Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
18
2.6 ACELERACIÓN MEDIA
Podemos cambiar la velocidad de un auto, pisando el acelerador o el freno, para aumentar o disminuir su
rapidez. También la podemos cambiar girando el timón, es decir cambiándole la dirección y sentido. Si el
movimiento se restringe a una línea recta, la dirección queda fija, pero todavía se puede cambiar la rapidez
y el sentido de la velocidad. La aceleración es un concepto que se introduce para medir qué tan rápido
cambia la velocidad de una partícula en el tiempo.
Supongamos que una partícula se mueve sobre una línea recta, y que en un instante t1 tiene velocidad v1, y
que en un instante posterior t2 tiene velocidad v2, ambos medidos respecto a algún SR, luego se define la
aceleración media de la partícula en este intervalo, como el cociente del cambio de velocidad y el intervalo
de tiempo usado:
12
12
tt
vv
t
vam
Considerando el intervalo de tiempo como positivo, es decir sin considerar cuentas regresivas, observamos
que la aceleración media tiene el mismo signo que el cambio de velocidad. Sin embargo, hacemos hincapié
en que el signo de la aceleración media no significa que la partícula aumente o disminuya su rapidez.
Un análisis cuidadoso de la ecuación anterior muestra que:
a) Si v1, v2 y am tienen el mismo signo, entonces la partícula aumenta su rapidez.
b) Si v1 y v2 tienen el mismo signo, pero difieren en signo de am, entonces la partícula disminuye su
rapidez.
c) Si v1 y v2 tienen signos opuestos, podemos decir que inicialmente la partícula disminuye su rapidez,
y que posteriormente empezó a aumentar su rapidez. Esto debido a que, en algún instante la
velocidad debió ser cero, es decir la partícula debió detenerse para cambiar de sentido.
La aceleración media la representamos por un vector cuyo sentido lo indica su signo: a la derecha si este es
positivo y a la izquierda si es negativo (considerando un eje positivo a la derecha). Por ejemplo, sea un
móvil que se encuentra en la posición 5 m, con una velocidad de –2 m/s, y que luego de 1 s se encuentra
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
19
en la posición –8 m, con una velocidad de –1 m/s, representamos la aceleración media como se muestra
en la figura:
2( 1 m / s) ( 2 m / s)1 m / s
1 sm
va
t
En este ejemplo podemos decir que la partícula disminuye su rapidez. Se cumple la regla (b): la aceleración
media resulta positiva, mientras que las velocidades son negativas. En un gráfico de este tipo, podemos
distinguir los vectores aceleración de los vectores velocidad teniendo en cuenta las unidades de las
etiquetas.
X(m)
0 5 10 -5 -8
am = 1 m/s2 –2 m/s
–1 m/s
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
20
2.7 MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE
Un móvil describe un movimiento rectilíneo con
aceleración constante, cuando este se mueve en línea
recta y su aceleración media es la misma para cualquier
intervalo de tiempo que se considere. En este caso, es
conveniente definir la aceleración para todo instante del
movimiento, mediante la ecuación:
cteaa m
Nótese que mientras la aceleración media se define en un
intervalo de tiempo, la aceleración se define en todo instante. En el ejemplo anterior, si el movimiento
fuese de este tipo, la aceleración sería 1 m/s2, para todo tiempo entre 0 s y 1 s.
Una característica importante de este movimiento es que la velocidad de la partícula, cambia a la misma
tasa durante todo el movimiento. Por ejemplo, supongamos que un cuerpo rueda por un desliza por un
plano inclinado, y registramos en una tabla la velocidad en cada segundo:
Tiempo
transcurrido
Rapidez
medida
1,0 s 5,2 m/s
2,0 s 10,4 m/s
3,0 s 15,6 m/s
Notamos que la velocidad del cuerpo cambia 5,2 m/s en cada segundo, por lo tanto, con gran
aproximación podemos asumir que este es un movimiento con aceleración constante y que esta
aceleración (en módulo) es igual a 5,2 m/s2 en cualquier instante. Esta aceleración la calculamos, por
ejemplo, a partir de la aceleración media del primer tramo.
Determinaremos ahora, la velocidad de una partícula que se mueve con aceleración constante, para
cualquier instante de tiempo. Con este fin, supongamos que la aceleración del móvil es a, y que
Arreglo experimental para la medición de la
posición de un móvil con MRUV usando un sonar.
Laboratorio de Física de la PUCP
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
21
inicialmente, este tiene velocidad v0, punto en el cual tomamos nuestro origen temporal 0T .
Supongamos también, que en un tiempo posterior tT , la partícula tiene velocidad final vf.
Gráficamente:
La aceleración media para este tramo es:
0
0
t
vva
f
m
0x fx O
a T = t T = 0 v0 vf
X
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
22
Despejando la velocidad final y usando el hecho de que la aceleración es constante e igual a la aceleración
media, obtenemos la ecuación:
atvv f 0
Para tener una mejor idea de este movimiento graficamos la aceleración y la velocidad de la partícula
como funciones del tiempo (gráficos a–t y v–t).
Dado que la aceleración es constante en todo instante, la curva correspondiente es una recta horizontal
que pasa por el valor de la aceleración a. Por otro lado, la ecuación anterior nos da una relación lineal
entre la velocidad y el tiempo, por lo que la curva de velocidad es una línea recta con pendiente igual a la
aceleración a, y ordenada en el origen v0.
En el gráfico a–t vemos que el área bajo la curva de aceleración es simplemente el producto de la
aceleración por el intervalo de tiempo at, y de la ecuación anterior vemos que esto a su vez es igual al
cambio de velocidad. Es decir, concluimos que el área bajo la curva de aceleración resulta ser igual al
cambio de velocidad de la partícula. Si la aceleración es negativa, es decir cae por debajo del eje t, el área
la tomamos con signo negativo, para que siga representando el cambio de velocidad.
Ahora determinaremos la ley de movimiento para una partícula que se mueve con aceleración constante.
Para esto, suponemos que cuando la partícula se mueve con velocidad v0, esta se encuentra en la posición
inicial x0, y cuando alcanza su velocidad final vf, esta se encuentra en la posición final xf. Recordemos
también, que cuando se analizó el movimiento de una partícula con velocidad constante, se mostró que el
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
23
área bajo la curva de velocidad, en el gráfico v–t, representaba el desplazamiento. Pues bien, este es un
resultado válido en general. Por lo tanto, considerando, la gráfica anterior tenemos:
))((2
1)( 00 tattvxxxArea f
En el último término, el primer sumando representa el área del rectángulo sombreado, mientras que el
segundo término representa el área del triángulo sombreado. Notemos que el cateto vertical del triángulo
mide at, pues la recta tiene pendiente a. Despejando la posición tenemos:
2
002
1attvxx f
Esta es la ley de movimiento para el movimiento rectilíneo con
aceleración constante. Está ecuación predice una dependencia
cuadrática de la posición con el tiempo. Si realizamos una gráfica de
la posición en función del tiempo (gráfico x–t) obtenemos una
parábola, que corta al eje vertical en la posición inicial x0, y que
resulta cóncava hacia arriba (se curva hacia arriba) si la aceleración
es positiva y cóncava hacia abajo (se curva hacia abajo) si la
aceleración es negativa.
Otra característica importante de este gráfico, es que la
pendiente de la recta tangente en un punto de la parábola,
correspondiente a un tiempo t, resulta ser la velocidad v en
ese instante. Por ejemplo, la pendiente de la recta tangente
a 0t es la velocidad inicial v0.
Usando esta característica se pueden determinar las
coordenadas del vértice de la parábola. Dado que en este
instante la recta tangente es horizontal, entonces sólo se
debe resolver v(t) = 0. Una vez que se halla el tiempo, este
se reemplaza en la ley de movimiento para hallar la coordenada en el eje x.
Ejemplo
Gráficas x-t, v-t y a-t obtenidas usando el
arreglo experimental mostrado anteriormente.
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
24
Sea una partícula que parte a t = 0 s de la posición inicial −2 m con una velocidad inicial de 1 m/s. Si
además se conoce que la aceleración de la partícula para todo tiempo es −1 m/s2, entonces se pide hallar la
ley de movimiento x(t), la ley de velocidad v(t) y sus gráficas correspondientes.
SOLUCION
Para hallar x(t) y v(t) usamos directamente las fórmulas correspondientes y reemplazamos los datos.
21( ) 2
2
( ) 1
x t t t
v t t
Para graficar la ley de movimiento x(t) podemos completar cuadrados o proceder como sigue:
Como la aceleración es negativa entonces es una parábola cóncava hacia abajo.
La coordenada en t del vértice de la parábola se halla haciendo v(t) = 0, de donde t = 1 s.
Reemplazando este valor de t en x(t) tenemos la coordenada en x del vértice. Resulta: −1,5
Un punto de paso es la condición inicial: para t = 0 s tenemos que x = −2
En las siguientes figuras se muestran los gráficos x(t) y v(t):
Regla de signos
Finalmente se debe recordar que, tanto la velocidad como la aceleración, tienen signo. Dado un SR,
representamos estas cantidades por vectores que tienen cierto sentido dependiendo del signo.
Usualmente se escoge un SR con un eje de coordenadas positivo hacia la derecha, y correspondientemente
x(m) v(m/s)
t(s)
t(s)
O
O 1
−1,5 −2 1
1
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
25
las cantidades positivas se representan como vectores que apuntan a la derecha y las negativas como
vectores que apuntan a la izquierda.
Además, debido a que la velocidad y la aceleración se han definido para todo instante del movimiento,
podemos dar las siguientes reglas, para determinar en qué instantes la partícula aumenta o disminuye su
rapidez:
a) Si la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo, entonces la partícula aumenta su rapidez.
b) Si la velocidad y la aceleración tienen signo contrario, entonces la partícula disminuye su rapidez.
Por ejemplo, sea una partícula que se encuentra inicialmente en la posición 2 m, con una velocidad de 10
m/s, y cuyo movimiento es con aceleración constante igual a –1 m/s2. Luego de 12 s, la velocidad y
posición de la partícula serán:
0
2 2
0 0
10 ( 1)(12) 2 m/s
1 12 10(12) ( 1)(12) 50 m
2 2
f f
f f
v v at v
x x v t at x
Nótese que en el cálculo anterior no se llevó cuenta de las unidades en el paso intermedio, pero si se
colocaron al dar los resultados. Gráficamente representamos estos dos instantes como sigue:
Dado que la aceleración es constante en todo el trayecto, dibujamos el vector aceleración en un punto
cualquiera. Por otro lado, los vectores velocidad, los dibujamos en los instantes que les corresponden.
Vemos del gráfico anterior que la aceleración es negativa durante todo el movimiento. Además el cálculo
muestra que después de 12 s, la partícula tiene velocidad negativa, luego en este instante la partícula esta
10 m/s –2 m/s
t = 0 s t = 12s
–1 m/s2
2 50 O x(m)
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
26
aumentando su rapidez. En contraste, inicialmente su velocidad era positiva y por tanto en este instante se
encontraba disminuyendo su rapidez.
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
27
2.8 CONSISTENCIA DIMENSIONAL DE LAS ECUACIONES
Podríamos fácilmente encontrar el volumen que ocupa un libro multiplicando sus tres lados, largo, ancho y
alto. Por ejemplo, un libro cuyo largo es 27 cm., ancho 20 cm. y alto 4 cm. ocupa un volumen de 2160 cm3.
Observa las unidades del volumen, son centímetros al cubo. Esto se debe a que el volumen se obtiene
multiplicando tres longitudes. Por esta razón, las dimensiones del volumen son 3L , donde L representa
dimensión de longitud. ¿Qué dimensiones tiene el área de un terreno? ¿En qué unidades se puede
expresar el área de un terreno?
Podemos expresar las dimensiones de otras magnitudes derivadas en función de tres magnitudes
fundamentales, longitud (L), masa (M) y tiempo (T). Por ejemplo, la velocidad tiene dimensiones de
longitud dividida entre tiempo, L/T. La suma algebraica (suma o resta) de dos magnitudes físicas sólo tiene
sentido si ambas tienen las mismas dimensiones. Por ejemplo, no podemos sumar velocidad con
aceleración. Consideremos la siguiente ecuación:
SRQP
Las dimensiones de P, Q, R y S deben ser las mismas. ¿Por qué? Además, antes de realizar las operaciones
de suma y resta para encontrar el valor de P, debemos asegurarnos que Q, R y S tengan las mismas
unidades. ¿Por qué?
El análisis dimensional nos permite, a veces, detectar errores en fórmulas o ecuaciones. Por ejemplo, un alumno escribe la siguiente fórmula para la posición de una partícula en función del tiempo:
attvxx oof2
1
¿Cuál es el error en esta fórmula?
Las posiciones inicial y final tienen dimensiones de longitud, la velocidad por el tiempo también tiene
dimensiones de longitud. La suma de la posición inicial con el producto de la velocidad inicial por el tiempo
es correcta. El factor ½ del último término no tiene dimensiones (es solo un número). El producto de la
aceleración por el tiempo tiene dimensiones de L/T. En otras palabras, haciendo el análisis dimensional
tenemos:
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
28
2
/ 2
( / )( ) ( / )( )
/
f o ox x v t at
L L L T T L T T
L L L L T
No podemos sumar el último término por tener diferentes dimensiones. La fórmula es incorrecta. La
coherencia de las dimensiones es una condición necesaria para que la ecuación sea correcta pero, no es
suficiente. Por ejemplo, ¿cuál es el error en la siguiente fórmula?
2
2
1attvxx fof
¿Es la fórmula anterior dimensionalmente correcta?
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
29
PROBLEMAS RESUELTOS
1. En la sección anterior hemos dado dos ecuaciones básicas para el movimiento con aceleración
constante. Sin embargo, existen otras dos relaciones que son de mucha utilidad en la solución de
problemas. En este primer problema demostraremos estas relaciones, usando la misma notación que
en la sección anterior.
a) Demostrar la siguiente relación (nótese que no aparece la aceleración):
tvv
xxf
f )2
(0
0
b) Demostrar la siguiente relación (nótese que no aparece el tiempo):
)(2 0
2
0
2 xxavv ff
SOLUCIÓN
a) Partimos de la ley de movimiento. Pasamos a restar la posición inicial y factorizamos el tiempo en
el segundo miembro, luego tenemos:
tatvxx f )2
1( 00
En la ecuación anterior, podemos reemplazar el factor at por el cambio de velocidad.
tvvvxx ff ))(2
1( 000
Simplificando la expresión en el segundo miembro:
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
30
tvv
xxf
f )2
(0
0
b) En este caso despejamos el tiempo de la ecuación que nos da la velocidad para todo tiempo.
Tenemos:
a
vvt
f 0
Reemplazando esta ecuación en la ley de movimiento, y expandiendo el segundo miembro:
2
2 2 2
0 0 0 0
1( ) ( )
2
(2 2 ) ( 2 )
2
f o f o
f o o
f f f
v v v vx x v a
a a
v v v v v v v
a
Simplificando y despejando el cuadrado de la velocidad final
)(2 0
2
0
2 xxavv ff
2. Un automóvil se mueve sobre una pista plana y recta, con una velocidad de 10 m/s. De pronto el
conductor decide pisar el acelerador, causando en el auto una aceleración constante durante un
tiempo total de 10 s. Si en el quinto segundo su velocímetro marca 20 m/s, se pide
a) Determinar la aceleración del automóvil.
b) Determinar la velocidad al cabo de los 10 s.
c) Determinar la distancia total recorrida por el auto.
d) Si en el instante t = 10 s, el conductor decide pisar pisa el freno, causando que el automóvil
disminuya su rapidez a razón de 6 m/s2, determinar la distancia que recorre el auto desde ese
instante hasta que se detiene.
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
31
SOLUCIÓN
a) Consideramos como origen temporal, t = 0 s, el instante en que el conductor pisa el acelerador, y un
eje positivo a la derecha. Luego, tenemos v0 = 10 m/s. Al cabo de cinco segundos, es decir t = 5 s,
tenemos vf = 20 m/s. Usando estos datos podemos calcular directamente la aceleración:
2
0 20 10 (5) 2 m/sfv v at a a
Nótese que siempre hacemos los cálculos intermedios sin llevar las unidades. Para esto debemos
tener todas las cantidades fundamentales en unidades consistentes. Por ejemplo, aquí siempre
usamos el metro para la longitud, y el segundo para el tiempo.
b) Utilizando la misma ecuación y el valor obtenido para la aceleración:
10 2(10) 30 m/sf fv v
c) Escogemos como punto de referencia (origen de coordenadas) el lugar en que el conductor pisa el
acelerador. Luego, para determinar la distancia total recorrida hasta t = 10 s, primero calculamos el
desplazamiento del auto hasta ese instante. Para esto, usamos la ley de movimiento:
2 2
0 0
1 10 10(10) (10) 200 m
2 2f fx x v t at x x x
Si el movimiento siempre fue en el mismo sentido durante los diez segundos de la trayectoria,
entonces podemos afirmar que la distancia fue 200 m. Ahora bien, en un movimiento en línea recta,
para que una partícula cambie su sentido, es necesario que esta se detenga. Luego, veamos si el auto
se detuvo en algún instante de su recorrido:
10 2 0 5 sv t t (no se detuvo)
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
32
d) Tomemos ahora como origen temporal y punto de referencia el instante y lugar en que el conductor
pisa el freno. Esto debido a que a partir de este punto la aceleración es distinta a la del tramo
anterior. Tomando un eje positivo a la derecha, se tiene v0 = 30 m/s y a = –6 m/s2. Se puede mostrar
que el desplazamiento del auto hasta que se detiene, nuevamente nos da la distancia:
2 2 2 2
0 02 ( ) 0 30 2( 6)( 0) 0 75 mf f f fv v a x x x x x
3. Un conductor que viaja a velocidad constante de 15 m/s pasa por un cruce de escolares cuyo límite de
velocidad es de 10 m/s. En ese momento, un policía en su motocicleta que está detenido en el cruce,
arranca con aceleración constante de 3 m/s2, en persecución del infractor.
a) ¿Cuánto tiempo pasa antes de que el policía alcance al infractor?
b) ¿A qué velocidad va el policía en ese instante?
SOLUCIÓN
a) Tomamos como origen de coordenadas el cruce y como origen temporal el instante en que parte
el policía. Tomamos también un eje positivo a la derecha como se muestra en la figura. Luego, para
ambos móviles se tiene x0 = 0. Sea xP, la posición del policía, y xC, la posición del conductor para un
instante cualquiera t.
El policía se mueve con aceleración constante por lo que su ley de movimiento resulta:
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
33
2
002
1attvxxP
2)3(2
1)(00 ttxP
2
2
3txP
El conductor se mueve con velocidad constante, y por tanto su ley de movimiento es:
vtxxC 0
txC 150
txC 15
En el instante en que el policía alcanza al conductor, la posición de ambos es la misma. Luego
igualando sus coordenadas y despejando t, tenemos:
21(3) 15 10 s
2t t t
b) La velocidad del policía la obtenemos usando:
0 (3)(10) 30 30 m/sf o P Pv v at v v
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
34
4. Un automóvil está detenido frente a un semáforo. Luego que se enciende la luz verde, arranca con una
velocidad que varía de acuerdo con el gráfico de la figura. Después de transcurridos 10s, ¿cuál es la
distancia que habrá recorrido el auto?
SOLUCIÓN
Este es un gráfico v–t, y por tanto el área sombreada, representa el desplazamiento del móvil. En este
caso particular, este desplazamiento resulta igual a la distancia, luego hallando el área tenemos:
10 20/ 2 100 md d
5. El siguiente gráfico corresponde a un móvil que se desplaza en línea recta. Si en un SR con eje positivo
a la derecha, el móvil partió de la posición x = 6 m, se pide determinar la posición del móvil para t = 6 s.
SOLUCIÓN
Hasta el instante t = 4 s, observamos que la velocidad es positiva, es decir el móvil se estuvo moviendo
hacia la derecha. El desplazamiento total será el área bajo la curva:
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
35
1 1 14 5/ 2 10 10 mx A x
A partir del instante t = 4s, vemos que la velocidad siempre es negativa, es decir el móvil se empieza a
desplazar hacia la izquierda. El desplazamiento total será el área correspondiente:
2 2 22 6/ 2 6 6 mx A x
Luego, la posición final será:
1 26 10 mfx x x
Preguntas Conceptuales
Responde las siguientes preguntas justificando tus respuestas.
1. Una partícula describe un movimiento rectilíneo con aceleración negativa constante. Si su rapidez
(módulo de la velocidad) está aumentando con el tiempo, entonces la partícula se mueve en la
dirección positiva del eje X. ¿Es correcta esta afirmación?
2. Una partícula describe un movimiento rectilíneo con aceleración constante. Durante cierto intervalo de
tiempo Δt, se observa que el desplazamiento de la partícula es de 5 m y hacia la derecha y que el
espacio total recorrido es de 25 m. Para dicho intervalo de tiempo Δt, ¿cuáles de las siguientes
afirmaciones son verdaderas?
a) La partícula se mueve inicialmente hacia la derecha y luego hacia la izquierda.
b) El tiempo que la partícula emplea en moverse hacia la derecha es mayor que el tiempo que emplea
en moverse hacia la izquierda.
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
36
3. Si el desplazamiento de una partícula entre dos instantes de tiempo, que se mueve con aceleración
constante, es cero, ¿es correcto afirmar que dicha partícula no se ha movido?
4. En un mismo intervalo de tiempo, un auto acelera de 15 m/s a 20 m/s mientras que un camión acelera
de 36 m/s a 40 m/s. Luego, en ese intervalo de tiempo, ¿es correcta la afirmación de que la aceleración
media del auto es mayor que la del camión?
5. Un móvil se mueve con aceleración constante en línea recta. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son
verdaderas?
a) La distancia recorrida durante el décimo segundo puede ser menor que la recorrida en el noveno
segundo.
b) Si la aceleración tiene sentido contrario a la velocidad inicial, el móvil en algún instante se
detendrá.
6. La magnitud del desplazamiento de una partícula, que se mueve con aceleración constante, entre dos
instantes cualesquiera de tiempo es igual a la distancia total recorrida entre dichos instantes de
tiempo. ¿Qué puede concluir acerca de la aceleración y la velocidad inicial de dicha partícula en dicho
intervalo de tiempo?
7. Un objeto se mueve en la dirección x positiva con aceleración constante. En x = 5 m, su rapidez es de
10 m/s. 2,5 s después, el objeto está en x = 65 m. ¿Cuál es su aceleración?
8. Si una partícula desacelera (disminuye su rapidez), entonces su aceleración necesariamente tiene signo
negativo. ¿Es esto cierto?
9. Dos autos parten del reposo desde un mismo punto cada uno con un MRUV. Si después de 4 s sus
distancias recorridas están en la relación de 1 a 3, entonces sus aceleraciones están en la misma
relación. ¿Es esto cierto?
10. Un tren viaja de la siguiente manera: en los primeros 60 min se desplaza con velocidad v; en los
siguientes 30 min lleva una velocidad de 3v; en los 90 min que le siguen viaja con una velocidad v/2; en
los 120 min finales, se mueve con una velocidad de v/3. ¿Cuál es la velocidad media del tren en el viaje
completo?
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
37
Ejercicios
1. Un avión estacionado en una pista debe alcanzar una velocidad de 100 m/s para despegar. Si la pista
mide 1000 m, ¿qué aceleración mínima debe llevar en forma constante para poder despegar?
2. Un auto parte del reposo de una ciudad A con dirección a una ciudad B. Su aceleración constante es de
4 m/s2 y la distancia que separa las ciudades es de 20 km. Hallar el tiempo que le toma al auto hacer la
ida y vuelta, si la vuelta es con velocidad constante e igual a la velocidad de llegada a B.
3. Un móvil A va al alcance de un móvil B, partiendo ambos simultáneamente. La velocidad inicial de A es
de 25 m/s y la de B es de 10 m/s, la aceleración de A es de 6 m/s2 y la de B es de 4 m/s2. Si el móvil A
alcanza al móvil B luego de 5 s, hallar la distancia que los separaba inicialmente.
4. Dos autos parten uno al encuentro del otro. El primero sale a las 7:00 a.m. con velocidad constante de
48 km/h. El segundo parte del reposo, con aceleración constante, a las 9:00 a.m. Si se deben encontrar
a la 1:00 p.m., justo en la mitad del camino, ¿con qué aceleración deberá ir el segundo móvil para que
se encuentren a la hora fijada?
5. Un móvil A que tiene una velocidad igual a 30 m/s se encuentra detrás de otro móvil B que tiene una
velocidad de constante de 10 m/s, en la misma dirección y sentido que el primero. Si A empieza a
frenar cuando se encuentra a 100 m detrás de B, ¿cuál es el valor de la desaceleración de A, si se sabe
que cuando A alcanza a B su velocidad es nula?
6. A partir del gráfico v–t mostrado, hallar la velocidad inicial v0 del móvil, si se sabe que la distancia total
recorrida es 102 m y el desplazamiento es 6m.
vB(m/s)
t(s)
v0
4
12
T
10
6 8 10
14
-14
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
38
7. Dado el gráfico vt de un móvil, hallar la posición de este en t = 6 s, si para t = 0 s se hallaba en la
posición x = 20 m.
vB(m/s)
t(s) 4
6
-5
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
39
8. A partir del siguiente gráfico v–t, hallar la distancia recorrida y el desplazamiento del móvil.
9. A partir del siguiente gráfico v–t, determinar después de qué tiempo el móvil está en el origen, si se
sabe que parte de la posición x = 10 m.
10. A partir del siguiente gráfico v–t, determinar la velocidad media del móvil entre el quinto y décimo
segundo.
vB(m/s)
t(s) 1
5 3
2
3 4 6
vB(m/s)
t(s) 3
T
10
6
vB(m/s)
t(s) 5
4
6 10 11
2
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
40
11. Una partícula se encuentra en reposo en el origen de coordenadas en el instante t = 0 s. Si su gráfica
a–t es la mostrada en la figura, determinar su gráfica v–t, y su gráfica x–t.
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
41
Problemas
1. Un móvil triplica su velocidad entre los puntos A y B, recorriendo una distancia de 500 m durante un
tiempo de 10 s. Determinar la distancia recorrida por el móvil, entre el punto de partida y el punto A, si
partió del reposo, manteniendo siempre su aceleración constante.
2. Dos móviles separados cierta distancia d, parten simultáneamente uno al encuentro del otro, el
primero con una velocidad inicial de 10 m/s y con aceleración de 2 m/s2, mientras que el segundo
parte del reposo con una aceleración de 4 m/s2. Si luego de 10 s están separados 200 m, calcular la
distancia d.
3. Un móvil parte del reposo de un punto A, y se dirige hacia un punto B distante 100 km. Si el móvil
acelera a 25 km/h2 durante la primera mitad del camino, y continúa su trayecto con la velocidad
alcanzada en este tramo, ¿a qué hora debió partir, si debe llegar a B a las 8:00 p.m.?
4. Un coche de policía pretende alcanzar un automóvil que viaja en línea recta a 125 km/h. La velocidad
máxima del coche policial es de 190 km/h y se sabe que arranca del reposo variando su velocidad en 8
km/h en cada segundo, hasta que alcanza los 190 km/h, prosiguiendo con velocidad constante.
¿Cuándo alcanzará al automóvil si se pone en marcha al pasar junto a él?
5. Una pelota viaja con aceleración constante a lo largo de un camino recto. Si se conoce que en el
instante t = 1 s, se encontraba en la posición x = –2 m, en el instante t = 5 s, se encontraba en la
posición x = –10 m y en el instante t = 10 s, su velocidad es 12 m/s. (a) ¿Qué aceleración tiene la pelota?
(b) ¿Con qué velocidad inicial se lanzó? (c) ¿En qué posición estaba la pelota inicialmente? (d) ¿En qué
instante se detiene? (e) Hallar la distancia total recorrida.
6. Daniel y Mateo deciden hacer una carrera de persecución. Ambos se encuentran en reposo en el
instante t = 0 s y empiezan a correr desde el mismo punto y al mismo tiempo, pero Daniel acelera a 1
m/s2 y Mateo a 2 m/s2. Además, tanto Mateo como Daniel, al alcanzar su máxima velocidad, dejan de
acelerar y mantienen constante su respectiva velocidad máxima. Si la máxima velocidad de Mateo es 6
m/s y la de Daniel es 9 m/s, se pide:
a) ¿Para qué instante (t ≠ 0) Mateo y Daniel se encuentran en la misma posición?
b) ¿Qué distancia habrá recorrido Mateo en el instante en que ambos se cruzan?
c) ¿En qué instante Mateo tiene la misma velocidad que Daniel?
d) Trazar un diagrama v-t, precisando cuál es la gráfica de cada corredor.
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
42
7. El movimiento de los autos J y K está representado en el
siguiente diagrama v-t. Si se sabe que las posiciones
iniciales de J y K son −46 m y 146 m, respectivamente,
calcular:
a) La aceleración de J de 0 a 8 s y la aceleración de K
para t > 8 s.
b) La posición de cada uno de los autos para t = 8 s y
para t = 19 s.
c) El instante en que K tiene velocidad cero y cuál es su
posición en ese instante.
d) El instante en que los autos se cruzan por segunda vez y cuál es la posición de K en ese instante.
8. El conductor de un camión que va a 108 km/h observa que 50 m más adelante se encuentra un
automóvil detenido. En ese instante, el conductor del camión frena de modo que el camión adquiere
una desaceleración constante de 2 m/s2. En ese mismo instante, el conductor del automóvil inicia su
movimiento, alejándose del camión con una aceleración constante de 5 m/s2. Considere que t = 0 es el
instante en que el conductor del camión empieza a frenar y que el camión se encuentra en el origen de
coordenadas.
a) Trace las gráficas v-t para el camión y el automóvil.
b) Determine la posición donde el camión y el automóvil chocarán.
c) Hallar la velocidad del camón y del automóvil justo antes de la colisión.
d) ¿Qué distancia habrán recorrido el camión y el automóvil desde el instante en que el camión
empezó a frenar hasta el instante de la colisión.
9. Dos partículas, A y B, se mueven a lo largo del eje x. La partícula
A se mueve según la ley x = t2 – 5t + 10, donde x está en m y t en
s. La partícula B parte del reposo y acelera como lo indica la
figura.
a) Trace las gráficas v–t para cada una de las partículas entre t =
0 s y t = 20 s.
b) Halle la distancia recorrida por cada partícula durante los
primeros 20 s.
c) Encuentre la posición inicial de cada partícula si se sabe que
15
t(s)
3
8 19
-8
J
K
10
-3
a(m/s2)
t(s) 15 20 0
2
v(m/s)
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
43
para t = 12 s, la separación entre ambas partículas era de 50 m. ¿Es la solución única?
10. Un móvil A parte del origen de coordenadas y el gráfico
muestra su velocidad para todo instante de tiempo. La ley
de movimiento de un segundo móvil B es x = –10 + 5t +
2t2, donde x está en metros y t en segundos.
a) Hacer el gráfico v–t para el móvil B.
b) Calcular los instantes de tiempo para los cuales el
móvil A no se mueve.
c) Determinar los instantes de tiempo para los cuales los
móviles A y B tienen la misma posición
d) Cuando la rapidez del móvil A es cero por segunda vez, ¿A qué distancia del origen se encontrará
cada móvil?
11. Un auto y un camión viajan en carriles paralelos y en el mismo sentido a lo largo de una autopista
rectilínea. El camión viaja con rapidez constante de 72 km/h. Inicialmente, el auto también viaja a 72
km/h y su parachoques delantero está 25 m detrás del parachoques posterior del camión. Luego, el
auto acelera a 0,5 m/s2 hasta que su parachoques posterior está 20 m adelante del frente del camión.
A partir de ese instante el auto continúa su viaje manteniendo su rapidez final constante. El auto tiene
una longitud de 4,5 m y el camión de 12 m.
a) ¿Cuánto tiempo mantuvo el auto la aceleración de 0,5 m/s2?
b) ¿Qué distancia recorrerá el auto en ese tiempo?
c) ¿Qué rapidez final tendrá el auto?
d) Considerando t = 0 s cuando el auto empieza a acelerar a 0,5 m/s2, dibuje en un mismo diagrama
las gráficas v-t para ambos móviles.
12. Dos autos viajan en línea recta en el mismo sentido. El que va adelante tiene una rapidez de 25 m/s
(constante) y el otro una rapidez de 30 m/s (constante). Cuando la distancia que separa ambos autos
es de 40 m, el auto de adelante desacelera a -2 m/s2 (constante). Si suponemos que ambos autos
frenan simultáneamente, ¿cuál debe ser la mínima aceleración del auto de atrás para evitar el choque,
si el auto que va delante deja de moverse una vez que se detuvo?
13. Un automóvil que viaja con rapidez constante por una carretera recta, adelanta a una patrulla que viaja
en la misma dirección y sentido con rapidez constante de 60 km/h. Después de 2 s de haber sido
adelantada la patrulla, esta acelera a 2,5 m/s2 hasta que logra alcanzar al automóvil en un tiempo de
vB(m/s)
t(s) 0
20
10 20
-5
30
10
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
44
22 s, contando desde el instante en que justo el automóvil pasa junto a la patrulla para adelantarla. Si
el automóvil siempre mantuvo su rapidez constante, se pide:
a) Determinar la rapidez del automóvil.
b) Hallar la distancia recorrida por la patrulla desde el instante en que fue adelantada hasta que
alcanzó al automóvil.
c) Calcular la rapidez de la patrulla cuando alcanzó al automóvil.
d) Realizar los diagramas v-t de cada móvil, considerando t = 0 s cuando justo el automóvil pasa junto
a la patrulla para adelantarla.
14. En la siguiente figura se muestra el gráfico v-t de un móvil. Se pide:
a) Hallar en qué instantes el móvil tiene la
misma velocidad que cuando partió.
b) Cuando el móvil se dirige hacia el punto de
partida, hallar la distancia mínima que
separa el móvil del punto de partida.
c) Determinar el valor del instante T, si el
desplazamiento total del móvil es 84 m.
d) Hallar la distancia total recorrida desde el inicio de su movimiento hasta el instante T.
15. Bob Esponja, Patricio y Calamardo salen simultáneamente (t = 0 s) de un punto A y viajan en línea recta
en dirección de un punto B, situado a 300 m de A. Bob y Patricio mantienen velocidades constantes de
8 m/s y 5 m/s respectivamente. Calamardo mantiene inicialmente una aceleración de módulo 0,5 m/s2,
hasta que logra alcanzar a Bob. Cuando lo alcanza, se detiene instantáneamente y regresa al encuentro
de Patricio con aceleración de módulo 0,5 m/s2. Cuando encuentra a Patricio, se detiene
instantáneamente y empieza a caminar junto a Patricio. Usando un eje de coordenadas con origen en
el punto A, se pide:
a) Determinar la ley de movimiento de Calamardo para todo instante de su movimiento.
b) Determinar la distancia total recorrida por Calamardo.
c) Realizar un gráfico v-t de la velocidad de Calamardo durante todo el recorrido.
16. Garu está huyendo de Pucca y se sube a un vagón propulsado por cohetes. Una catapulta le da al
vagón una velocidad inicial de 10 m/s y enciende automáticamente los cohetes que le dan una
aceleración de 4 m/s2. Pucca llega 3 s después y se sube a otro vagón cuyos cohetes le dan una
10
v (m/s)
t(s) 0
12 18 3 9 15 T
6
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
45
aceleración de 6 m/s2
y es lanzado por una catapulta que le da una velocidad inicial desconocida. Pucca
alcanza a Garu 5 s después. Considere el origen temporal cuando Garu arranca.
a) Encuentre la velocidad inicial del vagón de Pucca.
b) ¿A qué distancia del punto de partida alcanza Pucca a Garu?
c) Grafique la velocidad en función del tiempo para Pucca y Garu en un solo gráfico.
17. Un auto, de 2,5 m de longitud, es perseguido por un camión de 3,5 m de longitud. Inicialmente, la
parte trasera del auto está a 150 m de la parte delantera del camión, tal como se muestra en la figura.
El camión partió con vo = 54 km/h y cambió su velocidad a una razón de 9 km/h cada segundo, llegando
a alcanzar su velocidad máxima de 162 km/h, para luego continuar con velocidad constante. El auto
partió del reposo y aceleró a razón de 2,4 m/s2. Ambos móviles partieron simultáneamente. Usando el
eje coordenado mostrado en la figura se pide:
a) ¿Después de cuánto tiempo de iniciando el movimiento la parte trasera del camión coincide con la
parte delantera del auto?
b) ¿Después de cuánto tiempo la parte trasera de la camión está, por delante, a 40 m de la parte
delantera del auto?
c) Realizar las gráficas de velocidad versus tiempo para cada uno.
18. En cierto instante inicial (t = 0 s), un automóvil A tiene una velocidad de 20 m/s cuando está 200 m
delante de un segundo automóvil B. En la figura adjunta se dan dos gráficas de movimiento, la de la
izquierda correspondiente al automóvil A y la de la derecha al automóvil B. Usando un eje de
coordenadas con origen en el punto en que se encuentra inicialmente B, se pide determinar
a) Las leyes de movimiento para cada móvil hasta los 20 segundos.
b) En que instantes la distancia entre ambos móviles es igual a 20m.
O X(m) 2,5 m 150 m 3,5 m
aA(m/s2)
t(s)
2
-5
10 20 vB(m/s)
t(s) 0
5
10 20
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
46
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
18
Respuestas a los ejercicios
1. 5,0 m/s 2
2. 150 s
3. 100 m
4. 36 km/h2
5. -1,5 m/s 2
6. 2 m/s
7. -5 m
8. 12 m; 0 m
9. 7 s
10. 3,2 m/s
11. ---
Respuestas a los problemas
1. 62,5 m
2. 200 m ó 600 m
3. 5:00 pm
4. 35,18 s
5. a) 2 m/s 2 ; b) -8 m/s;
c) 5 m; d) 4 s; e) 52 m
6.
a) 10,5 s
b) 54 m
c) 6 s
d) ---
7.
a) 21,5 /Ja m s y 21 /Ka m s
b) Para t = 8s; 26 m, 82 m
c) Para t = 19s: 59 m, 54,5 m
d) 16 s; 50 m
e) 22 s; 68 m
8.
a) ---
b) 62,83 m
c) 25,47 m/s y 11,33 m/s
d) 62,83 m y 12,83 m
9.
a) ---
b) 312,5 m y 262,5 m
c) A: 10 m; B: 96 m ó 4 m
10.
a) ---
b) 8 s y 23,3 s
c) 5,21 s
d) 16,67m; 1195,23 m
11.
a) 15,7 s
b) 375,2 m
c) 27,8 m/s
Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula
19
d) ---
12. –2,29 m/s2
13.
a) 34,85 m/s
b) 766,7 m
c) 66,67 m/s
d) ---
14.
a) 10,2 s y 19,8 s
b) 69 m
c) 21s
d) 144 m
15.
a) Calamardo:
x(t) = 0,25 t2
t < 32 s
x(t) = 256 - 0,25(t-32)2
32 s < t < 44 s
x(t) = 220 + 5(t - 44) 44 s < t < 60 s
b) 372 m
c) ---
16.
a) 26,6 m/s
b) 208 m
c) ---
17.
a) 10,06 s
b) 12,57 s ó 24,93 s
c) ---
18.
a) Para A:
x(t) = 200+20t+t2 t < 10 s
x(t) = 500+40(t-10)–2,5(t-10)2 t > 10 s
Para B:
x(t) = 0,25 t2 t < 10 s
x(t) = 25 + 5(t-10) t > 10 s
b) 32,2 s y 32,7 s
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