sistema de ecuaciones
lineales basada en el cálculo recursivo de determinantes: Un sistema de Cramer es un sistema BXA =· de n ecuaciones con n incógnitas y
rango n , es decir, tal que 0≠A con la forma:
���
�
���
�
�
=++++
=++++=++++=++++
nnnnnnn
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
·...···...
·...····...····...···
332211
33333232131
22323222121
11313212111
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En el cual la solución del sistema, es decir, los valores de 1x , 2x , 3x ,…, nx , vienen dados por la expresión:
A
baaa
baaa
baaa
baaa
AbAbAbAbA
x
A
abaa
abaa
abaa
abaa
AbAbAbAbA
x
A
aaba
aaba
aaba
aaba
AbAbAbAbA
x
A
aaab
aaab
aaab
aaab
AbAbAbAbA
x
nnnnnnnnnnn
nnnnn
n
n
n
nn
nnnnn
n
n
n
nn
nnnnn
n
n
n
nn
......
...
...
...
·...···
...
......
...
...
...
·...···
......
...
...
...
·...···
......
...
...
...
·...···
321
3333231
2232221
1131211
332211
21
333231
222221
111211
33332231133
31
333331
223221
113111
33322221122
32
333323
223222
113121
13312211111
=++++=
=++++=
=++++=
=++++=
Para un sistema de n ecuaciones hay que resolver 1+n determinantes. Cada uno de
esos determinantes se calcularía por adjuntos de una línea, lo cual conllevaría a realizar, por cada uno de esos determinantes, n determinantes de dimensión 1−n , así sucesivamente hasta llegar a determinantes de dimensión la unidad, con lo cual se habrán realizado ( )!1+n determinantes.
Para ilustrar el ejemplo, el caso de un sistema de10 ecuaciones con10 incógnitas
supondría realizar un total de 800.916.39!11 = determinantes. Así decimos que un método es eficiente en relación con otro cuando su implementación
supone un número considerablemente menor de operaciones con respecto al otro método.
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En algunos de los métodos que estudiaremos (resolución de ecuaciones no lineales), la solución del problema se obtendrá como límite de una sucesión de números reales, es decir, mediante un proceso infinito; pero en la práctica, al implementar tales métodos debemos reemplazar el proceso infinito por uno finito, es decir, con un número finito de operaciones. De esta manera tendremos una solución aproximada.
Capítulo 1.1.1.1. ANÁLISIS NUMÉRICO: Es probable que una de las partes más importantes en el análisis numérico sea el
estudio del error entre la solución calculada aproximada y la verdadera solución. Capítulo 1.1.1.2. ERROR ABSOLUTO:
Viene dado por la expresión *xxea −= , siendo x la solución exacta y *x la solución
calculada. Capítulo 1.1.1.3. ERROR RELATIVO:
Viene dado por la expresiónx
ee a
r = .
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Capítulo 1.2. FUENTES DE ERROR. ERRORES EN LOS DATOS, ERRORES DE TRUNCAMIENTO Y ERRORES DE REDONDEO.
La fuente de error principal es, de hecho, el error humano. Esto puede ser como
consecuencia, por ejemplo, de errores de lectura o interpretación, utilizar métodos incorrectos o de una codificación incorrecta en la implementación del método.
Las otras fuentes de error son: • Errores en los datos • Errores de truncamiento • Errores de redondeo Y están relacionados con tres conceptos claves en el análisis numérico que son,
respectivamente: • Condicionamiento • Convergencia • Estabilidad Capítulo 1.2.1. ERRORES EN LOS DATOS: Un problema no está definido exactamente, los datos están aproximados. Tales errores
afectan, obviamente, a la solución. Se dice que un problema está bien condicionado si ligeras modificaciones en los datos
originan cambios pequeños en la solución; en caso de que se origen o se pueden originar grandes cambios en la solución se dice que está mal condicionado.
Es frecuente que los sistemas de ecuaciones estén mal condicionados. El condicionamiento es algo intrínseco al problema y no lo podremos erradicar
cambiando de método, salvo replanteando el problema. Capítulo 1.2.2. ERRORES DE TRUNCAMIENTO: Son debidos, fundamentalmente, al método utilizado que al propio problema y se refieren
más a sus propiedades matemáticas. Se cometen al sustituir un proceso infinito por otro finito con n iteraciones. Diremos que el método es convergente cuando el error cometido tiende a cero si el
número de iteraciones tiende a infinito. Capítulo 1.2.3. ERRORES DE REDONDEO: Se originan cuando el método se implementa en el ordenador y son debidos a la
representación interna de los números.
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Capítulo 2: INTERPOLACIÓN. Capítulo 2.1. INTRODUCCIÓN. Supongamos que partimos de una tabla de valores de la función seno. Por ejemplo:
x ( )º ( )xsen … … 60 866025,0
65 906308,0
70 939693,0
75 965926,0
80 984808,0 … …
¿Cómo podríamos calcular, por ejemplo, el valor de ( )66sen ? Para determinar dicho valor, de una manera aproximada, podríamos construir un
polinomio ( )xP tal que el polinomio coincida con la función ( ) ( )xsenxf = en los valores de la tabla suministrada, tal que:
( )( )
( ) ( )ii xsenxP
P
P
=
==
...906308,065866025,060
Así, ( ) ( )6666 Psen ≅ Pero, ¿qué tipo de polinomio verificaría está condición? Veamos unos ejemplos más sencillos. En primer lugar, suministramos una tabla con dos valores:
0x ( ) 00 yxf =
1x ( ) 11 yxf = Representando gráficamente los puntos ( )00 , yx y ( )11 , yx vemos como definen una
recta. En este caso el polinomio que buscamos sería de la forma ( ) xccxP ·10 += , esto es, un polinomio de grado menor o igual a uno.
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Ahora, suministraremos una tabla con tres valores:
0x ( ) 00 yxf =
1x ( ) 11 yxf =
2x ( ) 22 yxf = Representando gráficamente los puntos ( )00 , yx , ( )11 , yx y ( )22 , yx vemos como definen
una parábola. En este caso el polinomio que buscamos sería de la forma ( ) 2
210 ·· xcxccxP ++= , esto es, un polinomio de grado menor o igual a dos.
x
y
y0
x2 x0
y2
(x0 ,y0)
(x2 ,y2)
x1
y1
(x1 ,y1)
x
y
y0
x1 x0
y1
(x0 ,y0)
(x1 ,y1)
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Observamos, pues, que para una muestra de 1+n términos es necesario un polinomio de grado menor o igual a n .
Capítulo 2.1.1. EL PROBLEMA DE LA INTERPOLACIÓN: Sean nxxxx ,...,,, 210 , 1+n distintos pertenecientes a R y sea f una función real
definida en el intervalo [ ]baI ,= , con Ixxxx n ∈,...,,, 210 . Queremos construir un
polinomio ( )xP de grado menor o igual a n que interpola a f en los puntos nxxxx ,...,,, 210 , es
decir, que ( ) ( )00 xfxP = , ( ) ( )11 xfxP = , ( ) ( )22 xfxP = , …, ( ) ( )nn xfxP =
( 1+n condiciones). Demostraremos que tal polinomio existe y es único, y lo denominaremos polinomio
interpolante. En primer lugar demostraremos la unicidad y a continuación la existencia,
construyéndolo. Capítulo 2.1.2. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD: Vamos a verificar en primer lugar que existe, a lo sumo, un polinomio de grado menor o
igual a n que interpola a f en los 1+n puntos distintos nxxxx ,...,,, 210 : Suponemos la existencia de dos polinomios ( )xP y ( )xQ de grado menor o igual a n que
interpolan a f en los 1+n puntos distintos nxxxx ,...,,, 210 , es decir,
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]nixfxQxfxP iiii ,0 ,y ∈∀== . Definimos ahora un polinomio ( ) ( ) ( )xQxPxR −= de grado menor o igual a n . De este
modo tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0...
0
0
0
22222
11111
00000
=−=−=
=−=−==−=−=
=−=−=
nnnnn xfxfxQxPxR
xfxfxQxPxR
xfxfxQxPxR
xfxfxQxPxR
Es decir, el polinomio ( )xR es nulo en los 1+n puntos nxxxx ,...,,, 210 , o lo que es igual,
tiene 1+n raíces. Sin embargo, de acuerdo con el teorema fundamental del Álgebra, sabemos que todo polinomio de grado menor o igual a n tiene n raíces (reales o imaginarias, iguales o repetidas). ¿Cómo podemos justificar esta aparente contradicción? La única posible solución es que ( )xR sea el polinomio nulo, ( ) 0=xR . En tal caso, tenemos ( ) ( ) ( ) 0=−= xQxPxR y
por tanto, ( ) ( )xQxP = y queda demostrada la unicidad del polinomio interpolante. Probaremos ahora la existencia de dicho polinomio mediante su construcción. Para
llevarla a cabo vamos a aplicar dos métodos: la Fórmula de Lagrange y la Fórmula de Newton.
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Capítulo 2.2. POLINOMIO INTERPOLANTE. FÓRMULAS DE LAGRANGE Y NEWTON
Capítulo 2.2.1. FÓRMULA DE LAGRANGE: Si nxxxx ,...,,, 210 son 1+n puntos distintos, el polinomio ( )xPn , de grado menor o igual
a n , que verifica ( ) ( ) [ ]nixfxP iin ,0 , ∈∀= (polinomio de interpolación) viene dado en la fórmula de Lagrange por la siguiente expresión:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )�=
=++++=n
iiinnn xlxfxlxfxlxfxlxfxlxfxP
0...22.11.00 ··...··· ,
siendo ( ) ( ) ( ) ( )xlxlxlxl n,...,,, 210 un polinomio de grado n que se anula en todos los
puntos ( )[ ]xfx, excepto en uno en que su valor es la unidad.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
( )���
�
���
�
�
=
===
−−−−−−−−
=
���
�
���
�
�
=
===
−−−−−−−−
=
���
�
���
�
�
=
===
−−−−−−−−
=
���
�
���
�
�
=
===
−−−−−−−−
=
−
−
0...
1
0
0
·...····...···
...
0...
1
0
0
·...····...···
0...
0
1
0
·...····...···
0...
0
0
1
·...····...···
2
22
12
02
1210
1210
2
22
12
02
2321202
3102
1
21
11
01
1312101
3201
1
20
10
00
0302010
3210
n
nnnnn
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
xl
xl
xl
xl
xxxxxxxxxxxxxxxx
xl
xl
xl
xl
xl
xxxxxxxxxxxxxxxx
xl
xl
xl
xl
xl
xxxxxxxxxxxxxxxx
xl
xl
xl
xl
xl
xxxxxxxxxxxxxxxx
xl
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∏
≠=+−
+−
−−
=−−−−−−
−−−−−−=
n
ikk ki
k
niiiiiiii
niii xx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxl
011210
11210
·...···...····...···...···
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Vamos a verificar que ( )xPn es el polinomio de interpolación:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )0
210
..22.11.000
0·...0·0·1·
·...···
xf
xfxfxfxf
xlxfxlxfxlxfxlxfxP
n
nnn
==++++=
=++++=
La identidad se verifica sucesivamente para los distintos valores nxxxx ,...,,, 210 . Ejercicio: Se dispone de la siguiente tabla de valores:
… …
2− 23− 1− 7−
0 1− 1 1 3 17 … …
Calcular el polinomio de interpolación aplicando la fórmula de Lagrange.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )120
1·2·1··17
123·1·2·
·1
63·1·1·2
·110
3·1·2··7
303·1·1·
·23
·3·1·0·1·2 .4.3.2.1.04
−+++−
−+++
+−−++−−
−−+−−−+−=
=+++−+−=
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xlfxlfxlfxlfxlfxP
Un problema que tiene la fórmula de Lagrange es que si queremos añadir un nuevo
punto, 1+nx , el polinomio se tiene que volver a escribir desde cero ya que los
polinomios ( ) ( ) ( ) ( )xlxlxlxl n,...,,, 210 y ahora, ( )xln 1+ se tienen que volver a calcular. Este problema se solventa con la fórmula de Newton.
Capítulo 2.2.2. FÓRMULA DE NEWTON: La idea básica es construir el polinomio en pasos sucesivos: primero construiremos el
polinomio ( )xP0 , de grado menor o igual a cero, que coincide con la función en el punto 0x ;
luego construiremos el polinomio ( )xP1 , de grado menor o igual a uno, que coincide con la
función en los puntos 10 , xx , así hasta llegar al polinomio ( )xPn , de grado menor o igual
a n que coincide con la función en los puntos nxxxx ,...,,, 210 . De este modo, cada polinomio viene definido a partir del anterior, es decir, viene dado por una relación de recurrencia.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnnnnn xfxPxfxPxfxPxfxPxP
xfxPxfxPxfxPxP
xfxPxfxPxP
xfxPxP
====
=====
=
,...,,,...
,,
,
221100
2221120022
1110011
0000
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Vamos a calcular estos polinomios: ( ) ( ) 000 cxfxP ==
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )0101
01
011
111
01011011
0110101
01001
101
·
·
·0
xxccxP
xxxfxf
cxfxP
xxcxfxQxfxP
xxcxQxQxfxP
xQxfxP
xQxPxP
−+=−−
=���
=−+=+=
−==���
=+=
+=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1020102
1202
021022
222
120220210222222
1022
12112
121121112
02002
020020102
212
···
··
···
··
0
0
xxxxcxxccxP
xxxxxxccxf
c
xfxP
xxxxcxxccxQxPxP
xxxxcxQ
xQxfxP
xQxfxQxPxP
xQxfxP
xQxfxQxPxP
xQxPxP
−−+−+=−−
−−−=
���
=−−+−+=+=
−−=
��
�
��
�
�
=���
=+=+=
=���
=+=+=
+=
Así tenemos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1210102010 ·...····...··· −−−−−++−−+−+= nnn xxxxxxxxcxxxxcxxccxP
De este modo solventamos el inconveniente que teníamos al añadir más puntos. Por ejemplo, si añadimos un punto 1+nx :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnn xxxxxxxxcxxxxcxxccxP −−−−++−−+−+= ++ ·...····...··· 21011020101
Pero, ¿cómo calculamos los coeficientes ncccc ,...,,, 210 ? Capítulo 2.2.3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE UNA FUNCIÓN: Dados 1+n puntos distintos nxxxx ,...,,, 210 y una función f definida en tales puntos, se
llama diferencia dividida de la función f en los puntos nxxxx ,...,,, 210 y se
representa [ ]nxxxxf ,...,,, 210 , al coeficiente de nx en el desarrollo del correspondiente polinomio interpolador.
Así, [ ] [ ] [ ] [ ] nn cxfcxfcxfcxf ==== ,...,,, 221100 , siendo n el orden de la diferencia
dividida.
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El valor de una diferencia dividida es independiente del orden en que se escriban sus argumentos.
El polinomio de Newton, usando diferencias divididas, vendrá dado por:
( ) [ ] [ ]( ) [ ]( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )1210
102010
·...····
...···
−−−−−+++−−+−+=
nn
n
xxxxxxxxxf
xxxxxfxxxfxfxP
Verificándose que [ ] [ ] [ ]0
1210321210
,...,,,,...,,,,...,,,
xxxxxxfxxxxf
xxxxfn
nnn −
−= −
De esta manera, las diferencias divididas de cualquier orden se definen a partir de las de
órdenes precedentes y su cálculo se sintetiza en forma de tabla triangular:
0x [ ]0xf
[ ] [ ] [ ]
01
0110 ,
xxxfxf
xxf−−
=
1x [ ]1xf
[ ] [ ] [ ]
12
1221 ,
xxxfxf
xxf−−
=
2x [ ]2xf
[ ] [ ] [ ]
23
2332 ,
xxxfxf
xxf−−
=
3x [ ]3xf
… …
[ ] [ ] [ ]02
1021210
,,,,
xxxxfxxf
xxxf−−
=
[ ] [ ] [ ]
03
2103213210
,,,,,,,
xxxxxfxxxf
xxxxf−−
=
[ ] [ ] [ ]
13
2132321
,,,,
xxxxfxxf
xxxf−−
=
…
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Ejercicio: Se dispone de la siguiente tabla de valores:
… …
2− 23− 1− 7−
0 1− 1 1 3 17 … …
Calcular el polinomio de interpolación aplicando la fórmula de Newton, empleando
diferencias divididas. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )32104
21031020104
····
······
xxxxxxxxc
xxxxxxcxxxxcxxccxP
−−−−++−−−+−−+−+=
2−
23−
[ ] 16, 10 =xxf
1− 7− [ ] 5,, 210 −=xxxf
[ ] 6, 21 =xxf [ ] 1,,, 3210 =xxxxf
0 1− [ ] 2,, 321 −=xxxf
[ ] 0,,,, 43210 =xxxxxf
[ ] 2, 32 =xxf
[ ] 1,,, 4321 =xxxxf
1 1 [ ] 2,, 432 =xxxf
[ ] 8, 43 =xxf
3 17
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )132
1··1·2·0·1·2·1·2·52·1623
····
······
23
32104
21031020104
−+−−==−++++++++−++−=
=−−−−++−−−+−−+−+=
xxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxc
xxxxxxcxxxxcxxccxP
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Capítulo 2.3. ERROR EN LA INTERPOLACIÓN. Sea la función [ ] Rbaf →,: , 1+n veces derivable en ( )ba, y sea ( )xPn el
polinomio de grado menor o igual a n que interpola a la función en los 1+n puntos distintos,
[ ]baxxxx n ,,...,,, 210 ∈ tales que bxxxxa n =<<<<= ...210 . Si [ ]bax ,∈ , se verifica que
existe un puntox
c tal que el error en x viene dado por la expresión:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )∏
=
+
+
−+
=
=−−−−+
=−=
n
ii
n
nn
nn
xxcfn
xxxxxxxxcfn
xPxfxe
0
1
2101
··!1
1
·...·····!1
1
Si ( ) ( ) ( )baxMxfM n ,,1 ∈∀≤∃ + , entonces ( ) ( ) ( )∏=
−+
≤n
iin xx
nM
xe0
·!1
.
En este caso tomaremos( )
( ) ( )xfM n
bax
1
,sup +
∈= .
f(x) P(x)
x0 x
y
x1 x
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Ejercicio: Se dispone de los siguientes valores de la función logaritmo neperiano:
x xln … … 9 1972.2
5.9 2513.2 11 3979.2 … …
a) Aproximar el valor de 2.9ln utilizando interpolación lineal. Dar una cota del error
cometido. Vamos a construir el polinomio de interpolación lineal aplicando la fórmula de Newton empleando diferencias divididas.
( ) ( )0101 · xxccxP −+= La tabla de diferencias divididas será:
9 1972.2
[ ] 1082.0, 10 =xxf
5.9 2513.2 [ ] 0052.0,, 210 −=xxxf [ ] 0977.0, 21 =xxf
11 3979.2 Así, el polinomio de interpolación vendrá dado por:
( ) ( ) ( )9·1082.01972.2· 0101 −+=−+= xxxccxP
Evaluando el valor de dicho polinomio en 2.9=x obtendremos el valor aproximado de 2.9ln
( ) ( ) 2.9ln2188.292.9·1082.01972.22.91 ≈=−+=P A continuación vamos a evaluar el error cometido en la aproximación:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )8103.0
903.0
5.911
91
5.911
91
95.95.9,9
03.01·03.0·03.0·
206.0
5.92.9·92.9··21
2.9··!2
1
2
222
22''''
''
0
''
=≤
<<<<<<∈
=−===
=−−=−= ∏=
xe
cccc
cccfcf
cfxcfxe
n
n
iin
b) Aproximar el valor de 2.9ln utilizando interpolación cuadrática. Dar una cota del error cometido.
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Capítulo 2.3.1. ERROR EN LA INTERPOLACIÓN LINEAL: Sea una función f , dos veces derivable en ( )10 , xx , y sea ( )xP1 el polinomio que
interpola a f en esos dos puntos. Sabemos que si [ ]10 , xxx ∈ ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )10''
110 ···!2
1, xxxxcfxPxfxexxc n −−=−=∈∃ .
Vamos a hallar, a partir de esta expresión, una cota para el error (en valor absoluto) en la
interpolación lineal, válida para cualquier punto [ ]10 , xxx ∈ .
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) 20
200000110
·1·1,0
····
htth
xxt
hh
hxxh
xxhxxxxxxhxxxx
−=∈−
==
=−−−
=−−−=−==−−
( ) ( ) ( )cfhttxe ''21 ··1··
21 −=
( ) ( ) ( )( )( )
41
21
(máximo) 21
0·210
·21
1·1·
'
'
2
=�
� �
�
==−��
���
=−=
−=−=−=
g
tttg
ttg
tttttttg
( ) ( )cfhxe ''21 ··
41
·21≤
( ) ( ) [ ]10''
2
1 ,,·8
xxxcfh
xe ∈∀≤
x0 x1
h
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Capítulo 2.3.2. ERROR EN LA INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA: Sea una función f , tres veces derivable en ( )20 , xx , y sea ( )xP2 el polinomio que
interpola a f en los puntos 210 ,, xxx , tal que 210 xxx << . Sabemos que si [ ]20 , xxx ∈ ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )210'''
120 ····!3
1, xxxxxxcfxPxfxexxc n −−−=−=∈∃ .
Vamos a hallar, a partir de esta expresión, una cota para el error (en valor absoluto) en la
interpolación cuadrática, válida para cualquier punto [ ]10 , xxx ∈ y supuesto, además, que las abscisas de los nodos son equidistantes.
( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 303000
00001210
·2·1·2,0·2
··
2····
httth
xxth
hhxx
hhxx
hxx
hxxhxxxxxxhxxxxxx
−−=∈−
==−−−−−
=
=−−−−−=−==−−−
( ) ( ) ( ) ( )cfhtttxe '''32 ··2·1··
!31 −−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ]
[ ]( ]
( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )
932
2·1·max
932
33
·32
33
·31
1
33
1·33
·33
1233
1·133
1·33
133
1
(máximo) 33
10263
0
2,12331,0263
2,1231,023
2,12·1·1,02·1·
2·1·
2,0
2
'
2
2'
23
23
=−−
==�
� �
� −=
=�
� �
�−
�
� �
�+=
�
� �
�−+
�
� �
�−+
�
� �
�+=
�
� �
�+
±==+−��
��
�
=���
∈−+−∈+−
=
���
∈−+−∈+−
=���
∈−−∈−−
=−−=
∈ttt
g
ttt
tg
tsitt
tsitttg
tsittt
tsittttsittt
tsitttttttg
t
x0 x1
h
x2
2h
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Así, ( ) ( ) ( ) ( )cfhtttxe '''32 ··2·1··
!31 −−=
( ) ( ) [ ]20'''
3
2 ,,·39
xxxcfh
xe ∈∀≤
Ejercicio: Acotar el error de interpolación para la función ( ) xexf = en el intervalo [ ]1,0 , cuando se
interpola por un polinomio de grado 2 en los nodos 1,21
,0 .
( ) ( )
( )( )
372
1101,0
·21
·39
1·
39
2
10
3'''
3
2
exe
eeeeecc
ecfh
xe
cc
c
≤
<<<<<<∈
=≤
Capítulo 2.3.3. OBSERVACIONES AL RESULTADO REFERENTE AL ERROR EN LA
INTERPOLACIÓN:
Si se interpola, por ejemplo, la función seno, tenemos que ( ) ( ) Rxxf n ∈∀≤+ ,11 .
Así, el error vendrá dado por:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )∏∏
==
+ −+
≤−+
=−=n
ii
n
ii
nnn xx
nxxcf
nxPxfxe
00
1 ·!1
1··
!11
Por otra parte:
( ) ( ) ( ) ( )ababababxxxxxxxx n −−−−≤−−−− ·...····...··· 210
Así, se verifica que:
( ) ( )( )!1
1
+−≤
+
nab
xen
n
x0=a x1 x2 x xn=b
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¿Qué ocurre cuando aumentamos los nodos?
( )( ) 0
!1lim
1
=+
− +
∞→ nab n
n
Vemos, pues, que a medida que incrementamos el número de nodos el error cometido
en la interpolación tiende a cero. Pero en general, no se consigue disminuir el error incrementando el número de nodos y
por lo tanto, el grado del polinomio. Para algunas funciones, la cota del error aumenta a medida que aumenta n . Un elevado
número de puntos puede dar lugar a polinomios con muchas oscilaciones que aproximan mal a la función que se interpola, especialmente en los extremos del intervalo.
Por ejemplo:
La función ( )21
1x
xf+
= en [ ]5,5−
( )xP4 en 5,3,0,3,5 −−
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( )xP10 en 5,4,...,0,...,4,5 −−
( )xP20 en 5,5.4,...,0,...,5.4,5 −−
Para solucionar estos problemas introduciremos el concepto de la interpolación a trozos.
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Capítulo 2.4. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA A TROZOS. Una buena forma de obtener, por interpolación, una función es la interpolación a trozos o
interpolación segmentaria que consiste en dividir el intervalo [ ]ba, en subintervalos lo suficientemente pequeños y aproximar la función en esos subintervalos mediante polinomios de grado pequeño.
Capítulo 2.4.1. INTERPOLACIÓN LINEAL A TROZOS: Sea f dos veces derivable en ( )ba, y dados 1+n puntos bxxxxa n =<<<<= ...210 ,
se aproxima la función f en cada intervalo de la forma [ ] 1,...,0,, 1 −=+ nixx ii mediante la recta
que une los puntos ( )( )ii xfx , y ( )( )11 , ++ ii xfx .
x0 x
y
x1 x2 x3
f(x0)
f(x2)
f(x1)
f(x3)
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Capítulo 2.4.1.1. ERROR EN LA INTERPOLACIÓN LINEAL A TROZOS: Queremos calcular una cota para el error en la interpolación lineal a trozos independiente
del punto escogido.
Si [ ]10 , xxx ∈ , ( ) ( ) ( ) ( )1011''2
011 ,,··81
xxccfxxxe ∈−≤
Si [ ]21 , xxx ∈ , ( ) ( ) ( ) ( )2112''2
121 ,,··81
xxccfxxxe ∈−≤
…
Si [ ]nn xxx ,1−∈ , ( ) ( ) ( ) ( )nnnnn xxccfxxxe ,,··81
11''2
11 −− ∈−≤
Así, si [ ]nxxx ,0∈ , ( ) ( ) ( ) { }[ ] MxxxPxfxe iini
·,max·81 2
11011 +−≤≤≤−= ,
siendo ( ) ( ) ( )baxMxf n ,,1 ∈∀≤+ .
Si las abscisas de los nodos son equidistantes, entonces, el error cometido en la
interpolación lineal a trozos vendrá dado por:
( ) Mhxe ··81 2
1 ≤
Ejercicio: Sea la función ( ) 3xxf = en el intervalo [ ]1,1− .
a) Se desea generar una tabla de valores de f con abscisas equiespaciadas de forma que la interpolación lineal a trozos entre dos puntos consecutivos tenga un error menor que 410·3 − . Determinar el número mínimo de puntos. x ( )xf
1− … h+−1 …
h21 +− … ... …
hn·1 +− … El error cometido viene dado por:
( ) Mhxe ··81 2
1 ≤
Calculamos el valor de M :
( )( ) ( ) ( )
( ) [ ]1,1,6
·6·3''
''2'3
''
−∈∀≤
===
≤
ccf
xxfxxfxxf
Mcf
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Así:
( )( )
( )( )2
max
2242
424242
41
221
10·2
010·2·10·2010·4
10·410·41
10·3·43
10·3
·43
6··81
−
−−−
−−−
−
=
≤−+≤−
≤≤≤��
��
�
≤
=≤
h
hhh
hhhxe
hhxe
Por otra parte sabemos que: ( )
nnnab
h211 =−−=−=
Y por tanto:
1001
102
10·2210·2
22
2
===��
��
�
=
=−−
−
nnn
nh
h
El mínimo número de puntos es 1011 =+n puntos.
b) Se desea utilizar un único polinomio interpolante (con nodos equidistantes) en todo el intervalo, manteniendo la cota del error 410·3 − . Determinar el número mínimo de puntos y el polinomio de interpolación. Anteriormente hemos probado que con interpolación lineal es necesario emplear101puntos para que el error cometido sea menor que 410·3 − . Vamos a probar ahora con la interpolación cuadrática. x ( )xf
1− … 0 …
1 … El error cometido viene dado por:
( ) Mhxe ··39
1 32 ≤
Calculamos el valor de M :
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) [ ]1,1,6
6·6·3'''
'''''2'3
'''
−∈∀=
====
≤
ccf
xfxxfxxfxxf
Mcf
Así:
( )( )
?10·333
2¿
10·3
6·39
1·
39
14
41
1−
−
≤��
��
�
≤
=≤
xe
Mxe
Con tres nodos equidistantes no se puede asegurar que el error sea menor que 410·3 − .
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Vamos a probar ahora la interpolación cúbica. x ( )xf
1− …
31− …
31 …
1 … Tenemos que calcular un polinomio de grado menor o igual a 3 y en el que se verifique el valor de la función en los nodos anteriores. Deducimos, pues, que el polinomio de interpolación coincide con la propia función, luego el error es cero. Así, el mínimo número de puntos necesarios es cuatro y el polinomio de interpolación es ( ) ( )xfxxP == 3
3 .
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Capítulo 3: AJUSTE DE DATOS Y APROXIMACIÓN DE FUNCIONES. Capítulo 3.1. INTRODUCCIÓN. El estudio de la teoría de aproximación se puede plantear desde dos puntos de vista. En
un caso, conocida explícitamente una función o bien conocidos los valores que alcanza la función en determinados puntos, tratamos de buscar una función “simple”, un polinomio, que coincida con ella en dichos valores y que nos sirva de punto de partida para aproximar la función en otros puntos. Este caso ya ha sido tratado en el tema anterior (Capítulo 2: Interpolación).
Otra opción es la búsqueda de un tipo específico de funciones, no necesariamente
polinomios, que optimicen la aproximación a los datos que tenemos de nuestra función. Desde este punto de vista trataremos el tema de la aproximación de funciones.
Trataremos, en primer lugar, un caso particular de función que se utiliza en gran cantidad
de problemas como es la búsqueda de la recta de regresión, es decir, la recta que mejor aproxime a la función en ciertos puntos.
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Capítulo 3.2. AJUSTE Y APROXIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS. Supongamos que tenemos una tabla de puntos de la función, que serían dados
obtenidos experimentalmente o valores generados por una cierta función, y buscamos la recta ( ) bxaxF += que mejor aproxime dichos puntos. Pero, ¿en qué sentido se habla de aproximación?
Vamos a llamar:
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )
( )�=
−−=
=−−++−−+−−+−−=
=−++−+−+−=
n
iii
nn
nn
bxay
bxaybxaybxaybxay
xFyxFyxFyxFyd
1
2
2233
222
211
2233
222
211
...
...
Deseamos minimizar esta distancia d . (aproximación o ajuste mínimo cuadrático).
Podemos considerar d como una función de a yb : ( )badd ,= .
x1 x
y
x2 x3 x4
f(x1)
f(x3)
f(x2)
f(x4)
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Tenemos, pues, que calcular los valores de a y b que hagan mínima la distancia d . Por la teoría de funciones de varias variables, sabemos que d alcanza un mínimo en el
punto ( )** ,baP si:
( ) ( )**** ,0, babd
baad
∂∂==
∂∂
Así:
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) 0·2
...·2·2·2,
0·2
...·2·2·2,
**
3**
332**
221**
11**
**
3**
32**
21**
1**
=−−−
−−−−−−−−−−−=∂∂
=−−−
−−−−−−−−−−−=∂∂
nnn
nn
xbayx
xbayxxbayxxbayxbabd
xbay
xbayxbayxbaybaad
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )��
���
+++++++++=++++
+++++=++++
��
���
=−−++−−+−−+−−
=−−++−−+−−+−−
��
�
��
�
�
=−−−
−−−−−−−−−−−
=−−−
−−−−−−−−−−−
223
22
21
*321
*332211
321**
321
**3
**332
**221
**11
**3
**32
**21
**1
**
3**
332**
221**
11
**
3**
32**
21**
1
...·...··...···
...··...
0·...···
0...
0·2
...·2·2·2
0·2
...·2·2·2
nnnn
nn
nnn
nn
nnn
nn
xxxxbxxxxayxyxyxyx
xxxxbnayyyy
xbayxxbayxxbayxxbayx
xbayxbayxbayxbay
xbayx
xbayxxbayxxbayx
xbay
xbayxbayxbay
����
�
�
����
�
�
=��
���
�
����
�
�
����
�
�
⇔
��
�
��
�
�
+=
+=
�
�
��
�
���
��
=
=
==
=
===
==n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
yx
y
b
a
xx
xn
xbxayx
xbnay
11
1*
*
1
2
1
1
1
2*
1
*
11
1
**
1
··
···
··
Se puede demostrar que este sistema de ecuaciones siempre será compatible y el único
caso en que tenga infinitas soluciones es cuando los puntos ( )yx, sean todos iguales.
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Ejercicio: Dados los valores ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,1,5,3,3,1,1,0 − . Determinar la recta que mejor aproxime
dichos valores. x ( )xf
0 1 1 3 3 5
1− 0
( ) ( )xxFbab
a+===⇔�
�
���
�=�
�
���
���
���
�1·
79
79
189
·10334
y = 1,2857x + 1,2857
0
1
2
3
4
5
6
-2 -1 0 1 2 3 4
Hemos visto como podemos aproximar una función mediante una recta.
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Vamos ahora a buscar la parábola que mejor aproxime los puntos dados. La expresión general de dicha parábola es: ( ) 2cxbxaxF ++= .
En este caso tenemos:
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( )( )
( )�=
−−−=
=−−−+
++−−−+−−−+−−−=
=−++−+−+−==
n
iiii
nnn
nn
cxbxay
cxbxay
cxbxaycxbxaycxbxay
xFyxFyxFyxFycbadd
1
22
22
22333
22222
22111
2233
222
211
...
...,,
Vamos a minimizar esta distancia (ajuste mínimo cuadrático). Sabemos que d alcanzará un mínimo en el punto ( )*** ,, cbaP si:
( ) ( ) ( )********* ,,,,0,, cbacd
cbabd
cbaad
∂∂=
∂∂==
∂∂
Así:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) 0·2...·2
·2·2,,
0·2...·2
·2·2,,
0·2...·2
·2·2,,
2***223
*3
**3
23
22
*2
**2
22
21
*1
**1
21
***
2***23
*3
**33
22
*2
**22
21
*1
**11
***
2***23
*3
**3
22
*2
**2
21
*1
**1
***
=−−−−−−−−−
−−−−−−−−−=∂∂
=−−−−−−−−−
−−−−−−−−−=∂∂
=−−−−−−−−−
−−−−−−−−−=∂∂
nnnn
nnnn
nnn
xcxbayxxcxbayx
xcxbayxxcxbayxcbacd
xcxbayxxcxbayx
xcxbayxxcxbayxcbabd
xcxbayxcxbay
xcxbayxcxbaycbaad
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( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) �
��
�
���
�
�
+++++
++++++++++=++++
+++++
++++++++++=++++
++++++++++=++++
����
�
����
�
�
=−−−+
++−−−+−−−+−−−
=−−−+
++−−−+−−−+−−−
=−−−+
++−−−+−−−+−−−
����
�
����
�
�
=−−−−−−−−−
−−−−−−−−−
=−−−−−−−−−
−−−−−−−−−
=−−−−−−−−−
−−−−−−−−−
443
42
41
*
333
32
31
*223
22
21
*23
232
221
21
333
32
31
*
223
22
21
*321
*332211
223
22
21
*321
**321
2***2
23
*3
**3
23
22
*2
**2
22
21
*1
**1
21
2***
23
*3
**33
22
*2
**22
21
*1
**11
2***
23
*3
**3
22
*2
**2
21
*1
**1
2***223
*3
**3
23
22
*2
**2
22
21
*1
**1
21
2***23
*3
**33
22
*2
**22
21
*1
**11
2***23
*3
**3
22
*2
**2
21
*1
**1
...·
...·...··...···
...·
...·...··...···
...·...··...
0·
...···
0·
...···
0
...
0·2...·2
·2·2
0·2...·2
·2·2
0·2...·2
·2·2
n
nnnn
n
nnnn
nnn
nnnn
nnnn
nnn
nnnn
nnnn
nnn
xxxxc
xxxxbxxxxayxyxyxyx
xxxxc
xxxxbxxxxayxyxyxyx
xxxxcxxxxbnayyyy
xcxbayx
xcxbayxxcxbayxxcxbayx
xcxbayx
xcxbayxxcxbayxxcxbayx
xcxbay
xcxbayxcxbayxcxbay
xcxbayxxcxbayx
xcxbayxxcxbayx
xcxbayxxcxbayx
xcxbayxxcxbayx
xcxbayxcxbay
xcxbayxcxbay
�������
�
�
�������
�
�
=���
�
�
���
�
�
�������
�
�
�������
�
�
⇔
���
�
���
�
�
++=
++=
++=
�
�
�
���
���
��
����
����
���
=
=
=
===
===
==
====
====
===
n
iii
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
yx
yx
y
c
b
a
xxx
xxx
xxn
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbnay
1
2
1
1
*
*
*
1
4
1
3
1
2
1
3
1
2
1
1
2
1
1
4*
1
3*
1
2*
1
2
1
3*
1
2*
1
*
1
1
2*
1
**
1
·
··
····
····
···
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Alberto Suárez López Página 30
Ejercicio: Calcular la parábola que mejor aproxima, en el sentido de los mínimos cuadrados, a la
función ( ) 3 xxf = en los puntos 1− , 0 y8 . x ( )xf
1− 1− 0 0 8 2
���
�
�
���
�
�
−
≈=
���
�
�
���
�
�
⇔���
�
�
���
�
�
=���
�
�
���
�
�
���
�
�
���
�
�
833.09167.0
0
127171
·4097511655116576573
c
b
a
c
b
a
( ) 22 833.09167.0 xxcxbxaxF −=++=
y = -0,0833x2 + 0,9167x - 3E-14
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
-2 0 2 4 6 8 10
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Vamos a extender el problema del ajuste mínimo cuadrático al caso más general de considerar que la función aproximadamente sea de la siguiente manera:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xcxcxcxcxF kk ϕϕϕϕ ·...··· 332211 ++++= Es decir, la función aproximadamente es una combinación lineal de las funciones ( )xiϕ ,
elegidas por quien construye la función. Por ejemplo:
Para 2=k :( ) ( )
( ) recta·
1
21
21
���
���
+===
xccxF
xxxi ϕϕ
Para 3=k :( ) ( ) ( )
( )parábola
··
12
321
2321
��
���
��
���
++=
===
xcxccxF
xxxxx ii ϕϕϕ
Así, la función a aproximar vendrá dada por la expresión:
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )� �= =
��
���
�−=
=−−−−−+
+++−−−−−+
+−−−−−+
+−−−−−=
=−++−+−+−=
n
i
k
jijji
nkknnnn
kk
kk
kk
nnk
xcy
xcxcxcxcy
xcxcxcxcy
xcxcxcxcy
xcxcxcxcy
xFyxFyxFyxFyccccd
1
2
1
2332211
233333223113
222332222112
211331221111
2233
222
211321
·
·...···
...
·...···
·...···
·...···
...,...,,,
ϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
d alcanzará un mínimo en el punto ( )**
3*2
*1 ,...,,, kccccP si y sólo si se verifica:
( ) ( ) ( )
( )**3
*2
*1
**3
*2
*1
3
**3
*2
*1
2
**3
*2
*1
1
,...,,,
...,...,,,,...,,,0,...,,,
kk
kkk
cccccd
cccccd
cccccd
cccccd
∂∂=
==∂∂=
∂∂==
∂∂
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Así:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0··...····2...
··...···2
··...···2
··...····2,...,,,
1332211
3133333223113
2122332222112
1111331221111**
3*2
*1
1
=−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−=∂∂
nnkknnnn
kk
kk
kkk
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcycccccd
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0··...····2...
··...···2
··...···2
··...····2,...,,,
2332211
3233333223113
2222332222112
1211331221111**
3*2
*1
2
=−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−=∂∂
nnkknnnn
kk
kk
kkk
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcycccccd
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )...
0··...····2...
··...···2
··...···2
··...····2,...,,,
3332211
3333333223113
2322332222112
1311331221111**
3*2
*1
3
=−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−=∂∂
nnkknnnn
kk
kk
kkk
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcycccccd
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0··...····2...
··...···2
··...···2
··...····2,...,,,
332211
333333223113
222332222112
111331221111**
3*2
*1
=−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−=∂∂
nknkknnnn
kkk
kkk
kkkkk
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcycccccd
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
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( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0··...···...
··...···
··...···
··...···
1332211
3133333223113
2122332222112
1111331221111
=−−−−−+++
+−−−−−+−−−−−+
+++−−−
nnkknnnn
kk
kk
kk
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0··...···...
··...···
··...···
··...···
2332211
3233333223113
2222332222112
1211331221111
=−−−−−+++
+−−−−−++−−−−−+
+−−−−−
nnkknnnn
kk
kk
kk
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0··...···...
··...···
··...···
··...···
3332211
3333333223113
2322332222112
1311331221111
=−−−−−+++
+−−−−−++−−−−−+
+−−−−−
nnkknnnn
kk
kk
kk
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0··...···...
··...···
··...···
··...···
332211
333333223113
222332222112
111331221111
=−−−−−+++
+−−−−−++−−−−−+
+−−−−−
nknkknnnn
kkk
kkk
kkk
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
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( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )������
�
������
�
�
=++−−−
=++−−−
=++−−−
=++−−−
�
�
�
�
=
=
=
=
0··...···
...
0··...···
0··...···
0··...···
332211
3332211
2332211
1332211
n
iiikikkiiii
n
iiiikkiiii
n
iiiikkiiii
n
iiiikkiiii
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
xxcxcxcxcy
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )������
�
������
�
�
++++=
++++=
++++=
++++=
��
��
��
��
==
==
==
==
n
iikkiikiikiik
n
iiki
n
iikikiiiii
n
iii
n
iikikiiiii
n
iii
n
iikikiiiii
n
iii
xcxxcxxcxxcxy
xxcxcxxcxxcxy
xxcxxcxcxxcxy
xxcxxcxxcxcxy
1
2332211
1
13
233232131
13
12323
222121
12
11313212
211
11
·...·······
...
··...······
··...······
··...·······
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )������
�
������
�
�
++++=
++++=
++++=
++++=
�����
�����
�����
�����
=====
=====
=====
=====
n
iikk
n
iiik
n
iiik
n
iiik
n
iiki
n
iikik
n
ii
n
iii
n
iii
n
iii
n
iikik
n
iii
n
ii
n
iii
n
iii
n
iikik
n
iii
n
iii
n
ii
n
iii
xcxxcxxcxxcxy
xxcxcxxcxxcxy
xxcxxcxcxxcxy
xxcxxcxxcxcxy
1
2
133
122
111
1
13
1
233
1232
1131
13
12
1323
1
222
1121
12
11
1313
1212
1
211
11
·...·······
...
··...······
··...······
··...······
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
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( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )������
�
�
������
�
�
����������
�
�
����������
�
�
=
����������
�
�
����������
�
�
����
����
����
����
�
�
�
�
====
====
====
====
=
=
=
=
k
A
n
iik
n
iiik
n
iiik
n
iiik
n
iiki
n
ii
n
iii
n
iii
n
iiki
n
iii
n
ii
n
iii
n
iiki
n
iii
n
iii
n
ii
b
n
iiki
n
iii
n
iii
n
iii
c
c
c
c
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xy
xy
xy
xy
...·
...···
...
·...··
·...··
·...··
·
...
·
·
·
3
2
1
1
2
13
12
11
13
1
23
123
113
12
132
1
22
112
11
131
121
1
21
1
13
12
11
��������������� ���������������� ���� ��� ��
ϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Para simplificar esta ecuación matricial podemos definir una matriz B tal que su
expresión venga dada por: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )������
�
�
������
�
�
=
nkkkk
n
n
n
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
B
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
321
3332313
2322212
1312111
............
De este modo se cumple que BBA t ·= y
������
�
�
������
�
�
=
ny
y
y
y
Bb
...· 3
2
1
Y la ecuación matricial anterior vendrá dada por:
������
�
�
������
�
�
=
������
�
�
������
�
�
k
t
n c
c
c
c
BB
y
y
y
y
B
...
··
...
· 3
2
1
3
2
1
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Ejercicio: Plantear y resolver el problema de ajuste mínimo cuadrático de una colección de puntos
del plano ( ) ( ) ( ) ( ){ }nn yxyxyxyx ,,...,,,,,, 332211 mediante una función del
tipo ( ) 2·xbaxF += .
( )( ) �
��
���
=
==
22
1 1:2
xx
xk
ϕϕ
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
����
�
�
����
�
�
=��
���
�
����
�
�
����
�
�
����
�
�
����
�
�
=��
���
�
����
�
�
����
�
�
�
�
��
�
�
�
��
��
=
=
==
=
=
=
==
==
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iii
n
iii
n
ii
n
iii
n
iii
n
ii
xy
y
b
a
xx
xn
xy
xy
b
a
xxx
xxx
1
2
1
1
4
1
2
1
2
12
11
1
22
112
121
1
21
··
·
··
·
·
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
Aplicar el apartado anterior para determinar la función ( ) 2·xbaxF += de ajuste mínimo
cuadrático de la colección de puntos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,3,3,2,5,1,4,0,1,1− . x ( )xf
1− 1 0 4 1 5 2 3 3 0
Se trata de calcular los valores de a yb tales que ( ) ( )�=
−−=5
1
22·,i
ii xbaybad sea
mínima.
���
−≈≈
⇔��
���
�=�
�
���
���
���
�
38.076.3
1813
·9915155
b
a
b
a
Así, ( ) 2·38.076.3 xxF −=
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Alberto Suárez López Página 37
Capítulo 3.2.1. AJUSTE DE MÍNIMOS CUADRADOS CON LINEALIZACIÓN DE LOS DATOS: Ejercicio: Aproximar una función que pasa por los puntos ( )5.0,1 , ( )7.1,2 , ( )4.3,3 , ( )7.5,4 y
( )4.8,5 mediante una función del tipo ( ) bxaxF ·= , utilizando el método de ajuste de mínimos cuadrados con linealización de los datos.
x y
1 5.0 2 7.1 3 4.3 4 7.5 5 4.8
( )
� � � �
( ) tccxzz
xbay
xay
xay
xay
tccz
b
b
b
·
ln·lnlnlnlnln
·lnln
·
21
21
+==
+=+=
==
xt ln= yz ln=
0 6931.0− 6931.0 5306.0 0986.1 2238.1 3863.1 7405.1 6094.1 1282.2
����
�
�
����
�
�
=��
���
�
����
�
�
����
�
�
�
�
��
�
=
=
==
=n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
tz
z
c
c
tt
tn
1
1
2
1
1
2
1
1
··
���
====−=
⇔��
���
�=�
�
���
���
���
� −
bc
eacc
c
7517.1
5010.06912.05502.79300.4
·1993.67874.47874.45
2
6912.01
2
1
( ) 7517.1·5010.0 xxFy ==
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Alberto Suárez López Página 38
Capítulo 4: INTEGRACIÓN NUMÉRICA. MÉTODOS DE COTES Y MÉTODOS DE GAUSS.
Capítulo 4.1. INTRODUCCIÓN. El problema a resolver sería calcular, de manera aproximada, integrales definidas de la
forma ( )�=b
adxxfI , suponiendo ( )xf continua en todo el intervalo [ ]ba, .
Si conocemos una función ( )xF , continua en [ ]ba, , que sea primitiva de f ,
( ) ( )xfxF =' , el problema estaría resuelto, aplicando la regla de Barrow:
( ) ( ) ( )aFbFdxxfIb
a−== � .
Sin embargo, existen funciones, como por ejemplo ( ) 2xexf = , que carecen de función primitiva (definida con funciones elementales), y por tanto, la regla de Barrow no puede aplicarse.
En conclusión, el problema de evaluar numéricamente una integral definida se nos
presenta cuando no podemos aplicar directamente la regla de Barrow o cuando sólo conocemos un conjunto de puntos de f , pero no la expresión analítica de la función.
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Alberto Suárez López Página 39
Capítulo 4.2. FÓRMULAS DE TIPO INTERPOLATORIO. Las fórmulas de integración numérica, también llamadas de cuadratura, son del tipo
siguiente: [1]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )��=
=++++≈n
kkknn
b
axfAxfAxfAxfAxfAdxxf
0221100 ··...··· ,
con [ ]baxxxx n ,,...,,, 210 ∈ , 1+n puntos y IRAAAA n ∈,...,,, 210 coeficientes denominados pesos.
Una fórmula de cuadratura [1] se dice que es de tipo interpolatorio si y solamente si, por
definición, dicha fórmula se ha obtenido mediante la integral del polinomio ( )xPn que interpola a
los 1+n puntos [ ]baxxxx n ,,...,,, 210 ∈ :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )����
���++++=
=++++=≈b
a nn
b
a
b
a
b
a
b
a nn
b
a n
b
a
dxxlxfdxxlxfdxxlxfdxxlxf
dxxlxfxlxfxlxfxlxfdxxPdxxf
·...···
·...···
221100
221100
Una fórmula [1] es de tipo interpolatorio si y sólo si ( ) nkdxxlAb
a kk ...0, == � .
Tomando por nodos los extremos del intervalo [ ]ba, , supongamos que deseamos
calcular vamos a calcular la integral ( )�b
adxxf mediante la fórmula de
cuadratura ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bfabafabdxxfb
a·· −+−≈� . Pero… ¿está fórmula es de tipo
interpolatorio? En principio no podemos afirmar esta hipótesis. Entontes, ¿cómo podemos tomar los pesos para que la fórmula sea de tipo interpolatorio?
Vamos a ver cómo calculando el polinomio que interpola a f en ax = y bx = e
integrando dicho polinomio llegaremos a la expresión:
( ) ( ) ( )bfab
afab
dxxfb
a·
2·
2−+−≈� .
Demostración: a) Calculamos el polinomio de interpolación, ( )xPn .
De acuerdo con la fórmula de Lagrange, el polinomio que interpola a f en
los 1+n puntos distintos nxxxx ,...,,, 210 viene dado por la expresión:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )�=
=++++=n
iiinnn xlxfxlxfxlxfxlxfxlxfxP
0...22.11.00 ··...···
Siendo ( ) ( ) ( ) ( )xlxlxlxl n,...,,, 210 un polinomio de grado n que se anula en todos los
puntos ( )[ ]xfx, excepto en uno en que su valor es la unidad,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∏
≠=+−
+−
−−
=−−−−−−
−−−−−−=
n
ikk ki
k
niiiiiiii
niii xx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxl
011210
11210
·...···...····...···...···
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Así, obtenemos:
( )babx
xl−−=0 y ( )
abax
xl−−=1
Y el polinomio de interpolación vendrá dado por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )abax
bfbabx
afxlbfxlafxP−−+
−−=+= ···· .1.02
b) Integramos ( ) ( )�� ≈b
a n
b
adxxPdxxf
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) =��
���
��
� �
�−−−
−+�
�
���
��
� �
�−−−
−
=��
���
�−
−+�
�
���
�−
−=
=−−
+−−
=−−+
−−=
=��
���
�
−−+
−−=≈
����
���
2222
22
22
22·
22·
·2
··2
·
····
··
aa
abb
abbf
aba
bb
baaf
xax
abbf
xbx
baaf
dxaxab
bfdxbx
baaf
dxabax
bfdxbabx
af
dxabax
bfbabx
afdxxPdxxf
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a n
b
a
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( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )bfab
afabab
bfaf
babfaf
baba
bfafbababa
bfaf
baabba
bfafbaab
babfaf
baab
abbaabbfabafba
ababba
babfabaf
baab
abbf
baafba
abab
bfba
af
baab
abbf
baafba
abbf
baaf
abab
bfba
af
abab
bfbaab
bfbaba
afab
baaf
abba
abbfba
abba
af
aab
bab
bfab
abba
af
aa
abb
abbf
aba
bb
baaf
aa
abb
abbf
aba
bb
baaf
·2
·22
·
1·2
·1·2
·1·2
2·
22
·2
·
2·
··2
···
2·
2·
2·
2··
·2
·2
··
2·
2·
22·
22·
22·
22·
22·
22·
222
2222
2222
2222
2222
2222
2222
2222
2222
22
2222
22
−+−=−+=
=−−+=−−−+=−+−
−+=
=−−−−=�
�
���
� +−−+=
=��
���
� +−−−
−+−=��
���
� +−−−
−−−=
=��
���
� +−��
���
�
−−
−=�
�
���
� +−��
���
�
−−
−=
=��
���
� +−��
���
�
−−
−==+
��
���
�
−−
−−�
�
���
�
−−
−=
=−
−+−
++−
−−
=
=��
���
�−+
−+�
�
���
� +−−
=
=��
���
�+−
−+�
�
���
�+−−
−=
=��
���
�+−−
−+�
�
���
�+−−
−=
=��
���
��
� �
�−−−
−+�
�
���
��
� �
�−−−
−=
Sin embargo, el probar si una fórmula es o no de tipo interpolatorio se hace más fácil
introduciendo el concepto de grado de precisión. Capítulo 4.2.1. GRADO DE PRECISIÓN: Una fórmula de cuadratura tiene grado de precisión al menos n si y sólo si es exacta
para ( ) 1=xf , ( ) xxf = , ( ) 2xxf = , …, ( ) nxxf = , y por tanto, para todo polinomio de grado menor o igual a n .
Definición: Una fórmula de cuadratura tiene grado de precisión exactamente n si y sólo si es exacta
para ( ) 1=xf , ( ) xxf = , ( ) 2xxf = , …, ( ) nxxf = , pero no lo es para ( ) 1+= nxxf .
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Teorema: Se verifica que una fórmula de cuadratura, con 1+n nodos, es de tipo interpolatorio si y
solamente si dicha fórmula es exacta para todo polinomio de grado menor o igual a n tiene grado de precisión al menos n .
Por tanto, demostrar que ( ) ( ) ( )bfab
afab
dxxfb
a·
2·
2−+−≈� equivale a demostrar que
tiene grado de precisión al menos1. Demostración:
para ( ) 1=xf :( ) [ ]
( ) ( ) ( )��
��
�
−=−+−=−+−=
−===
�
� �
ababab
bfab
afab
dxxf
abxdxdxxf
b
a
b
a
ba
b
a
22·
2·
2
para ( ) xxf = :
( )
( ) ( ) ( )
( )( )����
�
����
�
�
−=+−=
=−+−=−+−=
−=��
���
�==
�
� �
22
·2
·2
·2
·2
22
22
222
abbaab
bab
aab
bfab
afab
dxxf
abxdxdxxf
b
a
b
a
b
a
b
a
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Capítulo 4.3. FÓRMULAS DE CUADRATURA DE NEWTON – COTES. CERRADAS Y ABIERTAS.
Son fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio, eligiendo a los puntos de interpolación
equidistantes en el intervalo de integración. Pueden ser de dos tipos: cerradas y abiertas. En las cerradas, los límites de integración han de ser puntos de interpolación.
En las abiertas, los extremos no deben ser puntos de interpolación.
Capítulo 4.3.1. FÓRMULAS DE NEWTON – COTES CERRADAS: Veremos los dos casos más sencillos: la fórmula de los trapecios (con dos nodos) y la
fórmula de Simpson (con tres nodos). Capítulo 4.3.1.1. FÓRMULA DE LOS TRAPECIOS: La fórmula de los trapecios viene dada por la expresión:
( ) ( ) ( )bfAafAdxxfb
a·· 10 +≈�
x
y
f(a)
b a
f(b)
f(x)
P1(x)
x0 x1 x2 b a … x3
x1 x2 x3 b=xn a=x0 …
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Tenemos que calcular los pesos 0A y 1A . Para hacer esto podemos escoger entre dos procedimientos:
a) Calcular el polinomio de interpolación e integrar.
a ( )af
[ ] ( ) ( )ab
afbfbaf
−−=,
b ( )bf
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]bfafab
afbfafab
abafbfabaf
abab
afbfabaf
aabbab
afbfabaf
aab
bab
afbfabaf
aa
abb
abafbf
abaf
axx
abafbf
abafdxaxab
afbfdxaf
dxaxab
afbfdxafdxax
abafbf
afdxxP
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
+−=−+−=
=−−+−=−−−+−=
=��
���
� +−−−+−=�
�
���
�+−
−−+−=
=��
���
��
� �
�−−−
−−+−=
=��
���
�−
−−+−=−
−−+=
=−−−+=�
�
���
� −−−+=
��
����
·2
·2·2
2··
2··
22
··22
··
22··
2····
··
2
2222
222
2
1
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b) Aplicar la definición de grado de precisión. A este método para calcular los pesos también se le denomina método de los coeficientes indeterminados. Precisión, al menos, 1. La fórmula es exacta para ( ) 1=xf y ( ) xxf = . Veamos:
para ( ) ( ) 101 AAabdxxfb
a+=−== �
para ( ) bAaAab
xdxxxfb
a··
2 10
22
+=−== �
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, 0A y 1A .
��
��
�
−=+
−=+
2··
22
10
10
abAbAa
abAA
Resolviendo el sistema se obtiene que 10 2A
abA =−= .
Así, la expresión de la fórmula de los trapecios vendrá dada por:
( ) ( ) ( )bfab
afab
dxxfb
a·
2·
2−+−≈�
( ) ( ) ( )[ ]bfafab
dxxfb
a+−≈� ·
2
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Capítulo 4.3.1.2. FÓRMULA DE SIMPSON: La fórmula de Simpson viene dada por la expresión:
( ) ( ) ( )bfAba
fAafAdxxfb
a·
2·· 210 +
�
� �
� ++≈�
Al igual que en la fórmula de los trapecios, podemos calcular los pesos de dos formas
distintas: a) Calcular el polinomio de interpolación e integrar.
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−−+−−−−−=
=−−−−
+
+−−−−
+−−−−
=
=−−
−−+
+−−
−−+
−−−−
=
=��
���
�
−−−−
+−−
−−+
−−−−
≈
≈
���
�
��
�
��
�
�
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
··2
······2
···
····
····
···
···
···
···
···
···
1022
2021
2120
101202
2
202101
121
2010
0
21202
10
12101
200
2010
21
21202
101
2101
200
2010
21
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
b
a
dxxxxxh
xfdxxxxx
h
xfdxxxxx
h
xf
dxxxxxxxxx
xf
dxxxxxxxxx
xfdxxxxx
xxxxxf
dxxfxxxx
xxxx
dxxfxxxx
xxxxdxxf
xxxxxxxx
dxxfxxxx
xxxxxf
xxxxxxxx
xfxxxx
xxxx
dxxf
x
y
f(a)
b a
f(b)
(a+b)/2
f((a+b)/2)
P2(x)
f(x)
2h
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )��
���
� +�
� �
� ++−=++=
=++=++=
=��
���
�++�
�
���
�−−�
�
���
�−=
=
=++−−−=
=++−+−−=
���
==−
=−−+−−−−−=
−−−
−−−
−−−
���
���
���
bfba
fafab
xfxfxfh
hxfhxfhxfhh
xfh
h
xfh
h
xf
tth
h
xfth
th
xfth
th
xf
dtthth
xfdtht
h
xfdthtt
h
xf
dttthh
xfdthtth
h
xfdthtt
h
xf
dtdx
txx
dxxxxxh
xfdxxxxx
h
xfdxxxxx
h
xf
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
x
x
x
x
x
x
2·4·
6·4·
3
·31
··34
··31
··32
·2
·34
·32
·2
32··
23·
2·
3·
2
·2
····2
··2
······2
: variablede Cambio
··2
······2
210
23
103
223
213
20
32
222
3
21
23
20
22222
212
20
22
21
20
1
1022
2021
2120 2
0
2
0
2
0
b) Aplicar la definición de grado de precisión.
Precisión, al menos, 2. La fórmula es exacta para ( ) 1=xf , ( ) xxf = y ( ) 2xxf = . Veamos:
para ( ) ( ) 2101 AAAabdxxfb
a++=−== �
para ( ) bAba
AaAab
xdxxxfb
a·
2··
2 210
22
+++=−== �
para ( ) 22
2
12
0
332 ·
2··
2bA
baAaA
abxdxxxf
b
a+
�
� �
� ++=−== �
Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, 0A , 1A y 2A .
���
�
���
�
�
−=+�
� �
� ++
−=+++
−=++
2··
2·
2··
2·
33
22
1
2
02
22
210
210
abAbA
baAa
abAbA
baAa
abAAA
Resolviendo el sistema se obtiene que60
abA
−= , ( )abA −= ·32
1 y 62
abA
−= .
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Así, la expresión de la fórmula de Simpson vendrá dada por:
( ) ( ) ( ) ( )bfabba
fabafab
dxxfb
a·
62··
32
·6
−+�
� �
� +−+−≈�
( ) ( ) ( )��
���
� +�
� �
� ++−≈� bfba
fafab
dxxfb
a 2·4·
6
Sabemos que, en la fórmula de los trapecios, el grado de precisión es al menos 1 y en la
fórmula de Simpson, al menos 2. ¿Cómo podemos saber si dichos grados de precisión son exactamente esos?
Para la fórmula de los trapecios, ¿es exacta para ( ) 2xxf = ?
( ) ( )[ ] [ ][ ]33
33
33
3332
·23
·2
·2
33 baabab
baab
bfafab
abxdxx
b
a
b
a+−≠−
��
�
��
�
�
+−=+−
−=��
���
�=�
No se cumple la igualdad, luego la fórmula no es exacta para ( ) 2xxf = , y por tanto, el
grado de precisión es exactamente 1.
x
y
f(a)
b a
f(b)
f(x)
P1(x)
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Para la fórmula de los trapecios, ¿es exacta para ( ) 3xxf = ?
( ) ( )
���
�
���
�+
�
� �
� ++−=−
��
�
��
�
�
���
�
���
�+
�
� �
� ++−=��
���
� +�
� �
� ++−
−=��
���
�=�
44
444
44
4
4443
24·
24
24·
224·
6
44
bba
aabab
bba
aab
bfba
fafab
abxdxx
b
a
b
a
Sí. Ambas expresiones son exactamente iguales y por tanto podemos afirmar que el
grado de precisión es, al menos, 3. ¿Es exacta para ( ) 4xxf = ?
( ) ( )
���
�
���
�+
�
� �
� ++−≠−
��
�
��
�
�
���
�
���
�+
�
� �
� ++−=��
���
� +�
� �
� ++−
−=��
���
�=�
55
555
55
5
5554
24·
25
24·
224·
6
55
bba
aabab
bba
aab
bfba
fafab
abxdxx
b
a
b
a
No se cumple la igualdad, luego la fórmula no es exacta para ( ) 2xxf = , y por tanto, el
grado de precisión es exactamente 1.
x
y
f(a)
b a
f(b)
(a+b)/2
f((a+b)/2)
P2(x)
f(x)
2h
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Gráficamente:
( )[ ] �
�
�
��
�
�
��
�
��
�
�
==++
=++=��
���
�++
=++�1030·
301
134·4162
102442
2412
2
0
24
2
0
3x
xx
dxxx
Capítulo 4.3.1.3. ERROR EN LA FÓRMULA DE LOS TRAPECIOS: Dada la fórmula de los trapecios:
( ) ( ) ( )[ ] Tbfafab
dxxfb
a=+−≈� ·
2
El error cometido vendrá dado por:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )��
����
−−=−−=
==−=−=
b
a x
b
a x
b
a
b
a
b
a
b
a
T
dxbxaxcfdxbxaxcf
dxxedxxPxfdxxPdxxfE
····!2
1····
!21
·
''''
111
x
y
f(a)
b a
f(b)
(a+b)/2
f((a+b)/2)
f(x)
2h
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Definición: Segundo teorema del valor medio del cálculo integral: Sea f una función continua en el intervalo cerrado [ ]ba, y sea g una función integrable,
tal que g no cambia de signo en [ ]ba, . Si f y g verifican estas hipótesis, entonces existe un
punto ( )bac ,∈ tal que ( ) ( ) ( ) ( )�� =b
a
b
adxxgcfdxxgxf ···· .
Hipótesis: • f continua en [ ]ba,
• g integrable en [ ]ba,
• signo de g constante en [ ]ba, Tesis:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )�� =∈∃b
a
b
adxxgcfdxxgxfbac ····,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) [ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )3''3
''33
''
0
23''
0
2''
0
''
''''
··121
6··
!21
23··
!21
2·
3··
!21
···!2
1····
!21
: variablede Cambio
····!2
1····
!21
abcfh
cfhh
cf
th
tcfdthttcfdthttcf
dtdx
tax
dxbxaxcfdxbxaxcfE
hhh
b
a
b
a xT
−−=−=��
���
�−=
=��
���
�+=+=−=
���
==−
=−−=−−=
��
��
( ) ( )3'' ··121
abcfE T −−=
Consideración: El error será cero si y sólo si ( ) 0'' =cf , esto implica que ( )xf sea un polinomio de grado
menor o igual a uno. Es decir, la fórmula tiene un grado de precisión exactamente uno, tal como ya había sido demostrado anteriormente.
Capítulo 4.3.1.4. ERROR EN LA FÓRMULA DE SIMPSON: Dada la fórmula de Simpson:
( ) ( ) ( ) Sbfba
fafab
dxxfb
a=�
�
���
� +�
� �
� ++−≈� 2·4·
6
Se demuestra que si f tiene derivada cuarta y es continua en [ ]ba, , entonces existe un
punto ( )bac ,∈ tal que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )542 ··
32·901
abcfdxxPdxxfEb
a
b
a
S −=−= ��
( ) ( ) ( )54 ··32·90
1abcfE S −=
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Capítulo 4.3.2. FÓRMULAS DE NEWTON – COTES ABIERTAS: Estudiaremos las fórmulas de Newton – Cotes abiertas con un solo nodo (fórmula del
punto medio) y con dos nodos. Capítulo 4.3.2.1. FÓRMULA DE NEWTON – COTES ABIERTA CON UN SOLO NODO O FÓRMULA
DEL PUNTO MEDIO: Con un único nodo, la fórmula vendrá dada por la expresión:
( ) ( ) �
� �
� +=≈� 2·· 000
bafAxfAdxxf
b
a
Tenemos que calcular el pesos 0A . Para hacer esto podemos escoger entre dos
procedimientos: a) Calcular el polinomio de interpolación e integrar.
( )20
baxP
+=
( ) [ ] ( )abba
xba
dxba
dxba
dxxP ba
b
a
b
a
b
a−+=+=+=��
���
� += ��� ·2
·2220
b) Aplicar la definición de grado de precisión. La fórmula, al ser de tipo interpolatorio, tiene un grado de precisión al menos 0 , es decir, es exacta para ( ) 1=xf :
( ) [ ] ( )
( )abA
baA
bafAdxxf
baabx
badx
badxxf
b
a
ba
b
a
b
a
−=
��
�
��
�
�
+=�
� �
� +≈
�
� �
� +−=�
� �
� +=�
� �
� +=
�
��0
00 2·
2·
2·
22
x
y
f(a)
b a
f(b)
f(x)
P0(x)
x0
a b
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Así, obtenemos:
( ) ( ) �
� �
� +−≈� 2·
bafabdxxf
b
a
Vamos ahora a calcular cual es el orden de precisión de dicha fórmula. Sabemos que
tiene un grado de precisión al menos 0 , esto es, es exacta para ( ) 1=xf , pero, ¿es exacta
para ( ) xxf = ?
( )
( ) ( ) ( )( )
22·
2·
2·
22· 22
222
abbaab
baab
bafabdxxf
abxdxxdxxf
b
a
b
a
b
a
b
a −=+−
��
�
��
�
�
+−=�
� �
� +−≈
−=��
���
�==
�
��
Sí, la fórmula también es exacta para ( ) xxf = , luego su grado de precisión es, al
menos, 2 . Y ahora, ¿es exacta para ( ) 2xxf = ?
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
34·
4·
2·
33·
332
2
3332
abbaab
baab
bafabdxxf
abxdxxdxxf
b
a
b
a
b
a
b
a −≠+−
��
�
��
�
�
+−=�
� �
� +−≈
−=��
���
�==
�
��
No, luego el grado de precisión de la fórmula es exactamente, 2 .
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Capítulo 4.3.2.2. FÓRMULA DE NEWTON – COTES ABIERTA CON DOS NODOS: Ejercicio: Deducir la fórmula de Newton – Cotes abierta con dos nodos en el intervalo [ ]ba, . ¿Cuál
es el orden de precisión de dicha fórmula?
Aplicarla al cálculo aproximado de la integral ( )�=1
0cos dxxI π y calcular, exactamente, el
error cometido. Con dos nodos, la fórmula buscada vendrá dada por la expresión:
( ) ( ) ( )1100 ·· xfAxfAdxxfb
a+≈�
3ab
h−=
32
3223
32·2
32
33
3
1
0
ababaabahax
baabaabahax
+=−+=−+=+=
+=−+=−+=+=
x0 a b x0
h
x
y
f(a)
b a
f(b)
f(x)
P1(x)
x0 x1
f(x0)
f(x1)
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Tenemos que calcular los pesos 0A y 1A . Para hacer esto podemos escoger entre dos procedimientos:
a) Calcular el polinomio de interpolación e integrar.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )001
0101 · xx
xxxfxf
xfxP −−−
+=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ��
���
��
� �
� ++�
� �
� +−=+=+=
=−+=−+=
=��
���
�−
−+=
���
�
���
� −−+=
=−−−
+=−−−
+=
=−−−
+=��
���
�−
−−
+=
���
����
32
32
·2
·2
3·
23
·2
3
·2
3·
23
·32
3·3·
224
·3·2
·3·
·3···
··
1010
010010
2201
0
2001
0
001
0100
01
010
001
0100
01
0101
abf
baf
abxfxf
hxf
hxf
h
xfh
xfh
xfhh
xfxfhxf
hhh
xfxfhxf
xxh
xfxfhxf
dxxxxx
xfxfhxfdxxx
xxxfxf
dxxf
dxxxxx
xfxfdxxfdxxx
xxxfxf
xfdxxP
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b) Aplicar la definición de grado de precisión.
La fórmula, al ser de tipo interpolatorio, tiene un grado de precisión al menos1, es decir, es exacta para ( ) 1=xf y ( ) xxf = :
Para ( ) 1=xf :
( ) [ ] ( )
( )abAA
AAab
fAba
fAdxxf
abxdxdxxf
b
a
ba
b
a
b
a−=+
���
���
�
+=�
� �
� ++�
� �
� +≈
−===
�
��10
1010 22
·2
2·
Para ( ) xxf = :
( )
( )
222
·2
2·
22
·2
2·
22
·2
2·
22
22
10
1010
222
ababA
baA
abA
baA
abfA
bafAdxxf
abxxdxdxxf
b
a
b
a
b
a
b
a
−=+++
��
�
��
�
�
+++=�
� �
� ++�
� �
� +≈
−=��
���
�==
�
��
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, 0A y 1A .
��
��
�
−=+++
−=+
222
·2
2·
22
10
10
ababA
baA
abAA
Resolviendo el sistema se obtiene que 10 2A
abA =−=
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Así, obtenemos:
( ) ��
���
��
� �
� ++�
� �
� +−≈� 32
32
·2
abf
baf
abdxxf
b
a
Vamos ahora a calcular cual es el orden de precisión de dicha fórmula. Sabemos que
tiene un grado de precisión al menos1, esto es, es exacta para ( ) 1=xf y ( ) xxf = , pero, ¿es
exacta para ( ) 2xxf = ?
( )
( ) ( ) ( )( )
22·
2·
2·
33· 22
3332
abbaab
baab
bafabdxxf
abxdxxdxxf
b
a
b
a
b
a
b
a −=+−
��
�
��
�
�
+−=�
� �
� +−≈
−=��
���
�==
�
��
Sí, la fórmula también es exacta para ( ) xxf = , luego su grado de precisión es, al
menos, 2 . Y ahora, ¿es exacta para ( ) 2xxf = ?
( )
( )
332
32
·2
32
32
·23
23
2·
2
33·
3322
22
3332
ababbaab
abbaababf
baf
abdxxf
abxdxxdxxf
b
a
b
a
b
a
b
a
−≠���
�
���
��
� �
� ++�
� �
� +−
��
�
��
�
�
���
�
���
��
� �
� ++�
� �
� +−=��
���
��
� �
� ++�
� �
� +−≈
−=��
���
�==
�
��
No, luego el grado de precisión de la fórmula es exactamente, 1. Así, aplicamos el resultado anterior para calcular el valor aproximado de la integral
( )�=1
0cos dxxI π :
( ) 021
21
·21
32
cos3
cos·2
01cos
1
0=��
���
� −=��
���
��
� �
�−�
� �
�−≈= �πππ dxxI
Calculamos el error cometido:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 00·1
0·1
·1
·1
cos 10
1
0
1
0==−==��
���
�≈= � ππ
ππ
ππ
ππ sensenxsenxsendxxI
Luego, 0error = .
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Teorema: El orden de precisión de una fórmula de Newton – Cotes (cerrada o abierta) simple
con 1+n nodos es igual a:
���
par es siimpar es si
nn
nn
Por ejemplo: Fórmula de los trapecios 1precisión =
Fórmula de Simpson 3precisión =
Regla del punto medio 1precisión =
Abierta con dos nodos 1precisión =
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Capítulo 4.4. FÓRMULAS DE CUADRATURA COMPUESTAS. REGLA DE LOS TRAPECIOS Y REGLA DE SIMPSON.
Se obtienen dividiendo el intervalo [ ]ba, en n subintervalos y aplicando a cada uno de
ellos una fórmula de cuadratura sencilla. Capítulo 4.4.1. FÓRMULA DE LOS TRAPECIOS COMPUESTA:
Dado el intervalo [ ]ba, y 1≥n , sean
abh
−= y definimos niin
abaxi ...0,· =−+= .
En el intervalo [ ]1, +ii xx se reemplaza la función integrando f .
Así, el valor de la integral en dicho subintervalo vendrá dado por:
( ) ( ) ( )[ ]1·2
1
++≈�+
ii
x
xxfxf
hdxxf
i
i
x0 x
y
x1 x2 x3
f(x0)
f(x2)
f(x1)
f(x3)
f(x)
x1 x2 x3 b=xn a=x0 …
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Extendiendo este resultado a todos los subintervalos en los que hemos dividido el intervalo inicial [ ]ba, , obtenemos:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )��
���
� ++−=
=+++++++=
=+≈=
�
����
−
=
−
−
=+
−
=
+
bfxfafnab
xfxfxfxfxfxfxfh
dxxfxfh
dxxfdxxf
n
ii
nn
n
iii
n
i
x
x
b
a
i
i
1
1
122110
1
01
1
0
·2·2
...·2
·2
1
( ) ( ) ( ) ( )��
���
� ++−≈ ��−
=
bfxfafnab
dxxfn
ii
b
a
1
1
·2·2
Capítulo 4.4.1.1. ERROR EN LA FÓRMULA DE LOS TRAPECIOS COMPUESTA:
El error en la fórmula simple para un intervalo [ ]ba, venía dado por la expresión:
( ) ( )3'' ··121
abcfE T −−=
El error cometido en la fórmula simple es la suma de los errores cometidos en cada uno
de los intervalos [ ]1, +ii xx en los que se ha dividido el intervalo inicial [ ]ba, . Así:
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
( ) =−−
−−−−−−−=
−∈
∈∈∈
−
31
,
''
323
,3
''312
,2
''301
,1
''
··121
...··121
··121
··121
1
323212101
nnxxc
n
xxcxxcxxc
Tn
xxcf
xxcfxxcfxxcfE
nnn
x
y
f(x0)
x2 x0
f(x2)
x1
f(x1)
f(x)
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( ) ( )( )
( )( )1111 ,
1''
31
0,1
''31
01 ··
121
··121
++++ ∈+
−
=∈+
−
=+ �� −=−−=
iiiiii xxci
n
ixxci
n
iii cfhcfxx
Tenemos que acotar ''f en el intervalo [ ]ba, . Es decir, tenemos que
calcular[ ]
( ){ }xfMbax
''
,max∈
= y[ ]
( ){ }xfmbax
''
,min∈
= , suponiendo ''f continua en [ ]ba, .
De este modo se verifica:
( ) Mncfmnn
ii ··
1
01
'' ≤≤�−
=+
Dividiendo entre n :
( )M
n
cfm
n
ii
≤≤�
−
=+
1
01
''
Aplicando el teorema del valor medio: Si )(xf es continua en [ ]ba, , la función alcanza en ese intervalo todos los valores
comprendidos entre )(af y )(bf .
[ ]Kcf
bac
bfKaf
=∈∃
<<
)(,
)()(
Hipótesis: • f es continua en [ ]ba,
• ( ) ( )( )bfafK ,∈ Tesis:
( ) ( ) Kcfbac =∈∃ , Así:
[ ] ( )( )
n
cfcfbac
n
ii�
−
=+
=∈∃
1
01
''
'',
x
y
a b c’ c’’ c’’’
f(b)
f(a)
K
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Y por tanto:
( )( )
( )( )
( )( )bacbacxxc
i
n
i
Tn cfn
nab
cfnhcfhEiii ,
''3
,
''3
,1
''31
0
···121
···121
··121
11 ∈∈∈+
−
=�
� �
� −−=−=−=++
�
( ) ( )( )bac
Tn cfab
nE
,
''32 ··
·121
∈−−=
Capítulo 4.4.2. FÓRMULA DE SIMPSON COMPUESTA:
Dado el intervalo [ ]ba, y 1≥n , seanab
h2−= y definimos: ( )�
��
=−+==+=
nihiaz
nihiax
i
i
...1,12...0,2
.
El procedimiento a seguir sería análogo al visto en la fórmula compuesta de los
trapecios: En el intervalo [ ]1, +ii xx se reemplaza la función integrando f .
La fórmula simple de Simpson venía dada por la expresión:
( ) ( ) ( )��
���
� +�
� �
� ++−≈� bfba
fafab
dxxfb
a 2·4·
6
x1 x2 x3 b=xn a=x0 …
x0 x
y
x1 x2 x3
f(x0)
f(x2)
f(x1)
f(x3)
f(x)
z1 z2 z3
P(x)
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Así, el valor de la integral en el subintervalo [ ]1, +ii xx vendrá dado por:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]111 ·4·3
1
++ ++≈�+
ii
x
xxfzfxf
hdxxf
i
i
Extendiendo este resultado a todos los subintervalos en los que hemos dividido el
intervalo inicial [ ]ba, , obtenemos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )��
���
� +++−=
=��
���
� +++=
=+++++++++=
=++≈=
��
��
����
=
−
=
=
−
=
−
−
=++
−
=
+
n
n
ii
n
ii
n
n
ii
n
ii
nnn
n
iiii
n
i
x
x
b
a
xfzfxfxfnab
xfzfxfxfnh
xfzfxfxfzfxfxfzfxfnh
xfzfxfh
dxxfdxxfi
i
1
1
10
1
1
10
1221110
1
011
1
0
·26
·4·2··3
·4...·4·4·3
·4·3
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )��
���
� +++−≈ ���=
−
=n
n
ii
n
ii
b
axfzfxfxf
nab
dxxf1
1
10 ·2
6
Capítulo 4.4.2.1. ERROR EN LA FÓRMULA DE SIMPSON COMPUESTA: El error en la fórmula simple para un intervalo [ ]ba, venía dado por la expresión:
( ) ( ) ( )54 ··32·90
1abcfE S −=
El error cometido en la fórmula simple es la suma de los errores cometidos en cada uno
de los intervalos [ ]1, +ii xx en los que se ha dividido el intervalo inicial [ ]ba, . Así:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
5
,1
41
0
5
,1
41
0
51
,1
41
0
51
,3
4
523
,3
4512
,2
4501
,1
4
··901
2··32·90
1··
32·901
··32·90
1
...··32·90
1··
32·901
··32·90
1
11
11111
323212101
hcf
hcfxxcfxxcf
xxcfxxcfxxcfE
iii
iiiiiinnn
xxci
n
i
xxci
n
iii
xxci
n
inn
xxc
xxcxxcxxc
Sn
++
++++−
∈+
−
=
∈+
−
=+
∈+
−
=−
∈
∈∈∈
�
��
=
==−=−+
++−+−+−=
Tenemos que acotar ( )4f en el intervalo [ ]ba, . Es decir, tenemos que
calcular[ ]
( ) ( ){ }xfMbax
4
,max∈
= y[ ]
( ) ( ){ }xfmbax
4
,min∈
= , suponiendo ( )4f continua en [ ]ba, .
De este modo se verifica:
( ) ( ) Mncfmnn
ii ··
1
01
4 ≤≤�−
=+
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Dividiendo entre n :
( ) ( )M
n
cfm
n
ii
≤≤�
−
=+
1
01
4
Aplicando el teorema del valor medio:
[ ] ( ) ( )( ) ( )
n
cfcfbac
n
ii�
−
=+
=∈∃
1
01
4
4,
Así:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )5
,
41
045
5
,
41
0
5
,
41
0
5
,
41
0
5
,1
41
0
···32·90
1·32
···901
2···
901
···901
··901
11
abcfnn
abcfn
nab
cfnhcfnhcfE
bac
n
ibac
n
i
bac
n
ibac
n
ixxci
n
i
Sn
iii
−=−=
=�
� �
� −===
∈
−
=∈
−
=
∈
−
=∈
−
=∈+
−
=
��
���++
( ) ( )( )
( )5
,
41
04
···32·90
1abcf
nE
bac
n
i
Sn −=
∈
−
=�
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Capítulo 5: RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES NO – LINEALES.
Capítulo 5.1. INTRODUCCIÓN. El objetivo buscado es calcular los valores de x que satisfacen la identidad ( ) 0=xF .
Gráficamente, se trata de calcular las raíces de una función:
Diremos que α=x es una raíz de F si ( ) 0=αF .
Si F es un polinomio:
• de primer grado:ab
xbax −=⇔=+ 0
• de segundo grado:a
acbbxcbxax
24
02
2 −±−=⇔=++
Existen métodos directos para polinomios de grado tres o cuatro, pero a partir de grado
cinco no existen métodos directos generales, aunque puede darse algún caso particular. Por otra parte, si F no es polinómica, por ejemplo: ( ) ( )xsenexF x −= − , debemos
recurrir a métodos iterativos; esto es, calcular una sucesión numérica que sea convergente hacia una de las raíces de la función:
{ } { } ( ) 0, =→ αα Fxx nn Capítulo 5.1.1. MÉTODOS DE SEPARACIÓN DE RAÍCES. GRÁFICOS Y TEÓRICOS: Diremos que una raíz de la ecuación ( ) 0=xF está separada en el intervalo I si es la
única solución que existe en dicho intervalo.
x
y
x=�
f(x)
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Capítulo 5.1.1.1. MÉTODOS GRÁFICOS: Mediante la gráfica de la función F podemos, en ocasiones, solucionar el problema de la
separación de raíces. En ocasiones es útil representar 21 ggF +=
Así, la abscisa correspondiente al punto de intersección corresponde a una raíz de F . Por ejemplo:
( ) ( )xsenexF x −= −
x
y
x=�
g1(x)
g2(x)
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Capítulo 5.1.1.2. MÉTODOS TEÓRICOS: Se basan en la aplicación de los teoremas de Bolzano y Rolle. Capítulo 5.1.1.2.1. TEOREMA DE BOLZANO: Si una función es continua en un intervalo cerrado [ ]ba, y toma valores de distinto signo
en a y en b, existe al menos un punto 0x interior al intervalo en el cual 0)( 0 =xf .
Hipótesis: • f es continua en [ ]ba,
• ( ) ( ) 0· <bfaf Tesis:
( ) ( ) 0, =∈∃ cfbac
x
y
a b c’ c’’ c’’’
f(b)
f(a)
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Capítulo 5.1.1.2.2. TEOREMA DE ROLLE: Si una función )(xf es continua en el intervalo cerrado [ ]ba, y derivable en el intervalo
abierto ( )ba, , verificando además que )()( bfaf = , entonces existe al menos un
punto [ ]bac ,∈ en el que se verifica que 0)(' =cf
• )(xf es constante
o 0)(')( == xfKxf o se verifica en todos los puntos del intervalo
• )(xf no es constante
y
x a b
f(a) f(b)
c
y
x a b
f(a) f(b)
c
y
x a b
f(a) f(b)
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Teorema: Un primer resultado afirma que entre dos raíces consecutivas de 'F existe, a lo sumo,
una raíz de F .
Otro método consiste en aplicar conjuntamente los teoremas de Bolzano y Rolle para
demostrar la unicidad de una raíz en un intervalo [ ]ba, . Hipótesis: • F continua en [ ]ba,
• F derivable en ( )ba,
• ( ) ( ) 0· <bFaF
• ( ) ( )baxxF ,,0' ∈∀≠ Tesis:
( ) ( ) 0,! =∈∃ αα Fba
x
y
x=� x=�
x
y
x=�
x=�
x=c
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Capítulo 5.2. MÉTODOS ITERATIVOS DE OBTENCIÓN DE SOLUCIONES. Una de las técnicas que puede usarse en la resolución aproximada de la
ecuación ( ) 0=xF consiste en localizar en un intervalo [ ] [ ]00 ,, baba = la raíz que se desea aproximar y a continuación iríamos formando sistemáticamente intervalos contenidos cada uno en el anterior: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nn bababababa ,...,,,, 33221100 ⊃⊃⊃⊃⊃ , y conteniendo a su vez a la raíz, de forma que la longitud de estos intervalos tienda a cero.
Capítulo 5.2.1. MÉTODO DE BISECCIÓN: Supongamos que la función F es continua en [ ]00 ,ba , tal que ( ) ( ) 0· 00 <bFaF ; en estas
condiciones podemos afirmar que la ecuación ( ) 0=xF tiene al menos una raíz en ( )00 ,ba . Se
calcula ( )MF , siendo M el punto medio del intervalo, es decir, 2
00 baM
+= . Si ( ) 0=MF ,
paramos; en caso contrario, ( )MF tiene o bien el signo de ( )0aF o bien el signo de ( )0bF , y
uno de los dos intervalos [ ]Ma ,0 o [ ]0,bM tiene la propiedad de que en sus extremos la
función F tiene valores de signos opuestos. Llamemos [ ]11 ,ba a este intervalo, que tiene de longitud la mitad del anterior. Repetimos el proceso.
Por ejemplo:
a=a0
b=b0=b1
x1=a1=a2
y
x
y=F(x)
x2=b2
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[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] ��
���
� +==
��
���
� +==
=
2,,,
,2
,,
,,
1112122
000
0111
00
baaxaba
bba
bxba
baba
La longitud de los intervalos:
nnn
abab
abab
abab
abab
2
...2
2
2
333
222
11
−=−
−=−
−=−
−=−
Entonces:
nn
nn
abb
aba
2
2−<−
−<−
α
α
Si denotamos por{ }nx a la sucesión de puntos medios, empezando por 1x , se verifica
que{ }nx converge a una raíz de la ecuación. Sabemos que nn ax = o nn bx = . Así tenemos la siguiente cota del error:
nn
abx
2−<−α
Dicho esto, si se pretende calcular la raíz con un error menor queε , ¿cuántas
iteraciones debemos realizar?
n
n
ab
ab
2·2
ε
ε
<−
<−
Como la función logaritmo es estrictamente creciente, podemos tomar logaritmos a
ambos lados de la inecuación y esta no se verá afectada. ( ) ( )nab 2·loglog ε<−
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Aplicando propiedades de logaritmos: ( )( )( )
�
� �
� −>
<�
� �
� −<−−+<−+<−
ε
ε
εεε
ε
abn
nab
nab
ab
ab n
log2·log
2·loglog
2·loglogloglogloglog
2logloglog
2log
log �
� �
� −
> εab
n
Aún así, la convergencia con este método suele ser muy lenta, aunque siempre
convergerá a una raíz real. Pero si la función no es continua corremos el riesgo de construir una sucesión no
convergente.
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Capítulo 5.3. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO: ESTUDIO DEL ERROR.
Este método permite adquirir una raíz de la ecuación ( ) 0=xF . En este método se
deduce la ecuación ( )xfx = , de manera que cualquier solución de esta ecuación, es decir,
cualquier punto fijo de f , es una raíz de la ecuación de partida ( ) 0=xF . Es decir:
Si ( )ααα f=∃ entonces ( ) 0=αF . Por ejemplo:
( )( )( )( )
( ) 0,1
1
1
1
01
2
4
3
2
21
2
≠∀−−−=
+=
+=
−==−−=
mm
xxxxf
xx
xf
xxf
xxf
xxxF
A cada una de estas funciones if se le llama función de iteración asociada a F . Gráficamente:
Así, α=x y β=x son puntos fijos de la función f , y por tanto, raíces de F .
y
x
y=f(x) y=x
x=�
x=�
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Capítulo 5.3.1. ITERACIÓN DEL PUNTO FIJO: La iteración del punto fijo consiste en elegir un punto domfx ∈0 y construir la
sucesión{ }nx definida recursivamente por la ecuación siguiente:
{ } ( )0
1
≥∀=+
n
xfxx nn
n
Así, los puntos que componen la sucesión serán:
( )( )( )
( )1
23
12
01
0
...
−=
===
nn xfx
xfx
xfx
xfx
x
Para que este algoritmo resuelva el problema planteado hemos de comprobar que se
verifiquen las siguientes condiciones: • Los puntos de la sucesión{ }nx deberán pertenecer al dominio de la función f .
0, ≥∀∈ ndomfxn
• La sucesión deberá converger hacia un valor real. { } IRxn ∈→ α
• El límite de dicha sucesión será un punto fijo de la función f .
( )αα f= Por ejemplo:
Supongamos que la función elegida sea ( ) 1−= xxf :
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) domfifxfx
domffxfx
domffxfx
domfx
∉=−=−===
∈==−===
∈==−===
∈=
1100
00111
11122
2
23
12
01
0
Vemos como, a partir del punto 3x , no se verifica la primera condición. Para garantizar esta primera condición supongamos que ( )xf está encerrada en un
intervalo [ ]baI ,= y que la imagen que cada uno de los puntos del intervalo I a través de la
función f está a su vez contenido en [ ]baI ,= . Es decir:
[ ] [ ][ ] ( ) [ ]baxfbax
babaf
,,,,,:∈∈∀
→
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Gráficamente:
[ ] [ ] ( ) [ ][ ]��
�
���
∈∈
=×bay
baxyxbaba
,,
,,,
Demostración: Por inducción se demuestra que [ ] nbaxn ∀∈ ,, .
[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]( ) [ ]baxfx
baxfxbaxfxbaxfxbax
nn ,
...,,,,
1
2312010
∈=
∈=∈=∈=∈
−
Capítulo 5.3.2. TEOREMA DE EXISTENCIA DEL PUNTO FIJO: Sea [ ] [ ]babaf ,,: → continua en [ ]ba, , entonces [ ] ( ) ααα =∈∃ fba, . Es decir:
[ ] [ ] [ ] ( ) ααα =∈∃→ fbababaf ,,,: Demostración: Aplicamos el Teorema de Bolzano a la función ( ) ( )xfxxg −= en [ ]ba, : Hipótesis: • g continua en [ ]ba,
Al ser diferencia de funciones continuas. • ( ) ( ) 0· <bgag
( ) ( )( ) ( ) 0
0≥−=≤−=
afbbg
afaag
Tesis:
[ ] ( ) 0, =∈∃ αα gba
y
x
y=f(x)
y=x
x=a x=b x=�
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Así: ( ) ( )ααα fg =⇔= 0
Sin embargo las hipótesis anteriores no garantizan la unicidad del punto fijo. Por ejemplo:
Existen puntos [ ] ( ) ( ) 212121 ,, xxxfxfbaxx −>−∈ , es decir,
( ) ( )( ) ( )2121 ,, xxdxfxfd > . Para evitar que suceda esto incorporamos la definición de función contractiva. Capítulo 5.3.3. FUNCIÓN CONTRACTIVA: Se dice que f es contractiva en [ ]ba, si y sólo si, por definición:
[ ) ( ) ( ) [ ]baxxxxLxfxfL ,,,·1,0 212121 ∈∀−≤−∈∃ .
Se verifica también que la contractividad implica la continuidad de la función. Para estudiar si una función es contractiva utilizaremos el siguiente resultado:
x
y=f(x)
y=x
x=a x=b x=x1 x=x2 x=x3 x=x4
y
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Sea f continua en [ ]ba, y derivable en ( )ba, , entonces son equivalentes las dos condiciones siguientes:
• f es contractiva en [ ]ba, con constante de contractividad L .
• ( ) ( )baxLxf ,,1' ∈∀<≤ , es decir, 'f es una función acotada en ( )ba, .
Si [ ] [ ]babaf ,,: → y es contractiva, entonces existe un único punto fijo en [ ]ba, , es
decir, [ ] ( ) ααα =∈∃ fba,! . La existencia ya esta probada. Probemos ahora la unicidad del punto fijo: Capítulo 5.3.4. TEOREMA DE UNICIDAD DEL PUNTO FIJO: Demostraremos la unicidad del punto fijo por reducción al absurdo: supondremos la
existencia de un segundo punto fijo y llegaremos a una contradicción:
Sean [ ] ( )( ) ββ
ααβαβα
==
≠∈f
fba y ,, , entonces:
( ) ( )βαβα
βαβαβαβα−<−
−<−≤−=− ·Lff
Ejemplo: Sea ( ) xexf −= en [ ] [ ]1,0, =ba . ¿Es f una función de iteración? Para que f sea una función de iteración debe verificarse que:
• [ ] [ ]1,01,0: →f Primero comprobamos que las imágenes de los extremos de los intervalos a través de f pertenecen al intervalo.
( ) [ ]( ) [ ]1,0
11
1,010
1
0
∈==
∈==
−
eef
ef
A continuación comprobamos que el resto de puntos del intervalo verifica la hipótesis, para lo cual, estudiaremos la monotonía de la función.
( )( ) domfxxf
exf x
∈∀<−= −
,0'
'
'f es decreciente en [ ]1,0
[ ]( ){ }
[ ]( ){ }
[ ] [ ]1,01,1
1,0:1min
1max
1,0
1,0
⊂���
��
�→⇔��
��
�
=
=
∈
∈
ef
exf
xf
x
x
• f es contractiva en [ ]1,0
[ ) ( ) ( )1,0,1,0 ' ∈∀≤∈∃ xLxfL
( ) xxx eeexf −−− ==−='
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[ ) ( )1,0,1,01lim0
∈∀≤∈∃/= −−
→xLeLe xx
x
En [ ]1,0 no hemos encontrado la constante de contractividad. Probemos en [ ]1,1.0 :
( ) � ( )1,1.0,11.0' ∈∀<<= −− xeexfL
x
Luego, f es contractiva en [ ]1,1.0 con constante de contractividad 1.0−= eL . Capítulo 5.3.5. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE ITERACIÓN DEL PUNTO FIJO. ESTUDIO DEL
ERROR: Distinguiremos entre convergencia global y convergencia local. En la convergencia global se darán condiciones para f en [ ]ba, , bajo las cuales el
algoritmo del punto fijo converge para [ ]bax ,0 ∈∀ . En la convergencia local se darán condiciones más débiles bajo las cuales el algoritmo
converge siempre que el punto inicial esté suficientemente cerca de la solución. Capítulo 5.3.5.1. TEOREMA DE CONVERGENCIA GLOBAL Y ESTIMACIÓN DEL ERROR: Sea [ ] [ ]babaf ,,: → , contractiva con constante de contractividad L y sea [ ]bax ,0 ∈ ;
entonces se verifica que la sucesión{ }nx definida por ( ) 0,1 ≥=+ nxfx nn es convergente y
converge al único punto fijo α=x de f en [ ]ba, . Hipótesis: • [ ] [ ]babaf ,,: →
• ( ) ( )baxLxf ,,1' ∈∀<≤
Tesis:
[ ] ( ) { } αααα →=∈∃ nxfba y ,! Además, se tiene la siguiente estimación para el error:
abL
Lxx
LL
xnn
n −−
≤−−
≤− ·1
·1 01α
Vemos como, cuando L es próxima a cero el error se aproxima a cero y cuando L es
próxima a uno, el error tiende a infinito.
∞==−
=−
==−
=−
→
→
0111lim
111
011lim
1
1
0
0
LLL
L
LL
L
n
L
n
L
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Capítulo 5.3.5.2. TEOREMA DE CONVERGENCIA GLOBAL: Sea [ ] IRbaf →,: , derivable con 'f continua en ( )ba, y supongamos
que ( ) ( ) ααα =∈∃ fba, y además ( ) 1' <αf . Entonces, [ ]δαδαδ +−∈∀>∃ ,0 0x la
sucesión{ }nx definida por ( )nn xfx =+1 converge a α=x . Hipótesis: • [ ] IRbaf →,:
• 'f continua en ( )ba,
• ( ) ( ) ααα =∈∃ fba,
• ( ) 1' <αf
Tesis:
[ ] ( ) { } αααα →=∈∃ nxfba y ,! Gráficamente: con ( ) 01 ' <<− xf :
Vemos como se forma una “tela de araña” en la que los puntos nx convergen haciaα .
x
y=f(x)
y=x
x=a x=b x=x0 x=� x=x1 x=x2
y
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con ( ) 10 ' << xf :
Vemos como se forma una “escalera” en la que los puntos nx convergen haciaα .
Para ( ) α≠∀> 0' ,1 xxf la sucesión no es convergente.
x
y=f(x)
y=x
x=a x=b x=x0 x=� x=x1 x=x2
y
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Capítulo 5.4. ORDEN DE CONVERGENCIA. Sea{ }nx una sucesión de números reales que converge a un cierto valorα , es decir,
{ } α→nx ó { } α=∞→
nn
xlim , y sea 0, ≥∀−= nxe nn α . Si existen constantes
reales 0>p y 0≠q tal que qee
pn
n
n=+
∞→
1lim , se dice que la sucesión{ }nx converge aα con
orden de convergencia p , siendo q la constante asintótica del error.
Es decir, para n suficientemente grande, pnnp
n
n eqeqee
·11 =⇔≈ +
+
Se mide la disminución del error entre una iteración y la iteración siguiente. • Si 1=p , se dice que la convergencia es lineal.
• Si 2=p , se dice que la convergencia es cuadrática. Capítulo 5.4.1. CONVERGENCIA LINEAL: En el método de iteración del punto fijo, la convergencia es, al menos, lineal; es decir, al
menos de orden1. Demostración:
( ) ( )αα fxfxe nnn −=−= ++ 11 Aplicando el teorema del valor medio:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnnnn cfexcffxfe ''1 ·· =−=−=+ αα
Despejando ( )ncf ' :
( )
( )n
nn
nnn
ee
cf
cfee
1'
'1 ·
+
+
=
=
Tomando límites a ambos lados de la expresión:
( ) ( ) ( )1,1limlimlim '''1 −∈=��
��==
∞→∞→
+
∞→αfcfcf
ee
nn
nnn
n
n
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Capítulo 5.5. CONVERGENCIA CUADRÁTICA Y MÉTODO DE NEWTON. En el caso particular de que ( ) 0' =ncf se demuestra que el orden de convergencia es,
al menos, cuadrática (al menos de orden 2 ). Demostración:
( ) ( )αα fxfxe nnn −=−= ++ 11 Aplicando la fórmula de Taylor en un entorno deα :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2''
2''
1 ·2
·2 n
nn
nnn e
cfx
cffxfe =−=−=+ αα
Despejando( )2
''ncf
:
( )
( )21
''
2''
1
2
·2
n
nn
nn
n
e
ecf
ecf
e
+
+
=
=
Tomando límites a ambos lados de la expresión:
( ) ( ) ( )α''''''''
21 ·
21
lim·21
lim·21
2limlim fcfcf
cf
e
en
nn
n
n
nn
n
n=
��
��===
∞→∞→∞→
+
∞→
Corolario: El orden de convergencia nos lo indica el orden de la primera derivada que no se anula
en el punto fijo. ( )( )
( )( )( )
cuadrática iaConvergenc
0
0
lineal iaConvergenc0
''
'
'
��
��
�
≠
=
=
���
≠
=
αα
ααα
αα
f
f
f
f
f
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Capítulo 5.5.1. MÉTODO DE NEWTON:
Vamos a construir una sucesión{ }nx tal que{ } α→nx .
• Elegimos un punto inicial 0x .
• Cada punto nixi ...1,1 =∀+ se obtiene como la intersección de la recta tangente a la
función F en el punto ix con el eje OX. Calculamos la recta tangente a la función F en ix :
( )
( ) ( ) ( )iii xxxFxFy
xxmyy
−=−
−=−
·
·'
00
x
y=F(x)
x=x0
x=�
x=x1
y
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Y hallamos la intersección de dicha recta con el eje OX:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( )( )i
ii
i
i
i
ii
i
iii
iiii
iiii
iii
iii
xFxF
xx
xFxF
xFxFx
x
xFxFxFx
x
xFxxFxFx
xFxxFxxF
xxxFxF
y
xxxFxFy
'
''
'
'
'
''
''
'
'
·
·
··
··
·
0
·
−=
−=
−=
=−
−=−
−=−
���
=−=−
Así, la función de iteración para el método de Newton vendrá dada por:
( ) ( )( )xFxF
xxf '−=
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Apéndice A: FÓRMULAS Y MÉTODOS. Apéndice A.1. INTERPOLACIÓN. Fórmula de Lagrange:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )�=
=++++=n
iiinnn xlxfxlxfxlxfxlxfxlxfxP
0...22.11.00 ··...··· ,
con:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∏
≠=+−
+−
−−
=−−−−−−
−−−−−−=
n
ikk ki
k
niiiiiiii
niii xx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxl
011210
11210
·...···...····...···...···
Fórmula de Newton:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1210102010 ·...····...··· −−−−−++−−+−+= nnn xxxxxxxxcxxxxcxxccxP
[ ] [ ] [ ]0
1210321210
,...,,,,...,,,,...,,,
xxxxxxfxxxxf
xxxxfn
nnn −
−= −
Error en la interpolación:
( ) ( ) ( )∏=
−+
≤n
iin xx
nM
xe0
·!1
con( )
( ) ( )xfM n
bax
1
,sup +
∈=
Error en la interpolación lineal:
( ) ( ) [ ]10''
2
1 ,,·8
xxxcfh
xe ∈∀≤
Error en la interpolación cuadrática:
( ) ( ) [ ]20'''
3
2 ,,·39
xxxcfh
xe ∈∀≤
Error en la interpolación lineal a trozos:
( ) Mhxe ··81 2
1 ≤
Errror en la interpolación cúbica a trozos:
( ) Mhxe ··39
1 32 ≤
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Apéndice A.2. AJUSTE DE DATOS Y APROXIMACIÓN DE FUNCIONES. Recta de regresión:
����
�
�
����
�
�
=��
���
�
����
�
�
����
�
�
⇔
��
�
��
�
�
+=
+=
�
�
��
�
���
��
=
=
==
=
===
==n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
yx
y
b
a
xx
xn
xbxayx
xbnay
11
1*
*
1
2
1
1
1
2*
1
*
11
1
**
1
··
···
··
Polinomio de ajuste de grado menor o igual a dos:
�������
�
�
�������
�
�
=���
�
�
���
�
�
�������
�
�
�������
�
�
⇔
���
�
���
�
�
++=
++=
++=
�
�
�
���
���
��
����
����
���
=
=
=
===
===
==
====
====
===
n
iii
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
yx
yx
y
c
b
a
xxx
xxx
xxn
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbnay
1
2
1
1
*
*
*
1
4
1
3
1
2
1
3
1
2
1
1
2
1
1
4*
1
3*
1
2*
1
2
1
3*
1
2*
1
*
1
1
2*
1
**
1
·
··
····
····
···
Función de ajuste. Expresión general:
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )������
�
�
������
�
�
����������
�
�
����������
�
�
=
����������
�
�
����������
�
�
����
����
����
����
�
�
�
�
====
====
====
====
=
=
=
=
k
A
n
iik
n
iiik
n
iiik
n
iiik
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xy
xy
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1
2
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12
11
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1
23
123
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132
1
22
112
11
131
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1
21
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13
12
11
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( ) ( ) ( ) ( )������
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n
n
n
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xxxx
xxxx
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3332313
2322212
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1
3
2
1
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Apéndice A.3. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. MÉTODOS DE COTES Y MÉTODOS DE GAUSS.
Fórmula de los trapecios:
( ) ( ) ( )[ ]bfafab
dxxfb
a+−≈� ·
2
Fórmula de Simpson:
( ) ( ) ( )��
���
� +�
� �
� ++−≈� bfba
fafab
dxxfb
a 2·4·
6
Error en la fórmula de los trapecios:
( ) ( )3'' ··121
abcfE T −−=
Error en la fórmula de Simpson:
( ) ( ) ( )54 ··32·90
1abcfE S −=
Formula de Newton – Cotes abierta con un solo nodo o fórmula del punto medio:
( ) ( ) �
� �
� +−≈� 2·
bafabdxxf
b
a
Fórmula de Newton – Cotes abierta con dos nodos:
( ) ��
���
��
� �
� ++�
� �
� +−≈� 32
32
·2
abf
baf
abdxxf
b
a
Fórmula de los trapecios compuesta:
( ) ( ) ( ) ( )��
���
� ++−≈ ��−
=
bfxfafnab
dxxfn
ii
b
a
1
1
·2·2
Error en la fórmula de los trapecios:
( ) ( )( )bac
Tn cfab
nE
,
''32 ··
·121
∈−−=
Fórmula de Simpson compuesta:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )��
���
� +++−≈ ���=
−
=n
n
ii
n
ii
b
axfzfxfxf
nab
dxxf1
1
10 ·2
6
Error en la fórmula de Simpson:
( ) ( )( )
( )5
,
41
04
···32·90
1abcf
nE
bac
n
i
Sn −=
∈
−
=�
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Apéndice A.4. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES NO – LINEALES. Teorema de Bolzano: Hipótesis: • f es continua en [ ]ba,
• ( ) ( ) 0· <bfaf Tesis:
( ) ( ) 0, =∈∃ cfbac Teorema de Rolle: Hipótesis: • f es continua en [ ]ba,
• f es derivable en ( )ba,
• )()( bfaf = Tesis:
( ) ( ) 0, ' =∈∃ cfbac Error en el método de bisección:
nn
abx
2−<−α
Cálculo del número de iteraciones necesarias en el método de bisección para cometer
un error εα <−nx :
2log
log �
� �
� −
> εab
n
Iteración del punto fijo:
{ } ( )0
1
≥∀=+
n
xfxx nn
n
• 0, ≥∀∈ ndomfxn
• { } IRxn ∈→ α
• ( )αα f= Teorema de existencia del punto fijo:
[ ] [ ] [ ] ( ) ααα =∈∃→ fbababaf ,,,: Función contractiva:
( ) ( )baxLxf ,,1' ∈∀<≤
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Teorema de convergencia global: Hipótesis: • [ ] [ ]babaf ,,: →
• ( ) ( )baxLxf ,,1' ∈∀<≤
Tesis: [ ] ( ) { } αααα →=∈∃ nxfba y ,!
Teorema de convergencia local: Hipótesis: • [ ] IRbaf →,:
• 'f continua en ( )ba,
• ( ) ( ) ααα =∈∃ fba,
• ( ) 1' <αf
Tesis: [ ] ( ) { } αααα →=∈∃ nxfba y ,!
Error en el método de iteración del punto fijo:
abL
Lxx
LL
xnn
n −−
≤−−
≤− ·1
·1 01α
Método de Newton:
{ } ( )0
1
≥∀=+
n
xfxx nn
n con ( ) ( )( )xFxF
xxf'
−=
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Apéndice B: PRÁCTICAS. Apéndice B.1. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN CON MATLAB. pr001.m: ���������������������� ������������� �������������������������������������� ������������� �������������������������������������������� pr002.m: �������������������������� ������� ��������������������� ������� ������������������������������ �����������������!"�#�$�%&�� �����"�%����'��������(#��� ���'� pr003.m: ������������� ������������ � ������ ������������������������������ ��� ���)����������������������������� �������'*������������)��������������������������� �� ������ �������� � +���� ����������� ���"��'*���� ,"���� ��� ��- ����� � ."��� ��������� ����������� ������������ ���� pr004.m: ��/����� ���������� ������ ���� ������� ����� �� ��������������������� ��� ���� ���� �� ���������� ������������������������ �� ������������� � 0�"1��������� �2���������� � 0�"3���������������� ����������� � 0�#4���������5��� ��������������������������� �
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pr005.m: �������������������������� ������� ������6������������ ����������� ���� �������������������������������� �����������������!"�#�."�$�4�1&�� �����"�#���� ���5�"�$�����������5������5�(#����� �� � f001.m: � ���� ��� 11"�7����8������ � ��9 �:���*�)����"�7.7�(#;%�
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Apéndice B.2. INTERPOLACIÓN. lagrange.m: � ���� �!��<&���)�� )��=�>������������������� ����:���� �������������� �"��� ������?�71��1���7"��"���7#��#��������7 �� �@������� ����� ��������<�)�� )�����8����5���������1�����1����1�"�1�����"�#�����"�#����"�#�1�$A#A43���������������7."�#���������������7.1�1���8"�7��"�1B........���1�$C#A43B.......���.1�4$"$A3-7���"�1�������������1�1."�#�������������"�#.1�1���������������� ���������� )���� �"%���������������� ��������������� �� ������� )���=��������������:����� ��� ����������������������������>��������������:����� ��� �������������������� ���������������������:����� ��� ��������� ���� ����������� ����� ��������������<�)�� )����<�����������6�:����� ��� ��������� ���� �������������� �������� ���� ��������<�)�� )������/�� ��9 �����������=�������������� +���������� � ��������*������������'����� )�*�=��� ���'."������������ ������6�������� ������������������ � ������������������ ��9 �'��<���6�����'�'���� ���D���"� �"����E���"����� ���5���"� �"�������� �D�F��5������������������������� ������������������ � ������ �������� ���� ������������������ ����� �������:������������ ��� �������G����������������8����5�����������������,,�8������#�������������"�.#������������������� �����������G6����#����7.#�������������,,�H������$�������������"�.$������������������������� ��8�H�������������������� �����8���H�������������,,��� ��8�H�������������"�.4�A������������7(#.4-7�A������������
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Apéndice B.3. APROXIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS. ajuste.m: � ���� ����5�����=�>�N��������������� � ��� ����� �����M�7�����"����#-7����$-7($���������� -7( ���:����5����5����������� ��� ����?�7"��"����7#��#����7$��$�������7 �� �@�������� ����������������� ���������������8����5��������,,��5�����!."�1�3&�!."�1�#&�#����� �����������.1�13$$$$$$$$$$$$������1�C"AAAAAAAAAAA4�����.1�1111111111111"��������������� � ��� ����� ��������5�����������M�7����.1�3$$$-7(#���1�C"AA-7���������������� ���������� )���� �"%���������������� ��������������� �� ������� )���=��������������:����� ��� ����������������������������>��������������:����� ��� �������������������� ������N�������)����������� ����������������������������:����� ��� ��������� ���� ���������� � ��� ����� ����������5����������/�� ��� �����������=�������������� ����������� � ��������*������������������� ������� ��������� ������������� �����5������ ��� )�*�=�����O� ����N�"� � ��� ������������������ �������������� �������5��������/��*������ �������������������� ���� ��� ����������N�"� � ��� ������)"�7����"��)#�7����7(#��)$�7����7($�������)�7����7(����J����������� �������5������� �������������M�7�����"�-�)"�7�����#�-�)#�7�����$�-�)$�7������������-�)�7��������� �������� �����7����������������������������� � �����������9 �������������
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Apéndice B.4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. trapecio.m: � ���� ������������ �����N������������������� ����� ����������������������������������������7������������� ��)����� � �������� � ��� � �� ����� ��������!���&����8����5��������,,�������1A�� ��"�A�"1����� ���������3�"C$34%4A4"U#4$������������� ��� ��"�A�����3�"C$34%��������������� ���������� )���� �"%���������������� ��������������� �� ������� )��� �������� ��)�� ��������������� � ��9 �:������� ��)�������������� ������G�������� ��)����9 ����������������7������� ����������������������� ����������� ��)����� ����N������� +���������� ������������������������7����9 ����� ���������*��������������:����� �������� ������������ ���������� �����:����������������� ����������� ��)����� ��������0.....*.....,���....V...........V....������71������������7"�*���.��;N����8����� ����� �!���&��� ����N�"� �����:��������������N����� ������������.....V.....V.....V.....V..............V......���������71��7"����7#����7$���������������7 ���!71�7"&��!7"�7#&��!7#��7$&�������!7 ."�7 &���/����������� ��������!���&�� �N����� �������������� ����!7��7��"&��������:���7���������B*���� ���1��� ."������������������������������������������)� ���������7������������������ � ��� � ��������������������� �7����"� ."�����1�������������������������������� ���D�"��N."�����7���*-D��������� ����� �7���� ������������������ ��)��������������� ���� ������������������������������������ �������������*-� ����� ���� ����� ����;#�*-���
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