MODELAMIENTO Y ANALISIS TRANSITORIO DE
MAQUINAS ELECTRICAS
OBJETIVO
Presentar al asistente los conceptos básicos para realizar el modelamiento requerido
en el análisis transitorio y control de las máquinas eléctricas. En el caso de las
máquinas de corriente alterna se ofrece la orientación para la obtención de los
modelos, utilizados, en los análisis de fallas y estabilidad en sistemas eléctricos de
potencia.
SUPUESTOS PARA EL MODELAMIENTO DE LA MAQUINA ELÉCTRICA
La máquina eléctrica es un dispositivo electromagnético, constituido por un circuito
magnético y circuitos eléctricos. Una parte del circuito magnético tiene movimiento y
constituye lo primordial del sistema mecánico de toda máquina eléctrica (M.E.).
En la máquina eléctrica ocurre una complicada superposición de fenómenos físicos:
térmicos, mecánicos, magnéticos, etc. Dentro del fenómeno magnético se tiene el
problema de la dispersión y desde luego la saturación.
Por esta superposición de efectos, los parámetros que permiten describir
matemáticamente a la M. E., dependen del régimen actual de operación, es decir de
las corrientes en los circuitos eléctricos.
Por las razones mencionadas, el problema analítico es prácticamente inmodelable y es
necesario utilizar (incorporar) aproximaciones, separando los factores principales y
dejando de lado los que tengan menor participación o influencia en lo que se busca del
modelo. Estas aproximaciones hacen viable, es decir, permiten llevar a cabo el
modelamiento de las M.E.
En la máquina eléctrica ideal se cumple que:
1. No hay saturación, ni histéresis, ni pérdidas magnéticas: Este supuesto
permite utilizar una dependencia lineal entre el "flujo magnético" y la fuerza
magnetomotriz "f.m.m" (circuito magnético lineal), y de ese modo es posible
aplicar el Principio de la Superposición. Como las pérdidas magnéticas son
despreciables, el flujo magnético y la f.m.m. correspondiente están en fase con
la corriente magnetizante.
a. Si fuera necesario considerar este efecto en el estudio de la M.E. ideal
se corrigen algunos parámetros o se introducen correcciones en los
resultados finales. La incorporación de la saturación es necesaria en el
análisis de transitorios que involucren grandes variaciones en la
permeabilidad del circuito magnético como por ejemplo en el estudio de
transitorios de autoexcitación, también la saturación del camino del flujo
de dispersión en el arranque de motores, etc.
b. Para el análisis de procesos transitorios de pequeña envergadura
alrededor de cierto régimen de operación, no es necesario corregir los
parámetros.
2. La distribución espacial de la f.m.m. y el campo magnético tiene forma
cosenoidal: Este supuesto posibilita despreciar los componentes superiores
de la f.m.m. (armónicos espaciales) y del campo magnético (armónicos
dentales). Esta aproximación facilita notablemente la descripción matemática y
el estudio de las máquinas eléctricas. El efecto de los armónicos superiores
del flujo, de ser necesario, se podría tomar en cuenta en los cálculos variando
la magnitud de la reactancia de dispersión de los devanados.
3. El efecto skin es despreciable y las reactancias de dispersión no
dependen de la posición del rotor: Por el segundo supuesto la M.E. puede
ser tratada como un conjunto de bobinas o circuitos acoplados en diferente
forma. Los parámetros eléctricos que identifican a tales circuitos son
resistencias, e inductancias propias y mutuas (que pueden ser constantes o
variables con la posición del rotor).
Asimismo el sistema mecánico puede ser representado por el momento de
inercia y un coeficiente de fricción.
CONVECCIONES PARA LA DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS M.E.
1. La f.m.m. producida al excitar una bobina tiene su máximo en la dirección en
que circula la corriente. La dirección de este máximo, define el eje magnético
de la bobina.
2. Es positiva la velocidad mecánica antihoraria.
3. Todas las potencias que ingresan a la maquina, por los bornes o por el eje son
positivas.
ECUACIÓN MECÁNICA O DE MOVIMIENTO DEL ROTOR
Para el planteamiento de la ecuación de movimiento del rotor es necesario considerar
el efecto del torque externo aplicado al eje por el motor primo, si se trata de un
generador; o por la carga mecánica, si se trata de un motor.
A este torque externo se le puede denominar genéricamente Text y Te es el torque
electromagnético producido por la máquina.
De acuerdo con la convención “todas las potencias que ingresan a la máquina por los
bornes o por el eje, son positivas", se obtiene:
CAPITULO 1
LA MÁQUINA GENERALIZADA DE CONMUTADOR
La máquina generalizada de conmutador (MGC) es la “herramienta” que será utilizada
para la descripción matemática de todas las máquinas eléctricas que poseen
conmutador, tiene las siguientes características básicas:
(1) Es de 2 polos y tiene saliencia en el estator tal como se muestra en
la Figura 1.1.
Figura 1.1 Estator de MGC
(2) El estator posee dos devanados, que se representan por las bobinas
concentradas D y Q, y sus ejes magnéticos están en cuadratura. El número de
vueltas de cada bobina es y , respectivamente.
(3) El rotor tiene un devanado de conmutador (de doble capa, cerrado a
través de las delgas del conmutador) con dos juegos de escobillas: uno en el
eje directo y el otro en el eje cuadratura (Figura 1.2). Por las propiedades del
devanado de conmutador, en el rotor “se identifica dos circuitos” ó “bobinas
seudoestacionarias” de iguales características. En número de vueltas entre
cada par de escobillas es Nd y N
q, respectivamente.
(4) Las dimensiones fundamentales de la máquina son: diámetro
interno del estator (D), longitud del paquete magnético (l) y “g” el entrehierro
frente a cada polo.
Figura 1.2 Rotor de la MGC
En la Figura 1.3 se muestra el “modelo circuital” de la MGC, considerando sentido
positivo para la velocidad del rotor y la polaridad de las tensiones en las bobinas es tal
que la potencia eléctrica ingresa por los bornes de la máquina.
Figura 1.3 Modelo circuital de la MGC
1.1 PARÁMETROS DE LA MGC
Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento de la MGC en todo
régimen de operación tendrán como coeficientes sus parámetros eléctricos y
mecánicos. Debe recordarse que estas ecuaciones eléctricas serán utilizadas para la
descripción matemática de las máquinas industriales de conmutador.
En este acápite se muestran las expresiones básicas de los parámetros en función de
sus dimensiones. Se recomienda que los parámetros de las máquinas industriales de
conmutador, se obtengan a partir de ensayos.
Resistencias
La resistencia de un devanado ó circuito depende de la resistividad del conductor, la
longitud de la espira media, el número de vueltas y de la sección del conductor.
Las resistencias de cada devanado de la MGC serán:
Inductancias propias y mutuas
Para el cálculo de la inductancia propia de un devanado de MGC, en función de las
dimensiones básicas, se supone que éste es el único que se encuentra excitado con
una cierta corriente instantánea que origina un campo magnético cuyas líneas de flujo
concatena con las espiras del mismo devanado.
Este campo magnético tiene dos componentes: el magnetizante y el campo de
dispersión; cada componente está asociada a una inductancia y la suma es la
inductancia propia del devanado.
La inductancia que se asocia al flujo concatenado entre un devanado cualquiera de la
máquina, que recibe la acción del flujo magnetizante, y el devanado excitado que
produce el campo, se denomina inductancia mutua.
Para el cálculo de estas inductancias es cómodo suponer que el rotor está inmóvil.
1.1 Excitando solamente el devanado “D” con una corriente instantánea “ ” y
considerando la aproximación del circuito magnético de la MGC tal como se
muestra en la Figura 1.4.
Figura 1.4 Circuito magnético, fuerza magnetomotriz y campo magnético a lo largo del eje directo
: valor máximo de la f.m.m. del devanado D
: Valor máximo del campo magnético considerando uniforme el entrehierro,
dado por
: Valor máximo del armónico fundamental del campo magnético, dado por
: Factor de forma del campo magnético a lo largo del eje directo
Entonces, el campo magnético a considerar será:
a) El flujo concatenado magnetizante de éste devanado:
: Conductancia magnética a lo largo del eje directo
La inductancia propia magnetizante del devanado D será:
De modo análogo, la inductancia de dispersión se puede expresar como:
: Conductancia de dispersión del devanado D
Entonces la inductancia propia del devanado D:
b) El flujo concatenado con el devanado Q dado por:
Entonces la inductancia mutua
c) El flujo concatenado por el circuito ó devanado entre escobillas en eje directo
resulta:
Entonces, la inductancia mutua entre el devanado D y el circuito entre escobillas en “d”
estará dada por:
d) El flujo concatenado por el circuito entre escobillas en eje cuadratura dado por:
Por lo tanto la inductancia mutua
1.2 Excitando ahora solamente el devanado “Q” con una corriente instantánea “i Q “ y
considerando el circuito magnético de la MGC tal como se muestra en la Figura
1.5.
Figura 1.5 Circuito magnético, fuerza magnetomotriz y campo magnético a lo largo del eje
cuadratura.
: valor máximo de la f.m.m. del devanado Q.
: Valor máximo del campo magnético considerando uniforme el entrecierro,
dado por:
: Valor máximo del armónico fundamental del campo magnético, dado por:
: Factor de forma del campo magnético a lo largo del eje cuadratura.
El campo magnético a considerar será:
a) El flujo concatenado magnetizante de éste devanado:
: Conductancia magnética a lo largo del eje cuadratura
La inductancia propia magnetizante del devanado Q será:
En forma análoga, la inductancia de dispersión se puede escribir como:
: Conductancia de dispersión del devanado Q
Entonces la inductancia propia del devanado Q:
b) El flujo concatenado con el devanado D dado por:
Entonces la inductancia mutua
c) El flujo concatenado por el circuito ó devanado entre escobillas en eje directo:
y
d) El flujo concatenado por el circuito ó devanado entre escobillas en eje cuadratura
resulta:
La inductancia mutua entre el devanado Q y el circuito entre escobillas en “q” es:
1.3 Aplicando procesos similares se puede obtener:
Excitando el circuito entre escobillas en eje directo se obtiene:
, ,
Excitando el circuito entre escobillas en eje cuadratura se obtiene:
,
Donde:
, ,
Inductancias rotacionales
Se produce máxima tensión inducida de tipo rotacional en el circuito establecido entre
un par de escobillas de un devanado de conmutador, cuando se cumple las
condiciones siguientes:
a) El rotor se impulsa a cierta velocidad
b) Existencia de un campo magnético cuyas líneas de fuerza se orienten a lo largo
de un eje magnético que sea perpendicular a la recta que une las escobillas
(Figura 1.6).
En el caso de la figura 1.6 el valor máximo de la tensión inducida entre las
escobillas y con la polaridad indicada es:
Fig. 1.6 Tensión inducida rotacional
: Inductancia rotacional del devanado “y” sobre el circuito entre escobillas
“x”. Está dada por:
Donde: es la conductancia magnetizante a lo largo del eje “y”.
1.4 ECUACIONES ELÉCTRICAS
Las ecuaciones (de tensión) eléctricas de cada devanado (Fig. 1.7) se escriben
considerando los siguientes componentes:
(1) Las tensiones en terminales, las cuales se han elegido de modo que la energía
ingrese al devanado.
(2) La caída de tensión en la resistencia.
(3) La tensión debida al cambio de la corriente en el propio devanado, es la tensión
inducida por el flujo propio.
(4) Las tensiones debidas al cambio de las corrientes en todos los otros
devanados, son las tensiones inducidas por el flujo mutuo.
(5) Las tensiones rotacionales inducidas solo en los circuitos entre escobillas de
los devanados de conmutador.
Fig. 1.7 Modelo de máquina generalizada de conmutador
Por lo tanto las ecuaciones eléctricas de la MGC (con sus bobinas desconectadas)
son:
1.5 TORQUE ELECTROMECÁNICO
Las ecuaciones eléctricas de la MGC pueden escribirse de modo matricial:
Donde:
[v], [i]: vectores de tensión y corriente
[R]: matriz de resistencias;
Diag [R] =
[L] matriz de inductancias
[G]: matriz de inductancias rotacionales
: Velocidad mecánica del rotor
Pre-multiplicando ambos miembros por [i]t se obtiene:
: Potencia eléctrica instantánea entregada a la máquina
: Pérdidas eléctricas en los devanados
: Potencia almacenada en el campo magnético
: Potencia electromagnética (potencia eléctrica convertida en mecánica)
Luego el torque electromagnético resulta:
Reemplazando la matriz de inductancias rotacionales, el torque resulta:
1.6 ECUACIONES DE MÁQUINAS DE CONMUTADOR
a) La máquina de excitación independiente
Para obtener la máquina de excitación independiente solo deben usarse los
devanados D y q de la MGC.
Fig. 1.8 Máquina de excitación independiente
Las ecuaciones eléctricas son:
La ecuación de movimiento del rotor ó ecuación mecánica:
Donde:
Motor de excitación independiente con giro positivo
Si las tensiones aplicadas son: y
Fig. 1.9 Motor de excitación independiente
Al hacer é , y al cambiar los subíndices D por “f” y q por “a” en los
parámetros, se obtiene las siguientes ecuaciones eléctricas:
La ecuación mecánica ( ):
Generador de excitación independiente con giro positivo
Fig. 1.10 Generador de excitación independiente
En éste caso: , ; además
Por lo tanto la ecuación eléctrica será:
La ecuación mecánica:
Motor serie con giro positivo
Fig. 1.11 Motor serie
Si en las ecuaciones del motor de excitación independiente se cambia el subíndice “f”
por “s”, y se reemplaza:
Se obtiene la ecuación eléctrica (E.E.)
La ecuación mecánica (E.M.)
Motor shunt con giro positivo
Fig. 1.12 Motor shunt
Procediendo de modo similar que en los casos anteriores se obtiene:
Generador shunt con giro positivo
Fig. 1.13 Generador shunt
Las ecuaciones resultan:
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