C6.4 Konzeptionelle Grundlage der Fourier-Entwicklung
Kernaussage: Fourier-Entwicklung ist Basiswechsel im FunktionenraumZur Erinnerung: Eigenschaften einer Basis in
Standardbasis:
Element:
Allgemeine Basis:
Orthonormalität:
Skalarprodukt:
Entwicklung:
Koeffizienten:
Vollständigkeit:
Invariante Größe In Komponenten ausgedrückt
Basis-Wechsel
Basis-Wechsel
Standardbasis:
Element:
Allgemeine Basis:
Orthonormalität:
Skalarprodukt:
Entwicklung:
Koeffizienten:
Vollständigkeit:
Invariante Größe In Komponenten ausgedrückt
Analoge Strukturen existieren im Funktionenraum:
Basis-Wechsel
Basis-Wechsel
Herleitung von 'Vollständigkeit' (a.8) & (b.8):
Zunächst: Entwickle alte Basisvektoren in neuer Basis:
mit Entwicklungskoeffizienten:(L5.4b.3)
Aus Orthonormalität der alten Basis folgt:
Hänsch-Frequenzkamm (Nobelpreis 2005, Theodor W. Hänsch, LMU)http://nobelprize.org/physics/laureates/2005/hansch-slides.pdf .../info.html
Ziel: Messung v. "optischen Frequenzen"
mit Genauigkeit"Wie zählt man von 0 auf
in einer Sekunde?"
ist zu schnell, um direkt gemessen zu werden(Caesium-Atomuhr) tickt mal langsamer)
Methode: Überlagere Signal mit unbekannter Frequenzmit Referenzsignal mit genau bekannter Frequenz
viel langsamer,
und messe Frequenz der "Schwebungen":
(Dank an Thomas Udem)
messbar mit grosser Genauigkeit,
Idee von Hänsch: lese von einem Frequenzkamm ab!
Schritt 1: Generiere periodische PulsfolgeApplet: http://www.physik.uni-wuerzburg.de/femto-welt/index.html
Pulsdauer:
Repetitionsrate:
Periode:Pulsdauer:
Trägerfrequenz:
Überlagerung vieler stehender Wellen mit ähnlichen Frequenzen liefert scharfen Puls,der zwischen den Spiegeln hin und her läuft.
Teil der Amplitude jedes Pulses "leckt" durch Spiegel heraus, liefert periodische Kette von kurzen Pulsen.
Pulskette:
Pulsform
Periode der Kette:
langsam, gut messbar, mit Genauigkeit
Messgenauigkeit:
1/(Bandbreite d. überlagerten stehenden Wellen)
(Abstand zwischen Spiegeln)
Trägersignal
Schritt 2: Zerlege Pulsfolge nach FrequenzenFourierspektrum der periodischen Pulsfolge ist ein Frequenzkamm:
Kammbreite: invers proportional zur Dauer eines Pulses:
(Glasfaser verbreitert den Kamm zusätzlich auf )
Frequenzauflösung: invers proportional zur Periode der Pulsfolge:
Anzahl diskreter Frequenzen:
[(C6.1p.4): dort hier]
Begründung: siehe Hausaufgabe
Komplikation: Phasenverschiebung enthälteine sehr langsame Zeitabhängigkeit: Das führt zu einem "Drift" des Frequenzkams
Trägerfrequenz:Pulsfolge ist nicht streng phasenkohärent !
Einhüllendediskrete Peaks, wegen FT einer periodischen PulsfolgeFrequenzspektrum:
(Taylor)
langsam, also im Prinzip gut messbar!
(sehr langsameFluktuationen)
(Hausaufgaben)
Kamm-Frequenzen:
Kamm driftet, wegen (sehr langsam fluktuierender) "offset-Frequenz" :
vernachlässigbar relativ zu
Herleitung von (f.3), (f.4):
Fourier-Reihe fürPeriodische Pulskette
Hausaufgabe
Schritt 3: Bestimmung v. :
Überlagere Signale von und !!
Das liefert Schwebung mit Frequenz:
meßbar, also regelbar
Alle Kammfrequenzen sind jetzt bekannt, d.h. Referenzsignal ist kallibriert !
Nehme breiten Kamm, der
als auch
eine "ganze Oktave" enthält, d.h.
sowohl
("beat")
(siehe wieder Seite )
erste harmonische v.
Oktober 2005, Schellingstr. 4, LMU, München
Dezember 2005 Stockholm
Radon-Transformation
Eingestrahlte Röntgenstrahlung,Intensität =
Gewebe(menschlicher Schädel);gesucht: die Dichte
des Gewebes
Detektorschirm
Intensität der transmittierten Strahlung,wird gemessen als Funktion von und
Integrationslinie, mit und fest
Annahme: Absorption zwischen Punkten und ist proportional zur Dichte des Gewebes dort:mit
= Mass für Stärke der Absorption der Strahlung durch das Gewebe
Dichte wird entlang Integrationslinie aufintegriert
eingestrahlttransmittiert
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