Capítulo 26A - Capítulo 26A - CapacitanciaCapacitancia
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Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State Southern Polytechnic State UniversityUniversity© 2007
Objetivos: Objetivos: Después de Después de completar este módulo completar este módulo
deberá:deberá:• Definir la Definir la capacitanciacapacitancia en términos de en términos de
carga y voltaje, y calcular la carga y voltaje, y calcular la capacitancia para un capacitancia para un capacitor de capacitor de placas paralelasplacas paralelas dados la separación y dados la separación y el área de las placas.el área de las placas.
• Definir la Definir la constante dieléctricaconstante dieléctrica y y aplicarla a cálculos de voltaje, aplicarla a cálculos de voltaje, intensidad de campo eléctrico y intensidad de campo eléctrico y capacitancia.capacitancia.
• Encontrar la Encontrar la energía potencialenergía potencial almacenada en capacitores.almacenada en capacitores.
Máxima carga sobre un Máxima carga sobre un conductorconductor
TierraBatería Conductor
- - - - ---- -- - - - -e-e-
Una Una bateríabatería establece una diferencia de potencial que establece una diferencia de potencial que puede bombear electrones puede bombear electrones ee-- de una de una tierratierra (Tierra) a un (Tierra) a un conductorconductor
Existe un límite a la cantidad de carga que un conductor puede retener sin fuga al aire. Existe
cierta capacidad para retener carga.
Existe un límite a la cantidad de carga que un conductor puede retener sin fuga al aire. Existe
cierta capacidad para retener carga.
CapacitanciaCapacitancia
La capacitancia C de un conductor se define como la razón de la carga Q en el conductor al potencial V producido.
La capacitancia C de un conductor se define como la razón de la carga Q en el conductor al potencial V producido.
TierraBatería Conductor
- - - - ---- -- - - - -e-e-
Capacitancia:
Q, V
Unidades: Coulombs por voltVQ
C
Capacitancia en faradsCapacitancia en farads
Un Un farad (F)farad (F) es la capacitancia es la capacitancia CC de un conductor que de un conductor que retiene un coulomb de carga por cada volt de potencial.retiene un coulomb de carga por cada volt de potencial.
(C); (F)
(V)
Q coulombC farad
V volt
(C); (F)
(V)
Q coulombC farad
V volt
Ejemplo:Ejemplo: Cuando 40 Cuando 40 C de carga se colocan en un C de carga se colocan en un conductor, el potencial es 8 V. ¿Cuál es la conductor, el potencial es 8 V. ¿Cuál es la capacitancia?capacitancia?
40 C
8 V
QC
V
C = 5 FC = 5 F
Capacitancia de conductor Capacitancia de conductor esféricoesférico
+Qr
E y V en la superficie.
En la superficie de la esfera:En la superficie de la esfera:
2;
kQ kQE V
r r 2
; kQ kQ
E Vr r
0
1
4k
Recuerde:Recuerde:
04
kQ QV
r r Y:Y: Capacitancia:Capacitancia:
QC
V
04
Q QC
V Q r
04C r 04C r
Capacitancia, C
Ejemplo 1:Ejemplo 1: ¿Cuál es la ¿Cuál es la capacitancia de una esfera capacitancia de una esfera metálica de 8 cm de radio?metálica de 8 cm de radio?
r = 0.08 m
Capacitancia, C
+Qr
Capacitancia: C = 4Capacitancia: C = 4rr
2-12 C
N m4 (8.85 x 10 )(0.08 m)C
C = 8.90 x 10-12 FC = 8.90 x 10-12 F
Nota: La capacitancia sólo depende de parámetros físicos (el radio r) y no está determinada o por la carga o por el potencial. Esto es cierto para todos los capacitores.
Nota: La capacitancia sólo depende de parámetros físicos (el radio r) y no está determinada o por la carga o por el potencial. Esto es cierto para todos los capacitores.
(8.90 pF)(400 V)Q
Q = 3.56 nCQ = 3.56 nCCarga total sobre el conductor:Carga total sobre el conductor:
Ejemplo 1 (Cont.):Ejemplo 1 (Cont.): ¿Qué carga Q se ¿Qué carga Q se necesita para dar un potencial de 400 V?necesita para dar un potencial de 400 V?
r = 0.08 m
Capacitancia, C
+Qr
C = 8.90 x 10-12 FC = 8.90 x 10-12 F
; Q
C Q CVV
Nota: El farad (F) y el coulomb (C) son unidades extremadamente grandes para electricidad estática. Con frecuencia se usan los prefijos micro , nano n y pico p.
Nota: El farad (F) y el coulomb (C) son unidades extremadamente grandes para electricidad estática. Con frecuencia se usan los prefijos micro , nano n y pico p.
Rigidez dieléctricaRigidez dieléctricaLa La rigidez dieléctricarigidez dieléctrica de un material es de un material es aquella intensidad eléctrica aquella intensidad eléctrica EEmm para la para la que el material se convierte en que el material se convierte en conductor. (Fuga de carga.)conductor. (Fuga de carga.)
rQ
Dieléctrico
EEmm varía considerablemente varía considerablemente
con condiciones físicas y con condiciones físicas y ambientales como presión, ambientales como presión, humedad y superficies. humedad y superficies.
Para el aire: Em = 3 x 106 N/C para superficies esféricas y tan bajo como 0.8 x 106 N/C para puntos agudos.
Para el aire: Em = 3 x 106 N/C para superficies esféricas y tan bajo como 0.8 x 106 N/C para puntos agudos.
Ejemplo 2:Ejemplo 2: ¿Cuál es la carga máxima ¿Cuál es la carga máxima que se puede colocar en una superficie que se puede colocar en una superficie esférica de un metro de diámetro? (R = esférica de un metro de diámetro? (R = 0.50 m)0.50 m)
rQ
Em = 3 x 106 N/C
Máxima Q
Aire
2
2; m
m
E rkQE Q
r k
2
2
6 2NC
9 NmC
(3 x 10 )(0.50 m)
9 x 10Q
Carga máxima en aire:Carga máxima en aire: Qm = 83.3 CQm = 83.3 C
Esto ilustra el gran tamaño del coulomb como unidad en aplicaciones electrostáticas.
Esto ilustra el gran tamaño del coulomb como unidad en aplicaciones electrostáticas.
Capacitancia y formasCapacitancia y formasLa densidad de carga sobre una superficie se La densidad de carga sobre una superficie se afecta significativamente por la afecta significativamente por la curvaturacurvatura. La . La densidad de carga es mayor donde la densidad de carga es mayor donde la curvatura es mayor.curvatura es mayor.
+ + + ++++ + + +
++++
+++++++
++
++
+++
+
La fuga (llamada descarga corona) ocurre con frecuencia en puntos agudos donde la curvatura r es más grande.
La fuga (llamada descarga corona) ocurre con frecuencia en puntos agudos donde la curvatura r es más grande.
2m
m
kQE
r 2
mm
kQE
r
Capacitancia de placas Capacitancia de placas paralelasparalelas
d
Área A+Q
-Q
Recordará que, de la ley de Gauss, Recordará que, de la ley de Gauss, EE también es:también es:
0 0
QE
A
0 0
QE
A
QQ es la carga en cualquier es la carga en cualquier placa. placa. AA es el área de la es el área de la placa.placa.
0
V QE
d A yy
0
Q AC
V d 0
Q AC
V d
Para estas dos placas paralelas:
dV
Ey VQ
C
Ejemplo 3.Ejemplo 3. Las placas de un Las placas de un capacitor de placas paralelas capacitor de placas paralelas tienen una área de 0.4 mtienen una área de 0.4 m22 y están y están separadas 3 mm en aire. ¿Cuál es separadas 3 mm en aire. ¿Cuál es la capacitancia?la capacitancia?
3 mmd
A
0.4 m2
0
Q AC
V d 0
Q AC
V d
2
2
-12 2CNm
(8.85 x 10 )(0.4 m )
(0.003 m)C
C = 1.18 nFC = 1.18 nF
Aplicaciones de los Aplicaciones de los capacitorescapacitores
+++++++
-
-
---
-- A
Capacitor variable
Área cambiante
0
AC
d 0
AC
d
d
d cambiante
micrófono
QV
C
QV
C
Un Un micrófonomicrófono convierte las ondas sonoras en una convierte las ondas sonoras en una señal eléctrica (voltaje variable) al cambiar señal eléctrica (voltaje variable) al cambiar dd..
El El sintonizadorsintonizador en un radio es un en un radio es un capacitor variablecapacitor variable. El . El área cambiante área cambiante A A altera la capacitancia hasta que se altera la capacitancia hasta que se obtiene la señal deseada.obtiene la señal deseada.
Materiales dieléctricosMateriales dieléctricosLa mayoría de los capacitores tienen un La mayoría de los capacitores tienen un material dieléctrico material dieléctrico entre sus placas para proporcionar mayor entre sus placas para proporcionar mayor rigidez dieléctricarigidez dieléctrica y menos probabilidad de descarga eléctrica.y menos probabilidad de descarga eléctrica.
La separación de la carga dieléctrica permite que más carga La separación de la carga dieléctrica permite que más carga se coloque en las placas; se coloque en las placas; mayor capacitanciamayor capacitancia C > C C > Coo..
++++++
------
aireaire
CCoo
EEoo
++++++
------
- +- +- +- +- +- +
C > CC > Coo
E < EE < Eoo
++++++
------
- + - +- + - +- + - +- + - +- + - +- + - +
dieléctricodieléctrico
EE reducido reducido
• Menor separación de placas sin contacto.Menor separación de placas sin contacto.
• Aumenta la capacitancia de un capacitor.Aumenta la capacitancia de un capacitor.
• Se pueden usar voltajes más altos sin Se pueden usar voltajes más altos sin descarga disruptiva.descarga disruptiva.
• Con frecuencia permite mayor resistencia Con frecuencia permite mayor resistencia mecánica.mecánica.
• Menor separación de placas sin contacto.Menor separación de placas sin contacto.
• Aumenta la capacitancia de un capacitor.Aumenta la capacitancia de un capacitor.
• Se pueden usar voltajes más altos sin Se pueden usar voltajes más altos sin descarga disruptiva.descarga disruptiva.
• Con frecuencia permite mayor resistencia Con frecuencia permite mayor resistencia mecánica.mecánica.
Ventajas de los dieléctricosVentajas de los dieléctricos
Inserción de dieléctricoInserción de dieléctrico
+++
+++Co Vo Eo
+Q
-Q
++
+Q
-Q
dieléctricoaire
Aumenta permitividad> o
Aumenta capacitanciaC > Co
Disminuye el voltajeV < Vo
Disminuye el campoE < Eo
Inserción de dieléctrico
Igual QQ = Qo
C V E
Constante dieléctrica, KConstante dieléctrica, KLa La constante dieléctrica Kconstante dieléctrica K para un material para un material es la razón de la capacitancia es la razón de la capacitancia CC con este con este material a la capacitancia material a la capacitancia CCoo en el vacío. en el vacío.
Constante dieléctrica: K = 1 para el aire
Constante dieléctrica: K = 1 para el aire
0
CK
C
0
CK
C
K también se puede dar en términos de K también se puede dar en términos de voltaje voltaje VV, intensidad de campo eléctrico , intensidad de campo eléctrico EE o o permitividad permitividad ::
0 0
0
V EK
V E
0 0
0
V EK
V E
La permitividad de un La permitividad de un mediomedio
La capacitancia de un capacitor de placas La capacitancia de un capacitor de placas paralelas con un dieléctrico se puede paralelas con un dieléctrico se puede encontrar de:encontrar de:
0 0 or or A A
C KC C K Cd d
0 0 or or A A
C KC C K Cd d
La constante La constante es la es la permitividadpermitividad del medio del medio que relaciona la densidad de las líneas de que relaciona la densidad de las líneas de campo.campo.
2
2
-12 C0 0 Nm; 8.85 x 10K
2
2
-12 C0 0 Nm; 8.85 x 10K
Ejemplo 4: Ejemplo 4: Encuentre la capacitancia Encuentre la capacitancia CC y y la carga la carga QQ si se conecta a una batería de si se conecta a una batería de 200-V200-V. Suponga que la constante . Suponga que la constante dieléctrica es dieléctrica es K = 5.0K = 5.0. .
2 mmd
A
0.5 m2
5(8.85 x 10-12C/Nm2)44.25 x 1044.25 x 10-12-12 C/Nm C/Nm22
2
2
-12 2CNm
(44.25 x 10 )(0.5 m )
0.002 m
AC
d
C = 11.1 nFC = 11.1 nF
¿Q si se conecta a V = 200 V?¿Q si se conecta a V = 200 V?
Q = CV = (11.1 nF)(200 Q = CV = (11.1 nF)(200 V)V)
Q = 2.22 CQ = 2.22 C
Ejemplo 4 (Cont.): Ejemplo 4 (Cont.): Encuentre el campo Encuentre el campo E E entre las placas. Recuerde entre las placas. Recuerde Q = 2.22 Q = 2.22 C; C; VV = 200 V= 200 V. .
44.25 x 1044.25 x 10-12-12 C/Nm C/Nm22
2
2
-6
-12 2
2.22 x 10 C
(44.25 x 10 )(0.5 m )CNm
E
E = 100 N/CE = 100 N/C
Dado que Dado que V = 200 VV = 200 V, el mismo resultado se , el mismo resultado se encuentra si encuentra si E = V/dE = V/d se usa para encontrar el se usa para encontrar el campo.campo.
2 mmd
A
0.5 m2
200 V
AQ
EGauss deLey
Ejemplo 5:Ejemplo 5: Un capacitor tiene una Un capacitor tiene una capacitancia de capacitancia de 66FF con aire como con aire como dieléctrico. Una batería carga el capacitor a dieléctrico. Una batería carga el capacitor a 400 V400 V y luego se desconecta. ¿Cuál es el y luego se desconecta. ¿Cuál es el nuevo voltaje si se inserta una hoja de of nuevo voltaje si se inserta una hoja de of mica (mica (K = 5K = 5)? ¿Cuál es la nueva capacitancia )? ¿Cuál es la nueva capacitancia C C ??
0 0
0
; V VC
K VC V K
400 V;
5V V = 80.0
VV = 80.0 V
C = KcC = Kcoo = = 5(6 5(6 F)F)
C = 30 FC = 30 F
VVoo = 400 V = 400 V
Mica, K = 5
Dieléctrico Dieléctrico aireaire
Dieléctrico Dieléctrico micamica
Ejemplo 5 (Cont.):Ejemplo 5 (Cont.): Si la batería de Si la batería de 400 V400 V se reconecta después de insertar la mica, se reconecta después de insertar la mica, ¿qué carga ¿qué carga adicionaladicional se agregará a las se agregará a las placas debido a la placas debido a la CC aumentada? aumentada?
QQ00 = C = C00VV00 = = (6 (6 F)(400 F)(400 V)V)
Q = 9.60 mCQ = 9.60 mC
VVoo = 400 V = 400 V
Mica, K = 5
Aire CAire Coo = 6 = 6 F
Mica C = 30 Mica C = 30 F
QQ00 = 2400 = 2400 CC
Q = CV = Q = CV = (30 (30 F)(400 F)(400 V)V)
Q = 12,000 Q = 12,000 CC
Q = 12,000 Q = 12,000 C – 2400 C – 2400 CC
Q = Q = 9600 9600 CC
Energía de capacitor Energía de capacitor cargadocargado
La La energía potencial Uenergía potencial U de un de un capacitor cargado es igual al capacitor cargado es igual al trabajo (trabajo (qVqV) que se requiere para ) que se requiere para cargar el capacitor.cargar el capacitor.Si se considera que la diferencia Si se considera que la diferencia de potencial promedio de 0 a Vde potencial promedio de 0 a Vf f es es V/2V/2::
Trabajo = Q(V/2) = ½QVTrabajo = Q(V/2) = ½QV
221 1
2 2; ; 2
QU QV U CV U
C
221 1
2 2; ; 2
QU QV U CV U
C
Ejemplo 6:Ejemplo 6: En el Ej. 4 se encontró que la En el Ej. 4 se encontró que la capacitancia era be capacitancia era be 11.1 nF11.1 nF, el voltaje , el voltaje 200 200 VV y la carga y la carga 2.22 2.22 CC. Encuentre la energía . Encuentre la energía potencial potencial UU..
212 (11.1 nF)(200 V)U
U = 222 JU = 222 J
212U CV
212U CV
Verifique su respuesta Verifique su respuesta con las otras fórmulas con las otras fórmulas para E.P.para E.P.
2
12 ;
2
QU QV U
C
2
12 ;
2
QU QV U
C
C = 11.1 nF
200 V
Q = 2.22 C
U = ¿?
Capacitor Capacitor del ejemplo del ejemplo 55..
Densidad de energía para Densidad de energía para capacitorcapacitor
La La densidad de energía udensidad de energía u es la energía por unidad es la energía por unidad de volumen (de volumen (J/mJ/m33). Para un capacitor de área ). Para un capacitor de área AA y y separación separación dd, la densidad de energía , la densidad de energía u u se se encuentra del modo siguiente:encuentra del modo siguiente:
Densidad de Densidad de energía energía u u para un para un
campo E:campo E:AA dd .
U Uu
Vol Ad
2 201 12 2 ( )
AU CV Ed
d
2102 AdEU
uAd Ad
Densidad de energía u:
2102u E
:y Recuerde 0 EdVd
AC
Resumen de fórmulasResumen de fórmulas
(C); (F)
(V)
Q coulombC farad
V volt
(C); (F)
(V)
Q coulombC farad
V volt
04C r 04C r0
Q AC K
V d 0
Q AC K
V d
0 0
0 0
V ECK
C V E
0 0
0 0
V ECK
C V E
221 1
2 2; ; 2
QU QV U CV U
C
221 1
2 2; ; 2
QU QV U CV U
C
2102u E 21
02u E
CONCLUSIÓN: Capítulo 25CONCLUSIÓN: Capítulo 25CapacitanciaCapacitancia