,tw #nxsxmffimwmürmulmrms
sen x = ÕM"
tJ
INTRODUCAO
Atéo momento, operamoscom os númêros sên x, cos x etg x no tr iàngulo retàngulq on-de x rêprêsenta a mêdida de um ângulo agudo
Ìúas o que ocorrerá se x Íor a medida de um ângulo maioÍ que 90o?lÌira respondeíaesta peígunta, precisamos nos libertardotriângulo íetângulo e amp ar
as noções dê sen x, cos x ê tg x para os casos em quê x rêpresentâ ã medida ãe um ângulomaior que 90o, isto e, um ângulo obtuso
Este é o estudo quê desenvolveíêmos neste capítulo.
, ,Considêremos o ciclo tr igonométrico.no qualmarcamos o ponto Ìú. queé imagem, no ci_clo. do nümero real x. conÍorme indica a tiguía.
(
o M'
Consj*)remos também o arco ÀM ao qual corresponde o ângulo centralx.SejâOM o raio dociclo, e M"ê M'as projeçõêsdo ponto lvl nos êixos y e x,rêspectivamente.DeÍinimos como seno (do arco ÂN,l ou do ângulo x) aordenadâ do ponto M, ê indicamosi
ESTUDO DA FUNCAO SENO
30
onde OM" é a ordenada do oonto M.
Ì
Observe que esta deÍinição coincide com a que conhecíamos paíaotriângulo relângulo,isto é, no triânguìo íetânguloOM'M temos:
senx=g o[ ,4 ' . .senx=oM'oMl
Obsêrvação impodânte:
Esta nova dêfiniçâo tem a vantagem de ser aplicâda de uma forma mais completa, por_que agora podêmos falar em seno de ângulos maiorês que90'ou 360o e até dê ângulos commedidas negativas.
b) ValoÌes importantes de sen x
Ìúarcândo os pontos M, ìmâgens dos númêros reais q +
Vamos rcsolvêr alguns exemPlos.
l9 exemplo: Calcular sen 450'.
Resolução: Vamos calcular a 1? determinação positiva:
45oo 3600 +450ô=9oo+ 1 360090 1
Entáo: sên 450o = sen 90o = 1
Resposta: 1
29 éxemplo: Calcular sen Ë .
Besolução: Vamos calcular a 19 detêrminação positiva:
.T
- Y1 ô,- lÂm^e.
19r
==+ =+l9L = 11 *sì. ' \o I
senË = sen á
1^1
-L !a\ . r --3---.Ã
sen 60o = r+
Í
4500
Aesposta: $
2r
EXERCICIOS DE APREN DIZAGEM
I Determine o valor de:a) sen 900"b) sen I 620'c) sen (-900")
2 Câlcule o valor de:
b) sen l l r
3 Sabendo que x = + Íad, caÌcule:
"=* 'ã - 3sen2x + $4
4 Represente, no ciclq um ângulo x tal qÌre:
" l*"= - tur*""=f t. , , ."*=|- '"-. [+.1
c) Gráílco
Vamosestudar avariação da função sên x, com xvariândo no intervalolo, a[, isto é, o pon-to Ìú parÌe do ponto A e se movimenta sobre o ciclo no sentido anti-horáíio
o=:a- -* =2"+1
í/r': ï\
: -_,
rl \ + ;-7r'ri i-\l r l - Ì - i t
--''lo- --+ r \ l _ t i .L------- --
-\: l /*"óid"
tu3iz1
d) sen 765'e)sen( 2130")
d)sen+
r
O gráÍico da função seno é châmado de senóldg.O gráÍico continua à diÍéita de 2Í e à esqueÍdâ de 0 (zêro).Analisando o gráÍico, podemos construir o quadro:
Observando o gráficq concluímos que:
. o domínio da função sen x é o conjunto dos númeíos rêais, isto é, D = lR.
. a imagem da Íunção sen x é o intervato [ 1, +1], istoé, -í < sonx < 1,
. a partir de 2Í a íunção seno repetê sêus valores, po anto é uma função perlódlca. Ob-serve que, a partir de um dêterminado valor de x Ç ), cada vez que somâmos2Í, afunção se-no assumê sêmpre o mesmo vâlor (+1); portantq o período da função seno é p = 2Í.
3r2 - ' "
Estaconclusão podê serobtida a partirdo ciclotrigonométrico onde marcamos o arco x.
\ "M"
o
sen x
sen {x + 2Í)
sen (x + 4r)
oM"
õti,,
T
sen (x + 2kÍ) = OM" fficom t Jz
_ Quando somamos 2kr âo ârco x, estamos obtendo sempre o mesmo valor para o seno(OM'); portanto, â função seno é periódica de pêríodo 2Í, isto é:
senx = sen(x + 2kÍ) k€Z
. AÍunçáoy : sen xé ímpar.
Vejamos alguns exemplos.
'19 exêmplo: Construií o gráfico da funçáo y = 2 sen x, dandoo domíniq a imagem e o período.
Resolução: Tabelando a Íunçãq temos:
:ia:::l:li;i:
t
Observando o gráficq temos: D = IR tm = l -2,21 p=2Ì
33
29 exêmplo: C,onstruirográficodafunçãoy = 2 + senx,dandoodomÍniqaimagemêopêríodo
Resolução: Tabelando a função, temos:
l
IÌ3L2z
39 exemplo: Construir o gráfico da Íunção y = sen 2x, dândo o domíniq a imagem e o período
Resolução: Ìabelando a funçãq têmos:
Observando o gráfico, temos: D = lR
Observando o gráfico, temos: D = ÌR
49 oxemplo: Construir o gráfico da função yo penooo.
Resolução: Tabelando a Íunçãq temos:
2rN
rm = I1, 3l
lm=11, 11 p=Í
= sen (x + I ) , dandoo dominio, a imaoem e
t - \
34
Obsêrvando o gíáficq temos: D = ìR rm = [0, 1]
Observação:
Dos exêmplos dados, vedficamos que o peííodo de uma funçáo y = a . sen kx ép =
+, ou seja, influencia no período apenâs o coêÍicientê de x.
.paíay = 2senx,temosk ='1oai: o = ! = z"
.parây = sen2x,temosk = 2dai:o=! ="
5'l êxeÍnplo: Determinar o domínio da funçáo y =
o<x-+ <2' .Resolução: Pâra que exista a raiz, dêvêmos terj
sen(x-+)>0
,J
Fazendo'se z = x - f,,vem:No ciclo:
senz>0
O arco z deve Íicaí compreendido entre 0 < z < tr.
Substituindo:
. ( tD
0<x-+ <Í
0)
De(l)x -+ <r
x-<n+t
,<+Na íeta real:
De ( l l )x - + >o
x>f
(t)
(D
(t)n(D
D = lx < R J+
sên (x - + ), no universo
*-*+l
T
i ., : .
: .69 èxomplo: Determinar k paía que exista o aÍco que satistgz a iguatdade sen x = 2k _ 5.
Resoluçâoi Devemos ter: - 1 < sôn x < t substituindo. temos:
Fespostaj S = Ík(Rl2 < k < 3ì
79 €xêmplo: S6ja a íunção real de variável real deÍinida por f(4 = 3 + 2 sen x.a) Qual a imagêm de f?
b) A Íunção f é par ou ímpaf Justlficar.
Besolução: a) Sabemos que a imagêrn da função seno é o intervalo I_ 1, .11, togo:
1 < sênx < 1 + - 2 < 2senx < 2
3_2<3+2senx<3+2
1<Í(x)<s
Fonantq lm{l) = [1,5]
b) Í(x) = 3 + 2senx
f(x) = 3 + 2sen(-x) = 3 - 2senx
..f(x) # (-x)
n6m par,nem ímpar
_1 < 2!__ isa'1
De(1)2k - 5< 1 Del?2k-S> -12k<5+1 2k> -1 +s2k < 6 2k>4 --- t ,.;.
Í
k<3 k>2
Na reta real:
(1)
t41n(2)
2<k<3
3ô
l-
EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM
I Construa o gráfico das seguintes furções, noìntervalo [0, 2Í[, dando o dominiq a imageme o periodo:
a)v:3senx c)v:
b)y=2-senx d)y:
2 Construa o gráfico da função i I0, 2Íl - IRdefinida por y = 2 + seÍx + lsenx l.
3 Con(Lruao sráÍico das funçóes a següir. no in-tervaìo [0,2Í[, e dê o domíniq a sua imagem eo período:
arv=lql
b)y=senlx+=! l
4 Detemin€ o pedodo das funções:
5 Deúermine o dominio dâs funções:
,
-L3se"í--+ì
) ."" L---- 4
a)v = <27
< 211
ó {PUC SP) Derermine }.. de modo qüe se{veri- ) ! l -llque sen d = i:-ì: ,
7 Determine os valorcs de b que tornam possív€isas igualdades:
a)sen" =
- f ,
senao.e
b) sen o = 7b 20, sendo o <
180ï.
a)y:sen8x c)Y
b) y : 5sen 10x d) y
= senf
= *"r(* -'+)
8 Calcule k pâmque exisra o ârco que (aÌisfa.z aiguâldade sen x - k, k + l.
9 Dada a função f(x) = 7 sen(3x), rcsponda:a) Qual a imagem de flb) A função fé par ou impar? Justifique
ESTUDO DA FUNCÃO CO-SENO
a) Delinição
C,onsideremos o ciclo trigonométíico no quâl mârca-mos o ponÌo lú, que é imagem, no cìclq do númêro rêax,conf ormê indica a f igura. Consideremos também o ârco AMao qual corresponde o ângulo central x.
(
o
Selâ õfii o raio do ciclo e M" o l\4'as projeções do ponto M nos eixos y e x, respectivamênte.Dêfinimos como co-seno (do arco AM ou do ânguto x) â abscissa do ponlo Àr, ê indrca.
mos:
onde Ol\4'é a abscissa do ponto M.
. Obsêrvê que estadeÍinição coincide com a que conhecíamos paía o triângulo retângulo,isto é, no triângulo retângulo OM'M temos.
ôr\i'cosx = l l = - : : : lL = Ol\4 ' . .cosx = OMoM1
37
t
a -::
Observação importantê:
Esta novadefiniçãotêm avantagem deseraplicâdadê umaforma mais completa porqueagora podemos Íâlarem co-seno de ângulos maiores que90o ê 360o e até dê ângilos com me"didas nêoativas.
b) Valores importantes de cos x
lúarcando os pontos l\4, imagens dos números rêâis 0, e 2Í, têmos:
f
Vêjamos âlguns êxemplos.
1? exêmplo: Calcular cos 1 8300
Resolução: 1 830. | 360"
o3o" t 518300 = 30o f 5 3600
Entãor
cos 1 8300 = cos 30o
2? exemplo: Calculaí o valor de cos l3?r.
13- 1:\ '1t 1HesotuQão: ; ; =; = ' ; +, =6+
ror=[ +o]2"= "+0.2"
cos 13?r =cosÍ= 1.
1z
38
EXERCICIOS DE APREN DIZAGEM
&etermine o valor de:
a) cos 450o
b) cos ( 900")
c) cos I 620"
@FEIsP) calcute o valor d€
) = lsen ; I ícos 3i Í)
€/F_uresr SP) Qualdos núÌnem, é o naior? J u\-
a) sen 830'ou ser 1 195.b) cos (- 535') ou cos 190" I
/ìgòendo x =
-.
caicute:
cosr\ + co! Ì - + msl; .
d) cos 6Í
e) cos 11Í
. , . ""2
@alcule A, sabendo que
".,+c) GíáÍico
. - Vamos estudaravaíiâçàoda funçáo cos x. com x variando no intêrvâlo [0.
-1. istoé. o pon-
to l\4 parte do ponto A ê se movimenta sobre o ciclo no sentido anti-horário '
O Oráfico da função co-sêno é chamado co-senóide.O gráfico continua à direita de 2Í e à êsquerda de 0 (zero).
Analisândo o gráÍicq podemos construir o quadío:
Observando o gráficq concluímos que:
. o domÍnlo da funçáo cos x é o conjunto dos númêros rêâis, isto é, D = lR.
. a imagem da função cos x é o intervalo [- 1, +1], isto é 1 < cos x < í.
. o pêríodo da função coseno é igual a 2Í, isto é: cosx = cos (x + 2kÍ) k<z
39
f
.AÍunçãoy = cosxépar.
co$ x = cos( xl
. 't ,:..--Vêiamos alguns exemplos.
19 exemplo: C,onstruiro gráficodaÍunçãoy = 3 cos x, dandoo domínio, a imagem eo período
Besolução: Tabelando a funçãq lêmos:
Í
D=R
29 exemplo: ConstÍuií o OráÍico dâ Íunção ,
rm = [-3,3l P=2'(
- cos ã, dando o domíniq a imagem e opêríodo
Besolução:
D=R rm = [-1, 1 l
Observaçáo:
O período da funçáoy = a . cos kx é dado por p = ?.
40
F
c) Y:5 + cosx
ayy = cos (x f)
4 Sabeído que o coniunto imagem e o periododa tunçâo ) - p - q cos(rx)!ãiem. rcspe{ti-
\ãmente, I 1,5Ìe+ Íad, calcule p, q € r.
r ì- 1 l
5 DeteÍmine o domínio das funções:
"rv:{* [" ; ) ,0<*1;Dry -
<2r
<2r
ESTUDO DA FUNÇAO ÏANGENTE
_999 2!1
9ên x .
EXERCíCIOS DE APRENDIZAGEM
I Esboc€, em um periodo, o grafico das segrrin-tes funções:a)Y = -cos x
b)v=3cosf
2 DeteÍmine o p€Íiodo das funções:
a) y = cos ex ^,., _ . -^" í1blY = cos-
3 DeteÍmine k, de modo que se tenìa:
â)cosx=5k l0b)cosx=k,+2k+l. k+l
C,Cosx=- i - .
a) DsÍinição
SejaociclotrigonométÍicô dafiguraeTa intêísecção da reta ôfrlcom oêixodastangentes'
tg
T
o
Definimos comotangente (do arco
ÃT , e indicamos tg x = ÃT.
Áü ou do ângulox) a medida algébrica do segmento
Observe que esta definição coincide com a quê conhecíamos pâía o triângulo retángulqisto ê nos tíiângulos íeiângulos Ol\4'lú ê OAI temos:
^ oM't\4 - a oAT
õM' TNíOA AT
ó Dada a fu nçâo real de !€riável real definida porf(x) = 4 - 3 cos 2x, Íesponda:
a) Qua.l a imagem de flb) A função f é par ou impâr? Justifique
ondecosxrO; istoé xt ï +kr
r
41
b) Valores importantes dg t9 x
Vêjamos alguns exêmplos:
19 exemplo: Deteíminar o vâlor dê tg 1 g45o
r
1845" L
J6o: 1845o =45ó r5 3600ols ls
Então:
t9 1845" = t945" = 1
29 exemplo: Detêrminaí o valor de tg 25 {Fazenoo:
25+=24++.f=e"+1Então:ts25+ = ts+ =rg
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM
I Determine o \.âlor de:a) tg 900. b) ts( - 540) c) ts 1 500ôd)ts(-1035ï e) ts Í 0,r+
2 Determine o valoÍ da expressão:
, - - . (- l ) - , 'e, , - . -(- + )42
3 Ache o valor numérico da expressãosen (30o + x, + cos{lx)
-, . x _ 60.
tc (r t5")para x = 600.
4 Determine m, fara que f se.ia raiz da equa
ção: tg2x m cosrx + sen2x = 0
F-
c) GÉfico
Vamos esÌudar a variação da Íunção lg x,com xvâ ando no ìntêrvalo [0,2Í], istoe, o pon-to M parte do ponto A e se movimenta sobre o ciclo no senlido ânti_horáíio
' r 5d4 | t 7r l4 i--i-,'7
tgx
Ii iTI
nOentólde
O gráfico da funçâo tangenie é chamado tangentóide.O gráfico da função tangente continua à direita de 2Í e à esquerda de 0 (zêro).
Analisando o gráfico, podemos construií o quadro:
Observândo o gráfìcq concluÍmos que:
. o domínio da funçáo y = tgxéD = [x€lR x t+ + kÍcoÍnk<z\.
. a imagem da Íunção y = t9 x é o intervalo I -@, +@ [, isto é, -ó < tg x < +-
.. o período da função y = tgxéP = Í
Esta conclusão pode sea obtida, também, a panir do ciclo trigonométíico onde marca_mos o arco x.
tg (x + 2,r) =
tg(x + kÍ) = AT comkc
ATÃiÃÍ
z
tg (x + k?r) = tgx
;
tg
í .^+ , i
t,r'v o
k<z
4Í)
rI
.AÍunçãoy = t9xéímpaí
lq
T1
tgx = tg (-x)
Í
Vejamos alguns êxemplos.
19 êx€mplo: Determinar o domÍnio da Íunção y = tg (x - 30o).
Reèoluçãot A condiçâo dê existência é:
x-30or90o+k.1800Dâí:x l30o +90or k. 1800x r 1200 + k. 180ó
Resposta. D=[x<R xI120o.r k.1800]
29 exemplo: Qual é o peíÍodo da função y = tg (2x ï),Rêsolução: Sabêhos que a função tangente é periódica de período p = tr. Devêmos verificar
o que ocorre com o alco.(z* f ì quando varia de 0 a r.\ z l
^-t =o-^=+ - ,<=+2x- i=r-2x=r*ï=+,,=t i
3--t -p=ï- ï=i=tPesposta: p = +
EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM
I Determine o domínio das seguintes funções:a)y: ts(x+600)
b)y=E(x-+)
2 DeÌermine o peÍlodo da.5 seguintes funçóes:a)y = te(3' - -"
)tlv = tc(sx + f )
3 Calcule o pa rãmí ro real nì. de modo que exis-ta o arco x, ta.l que
t8x = -=;.3 ex€1270',360o[.
4 fuhe m € R. que toma possivel a condiçàu
tsx = l0 - m,. com x ( [+,+[ .la z I
ESTUDO DA FUNCAO CO-TANGENTE
a) Deíinlção
Considere b ciclotrigonométrico da íigura e seia C a intersecçáo da reta ôú com o eixo dasco"tangenles,
(
c
!
-Detinimos comoco.tangente 1do arco Áü ou do ângulo x) a medidaalgébrica do segmên-to BC, e indicamos cotg x = BC.
Observê os triângulos rêtângulos Of,'M e OBC:
ÀoM'M - ÁOBC
:g- = I por construÇão OM = lV'M, entáoBC OB
OM-' - õM" cos x sen xBCOBBCl
= cotg x onde sen x I 0, isto é, x . kÍ.
Podêmos êscrêver também
cotox= " j t -
'l
tgxcoÌg xf
cos x
b) GÍáíico
Vamos êsÌudâravariaçâo da função coìangente, com xê o ponto N/| pârte do ponto A e se movimenla sobre o ciclo
variando no intêrvalo [0, 2Í], istono sêntido anti-horário.
colg, lY
r
coìangenìóide
45
7-
O gráfico da função co-tangentê é chamado co.tanogntóideO gráÍico da função co-tangentê continua à direita dÌe 2Í ê à esquêrda de O {zero).
Analisando o gráÍicq podemos construir o euadro:
Observando o gráficq concluimos que:
. o domÍnio da funçâo y = cotg xé D = Íx (tR lx r kÍcom k ( ZÌ.. a imagêm da função y = cotg x é o intervalo I - ó, + @ [, isto é, _ r < cotg x < + ó
. O pêríodo da função y = cotgxéigualaÍ.
r
cotg xcotg (x + 2)
cotg (x + 2Í)
cotg E + kÍ) comk<z
EE
.
lsto e, ,k<z
. A função y = cotgx é ímpar, isto é:
cotg x = -cotg( x)
l: rtriÈ{dÉüt::
46
Vejamos alguns exemplos.
í9 êxemplo: Calcular o valor de cotg 1 6200.
Resolução:
180"
No ciclo:
1620o=180o+4 3600
cotg 1 620o = cotg 1800
Âesposfa, Não existê.
= g-fu" {nao existe)
29 €xomplo: Quaì é o domínio da funçâo y = cotO f
+ f )r
Feso/ução.'A condiçáo de existência é: x + f, + *"
Daí:
x+i *k"
x* - f , + kt ,
- ìx(Rlxr t + kÍ jResposta: D =
EXERCíCIOS DE APRENDIZAGEM
I Determine o valor de:
a) cotg 9m'
b) cotg I 440ô
c) cotg (-1410.)d) cotg 12Íe) cotg 7Í
fl cotc ï
2 Calcule o domírio das funções:a)y=cots(x+30')
uyy=corglx-{ l\ . /
. .yy=cotg{:x+}}\ * /
3 Determine o pe odo dâs seguintes funções:
a)y=cors{2x +l\ ' /
utv:coq{ lx+{ l\ . /
4 Calculeos ldtre( de m, de modoque a expreç-,+Ám
çAo - l: represenle acolangentede um
ângüÌo do terceiro quadrante
5 Derermine m < R râl que la o = t , ' .
cotg d = 8.
ó Ache m ( R, de modo que r6corg x m - .ex€Ì30' .60oÍ.-a
\!7 -)
ESTUDO DAS FUNÇOES: SEçANTE E CO-SECANTE
--- '
Consideíe o ciclo tíigonométrico da íigura. '|
I
iÍ \
- i
il
I
l
ì
I
t
i,
I
1
D
\
(
\\o M'^J\ s
I
Trâçândo uma retatangente àcircunferência pelo ponto M, intêrceptamos o eixooas aos-cìssas no ponto S e o eixo dâs ordenadas no ponto D
Da Íigura. deÍinimos sec x : OS e cosec x = OD-
Utilizando a semeìhança dê tíiângulos, podemos obter:
comcosx+0
De acordo com êstas Íórmulas,
comsênxl0
podemos estabelêcer o quadro:
- Vejamos alguns exemplos.
'19 exemplo: Qual é o domínio da função y =
Resoluçào: A condição dê existência é: x -
uat:
x-* +* +k"
D=[x(Rlx/ Í+kir ]
sec [x - ]l?
$ +$ +x".
Re€posta:
48
29 exempfo: Calcular m, de modo que sec d = n- 2ed|-)+'2Íl
Resolução: Dêvêmos ter sec o > 1, logo:
m 2>1+m>3
Besposfai S=[m(Rìm>3]
39 exemplol Calcular o valor de cosec ( 1 035')'
Resolução:1035" I 360'
315' l -2 10350 =315Ó +2 360'
1035o = -3150 +2 (-360")
Como 315o = 45o 3600, temos:
cosec ( 1035') = cosêc4so =s#t-
Resposta: \8
12.,t2 .,t2-T
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM
li l,balcule o valor de:
a) sec 540'
b) sec 900"
c)sec( 1410")
!2ìCalcule o valor de:
a) cosec 810'
b) cosec 1 800'
c) cosec I 470'
3 DeteÌmine o domínio das funções:
")"=*"(-r+)b)y=5.. . ( , , ,+)
c)y=sec(+ +)arv=""( i - rm")
d) sec 11Í,9r€, sec 4
^ 25Í
d) cosec 13Í
e) cosec i!
-n cosec
-1
4 Det€rmine o dominio das seguintes funções:
")y=**"(" .+)b)y=-".(3.-+)c) y = cosec (x 60')
5 CalcuÌe m, de modo que:2m l - ì '
m lz
b)coseco=rÌr+4m+1ed€
+l.,, +]
49
?'
20 senao x = 3, catcute
qvsen Jx + sen t - sen
-12l Calcuìe sen I 860..
22 Determine y, sabendo que:
v=*"í{ I -* . . . l " ì .oín'
i - l
n<lN*
23 Cakule o número designado pelas expressões:a) sen 3ó0' + sen 5zl0o - 4 sen I 7l0o
b) sen .- ; sen ( 37 n)
24 Esboce, em um perlodq o sìáf,rco das funcòes:l l
, a ly = lzsenf l b)y: - sen2x| ' l
25 (Fuvest-SP) Foram feitos os gnificos das fun-
ções f(x) = sen 4x e s(x) = fr; , nu* *
no inleÍ\,alo 10,2n[. DeleÍmine o número depontos comuns aos dois gráficos.
2ó Det€rmine o peÍlodo de cada função â seguiÍ:
a)y=*"í+ +' . ì\_ |
b)tx) = 4 +: ' .nín" + Jì\ r , l
27 (PUCC) Dada a funçâo rdgonométÍica
y= - l r * .níx - f ) . calcute o periodo\ - /e a sua imagem.
28 DeleÍmine o valor de k, paÍa que exista o arco- lL- tque satrsmz a rguarcade s*
- =
ï:É
29 Calcule os valores de b que rornam possível4h-1a rguamaoe sen a = j- . sendo o 6
190., 18001.
30 calcule:â) cos 765'b) cos (- 2 l30o)
c) cosË
50
3l (Mack,SP) Determine o domínio dey = úen 3x para 0 < x < r.
32 Calcule o valoÍ da expressão
cos810ô + 4cos3 780. - ] cos t 3:0.
33 (Fatec-SP) Seiam x. v e R. Se x + f= 4-2
(\ y_ 6
. calcule o vator oe t . sendo
, senx + senvcosx - cosy
34 Derermine as coordenada\ dos ponros A. B,CeD
225"
35 Construa o gáfico das funçõesi
r
"1" =
ï . b)y:2+3cosf
3ó QuaÌ é o periodo das funções:
a) y : cos l r ' c l y - 4cos l5x + -r I '
\ r /
DJy = cosi? dìy = cos lzx - + l?"\
37 Calcuje m, sabendo queo periodo da tunçáoy = cos4ÌI ì)(é+.
38 Derermine o wlorde 1,. para que exjsla o a,-co x que satisfâz a igualdade:
arcosx=+4k+l
b)cosx:2k'z+ 4k + 2
39 DeÌermine os !ãiores do paÍàmer m real m, demodo q ue a igualdâde segujnre seja possive,.
cosx = m" - i ex€ l -+-, 2r l .tz I
40 calcule o dominio dâ função: 48 CalüIe o valor da expressão:4 corg 6300 - 2 cotg 3 645' + cotg 810'
49 Calcule o período das funçôes:
a,y=cotcÍ+ + 70"1I
/ - \b)y=cotc(7r-TJ
50 Ache k, de modo que cotg c{ - Ë ?k + l0e d ( 1270o, 360'[. J
5l Calcule o valor da expÌtssão sec I J00"
sec 7 + cosecrË cos€c 990".
52 S€x = 180', calcuÌe o valor de y na expressão:
' "" 2
53 Ache o domínio das funções:
a)f ix)=secÍsx++l\ " /
b)y = cosec (2x + 180')
54 DeteÍmine os valores de m para que se tenha
m-l
55 Corìstrua o gúfico das funções:
a)y = secÍconx( [0,2í ] .b) f(x) = cosec x com x < I0, 2Í1.
<2r
4l calcule o \alor de:
a) 19 360 üÍs+b) ts (-90') €) ts I 470',
c) tg 1080" D tc+
42 sendo x = f rad, calcule A.
A = sen 3x + cos 4x - tg 2x.
43 Determine o domínio das funções:
a) y = lc (5x 45o)
urv=rgl : r+* l\ " , |
44 Ache a, de modo queÌ | 1. I
Igd = a ' - ; a ; €a< l Í . ; l
45 (Cescea-SP) Deterrnine qdominjo e a imag€m
da runçào: (,,) = :te h * ì\ . , |
4ó DeteÍmine o período das funçõ€s:
a)y = ts4x t )v = teï
47 Calcule o dominio das funções:
â)y=cotc(x-60')/ - \b)f( \ ) = 5coÌcl2)\ + Ë I .\ l
i
51