MERCADO DE DERIVADOS
MODELO DE VALORIZACION DE BLACK & SCHOLES
MODELO DE VALORIZACION DE BLACK & SCHOLES
El precio de un derivado debería ser igual al costo en que incurrimos al constituir una cartera que replique el payoff del derivado ante cualquier escenario de mercado.
La réplica se puede constituir en forma estática (como vimos en forwards) o dinámica (el peso de cada instrumento dentro de la cartera se modifica en el tiempo).
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MODELO DE VALORIZACION DE BLACK & SCHOLES
El valor de un instrumento derivado equivaldría al valor presente del payoff esperado y se requiere identificar que función de probabilidad describe el comportamiento del activo subyacente.
El precio obtenido depende del modelo elegido. Los dos parámetros claves que definen la dinámica de los factores de riesgo son la volatilidad y la correlación entre dichos factores
B&S proponen que se puede crear un portafolio libre de riesgo mediante una combinación de opciones y el activo subyacente.
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MODELO DE VALORIZACION DE BLACK & SCHOLES
S=20
En tres meses el precio podrá ser 22 o 18
Tasa libre de riesgo=12%
Tenemos 2 activos (la acción y el call)
Valorice una opción Call que otorga el derecho de comprar la acción a 21
Pista:
Formar un portafolio de X acciones (long) y 1 opción call (pos. corta) de modo tal que no exista incertidumbre en cuanto al valor del portafolio. Si no hay riesgo, el retorno del portafolio debe ser igual a la tasa libre de riesgo.
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MODELO DE VALORIZACION DE BLACK & SCHOLES
Por lo tanto un portafolio no riesgoso esta compuesto de 0.25 acciones y
una opción. El valor del portafolio es de 4.5 en el mes 3.
VP del portafolio: 4.5*e-0.12x3/12=4.367
El valor de la acción hoy es 20, entonces => 20x 0.25- C= 4.367
=> C=0.633
Si el valor del Call fuera inferior al hallado, implicaría que el portafolio
costaría menos que 4.367 y su rendimiento seria mayor a la tasa libre de
riesgo.
S=20
Su= 22
C1= 1
Sd=18
C1=0
Asuma un portafolio de X acciones y un call:
Si el precio sube a 22 => El valor del portafolio será:
22*X-1 (A)
Si el precio baja a 18 => El valor del portafolio será:
18*X-0 (B)
A=B => 22X-1=18X , donde X=1/4
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MODELO DE VALORIZACION DE BLACK & SCHOLES
Todos los activos financieros tiene una evolución futura definida por una parte determinística y una parte estocástica (conjunto de v.a. (Yt)t∈I). La volatilidad es una propiedad de los activos que mide la desviación típica (variabilidad) de la parte estocástica
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Tendencia Vol baja Vol alta
Tendencia
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Cuando el activo subyacente es una acción se debería cumplir que: St >0
S0= F0/(1+r)^t ( se puede estimar correctamente el precio forward de no arbitraje)
La probabilidad de que el activo doble su valor es igual a la probabilidad de que el activo disminuya su valor a la mitad.
Estas tres propiedades se verifican en una distribución logarítmica normal.
El logaritmo natural de una variable con dist. logarítmica se distribuye normalmente.
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Distribución Logarítmica Normal
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MODELO DE VALORIZACION DE BLACK & SCHOLES
¿Por qué usar B&S en lugar del modelo binomial?
B&S es una función explícita de los parámetros que explican el valor de las opciones.
Simplifica los cálculos del valor y sensibilidades.
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MODELO DE VALORIZACION DE BLACK & SCHOLES
Supuesto principal:
El precio del activo evoluciona de acuerdo con un movimiento geométrico Browniano
El precio del activo subyacente sigue un proceso estocástico donde su media y volatilidad son constantes (retornos siguen una distribución logarítmica)
LN(St/S0) ~ N(µT;σ2T)
Las transacciones se realizan en forma continua.
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Es posible tomar posiciones largas y cortas sin restricciones (los activos son infinitamente divisibles).
No hay costos de transacción o impuestos.
Las opciones son estándar europeas y no se distribuyen dividendos.
Ausencia de oportunidades de arbitraje
Es posible prestar y tomar prestado a la tasa de interés libre de riesgo (constante).
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MODELO DE VALORIZACION DE BLACK & SCHOLES
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T
Trk
SLN
dDonde
TdNedNSc rt
2,
2
1
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Clasificación
Opciones exóticas son aquellas diferentes a las opciones vanilla.
Difieren en los derechos al vencimiento, claúsulas adicionales o a la inclusión de varios subyacentes.
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Clasificación
Las principales opciones exóticas:
Opciones digitales
Opciones rango
Opciones barrera
Opciones asiáticas
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Opción Digital
Opción digital de compra
Derecho a recibir un importe fijo pactado si el precio del subyacente supera el precio de ejercicio al vencimiento.
Opción digital de venta
Derecho a recibir un importe fijo pactado si el precio del subyacente es inferior al precio de ejercicio al vencimiento.
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Opción Digital
Opción digital de compra
k k
Opción digital de venta
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Opción Digital
Cash-or-nothing call (otorga una unidad de efectivo
si el precio spot supera el strike al vencimiento)
Asset-or-nothing call (otorga una unidad del activo si
el precio spot supera el strike al vencimiento)
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Opción Digital
Cash-or-nothing Put (otorga una unidad de efectivo
si el precio spot esta por debajo del strike al vencimiento)
Asset-or-nothing Put (otorga una unidad del activo si
el precio spot esta por debajo del strike al vencimiento)
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Opciones Digitales: ejemplo
Una entidad financiera ofrece a sus clientes un depósito a un año de plazo cuyo tasa de interés es de 9% pero se abona solo si el precio de la acción del banco sube con respecto a una cotización de referencia. Tasa de interés 5% anual
Tasa de dividendos 2%
Volatilidad 30%
Valorice este depósito estructurado
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Solución
Valor al Vcto: 100 + 9*1[St>k]
1[St>k]
1 St > k
0 St <= k
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Solución
OPCIONES DIGITALES
Input Output
Precio activo 100,00 Asset-or-nothing call: 58,685
Precio Ejercicio 100,00 Asset-or-nothing put: 39,335
Tipo libre de riesgo 5,000%
Volatilidad 30,00% Cash-or-nothing call: 4,110
Tiempo 1,00000 Cash-or-nothing put: 4,451
Rendimiento activo 2,00%
Liquidación 9 Call europea 13,0203
Put europea 10,1234
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Opción Rango
El comprador de una opción tiene el derecho a recibir un importe fijo pactado si en el vencimiento el precio del activo subyacente se encuentra dentro de un determinado rango.
Se puede expresa en función de dos opciones digitales.
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Opción Rango
Opción rango= CD(k)-CD(k*)
k k*
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Opción Rango
Un contrato da derecho al comprador a recibir un millón de euros si el tipo de cambio se sitúa en el rango (0.80 euros/US$ 0.85 euros/US$) en un plazo de 30 días.
TC 0.825 euros/US$
Tasa de interés euros a 30d 2.6% y en $ 4.15%.
Volatilidad 10%.
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Solución: Opción Rango
Opción digital larga
Input Output
Precio activo 0,825 Asset-or-nothing call: 0,700
Precio Ejercicio 0,80 Asset-or-nothing put: 0,122
Tipo libre de riesgo 2,600%
Volatilidad 10,00% Cash-or-nothing call: 843 040,331
Tiempo 0,082 Cash-or-nothing put: 154 824,965
Rendimiento activo 4,15%
Liquidación 1 000 000 Call europea 0,0257
Put europea 0,0018
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Solución: Opción Rango
Opción digital corta
Input Output
Precio activo 0,825 Asset-or-nothing call: 0,117
Precio Ejercicio 0,85 Asset-or-nothing put: 0,705
Tipo libre de riesgo 2,600%
Volatilidad 10,00% Cash-or-nothing call: 135 362,2
Tiempo 0,082 Cash-or-nothing put: 862 503,1
Rendimiento activo 4,15%
Liquidación 1 000 000 Call europea 0,0017
Put europea 0,0277
Opción rango= 843 040-135 362= 707 678 euros
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Opción Barrera
Primero se define un nivel del precio llamado barrera. Si el precio del activo subyacente cruza la barrera, se modifican los derechos de la opción.
Barrera Out = la opción muere
Barrera In = la opción nace
Adicionalmente, si en la fecha de contratación el precio es superior a la barrera se denomina down y si el precio es inferior a la barrera se denomina up.
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Clases de Opciones Barrera
Compra up and in (B>=k) o (B<=k)
Venta up and in (B>=k) o (B<=k)
Compra up and out (B>=k) o (B<=k)
Venta up and out (B>=k) o (B<=k)
Compra down and in (B>=k) o (B<=k)
Venta down and in (B>=k) o (B<=k)
Compra down and out (B>=k) o (B<=k)
Venta down and out (B>=k) o (B<=k)
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Clases de Opciones Barrera
Up-and-out: el subyacente comienza a fluctuar bajo el barrier level y si lo alcanza, la opción deja de existir (knock out).
Down-and-out: el subyacente comienza a fluctuar sobre el barrier level y si lo cruza, la opción deja de existir (knock out).
Up-and-in: el subyacente comienza a fluctuar bajo el barrier level y si lo alcanza, la opción se activa (knock in).
Down-and-in: el subyacente comienza a fluctuar sobre el barrier level y si lo cruza, la opción se activa (knock in).
Clases de Opciones Barrera
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Ejemplo
Anticipando un incremento en el precio spot del TC USD/PEN, un inversionista compra un Call a un mes para comprar USD a 2.6 y una barrera de 2.57 (outstrike).
El riesgo del KO Call a diferencia del Call vanilla es que si se llega al nivel de 2.57, la opción expira inmediatamente. Un inversionista asume ese riesgo a cambio de pagar una menor prima. Con respecto a un Call vanilla.
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Opciones Asiáticas
La liquidación de la opción se realiza mediante una media de precios.
La frecuencia del cómputo se define en el contrato (diaria, semanal, mensual, etc.).
CAt= Max(S-k,0)
PAt= Max(k-S,0)
También K puede ser la media aritmética de los precios.
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