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5/11/2018 Cap 8 - Más Aplicaciones De La Integración - Pag 524-565 - slidepdf.com

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M A s APLICACIONES

DE LA INTEGRACION

La longitud de una curva es el

limite de las extensiones de

los polfgonos inscrltos.

Se han considerado algunas aplicaciones de integrales en el capitulo 6: areas, voltime

trabajo y valores prornedio. Aquf se exploran aJgunas de muchas otras aplicaciones

geometricas de la integraci6n: la longitud de una curva, el area de una superficie,

como cantidades de interes en ffsica, ingenierfa, biologfa, economia y estadfstica.

ejemplo, se investigara el centro de gravedad de una placa, la fuerza ejercida par l

presion del agua de una presa, el flujo de sangre desde el corazon humane y el tiem

promedio en espera durante una Hamada telefonica.

524



~~~~~~~~3~r_L_O_N_G __T _ U _ D _ D _ E _ A _ R _ C _ O

F IGURA I

Ii]EVisual 8.1 exhibe una animaci6n

de la f igura 2.

00

00F IGURA 2

FIGURA 3

l.Que se entiende por longituc1de una eurva? Se podrfa pensar en ajustar un trozo de

da a la curva de la figura I. y despues medir la cuerda contra una regla. Pero eso podn

diffcil de hacer con mucha exactitud si se tiene una eurva cornplicada. Se necesita u

finicion precisa para la longitud de un arco de una curva, en el mismo sentido q

definiciones desarrolladas para los conceptos de area y volurnen.

Si la curva es un poltgono, se determina con facilidad su longitud: s610 se sumlongitudes de los segmentos de recta que forman el polfgono. (Se puede usar la formu

la distancia para hallar la distancia entre los puntos extremes de cada segrnento.) Se d

ra la longitud de una curva general aproxirnandola primero mediante un polfgono y

taman do un Ifmite cuando se incrementa el rnimero clesegmentos del polfgono. Este

so es familiar para eI caso de un cfrculo, donde la circunferencia es el Iimite de long

de poligonos inseritos (vease la figura 2),

Ahora suponga que una curva C se define mediante la ecuacion y =(x). dond

continua y a ~ x ~ b. Se obtiene una aproxirnacion poligonal a C dividiendo el in

10 [a, b] en n subintervaios con puntos extrernos Xo, X " . • • , x" y de amplitud igual

Si y,=(x,), par 10 tanto e l p un to P ,(x" )',) yace en Cy el polfgono con vertices Po. P "

P", ilustrado en la figura 3, es una aproximaci6n a C.

yP,

Y'" f i x )

\ .

P I'

P (I

. . .0 (/ x, x~ X1-1 x , Ii .r

La Iongitud L de C es aproximadamente la longitud de este polfgono y la aprox

cion es rnejor cuando se incrementa II. (Vease la figura 4. donde se ha arnpliado ede la curva entre Pi-I Y Pi Yse rnuestran las aproximaciones COil valores sucesivar

mas pequefios de Ax) Por 10 tanto. se define Ia longitud L de Ia curva C con la ecu

)' = .r(x), a ~ x ~ b. cuando ellimite de las longitudes de estos pohgonos inscritos

P, Ifrnite existe):

P ,

P,

P,

FIGURA 4

C D

Observe que el procedimiento para definir la longitud de arco es rnuy similar al p

dimiento empleado para definir area y volumen: se divide Ia curva en un gran mimepartes pequefias. Luego, se determinan las longitudes aproximadas de las partes peq

y se suman, Por ultimo, se toma ellfmite cuando J 1 --'> 00.

La definicion de la longitud de arco expresada en la ecuacion I no es muy conven

para propositos de calculo, pero se puede deducir una formula integral para L en e

dondeftiene una derivada continua. [Tal funcionjse denomina uniforme porque un

bio pequefio en x produce un cambio pequefio en f'(x).1

Si AY i =i - Y i-I , por 1 0 tanto



526 !!!I CAPiTULO B MAs APLICACIONES DE LA INTEGRACION

Al aplicar el teorema del valor medio af en el intervalo [XH, Xi], se encuentra cjue

ruirnero x ? entre Xi-I y X i tal que

es decir, b.y,='(x/j b. x

Asi, se tiene

I Pi-IP.! =(!:lxF + (b.YiF =(!:lxF + [f'(xt) b.xl"

=Jl + ff'{Xt)]2 J{!:lxF =Jl + [f'(X/)]2 D .x ( pu es to q ue j

Por 10 tanto, por la definicion 1 ,

II n

L=1 m 2 : I PHP, I = 1 m 2 : Jl + [f'(xnr!:lx, , - ~ ' : . C i= I 11~),:o:., i-I

Se reeonoce que esta expresi6n es iguaI a

J

'b

Jl + [f'(X)]2 dx"

por la definicion de una integral definida. Esta integral existe porque la fu

g(x) =JI + [f'(X)J2 es continua. Asf, se ha demostrado el siguiente teorerna:

r n FORt4ULA DE LA LONG 1TU D DE A ReO S i f' es continua en [a, b] . en tal caso

longitud de la curva y =(x), a "'" x "'"b, es

Si se usa l a notac ion de Leibniz para derivadas, se puede eseribir la f6rmula de

gitud de arco como sigue:

r b ~ ( d y ) 2L = J " 1 + dx dx

EJEM PLO I Halle la Iongitud de area de la parabola sernicubica y2 =3 entre los p

(1, n y (4,8). (Vease figura 5).

(4,8) S O L U C I O N Para la mitad superior de la curva se tiene

y . por 10 tanto, la formula de longitud de arco produce

x

(dy ) 2 ' 4

I + - dx = J 1 + ~X dxdx .1 4

F IG U R A 5

L= fSi se sustituye II= I + ~x, despues e l l ! = ~dx. Cuando x = 1, U = ¥ ; cuando x =II= 0 .



2C om o eo mprob aei6 n d e la resp ues ta a l

ejem p lo 1, observe en la figu ra 5 que es

neeesa rio q ue la lo ng itu d d e a rea debe ser

un poco m as g rande que la d is tan c ia de 1 1, 1 ) a

(4 ,8 1, q ue es

J 58 '" 7.615773

De a cu erd o c an el ca l eu l 0 de! e jem plo 1. se

tiene

L=7 (soJlO - uv 'T I) '" 7.633705C on certeza su fic ien te. es ta es u n p oc o m as

gra nd e q ue la lo ng itu d d e I s sq rnen to d e rec ta .

En la figu ra 6 se m ues tra el a rea de la

p arab ola cuy a lon qitud s e ca lcu l6 en el

e je mp lo 2 . ju nto c an a pro xlm ac io nes p oliq on a-

les qu e tien en segm en tos de rec ta n=Y

11 = 2 . re sp ec tiv am en te. Pa ra It= la

lo ng itu d a pr ox im a da e s L I=./2. l a d ia g o na lde un cuad rado . En la tab la se m ues tran las

aprox imac iones L; qu e S8 o b ti en en a J d i vid ir

[0 , 1] en n s ub in te rv alo s ig ua le s. O bs er ve q ue

c ad a v ez q ue S8 dup lica el ndm ero de lades de

u n p o lf g on o . S8 a prox im a m as a la lon gitud

exsc ta . qu e es

.[5 10(.[5+ 2 )L=- + = I 478943

2 4 .

SECCJON 8.1 LONGITUD DEAReo 1 1 1 1

Por 1 0 tanto,

_ 4 flO I _i ~ 3/ 2] 1 0L - ij I v II du - <) • 3 l( 13/4

, 13/4

Si una curva tiene la ecuacion x =(y), c ~ y ~ d, y g'(y) es continua, despues al

cambiar los papeles de x y y en la formula 2 0 la ecuacion 3, se obtiene la formula sigu

para su longitud:

'I C dL =' JI + [g'{y)]2 dy =. (

d X ) 21+ -. dy

dv

fi]! EjEM PlO 2 Eneuentre la longitud del areo de la parabola y2 = X de (O , 0 ) a (1, 1 ) .

5 0 L U C I O N Puesto que x = y2 , se tiene dx/dy =y, y la formula 4 produce

1

'1 ~ ( d r ) 2 [ I= 1+ -~. dy = JI + 4y2 dy.0 d) dl

Se hace la sustitucion trigonometrica y = ~tan e, que da dy = ~sec2e de y

Jl + 4y2 = Jl + tanZe = sec e. Cuando y = 0, tan e = 0, por 10 tanto, a = 0; cu

y =1, tan e = 2, asf que a = tan -I2 = ct, por ejempJo. POl'eso,

f , " 1 7 1 I ' " ,= sec a . 'i s e c - a d e =., sec' e d eo - - .0

=!.Usec e tan e + In I sec e + tan e l ] ~ (de! ejcmplo S de hi ~CCCi1)n 7.2)

=Hsec ct tan a + In I sec ct + tan a I )

(Se podrfa haber usado la formula 21 de la tabla de integrales). Puesto que tan a=

tiene sec2a =1 + tan2a =, de modo que see a = 15 y

15 In (15 + 2 )L=- + -----''-'-----'-

2 4

.r

I 1/ L"

1 1.414

2 1.445

I 4 [.464

8 1.472

16 1.476

32 1.478

64 1.479

F IG URA 6



Debido a la presencia del signo de la rafz cuadrada en las formulas 2 y 4, el calc

una longitud de arco a menudo conduce a una integral que es muy diffcil 0 incluso

sible de evaluar de manera explfcita, Asi, algunas veces se tiene que conformar con

una aproximacion de la longitud de una curva como en el siguiente ejernplo.

528 H I I CAPiTULO 8 MAs APLlCACIONES DE LA INTEGRACION

AI c om pro ba r e l v alo r dela i nt eg r a l d e fi ni da

c on u n a a p ro x im a c io n m a s ex ac ta p ra du cid a p or

u n s is tem a a lqeb ra ico com pu tac io na l, se ve q ue

la a p r o x i r n a c i r n p or m ed ia de la reg ia d e S im pso n

es ex ac ts h as ta cua tro d ec im a les .

~ EJEMPlO 3

(a) Establezca una integral para la longitud del areo de la hiperbola xy = 1 del pun

(1, 1) al punta ( 2 , D -(b) Use la regia de Simpson con n=10 para estimar Ia longitud de area.

S O l U ( I O N

(a) Se tiene

y=-x

y, par 10 tanto. la Iongitud de area es

+ ( d ) : ) 1 dx = 1 2 ~ dx = 1 ' 2 ~ dxdx . ! \j 1 ""t"7 J ! X

(b) POl' media de la regIa de Simpson (vease la seccion 7.7) con a =, b = 2, n =

L lX = 0.1, y f(x) =I + l /x4, se tiene

L = j 2 ~dx.! " V J" " t " 7

L lX=-3- [f(1) + 4f(1.1) + 2f(1.2) + 4f(1.3) + . , , + 2f(1.8) + 4f(1.9) + f(2

= 1.1321

FUNCION DE LA LONGITUD DE ARCO

Se encontrara uti! tener una funcion que mida la longitud de arco de una curva de un

minado punta de partida a eualquier otro punta sabre la curva. Asi, si una curva unifo

tiene la ecuacion y =(x), a ~ x ~ b, sea s(x) la distancia a 10 largo de C del punto

Po(a,J(a» al punto Q(x,f(x», Despues s es una funcion, Hamada la funcion longit

arco y , par la formula 2,

s(x) =t JI + [f'(t)J2 dt

(Se ha reemplazado la variable de integracion por t para que x no tenga dos signific

Se puede usar la parte 1 del teorema fundamental del calculo para derivar la ecua

(puesto que el integrando es continuo):

ci s ~l' + (ddxY)Z r- =I + L f ' ( X ) ] 2 =cl x



F IGURA 7

o

SECCION 8.1 LONGITUD DEARCO IIII

En la ecuacion 6 se muestra que la relacion de cambio de s con respecto a x es siernpre

10menos 1 y es igual a I cuando rex)' la pendiente de la curva, es O. La difereneial

longitud de areo es

~ ( d l ' ) 2s = I + d:, dx

y esta ecuacion se escribe a veces en la forma simerrica

(cis)" =dX)2 + (dyf

La interpretacion geometrica de la ecuacion 8 se muestra en la figura 7. Se puede usar c

dispositivo mnernotecnico para recordar las formulas 3 y 4. Si se escribe L= ds. a

tinuacion de la ecuacion 8 se puede resolver para obtener (7), que da (3), 0 se puede reso

para obtener

x

(dX)"1+ - dydy

ds =

que c ia (4).

I lA EJEMPLO 4 Encuentre la fu ncio n lo ng itu d de area para la cu rv a y =2- ~ In x

tornando a Po(l, 1) como el punta de partida.

S O l U C I O N Si f(x) =2- ~ In x, en tal caso

Irex) =x --

8x

I + [rex)]" =I +( 2 X -

_1

) 2 =1+ 4

' ( 2 _J _ + _1 _

8x . 2 64x2

1 I ( 1 ) 24x2 + - + --1 = 2x + -

2 64x- 8x

Jl + [j'(x)]2 =x + _18x

Asi, la funci6n longitud de area esta dada por

sex) =r")l + Lf'(t)F dt.1

r't ( 1 ) 1 1 ]'2t - - dt =: + il In t 1

.1 8 f

=" + ~In x - I

Par ejemplo, la longirud de area a 10 largo de la curva de (I, J) a (3./(3)) es

1 1 In 3s(3) =3' + sIn 3 - I= + -8- =8.1373



y

" ' ( jP o

y=x2-i lnr

o x

530 1 1 1 1 CAPiTULO 8 M As APLICACIONES DE LA INTEGRACI6N

B E n la lig ur a B s e r nu as tr a la in te rp re ta cio n

d e la fu n c io n lo nq itu d de a rco del ejem plo 4 . En

la fig ura 9 se ilu stra la g ra fiea d e es ta fu nc io n

d e l ong i tud d e a re a. i, Po r q ue s(x) es n eg at iv a

c uando x e s m en ar que 1?

§JERCICIOS

F IGURA 8

1. Use la formula de longitud de arco (3) para hallar la longitudde la curva y = 2>: - 5 , - 1 ~ x ~ 3 . C omp ru eb e SlI respuestn

notanda que la eurva es un segmento de recta y calculando su

longitud mediante 10 formula de l a d i st anc ia .

2. Use la formula de la longitud de arco para hallar la longitud

de la curva y = ../2 - x~, 0 ~ x ~ 1. Cornpruebe su

respuesta notanda que la curva es parte de un cfreulo.

3-6 Establezca. sin evaluar, una integral para la longitud

de I n c ur va ,

3. y=os .r , 0 ~ x ~ 2 7 T

5 . x = + Y", 1 ~ y ~ 4

7-18 Determine la longitud de la curva,

rn y = I + 6x)f), 0.;; x';; 1

8 . y2 =(x + 4)\ 0,,;;: x";;: 2. y> 0

.\.5 1

9 , v =- + --" 1.;;: x ~ 2. 6 lax'

[ill x =~/ Y (y - 3), 1.;;: y ,,;;:9

12 . y = 1n(c05 .r), 0 , , ; ; : x";;: 'IT/3

O X ! y = 1n(sec .r), 0.;;: x .;;:r./4

I14. y = - Tcosh 2x, a ~ x .;;:1

o x

s(x) =x2+i Inx-l

F IGURA 9

15 . y = 1n(1 - r), a~ x ,,;;:l -16 . y =x -.2 + sen-1(Jx)

17 . y = e", a ~ x ~

(

e X + 1 )8. y=ln -- ,

e - 1a .;; x ~ b, a > 0

~ 19-20 Hallar la longitud del arco de la curva desde el punta P

el punto Q.

19 . y = x\ P( -1,

+ ) ,Q(l,

+ ) ,20• .\2 =y - 4)3 PO ,5), Q(8,8)

~ 21-22 Grafique la curva y estime visualmente su Iongitud; D

halle su longitud exacta

2 1 ' ( , ) 1 1 '• Y =tX" - 1 ''', 1",- ; x ",-;3

,3 122 . + . . . ! . . . , . : : : x - < : : 1')'=6 lx 2~ ~

23-26 Use la regla de Simpson con I!= 10 para estirnar la lo

de arco de la curva. Compare su respuesta con el valor de la i

que obtiene de su calculadora,

24. X = + - / Y , 1,,; ; y ~ 2

25. y =ec x, a ~ x .;;:r./3

26. y = ;c In x, 1.;;: x ~ 3



f f J 27 . (a) Grafique In curva y = x ';/4 - .r, 0 ~ .\' ~ 4.

(b) Calcule las longitudes de polfgonos iuscritos con !J =1,2,

Y 4lados. (Divida el intervale en s ub in te rv alo s ig ua le s. )

Ilustre bosquejando estos polfgonos (como en la figura 6).

(d) Plantee una integral para la longitud de Iu curva.

(d) Use su calculadora para hallar la longitud de la curva

hasta cuatro ctecimales. Compare con las aproximaciones

del inciso (b).

f f i 28. Repita el ejercicio 27 para la curva

y = x + sen x

@29. Use un sistema algebraico computacional 0 una tabla de

integrales para hallar la longitud exacta del areo de la curva

y = In x que yace entre los puntos (I. 0) y (2. In2).

@j30. Emplee un sistema algebraico computacional 0 una tabla

de integrates para hallar la longitud exacta del arco de

la curva y =W que yace entre los puntos (0 , O ) Y (I . I l.

Si CAS tiene problemas para evaluar la integral, haga la

sustitucion que cambia I a integral en una que el CAS puedaevaluar ,

m Bosqueje la curva con ecuacion x2/3 + )'2f.l= Yernplee la

simetria para hallar su longitud.

32. (a) Bosqueje Ia curva y3 = x~.

(b) Use las formulas 3 y 4 a fin de plantear dos integrales

para la longitud de arco de (0, 0) a (1, 1). Observe que

una de estas es una integral impropia y evahie arnbas.

(c) Determine la longitud de arco de esta CUTvade (-I, I)

a (8, 4).

m Encuentre la funcion longitud de arco para la curva . ' > ' =XJJ2

con punto inicial ?o(l, 2).

(a) Grafique la curva y =~J + 1/(4x), x > o .(b) Encuentre la funcion de longitud de arco para esta curva

con pun to i ni cia l ?Q ( I,s ) .

(c) Grafique la funcion longitud de arco.

35. Halle la funcion longitud de arco para la curva

y = sen - IX + ,j 1 - x! con punto de inicio (0.1).

36. Un planeador que viene del oeste con vientos esrables. La altura

del p la ne ad or a rri ba de la superficie de la tierra desde la posicion

horizontal x = hasta .v= 80 pies se proporciona mediante

insertar y = 150 - 4 ~ '(x - 50j2. Halle la distancia recurrida

por el planeador,

37. Un halcon que vuela a IS m/s a una altitud de 180 m deja caer

su presa accidental mente. La trayectoria parabolica de Ia presa

en dcscenso se describe mediante la ecuacion

x 2

y = 180 --45

hasta que choca con el suelo, donde y es SlI altura sobre del

suelo y x es la distancia horizontal recorrida en metros.

SECCION 8.1 LONGITUD DEAReo IIII

Calcule la distancia que recorre la presa desde el momento en

que es dejada caer hasta que choca con el suelo, Exprese 511

respuesta correcta basta el decimo de metro mas proximo.

38. Fue construido el arco Gateway en SI. Louis (vease In foto

la pagina 256) aplicando Inecuacion

y =11.49 - 20.96 cosh 0.03291765x

Para la curva central del arco, donde .r y y se miden en metr

y I x ! , , - : ; :91.20. Establezca una integral para la longitud del a

y utilice Sl1 calculadora para estimar la longitud a la medidu

mas cercana,

39. Un fabricante de teehos de metal corrugado quiere producir

paneles que miden 28 pulgadas de ancho y 2 pulgadas de

espesor procesando laminas planas de metal como se

ilustra en la figura. EI perfil del techo toma la forma de

una onda seno. Compruebe que la curva senD tiene ecuaciou

y = sene T o X / 7) Y determine el a n c h o II' d e una lamina de

metal plana requerida para construir un panel de 28 pulgadas,

(Con su calculadora evahie la integral correcte hasta cuatro

dfgitos significativos.)

IV

12p

r-- 28 pulg ---/ T

40 . (a) En la figura se muestra un alarnbre de telefono que cuelg

entre dos postes en x = -b y x=b. EI alambre toma la

forma de una catenaria con ecuacion y = c + a cosb(x/a

H allar I n lo ng itu d del alambre.

(b) Suponga que dos pastes de telefono se apartan entre sf 5pies y que la longitud del alambre entre los postes es de

pies. Si el punto mfnimo del alambre debe estar a 20 pie

sobre el suelo, i.a que altura debe estar fijo el ulambre en

cada poste?

y t. , , ~ 1 1;;

~II ,

! I Iii,, I !

- - _ L - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - 7 - ~-h O J b .v

I

41. Encuentre la longitud de la curva

v='' < T-ldt, ~ X ~ 4 .,! "1/1.0

- I

t i f l l 1 b J Las curvas con ecuaciones .v" + y" = I, n = 4, 6. 8.... , s

llarnan circulos gordos. Grafique las curvas con II=, 4,

8, y 10 para vel' por que. Plantee una integral para la longitu

L« del cfrculo gordo con Il = 2k. Sin intentar evaluar estu

integral, exprese el valor de Ifm L21J : _ _ . • ' .. :



CONCURSO DE LA LONGITUD DE ARCO

SJ2 IIII CAPiTULO 8 MA s APLICACIONES DE LA INTEGRACION

Las curvas mostradas son ejemplos de gnificas de funciones continues j que tienen las siguien

propiedades,

1. j(O)=Oyj(I)=O

2. j(x) ~ 0 para 0 ,,;;x ,,;;1

3. EI area bajo la gnifica de j de 0 a I es igual a I.

Sin embargo, las longitudes L de estas curvas son diferentes.

y

L"" 3.249

__+-J__~

.r

L= 3.213

o o or x

L=2.919 L=3.152

Intente descubrir las formulas para dos funciones que satisfacen las condiciones dadas 1, 2

(Sus graficas podrfan ser familiares a las mostradas 0 podrfan parecer bastante diferentes.)

DCSpllCS calcule Ia longitud de arco de cada grafica. El elernento ganador sera el que tenga In

longitud de arco mas pequefia.

I

h iI

2711"

F I G U R A I

Una superficie de revolucion se forma cuando se haee girar una eurva respecto a una

Tal superficie es el limite lateral de un solido de revolucion del tipo analizado en la

ciones 6.2 y 6.3. -

Se desea definir el area de una superficie de revolucion de tal manera que corresp

can la intuicion. Si el area de superficie es A, se puede imaginar que pintar la superfic

querina la misma cantidad de pintura que una regi6n plana can area A.

Se comienza can algunas superficies simples. EI area superficial lateral de un ei

circular can radio r y altura h se toma como A =7Trh porque se puede imaginar co

cilindro y desenrollarIo (como en la figura 1) para obtener un rectangulo can dimens

27Tr y h .

De igual manera, se puede tomar un cono circular can radio de base r y altura denaci6n l, cortarIo a 10 largo de Ia linea discontinua en la figura 2, y aplanarlo para f

un sector de un circulo can radio I y angulo central (J=m/I . Se sabe que, en gene

area de un sector de un cfrculo can radio I y angulo (J es ~ro (vease el ejercicio 35

secci6n 7.3) y, pOl'10tanto, en este caso es

I" I "(27Tr)A = 'i1~(J = 'il- - [- = 'TTr l

Par ende, se define el area de superficie lateral de un cono como A =ttrl.



FIGURA 2

FIGURA 3

s

o

(a) Superficie de revolucion

(b)Banda de aproximacion

F IGURA 4

SECCION 8.2 AREA DE UNA SUPERFICIEDE REVOLUCION IIII

"Que hay acerca de superficies de revolucion mas complicadas? Si se sigue la estr

gia que se usa con la longitud de arco, se puede aproxirnar la curva original mediante

poligono. Cuando este polfgono se hace girar respecto a un eje, crea una superficie

simple cuya area superficial se aproxima al area superficial real. Si se torna un limite

puede determinar el area superficial exacta,

En tal caso, la superficie de aproxirnacion consta de varias bandas, cada una forrnad

hacer girar un segrnento de recta respecto a un eje. Para hallar el area superficial, cada

de estas bandas puede ser considerada una porcion de un cono circular. como se muestra

la figura 3. EI area de la banda (0 tronco de cono) con una altura inclinada I y radios su

rior e inferior r, y /'2 se encuentra al restar las areas de dos conos:

c oDe triangulos sirnilares se tiene

que c ia

o bien

Si se escribe esro en la ecuacion 1, se obtiene

o bien,

A =Ttrr!

donde r =1h + 1"2) es el radio promedio de la banda.

Ahora se aplica esta formula a la estrategia. Considere la superficie mostrada en la f

ra 4, que se obtiene al hacer girar la curva y = !(x). a ,,;;: ~ b, respecto al eje x, dondes positiva y tiene una derivada continua. A fin de definir su area superficial, se divide el

tervalo [a , b] en 11 subinterval os con puntos finales X o , X ! , . . • , X II e igual arnplitud L l . x , co

se hizo para determinar Ia longitud de arco. Si y, =(Xi), por 1 0 tanto el punto P,(Xi, y, )

ce sobre la curva. La parte de la superficie entre X-I y X i se aproxima al tomar el segme

de recta Pi~LPi y hacerlo girar respecto al eje x. El resultado es una banda con altura in

nada 1=Pi- LP i I y radio promedio r=!Yi ~ I+ Yi ) de modo que, poria formula 2, su a

superficial es



534 IIII CAPiTULO 8 M A s APLICACIONES DE LA INTEGRACION

Como en la dernostracion del teorema 8.1.2, se tiene

donde x ; : ' es algun niimero en [ X i- ! , X I ] . Cuando L lX es pequefio, se tiene Y I =( X i ) =

y tambien Yi-I =( X H ) = ( x n , puesto que f es continua. Par 10tanto,

),,-1 + Y i I2 1 T 2 I PI·-I?i =2 1 T f ( x l " ) V I + [/'(x!")r L lX

y de este modo una aproxirnacion a 10 que se considera el area de la superficie de r

cion completa es

"L 2 1 T j ( X t ) ,II + [ f' ( X ; , , ) J 2 L l xi~1

Esta aproximacion al parecer rnejora cuando 1 1 ~ 00 y , reconociendo a (3) como una

de Riemann para la funciong ( x ) =1 T j ( X )

JI + [/ '(x)]2, se tiene

Ifll~± 2 1 T f ( x n -/1 + [ / ' (X:")J2 L l X =' l l 2 1 T f ( x ) JI + [ / , ( X ) ] 2 dxn-~- i " ' " " i ._U

Par 10tanto, en el caso dondejes positiva y tiene una derivada continua, se define e

superficial de la superficie obtenida al hacer girar la curva Y =( x } , a ,,;;x ,,;;;:, re

al eje x como

5=C 2 1 T f ( x ) -/1 + [ f ' ( x - ) J 2 dx. "

Con la notacion de Leibniz para derivadas, esta formula se convierte en

[S ='I /2 1 T y I + ( _ d y ) 2 d x

,(I dx

--Si la curva se describe como x=(y), c ,,;;;: ,,;;;:d, despues la formula para el ar

perficial se transforma en

I'd5= 2 1 T Y

.< ( d x ) 21+ - dye ly

y ambas formulas se pueden resumir de forma simbolica, por media de la notacion

longitud de arco dada en la seccion 8.1, como

s= 2 1 T . V ds



F IG U R A 5

FIGURA 6

m En la figu ra 6 sa m ues tra 18 p orc ion de la

estera c u y a a rea su perfic ia l s e ca lcu l6 en e l

ejemplo 1.

SECCI6N 8.2 AREA DE UNA SUPERFICIEDE REVOLUCJON IIII

Para la rotacion respecto al eje y, la f6rmula del area superficial se convierte en

s= 2 7 T X d s

donde, como antes, se puede usar

ds = (e l V ) 1+ _._ dx

dxds = (

d X ) ~1 + -. dy

dya bien

Estas f6rmulas se pueden recordar si se considera a 2 7 T Y or 2 7 T X como la circunferencia

un circulo trazado par el punta (x, y) sabre la curva cuando se hace girar respecto al e

a al eje y, respectivamente (vcase figura 5).

y

.r

o

circunfcrencia ""27l'X

(a) Rotacion respecto al eje .r: S "" J 2 1T Y ds (b) Rotaci6n respecto al eje y: S= J 21TXd

[!jE JEM PlO I La curva y =./4 - x~, -1 ,,;; x ,,;; I, es un area del circulo Xl + .1'1 =

Encuentre eI area de Ia superficie obtenida al haeer girar este area respecto al eje x.(La superficie es una porcion de una esfera de radio 2. Vease figura 6.)

5 0 L U C I O N Se tiene

dy I( ' 1 / " ( - x- = 4 _ x-r --2x) = ,

dx - . . / 4 - x-

y , por 10 tanto, por la formula 5, el area superficial es

s=l 2 7 T Y-I (

d V ) 21 + -'- dx

dx

= 2 7 T f _ I I . } 4 - x 2 1 1 + x2

dx- y 4 - x2

J'I 2

=7T .}4 - Xl 0 dx-I .} 4 - x-

= 47 T I I I dx =7 T ( 2 ) =7T-I



i.!ii E JEMPL O 2 EI arco de la parabola y =" de (1, I ) a (2 , 4 ) se hace g irar respecto

eje y. Encuentre el area de la superfieie resultante.

S O LU C lO l l I Si se e r n p l e a

536 IIII CAPITULO 8 MAs APUCACIONES DE LA INTEGRACION

En la fiq ura 7 s e m ues tra u na s up erfic ie

d e revo luc lo n cuya a rea s e ca lcu la com o en el

e jem plo 2 .

12.4)

~~----~0~1--r--2r---~

FIGURA 7

Pa ra co rn pro oa r d e la res pu es ta a l

ejem plo 2 . o bserve en la figu ra 7 que e I a re as up erfic ia l d eb e s er cerca na a la d e u n c ilin dro

c irc ula r c an la r r u s m a al tura y ra dio a la n u t a d

e nt re e l r ad io s u p e n o r e in t e rio r d e la s u p e r f i c i e :

2 1 T ( 1.5) (3) =2 8.2 7. S e c a lc ulo q ue el area

s u p e rfi cia l e ra

1 T (1 7 jf7 - 5 y '5 ) = 30 . 856

q u e p a re ce r a z o n a b l e . D e m a ne ra a l te rn a ti va .

e l a rea s up erfic ia l d eb e s er u n p oco m as g ra nd e

q ue el a rea de un tronco de co no con la m ism a

base y tap a De la ecua c ion 2 , es to es

2 1 T ( 1 . 5 ) ( J T O ) =29.80.

Otro m eto da am plee Is fo rm ula 6 can

x = loy.

y =~dv__=xdx

y

se tiene, de Ia formula 8.

s = J 2' iTX ds

' " I ( d V ) "2 'iTX \ I+ d:r dx

=2rrfxJl +4x"dx

Al sustituir u =1 + 4 . 1 ' " , se tiene du =x dx. Sin olvidar carnbiar los Ifmites de

integracion, se tiene

tt , ' 1 7 C. tt [' ' ' ' ] 1 7S = - ylldu = - ~11°'- 54 .5 4

=; ( 1 7 ffi ~J5)

S O L UC IO N 2 Si s e e m p le a

x= J Y

dx I

dy = 2;;'

se tiene

s= 21T ' \ ds =42' iTX(dX)"I+ --, dvdy

'4 R '4= 2 r r l . f Y 1 +-dY=' iT 1 _ .I4y+ Idy,I 4y J I

-tt '17

=-I ji;dll4 .5

(donde 11 = I + 4y )

.}

=iT (17 _.1T 7 - 5 . J 5 )6

(com o en ln sotncion 1 )

i.!ii E JEMPL O 3 Encuentre el area de la superticie generada al hacer girar la curv a y =

o ~ x 0 ; : ; ; I, respeeto al eje x.

S O L UC IO N A l emplear la formula 5 con

ydy-=e"dx



SECCION 8.2 AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCION 1 1 ' 1> ~ ,

s e tie ne

I + (dy ) 2 dx=2" , ' I exJI + e2 . , dxdx .0

'I

S= 2"y.0

o em plee la fo rm ula 21 de la te b la de

In tegra les .

I[ ]"=" • '2 se c e ta n e + In I se c e + ta n e I "./4

=,[sec a ta n a + In(sec a + ta n a) - J 'i - In(J2 + I ) ]

Puesto que tan a = e. se tiene sec2a =1 + ta n

2a =1 + e2 y

i 8 . 2 l EJERC IC IOSL____j

S = ,,[ell + e Z + In(e + ' 1 ' 1 + e Z) - Ii - 111( J2 + 1 ) ]

1-4 Plautee, pero no evahie, una integral para el area de la superficie

obtenida al hacer g irar la curva respecto al (a) eje-x y (b ) el eje-y .

2 . y=xe-'\,] :S;x~3

1/-10 Use la regIa de Simpson con n = 10 para aproxirnar el are

de la superficie obtenida al hacer girar la curva respecto al eje x.

Compare su respuesta con el valor de la integral producido por su

calculadora.

3. y = tan '·IX. 0 ~ x ~ I 4. x = v i ) ' _ )'2 1 7 . y = In . r, 1 " '" x "'" 3 18 . y = x + -Jx. I " '" x ,,;; 2

19 . y = sec .r, 0,,;; x "'"1 T / 3 20 . y = e:", 0,,;;; x ~ I

5-12 Determine eJ area de la superficie obtenida al hacer girar la

curva respecto al ej~. r.U.)Lh(l Use un CAS 0 una tabla de integrales para hallar el area

exacta de In superficie obtenida al hacer girar la curva dadarespecto al eje x.

6. 9x =.\'"+ IS, 2 "'" x ~ 6

7. y = I + 4x, 1,,; ; x "'"5

21 . y =/x , 2 2 . y = ,/x1 + L 0,,;; x ,,;;3

8. y = c + a coshfx/«). 0 ~ x ,,;;;a

9 . y =en 1 T X . 0 ~ x ~ 1

:£4':;1 '; Use un CAS para hallar el area exacta de [a superficie

obtenida al hacer girar la curva respecto al eje y. Si su CAS tien

problema para evaluar la integral, exprese el area superficial

como una integral en Ia otra variable.x J I10. v = - + - ~~ x ".;

. 6 2 . 1 . " 2 3 . y =". 0 ~ y "'" 2 4. y =n(x + I), 0".; x ".;

12 . x = + 2y2 ,r u Si la region ' ! I t =(x , Y I I x ~ 1 . 0 = = - ; y ~ l /x-} se hace girar

respecto al eje x, eJ volumen del solido resultante es finito(vease el ejercicio 63 en la secci6n 7.S). Muestre que el area

superficial es infinitu, (La superficie se muestra en la figura y

se conoce como tromp eta de Gabriel.)

y

13-16 La curva dada se hace girar respecto al eje y. Encuentre el

area de la superficie resultante,

13. y =~, 1 = = - ; Y ".; 2

14 . y = - x2 , 0,, ; ; X ,,;;

f S J .r=a2 - )'2, 0" , " y ,,;; a/2

16. \' = 2. , ,.2 - 2. , In \. I,,;; x ".; 2~ 4 - :2 " ,

o



538 1 1 1 1 CAPiTULO 8 M A s APLICACIONES DE LA lNTEGRACION

26. Si la curva infinita y =e-·', x ~ 0, se hace girar respecto al eje

x, encuentre el area de la superficie resultante.

27. (a) Si 0> 0, encuentre el area de la superficie generada

al hacer girar el bucle de la curva 3ay~ =(o - x?

respecto al eje x.

(b) Determine el area superficial si el bucle se hace girar

respecto al eje y.

28. Un grupo de ingenieros esta construyendo un plato desatelite parabolico cuya forma se constituye al hacer girar

la curva y = ax? respecto al eje y. Si el plato tendra un

diametro de 10 pies y una profundidad maxima de 2 pies.

encuentre el valor de a y el area superficial del plato.

29. (a) La elipse

o>b

se haee girar respecto al eje x para formar una superficie

llamada el ipsoide, 0 prolato esferoidal. Determine el area

superficial de este elipsoide.

(b) Si la elipse del inciso (a) gira con respecto a su eje menor

(el eje y), la elipsoide resultante se le conoce como esferoide

acliatada. Hallar el area de la superficie de esta elipsoide

30. Calcule el area superficial del toroide del ejercicio 63 en la

seccion 6.2.

@ I] Si Ia curva y = J(x). a ,,;; x ,,;;b, se haec ginn respecto a

la recta horizontal y =, donde J(x) ,,;;c, encuentre una

formula para el area de la superficie resultante.

ROTACION SOBRE UNA PENDIENTE

[ill] 32. Use el resultado del ejercicio 31 para establecer una inte

que permita hallar el area de la superficie generada al ha

girar la curva y=).:, 0 ~ x ,,;;4, respecto a la recta),

Despues, use un CAS para evaluar la integral.

PRO,(ECTt) PARA UN- tit: ';C IJ BR It'll EN T Q !-----------------------------------

33. Encuentre el area de la superficie obtenida al hacer girar

cfrculo x2 + y1 ='2 respecto a la recta y = r.

34 . Muestre que el area superficial de una zona de la esferayace entre dos pianos paralelos es S=rdh, donde des

diametro de la esfera y h es la distancia entre los pIanos.

(Observe que S solo depende de la distancia entre los

pIanos y no sobre su ubicacion, siempre que ambos pIano

i nt er sequen In esfera.)

35 . La fo rm u la 4 es valida s610 cuando J(x) ;3O .Muestre q

cuando f(x) no necesariamente es positiva, la formula p

area superficial se transforma en

1 ' 1 >S=" hi J(x) 1)1 + [1'(x)]2 dx

36. Sea L la longitud de la curva y ~ f(x), a ,,;; x ,,;; b,

donde jes positiva y tiene una derivada continua. Sea S f

el area superficial generada al hacer girar la curva respec

al eje x. Si c es una constante positiva, defina g(x) = f(.t)

y sea S 9 el area superficial correspondiente generada por

]a curva y =(x), a ,,;; x ,,;; b. Exprese Sg en terminos

de S f y L.

Se sabe COmo hallar el volumen de un solido de revolucion obtenido al hacer girar una re

respecto a una recta horizontal 0 vertical (vease In seccion 6.2). Tambien se sabe como determ

el area de una superficie de revolucion si se gira una curva respecto a una recta horizontal

vert ical (vease la seccion 8.2). Pero, i,que pasa si se hace girar una recta inclinada, es decir, u

recta que no sea horizontal ni vertical? En este proyecto se pide descubrir formulas para

volumen de un solido de revolucion y para el area de una superficie de revolucion cuando

el eje de rotacion es una recta inclinada.

Sea eel arco de la curva y = f(x) entre los puntos P(p,J(p)) y Q(q,J(q)) y sea W t la reg

limitada por C. por la recta y =mx + b (Ia cual esta totalmente por debajo de C), y por las

perpendiculares a la recta de P y Q.

Q

y=mx+b

o q x



12rr,2rrJ

SECCJON 8.3 APLICACIONES A LA FlslCA Y A LA INGENIERIA IIII

1 . Muestre que el ,lrea de ffi es

1 ['I- - - , J [J(x) - mx - b][1 + mJ'Lt)] dxI+ 111 - ."

[Sugerencia: Esta formula se puede comprobar restando areas, pero sera util en el proyec

derivarla aproxirnando prlmero el area por medio de rectangulos perpendiculares a la linea

como se muestra en la figura. Use la figura para ayudar a expresar flu en terminos de fl

tangente de C

a (x ,. f(x ,J ) . .

/y=mx+b

.r, /1 3

2. Determine el area de la regi6n mostrada en la figura a la izquierda,

3. Encuentre una f6rmula similar a la del problema I para el volumen del solido obtenido al ha

girar ffi respecto a la recta y = I/lX + h.

4. Encuentre el volumen del solido obtenido al hacer girar la region del problema 2

respecto a la recta y = - 2.

5. Obtenga una formula para el area de la superficie obtenida al hacer girar C respecto a la re

y =nX + b.

[ill] 6. Use un sistema algebraico computacional para hallar el area exacta de In superficie obtenid

al hacer girar Ia curva y =X , 0 o s; x o s ; ; 4, respecto a Ia recta y =~. Luego aproxime su

resultado a tres decimales.

~~~~~~~~~ 8.3 APLlCACJONES A LA FislCA Y A LA INGENIERiA

superficie del fluido

F I G U R A I

Entre las muchas aplicaciones del calculo integral a la ffsica y a la ingenierfa, se cons

ran dos aqui: la fuerza debida a la presion del agua y los centros de masa. Como con

aplicaciones previas ala geometrfa (areas, volurnenes y longitudes) y eI trabajo, la e

tegia es descomponer la cantidad ffsica en un gran mimero de partes pequefias, aproxi

cada parte pequefia, sumar los resultados, tornar eIlfmite y despues evaluar Ia integral

sultante.

FUERZA Y PRESION HIDROSTATICA

Los buceadores de aguas profundas comprenden que la presi6n del agua se incremen

medida que bucean cada vez mas profundo, Esto se debe a que se incrementa el peso

agua sobre ellos.

En general, suponga que una placa horizontal deIgada con area A metros cuadrados se

merge en un fluido de densidad p kilogramos por metro cubico a una profundidad d me

debajo de la superficie del fluido como en la figura 1. EI fluido directamente arriba d

placa tiene volumen V =d, de modo que su masa es m=V =Ad. Asi, la fuerza

ejerce la placa sobre el fluido es

F = 11Ig = pgAd



donde 9 es la aceleracion debida a la gravedad. La presion P sobre la placa se de

mo la fuerza pOI'unidad de area:

540 CAPiTULO a MAs APLlCACIONES DE LA INTEGRACION

A I u s e r u nld ad es in gle sa s. s e e sc rib e

P = pg d =d. donde 8=pg es el peso

e s p e c d i c o 0 bien gravedad es pe c lf ic a ( e n o p o s ic io n

a p, que es la den s id ad e n ma s a l. P or e je rn plo , e l

peso especffico del agua es 8 =2 .5 lb !ft 1

50m

30m

F IGURA 2

15

x v

(a)

(b)

F IG URA 3

FP=- =yd

A

La unidad S1 para medir la presion es newtons por metro cuadrado, que se llama

(abreviatura: I N/m" = Pa), Puesto que esta es una unidad pequefia, se emplfrecuencia el kilopascal (kPa). Por ejernplo, debido a que la densidad del a

p = 1000 kg/m:', la presion en el fondo de una alberca de 2 m de profundidad e

P =gd = q o o kg/m: ' X 9.8 m /s? X 2 m

=19600 Pa =19.6 kPa

Un principio importante de la presion del fluido es el hecho comprobado en

experimental de que en cualquier punta ell un liquido, la presion es fa misma e

direcciones. (Un buzo siente la misma presi6n en la nariz y en ambos oidos.)

presion en cualquier direcci6n a una profundidad d en un fluido con densidad d

pesta dada por

O J P =gd =d

Esto ayuda a deterrninar la fuerza hidrosuitica contra una placa 0 pared vertical en

do. Este no es un problema directo porque la presion no es constante. sino que

medida que aumenta la profundidad.

f u ! A Una presa tiene Ia forma del trapecio mostrado en la figura 2. La a

20 myel ancho es 50 m en la parte superior y 30 III en el fondo. Determine la fuerz

la presa debida a la presion hidrostatica si el nivel del agua es 4 m desde la parte s

de Ia presa.

Se eiige un eje x vertical con origen en la superficie del agua como en la figu

La profundidad del agua es 16 m, ns f que se divide el intervale [0, 16] en subintervalo

iguallongitud con puntos extremes x, y se eJige x/ E [Xi-I, x,]. La r-esima tira hor

de la presa se aproxima mediante un rectangulo con altura Ll x y amplitud Wi, dond

los triangulos sirnilares de la figura 3(b),

(I 10

20

16 - x i " x '"(/=-----'- = - _'_'

2 2o bien

16 - x i"

y, por 1 0 tanto, W,=(15 + ( I) =(15 + 8 - hr ' ) =6 - x i i ;

Si A; es el area de la i-esima tira, entonces

A; =w, L lx =46 - x n Ll x

Si L ' l . . x es pequefia, en tal caso la presion Pi en la z-esima tira es casi constante y se

usaf la ecuacion I para escribir

P , = 1000gx:"

La fuerza hidrostatica F, que actiia sobre la z-esima tira es el producto de In presion

el area:

F,= iA i =1000gxt(46 - xi') L lx



)9 - - - ( _ v f ?, . . . . - - - , - - . . . /

--r-~,-----~-~---r-----'>x

FIGURA 4

SEC CION S.3 APLICACIONES A LA FislCA Y A LA INGENIERiA

Si se suman estas fuerzas y se toma el lfmite cuando n --7 :.0, se obtiene la fuerza

hidrostatica total sobre la presa:

"F =fm ~ 1O OO gx;"(46 - xi") 1\ x

n-Zi . :=ml

'16I I0009X(46 - x) dx.0

[!6 0

=1000(9.8) j, (46x - x-)dx,0

= 9800 [ 23x2 .: : ~31 6

~4.43 X lO7N

EJH1PLO 2 Determine Ia fuerza hidrostatica sobre un extreme de un tambor cilmdric

con radio 3 pies si el tarnbor es sumergido en agua 10 pies.

IOLUUONn este ejemplo es conveniente elegir los ejes como en la figura 4 de modo que

el origen este colocado en el centro del tambor, Por 1 0 tanto el cfrculo tiene una ecuaciosimple, x2 + )'2 =. Como en el ejemplo 1, se divide la region circular en

tiras horizontales de igual amplitud. De la ecuacion de un cfrculo se ve que la

longitud de la i-esima tira es 2.)9 - (y/)2 y , par 10 tanto, su area es

A; = 2)9 - (y?F 1\y

La presion sobre esta tira es aproximadarnente

bdi=2.5(7 - y;')

y , par 10 tanto, la fuerza aproximada sobre la tira es

BdiA; =2.5(7 - y/)2 J9 - ()Ii? 1\.1'

La fuerza total se obtiene sumando las fuerzas sabre todas las tiras y tomanclo el lfrnite:

"F = lfrn ~ 62.5(7 - yi")2 J9 - (Y i'T 1 \y

n~:>~ i=1

=125 C (7 - y) J9 - y2 ely",-.,

=125 . 7 1 '3 J9 - y2 d y - 125 r )'.)9 - ) '2 el y, ~3 .-3

La segunda integral es 0 porque el integrando es una funci6n impar (vease el

teorema 5.5.7), La prirnera integral se puede evaluar par media de la sustitucion

trigonometric a y = sen e, pero es mas simple observar que es el area de un disc

semicircular con radio 3. Asi.

F=75 ,[ J9 - y 2 dy = 875 • ~17 (W

78 7 5 1 7=--= 12370lb

2



542 1 1 1 1 CAPiTULO a M As APLICACIONES DE LA INTEGRACION

F IGURA 5

fulcro (punto de apoyo)

F IGURA 6

F IGURA 7

MOMENTOS Y CENTROS DE MASA

EI objetivo principal aquf es hallar el punta P sobre el que una placa delgada de cua

forma se balancea horizontalmente como en la figura 5. E1punto se llama centro de

(0 centro de gravedad) de la placa. '

Primero se considera la situaci6n mas simple ilustrada en la figura 6, donde dos

Ill] y /Ilz se fijan a una varilla de rnasa insignificante en lades opuestos de un fulcro (

de apoyo) y a distancias d) y d2 del fulcro. La varilla se balanceara si

Este es un hecho experimental que descubri6 Arqufmedes y se llama ley de la pa

(Considere una persona de poco peso que tiene como contrapeso a una persona mas

da en un sube y baja sentada lejos del centro.)

Ahora suponga que la varilla yace a 10 largo del eje x can 1111en x] Y IIIZ en X2 y e

tro de masa en x . Si se comparan las figuras 6 y 7, se ve que d , = - Xl Y d 2 =2

por 10 tanto. la ecuaci6n 2 produce

x=mlXI + 1n2X2

Inl + IIlz

Los ruimeros I1IIXI y JIllX2 se llaman momentos de las masas 1111y l/l2 (con respecto a

gen), y la ecuacion 3 dice que el centro de rnasa x se obtiene al surnar los momentos

masas y dividir entre la masa total III=m, + 1112.

-xI

- - - - ~ O ~ - - - n r ~ I / / ~ ~ ~ = = = x = - ~ X = . 1 = = 1 ~ ~ I = = = = = = = X = 2 - ~ X = = = = = = ~ ~ ~ ' ~ 1 1 - 1 2 - - - - - - - - - - -

En general, si se tiene un sistema de IIpartfculas con masas m), /Ill, ... , 1/1" locali

en los puntos XI, X2, •.. , x" sabre el eje x, se puede dernostrar de manera similar que e

tro de masa del sistema se localiza en

i=1X =----

"

Lillii~1

"Lmixi;~I

In

donde m=: Ill; es la masa total del sistema, y la surna de los momentos individuale

n

M= Lmix;r : > : : > : 1

se llama momento del sistema respecto al origen. La ecuaci6n 4 se podrfa reescribir

m x =M, que dice que si se considerara a la masa total como si estuviera concentrad

el centro de masa x , en consecuencia su momento seria el mismo que el del sistema.



)'

"1 ~---y1)'1

F IGUR A 8

, ycentro de rnasa

j 8

3 ~,

I

I

0 4 I .l

F IG UR A 9

SECCION 8.3 APLICACION~S A LA FfslCA YA LA INGENIERiA IIII

Ahara considere un sistema de IIpartfculas can masas 111" m-; ... , 1 1 1 " localizadas en

puntas (x" )'1), (Xz, )'2), ... , (x,,, ) ' 1 1 ) en el plano xy como se muestra en la figura 8.

analogfa con el caso unidimensional, se define el momento del sistema respecto al e

como

x

II

M, = : IIl,Xi

i~i

y el momento del sistema respecto al eje x como

tt

M = " I1V\,"£ .J 1~1

;~I

Despues M:, mide la tendencia del sistema a girar respecto al eje y y M, mide la tendena girar respecto al eje x.

Como en el caso unidimensional, las coordenadas (x, y ) del centro de masa estan da

en terminos de los momentos pOl' las formulas

_ M"X='

III

_ M "v=-• 1 1 1

donde III= 2: Ill;es la mas a total. Puesto que 1 1 1X = M y y m y = M ", el centro de m

(x, y ) es eI punto donde una sola partfcula de mas a III tendrfa los mismos momentos

el sistema.

ti!jj EJEMPLO 3 Encuentre los momentos del centro de masa del sistema de objetos que

tienen mas as 3, 4 Y8 en los puntas (- 1, 1), (2, -1), Y (3, 2),respectivamente.

S O l U C I O N Se usan las ecuaciones 5 y 6 para calcular los mementos:

M y =( -1) + 4(2) + 8(3) =9

M<=(1) + 4( -1) + 8(2) = 15

Puesto que III= + 4 + 8=S , se usan las ecuaciones 7 para obtener

_ M " 2 9X=' =-

III 15

_ M, ISy=-=-= I

11 1 15

Asi, el centro de masa es (1 ~ , 1). (Vease figura 9.)

A continuacion se considera una placa plana (Hamada ldminai con densidad uniform

que ocupa una region m del plano. Se desea localizar el centro de masa de Ia placa, qu

llama centroide de m . Para tal fin se emplean los siguientes principios: el principio de

metria dice que si 0l es simetrica respecto a Ia recta I,en tal caso el centroide de ? I I , y

sobre I. (Si 0l se refleja respecto a I, por ]0 tanto 0l no cambia y su centroide perman

fijo. Pero los iinicos puntas fijos yacen sobre l).As), el centroide del rectangulo es su cen

Los momentos se deben definir de modo que si toda la masa de una region se concentra

el centro de masa, despues sus momentos permanecen sin cambio. Asimismo, el mome

de la union de dos regiones que no se traslapan, debe ser la suma de los mementos de c

una de las regiones.



544 III! CAPiTULO 8 M A s APLICACIONES DE LA INTEGRACION

yA./y= f(x)

( . 1 - ; , [(.I-il)

r: \ (- 1 -)r "" \C, X " " 2f ( . I )

7" ... \ I r-t-"~ . . ! : o f '" 'i-'~:

(a)

F IGURA 10

(b)

Suponga que la region 'lJles del tipo mostrado en la figura IO(a): es decir, 'lJlse s

tre las lfneas x = a y x = b, arriba del eje x y debajo de la grafica de f, donde f

funcion continua. Se divide el intervalo [a, b] en n subintervalos con puntos ex

Xo . x), ... , x" e igual amplitud Llx. Se elige el rnismo punto x/ como el punto medi

i-esimo subintervalo, es decir, x ,=Xi-I + x;)/2. Esto determina la aproxirnacion

nal a'lJl mostrada en la figura IO(b). EI centroicle del i-esimo rectangulo de aproxim

R; es su centro C ( x ; , ~f(x;)) . Su area es f(x;) Llx, de modo que su masa es

pf(x;} L lx

El momenta de R, respecto al eje y es el producto de su masa y la distancia desde C

y, que es X i. Asf,

M,.(R,) =pf(X i) L lX ] X i=x ,.f(x :; ) L lx

Al sumar estos mementos, se obtiene el momento de Ia aproximacion poligonal

luego tomando el Ifmite cuando n -> 00 se obtiene el momento de 'lJl respecto al

M ,. = lim ± pX if(X i) L lx=

j ' I I xf(x) dxJI-'~l. 1-= l u

En un modo similar se calcula el momento de R; respecto al eje x como el produ

su masa y la distancia de C; al eje x:

M,(R;) =pf(x,) LlX] U(x,) = . Hf(x,)f Llx

De nuevo se suman estos momentos y se toma el Ifmite para obtener el momento

respecto al eje x:

Al igual que para sistemas de partfculas, el centro de masa de la placa se define

IIlX = M _ , . y m y = / 1 . 1 , . Pero la masa de la placa es el producto de su densidad y su

.'/

III=A = I 'f(x) dx.<1

y , por 10 tanto,

r rM,.

P xf(x} dx xf(x) dx

"vt

X=' =

m f l i r f(x) dxf(x) dx.r;

rl[ r fl[ rM.t

P :i f(x) - dx :2 f{ x) - dx

"a

y=-=m

f " rf(x) dx I(x) dx.(, 1(/

Note la cancelacion de las p. La ubicacion del centro de masa es independiente

densidad.



F IGURA II

J ' . A .

Y "" COS X

o J J . .2

F IGURA 12

SECCION 8.3 APLICACIONES A LA FislCA YA LA INGENIERiA IIII

En resumen, el centro de masa de la piaca (0 el centroide de ~!It)se localiza en el p

(x, y), donde

- I,."[ l'=A :2 f(x) =dx.... 0

I 'Ii

X=-j Jtj(x) dxA "

EjH1PlO 4 Encuentre el centro de masa de una placa semicircular de radio r.

SO LU (!ONA fin de usar (8) se coloca el sem icfrculo como en la figura 11 tal que

f(x) =Jrl - x2 y a = r,b=. Aquf no es necesario usaf la formula para calcula

porque, por el principio de simetrfa, el centro de rnasa debe estar sobre el eje y. po

consiguiente, x = 0. EI area del sernicfrculo es A = !7U2, asf que

2 ? [ r3 J r")., _")-'

=--, [ C r - - x-)dx =--, r-x --7 T ' r - .0 7 T ' r - 3 0

7 T ' r " 3 371

EI centro de masa se localiza en el punto (0,41/(371».

EjEtIl?LO 5 Encuentre el centroide de la regi6n acotada pOI' las curvas y =os x, y =x = . y x = 71/2.

S O L U [ I O N EI area de la regi6n es

"

"/2 ] , , 1 2A = cos x dx =en x 0 =

.0

asf', con las f6rmulas de 8, se obtiene

_ 1 , ' , , / 2 . (,,!2X = - xi (x) dx = I x cos x dx

A .0 ,0

= x sen X ] ~ ! l - ( , , / 2 sen x dx.0

2

-)'=_ J ' ' ' ( 2 ~[f(x)Y dx = , ' " , / 2 cos"x dxA 0 - -.n

=. ," , ' d 2(I ) 1 [ I ]

70

/

2

~ + cos 2x dx =" x + :::en 2x 0.1 1

.\' 71

8

EI centroide es {~IT - 1 . § IT)Y se muestra en Ja figura 12 .



Si la region CZkse localiza entre dos curvas y = f(x) y y =(x), donde f(x) ;;. g(

mo se ilustra en la figura 13, despues se puede usar la misma clase de argument

condujo a las formulas 8 para mostrar que el centroide de CZkes (x , y) , donde

546 1 1 1 1 CAPiTULO a M A s APLICACIONES DE LA INTEGRACION

}'

a Xi b

FIGURA 13

.r

FIGURA 14

Ii l i E ste te ore rn a Ile va e l n om b re d el m a te ma tic o

g rieg o Pap pu s d e A leja nd ria , q uien v iv i6 en el

siglo IV d .C .

x

y =~r H[j(x)f - [g(x»)"} dx

IJ b=- x[J(x) - g(x)] d xA (/

(Vease ejercicio 47.)

EJ EMPL O 6 Encuentre el centroide de la region acotada por la recta y = x y l a parabol

y =x2,

S O L U C I O N La region se bosqueja en la figura 14 , Se toma f(x) = x, g(x) = x2, a = 0,

b =1 en las formulas 9. Primero se nota que el area de la region es

1

6

En consecuencia,

1 J ' I 1 ' I=- x[J(x) - g(x)] dx =T x(x - x2) dxA 0 (; 0

= 6 r l( X l - x3 ) dx =[ X 3 _ X

4J l = _ _ ! _

J o 3 4 a 2

id ( I 2 )I centroi e es 2 , : 5 .

Se concluye esta seccion mostrando una conexion sorprendente entre centroi

vohirnenes de revolucion,

TEOREMA D E PAPPUS Sea CZkla region plana que yace por completo en un lado

una recta I en el plano. Si se hace girar a CZkrespecto a I, entonces el volumen

del solido resultante es el producto del area A de ! f R . y la distancia d recorrida po

el centroide de ! f R . ,

D E M O S T R A C I O N Se da la demostracion para el caso especial en que la regi6n yace entr

y =(x) y y =(x) como se ilustra en la figura 13, y la recta I es el eje y, Con el rn

de las envolventes cilfndricas



SECCION 8.3 APLICACIONES A LA FislCA YA LA INGENIERfA 1 1 1 1

(vease la secci6n 6.3), se tiene

1

'1,

V = 2 '17 x[j{x) - g(x)] dxvc

= 2'17 rb

x [ j(x) - g(x)] dxJ "

='17{xA) (p or la s fo rm ula s 9 )

=2 7 T X ) A =d

donde d = '17X es la distancia recorrida par el centroide durante una rotaci6n

respecto al eje y.

~ EjEMPL O 7 Un toroide se forma al hacer girar un cfrculo de radio r respecto a una

recta en el plano del cfrculo que es Ia distancia R (> r) desde el centro del cfrculo. En-

cuentre el volumen del toroide.

~ o L u C ! 6 N EI circulo tiene area A =rr", Par el principia de simetria, su centroide es su

centro y , par 10tanto, la distancia recorrida par el centroide durante una rotacion es

d =7 T R . Asi, por el teorema de Pappus, el volumen del toroide es

El metodo del ejemplo 7 se debe comparar can el metodo del ejercicio 63 en la

cion 6.2.

- E DEJERCICIOS

I. Un acuario de 5 pies de largo. 2 pies de ancho y 3 pies de 5. 6.

profundidad, se lIena de agua, Determine (a) la presion+---6m-

hidrostatica en el fondo del acuario, (b) la fuerza hidrostatica en

el fonda y (c) la fuerza hidrostatica en un extrema del acuario.

2. Una alberca de 4 III de ancho, 8 m de largo y 2 m

de profundidad se lIena can querosene de densidad 820 kg/ nr'

hasta una profundidad de 1.5 m. Encuentre (a) la

presion hidrostatica en el fonda de la alberca, (b)la fuerza

r n 8.hidrostatica en el fonda y (c) Ia fuerza hidrcstatica en -2m-~ 4m

un extremo de Ia alberca.

3-]] Una placa vertical se sumerge en agua (0 parcialmente su-

mergida) y tiene la forma indicada. Explique c6mo aproxirnar Ia

fuerza hidrostatica contra un extrema de la placa mediante una surna

de Riemann. Luego exprese la fuerza como una integral, y evahiela.

3.9. 10.



548 i i l l CAPiTULO 8 M A s APLICACIONES DE LA INTEGRACION

11 . 2a

J

12. Se disefia un gran recipiente con extremes en la forma de la

region entre las curvas y =~" y y =12. medidos en pies. En-

cuentre la fuerza hidrostatica en un extremo del recipiente

si se llena hastauna profundidad de 8 pies con gasolina.

(Considere que la densidad de la gasolina es 42.0 lb/pies")

[ 1 1 1 Una pileta se llena con un liquido de densidad 840 kg/rrr'. Los

extremes de la pilera son triangulos equilateros con lados de 8 m

de largo y vertice en el fondo. Determine la fuerza hidrostatica

en un extreme de la pileta.

1 4 . Una presa vert ical t iene una compuerta semicircular como

se muestra en la figura, Encuentre la fuerza hidrosuitica que se

ejerce contra la compuerta.

T12 rn

1 ·i\.'

'nivel del ugua

1 - - - - - 14m

15. Un cubo con lados de 20 cm de largo esni sentado sobre el

fondo de un acuario en el que el agua tiene un metro deprofundidad. Determine la fuerza hidrostatica en (a) la parte

superior del cubo y (b) uno de los Iados del cubo.

16. Una presa esta inclinada a un angulo de 30° desde la vertical y

tiene la forma de un trapecio isosceles de 100 pies de ancho

en In parte superior y 50 pies de ancho en el fondo y con una

altura inclinada de 70 pies. Encuentre la fuerza hidrosratica

sohre la presa cuando esui Ilena de agua,

17. Una alberca mide 20 pies de ancho y 40 pies de largo, y SlI

fondo es un plano inclinado. EI extremo poco profundo tiene

una profundidad de 3 pies y el extreme profundo 9 pies. Si In

alberca se Ilena de agua, determine la fuerza hidrostatica en (a)

el extremo poco profundo, (b) el extremo profunda. (e) uno delos lades y (d) el fonda de la alberca.

18. 5uponga que una placa se stlmerge vertical mente en un

fluido con densidad pyla aruplitud de la placa es w(x) a una

profundidad de x metros debajo de la superficie del fluido, Si la

parte superior de la placa esta a una profundidad a y el fondo

esta a una profundidad b. muestre que la fuerza hidrostatica en

un lado de Ia placa es

f l .F =, pgxwL>:) dx

,"

19. Una placa vertical de forma irregular se sumerge en agu

la tabla se muestran las rnedidas de su amplitud, tomadas

profundidades indicadas. Use la regia de Simpson para

In fuerza del agua contra la placa.

20. (a) Use la formula del ejercicio 18 para mostrar que

F = (pgx)A

donde x es In coordenada x del centroide de la plac

es el area. Esta ecuacion muestra que la fuerza hidro

contra una regi6n del plano vertical es la misma que

region estuviera horizontal a la profundidad del cen

de In regi6n.

(b) Use el resultado del incise (a) para dar otra soluci6

ejercicio 10.

21-22 Masas puntuales m, se localizan sobre el eje x como

ilustra, Determine el memento M del sistema respecto al or

el centro de masa X .

21 .m =40 lI!} "" 30

0 2 5 x

22 .m, =25 1112=20 Ill,= 10

-i . . .~2 0 3 7 x

23-24 Las masas m, se localizan en los puntas Pi . Eneuentre

mementos M, y M" Y el centro de masa del sistema.

23. 1111=, JI l l = 5. 111, =0:

24. III I = 6, 1112 = 5, 1113 = . lib = 4;

NI, -2), P2(3,4), N -3. -7), Pi6, -1)

25-28 Bosqueje la region acotada por las curvas y estime evisual la ubicacion del eentroide. Despues encuentre las coor

exactas del centroide.

2 5 . y = - x~, y = 0

26. 3x + 2y =. y=, x = 0

: z : z J y =e', y = 0, x = 0, x = 1

2 8. y =/x , y = 0, x =1. x =



29-33 Encuentre el centroide de la region acotada por Ius curvas

dadas,

2 9 . J ' =: 2 , x =2

30. y = x + 2, :v = x2

31.y=senx, y=cosx, x=O, x=71"/4

32 . y = x3• X + Y = 2, y =

°33 . x = 5 - y", x = 0

:H-35 Calcule los mementos 1 v I , . y M; y el centro de rnasa de una

](imina con Ia densidad y forma dadas.

34 . p = 3 35. p = 10

-1

o

y\'A• I (4,3)

o x

36. Aplique In regla de Simpson para estimar el centroide de la

region que se rnuestra.

Encuentre el centroide de la region acorada por las curvas

y = 2' YY =\ 0 ~ x ~ 2, hasta Ires decimales. Bosqueje

la region y grafique el centroide para ver si su respuesta es

razonable.

Use una grafica para hallar coordenadas x aproximadas de los

puntos de interseccion de las curvas y = x + lnr y y = x3 - x.

Despues determine (de manera aproximada) el centroide de Ia

region acotada por estas curvas,

39. Pruebe que el centroide de cualquier triangulo se localiza

en la intersecci6n de las medianas. rSugerellcias: coloque

los ejes de modo que los vertices sean (a, 0), (0, b) y (c, 0) .

Recuerde que una mediana es un segmento de recta de

un vert ice al punto medio del lado opuesto. Recuerde

que las medianas se intersecan en un punto ados tercios

del tramo de cada vertice (a 10 largo de Ia rnediana) al

lado opuesto],

SECCION 8.3 APLICACIONES A LA FislCA Y A LA INGENIERiA

40-41 Encuentre ei centroide de Ia region mostruda, no por

integracion, sino mediante Ia localizacion de los centroides d

los recuingulos y triangulos (del ejercicio 39) y por medio de

aditividad de los mementos.

40 .

3 x2

42. Un rectantulo R con lades a y b se divide en dos partes R J

mediante un arco de la parabola que tiene sus vertices en la

esquinas de R y pasa a traves de la esquina opuesta. Hallar

centroide de ambos R, y R,.

o x

43. 5i i es Ia coordenada del centro de masa de In region que s

encuentra bajo In grafica de una funcion continua f donde

a , ,: ;; x ,, :; ; b. Dernuestre que

,

'b "/'(ex + d)j(x)d.r =ex + d) f(x)dx

~a .~

44-46 Use e t teorerna de Pappus para hallar el volumen del

solido.

44. Una csfera de radio r (Use el ejernplo 4.)

45. Un cono con altura h y radio de base r

46. EI solido obtenido al hacer girar el triangulo con vertices (2

(2, 5) y (5, 4) respecto al eje x

47. Demuestre las formulas 9.

48. Sea '!k Ia region localizada entre [as curvas y ="

y y =r", 0,,:;; x ~ 1, donde IIIy n son enteros con

o ~ II< /II,(a) Bosqueje la region ffi.

(b) Encuentre las coordenadas del centroide de ' !I I . .

(c) Trate de hallar los valores de 111 y 11 tal que el centroide

fuera de ' 2 l I .



550 IIII CAPiTULO B M A s APLICACIONES DE LA INTEGRACION

PRQ'fECfI'J PARA UNDES C u BR It'll EN TO 1-----------------------------

AZAS DE CAFE COMPLEMENTARIAS

Considere que tiene que elegir de dos tazas de cafe del tipo que se muestra, una que se curva

fuera y una hacia dentro, y observe que tienen la misma altum y sus forrnas se ajustan cornoda

entre sf. Le sorprende que una taza contenga mas cafe. Naturalmente podrfa llenar una taza co

y verterfa el contenido en la otra pero, como estudiante de calculo, decide un planteamiento

maternatico. Ignorando el asa de cada una, observe que ambas tazas son superficies de revol

de es r a manera p u e d e pensar del cafe como u n volumen de r evolucion .

. 1 ' . 1 .

!tl~----.-----I

x=k

Taza A Taza B01

d:,

1. Considere que las tazas tienen la altura 1 1 , la tam A se forma por la rotacion de In curva x

alrededor del eje y, y la taza B se forma por la rotaciou de la misma curva alrededor de I

x = k . Hallur el valor de k tal que Ins dos tazas contengan la rnisma cantidad de cafe.

2. LQue Ie expresa el resultado del problema 1 con respecto a las areas A l y A 2 que se rnue

en la figura?

3. Aplique el teorema de Pappus para explicar su resultado en los problemas 1 y 2.

4. Con respecto a sus medidas y observaciones, sugiera un valor para h y una ecuacion p

x =(x ) y calcule la cantidad de cafe que contiene cada una de las tazas,

~~~~~~~~~·-E8; · : .4~1]PLICACIONES A LA ECONOMIA Y A LA BIOLOGIA

f J A

P

x

p=p i x ;

( X , P J

o

F I G U R A

Una curva de demanda representative

En esta seccion se consideran algunas aplicaciones de Ia integraci6n a la econorn

peravit del consumidor) y la biologfa (f1ujo sangufneo, rendimiento cardiaco). O

describen en los ejercicios.

SUPERAvlT DE CONSUMO

x

Recuerde de la secci6n 4.8 que la funci6n de demanda p(x) es el precio que una co

tiene que cargar a fin de vender x unidades de un artfculo, Por 10 cormin, vender

des mas grandes requiere bajar los precios, de modo que la funci6n de demanda

funci6n decreciente. La grafica de una funci6n de demanda representativa, Hamad

de demanda, se muestra en la figura 1. Si Xes la cantidad del articulo que actualme

ta disponible, en tal caso P = p(X) es el precio de venta actual.

Se divide el intervalo [0, X ] en n subintervalos, cada uno de extension . 6 . . x =/ I

x P ' =i el punto final derecho del z-esimo subintervalo, como en la figura 2. Si,

de que se vendieron las primeras X,-l unidades, hubiera estado disponible un total

X i unidades y el precio por unidad se hubiera establecido en P ( X i ) dolares, en tal

podrfan haber vendido L lX unidades adicionales (pero no mas). Los consumidores

brian pagado P ( X i ) dolares dieron un valor alto al producto; habrfan pagado ]0 q

para eUos. Asi, al pagar solo P dolares han ahorrado una cantidad de

(ahorros por unidadrtmimero de unidades) =P (X i) - p J L lX



o x

F IGURA 2

o x

F IGURA 3

SECCION B.4 APLICACIONES A LA ECONOMiA Y A LA BIOLOGiA IIII

Al considerar grupos similares de consurnidores dispuestos para cada uno de los

intervalos y sumar los ahorros, se obtiene el total de ahorros:

"L [ P ( X i ) - p J ~xi=i

(Esta suma corresponde al area encerrada por los rectangulos de la figura 2.) Si I!-, 00,

suma de Riemann se aproxima a la integral

x IT J r [p (x) - p] dx

que los economistas Haman superavit de consumo para el articulo.

El superavit de consumo representa la cantidad de dinero que ahorran los consumid

al comprar el artfculo a precio P, correspondiente a una cantidad demandada de X. E

figura 3 se muestra la interpretaci6n del superavit de consumo como el area bajo la c

de demanda y arriba de la recta p =P.

~ EJEM PlO I La demanda para un producto, en dolares, es

p = 1 200 - O .2x - 0.0001x2

x

Determine el superavit de consumo cuando el nivel de ventas es 500.

S O L U C I O N Puesto que la cantidad de productos vendida es X=00, el precio corres-

pondiente es

P = 1200 - (0.2)(500) - (0.0001)(500f = 075

Por 10 tanto, de la definicion I, el superavit de consumo es

(5(X) 1 ' 5 0 0 ,I, [p(x) - P ] dx = (l200 - 0.2x - O .OOO lx- - 1075) dx.0 .0

(500 ,

I , (125 - O .2x - O.OOOlr )dx.0

= 125x - 0.lx 2 - ( O .OOOO ( ~ 3 ) I O O

=125)(500) - (0.1)(50W _ (O.OOOI ) {50W

3

=33 333.33

F lU JO S AN GU fN EO

En el ejemplo 7 de la seccion 3.3, se analiz6 la ley del flujo laminar:

v(r) =_!_ (R2 - , .2)4 T J l

que da la velocidad v de la sangre que ftuye a 10 largo de un vaso sanguineo con radio

longitud l a una distancia r del eje central, donde P es la diferencia de presion entre los

tremos del vaso Y T J es la viscosidad de la sangre. Ahora, a fin de calcular el caudal

gufneo (volumen por unidad de tiempo), se consideran radios mas pequefios igualme



552 IIII CAPiTULO 8 M A s APLlCACIONES DE LA INTEGRACION

F IGURA 4

F IGURA 5

vella

aortanrteriaspulmonares

Ivenus

, p ulm o na re sarteriuspulmonares

venuspulmonares

v en n

F IGURA 6

espaciados rl, rz , ... EI area aproximada del anillo (0arandela) con radio interne rdio externo J' ; es

27fr; Sr donde Sr=', - r'-I

(Vease figura 4.) Si 6 . 1 ' es pequefia, entonces la velocidad es cas! constante en este

y se puede aproximar mediante vCr,). Asi, el volumen de sangre por unidad de tiem

fluye por el anillo es

(27ft, nr)v(r,) =27f/,;v(ri) Sr

y el volumen total de sangre que fluye pOI'una seccion transversal por unidad de tie

"2 : 27fr,v(r;) flri~1

Esta aproximacion se ilustra en In figura 5. Observe que la velocidad (y, por 10 tanto

lumen par unidad de tiernpo) se incrementa hacia el centro del vaso sangumeo, La

rnacion es mejor cuando se incrementa II. Cuando se torna el Iimite se obtiene

exacto del ftujo (0descargai, que es el volumen de sangre que pasa una secci6n tr

sal por unidad de tiempo:

• ( R=f I l _ l _ L 27fr,v(r;) Sr = 27fl"v(r) ell"n-"f" i=l ..0

La ecuaci6n resultante

se llama le y de Poiseuille; esta rnuestra que el flujo es proporcional a In cuarta p

del radio del vasa sangufneo.

RENDIMIENTO CARDIACO

En la figura 6 se muestra el sistema cardiovascular humano, La sangre retorna del

por las venas, entra a la auricula derecha del corazon y es bombeada a los pulmon

las arterias pulmonares para oxigenacion. Despues regresa a la auricula izquierda

venas pulmonares y sale hacia el resto del cuerpo por la aorta. El rendimiento ca

del corazon es el volumen de sangre que bombea el coraz6n por unidad de tiempo, eel caudal hacia la aorta.

Elmetoelo de dilucidn de colorante se emplea para medir el rendimiento cardiaco.

yecta colorante hacia la auricula derecha y ftuye por el corazon hacia la aorta. Una

insertada en la aorta mide la concentracion del colorante que sale del coraz6n a t

igualmente espaciados en un intervalo de tiernpo [0, 7 1 hasta que se ha eliminado

rante. Sea c(t) la concentracion del colorante en el tiempo t. Si se divide [0, Tj en su

valos de igual extensi6n 6.t, despues la cantidad de colorante que fluye mas alia de

de medicion durante el subintervalo de t=,-I a r =, es aproximadamente

(concentracionuvolumen) =(ti)(F flt)

(



SEccrON 8.4 APLICACIONES A LA ECONOMiA YA LA BIOLOGiA !III

Donde F es la raz6n de flujo que se trata de determinar, As!, el manto total de colorant

aproximadamente

II JI

2 : c (r ,)F I1 t = F 2 : c (r ,) I1 ti=l ' -=1

y , si 1 1 -700, se encuentra que la cantidad de colorante es

A =F f T c(t) dt.0

Par eso, el rendimiento cardiaco esta dado par

AF=---

S : c(t) dt

donde se con ace la cantidad de colorante A y la integral se puede aproxirnar a partir d

lecturas de concentracion,

cit) c ( f )

0 6 6.1

0.4 7 4.0

2.8 8'),~.- ,

6.5 9

9.8 10

8.9

~ EjEN PlO 2 Un bolo de colorante de 5 mg se inyecta hacia la auricula derecha. La

concentraci6n del colorante (en miligramos pOl' litro) se mide en la aorta a intervalos

de un segundo, como se muestra en la tabla. Estime el rendirniento cardiaco.

S O L U C I O N Aquf A = 5, I1 t = 1, y T = 10. Use la regIa de Simpson para aproximar la

integral de Ia concentracion:

E O c(t) dt =H o + 4(0.4) + 2(2.8) + 4(6.5) + 2(9.8) + 4(8.9)

+ 2{6.1) + 4(4.0) + 2(2.3) + 4(1.1) + 0]

=41.87

Asi, Ia formula 3 da el rendimiento cardiaco como

F= A =_5_ = 0.12 L/s =.2 L/minl o W c(t ) dt 41.87

§JERC IC IOS

1. La funci6n de costo marginal C'(x) se defini6 como la

derivada de la funcion costo. (Veanse las secciones 3.7 y 4.7.)

Si el costo marginal de fabricar x metros de una tela es

C'(x) = - 0.008x + 0.000009X2 (medido en dolares por

metro) y el costo de arranque fijo es C ( O ) =20000, use el

teorerna del cambio neto para hallar el costo de producir las

primeras 2000 unidades.

2. EI ingreso marginal de la vema de x unidades de un producto

es ]2 - 0.0004x. Si el ingreso de la vema de las primeras I 000

unidades es $12 400, determine el ingreso de la venta de las

primeras 5000 unidades.

r n EI costo marginal de producir x unidades de cierto producto es

74 + l.lx - 0.002X2 + 0.00004x3 (en dolares por unidad),

Encuentre el incremento en costa si el nivel de produccion se

eleva de 1200 unidades a 1600,

4. La funcion de demanda para cierto artfculo es p = 20 - 0.

Determine el superavit de consumo cuando el nivel de ven

es 300. Ilustre dibujando la curva de demanda e identificand

al superavit de consumo como un area.

rn Una curva de demanda esta dada por p=50/(x + 8). Detene el superavit de consumo cuando el precio de venta es $10

6. La funcion de suminlstro Ps(x) para un articulo da la relac

entre el precio de vema y el ruirnero de unidades que los

fabricantes produciran a ese precio. Para un precio mas alto

los fabricantes produciran mas unidades, a s f que ps es una

funcion creciente de x. Sea X la cantidad del articulo que

se produce actualmente, y sea P =s(X) el precio actual.

Algunos productores estarian dispuestos a hacer y vender e

artfculo por un precio de venta menor y , por 10tanto, recibe

mas que su precio mfnimo. Este exceso se llama superavit



554 1 1 1 1 CAPiTULO 8 M A s APLICACIONES DE LA INTEGRAC!ON

de consumo. Un argumento similar a ese pam el supcnivit de

consurno, muestra que el excedente esta dado por la integral

r x [P - P s (x)] dx•0

Calcule el superavit de consume para la funcion de suministro

Ps(x) = 3 + 0.0 Ix" al nivel de ventas X = 10. Ilustre dibujando

lu c ur va de s um in is tr o e id en tif ic an do el excedente del productor

como un area.

7. Si una curva de suministro se modela mediante la ecuacion

p =00 + 0.2x H2, determine el superavit de consumo cuando

el precio de venia es $400.

8. Para un deterrninado articulo y compctencia pura, el mimero

de unidades producidas y el precio por unidad se deterrninan

como las coordenadas del punto de interseccion de las curvas

de suministro y dernunda. Dada la curva de dernanda

p = 50 - lo x y In curva de suministro p =0 + ~x,determine e l s up en iv i t de consurno y el excedente del productor,

Ilustre dibujando las curvas de suministro y demanda, e

identifique los superavit como areas.

9. Una compafifa disefio la curva de demanda para su producto (en

dolares) mediante

p=800 OOOe,j5000

x + 20000

Use una grafica para estimar el nivel de ventas cuando el precio

de venta es $16. Despues determine (de forma aproximada) el

superavit de con sumo para este nivel de ventas.

! i~, Un cine ha estado ccbrundo $7.50 pOI persona y vendiendo

alrededor de 400 boletos en la noche de sabado y domingo.

Despues de encuestar a sus clientes, los propietarios del

cine estiman que por cada 50 centavos que bajen el precio,

la cantidad de asistentes se incrernentara en 35 por noche.

Encuentre la funci6n de demanda y calcule el supenivit de

consumo cuando los boletos se venden a $6.00.

1 1 . Si l a c an ti da d de capital que una cornpafifa tiene en el tiernpo

I es f(t), pOl'10 tanto la derivada, 1'(t), se llama el flujo de

i l l \ 'e /:~i611 neto, Suponga que el flujo de inversi6n neto es J imillones de dolares por afio (donde t se mide en afios),

Determine el incremento de capital (I a [ormacion de copital). . . . - -

del cuarto afio al octavo.

12. EI flujo de ingreso hacia adentro de una compafifa es en una

proporcion de f(t) =000Jf+2(, donde t se mide en afiosy f(t) se mide en d61ares por cada afio, hallar el ingreso total

obtenido en los primeros cuatro afios,

13. La ley de Pareto de la utilidad establece establece que el

rnirnero de personas con ingresos entre x = a y x = b es

N = J : : > Ax-' d." donde a y k son constantes con A > 0 Yk > I.

EI ingreso promedio de estas personas es

, '/>

N = Ax-k dx,(/

Calcular x .

14. Un verano lnirnedo y calido causa una explosi6n en la

poblacion de mosquitos en un area de descanso lacustr

EI mimero de mosquitos se incrementa a una rapidez es

de 2200 + lOeos, por semana (donde t se mide en sema

i,En cuanto se incrementa la poblaci6n de mosquitos ent

semanas quinta y novena del verano?

15, Use la ley de Poiseuille para calcular el caudal en una p

arteria hurnana donde se puede tomar T f =.027, R=ern, I= Clll, Y P = 000 dinas/cnr',

16. La presion sangufnea alta resulta de 1 0 1 constricci6n de

arterias, Para mantener un flujo normal, et corazon tien

bombear mas fuerte, de modo que se incrementa la pre

arterial. Use la ley de Poiseuille para mostrar que si Ro

son valores normales del radio y la presion en una arte

los valores restringidos son R y P , por 1 0 tanto para qu

flujo permanezca constante, P y R se relacionan media

ecuacion

r.: ( R o ) 4Po R

Deduzca que si el radio de una arteria se reduce a tres c

de su valor anterior, despues In presion es mas que el tri

El metodo de diluci6n de colorante se ernplea para medi

rendirniento cardiaco con 6 mg de colorante. Las concentra

de colorante, en rng/L, se modelan mediante crt) =0te

o ~ t ~ 10, donde t se mide en segundos. Determine el

rendimiento cardiaco.

18. Despues de una inyeccion de colorante de 8 mg. las lect

concentracion de colorante a intervalos de dos segundos

como s e mues tr a en la tabla. Use In regIa de Simpson pa

estirnar el rendimiento cardiaco.

c(tJ c ( t )

0 \I l2 3. 9

2 ~ . - + 14 ') ", , - , - ' "

4 5 ,\ ! ( ) I.e

6 7.0 I f ; 0 .7

S 7.6 20 0

10 ),4

19. Se muestra 1 0 1 grafica de la funcion concentracion c(t) de

de inyectar 7 mg de tintura dentro de un corazon, Apliqu

regia de Simpson para estimar el rendimiento cardiaco.

y

(rng/L)Hc--l-t-+--+-+-+++++-l--l--l-+-l

6

4

2

o 4 10 12 14 t (scgundo



SECCION 8.5 PROBABIUDAD IIII

=~~~~~~~~§~ PROBABILIDAD

EI calculo desempefia un papel en el analisis del comportamiento aleatoric, Suponga

se considera el nivel de colesterol de una persona elegida aI azar de un cierto grup

edad, 0 la estatura de una mujer adulta elegida a l a za r, 0 l a du ra ci on de una baterfa de

to tipo elegida en forma aleatoria. Tales cantidades se Haman variables aleatorias c

nuas, porque sus valores varian en realidad en un intervalo de niimeros reales, aunqupodrfan medir 0 registrar solo h asta el en tero mas proximo. Quiza se desee conocer la

babilidad de que el nivel de colesterol sea mayor que 250, 0 la probabilidad de que

tura de una rnujer adulta este entre 60 y 70 pulgadas, 0 la probabilidad de que la dura

de Ia baterfa que se esta comprando sea de entre 100 y 200 horas. Si X representa la

cion de ese tipo de baterfa, su probabilidad se denota como sigue:

P (1 00 ,;;;X,;;; 200)

De acuerdo con la interpretacion de frecuencia de probabilidad, este mimero es la pro

ci6n de largo plazo de las baterfas de] tipo especificado cuyos tiempos de vida estan

tre 100 y 200 horas. Puesto que representa una proporcion, la probabilidad naturalm

cae entre 0 y I.Toda variable aleatoria continua X tiene una funcion de densidad de probabili

f.Esto significa que la probabilidad de que X este entre a y b se encuentra integran

de a a b:

O J'&

P(a ,;;;X,; ; ; b) = f(x) dx1/

Par ejemplo, en la figura 1 se muestra la grafica de un modelo de Ia funcion de d

dad de probabilidadfpara una variable aleatoria X definida como la altura en pulgada

una mujer adulta en Estados Unidos (de acuerdo con los datos de la National Health Sur

La probabilidad de que la altura de una mujer elegida al azar de esta poblacion este

60 y 70 pulgadas, es igual al area bajo la grafica de f de 60 a 70.

y

area= probabilidad de quela altura de un a m ujer

este entre 60 y 70

p u l g a d a s

F I G U R A I

Funcion de densidad de probabilidad

para la altura de una mujer adultao 60 65 70 x

En general, la funcion de densidad de probabilidad f de una variable aleatoria X s

face la condici6n f(x) ~ 0 para toda x. Debido a que las probabilidades se miden en

escala de 0 a I, se deduce que

f,,f(x) dx=I

EjENPLO I Sea f(x) =O.006x(l0 - x) para 0 ,;;;x ,;;; 10 y f(x) = para los otros

valores de x.

(a) Compruebe quefes una funcion de densidad de probabilidad.

(b) Determine P(4 ,;;;X,;;; 8).



556 Ill! CAPiTULO 8 MAs APLICACIONES DE LA INTEGRACION

yc

[0 s i i « : 0

lU I = ([" si t;" 0

o

F IG U R A 2

Una funcion de densidad exponencial

S O L U W J Il

(a) Para 0 ~ x ~ 10 se tiene 0.006x{1O - x) ;;, 0, par 10 tanto, f{ x) ;;, 0 para tod

necesita comprobar tambien que se satisface la ecuaci6n 2:

f ' " J ' I O , ' 1 0",f(x) dx = 0 0.006x(10 - x) dx = 0.006.0

(lOx - x2) dx

PO I' 1 0 tanto,f es una funci6n de densidad de probabilidad.

(b) La probabilidad de que X este entre 4 y 8 es

is ~

P{4 ,,;;X ,,;; 8)=4 f(x ) dx =.0061 (lO x - x2) dx

~ EjH'IPLO 1 Fen6menos como los tiempos de espera y los tiempos de falla de e

se modelan par 10 cormin mediante funciones de densidad de probabilidad que de

en forma exponencial. Determine la forma exacta de tal funci6n.

IOLU (JOf lConsidere la variable a lea to r ia como el tiempo de espera en una l l amada

de que conteste un agente de una cornpafiia a la que usted esta llamando. Asi qu

en Jugar de x, se emplea t para representar el tiempo, en minutos. Si f es la funci6de densidad de probabilidad Y listed llama en el tiempo t=, a continuaci6n, d

la definicion 1, J~f(t) dt representa la probabilidad de que un agente conteste den

los primeros dos minutos y J ~ f(t) dt es la probabilidad de que la Hamada sea cont

durante el minuto cinco.

Es claro que f(t) = para t < 0 (el agente no puede contestar antes de que u

Ilame). Para t > 0 se indica usaf una funci6n que decrece en forma exponencial, e

decir, una funcion de la forma f(t} =e-"I, donde Aye son constantes positivas. A

{o si t < 0

f(t) = A -(I . ~ 0e 81 t >

Se usa la condici6n 2 para determinar el valor de A :

1 = r o < f(t) dr =o c f(t) dt + r f(t) dt

C O ' Ae-CJ dt=im J ' x Ae-ct dtJ o x~)o~ o

A

c

Por 10 tanto, Alc =1 Y a sf A = c. En estos terminos, toda funci6n de den si dad expon

tiene la forma

{o si t < 0

f(t) = -0 . > 0ce 81 t __

En la figura 2 se ilustra una grafica representativa.



),=f(l)

o 1;_1 t,

F IGURA 3

ill Es pra ctice c orn u n d en ota r la m ed ia po r la

l et ra g r ie g a /L (mu l .

y

y=f(x)

X=J.l

F IGURA 4

m se equilibra en un punto sobre

la recta x =p:

SECCION 8.5 PROBABILIDAD

VALORES PROMEDIO

Suponga que esta en espera de que una compafifa eonteste su Hamada telef6nica y s

gunta cuanto tiempo, en promedio, esta dispuesto a esperar. Sea J(t) Ja funci6n de d

dad eorrespondiente, donde t se mide en minutos, y considere una muestra de N pers

que han llamado a esta compaiifa. Es muy probable que ninguno de ell os tuvo qu

perar mas de una hora, asf que se restringe la atencion al intervalo 0 ~ t ~ 60. D

ese intervale en n intervalos de longitud ilt y puntos finales 0, fL, ti; ..• (Considere

D .t dura un minute, 0 medio minuto, 0 10 segundos 0 incluso un segundo). La proIidad de que la Hamada de alguien sea eontestada durante el periodo de tl-] a t, es e

bajo la curva y =(t } de ti-l a t., que es aproximadarnente igual a JU t) S s. (Esta

area del rectangulo de aproximacion en Ia figura 3, donde 'i , es el punto medic d

tervalo.)

Puesto que la proporci6n a largo plazo de lIamadas que son contestadas en el pe

de t i-l a ti es JOi ) ilt, se espera que, de la muestra de N personas que llaman, la can

cuya Hamada fue eontestada en ese periodo es aproximadamente NJ(t;) ill Yel tiempo

cada uno esper6 es de alrededor de (i. Par 10 tanto, el tiempo total que esperaron es e

ducto de estos niimeros: aproximadamente (i[NJOJ ill]. Al sumar todos estos interval

obtiene el total aproximado de los tiempos de espera de todos:

"2 : Nt;j(ti) illi-I

Si ahora se divide entre el mimero de personas que llamaron N, se obtiene el tiempo

pera promedio aproximado:

"2 : t ,J ( ( ;) illi=1

Se reeonoee a esto como una suma de Riemann para la funei6n tJ(l). Cuando se acorta

tervalo (es decir, ill --- '> 0 Yn --- '> co), esta suma de Riemann se aproxima a In integral

[60

J o tJ(t} dt

Esta integral se llama fa media del (tempo de espera.

En general, la media de cualquier funci6n de densidad de probabilidad J se dcomo

/- L =r .xJ(x) dx

La media se puede interpretar como el valor promedio a largo plaza de la variable al

ria X. Se puede interpretar tambien como una rnedida de la posici6n central de In fu

de densidad de probabilidad.

La expresion para la media se asemeja a una integral que se ha visto antes. Si ' ' ! Rregion que yace bajo la grafica de J, se sabe de Ia formula 8.3.8 que la coordenada

centroide de '!It es

J ' " ' xJ(x) dx

x = ~: = J O G xJ(x) dx=-L

LJ(x) dx -x

debido a la ecuacion 2. De modo que una placa delgada en la forma de 2 f t se equiJib

un punto sobre la linea vertical x=p. (Vease figura 4).



EjEMPLO 3 Encuentre la media de la distribuci6n exponencial del ejemplo 2:

( ) {o si t < 0

ft=ce?" si t ~ 0

558 llll CAPiTULO 8 MAs APLICACIONES DE LA INTEGRACION

E llfm ite d el p rim er terrn ln o es 0 p ar la reg ia

de I' Hospi ta l .

S O l U C I O N De acuerdo con la definicion de una media, se tiene

'"=' " tf(t) dt=r tee:" dt-" 0

Para evaluar esta integral se usa la integracion por partes, con II= t y dv = ce?' dt

J'''tce-Odt= l f m J·.[tce-ndt= 1 1 m (-te-"I]~ + rXe-ctdt)() x-~z 0 x-·oo J o

(

I e-c",) 1

=fm +xe:" + - - -- =-.[-~ c C c

La media es '" = 1/c, asf que se puede reescribir la funci6n de densidad de probabi

como

1(t) =

{ o-I _rip,

'" e

si t < °si t ~ 0

~ EJEMPLO4 Suponga que el tiempo de espera promedio para que la Hamada de u

c1iente sea contestada por un representante de la compafifa es cinco minutos.

(a) Encuentre la probabilidad de que una Hamada sea contestada durante el primer m

(b) Determine la probabilidad de que un cliente espere mas de cinco minutos a que

contestada su llamada,

S O l U ( I ( i N

(a) Se tiene como dato que la media de la distribucion exponencial es J L =5 min y , p

tanto, del resultado del ejemplo 3, se sabe que la funci6n de densidad de probabilidad e

f(t) =~.2e-tI5

si t < 0

si t ~ 0

Por esto, la probabilidad de que una Hamada sea contestada durante el primer minu

P (O , ., ;; T , , ;; 1) = C f(t) dt.0

=; 0.2e-'/5dt =O.2(-S)e-tI S ]:)

=1 - e-1/5 =0.1813

Por consiguiente, cerca de 18% de las llamadas de los c1ientes, seran contestadas d

el primer minuto,

(b) La probabilidad de que un cliente espere mas de cinco minutos, es

P(T > 5)=' ' ' ' f(t) dt =' ' ' ' 0.2e-tI S dt.s 5

=fm fX O.2e-tIS dt =im (e- 1 - e-xI5),'l,:-'7.l 5 .l. . . . .__,oZ

1= - =0.368

e

Cerca de 37% de los clientes espera mas de cinco minutos antes de que su Hamada

contestada.



La d es vla cio n es ta nd ar s e d en ota co n !a tetra

9r iega o: ( si gm a ) m i nU s cu la .

F IGURA 5

Distribuciones norrnales

0 .D2

om

o 60 80 100 120 140 x

FIGURA 6

Distribucion de puntuaciones de CI

SECCION 8.5 PROBABILIDAD IIII

Observe el resultado del ejemplo 4(b): aun cuando el tiempo prornedio de esper

5 minutos, solo 37% de las personas que llaman esperan mas de 5 minutes. La razon es

algunas de [as personas que Ilaman tienen que esperar mucho mas tiempo (quiza 10

minutes), y esto hace subir el promedio.

Otra medida de centralidad de una funcion de densidad de probabilidad, es In medi

Este es un mimero l/1 tal que la mitad de las personas que Ilaman tienen lin tiempo de e

ra menor que my Ia otra mitad tiene un tiernpo de espera mas largo que m. En genera

mediana de una funcion de densidad de probabilidad es el ntimerolJl

tal que

j'''f(x) dx =}..,m

Esto significa que la mitad del area bajo la grafica defse localiza a la derecha de III. E

ejercicio 9 se pidio mostrar que el tiernpo de espera promedio para la compafiia des

en el ejemplo 4 es aproximadamente 3.5 minutos.

DISTRIBUCIONES NORMALES

Muchos fen6menos aleatorios importantes, como las puntuaciones en pruebas de apt

estaturas y pesos cleindividuos de una poblaci6n homogenea, precipitaci6n pluvial anu

un cleterminado lugar, se model an mediante una distrlbucion normal. Esto significala funcion de densidad de probabilidacl de una variable aleatoria X es un rniernbro de I

milia cle funciones

Se puede comprobar que la media para esta funcion es J . L . La constante positiva if se l

desviaclon estandar; esta mide cutin dispersos estan los valores de X . De las gratica

forma de campana de miembros de la familia de la figura 5, se ve que para valores pe

fios de if los valores de X estan agrupados respecto a Ia media, mientras que para va

mas grandes cle if los valores de X estan mas dispersos. Los estadfsticos tienen met

que les permiten usar conjuntos de datos para estimar f.L Y if.

yI

o=r:2

x

EI factor 1/ ( 0 ' . j 2 " ; - ) es necesario para hacer de f una funcion cle densidad cle pr

bilidad. De hecho, se puecle com pro bar por medio de los metodos de calculo de vvariables que

~ E jI : 1 >1 1 'L O 5 Las puntuaciones del cociente intelectual (CI) tienen una distribucion

normal con media 100 Ydesviaci6n estandar 15. (En 1afigura 6 se muestra la funcion

densidad de probabiliclacl correspondiente.)

(a) L . Q u e porcentaje de la poblaci6n tiene una punruacion cle CI entre 85 y [IS?

(b) L .Que porcentaje de la poblaci6n tiene un CI arriba cle 140?



560 !II! CAPITULO a M A s APLICACIONES DE LA INTEGRACION

S O L U C I O N

(a) Puesto que las puntuaciones CI tienen una distribucion normal, se usa la funci6

densidad de probabilidad dada por la ecuacion 3 con J .L =100 y o:=15:

Reeuerde de la seccion 7.5 que la funcion y =e? no tiene una antiderivada eleme

asf que no se puede evaluar la integral de manera exacta. Pero se puede usar la capade integracion nurnerica de una calculadora 0 computadora (0 la regia del punto m

o la regia de Simpson) para estimar la integral. Al hacerlo se encuentra que

P (8 5 ",- ;;X ",-;;115) =0.68

J'" 1 'P(X> 140)= e-(x-100)"/450 dx140 15y!z;

Por 10 tanto, cerca de 68% de la poblacion tiene un CI entre 85 y 115, es decir, dentro

una desviaci6n estandar de la media.

(b) La probabilidad de que la puntuacion del CI de una persona elegida al azar sea

de 140 es

Para evitar la integral impropia, se podria aproximarla mediante la integral de 140 a

(Es bastante seguro decir que las personas con un CI de mas de 200 son muy poc

En tal caso

- a o o I ,P(X> 140) = J e-,x-HX»)!450dx = 0.0038

14 0 15y!z;

Por 10 tanto, cerea de 0.4% de la poblacion tiene un CI de mas de 140.

m Sea f (x) la funci6n de densidad de probabilidad para laduraci6n de la llanta de autom6vil de la mas alta calidad

de un fabricante, donde x se mide en millas. Explique el

significado de cada integral.

(40(1()()

(a) 1 f(x) dx• . 1 1 1 0 00

(b) f " f(x) dx.25000

2. Sea f(t) la funci6n de densidad de probabilidades para el

tiempo que Ie torna conducir a l a e sc ue la en la manana, donde 1

se mide en minutes. Exprese las siguientes probabilidades

como integrales.

(a) La probabilidad de que lIegue a la escuela en menos de 15

minutes

(b) La probabilidad de que tarde mas de media hora en !legar ala escuela.

3. Sea f(x) =4 x./1 6 - X" p a r a 0:;;; x :;;;4 y f (x) = 0 para los

otros valores de x.

(a) Cornpruebe que f es una funci6n de densidad de

probabilidad.

(b) Encuentre P (X < 2).

4. Sea fU ) = xe-' si.e > 0 yf(x) = 0 six < O .

(b) Cornpruebe que.f es una funci6n de densidad de

probabilidad.

(b) Hallar PO :;;;x:;;; 2 ).

5. Sea fix) =/(l + .2).(a) ,:.Paraque valor de c,f es una funci6n de densidad de

probabilidad?

(b) Para ese valor de c. hallar P ( - I <x < I).

6. Sea f(x) =.1 :2

( 1 - x) si 0 ~ x ~ I y f(.\·) = 0 si x <0

ox> 1 .

(a) "Para que valor de k esfuna funci6n de densidad de

probabilidad?

(b) Para ese valor de k , determine P (X ;,0 D .(c ) Encuentre la media.

r n Una perinola de un juego de mesa indica al azar un nume

real entre 0 y 10. La perinola es justa en el sentido de que

indica un rnirnero en u n i nt er va le dado con la m is rn a

probabilidad que indica un mimero en cualquier otro inte

de la rnisma extension.

(a) Explique pOl'que la funci6n

f(x) = { ~ . 1 si 0 ~ x:;;; 10

si .L < 0 0 x > L O

es la funcion de densidad de probabilidad para los valo

Ia perinola.

(b) ,:.Que le indica su intuicion acerca del valor de L a med

Compruebe su inferencia evaluando la integral.



[II (a) Explique por que la funcion cuya grafica se rnuestra es una

funcion de densidad de probabilidad,

(b) Use la grtifica para hallar las siguientes probabilidades:

(i) P (X < 3) (ii) P (3 ~ X ~ 8)

(e) Calcule la media.

0.2 ~+--J.-+--+---ic-::::~--+-~~

0 .1 1---+--+--

o 2 8 10 x6

9. Muestre que el tiempo de espera promedio para una Hamada

telefonica a la compafifa descrita en el ejemplo 4 sea de

alrededor de 3.5 minutos.

10. (a) Cierta clase de Iampara lleva una marca que indica una

duracion promedio de 1000 horas. Es razonable modelar

la probabil idad de falla de estas lampara mediante una fun-

cion de densidad exponencial con media J . 1 . . = 000. Use

este modelo para hallar Ia probabilidad de que la Iampara

(i) falle dentro de las prirneras 200 horas,

(ii) se quema para mas de 800 horas.

(b) l.Ctlill es la duracion prornedio de estas larnpara?

11. EI administrador de un restaurante de comida nipidu determina

que el tiempo promedio que sus clientes esperan a ser atendidos

es 2.5 minutes.

(a) Encuentre la probabilidad de que un cliente tenga que esperar

durante mas de 4 minutos.

(b) Encuentre Ia probabilidad de que un cliente sea ateudido

dentro de los primeros dos minutos.

(c) EI administrador quiere anunciar que cualquier persona que

no sea atendida dentro de cierto mimero de minutos, tiene

derecho a una harnburguesa gratis. Pero no quiere dar

hamburguesas gratis a mas de 2% de sus clientes, i.Que

debe decir el anuncio?

12 . De acuerdo con la National Health Survey. las alturas de

varones adultos en Estados Unidos tienen una distribuci6n

normal con media de 69.0 pulgadas y desviaci6n estandar de

2.8 pulgadas,

(a) l.Cual es la probabilidad de que un varon adulto elegido al

azar tenga una estatura de entre 65 y 73 pulgadas?

(b) l.Que porcentaje de la poblacion de varones adultos tiene

una estatura de mas de 6 pies?

!ill EI "Proyecto basura" en la Universidad de Arizona informa que

la cantidad de papel que se desecha en los hogares por semana

tiene una distribucion normal con media de 9.4 lb y desviacion

estandar de 4.2 lb. i.Que porcentaje de los hogares tira por 10

menos to Ib de papel a la semana?

14. EI contenido de unas cajas de cereal indica 500 g. La

rruiquina que Ilena las cajas produce pesos que tienen una

distribuci6n normal con desviaci6n estandar 12 g.

(a) Si el peso objetivo es 500 g, Lcual es la probabilidad de r uque la maquina produzca una caja con menos de 480 g

de cereal?

(b) Suponga que una ley establece que no mas de 5% de las

cajas de cereal de un fabricante puede contener menos del

SECCION 8.5 PROBABILIDAD 1 1 1 1

peso establecido de 500 g. (.En que peso objetivo debe fij

fabricante su maquina de llenado?

15. Las magnitudes de la rapidez de los vehfculos en una

autopista con limite de velccidad de 100 kmlh usualmenrs

esran distribuidas con una media de 112 km/h y una

desviacidn estandar de 8 km/h.

(a) l.Cual es la probabilidad de que un vehfculo elegido al

este viajando con una velocidad dispuesta por ley?

(b) Si los policfas estan instruidos para infraccionar a los

automovilistas conduzcan a 125 krn/h 0 mas, que porcen

de a ut or no v il is ta s e st ri n s ef ia la do s,

16. Demuestre que la funcion de densidad de probabilidad para

una variable usualmente distribuida ti en e p un to s de inflexion

enx= J . 1 . . ± c r .

17. Para cualquier distribuci6n normal, encuentre la probabilidad

que Ia variable aleatoria se localice dentro de dos desviacion

estandar de la media.

18. La desviaci6n estandar para una variable aleatoria con func

de densidad de probabilidadfy media J . 1 . . se define por

[ J1)2

a = r~x - J .1 . . ) 2 f ( x ) dx

Encuentre In desviacion estandar para una funcion de densi

exponencial con media u:

19. EI atomo de hidrogeno se compone de un proton en el nucle

y Ull electron, que se mueve respecto al micleo. En [a teorfa

cuantica de la estructura at6mica, se supone que el electron

se mueve en una 6rbita bien definida. En cambio, ocupa un

estado conocido como orbital, que se puede considerar com

una "nube" de carga negativa en torno al nucleo, En el esta

de menor e ne rg fa , l lamado estado basal, u orbital is, la formaesta nube se supone como una esfera centrada en el micleo.

Esta esfera se describe en terrninos de [a funcion de densida

de probabilidad

r~O

donde ao es el rad io de Bohr (aD" ' " 5.59 X 10-IIm). La

integral

I', 4 , ')

P(r) = - s·e-.;s "" ds.0 a~

da la probabilidad de que el electron se encuentre dentro de

esfera de radio r metros centrada en el ruicleo.

(a) Cornpruebe que p e r ) es una funci6n de densidad de

probabilidad,

(b) Determine el lfrn.c.; p(r). l.Para que valor de r In

expresion p(r) tiene su valor maximo?

(c) Grafique la funcion de densidad.

(d) Encuentre la probabilidad de que el electron esre dentro

la esfera de radio 4a o centrada en el rnicleo.

(e) Calcule la distancia media del electron desde el micleo

el estado basal del atomo de hidr6geno.



562 1 1 1 1 CAPITULO a M A s APLICACIONES DE LA INTEGRACION

R E V I S I O N D E C O N C E P T O S

1 . (a) i,C6mo se define la longitud de una curva?

(b) Escriba una expresion para la longitud de una eurva

uniforrne dada pOl'y =(x), a ~ x ~ h.

(c) i,Que pasa si x se da como una funci6n de y?

2 . (a) Eseriba una expresion para el area superficial de I n

superficie obtenida al hacer girar Incurva y = f(x).

a ~ x ~ b, respecto al eje x.

(b) i,Que pasa si x se da como una funci6n de y?

(c) i,Que pasa st la curva se hace girar respeeto al eje y?

3. Deseriba como se puede deterrninar la fuerza hidrostatica

contra una pared vertical sumergida en un fluido,

4. (a) i,Cuul es el significado ffsico del centro de masa de una

placa delgada?

(b) Si la placa esta entre y = f(x) y y = 0, donde (/ ~ x ~ b,

escriba expresiones para las coordenadas del centro demasa.

5. i,Que dice eJ teorerna de Pappus?

6. Dada una funci6n de demanda p(x), explique 10 que se

entiende por el superavit de consumo cuando la cantidad

articulo actual mente disponible es X y eJ precio de venta

es P. Ilustre con un bosquejo.

7. (a) i,Cual es el rendimiento cardiaco del coraz6n?

(b) Explique c6mo se puede medir el rendimiento cardia

el metodo de dilucion de colorante.

8. l,Que es la funci6n de densidad de probabilidad? i,Que

propiedades tiene tal funcion?

9. Suponga que f(x) es la funci6n de densidad de probabili

para el peso de una alumna universitaria, don de x se r

en libras.

(a) i ,Cual es el significado de la integral J ~ } Of(x) dx?

(b) Escriba una expresion para la media de esta funcion

de densidad,

(e) i ,C6mo se puede hallar la mediana de e st a f un ci on

de densidad?

10 . i,Que es una distribuci6n normal? l,Cual es el significado

desviacion estandar?

7 . Encuentre l a l on g it ud de la curva

E j E R C I C I O S

1-2 Encuentre la longitud de la curva.

1. y =x" + 4)'/". ° ~ x ~ 3

2. Y= lnlsen ~x). 7r!3 ~ x ~ tt

3. (a) Eneuentre la longitud de la curva

X4 Iy=-+-

16 2x"l~x~2

(b) Determine el area de la superficie obtenida al haeer girar la

curva del incisa (a) respecto al eje y.

4 . (a) La eurva y =", 0 ~ x ~ I , se haee girar respecto al eje y.

Eneuentre el area de la superficie resultante,

(b) Determine el area de In superfieie obtenida al hacer girar la

curva del inciso (a) respeeta al eje x.

S . Use la regia de Simpson con /J = para estimar la longitud de

la curva y = e-,2, ° ~ x ~ 3.

6. Emplee la regla de Simpson can n = para estimar el area de

la superficie obtenida al haeer girar la curva del ejercicio 5

respecto al eje .\'.

y = f ' v 'Jt - 1 dt,1

~x~ 16

8. Determine el area de la superficie obtenida al hacer gira

curva del ejercicio 7 respecta al eje y.

9. Una compuerta en un canal de irrigacion se eonstruye e

ma de un trapecio de 3 ft de aneho en el fondo, 5 ft de a

en la parte superior y 2 ft de alto. Se coloca verticalment

canal, con el agua que se extiende hasta su parte superio

termine la fuerza hidrostatica en un lado de Ia compuerta

10. Un canal se llena con agua y sus extremos verticales tie

forma de la regi6n parab61ica en l a f ig u ra . Encuentre l a

hidrostatica en un extrema del canal.

1----- 8 pjes~-~1

T4 pies

1



11-12 Determine el centroide de la region acorada pOI' las curvas

dadas.

II. y = + . t , y = . [ X ,

1 2 . y = sen x, y = 0, x = rr/4, x =1T/4

13-14 Encuentre el centroide de la region mostrada,

13. 14 .

JA13 , 2 ) ··3

2 ..;

. .x

-2 0 3 x

s

o

15. Eneuentre el volumen obtenido cuando el circulo de radio I

con centro (I, 0) se hace girar respecto al eje y.

16. Use el teorema de Pappus y el hecho de que el volumen de una

esfera de radio r es :\r r r 3 para encontrar el centroide de la regionsemicircular acotada por la curva y =r2 - x2 y el eje x.

17. La funcion de demanda para un articulo se da pOI'

p = 2000 - O .lx - 0.0Ix2 . Encuentre el superavit del

consumo cuando el nivel de ventas es 100.

18. Despues de una inyeccion de 6 mg de colorante al corazon,

las lecturas de concentracion de colorante a intervalos de dos

segundos se muestran en la tabla. Use la regla de Simpson

para estimar el rendimiento cardiaco,

CAPiTULO a REPASO I 1 1 1

I c(tl I c ( f )

0 0 14 4.7

2 1 .9 16 33

4 3.3 18 2.1

6 5.1 ::0 I.!

8 7.6 22 0.5

10 7.1 24 0

12 5.8

19. (a) Explique por que la funcion

{

rr ( r r x )I(x) = ; 0 sen 10 si 0 ~ x "'" 10

si x < 0 0 x> 10

es una funcion de densidad de probabilidad.

(b) Encuentre P (X <4).

(c) Ca1cule la media. i,Es el valor que esperarfa?

20. Los lapsos de embarazos humanos tienen una distribucion

normal con media de 268 dfas y una desviacion estandar d

15 dfas, i,Que porcentaje de embarazos dura entre 250 dtas

y 280 dlas?

21. EI tiempo gastado en la fila de espera de cierto banco se

modela mediante una funcion de densidad exponencial

con media de 8 minutes.

(a) i,Cual es la probabilidad de que un cliente sea atendido

los primeros 3 minutes?

(b) i,Cudl es la probabilidad de que un cliente tenga que esp

mas de 10 minutos?

(c) l.Cual es la mediana del t iernpo de espera?



-r----------,-----------J= = PROaLEt4lAS ADIC!ONALE'S

- I. Encuentre el area de la region S = {(x, y) I x ;3 0, Y .,-; I, X2 + y< " '" 4y}.

2. Encuentre el centroide de Laregion encerrada pOI el bucLe de la curva y< =l - X·.

3. Si la esfera de radio r se corta mediante un plano cuya distancia desde el centro de L

es d, en tal caso la esfera se divide en dos piezas llamadas segmentos de una base. Las sup

correspondientes se Haman zonas esfericas de una base.

(a) Determine las areas superficiales de las dos zonas esfericas indicadas en la figura,

(b) Determine el area aproxirnada del oceano Artico suponiendo que su forma es

aproximadamente circular, con centro en el polo norte y "circunferencia'' a 75° lati

norte. Use r = 3960 rnillas para el radio de la Tierra,

(c) Una esfera de radio r se inscribe en un cilindro circular recto de radio r. Dos pIano

perpendiculares al eje central del cilindro y apartados una distancia h cortau una zona

esferica de dos bases en la esfera. Muestre que el area superficial de la zona esferica

igual al area superficial de la region que los dos planos cortan en el cilindro.

(d) La zona torrida es la region sobre la superficie de 1aTierra que esta entre eLtropico

Cancer (23.45° latitud norte) y el tropico de Capricornio (23.45° latitud sur). Leual

area de la zona torrida?

/

4. (a) Muestre que un observador a la altura H arriba del polo norte de una esfera de rad

puede ver una parte de la esfera que tiene un area

r + H

(b) Dos esferas con radios r y R se coLocan de modo que la distancia entre sus centros

donde d > r + R. i,Donde se debe colocar una luz sobre la !fnea que une los centro

las esferas a fin de iluminar la superficie total mas grande?

5. Suponga que la densidad del agua de mar, p = p(z), varfa con la profundidad z debajo

superficie.

(a) Muestre que la presion hidrostatica esta gobemada por la ecuacion diferencial

elP-,-=(z)g

cz

donde g es la aceleracion debida a la gravedad. Sea Po y po la presion y la densidad

z = O. Exprese la presion a profundidad z como una integral.

(b) Suponga que la densidad del agua de mar a Ia profundidad z esta dada por p =oe:/H

donde H es una constante positiva, Encuentre la fuerza total, expresada como una i

ejercida sobre un orificio circular vertical de radio r cuyo centro se localiza a una d

L > I' debajo de la superficie.

564



p Q

F IG U R A P A R A n P R O B L E M A 6

r-------

IIIIII

10 em

F IG U R A P A R A E L P R O B L E M A 1 0

y:X_ hsenBI e I

_....!.. . . .L

y

L+------------------.

h

A ?\--r------~~----~~~e

F IG U R A P A R A E L P R O B L E M A 1 1

6 . En la figura se muestra un semicfrculo con radio 1 , diametro horizontal PQ, rectas tanaenres

P y Q. i,A que altura arriba del d iarnetro se debe eolocar la recta horizontal para mini~niza

area sombreada?

7 . Sea Puna piramide can una base cuadrada de Iado 2b y suponga que S es una esfera can

centro en la base de P y S es tangente a los ocho Iados de P. Determine la altura de P. De

pues ealcule el volumen de la interseccion de Sy P.

8. Considere una placa rnetalica plana que se colocara verticalmente bajo el agua can la part

superior sumergida 2 m debajo de Ia superficie del agua. Determine una forma para la pla

de modo que si esta se divide en cierto mirnero de tiras horizontales de igual altura, la fue

hidrostatica en cada tira es la misma.

9. Un disco uniforme can radio I se cort ara mediante una lfnea de modo que el centro de

masa de l a p ie za mas pequefia se localice ala mitad a 10 largo de un radio. i,Que tan eerca

del centro del disco se debe hacer el corte? (Exprese su respuesta correcta hasta dos

decimales.)

1 0 . Un triangulo can area 30 em 2 se carta desde una esquina de un cuadrado con lado 10 em,

se ilustra en [a figura, Si el centroide de la region restante es 4 em desde ellado derecho

cuadrado, i,que tan lejos esta del fonda del cuadrado?

11. En un problema famoso del siglo XVI I J , conocido como problema de fa aguja del bufo

se deja caer una aguja de longitud II sabre una superficie plana (por ejernplo, una mes

en la que se han dibujado lfneas paralelas apartadas L unidades, L ~ h, EI problema e

deterrn inar I a probabilidad de que I a aguja lIegue al reposo cortando una de las lfneas,

Suponga que las lineas van de este a oeste, paralelas al eje x en un sistema coordenado

rectangular (como en la figura). Sea y In distancia del extrema sur de la aguja a la Ifn

mas proxima al norte. (S i el extreme sur de la aguja yace sabre una lmea, sea y = O .

aguja yace de este a oeste, sea el extremo "oeste" el extrema "sur'") Sea eel angulo q

la aguja forma con un rayo que se extiende hacia el este desde el extrema "sur". Desp

o " . ; y " . ; L yO" ' ; e " .; 11 ' . Note que la aguja interseca una de las Iineas solo cuando y < h s

Ahora, el conjunto total de posibilidades para la aguja se puede identificar con la regirectangular 0 ".; y ,,;;L, 0 ,,;; e" . ; 11 ' , y la proporcion de veces que una aguja corta una

es [a relacion

area bajo y = h sen e

area del rectangulo,

Esta relacion es la probabilidad de que la aguja corte una linea, Determine Ia probabilidad

que la aguja corte una Iinea si h = L. i,Que pasa si I z = ~L?

12 . Si la aguja del problema II tiene longitud h > L, es posible que la aguja corte mas de una

Ifnea.

(a) Si L=, encuentre la probabilidad de que una aguja de longitud 7 corte par 10menos

una Ifnea. [Sugerellcia: proceda como en el problema II. Defina y como antes; en tal

el conjunto total de posibilidades para Ia aguja se puede identificar can la misma regio

rectangular 0 ,,;;) ' ,,;;L, 0 ,,;; e " . ; 11 ' . i,Que porcion del rectangulo corresponde a la agu

que corte una linea?]

(b) Si L = 4, encuentre 1 a probabilidad de que una aguja de longitud 7 corte dos lineas.

(c) Si 2L < h ".; 3L, encuentre una formula general para la probabilidad de que la aguja c

tres [fneas.