CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
całki pojedyncze
Kwadratury interpolacyjne
3
Kwadratury interpolacyjne
Rozpatrujemy funkcję f(x) ciągłą i ograniczoną w przedziale
domkniętym [a, b].
Przedział [a, b] dzielimy na skończoną liczbę podprzedziałów,
wyróżniając na osi x zbiór punktów:
0 1 2 1... ...i i na x x x x x x b
Punkty xi, i = 0, 1, ..., n tworzą siatkę o stałym kroku (z reguły):
1 consti ix x h
4
Kwadratury interpolacyjne
Kwadratury interpolacyjne
5
Kwadratury interpolacyjne
Z własności całki oznaczonej wynika, że:
1
0
1
0
( )d ( )dn i
i
x b xn
ix a x
f x x f x x
Oznaczenie:
1
( )di
i
x
i
x
f x x
6
Kwadratury interpolacyjne
Istota metody kwadratur interpolacyjnych
Przybliżenie funkcji podcałkowej f(x) w przedziale [xi, xi+1]
lub przedziale odpowiednio poszerzonym wzorem interpolacyjnym
1 1
( )d ( )di i
i i
x x
i
x x
f x x W x x
W(x) – wielomian interpolacyjny
7
Kwadratury interpolacyjne
Wyprowadzenie wzorów przybliżających wartość
całki w przedziale [a, b]
Wielomian interpolacyjny
I. wzór Newtona
2( 1)( ) ...,
2!
ii i i
x xq qW x y q y y q
h
Metoda prostokątów
9
Metoda prostokątów
Niech:
1( ) , [ , ]i i iW x y x x x
Oznacza to:
f(x) w przedziale [xi, xi+1] jest przybliżona wielomianem
interpolacyjnym ograniczonym do pierwszego składnika
f(x) na odcinku [xi, xi+1] zastępujemy linią poziomą
10
Metoda prostokątów
1 1
( )d di i
i i
x x
i i
x x
f x x y x
Wprowadzamy podstawienie:
1
1, d d , 0, 1i
i i
x xq q x x x q x x q
h h
Otrzymujemy:
1 1
0
d di
i
x
i i i i
x
y x h y q hy
11
Metoda prostokątów
1 1
0 0
( )d
b n n
i i
i ia
f x x h y
Wzór prostokątów:
1
0
( )d
b n
i
ia
f x x h y
12
Metoda prostokątów
Wzór prostokątów z niedomiarem:
1
0
( )d
b n
i
ia
f x x h y
Wzór prostokątów z nadmiarem (wyprowadzany z II. wzoru Newtona):
1
( )d
b n
i
ia
f x x h y
13
Metoda prostokątów
Metoda prostokątów z niedomiarem
Metoda prostokątów z nadmiarem
14
Metoda prostokątów
Przykład
Obliczyć wartość całki, korzystając ze wzoru prostokątów:
5
2
1
2 dx x1
493
( )d
b
a
f x x2( ) 2f x x 1a 5b
15
Metoda prostokątów
4n Ilość podprzedziałów:
Krok całkowania: 5 1
14
b ah
n
0
1 0
2 0
3 0
4 0
1
1 1 2
2 1 2 1 3
3 1 3 1 4
4 1 4 1 5
a x
x x h
x x h
x x h
x x h b
2
0 0
2
1 1
2
2 2
2
3 3
2
4 4
( ) 1 2 3
( ) 2 2 6
( ) 3 2 11
( ) 4 2 18
( ) 5 2 27
y f x
y f x
y f x
y f x
y f x
16
Metoda prostokątów
Wzór prostokątów z niedomiarem:
1 3
0 0
n
i i
i i
h y h y
0 1 2 3( )h y y y y 1 (3 6 11 18) 38
Wzór prostokątów z nadmiarem:
4
1 1
n
i i
i i
h y h y
1 2 3 4( )h y y y y 1 (6 11 18 27) 62
Metoda trapezów
18
Metoda trapezów
Niech:
1( ) , [ , ]i i i iW x y q y x x x
Oznacza to:
f(x) w przedziale [xi, xi+1] jest przybliżona wielomianem
interpolacyjnym ograniczonym do dwóch pierwszych składników
19
Metoda trapezów
1 1
( )d ( )di i
i i
x x
i i i
x x
f x x y q y x
1
1
0
1( )d
2i i i i iy q y q h y y
Wykorzystujemy podstawienia jak przy metodzie prostokątów:
20
Metoda trapezów
1 11
0 0
( )d2
b n ni i
i
i ia
y yf x x h
Wzór trapezów:
10
1
( )d2
b nn
i
ia
y yf x x h y
21
Metoda trapezów
Metoda trapezów
22
Metoda trapezów
Przykład
Obliczyć wartość całki z poprzedniego przykładu, korzystając ze wzoru trapezów:
5
2
1
12 d 49
3x x
Przedział całkowania podzielony, jak w poprzednim zadaniu:
4n
Punkty xi i wartości funkcji w tych punktach yi są identyczne
jak w poprzednim przykładzie
23
Metoda trapezów
1 30 0 4
1 12 2
nn
i i
i i
y y y yh y h y
0 41 2 3
2
y yh y y y
3 271 6 11 18
2
50
Wzór Simpsona
25
Wzór Simpsona
Niech:
2
1
( 1)( ) , [ , ]
2!i i i i i
q qW x y q y y x x x
Oznacza to:
f(x) w przedziale [xi, xi+1] jest przybliżona wielomianem
interpolacyjnym ograniczonym do trzech pierwszych składników
26
Wzór Simpsona
Przedział [a, b] dzieli się na parzystą ilość podprzedziałów.
Pole pojedynczego trapezu krzywoliniowego:
2
0
2
0 0 0 0 0 1 2
( 1)d 4
2! 3
x
x
q q hy q y y x y y y
27
Wzór Simpsona
Wzór Simpsona:
0 1 2 3 2 1( )d 4 2 4 ... 2 43
b
n n n
a
hf x x y y y y y y y
28
Wzór Simpsona
Przykład
Obliczyć wartość całki z poprzednich przykładów, korzystając ze wzoru Simpsona:
5
2
1
12 d 49
3x x
0 1 2 3 2 1( )d 4 2 4 ... 2 43
b
n n n
a
hf x x y y y y y y y
0 1 2 3 44 2 43
hy y y y y
1
3 4 6 2 11 4 18 273
1
493
Kwadratury Gaussa
30
Kwadratury Gaussa
Rozpatrujemy funkcję f(x) ciągłą i ograniczoną w przedziale
domkniętym [a, b].
Pierwszy krok:
Sprowadzenie całki do postaci znormalizowanej: ( )d
b
a
f x x
1
1
( )dF
31
Kwadratury Gaussa
Normalizacja
Podstawienia:
2 2
b a b ax
d d
2
b ax
1 , 1x a x b
32
Kwadratury Gaussa
1 1
1 1
( )d d ( )d2 2 2
b
a
b a b a b af x x f F
Czyli:
( )2 2 2
b a b a b aF f
33
Kwadratury Gaussa
Przykład
Całkę sprowadzić do postaci znormalizowanej:
5
2
1
( 2)dx x
2 2
b a b ax
5 1 5 1
2 2x
3 2
d d2
b ax
5 1d d
2x
2d
34
Kwadratury Gaussa
5
2
1
( 2)dx x 1
2
1
3 2 2 2 d
1
2
1
8 24 22 d
2( ) 8 24 22F
35
Kwadratury Gaussa
Znormalizowaną funkcję podcałkową F() w przedziale
[–1, 1] przybliża się wielomianem stopnia 2n–1
2 2 1
0 1 2 2 1( ) ... n
nF a a a a
Następnie obliczamy wartość przybliżoną całki oznaczonej:
1
11
( )d ( )n
i i
i
F F w
i – odcięte tzw. punktów Gaussa, i[–1, 1]
wi – współczynniki nazywane wagami
n – ilość punktów Gaussa
36
Kwadratury Gaussa
n i wi
2 – 0.57735
0.57735
1.00000
1.00000
4
– 0.86113
– 0.33998
0.33998
0.86113
0.34785
0.65214
0.65214
0.34785
Wagi i odcięte punktów Gaussa dla różnych wartości n
37
Kwadratury Gaussa
Przykład
Obliczyć wartość całki oznaczonej z poprzednich przykładów
kwadraturami Gaussa dla n = 2.
Funkcja podcałkowa po normalizacji: 2( ) 8 24 22F
38
Kwadratury Gaussa
2
1 1 2 2
1 1
( ) ( ) ( ) ( )n
i i i i
i i
F w F w F w F w
2 2
1 1 1 2 2 28 24 22 8 24 22w w
2
2
8( 0.57735) 24( 0.57735) 22 1
8(0.57735) 24(0.57735) 22 1
49.33328
39
Kwadratury Gaussa
Przykład
Wyprowadzić kwadraturę Gaussa dla przypadku n = 2.
2 3
0 1 2 3( )F a a a a
Powyższą funkcję całkujemy w przedziale [–1, 1]:
1 1
2 3
0 1 2 3
1 1
( )d dF a a a a
1
2 3 4
0 1 2 3
1
1 1 1
2 3 4a a a a
0 2
22
3a a
40
Kwadratury Gaussa
1
1 1 2 2
1
( )d ( ) ( )F F w F w
2 3 2 3
0 1 1 2 1 3 1 1 0 1 2 2 2 3 2 2a a a a w a a a a w
2 2 3 3
0 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 32a a w w a w w a
41
Kwadratury Gaussa
Porównujemy współczynniki przy a0, a1, a2, a3
ze wzorów i 1 2
1 1 2 2
2 2
1 1 2 2
3 3
1 1 2 2
2
0
2
3
0
w w
w w
w w
w w
skąd: 1 2 1 21 1 0.57735 0.57735w w
Top Related