Controlo ‐2ºsem‐2007/2008 © Isabel Ribeiro, António Pascoal
Capítulo 2 ‐Modelação
Cap 2 – Modelação de Sistemas Físicos
Maria Isabel RibeiroAntónio PascoalFevereiro de 2008
Transparências de apoio às aulas teóricas
Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
CONTROLO2º semestre – 2007/2008
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Capítulo 2 ‐Modelação
Objectivos
• Definir o que é um modelo e discutir o seu uso para responder a perguntas sobre sistemas físicos
• Introduzir os conceitos de entrada, saída e dinâmica
• Dar exemplos de modelos de sistemas físicos emdomínios diversos
• Linearização
Referênciaso Cap.2 – do livro de Franklin, Powel, Naemi (referência principal)
o Cap.2 ‐ do texto de Karl Astrom, Richard Murray, disponível naWeb.
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Capítulo 2 ‐Modelação
Revisão sobre Introdução ao Controlo
Controlo =
= Sensoriamento + Computação + Actuação
Sensoriamento / Percepção
Computação
ActuaçãoSistema físico
Sistemas de controlo por retroaçcão ocorrem em muitos domínios
Objectivos do controlo• Modificar o comportamento de sistemas
com as seguintes restrições:
Estabilidade em cadeia fechadaRobustez face a incertezas de modelizaçãoAtenuação de perturbações
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Capítulo 2 ‐Modelação
Modelos
• Modelo = representação matemática de um sistema físico, biológico, mecânico, de informação, ...
• Um modelo fornece uma predição de como é o comportamento do sistema
• O projecto de controladores para sistemas físicos faz‐se a partir de ummodelo desse sistema. Os modelos não têm que ser exactos.
– Modelos que descrevam muito detalhadamente um sistema podem ser complexos
– Desconhecem‐se todos os fenómenos físicos que regulam o comportamento do sistema
– Na modelação fazem‐se, muitas vezes, hipóteses simplificativas
• A retroacção garante robustez a incertezas (em determinados limites) no modelo
• Os modelos usados para controlo relacionam entradas com saídas e(eventualmente) com variáveis internas do sistema
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Capítulo 2 ‐Modelação
Modelos
• O modelo que se deriva depende da pergunta a que se pretende responder sobre o sistema físico.– Perguntas diferentes modelos diferentes
– Perguntas iguais mas hipóteses simplificativas diferentes modelosdiferentes
• Ao mesmo sistema físico podem corresponder modelos diferentes
• Devem ser escolhidas escalas de tempo e de espaço adaptadas às questões a que se pretende responder
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Capítulo 2 ‐Modelação
Modelo
• De entrada‐saída – relaciona directamente a entrada com a saída
• Equação diferencial• Linear ou não linear• Variante ou invariante no tempo
• Função de Transferência• Só para sistemas lineares invariantes no tempo
• De estado – relaciona a entrada, a saída e variáveis internas do sistema
Entrada Saída
r(t) y(t)Sistema
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Capítulo 2 ‐Modelação
Modelação: Exemplos
Alguns exemplos de sistemas físicos– Sistemas mecânicos
– Circuitos eléctricos
– Sistemas electromecânicos
– Sistemas térmicos
– Sistemas hidráulicos
– Dinâmica de populações
– ......
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Capítulo 2 ‐Modelação
Sistema de Controlo de Velocidade (Cruise Control)
• Objectivo do sistema de controlo– Manter constante a velocidade do veículo
• Modelo do sistema físico– Entrada: força f(t) gerada pelo motor
– Saída: velocidade v(t) do automóvel
f(t)Sensor develocidade
MotorControladorv(t)vref(t) +
_f(t)
v(t)f(t)
• Qual é o modelo matemático deste sistema físico que relaciona f(t) com v(t) ?
• Fazendo hipóteses simplificativas obtem‐seum modelo.
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Capítulo 2 ‐Modelação
Sistemas Mecânicos de Translação
Lei de Newton (séc. XVII)
F = soma das forças aplicadas ao corpo (N)v = vector velocidade do corpo (m/s)M = massa do corpo (Kg)mv= momento linear Kgm/s
F= d(mv)/dt
A força total aplicada a um corpo rígido é igual à derivada em ordem ao tempo do seu momento linear
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Capítulo 2 ‐Modelação
Sistemas Mecânicos de Translação
• Massa
• Mola
X
2
2
dt)t(xdm)t(f =
Massa - Armazena energia cinética
m f(t)
X
K
)t(x K)t(fs −=
Mola - Armazena energia potencial
K=constante da mola
fs(t) = força de restituição da mola, resultado de uma deformação (alongamento ou compressão). Kx(t) é a força que é necessário exercer para efectuar o alongamento (x(t)>0) ou a compressão (x(t)<0).
K )t(x K
)t(fs
Elementos Básicos
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Capítulo 2 ‐Modelação
Sistemas Mecânicos de Translação
• Atrito
Elementos Básicos
dt)t(xd )t(fd β−=
Atrito ‐ Elemento dissipador de energia
b=coeficiente de atrito viscoso
X
b
b
Xx(t)
dt)t(xd β
)t(fd
A força de atrito, fd(t), que se opõe ao movimento, é proporcional à velocidade
• simplificação da realidade
• é usualmente uma função não linear da velocidade
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Capítulo 2 ‐Modelação
Sistema de Controlo de Velocidade (Cruise Control)
v(t)f(t)Qual é o modelo matemático destesistema físico que relaciona f(t) com v(t) assumindo as hipóteses simplificativas ?
Hipóteses simplificativas:• Inércia rotacional das rodasé desprezável
• O atrito que se opõe ao movimento é proporcional à velocidade (atrito viscoso)
• O automóvel move‐se noplano horizontal
β
m f(t)
Força externaaplicada
f(t) dt)t(xd (t)v =
Sistema
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Capítulo 2 ‐Modelação
Sistemas Mecânicos de Translação
Exemplo de 1ª Ordem
β
m f(t) Força externa aplicada
f(t) dt)t(xd (t)v =
Sistema
A força de atrito opõe-se ao movimento
dt)t(dvm
dt)t(xdmaplicadas forças 2
2
==∑
dt)t(dvm)t(v)t(f)t(f)t(f d =β−=+
Força externaForça do atrito
Lei deNewton
)t(f)t(vdt
)t(dvm =β+
• Representação de entrada‐saídao no domínio do tempo
o entrada: f(t)
o saída: v(t)
o Equação diferencial linear decoeficientes constantes de 1ª ordem
o Sistema de 1ª ordem
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Capítulo 2 ‐Modelação
Sistemas Mecânicos de Translação
Exemplo de 2ª Ordem
β
m f(t) Força externa aplicada
f(t) x(t)Sistema
A força de atrito opõe-se ao movimento
2
2
dtx(t)dmaplicadas forças =∑
2
2
d dtx(t)dm
dtdx(t)βf(t)(t)ff(t) =−=+
Força externaForça do atrito
Lei deNewton
f(t)dt
dx(t)βdtx(t)dm 2
2
=+
• Representação de entrada‐saídao no domínio do tempo
o entrada: f(t)
o saída: x(t)
o Equação diferencial linear decoeficientes constantes de 2ª ordem
o Sistema de 2ª ordem
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Capítulo 2 ‐Modelação
Sistemas Mecânicos de Translação
Exemplo de 2ª Ordem
m f(t)Força externa aplicada
f(t) (t)xSistema
2
2
dt)t(xdmaplicadas forças =∑
2
2
dt)t(xdm)t(Kx
dt)t(dx)t(f =−β−
β
K
dt)t(xd β−
)t(Kx−
)t(f)t(Kxdt
)t(dxdt
)t(xdm 2
2
=+β+
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Capítulo 2 ‐Modelação
Função de Transferência
)t(f)t(vdt
)t(dvm =β+
EQUAÇÃO DIFERENCIAL ‐ Representação matemática do sistema no domínio do tempo
• para uma dada entrada• a saída pode obter‐se por resolução da equaçãodiferencial
Aplicando Transformada de Laplace unilateral e considerando condições iniciais nulas
)s(F)s(V)s(msV =β+
∫∞
τ−
−
ττ=
=
=
0
s de)(x)s(X
)]t(f[TL)s(F
)]t(v[TL)s(V
Transformada de Laplaceunilateral
β+=
ms1
)s(F)s(V FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ‐ Representação matemática
do sistema no domínio da variável complexa s
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Capítulo 2 ‐Modelação
Função de Transferência
SLITr(t) y(t)
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
0.i.c)s(R)s(Y)s(G
=
=
G(s)R(s) Y(s)
Para condições iniciais nulas )s(R).s(G)s(Y =
• A função de transferência é um conceito potente para descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída
• Para SLITs, a função de transferência caracteriza completamente osistema do ponto de vista de entrada‐saída
Quociente da transformada de Laplace do sinal de saída pela transformada de Laplace do sinal de entrada considerando nulas as condições iniciais
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Capítulo 2 ‐Modelação
Função de Transferência
SLITr(t) y(t)
0.i.c)s(R)s(Y)s(G
=
=
G(s)R(s) Y(s)r(t) y(t)
R(s) Y(s)
TL TL-1
Obtenção da solução da equação diferencial que é a representação do comportamento de entrada‐saída
)s(R).s(G)s(Y =
Se as condições iniciais forem nulas
A função de transferência é um conceito potentepara descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída
Resolução da eq.diferencial
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Capítulo 2 ‐Modelação
Função de Transferência e Diagrama de Blocos
v(t)f(t)
)t(f)t(vdt
)t(dvm =β+
β+=
ms1
)s(F)s(V
βms1+ V(s)F(s)
x(t)f(t)
βms1+
V(s)F(s) X(s)
s1
β)s(ms1+
X(s)F(s)
f(t)(t)xβ(t)xm =+ &&&
O mesmo sistema físicoModelos diferentes
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Capítulo 2 ‐Modelação
Cruise Control (em plano horizontal)
v(t)f(t)
βms1+
V(s)F(s)
Sistema físico
K
modelo do sistema físico
Sistema controladocom controladorproporcional
Vref(s)+
_
?=(s)V
V(s)ref controlador
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Capítulo 2 ‐Modelação
Sistemas Mecânicos de Rotação
rotação em torno de um eixo
• Lei de Newton‐Euler
A soma dos binários que actuam num corpoé igual ao produto do momento de inérciadesse corpo pela sua aceleração angular.
2
2
dtθ(t)dJT(t) =
2
2
dtθ(t)d
T = soma dos binários aplicados ao sistema (N‐m)
= vector aceleração angular a que o corpo está sujeito (rad/s2)
J = momento de inércia (Kg‐m2) (suposto constante)
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Capítulo 2 ‐Modelação
Sistemas Mecânicos de Rotação
• Inércia
• Mola Rotacional
Elementos Básicos
dtdJ
dtθ(t)dJT(t) 2
2 ω==
Armazena energia cinética rotacional
‐ Velocidade angular
θ(t)K (t)Ts −=
Mola armazena energia potencial rotacional
K = constante da mola
Ts(t) = binário de restituição da mola em resultado de uma deformação em torno do ponto de equilíbrio.
é o binário que é necessário exercer paraefectuar a rotação. θ(t)K
ω
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Capítulo 2 ‐Modelação
Sistemas Mecânicos de Rotação
• Atrito Rotacional
Elementos Básicos
Atrito ‐ Elemento dissipador de energia
b ‐ coeficiente de atrito viscoso
O binário de atrito Td(t), que se opõe ao movimento, é proporcional à velocidade angular
• simplificação da realidade
• é usualmente uma função não linear da velocidade
ω(t) β(t)Td −=
β
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Capítulo 2 ‐Modelação
Sistemas mecânicos de rotação
2
1
2
1
1
2
NN
rr==
θθ
A velocidade linear é igual no ponto decontacto das duas rodas
Engrenagem (caixa de desmultiplicação)
2211 θθ rr =
Roda dentada 1 – entrada
Raio -
# dentes - 1N1r
Roda dentada 2 – saída
Raio -
# dentes -2N
2r
a desmultiplicação angular éinversamente proporcional ao quociente do número de dentes.
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Capítulo 2 ‐Modelação
Sistemas mecânicos de rotação
Engrenagem (caixa de desmultiplicação)
Roda dentada 1 – entrada
Raio -
# dentes - 1N1r
Roda dentada 2 – saída
Raio -
# dentes -2N
2r
1
2
2
1
1
2
NN
TT
==θθ
Supondo que a engrenagem não acumula nem dissipa energia
2211 θθ TT =a “multiplicação” de binário é directamente proporcional ao quociente do número de dentesdas rodas.
Resumo
θ2θ1 Τ1Τ2
1
2
NN
2
1
NN
Energia rotacional
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Capítulo 2 ‐Modelação
Exemplo: Pêndulo
m
L
mg
θ
PênduloMassa toda concentrada na extremidadeBraço de comprimento L [m]Binário aplicado Tc(t) [N.m]
Pergunta: Como varia o ângulo θ(t) como função de Tc(t)?
Momento de inércia em torno do ponto de rotação = J = mL2
∑= aplicados binários(t)θJ &&
θsin L mg-(t)T(t)θmL c2 =&&
2c
mL(t)Tsinθ
Lg(t)θ =+&&
mg
θ
θmgcos θ
mgsin θ
• Eq. Diferencial não linear• Não se pode obter directamente a Função de Transferência
• Faz‐se linearização
(t)Tc
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Capítulo 2 ‐Modelação
Carro com pêndulo invertido
http://www.engin.umich.edu/group/ctm/examples/pend/invpen.html
M Massa do carro
m Massa do pêndulo
b Coeficiente de atrito no movimento do carro
L Comprimento do pêndulo
I Inércia do pêndulo
F Força externa aplicada ao carro
x Posição do carro
θ Ângulo do pêndulo relativamente à vertical
Pretende‐se: Equações da dinâmica de movimento do sistema em termos de x e de θ
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Capítulo 2 ‐Modelação
Carro com pêndulo invertido
Soma das forças no referencial horizontal associado ao carro
FNxbxM =++ &&&
Soma das forças no pêndulo na direcção horizontal
sinθθmLcosθθmLxmN 2&&&&& −+=
N = força de reacção (desconhecida) aplicada pelo pêndulo
FsinθθmLcosθθmLxbxm)(M 2 =−+++ &&&&&&
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Capítulo 2 ‐Modelação
Carro com pêndulo invertido
Soma das forças perpendiculares ao pêndulo
cosθxmθmLmgsinθNcosθPsinθ &&&& +=−+Soma dos momentos em torno do centróide do pêndulo
θINLcosθPLsinθ &&=−−
cosθxmLmgLsinθθ)mL(I 2 &&&& −=++
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Capítulo 2 ‐Modelação
Carro com pêndulo invertido
FsinθθmLcosθθmLxbxm)(M 2 =−+++ &&&&&&
cosθxmLmgLsinθθ)mL(I 2 &&&& −=++
Sistema de equações diferenciais não lineares
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Capítulo 2 ‐Modelação
Sistemas Electromecânicos
Parâmetros característicos:
Ra ‐ resistência – Ohm
La ‐ indutância – Henry
ea ‐ tensão de entrada no circuito da armadura –Volt
ia ‐ corrente no circuito da armadura ‐ Ampere
vb ‐ força contra‐electromotriz – Volt
Tm – binário disponível no veio do motor
Motor de corrente contínua
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Capítulo 2 ‐Modelação
Motor de corrente contínua
O rotor gira num campo magnético
Força contra-electromotriz
)(tmbm
bb ωKdt
(t)dθKv ==
Equação do circuito da armadura
aba
aaa e(t)vdtdiLiR =++
tensão de entrada no estator
Forca contra‐electromotriz
tensão aos terminais daresistencia
queda de tensão na bobina
(s)E(s)V(s)sIL(s)IR abaaaa =++
sLR1
aa +
+
_
Ea(s)
Vb(s)
Ia(s) Θm(s)
bsK
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Capítulo 2 ‐Modelação
Motor de corrente contínua
Binario acessível no veio do motor
atm IKT =t
maatm K
)s(T)s(I )s(IK)s(T ==
(proporcional a ia; Kt=Kb)
sLR1
aa +
+
_
Ea(s)
Vb(s)
Ia(s)Kt
Tm(s) Qm(s)
bsK
termo em θm
(s)E(s)sΘKK
(s)s)TL(Ramb
t
maa =++
termos em Tm
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Capítulo 2 ‐Modelação
Motor de corrente contínua
(s)T(s)Ωβ(s)sΩJ mmmmm =+
Equação do ROTOR
(s)T(s)s)Θβs(J mmm2
m =+
)]t([TL)s( mm ω=Ω
sLR1
aa +
+
_
Ea(s)
Vb(s)
Ia(s)Kt
Tm(s)
)sJ(s1
mm β+
Qm(s)
bsK
Por reduções sucessivas do diagrama de blocos, obtenha a função de transferência do motor.
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Capítulo 2 ‐Modelação
Motor de corrente contínua
Se La puder ser desprezada (em comparação com Ra)
(s)T(s)s)Θβs(J mmm2
m =+
(s)E(s)sΘKK
(s)s)TL(Ramb
t
maa =++
(s)E(s)sΘK(s)ΘK
s)βss)(JL(Rambm
t
m2
maa =+++
(s)E(s)sΘK)βs(JKR
ambmmt
a =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
)]RKK(β
J1s[s
)J/(RK(s)E(s)Θ
a
btm
m
mat
a
m
++=
a)s(sK
(s)E(s)Θ
a
m
+=
Função de TRANSFERÊNCIA da forma
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Capítulo 2 ‐ModelaçãoControlo de posição de um motor de corrente contínua
Sistema de controlo de posição angular do motor
a)s(sK
(s)E(s)Θ
a
m
+=
a)(sK+ s
1
Integrador(posicao angular é o integral da velocidade angular. Póloem zero!)
Ωm(s)Εa(s)
Θm(s)
Dinâmica davelocidade angular
asK+ s
1+_
K
Θm(s)
Εa(s)
R(s)
KKsasKK
R(s)(s)ΘG(s) 2
m
++==
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Capítulo 2 ‐Modelação
Dinâmica de condução de um robot móvel
R)t(y
)t(x
)t(θ
WY
W WX
vd(t) – velocidade linear da roda direita
ve(t) – velocidade linear da roda esquerda
L – distância entre rodas
2 rodas motoras traseiras
2 rodas dianteiras não motorizadas
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=
+=
+=
L(t)v(t)v(t)θ
(t))sin(2
(t)v(t)v(t)y
(t))cos(2
(t)v(t)v(t)x
ed
ed
ed
&
&
&
θ
θ
Pergunta:
Como variam no tempo a posição (x,y) e orientação θ do veículo em função das velocidades lineares das duas rodas ?
Sistema de 3 equações diferenciais não lineares
rodas motoras
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Capítulo 2 ‐Modelação
Dinâmica de condução de um robot móvel
R)t(y
)t(x
)t(θ
WY
W WX
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=
+=
+=
L(t)v(t)v(t)θ
(t))sin(2
(t)v(t)v(t)y
(t))cos(2
(t)v(t)v(t)x
ed
ed
ed
&
&
&
θ
θ
Controlo:
Que valores devem ter ve(t) e vd(t) para que o veículo siga um determinado caminho?
rodas motoras
Controlador
(x,y,θ)Coordenadas do caminho aseguir
ve
vd
É com base neste modelo do sistema físico (é ummodelo simplificado) que se projecta o controlador
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Capítulo 2 ‐Modelação
Linearização
v(t)f(t)
β
m f(t)
Força externaaplicada
Sistema não linear Aproximação linear
Exemplo: carro a alta velocidade
dtdv(t)mv(t)βv(t)βf(t) 2
21 =−−
Velocidade elevada Força de atrito: termo linear + termo quadrático
221d v(t)βv(t)β(t)f −−=
Sistema não linear
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Capítulo 2 ‐Modelação
Linearização: Exemplo
dtdv(t)mv(t)βv(t)βf(t) 2
21 =−−
Condição de equilíbrio
• O que é uma situação de equilíbrio ?• Se o sistema estiver numa situação de equilíbrio e não houver nenhuma perturbação, ele mantém‐se indefinidamente nessa situação
• O sistema está numa situação de equilíbrio quando uma força externa iguala a força de atrito
dinâmica não linear
evctev(t) ==
Caracterização do equilíbrio
0=dt
dv(t) 0vβvβf 2e2e1e =−−
2e2e1e vβvβf += Os pares (ve, fe) que satisfazem esta relação
são pontos de equilíbrio do sistema
Sistema não linear Aproximação linear em torno de uma situação de equilíbrio
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Capítulo 2 ‐Modelação
Linearização: exemplo
Estudo do comportamento do sistema emtorno de uma situação de equilíbrio (ve, fe)
δv(t)vv(t) e +=
δf(t)ff(t) e +=
2e2e1e
e δv(t))(vβδv(t))(vβδf(t))(fdtδv(t))d(vm +−+−+=
+
221 v(t)βv(t)βf(t)
dtdv(t)m −−=
Incrementos pequenos em torno do equilíbrio
????2e1e βδv(t))(vβδf(t))(fdt
(t)dδm −+−+=v
???linear linearVe=cte.
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Capítulo 2 ‐Modelação
Linearização: exemplo
???=+= 2e
2 δv(t))(vv(t)Apr. série de Taylor em torno do ponto de equilíbriodesprezando os termos não lineares (ordem superior à 1ª)
...)xx(dx
fd21)xx(
dxdf)x(f)x(f 2
0xx
2
2
0xx
0
00
+−+−+≅==
Apr. série de Taylor
δv(t)2vvv(t) e2
e2 +≅ Desprezando termos de ordem superior
δv(t))2v(vβδv(t))(vβδf(t))(fdt
(t)dδm e2e2e1e +−+−+=
v
É válido para incrementos pequenos
v
v2
ve
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Capítulo 2 ‐Modelação
Linearização: exemplo
δv(t))2v(vβδv(t))(vβδf(t))(fdt
(t)dδm e2e2e1e +−+−+=
v
2e2e1e vβvβf += Condição de equilíbrio
δv(t)vβδv(t)βδf(t)dt
(t)dδm e21 2−−=v
δf(t)v(t))vβ(βdt
(t)dδm e21 =++ δ2v Eq. diferencial linear
Função detransferência)]v2β(β[sm
1δF(s)δV(s)
e21 ++=
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Capítulo 2 ‐Modelação
Linearização: exemplo
Função detransferência)]v2β(β[sm
1δF(s)δV(s)
e21 ++=
v(t)f(t)
δv(t)δf(t)
Sistema não linear
Sistema Linearizado δf(t)v(t))vβ(βdt
(t)dδm e21 =++ δ2v
f(t)v(t)βv(t)βdt
dv(t)m 221 =++
•Relaciona incrementos na saída com incrementos na entrada•Os incrementos são em torno de um determinado ponto de equilíbrio (ve,fe)
A localização do pólo depende da velocidade de operação ve
Controlo ‐2ºsem‐2007/2008 © Isabel Ribeiro, António Pascoal
Capítulo 2 ‐Modelação
Pêndulo: Linearização
m
L
mg
θ
2c
mL(t)Tsinθ
Lg(t)θ =+&&(t)Tc
Não linear devido ao termo sinθ
0T 0,θ c == Ponto de equilíbrio do sistema
Para θ pequenos (pequenas perturbações em torno do ponto de equilíbrio)
θsinθ ≅
2c
mL(t)Tθ
Lg(t)θ =+&&
Modelo linear que descreve o comportamento do sistema, mas só
para θ pequenos
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