Download - CAPÍTULO II RENDAS - webx.ubi.ptwebx.ubi.pt/.../2016-2017/CalculoFinanceiro/Aulas/Rendas_pb.pdf · 1 CAPÍTULO II RENDAS Cálculo Financeiro * Francisco Antunes CAPÍTULO II RENDAS

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CAPÍTULO IIRENDAS

Cálculo Financeiro*

Francisco Antunes

CAPÍTULO IIRENDAS

Cálculo Financeiro*

Francisco Antunes

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Enquadramento Regime de Juro Composto Sabe-se que utilizando o factor de

actualização (1+i)-n ou o de capitalização (1+i)n é possível movimentar no tempo um capital de cada vez.

Mas e se forem 10 ou 30 ou 1.000? Pode dar uma trabalheira enorme!!!

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Conceito de renda Conjunto de capitais (termos) que

ocorrem em intervalos de tempo iguais (equidistância temporal).

Não interessa que os diferentes capitais (os termos) sejam de igual montante.

A periodicidade da renda é definida pelo período de tempo entre dois termos consecutivos.

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Conceito de renda Para definir uma renda é preciso saber:

– o momento de referência;– o momento de vencimento do primeiro

termo;–o número de termos;–o valor de cada termo;–o intervalo de tempo (constante) entre os

termos.

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Representação de uma renda

0 (origem) 1 2 3 (…) n-1 n

t1 t2 t3 (…) tn-1 tnTermos

Tempo

3

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t1 t2 t3 (…) tn-1 tn

Valor actual de uma renda

V0= t1.(1+i)-1 + t2.(1+i)-2 + t3.(1+i)-3 + … + t(n-1).(1+i)-(n-1) + tn.(1+i)-n

0 1 2 3 (…) n-1 n

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t1 t2 t3 (…) tn-1 tn

Valor acumulado de uma renda

Vn= t1.(1+i)(n-1) + t2.(1+i)(n-2) + t3.(1+i)(n-3) + … + t(n-1).(1+i) + tn

0 1 2 3 (…) n-1 n

n é o momento em que ocorre o último termo

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Tipos de rendasQuanto à sua duração:

– TEMPORÁRIASO número de termos é finito.

– PERPÉTUASO número de termos pode ser considerado

ilimitado.

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Tipos de rendasQuanto à sua duração:

– TEMPORÁRIAS

– PERPÉTUAS

€12 €33 €34 (…) €45 €49

0 1 2 3 (…) n-1 n

€12 €33 €34 (…)

0 1 2 3 (…) +∞

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Tipos de rendasQuanto ao período da renda:

– INTEIRASO período da renda corresponde ao período

da taxa (ex: ano/tx anual, mês/tx mensal,…).

– FRACCIONADASO período da renda difere do período da taxa.

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Tipos de rendasQuanto ao período da renda:

– INTEIRAS

– FRACCIONADAS

€1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000 (i mensal)

0 1 2 3 (…) 34 meses

€2.000 €2.500 (i anual)

0 1 2 3 4 meses

5

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Tipos de rendasQuanto ao valor dos termos:

– CONSTANTES Todos os termos têm o mesmo valor.

– VARIÁVEISOs termos têm valores diferentes:

– Sem regularidade matemática;– Com progressão aritmética;– Com progressão geométrica.

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Tipos de rendasQuanto ao valor dos termos:

– CONSTANTES

– VARIÁVEIS

€1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000

0 1 2 3 (…) 34

€1.000 €750 €320 (…) €238

0 1 2 3 (…) 103

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Tipos de rendasQuanto ao momento de referência:

– IMEDIATAS Coincide com a origem.

– DIFERIDASO momento de referência é anterior à origem.

6

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Tipos de rendasQuanto ao momento de referência:

– IMEDIATAS

– DIFERIDAS€1.000 (…) €1.000

0 1 2 3 (…) 34

€1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000

0 1 2 3 (…) 34

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Tipos de rendasQuanto ao vencimento dos termos:

– NORMAIS (OU POSTECIPADAS)Os termos vencem no final de cada período.

– ANTECIPADASOs termos vencem no início de cada período.

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Tipos de rendasQuanto ao vencimento dos termos:

– NORMAIS (OU POSTECIPADAS)

– ANTECIPADAS

€1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000 €1.000

0 1 2 3 (…) 34 35

€1.000 €1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000

0 1 2 3 (…) 34 35

7

19

Quadro Resumo

20

Quadro Resumo

21

Não interessa!!!

8

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Só nos interessam: TEMPORÁRIAS ou PERPÉTUAS CONSTANTES ou VARIÁVEIS INTEIRAS

– basta converter a taxa das fraccionadas IMEDIATAS e DE TERMOS NORMAIS

– basta actualizar/capitalizar através de (1+i)-n/(1+i)n

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RENDAS TEMPORÁRIAS TERMOS CONSTANTES

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Valor actual: renda constanteV0= t1.(1+i)-1 + t2.(1+i)-2 + t3.(1+i)-3 + … + t(n-1).(1+i)-(n-1) + tn.(1+i)-n

mas como t1 = t2 = t3 = … = tn-1 = tn vem que:

V0 =

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t1 t2 t3 t4 t5

Valor actual: renda constante

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €100 €100 €100 €100

Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou

Qual é o capital equivalente no momento 0?

1) Considere uma taxa mensal de 2%

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0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €100 €100 €100 €100



1) Considere uma taxa anual de 26,82417946%

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0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €100 €100 €100 €100




10

28


0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €100 €100 €100 €100




29


0 1 2 3 4 … 69 70 meses

€100 €150 €100 €150 €100 … €150 €100




30

Valor acumulado: r. constante

Vn= V0.(1+i)n

vem que:

Vn =

11

31


Vn= V0.(1+i)n

vem que:

Vn =

32

t1 t2 t3 t4 t5


0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €100 €100 €100 €100

Qual é o valor acumulado da renda no momento 5?ou

Qual é o valor da renda no final do prazo?


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0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €100 €100 €100 €100




12

34


0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €100 €100 €100 €100




35


0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €100 €100 €100 €100

Qual é o valor acumulado da renda no momento 7?


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0 1 2 3 4 … 69 70 meses

€100 €150 €100 €150 €100 … €150 €100


Qual é o valor da renda no momento 70?


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RENDAS TEMPORÁRIAS TERMOS VARIÁVEIS

– Sem regularidade matemática;– Com termos em progressão aritmética;– Com termos em progressão geométrica.

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TERMOS SEM REGULARIDADE

Efectua-se o cálculo (actualizar/capitalizar) termo a termo para a data de análise!

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €37 €11 €143 €20 (i mensal = 3%)

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t t+r t+2r t+3r t+4r … t+(n-2)r t+(n-1)r

TERMOS EM P. ARITMÉTICA

0 1 2 3 4 5 … n-1 n

r é a RAZÃO da progressão aritmética

A RAZÃO tanto pode ser maior que 0 ou menor que 0Se r < 0, então o n.º de termos possíveis é n = t ÷ | r |(é óbvio que quando a razão é zero os termos são constantes…)

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Valor actual com termos em PAV0= t.(1+i)-1 + (t+r).(1+i)-2 + (t+2r).(1+i)-3 + … +

[t+(n-2).r].(1+i)-(n-1) + [t+(n-1).r].(1+i)-n

V0 =

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t t+r t+2r t+3r t+4r

Valor actual com termos em PA

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €120 €140 €160 €180




42


0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €120 €140 €160 €180




15

43


0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €90 €80 €70 €60




44


0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €85 €70 €55 €40




45


0 1 2 3 4 … 69 70 meses

€10 €70 €12 €68 €14 … €150 €80




16

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Valor acumulado em PA

Vn= V0.(1+i)n

vem que:

Vn = =

47

t t.r1 t.r2 t.r3 t.r4 … t.r(n-2) t.r(n-1)

TERMOS EM P. Geométrica

0 1 2 3 4 5 … n-1 n

r é a RAZÃO da progressão geométrica

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Valor actual com termos em PGV0= t.(1+i)-1 + (t.r).(1+i)-2 + (t.r2).(1+i)-3 + … +

[t.r(n-2)].(1+i)-(n-1) + [t.r(n-1)].(1+i)-n

V0 =

17

49

Valor actual com termos em PG

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €110 €121 €133,1 €146,41




50


0 1 2 3 4 5 6 7 meses




€100 €110 €121 €133,1 €146,41

51


0 1 2 3 4 5 6 7 meses




€100 €110 €121 €133,1 €146,41

18

52


0 1 2 3 4 5 6 7 meses




€100 €110 €121 €133,1 €146,41

53

Valor acumulado em PG

Vn= V0.(1+i)n

vem que:

Vn = =

54

Caso particular da PG

r =(1+i)

0 1 2 3 4 5 6 7

€100 €110 €121 €133,1 €146,41

Considere uma taxa de 10% ao período (i = 0,1)

r = 1+ 0,1 = 1,1

= n.t.(1+i)-1

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55

RENDAS PERPÉTUAS TERMOS CONSTANTES

0 1 2 3 4 5 … 100 meses

€1.000 €1.000 €1.000 €1.000 €1.000 … €1.000

1) Calcule o valor actual do último termo:

1.1) Considere uma taxa mensal de 10%

1.2) Considere uma taxa mensal de 20%

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V0 =

Como (1+i)-∞ → 0, vem que

57


V0 =

Não faz sentido falar de valor acumulado…

20

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0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses

€100 €100 €100 €100 €100 €100 …




59


0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses

€100 €100 €100 €100 €100 €100 …




60


0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses

€100 €100 €100 €100 €100 €100 €100 …




21

61


0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses

€100 €100 €100 €100 …




62

RENDAS PERPÉTUAS TERMOS VARIÁVEIS

– Com termos em progressão aritmética;– Com termos em progressão geométrica.

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t t+r t+2r t+3r t+4r … t+(n-1)r …

TERMOS EM P. ARITMÉTICA

0 1 2 3 4 5 … n ∞

r é a RAZÃO da progressão aritmética

A RAZÃO tanto pode ser maior que 0 ou menor que 0Se r < 0, então o n.º de termos possíveis é n = t ÷ | r |(é óbvio que quando a razão é zero os termos são constantes…)

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64


V0 =

Como (1+i)-∞ → 0, vem que

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t t+r t+2r t+3r t+4r …


0 1 2 3 4 5 ∞ meses

€100 €120 €140 €160 €180 …




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0 1 2 3 4 5 ∞ meses

€100 €120 €140 €160 €180 …




23

67


0 1 2 3 4 ∞??? meses

€100 €90 €80 €70 €60 …




68


0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses

€100 €120 €140 €160 …




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t t.r1 t.r2 t.r3 t.r4 … t.r(n-1)

TERMOS EM P. Geométrica

0 1 2 3 4 5 … n ∞

r é a RAZÃO da progressão geométrica

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70


V0 =

[r ÷ (1+i)]∞ → 0, apenas se r < (1+i)

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0 1 2 3 4 5 ∞ meses

€100 €110 €121 €133,1 €146,41 …




72


0 1 2 3 4 5 ∞ meses




€100 €110 €121 €133,1 €146,41 …

25

73


0 1 2 3 4 ∞ meses




€100 €110 €121 €133,1 €146,41 …

74


0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses




€100 €110 €121 €133,1 …