7/28/2019 Capitulo 9 Mov. Circular y Rotacion Rev0
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2012, Rafael Guzmn M.
Captulo 9A.
Movimiento Circular Uniforme
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Aceleracin centrpeta
Fuerzascentrpetas
mantienen latrayectoriacircular de estos
nios.
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Objetivos: Despus de completareste mdulo, deber:
Aplicar sus conocimientos sobre aceleracin yfuerza centrpeta en la solucin de problemas
de movimiento circular. Definir y aplicar los conceptos de frecuencia y
periodo, y relacionarlos con la velocidad lineal.
Solucionar problemas de ngulos de peralte,pndulo cnico y crculo vertical.
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Movimiento circular uniforme
Movimiento circular uniformese realiza entrayectoria circular sin cambio en lavelocidad,slo cambia ladireccin.
Fuerza constantehaciael centro.
Velocidad constantetangentea latrayectoria
vFc
Pregunta:alguna fuerza empujahacia afueraal baln?
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Movimiento circular uniforme(cont.)
La pregunta sobre la fuerza hacia afuera seresuelve al observar lo que sucede cuando serompe la cuerda!
Cuando la fuerza central desaparece,el baln contina en lnea recta.
v
El baln se mueve
tangente a latrayectoria, NO haciaafuera, como seesperaba.
La fuerza centrpeta es necesaria para cambiar de
direccin
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Continuacin del ejemplo
Hay una fuerza hacia el exterior, pero no actaSOBRE usted. Es la fuerza de reaccin ejercidaPORusted SOBRE la puerta. Slo afecta lapuerta.
La fuerza centrpetaes ejercida PORla
puerta SOBRE usted.
(hacia el centro)
FcF
Reaccin
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Otro ejemplo
Empuje sobreel muro.
R
Qu fuerzas centrpetas se ejercen eneste ejemplo y sobre qu actan?
La fuerza centrpeta es ejercida POR el muroSOBRE el hombre. Una fuerza de reaccines ejercida por el hombre sobre el muro,pero no determina el movimiento de ste.
Fc
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Aceleracin CentrpetaTiene una pelota en movimiento con velocidadconstante v en un crculo horizontal de radio Ratada con una cuerda a una prtiga al centro deuna mesa. (Suponga friccin cero.)
Rv
FuerzaFcyaceleracinachacia el centro.
W =n
Fc
n
W
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Aceleracin central
Considere la velocidad inicial en A y la velocidadfinal en B:
Rvo
vfvf
-vo
A
B
Rvo
Dv s
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Aceleracin (cont.)
vf-vo
Rvo
Dv sac=
Dvt
Definicin:
=Dv
v sRTringulossimilares
=
Dv
t
vs
Rtac= =
vv
R
masa m
Aceleracin
centrpeta:
2 2
;c c c
v mva F ma
R R
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Ejemplo 1: Una piedra de 3-kg gira en uncrculo con radio de 5 m. Si la velocidadconstante es de 8 m/s, cul es la aceleracin
centrpeta?
R
vm
R= 5 m; v= 8 m/s
m= 3 kg
F =(3 kg)(12.8 m/s2)
Fc
=38.4 N
2
c c
mvF ma
R
22(8 m/s)
512.8 /s
mm
ca
2
c
va
R
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Ejemplo 2: Pedro patina a 15 m/s en un crculocon radio de 30 m. El hielo ejerce una fuerzacentral de 450 N. Cul es la masa de Pedro?
2
2; cc
F RmvF m
R v
2
(450 N)(30 m)
(15 m/s)m
m =60.0 kg
450 N 30 m
v= 15 m/s
RFc
m=?
Velocidad
Dibuje el boceto
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Ejemplo 3. El muro ejerce 600 N de fuerza enuna persona de 80-kg con movimiento de 4m/s en una plataforma circular. Cul es el
radio de la trayectoria circular?
2 2
;mv mv
F rr F
Segunda ley de Newtonpara el movimiento
circular:
2(80 kg)(4 m/s)
600 Nr r= 2.13 m
Dibuja un boceto
r = ?
m =80 kg;v= 4 m/s2
Fc=600 N
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Un auto con giro suave
R
v
Hay alguna fuerzahaciaafuera SOBREel auto?
Resp. No, pero el auto no ejerce unafuerza dereaccinhacia afueraSOBREel camino.
Fc
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Un auto con giro suaveLa fuerza centrpeta Fcse debe
a la friccin esttica fs:
La fuerza centrpetaFCy la fuerza de friccinfsNo son dos fuerzas distintas. Slo hayunafuerza sobre el auto. Lanaturalezade estafuerza central es su friccin esttica.
Fc= fsR
v
mFc n
mg
fs
R
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Encuentre la velocidad mxima para daruna vuelta sin derrapar.
Fc= fs fs=msmgFc=mv2
R
El auto est a punto de derrapar cuando FC es
igual a la fuerza mxima de la friccin estticafs.
R
v
mFc
Fc= fsn
mg
fs
R
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Velocidad mxima sin derrapar (cont.)
Fc= fsmv2
R
=msmg
v = msgR
La velocidadv es lamxima para noderrapar.
n
mg
fs R
R
v
m Fc
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Ejemplo 4: Un auto da vuelta con unradio de 70 m si el coeficiente de lafriccin esttica es 0.7. Cul es laaceleracin mxima sin derrapar?
v= 21.9 m/s(0.7)(9.8)(70m)sv gRm
R
v
mFc
ms=0.7
fs=msmgFc=mv2
RDe donde: v = msgR
g= 9.8 m/s2; R= 70 m
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qAceleracin
lenta
Peralte ptimo
Para el peralte de una curvacon ngulo ptimo, la fuerza
normal nda la fuerza
centrpeta necesaria para norequerir una fuerza defriccin.
Aceleracinrpida ptimo
n
fs= 0
w w
nfs
w
nfs
R
v
mFc
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Diagrama de un cuerpo libre
n
mg
q
q
La aceleracin aes hacia elcentro. Sea xel eje a lolargo de la direccin de ac ,
i. e., horizontal (izquierda aderecha).
n
mg
q
nsenq
ncosq+ac
q
n
mg
x
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Peralte ptimo (cont.)
n
mg
q
nsenq
ncosq
SFx= mac
SFy= 0 ncosq = mg
mv2
Rnsenq Aplique lasegunda leyde Newton alos ejesx yy.
q
n
mg
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Peralte ptimo (cont.)
ncosq= mg
mv2
Rnsenq
q
n
mg
2
2
tan
1
mv
vRmg gR
q
n
mg
q
nsenq
ncosq sintan
cos
nn
q
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Peralte ptimo (cont.)
n
mg
q
nsenq
ncosq
q
n
mg
2
tan vgR
qPeralte ptimoq
sintan
cos
nn
q
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Ejemplo 5: Un auto da una vuelta conradio de 80 m. Cul es el peralteptimo para esta curva si la velocidad es
igual a 12 m/s?
n
mg
q
nsenq
ncosq
tanq = =v2
gR
(12 m/s)2
(9.8 m/s2)(80 m)
tanq = 0.184
q
n
mg
2
C
mvF
R
Cmo encuentra la fuerzacentrpeta sobre el carro,
conociendo su masa?
q= 10.40
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El pndulo cnicoUnpndulo cnicoconsiste de una masam
giratoria en un crculo horizontal de radioRalextremo de una cuerda de largoL.
qhT
L
R mg
Tq
T senq
T cosq
Nota: El componente interiorde latensinT senqrequiere una fuerza
central.
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ngulo qy velocidad v:
q
hT
L
R mg
Tq
T senq
T cosq
Tcosq = mg
mv2
RTsen
q
Resuelva
las dosecuacionespara
encontrar
el nguloq
tanq = v2
gR
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Ejemplo 6 (cont.): Halle v para q = 300
R =5 m
v =5.32 m/s
g =9.8 m/s2
Encuentrev = ?
2
tan vgR
q
4. Use los datos para encontrar la
velocidad a300
.
2
tanv gR q tanv gR q2 0(9.8 m/s )(5 m) tan30v
qhT
L
R
q 300
R =5 m
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Ejemplo 7: Ahora halle la tensin T en lacuerda si m= 2 kg, q= 300, y L= 10 m.
q
hT
L
R mg
Tq
T senq
T cosq
SFy= 0: T cosq - mg = 0; T cosq= mg
T = =mg
cosq
(2 kg)(9.8 m/s2)
cos 300
T =22.6 N
2 kg
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Ejemplo 8: Halle la fuerza centrpeta Fcpara el ejemplo.
q
hT
L
R mg
Tq
Tsen q
Tcos q
m= 2kg; v= 5.32 m/s;R = 5 m; T = 22.6 N
Fc=11.3 N
2 kg
Fc=mv2
R
or Fc= Tsen 300
Fc
q = 300
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Sillas giratorias
qh
T
L
Rd
Este problema esidntico a los otrosejemplos, excepto quedebe hallar R.
R = d + b
R = L senq + b
tanq=v2
gRy v = gR tanq
b
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Ejemplo 9. Si b= 5 m y L= 10 m, culser la velocidad si el ngulo es q= 260?
R = d + b
R= 4.38 m + 5 m = 9.38 m
tanq= v2
gRq
T
L
Rd
bd =(10 m) sen 260 = 4.38 m
2 tanv gR q tanv gR q
2 0(9.8 m/s )(9.38 m) tan 26v v =6.70 m/s
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Movimiento en crculo verticalConsidere las fuerzas en
una pelota sujeta a unacuerda que da una vueltavertical.Note que la direccinpositivasiempre es deaceleracin, i.e., hacia elcentrodel crculo.
D click en el mouse paraver las nuevas posiciones.
+
T
mg
v
Abajo
Tensin mximaT, W opuesta a
Fc
+v
T
mg
Derecha
arribaEl peso noafecta aT
+
T
mg
v
DerechaarribaEl peso
disminuye latensin en T
vT
mg
+
IzquierdaEl peso no
tiene efecto en
T
+
T
mg
v
Abajo
v
Tmg
Hacia arribaLa tension esmnima, el
peso ayuda ala fuerza Fc
+
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R
v
v
Como ejercicio, supongaque la fuerza central deF
c=40 N es requerida
para mantener elmivimiento circular de lapelota yW = 10 N.
La tensin T ajusta,as que el resultantecentral es 40 N.
Arriba:10 N + T = 40 N
Abajo: T 10 N = 40 N T =__?___
T = 50 N
T =30 NT =_?_
T10 N
+
+T
10 N
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Ayuda visual: Suponga que la fuerzacentrpeta para mantener el movimiento
circular es de 20 N. Con un peso de 5 N.
R
v
v
2
20 NCmv
FR
Fuerza central resultanteFCpara todo punto de latrayectoria!
FC=20N
El vector pesoWdesciendea cualquier punto.
W =5N, abajo
FC=20N arribaY abajo.
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Movimiento en crculo
R
v
v
Haciaarriba:
T
mg +
Hacia abajo:T
mg+
T = - mgmv2
R
T = + mgmv2
R
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Ejemplo 10: Una piedra de 2-kg gira en uncrculo vertical de 8 m de radio. La velocidad dela piedra en el punto ms alto es de 10 m/s.Cul es la tensin T en la cuerda?
R
v
v
Tmg
mg + T =mv2
RMs alto:
T = - mgmv2R
T= 25N - 19.6 N T= 5.40N
22(2kg)(10m/s)
2 kg(9.8 m/s )8 mT
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Ejemplo 11: Una piedra de 2-kg gira en uncrculo vertical de 8 m de radio. La velocidad dela piedra en el punto ms bajo es de 10 m/s.Cul es la tensin T en la cuerda?
R
v
vT
mg
T - mg =mv2
RMs bajo:
T = + mgmv2R
T =25N + 19.6 N T =44.6N
22(2kg)(10m/s)
2 kg(9.8 m/s )8 mT
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Ejemplo 12: Cul es la velocidad crtica vchacia arriba, si la masa de 2-kg contina e
un crculo de radio de 8 m?
R
v
v
T
mgmg + T =
mv2
RHacia arriba:
vc= 8.85 m/s
vccuando T = 0
0
mg =mv2
R
v = gR = (9.8 m/s2)(8 m)
vc= gR
Dar vueltas
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Dar vueltasMisma cuerda, nreemplaza a T
HACIAARRIBA:
n
mg +
HACIA ABAJO:n
mg+
n= - mgmv2
R
n= + mgmv2
R
R
v
v
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Sillas giratorias
Haciaarriba:n
mg
+
Hacia abajon
mg+
mg- n= mv2
R
n= + mgmv2
R
R
v
v n= mg-mv2
R
Ejemplo 13: Cul es el peso
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Ejemplo 13: Cul es el pesoaparente de una persona de60-kg al pasar por el puntoms alto cuando R= 45 m
y la velocidad en ese punto esde 6 m/s?
n
mg
+
R
v
v
mg
- n=
mv2
R n= mg
-
mv2
R
El peso aparente ser lafuerza normal hacia arriba:
22 (60kg)(6m/s)60 kg(9.8 m/s )
45 mn n= 540 N
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RESUMENAceleracincentrpeta:
2 2
;c c c
v mva F ma
R R
v = msgRtanq=
v2gR
v = gR tanqPndulocnico:
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Resumen: Sillas giratorias
HACIAARRIBA:n
mg
+
HACIA ABAJO:n
mg+
mg- n= mv2
R
n= + mgmv2
R
R
v
v n= mg-mv2
R
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CONCLUSIN: Captulo 9A
Movimiento Circular Uniforme
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2012, Rafael Guzmn M.
Captulo 9B.
Movimiento Angular
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Las TURBINAS DE VIENTOcomo stas pueden generarenerga significativa en unaforma que esambientalmente amistosa y
renovable. Los conceptos deaceleracin rotacional,velocidad angular,desplazamiento angular,inercia rotacional y otros
temas que se discuten eneste captulo son tiles paradescribir la operacin de lasturbinas de viento.
Objetivos: Despus de
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Objetivos: Despus decompletar este mdulo,
deber: Definir y aplicar los conceptos de
desplazamiento, velocidad y aceleracinangular.
Dibujar analogas que relacionan parmetros demovimiento rotacional (q, , ) con lineal (x, v,a) y resolver problemas rotacionales.
Escribir y aplicar relaciones entre parmetroslineales y angulares.
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Desplazamiento rotacional, q
Considere un disco que rota de A a B:
A
B
q
Desplazamiento angularq:
Medido en revoluciones,grados o radianes.
1 rev=3600
= 2radLa mejor medida para rotacin de
cuerpos rgidos es el radin.
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Definicin del radin
Un radin es el ngulo q subtendido alcentro de un crculo por una longitudde arco sigual al radio Rdel crculo.
1rad = = 57.30R
R
ss
Rq
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Ejemplo 2: Una llanta de bicicleta tiene unradio de 25 cm. Si la rueda da 400 rev,
cunto habr recorrido la bicicleta?
q= 2513 rad
s =qR = 2513rad (0.25 m)
s =628 m
2 rad
400 rev1 rev
q
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Velocidad angularLa velocidad angular, , es la tasa decambio en el desplazamiento angular.(radianes por segundo)
2f Frecuencia angular f(rev/s).
La velocidad angular tambin se puede dar como
la frecuencia de revolucin, f(rev/s o rpm):
Velocidad angular en rad/s.Dq
Dt
Ejemplo 3 Una c e da se en olla m chas
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Ejemplo 3: Una cuerda se enrolla muchasveces alrededor de un tambor de 20 cm deradio. Cul es la velocidad angular del
tambor si levanta la cubeta a 10 m en 5 s?
h =10 m
R
= 10.0 rad/s
Dq
Dt
50 rad
5 s
q = 50 rad10 m
0.20 m
s
Rq
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Ejemplo 4: En el ejemplo anterior, cul esla frecuencia de revolucin para el tambor?Recuerde que = 10.0 rad/s.
h = 10 m
R
f = 95.5 rpm
2 or2
f f
10.0 rad/s
1.59 rev/s2 rad/revf
O, dado que 60 s = 1 min:
rev 60 s rev1.59 95.51 min min
fs
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Aceleracin angular
La aceleracin angular es la tasa de cambio envelocidad angular. (radianes por s por s)
La aceleracin angular tambin se puede encontrar a
partir del cambio en frecuencia, del modo siguiente:
)(rad/sangularnAceleraci2
tD
D
ft
f
2pues)(2
D
Ejemplo 5: El bloque se levanta desde el
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Ejemplo 5: El bloque se levanta desde elreposo hasta que la velocidad angular deltambor es 16rad/s despus de 4 s. Cul
es la aceleracin angular promedio?
h =20 m
R
= 4.00 rad/s2
0f o f
or
t t
2
16 rad/s rad4.00
4 s s
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Rapidez angular y lineal
De la definicin de desplazamiento angular :s =qR Desplazamiento lineal contra
angularv =R
s Rv R
t t t
q qD D D
D D D
Rapidez lineal = rapidez angular x radio
Rapidez lineal = Rapidez Tangencial
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Aceleracin angular y lineal:
De la relacin de velocidad se tiene:
v =R Velocidad lineal contra angular
aT=*Rv v R v
v Rt t t
D D D
D D D
Acel. lineal = Acel. angular x Radio
aw w
Acel lineal = Aceleracin Tangencial
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Aceleracin Neta : Centrpeta yTangencial :
Debemos ser cuidadosos en distinguirentre la aceleracin tangencial o linealrecin vista, y la aceleracin centrpetavista en el capitulo 9A
La aceleracin tangencial aT representa uncambio en la velocidad lineal, mientras que laaceleracin centrpeta ac representa tan solo uncambio en la direccin del movimiento.
La aceleracin neta o resultante puede determinarse calculando elvector suma de las aceleraciones tangenciales y centrpeta.
Su magnitud est dada por:aneta
2=aT2+ a
c2
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Ejemplo de aceleracin
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Ejemplo de aceleracin
R1=20 cmR2=40 cm
Cules son las aceleracionesangular y linealpromedioen B?
R1
R2
A
Bo= 0; f = 20 rad/st = 4 s
Considere disco rotatorio
plano:
= 5.00 rad/s2
a = R = (5 rad/s2)(0.4 m) a= 2.00 m/s2
0 20 rad/s
4 s
f
t
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Ejemplo lineal: Un automvil que
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Ejemplo lineal: Un automvil queinicialmente viaja a 20 m/s llega adetenerse en una distancia de 100 m.
Cul fue la aceleracin?100 m
vo= 20 m/s vf= 0 m/s
Seleccione ecuacin:
2 202 fas v v
a = =0 - vo2
2s-(20 m/s)
2
2(100 m)a = -2.00 m/s2
Analoga angular: Un disco (R 50 cm)
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Analoga angular: Un disco (R = 50 cm),que rota a 600 rev/min llega a detenersedespus de dar 50 rev. Cul es laaceleracin?
Seleccione ecuacin:2 2
0
2f
q
= =0 - o
2
2q
-(62.8 rad/s)2
2(314 rad)= -6.29 rad/s2
R
o=600 rpm
f=0 rpm
q =50rev2 rad 1 min
600 62.8 rad/smin 1 rev 60 s
rev
50 rev = 314 rad
Estrategia para resolucin de
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Estrategia para resolucin deproblemas:
Dibuje y etiquete bosquejo de problema. Indique direccin + de rotacin.
Mencione lo dado y establezca lo que debe
encontrar.Dado: ____, _____, _____ (q,o,f,,t)
Encontrar: ____, _____ Selecciones la ecuacin que contenga una
y no la otra de las cantidadesdesconocidas y resuelva para la incgnita.
Ejemplo 6: Un tambor rota en sentido de lasill d l l j i i i l t 100
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manecillas del reloj inicialmente a 100 rpm yexperimenta una aceleracin constante endireccin contraria de 3 rad/s2 durante 2 s. Cul
es el desplazamiento angular?
q = -14.9 rad
Dado:o= -100 rpm; t =2 s= +3 rad/s2
2 21 12 2
( 10.5)(2) (3)(2)ot tq
rev 1 min 2 rad100 10.5 rad/smin 60 s 1 rev
q= -20.9 rad + 6 rad
El desplazamiento neto es en
direccin de las manecilla del reloj (-)
R
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CONCLUSIN C l 9B
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CONCLUSIN: Captulo 9BMovimiento Angular
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2012, Rafael Guzmn M.
Captulo 9C.
Rotacin de cuerpo rgido
Obj ti D d
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Objetivos: Despus decompletar este mdulo, deber:
Definir y calcular el momento de inercia parasistemas simples.
Definir y aplicar los conceptos de segunda ley deNewton, energa cintica rotacional, trabajorotacional, potencia rotacional y cantidad demovimiento rotacional a la solucin de problemasfsicos.
Aplicar principios de conservacin de energa ycantidad de movimiento a problemas queinvolucran rotacin de cuerpos rgidos.
d
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Inercia de rotacin
Considere la segunda ley de Newton para que la inercia derotacin se modele a partir de la ley de traslacin.
F = 20 N
a = 4m/s2
Inercia lineal, m
m = =5kg24 N4 m/s2
F = 20 NR = 0.5 m
= 2 rad/s2
Inercia rotacional, I
I = = =2.5kg m2
(20 N)(0.5 m)
4 m/s2
t
La fuerza hace para la traslacin lo que el momento detorsin hace para la rotacin:
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Ejemplo 1: Cul es la energa cintica
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Ejemplo 1: Cul es la energa cinticarotacional del dispositivo que semuestra si rota con rapidez constantede 600 rpm?
3 kg2 kg
1 kg1 m
2 m
3 m
Primero: I= SmR2
I = (3 kg)(1 m)2
+ (2 kg)(3 m)2+ (1 kg)(2 m)2
I = 25 kg m2 = 600rpm = 62.8 rad/s
K = Iw2=(25 kg m2)(62.8 rad/s) 2
K = 49,300 J
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Inercias rotacionales comunes
213I mL
2112I mL
L L
R R R
I = mR2 I = mR2 225I mRAro Disco o cilindro Esfera slida
Ejemplo 2: Un aro circular y un disco
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j p ytienen cada uno una masa de 3 kg y unradio de 20 cm. Compare sus inercias
rotacionales. R
I = mR2
Aro
R
I = mR2
Disco
2 2(3 kg)(0.2 m)I mR
2 21 12 2
(3 kg)(0.2 m)I mR
I =0.120 kg m2
I =0.0600 kg m2
Analogas importantes
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Analogas importantesPara muchos problemas que involucran rotacin,
hay una analoga extrada del movimiento lineal.
xf
R
4kg
t
o 50 rad/s
t = 40 N m
Una fuerza resultanteFproduce aceleracin
negativa a para unamasa m.
F ma
Im
Un momento de torsinresultante tproduceaceleracin angular de
disco con inercia rotacionalI.
It
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Segunda ley de rotacin de Newton
R
4kg
F o 50 rad/s
R = 0.20 m
F = 40 Nt= I
Cuntas revolucionesrequiere paradetenerse?
FR = (mR2)
2 2(40N)
(4 kg)(0.2 m)
F
mR
= 100rad/s2
2q f2 - o20
2 2
02
(50 rad/s)
2 2(100 rad/s )
q
q = 12.5 rad = 1.99 rev
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Trabajo y potencia para rotacin
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Trabajo y potencia para rotacin
Trabajo = Fs = FRqq
F
F
s
s = Rq
t FR
Trabajo = tq
Potencia = =Trabajot
tq
t =q
t
Potencia = Momento de torsin x velocidad angular promedio
Potencia = t
Ejemplo 4: El disco rotatorio tieneun radio de 40 cm y una masa de
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un radio de 40 cm y una masa de6 kg. Encuentre el trabajo y lapotencia si la masa de 2 kg se
eleva 20 m en 4 s.q
F
F=W
s
s = 20 m
2 kg 6 kgTrabajo = tq = FRq
Trabajo = (19.6 N)(0.4 m)(50 rad)
sRq = = = 50 rad
20 m0.4 m
Trabajo = 392 J
F = mg= (2 kg)(9.8 m/s2); F = 19.6 N
Potencia = =Trabajo
t392 J
4s Potencia = 98 W
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El teorema trabajo-energa
Recuerde para movimiento lineal que el trabajorealizado es igual al cambio en energa cinticalineal:
2 2
0 fFx mv mv
Al usar analogas angulares, se encuentra que eltrabajo rotacional es igual al cambio en energacintica rotacional:
2 2
0 fI Itq
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Aplicacin del teorema trabajo-energa:
Trabajo= DKr
Qu trabajo se necesitapara detener la rueda
que rota? R
4kg
F o 60 rad/s
R = 0.30 m
F = 40 N
Primero encuentre Ipara rueda: I = mR2= (4 kg)(0.3 m)2= 0.36 kg m2
2 2
0 fI Itq Trabajo = -Io2
Trabajo = -(0.36 kg m2)(60 rad/s)2 Trabajo = -648 J
0
Rotacin y traslacin combinadas
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Rotacin y traslacin combinadas
vcm
vcm
vcm
Primero considere un disco que sedesliza sin friccin. La velocidad decualquier parte es igual a lavelocidad vcmdel centro de masa.
vR
P
Ahora considere una bola que ruedasin deslizar. La velocidad angular en torno al punto P es igual que para el disco, as que se escribe:
Ov
R v R
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Dos tipos de energa cintica
vR
P
Energa cinticade traslacin: K = mv
2
Energa cinticade rotacin: K = I2
Energa cintica total de un objeto que rueda:
2 21 12 2T
K mv I
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Conversiones angular/linealEn muchas aplicaciones, debe resolver unaecuacin con parmetros angulares y lineales. Esnecesario recordar los puentes:
Desplazamiento:s
s RR
q q
Velocidad:
vv R
R
Aceleracin: v R aR
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Traslacin o rotacin?Si debe resolver un parmetro lineal, debe convertirtodos los trminos angulares a trminos lineales:
Si debe resolver un parmetro angular, debeconvertir todos los trminos lineales a trminos
angulares:
a R
s
Rq
v
R2
(?)I mR
s Rq v R v R
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Ejemplo (a): Encuentre la velocidad vde un
disco dada su energa cintica total E.Energa total: E = mv2 + I2
2 2 21 1 1
2 2 2; ;
v
E mv I I mR R
2
2 2 2 21 1 1 1 12 2 2 2 42
;v
E mv mR E mv mvR
23 4or
4 3
mv EE v
m
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Ejemplo (b) Encuentre la velocidad angular
de un disco dada su energa cintica total E.Energa total: E = mv2 + I2
2 2 21 1 12 2 2; ;E mv I I mR v R
2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 12 2 2 2 4( ) ;E m R mR E mR mR
2 2
2
3 4or
4 3
mR EE
mR
E t t i bl
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Estrategia para problemas
Dibuje y etiquete un bosquejo del problema.
Mencione lo dado y establezca lo que debeencontrar.
Escriba frmulas para encontrar los momentosde inercia de cada cuerpo que rota.
Recuerde conceptos involucrados (potencia,
energa, trabajo, conservacin, etc.) y escribauna ecuacin que involucre la cantidaddesconocida.
Resuelva para la cantidad desconocida.
Ejemplo 5: Un aro y un disco circulares,d l i di
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cada uno con la misma masa y radio,ruedan con rapidez lineal v. Compare sus
energas cinticas.
v vDos tipos de energa:
KT
= mv2 Kr
= I2
Energa total: E = mv2 + I2 =v
R
22 2
2
v
E mv mR R
Disco: E = mv2
2
2 2
2
vE mv mR
R
Aro: E = mv2
Conservacin de energa
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Conservacin de energa
La energa total todava se conservapara sistemas en rotacin y traslacin.
Inicio: (U + Kt+ KR)o= Fin: (U +Kt+ KR)f
mgho
Io2
mvo2=
mghf
If2
mvf2
Altura?
Rotacin?
Velocidad?
Altura?
Rotacin?
Velocidad?
Sin embargo, ahora debe considerar la rotacin.
Ejemplo 6: Encuentre la velocidad de la masa
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Ejemplo 6: Encuentre la velocidad de la masade 2 kg justo antes de golpear el suelo.
h = 10 m
6 kg
2 kg
R = 50 cm
mgho
Io2
mvo2
=mghf
If2
mvf2
2
2 21 1 10 2 2 2 2
( ) vmgh mv MRR
2.5v2 = 196 m2/s2
v = 8.85 m/s
2 21 10 2 2
mgh mv I 212
I MR
2 21 12 4
(2)(9.8)(10) (2) (6)v v
Ejemplo 7: Un aro y un disco ruedan desdel lt d l i li d C l
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lo alto de un plano inclinado. Cules sonsus rapideces en el fondo si la altura inicial
es 20 m?
20 m
mgho = mv2 + I2 Aro: I = mR2
22 2
0 2 ( )
vmgh mv mR
R
v = 16.2 m/s
22 2
0 2 ( )
vmgh mv mR
R
mgho = mv2 + mv2; mgho = mv
2
2
0 (9.8 m/s )(20 m)v gh v = 14 m/sAro:
mgho = mv2 + I2Disco: I = mR2; 43 0v gh
Definicin de cantidad dei i t l
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movimiento angular
m2
m3
m4
m
m1
eje
v = r
Objeto que rota con constante.
Considere una partcula mquese mueve con velocidad venun crculo de radio r.
Defina cantidad demovimiento angular L:
L = mvr
L = m(r) r = mr2
Al sustituir v=r, da:
Para cuerpo extendido enrotacin:
L = (Smr2)
Dado que I = Smr2, se tiene:
L = I
Cantidad demovimiento angular
Ejemplo 8: Encuentre la cantidad demovimiento angular de una barra L= 2 m
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movimiento angular de una barradelgada de 4 kg y 2 m de longitudsi rota en torno a su punto mediocon una rapidez de 300 rpm. m= 4 kg
I = 1.33 kg m2
rev 2 rad 1 min300 31.4 rad/smin 1 rev 60 s
L = I (1.33 kg m2)(31.4 rad/s)2
L= 1315 kg m2/s
22 m)kg)(2(412
1
12
1:barraPara mLI
Impulso y cantidad de
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Impulso y cantidad demovimiento
Recuerde que, para movimiento lineal, el impulsolineal es igual al cambio en cantidad de movimientolineal:
0fF t mv mvD
Al usar analogas angulares, se encuentra que elimpulso angular es igual al cambio en cantidad demovimiento angular :
0ft I It D
Ejemplo 9: Una fuerza de 200 N se aplica alborde de una rueda libre para girar. La fuerza
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bo de de u a ueda b e pa a g a a ue aacta durante 0.002 s. Cul es la velocidadangular final?
R
2kg
F
o 0 rad/sR= 0.40 m
F= 200 N
D t = 0.002 s
Momento de torsinaplicado t FR
I = mR2= (2 kg)(0.4 m)2
I= 0.32 kg m2
Impulso = cambio en cantidad de movimiento angular
t Dt = If Io
0
FRDt = If
f= 0.5 rad/s
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Resumen Analogas rotacionales
Cantidad Lineal RotacionalDesplazamiento Desplazamiento x Radianes q
Inercia Masa (kg) I (kgm2)
Fuerza Newtons N Momento detorsin Nm
Velocidad v m/s Rad/s
Aceleracin a m/s2 Rad/s2
Cantidad demovimiento
mv(kg m/s) I(kgm2rad/s)
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Frmulas anlogas
Movimiento lineal Movimiento rotacional
F = ma t=I
K = mv2
K = I2
Trabajo=Fx Trabajo =tq
Potencia = Fv Potencia = I
Fx = mvf2 -mvo
2 tq = If2 - Io
2
Resumen de frmulas:2
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I = SmR2
2 2
0 fI Itq
mgho
Io2
mvo2=
mghf
If2
mvf2
Altura?
Rotacin?
Velocidad?
Altura?
Rotacin?
Velocidad?
212
K I o o f f I I Trabajo = tq
ttq
t
Potencia
CONCLUSIN: Captulo 9C
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CONCLUSIN: Captulo 9CRotacin de cuerpo rgido