UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
INGENIERÍA AUTOMOTRIZ
CÁLCULO DIFERENCIAL
2 “B”
INTEGRANTES:
ALEXIS ARMAS
RICARDO BOLAÑOS
JAIRO GUERRA
TEMA: DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAS RECTAS
TANGENTE Y NORMAL EN UN PUNTO CUALQUIERA DE LA CURVA,
SEGMENTOS TANGENTES, SEGMENTOS NORMALES, SEGMENTOS
SUBTANGENTES Y SUBNORMALES
PROFESOR: MSC. LUIS PUGA
QUITO, 22 DE MAYO DEL 2013
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ÍNDICE
ÍNDICE ................................................................................................................................................ 2
2.- JUSTIFICACIÓN .............................................................................................................................. 3
3.- OBJETIVOS ..................................................................................................................................... 4
3.1 OBJETIVO GENERAL .................................................................................................................. 4
3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................................................... 4
4.- MARCO TEÓRICO .......................................................................................................................... 5
4.1 DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL EN UN PUNTO
CUALQUIERA DE LA CURVA ............................................................................................................ 5
4.2 SEGMENTOS TANGENTES Y SEGMENTOS NORMALES ............................................................ 10
4.3 SEGMENTOS SUBTANGENTES Y SUBNORMALES .................................................................... 13
5.- CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ..........................................................................................
5.1 CONCLUSIONES: .........................................................................................................................
5.2 RECOMENDACIONES: .................................................................................................................
6.- BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................. 18
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2.- JUSTIFICACIÓN
La técnica de representación de nuestro mundo real en términos matemáticos, se ha convertido,
en la actualidad, en una herramienta invaluable, tanto para los científicos que buscan profundizar
en el conocimiento humano, como para los ingenieros quienes, a un nivel más pragmático, siguen
buscando respuestas a problemas técnicos.
La formulación de problemas en términos matemáticos nos exige establecer con claridad las
premisas. La mayoría de los problemas del mundo real son complejos e implican varios procesos
distintos relacionados entre sí. Antes de proceder a darle el enfoque matemático, se deben
determinar las variables significativas y las que pueden ser ignoradas. Por lo general, para las
variables importantes, las relaciones ya están establecidas en forma de leyes, fórmulas, teorías
etc. El proceso de construcción de un modelo matemático eficaz, requiere cierta habilidad e
imaginación.
La determinación de las ecuaciones de las rectas tangente y normal en un punto cualquiera de la
curva, segmentos tangentes, segmentos normales, segmentos subtangentes y subnormales,
tienen una gran variedad de aplicaciones en la vida real como: la rueda de un vehículo, bicicleta,
sobre una superficie plana y lisa. Cálculos de velocidades permisibles, el esfuerzo en pistones y el
esfuerzo en los neumáticos.
Existen aplicaciones también en el área química, para calcular la derivación de una reacción en
función de los reactivos y ayuda a predecir las variaciones de las velocidades de la reacción.
En la economía sirve para calcular las variaciones de las ofertas y demandas de cualquier producto
de mercadotecnia.
En el área de física se aplica para determinar la variación de la presión, temperatura la
volumétrica, la torsión de un eje, etc.
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3.- OBJETIVOS
3.1 OBJETIVO GENERAL
Dominar la determinación de las ecuaciones de las rectas tangente y normal en un punto
cualquiera de la curva, segmentos tangentes, segmentos normales, segmentos
subtangentes y subnormales, para manejar los conceptos y definiciones de los temas y
poder aplicar en la resolución de ejercicios matemáticos y posteriormente aplicarlos en la
vida real.
3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Conocer los principales definiciones de rectas tangentes y normales mediante el dominio
de sus propiedades y resolución de ejercicios
Investigar, las definiciones y fórmulas de los segmentos tangentes y de los segmentos
normales para realizar los ejercicios planteados.
Obtener las ecuaciones específicas de los segmentos subtangentes y subnormales, para
poder realizar los ejercicios de aplicación para facilitar la compresión.
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4.- MARCO TEÓRICO
4.1 DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL EN UN PUNTO
CUALQUIERA DE LA CURVA
Significado geométrico de la recta tangente:
La derivada de la función f(x)en el punto P es igual a la pendiente de la recta tangente en ese
punto. Coordenadas del punto P(xo,F(xo)). La pendiente m es igual a la tangente del ángulo que
forman la función f(x) y la recta tangente.
f´(xo)=m=tanα
Ecuación de la recta tangente en el punto P
y –f(xo)=m=(x-xo)
Sustituimos la pendiente por el valor de la derivada primera en ese punto
y –f(xo)=f´(xo)(x-xo)
Si despejamos la y nos queda:
y=f´(xo)(x-xo)+ f(xo)
Observa que el punto P forma parte de la función f(x) y de la ecuación de la recta tangente.
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Fig. 1 Recta Tangente
Fuente: www.vadenumeros.es/primero/tangente-en-un-punto-derivada.htm
Ejemplos ecuación de la recta tangente
1. Conocemos el valor de xo
Dada la función f(x) = x2 halla la ecuación de la recta tangente en el punto x=1
Cuando conocemos el valor de x0, calculamos f(xo) y el valor de la derivada en ese punto.
Calculamos f(xo) sustituyendo el valor de x en la función. f(x)=x2 f(1)=12=1
Para calcular la pendiente m, hacemos la derivada y sustituimos por x=1
f´(xo)=m f(x)=x2 f´(x)=2x f´(1)=2x1 =2 m=2.
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Ecuación: y-f(xo)=m(x-xo) y-1 =2(x-1) quitamos el paréntesis y ordenamos para poner
la ecuación en forma y=mx+n
Y-1 =2x-2 y=2x-2+1 y=2x-1
2. Conocemos el valor de la pendiente m
Hallar la ecuación de la recta de la tangente a la curva f(x) =x2-3x+4 paralela a la recta 3x-y=2
La pendiente de la recta y=3x-2 es m=3, la misma que la de la recta tangente por ser paralelas.
Para calcular xo hacemos la derivada y la igualamos a 3
Calculamos el valor de f(xo) sustituyendo x=3 en la función.
Aplicamos la fórmula y ordenamos
Ejercicios
1. Hallar la ecuación de la recta tangente a la función f(x)= 2x3+5x2-2 en x=-2
Hallar la derivada y sustituimos x=-2, ya que f´(x) =m(pendiente de la recta)
Calculamos el valor de y sustituyendo x=-2 en la función.
Sustituimos el valor de la pendiente m=4, el de x=-2 y el de y=2 en la ecuación de
la recta para obtener el valor de n (ordenada en el origen)
La ecuación de la recta tangente es:
2. ¿En qué punto de la curva la función f(x) =x lnx –x, la pendiente de la tangente vale 1?
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Calculamos x, haciendo la derivada e igualándola a 1.
Calculamos y sustituyendo x=e en la función.
Determinación de la Recta Normal en un Punto Cualquiera
Fig. 2 Pendiente de la recta normal
Fuente: www.vadenumeros.es/primero/tangente-en-un-punto-derivada.htm
La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.
Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.
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Recta normal a una curva en un punto
La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f'(a).
Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola:
y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
Sea el punto de tangencia (a, b)
m = 1
f'(a) = 2a + 1 = 1 a = 0
Punto de tangencia:(0, 1)
Recta tangente:
y − 1 = x y = x +1
Recta normal:
m= 1P(0, 1)
y − 1 = −x y = −x + 1
Ejercicio
Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.
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4.2 SEGMENTOS TANGENTES Y SEGMENTOS NORMALES
Segmentos relacionados con La tangente y la normal para el sistema de coordenadas
rectangulares determinan los cuatro segmentos siguientes:
t = TM, llamado segmento tangente
st = TK, subtangente
n = NM, segmento normal
Sn = KN, subnormal.
Como KM = |Yo| y Tg = Y`0 se tiene
√
| √ |
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|
|
Fig. 3 Segmentos relacionados con la tangente y la normal, para el caso de un sistema de
coordenadas polares. Si la curva viene dada en coordenadas polares por la ecuación
Fuente: www.monografias.com/trabajos26/principios-geometria/principios-
geometria.shtml#subtang
el ángulo formado por la tangente MT y el radio polar r = OM se determina la
siguiente formula:
tg u = r
La tangente MT y la normal MN en el punto M, junto con el radio polar del punto de contacto y la
perpendicular a dicho radio trazado por el polo 0, determinar los cuatro segmentos siguientes:
t = TM segmento tangente polar
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n = MN segmento normal polar
St = OT subtangente polar
Sn = ON Subnormal polar
Siguientes formulas:
Ejemplos
Se da la parábola Y2 = 4X. Calcular la longitud de los segmentos tangentes, normal, subagente y
subnormal en el punto (1,2).
Y2 = 4X
Y2 – 4X =0
2Y(Y`) – 4 =0
Y`= 4/2Y
Y` = 4/4
Y’ = 1
Y-Y1 = M(X-X1)
Y-2 = 1(X-1)
Y-X-1= 0
Y-2 = -1(X-1)
Y-2 = -X+1
Y+X-3= 0
|
√ |
| √ |
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| √ |
√
Demostrar que la longitud del segmento normal a cualquier punto de la hipérbola equilátera
X2 – y2 = a2 es igual al radio polar de dicho punto. P (2,2)
2X- 2YY` = 0
-2YY` =-2X
Y` = -2X/-2Y
Y` = 2(2)/2(2)
Y` = 1
|Yo(1+(Y`o)2)1/2|
|1 + (1+1)1/2|
√
4.3 SEGMENTOS SUBTANGENTES Y SUBNORMALES
Subtangente: La longitud de la subtangente se define como la longitud de la proyección de la
longitud de la tangente sobre el eje x.
Fig. 4 Subtangente
Fuente: www.cimat.mx/~gil/docencia/2012/calculo/calculo_ayres6-10.pdf
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Subnormal: La longitud de la subnormal se define como la longitud de la proyección de la longitud
de la normal sobre el eje x.
Fig. 5 Subtangente y Subnormal
Fuente: www.cimat.mx/~gil/docencia/2012/calculo/calculo_ayres6-10.pdf
Fig. 6 Subtangente y Subnormal
Fuente: Principios de geometría analítica y álgebra lineal
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Siguiendo la figura podemos decir lo siguiente:
L es tangente a la curva C en el punto P1.
L’ es la recta trazada por P1 perpendicular a L y se llama normal a C en P1. Su ecuación es y
– y1 = -1/m(x – x1).
La tangente y la normal cortan al eje X en T y N.
La longitud P1T es la longitud de la tangente y P1N es la longitud de la normal.
La proyección QT de la longitud de la tangente sobre X se llama subtangente.
La proyección QN de la longitud de la normal sobre X se llama subnormal.
Si m es la pendiente de una curva plana continúa C en P1(x2, y1), entonces en P1 tenemos:
Ecuación de la tangente a C: y – y1 = m(x – x1).
Ecuación de la normal a C: y – y1 = -1/m(x – x1) con m = 0.
Longitud de la tangente: y1 / m (1 + m²) ½ con m = 0.
Longitud de la normal: y1 (1 + m²)½.
Longitud de la subtangente: y1 / m
Longitud de la subnormal: my1.
EJERCICIO DE APLICACIÓN
Hallar la longitud de la subtangente, subnormal a la curva:
xy + 2x – y = 5 en el punto (2, 1)
Gráficamente
Fig. 7 Subtangente y Subnormal (Ejercicio)
Fuente: http://books.google.com.ec/books
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Desarrollo Gráfico:
Fig. 8 Desarrollo Gráfico del ejercicio
Fuente: http://books.google.com.ec/books
Desarrollo Analítico:
Derivamos la función implícita
*(x)’ (y) + (x) (y)’+ + 2 – y’= 0
Y + xy’ + 2 – y’ = 0
x y’ – y’ = –2 – y
y’ (x – 1) = – 2 – y
(-1)
5.- CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1 CONCLUSIONES:
Después del dominio y conocimientos acerca de sus definiciones somos capaces de
reconocer la gran aplicabilidad de las derivadas y sus rectas tangentes y normales para
otras ciencias y para demostraciones prácticas.
Una vez estudiado los segmentos tangentes y segmentos normales, determinamos que se
necesita un conocimiento básico de la derivación implícita así como las coordenadas y las
correctas propiedades de la derivación.
La obtención de las longitudes de la subtangente y de la subnormal está basada en
ejercicios parecidos al de la obtención de la ecuación de la recta tangente y la recta
normal. Solo tenemos que derivar la función que nos den, igualar la pendiente con la
derivada obtenida y usar la formula correspondiente.
5.2 RECOMENDACIONES:
Observar correctamente las ecuaciones que nos plantean los ejercicios, ya que la
derivación de este tipo no es la normal, sino es la derivación implícita y se debe realizar el
correcto proceso de resolución.
Para resolver los ejercicios matemáticos, en especial los de cálculo, el orden es un factor
muy importante para no cometer errores, se recomienda siempre seguir un orden
específico.
Abordar los contenidos con un enfoque algebraico, lógico y geométrico, conjuntando una
formación integral.
Interpretar correctamente la utilización de los símbolos usados en el cálculo diferencial.
Repasar los conocimientos adquiridos en las asignaturas antecedentes de matemáticas e
integrarlos para dominar el cálculo diferencial y adquirir las bases necesarias para poder
estudiar posteriormente, sin ningún problema, el cálculo integral.
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6.- BIBLIOGRAFÍA
Demidobich, B; (1967), Segunda edición, Problemas y Ejercicios de Análisis Matemáticos
págs. 60, 61, 61, 62, 64, 65.
Lara, Jorge; Arroba, Jorge; (2011) Análisis Matemático págs. 448, 449, 450, 451, 452.
STEWART, J (2001), Cálculo de una Variable, México, Thompson Learning, Cuarta Edición.
Principios de geometría analítica y álgebra lineal. recuperado el 21 de mayo del 2013, de
http://www.monografias.com/trabajos26/principios-geometria/principios-
geometria.shtml#subtang
Ecuaciones de la Tangente y la Normal. recuperado el 21 de mayo del 2013, de
www.aprendematematicas.org.mx
Cálculo diferencial. recuperado el 21 de mayo del 2013, de
http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r67648.PDF
Tangente en un punto. Recuperado el 21 de Mayo del 2013, de
http://www.vadenumeros.es/primero/tangente-en-un-punto-derivada.htm