1
Richiami di teoria dei processi di diffusione.QuantoElettroDinamica.
Diffusione elastica elettrone-nucleone; fattori di forma elastici del nucleone.
Capitolo I
Bibliografia: - F.Halzen, A.D.Martin , “Quarks & leptons”, Wiley & Sons, 1984 cap.5, 6, e 8- D.H. Perkins, “Introduction to High Energy Physics”, Addison-Wesley ,1987 cap.6
2
QED : brevi richiami E’ il “prototipo” di teoria quantistica di campo di gauge (basata sul gruppo abeliano U1): descrive l’ interazione elettromagnetica tra particelle cariche ‘point-like’ di Spin ½ ( e.g. elettroni, muoni, quarks… la cui equazione del moto ‘libera’ e’ data dall’ eq. di Dirac) mediata dal fotone, il quanto del campo elettromagnetico.
0)( mi
matrici di Dirac:
0
0
k
kk
10
010
0110
1
00
2 ii
10
013[ k matrici di Pauli: ]
inserendo nell’ eq. del moto la “derivata covariante”: eAiDi
(1.1)
(1.2)
L’ interazione e.m. elettrone-fotone e’ introdotta nell’ eq. di Diracper una particelle libera:
3
Richiami di QED (II)
L’ eq. del moto di un elettrone (carica elettrica -e ) in presenza di un campo e.m. e’ quindi :
0])([ meAi
dove A = ( , A) e’ il quadri-potenziale del campo e.m. :
tAE
AB
(ricordiamo che i campi E, B sono invarianti rispetto ad una “trasformazione di gauge” del potenziale:
ttxtxAA
),(),(
)(xAA
con (x) funzione scalare qualsiasi delle quadri-coordinate ;
(1.3)
(1.5)
(1.4)
4
Richiami di QED
La forma dell’ eq. (1.2) discende dalla richiesta di rendere invariante la descrizione dell’ interazione rispetto a una trasformazione “locale” (=dipendente dalle coordinate) di gauge (x), data dalla (1.4) per il campo A(x) e, contestualmente,da una arbitrario cambiamento di fase dello spinore dell’ elettrone:
)()( )( xex xie (1.5’)
[ gli osservabili fisici, come la sezione d’urto di diffusione derivabile dalla ampiezza di transizione che si ottiene dalla (1.3), sono invarianti rispetto alla trasformazione (1.5), (1.5’) ]
E’ interessante ricordare come gia’ in meccanica quantistica nonrelativistica, la prescrizione di invarianza di gauge porti ‘naturalmente’ alla descrizione dell’ interazione e.m. tra particellecariche e campi (forza di Lorentz)
5
Richiami di QED
la prescrizione di derivata covariante (1.2) diviene:
che in meccanica quantistica (non relativistica), dall’Hamiltoniana di una particella in un potenziale elettrostatico x:
porta all’ eq. di Schroedinger:
[ Nel formalismo operatoriale:
ipt
iE(1.6)
empUEH pot 2
2
tie
m
2
21
Aepp
(1.2’) eAiDi
eAepm
HempH 2
2
)(21
2
L’ hamiltoniana viene modificata:
La lagrangiana associata all ‘ hamiltoniana e’: (1.7) eAve
mpL
2
2(v= velocita’ della particella)
(1.8)
( ricordiamo che : ),( iiii i
xxLxxLH
, con: )dtdxx i
i
L’ eq. del moto di Eulero-Lagrange: 0
ii xL
dtd
xL
applicata alla lagrangiana (1.8) coincide con l’eq. del moto di una particella carica sotto l’ azione della forza di Lorentz (utilizzando le relazioni (1.4)):
))(( iii BvEe
dtxdm
per una completa discussione, cfr.:
Goldstein, ”Meccanica Classica” ]
6
Richiami di QED: scattering e-e, e-, e-quark
Siamo interessati al processo di diffusione tra due fermioni carichipuntiformi, ad esempio: e-e- e-e-, e-- e-, e q e q (q=quark)
Nella teoria perturbativa dello scattering da un potenziale, laampiezza di transizione tra uno stato iniziale (spinore i con 4-impulso (Ei,pi) ) ad uno stato finale (spinore f con 4-impulso (Ef,pf) ) e’ data da:
xdxxVxT ifif4)()()( (1.9)
dove V(x) e’ il potenziale che perturba l’ hamiltoniana di particellalibera Ho : H = H0 + Ve si e’ introdotto lo spinore coniugato 0 (la quantita’ e’ definita positiva e ha il significato di una densita’ di probabilita’)
0
7
Richiami di QED: scattering e-e, e-, e-quark
)()( xVAemi
In QED, per la quale l’eq. del moto e’:
(1.3’)
il potenziale e’: AexV )(
ossia:
xdxAxj
xdxxAxeT ifif
4
4
)()(
)()()(
)()()( xxexj if
dove si e’ introdotta la “corrente elettro-magnetica”:
(1.10)
(1.11)
i(x) f (x)e-
e-A(x)
8
Richiami di QED: scattering e-e, e-, e-quark
[ che abbia il significato fisico di densita’di 4-corrente j=(,j) deriva dal fatto che vale l’eq. dicontinuita’: , come si puo’ verificare dall’eq. diDirac e dalla sua equazione aggiunta per lo spinore coniugato;cfr., ad es., Halzen-Martin, pg.103 ]
)()()( xxexj if
0 j
Nello scattering e-quark, il campo A e’il 4-potenziale del campo e.m. associatoalla presenza del quark: la ‘sorgente’ del campo e’la corrente e.m. del quark:
)()()( xxexj qqqquark
i(x) f (x)e-e-
A(x)
q(x)eeeq 31,
32
kk’
pp’
4-impulsoiniziale dell’elettr.
4-impulsoiniziale del quark 4-impulso finale
(vedremo successivamente come gliesperimenti giustificano questa assegnazione)
9
Richiami di QED: scattering e-e, e-, e-quark
La relazione tra il campo e la sua sorgente jquark e’ datadall’ eq. di Maxwell (nella gauge di Lorentz: ): 0 A
)()( 2
22 xjA
tquark
(1.12) (c = 1)
Al primo ordine della teoria perturbativa, possiamo prendere per jquark la soluzione del campo q che viene dalla eq. libera di Dirac:
ipxqq epux )()( )( xpEtxppx
ossia: xppiqqqqqq
quark epupuexxexj )'()()'()()()( = q (4-momentotrasferito nel processo)Nota: la conserv. del 4-impulso: k+ p = k’+p’
implica: q = p’-p = k-k’
10
Richiami di QED: scattering e-e, e-, e-quark
Da tale soluzione libera, si vede che: )()( 22
22 xjqj
tquarkquark
)()/( 22
22 xjqj
tquarkquark
e confrontando con (1.12): 2/)()( qxjxA quark
L’ ampiezza di transizione , al primo ordine perturbativo, e’ allora:
xdq
xjxjxdxAxjT
quark
if4
24 )()(
)()(
11
Richiami di QED: scattering e-e, e-, e-quark
Esprimendo anche la corrente dell’ elettrone in termini di soluzione dell’ eq. libera di Dirac: ikx
e ekux )()(
)()()( xxexj
si ha:
if
qqeeq
xppiqqq
xkkiee
quark
if
Mpkpk
pupuq
kukupkpkee
xdepupueq
ekukue
xdq
xjxjT
)''()2(
)()'(1)()'()''()2(
)()'(1)()'(
)()(
44
244
4)'(2
)'(
42
dove si e’ definito l’ elemento di matrice di transizione:
)]()'()][()'([2 pupukukuqee
M qqeeq
if
(1.13)
12
Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q
In un processo di diffusione, la quantita’ osservabile sperimentalmente e’ la sezione d’urto differenziale per avere, ad esempio, l’elettrone diffuso ad un certo angolo solido d=2sindessa e’ legata all’ elemento di matrice Mif dalla “regola d’oro” di Fermi[cfr. Perkins, app. E] :
dEdNMd if
22
No di stati finali disponibili
che competono all’ energia Edello scattering:
3
2
3
2
3
3 sinhdpdp
hdddpp
hpddN
d
dEdp
hpMd if 3
222
dEdppM
dd
if 4
22
2)2(1
p
(frequenza normalizzata ad un flusso unitario di particelle incidenti)
13
Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q
L’ espressione data per d/d non e’ Lorentz-invariante; la sua espressione Lorentz-invariante dipende dalla normalizzazionedelle funzioni d’onda spinoriali e, quark che compaiono in Mif. Se nel rest-frame della particella la densita’ di probabilita’ e’:
1 dV
in un altro sistema di riferimento (ad es., quello del C.M. della collisione) in cui l’ energia della particella e’ E = m, il volume viene contratto:
EmdVdVdVdV
'
la densita’ osservata diviene:(ossia cresce di un fattore E/m)
mEdV
mEdV '
La sezione d’urto va allora normalizzata per un fattore per ognuna delle funzioni d’onda che compaiono nell’interazione.
Em /
14
Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q
dEdpp
EEEEmm
Mdd
qeqe
qeif
222
2
2 '')2(1
In genere, lo stato finale osservato e’ quello che si ottiene mediando sugli statiiniziali di spin dell’ elettrone e del quark; in definitiva:
dEdpp
EEEEmm
Mdd
qeqe
qeif
222
2
2 '')2(1
(1.14)
[cfr. Perkins, app.F e G ]
Nel CM dello scattering, il momento dell’ elettrone diffuso e’ p=E/221
dEdp
s
mmM
dd qeif
222
2)2(1
(1.14’)dove si e’ introdotta lavariabile di Mandelstam:
22)( CMqe Epps [ esercizio 1.1 ]
( in unita’ naturali: )1
[ trascurando le masse: p2/EeEq=1, EeEq=E’eE’q=ECM2/4=s/4, ECM=2Ee]
15
Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q
Inseriamo ora nell’ espressione generale (1.14) per la sezione d’urto l’elementodi matrice (1.13) derivato dalla dinamica della QED; utilizzando l’algebra dellematrici di Dirac [ la cosa e’ laboriosa… per una discussione completa si vedanoPerkins, app.G ; Halzen-Martin, cap. 6 ] :
]')')('())(''[(2 24
22
222
kkmkppkkppkqee
Mmm
ifqe
(1.15)e-
e-kk’
pp’
4-impulsoiniziale dell’elettr.
quarkdove si e’ trascurata la massa me
(ma non quella del quark)
16
Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q
L’ espressione (1.15) e’ Lorentz-invariante; e’ interessante esprimerla nel sistema del laboratorio, nel quale viene misurato l’ angolo di scattering dell’ elettrone diffuso:
k=(E,k), k’ = (E’, k’), p = (M,0) (M=mq)
Si ottiene, utilizzando la conservazione del 4-impulso, k+p = k’+p’ [ es.1.3]:
2/sin
22/cos'2 2
2
22
4
22222 MqMEE
qeeMmm q
spinifqe
dove il quadrato del momento trasferito e’ esprimibile in funzione dell’angolodi scattering nel laboratorio [ es.1.2]: :
)2/(sin'4)'( 222 EEkkq e-k
k’
M)0( em
(1.15’)
17
Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q
Inserendo (1.15’) in (1.14), si ottiene infine il risultato finale per lo scattering di QED di un elettrone su una targhetta ‘point-like’di spin ½ e massa M:
)2/(sin'2)2/(cos
)2/(sin'2)2/(cos)2/(sin4
)/'(
42
2
42
242
22
MEE
dd
MEE
EEEe
dd
Rutherford
q
dove si e’ introdotta la costante di struttura fine: 4/2e
e la carica del quark e’ ora espressa in unita’ di carica dell’elettrone:Nell’ ultima espressione di (1.16), si e’ di nuovo usata la
31,
32
qe
(1.16)
)2/(sin2
)2/(cos)2/(sin4
)/'(
)2/(sin2
)2/(cos)/'('4
22
22
42
22
22
22
4
222
Mq
EEEe
Mq
qEEEe
dd
q
q
(1.16’)
)2/(sin'4 22 EEq
( “sezione d’urto di Mott” )
In definitiva:
(sezione d’urto “classica” per lo scattering coulombiano di particelle non relativistiche prive di spin)
18
Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-qE’ importante sottolineare che per un fissato valore dell’ energia incidente E,la sezione d’ urto e’ solo funzione dell’ angolo di scattering , essendo [vedi es.1.4]:
)]2/(sin)/2(1/[' 2 mEEE
Infine, e’ utile esprimere la sezione d’urto elementare di Mott in formaLorentz-invariante, utilizzando le variabili di Mandelstam:
pkkppkpku
qkkt
pkkppkpks
'2'2)'()'(
)'(
''22)''()(
22
22
22
k
p p’
k’
kk’
pe quark
2
222222
2
22
4
22222
2442
)]')('())(''[(2
tuseeus
tee
kppkkppkqeeMmm
q
spinifqe
Dalla forma Lorentz-invariante (1.15) dell’ ampiezzadi transizione (trascurando la massa del quark):
19
Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q
2
2222
2
222
2 8)2(1
4)2(1
tus
see
s
Mmm
dd qspin
ifqe
Inserendo nella (1.14):
si ha :
2
2222
2
2222
2 22)4(1
tus
se
tus
see
dd qq
eqeq
4/2e
(1.16’’)
31,
32
qe
(nell’ ultima espressione la carica del quark si intende espressain unita’ di carica elementare: )
Utilizzeremo questa espressione nella discussione delprocesso di ‘Deep Inelastic Scattering” elettrone-nucleone.
20
La costante di struttura fine
La costante fondamentale dell’ interazione e.m.: 4/2e
detta “costante di struttura fine” (si misura con grande precisione osservandola struttura fine dei livelli energetici atomici) e’ espressa in unita naturali nel sistema di unita’ di misura “razionalizzato” di Heaviside-Lorentz, nel quale la 1a eq.di Maxwell per il campo E (la legge di Gauss)e’ espressa nella forma:
(ossia 0=1 ; nel S.I. invece: ) , o equivalentemente lalegge di Coulomb che definisce il valore della carica elettrica e’:
La costante e’ adimensionale: essa entra in (1.16) [eq. espressa in unita’naturali ] , come rapporto tra una sezione d’ urto ( dimensione: [] = m2)e l’ inverso del quadrato di un’ energia ( [1/s] = J-2 ) ; queste quantita’sono tra loro omogenee, essendo: [h] = Js e [c] = m s-1. Nel S.I., l’ espressione di e’:
)1( c
E
0/ E
22 4/ reF
ce 02 4/
21
La costante di struttura fine
Infatti:mJmNe
2
0
2
(dalla legge di Coulomb)
mJsmsJc 1
e quindi la combinazione e’ adimensionale.
Numericamente:
ce 02 4/
13711073,0
10997,21005,11085,84)106.1( 2
83412
219
22
Scattering elastico elettrone-nucleone
Il processo di scattering elettromagnetico epep non e’ un processo point-like (come eq eq o e e)
La sezione d’urto di Mott, che nel sistema del laboratorio e’data dalla (1.16):
)2/(sin
2)2/(cos 2
2
22
Mq
dd
dd
Rutherford
va modificata. La corrente adronica viene modificata: e-
e-kk’
pp’protone
)()'( pupuej qqqquark
)()(2
)()'( 22
21 puqqF
MikqFpuej pp
hadr
(1.17)
con: 2/)( ied M e’ ora la massa del nucleone.
23
Si dimostra che il termine entro parentesi nella corrente (1.17) e’ il piu’generale 4-vettore che puo’ essere costruito dalle matrici di Dirac e dai 4-momenti in gioco p, p’ e q=p’-p, tenendo conto che la 4-corrente jhadr deveessere conservata: , ossia qj = 0.
[ per una completa discussione, vedi Halzen-Martin, es. 8.5 ]
Le funzioni F1(q2), F2(q2) parametrizzano la nostra ignoranza della struttura dell’ adrone, e devono essere determinate sperimentalmente, come verra’discusso in seguito.
Notiamo che il fattore ek/2M che moltiplica F2(q2) e’ il momento magnetico del nucleone ( k e’ il “momento magnetico anomalo”: misura il rapporto trail momento magnetico del nucleone e quello e/2M di una particella point-likedi spin ½ come l’ elettrone).
Scattering elastico e-N
0 j
24
Scattering elastico e-N
xdxAxjTif4)()(
In effetti si dimostra che nel limite non relativistico, l’interazione (1.10) trauna corrente e il 4-potenziale:
si decompone in una parte elettrica e una magnetica. Cio’ discende dallaeguaglianza (“decomposizione di Gordon” della corrente):
)()'()'()'(2
)()'( puppipppuMepupuej ifif (1.18)
(1.10)
e dal fatto che il 2o termine in (1.18) inserito in (1.10) da’, nel limite nonrelativistico:
xdBMexdAppi
Me
ifif3)2()2(4
2)'(
2
dove (2) e’ uno spinore bidimensionale, sono le matrici diPauli; il termine a destra da’ l’interazione B di una particella di momentomagnetico =e/2M col campo magnetico B
),,( 321
[per maggiori dettagli, vedi Halzen-Martin, cap.6.2]
25
Scattering elastico e-N
)2/(tan)()()2/(cos
)2/(sin)(2
)2/(cos4
2222
.
22212
222
22
222
1.
qBqAdd
kFFMqF
MqkF
dd
dd
Ruth
Ruth
(1.19)
dove ora M e’ la massa del nucleone.
hadrelettrif j
qjM
2
1(ricordiamo che: ))]()'([ kukuej ee
elettr
la sezione d’urto che si ottiene e’ data dalla “formula di Rosenbluth”:
Se si inserisce jhadr nell’ elemento di matrice (1.13):
26
Scattering elastico e-N
La formula di Rosenbluth viene riscritta:
)2/(tan
24/14)2/(cos 22
2
2
22
22
22
2
.
M
ME
Ruth
GMq
Mq
GMqG
dd
dd
(1.19’)
)(4
)()(
)()()(
222
22
12
22
21
2
qFMkqqFqG
qkFqFqG
E
M
che sono, come vedremo, interpretabili come ‘fattori di forma’ magneticoed elettrico del nucleone: esse sono la trasformata di Fourier delle distribuzioni di carica elettrica e di momento magnetico nel nucleone.
(1.20)
E’ utile introdurre le combinazioni lineari:
27
Negli esperimenti di scattering elastico su targhetta fissa, ilmomento trasferito e’ determinato dalla misura dell’ energia E’ dell’ elettrone diffuso e dall’ angolo di diffusione:
Scattering elastico e-N
)2/(sin'4)'( 222 EEkkq
Nel “diagramma di Rosenbluth” costruito selezionando dati a q2 fissato:
)2/(cos/ 2
.
Ruthdd
dd
)2/(tan 2
[ da: Perkins fig.6.4]
la pendenza misura direttamente il fattore di forma magnetico GM(q2)al valore scelto di q2; dall’ intercetta A(q2) si determina GE(q2).
e-E
E’
M
28
Esperimenti allo Stanford Linear Accelerator (SLAC) sono stati fatti su targhette di idrogeno (=> protoni) e su deuterio (=>neutroni+protoni)). Per sottrazione,da questi ultimi e’ possibile ottenere la sezione d’urto su neutroni:
Scattering elastico e-N
epepededenen dd
dd
dd
e quindi determinare i fattori di forma anche del neutrone. GE,M
p,n(q2) sono stati misurati in un esteso intervallo di momenti trasferiti[vedi, e.g., Phys.Rev.139B(458),1965]
[da: Burkam-Jobes Fig.12.8]
GMp
GEp
GMn/(1.91)
GEn
1.0
2.0
2.79
29
Scattering elastico e-N
Tutti i dati sono descritti da un unico andamento di dipolo:
0)(
)()()/1(
1)(
2
22
2222
qG
qGqGmq
qG
nE
n
nM
p
pMp
E
dove il fit ai dati sperimentali da’: m2= 0.71 GeV2
e le quantita’:)0( 2 qG p
Mp )0( 2 qGnMn
misurano i momenti magnetici del protone e del neutrone:
NNp m
e2
79.279.2
Nn 91.1
1141015.32
JMevme
NN
[
e’ il ‘magnetone nucleare’, momentomagnetico di una particelle di Dirac point-like di massa mN ; si ricordi che il
“magnetone di Bhor” vale:1111079.51836
2 JMevm
me
Ne
B
(1.21)
(1.22)
30
Come detto, GE e GM sono i ‘fattori di forma’ elettrico e magneticodel nucleone, sono cioe’ in relazione con la sua distribuzione di densita’ di carica elettrica e di momento magnetico . Osserviamo infatti che dalla (1.20):
Scattering elastico e-N
)()( 210
22 qFqGqE
e inoltre, dalla formula di Rosenbluth (1.19’), per q2 0 :
)()2/(cos 222
.
qGdd
dd
ERuthepep
(1.23)
xdxAxjTif4)()(
A bassi q2( basse velocita’), l’ elettrone ‘vede’ solo il potenzialeelettrostatico (la parte magnetica e’ trascurabile), ossia nell’ ampiezzadi scattering
possiamo porre: con)0),(( xA )(),()( rtrx
31
Scattering elastico e-N
rdredtekukue
xdxekukuexdxxjTrkkitEEi
xkkiif
3)'()'(
0
4)'(0
40
)()()'(
)()()'()()(
(x) non dipende dal tempo
)'(2 EE
rdreEEkukueT rqiif
30 )()'(2)()'(
Utilizzando l’ integrazione per parti:
rderrderde rqirqirqi 323232 )(
rderq rqi 32 )( 0
rqie
e l’ eq. di Poisson per il potenziale: )(2 r ( e’ la densita’di carica elettrica)
kkq
'dove:
32
Scattering elastico e-N
rderq
rder rqirqi
32
3 )(1)(
Inserendo in Tif tale espressione si ottiene:
if
rqiif MEErderEE
qkukueT )'(2)()'(2)()'( 3
20
con: rderq
kukueM rqiif
32
0 )()()'(
Se inserisce questa espressione di Mif nel calcolo della sezione d’urto:
dEdppM
dd
if 4
22
2)2(1
si ottiene:2
32
.
)()2/(cos
rdere
dd
dd rqi
Ruthepep
(1.24)
33
Scattering elastico e-N
e confrontando con (1.23) si vede che:
rdereqG rqiE
32 )()(
ossia il fattore di forma elettrico GE(q2) e’ la trasformata di Fourierdella densita’ di carica elettrica e(r) del nucleone. Sperimentalmente, abbiamo visto che :
2222
)/1(1)(mq
qG pE
Con m2=0.71 GeV2; questo risultato puo’ essere direttamente messo inrelazione con le dimensioni del nucleone. Consideriamo una distribuzione a simmetria sferica:(la costante di normalizzazione e’ A=m3/8, imponendo: )
mrAerr )()(
(1.25)
Dalla (1.25) si ha:
0 0
2cos32 sin2)()(r
iqrrqiE ddrredrrdereqG
drdr 2sin2-dcos
14)( 2drrr
34
Scattering elastico e-N
0
2
0
21
10
22
)(2
)(2)(2)(
r
iqriqr
r
iqr
iqr
ziqrx
rE
driqreerr
drdzeiqrrrdrdxerrqG
In definitiva, inserendo si ottiene:mrAer )(
222222222
0
)(
0
)(2
)/1(1
)(42
)(1
)(12
2)(
mqqimiqm
iqA
iqmiqmiqA
rdrerdreiqAqG
r
riqm
r
riqmE
dove per brevita’ negli integrali si e’ sempre inteso q=|q| e quindi q2= |q|2 >0;nell’ espressione
2222
)/1(1)(mq
qG pE
con q2 si intende invece il modulo quadro del 4-impulso trasferito q=(k’-k): q2 -2kk’=-|q|2 <0, e quindi le due espressioni coincidono.
qqx
coscon:
8/3mA
35
Il valore m2=0.71 GeV2 e’ quindi legato al “raggio” R della distribuzionedi carica:
Scattering elastico e-N
Rrmr AeAer /)(
fmGeVm
R 235.071.0
112
(vedi Es. 1.5)
Il raggio del nucleone misurato dal fattore di forma elettrico delprotone e’ dell’ ordine di qualche frazione di Fermi.Piu’ precisamente, il valor medio del quadrato del raggio della distribuzionedi carica e’:
24
3
43
222
122
48
4)(
mdrrem
drremdrrrrr
mr
mr
fmm
rrrms 80.0122
SLAC,Hofstadtere collab.=(4!) / m5
36
Es.1.1: variabile s di Mandelstam
2222
22222
4)cos(2
)(22)(
CM
qeqeqeqeqeqe
Eppp
ppEEmmpppppps
e-e-
pepe’
pq
pq’
per me, mq << E
essendo ECM=2p
In un esperimento su taghetta fissa: pq=(m,0)
mEs e2 mEE eCM 2Ad esempio, negli esperimenti a SLAC: Ee=20 GeV, m= mN=0.94 GeV ECM 6 GeV
Ad un collisore con fasci “simmetrici” invece: ECM = 2 Ebeam
(esempio: LEP1 ,2 : Ebeam:44-47 GeV, 80 -105 GeV; Tevatrone: 0.9 TeV );
con fasci asimmetrici di energie E1, E2 :(esempio: collisore e-p HERA (Desy,Amburgo): Ee=27.5 GeV, Ep=920 GeV ECM 320 GeV )
212 EEECM
37
)2/(sin'4)'( 222 EEkkq
Es.1.2: momento trasferito e angolo di scattering
Dimostrare che:
e-E’
ME
)2/(sin'4)cos1('2
'2')'(2
2222
EEEE
kkkkkkq
angolo di scatteringnel laboratorio )2/(sin)cos1(
21 2
Si ha:
38
Es.1.3: formula di Mott
2/sin
22/cos'2]')')('())(''[( 2
2
2222
MqEEMkkmkppkkppkA q
Dimostrare che:
Utilizzando la conserv. del 4-impulso: p’= p+q = p + k - k’ , si ha:
2'2)'(
2
2))('(2)'(
2
2]
2)['()]('
2[
2]')['()]('''[
')]'()['())]('('[
222
2
22
2
22
22
2222
2
qMEEMEEMq
qMkppkpkkpq
qMkpqpkkppkq
qMkpkkkpkkppkkkk
kkMpkkkpkkppkkk
0 0
q2=(k-k’)2 -2kk’
Nel laboratorio:p=( M, 0)k=( E , k)k’=(E’, k’)
39
Es.1.3: formula di Mott (cont.)
2/sin12/sin2
'2
'41
'22)'('2
2'2)'(
2
222
22
2
2
22
222
2
MqEEM
EEq
EEMEEMqEEM
qMEEMEEMqA
Allora:
)2/(sin'4 22 EEq [es. 1.2]
2/sin'2
)'( 2 EE
EEMMEEpkkqp
EEq)'(2)'(22
)2/(sin'4 22
'ppq 0'2 222 pkppq kpq 22 [si osservi:
0
]In definitiva:
2/sin
22/cos'2 2
2
222
MqEEMA
40
Es.1.4: energia dell’ elettrone uscente nello scattering elastico e-p
Dimostrare:)]2/(sin)/2(1/[' 2 mEEE
MEEpkkqpEEq
)'(2)'(22)2/(sin'4 22
Abbiamo visto che [es. 1.3]:
2/sin'2
)'( 2 EE
EEM
Allora:2/sin'2' 2
MEEEE 2/sin21
'2
ME
EE
2/sin21
1'2
MEE
E
Esperimento a SLAC:
E= 401 MeV, =75o
M=939 MeV(targhetta di idrogeno) E’ = 305 MeV[Hofstadter e collab.,
1956]
41
Es.1.5: raggio del nucleone Ricordiamo che in “unita’ naturali”:
1/103
11005,18
34
smc
sJ
sm
Js8
134
1033,01
1095,01
inoltre: JGeV 10106,11 1101 106,11 GeVJ
1103488 106,11095,01033,01033,01 GeVsmPertanto:
1151007,51 GeVm
mGeV 151 1007,51 fmGeV 197,01
Allora: fmGeVGeVm
R 235.071.0
1
71.0
11 1
2
fmm
rrrms 80.0122 Come gia’ discusso:
[nota: un altro utile fattore di conversione e’ il seguente: infatti: 1 barn = 10-24 cm2= 10-28 m2 1 mb = 10-31 m2 = 0.1 fm2 ]
mbGeV 388,02
42
Esperimenti di scattering elastico e-N a Stanford
LINAC da 550 MeV di energia massima entrato in funzione aStanford (California) a meta’ degli anni ’50:
Spettrometro supiattaforma rotante
contatore dielettroni
[R.Taylor,J.Friedman,W.KendallLectures for Nobel Prize, 1990;Rev.Mod.Phys63 (1991),573]
43
Lo Stanford Linear Accelerator (SLAC)Alla fine degli anni ’60, e’ entrato in funzione l’ acceleratoreLineare lungo 2 Miglia: Ebeam=20 GeV - l’intervallo di q2 e’ stato notevolmente esteso - si ha accesso allo scattering inelastico (il nucleone viene spaccato con produzione di adroni nello stato finale)
Furono realizzati3 spettrometridedicati per elettroni da 1.6,8 e 20 GeV
44
Gli esperimenti a SLAC
Spettrometri a piccolaaccettanza angolare (d 1 msterad)posizionabili a diversiangoli di diffusione(1,5 - 250 per E=20 GeV)
45
Gli esperimenti a SLAC
separatore e/
1 GeV2
Esperimenti precedenti:
46
Gli esperimenti a SLAC (II)
Spettrometro da 20 GeV
Primo uso massicciodi computer nelcontrollo on-line…
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