Berechnung der Schadensruckstellung in derSachversicherung
Nikolaus Altmann
Seminar aus Finanz- und Versicherungsmathematik
9. Janner 2013
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Agenda
Aufbau
1 Schadenruckstellung
2 Daten
3 Modelle und Verfahren + Beispiele
4 Tailschatzung
5 Groß- und Kumulschaden
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Schadenabwicklungsprozess
Schaden Schadensmeldung letzte ZahlungAbwicklung
3 Kategorien von Schaden:
Gemeldet und abgeschlossen
Gemeldet, aber noch nicht abgeschlossen (reported but not settledRBNS)
Passiert, aber noch nicht gemeldet (incurred but not reported IBNR)
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Schadenruckstellung
Teil der versicherungstechnischen Ruckstellungen
Ergeben sich aus bekannten Versicherungsfallen
+ Rentenversicherungsfalle
+ Spatschaden
+ Schadenregulierungsaufwendungen
− Forderungen aus Regressen, etc.
Punktschatzung zu einem gewissen Zeitpunkt (z.B. 31.12.,quartalsweise)
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UGB vs. Solvency II - Bewertungsgrundsatze
UGB
Passivierung der Leistungsverpflichtungen gegenuber VN nachvernunftiger kaufmannischer Beurteilung
Abzinsung von Schadenruckstellungen nur bei Renten
Grundsatz der Einzelbewertung
Bei großer Anzahl gleichartiger Falle Gruppenbewertung moglich
Solvency II
Marktkonsistente Bewertung
Abzinsung aller zukunftigen Zahlungsstrome mit ’risikoloserZinsstrukturkurve’
Ermittlung eines sog. ’Best Estimate Schadenruckstellung’
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Daten
Vorraussetzung fur aktuarielle Schatzungen ist eine valide und moglichstumfassende Datenbasis (z.b. DWH). Idealerweise vorhandene Daten sind:
Brutto- und Nettozahlungen
Brutto- und Nettoruckstellungen
Schadenzahlen
Brutto- und Nettopramien
Volumenmaße
→ pro Jahr und Sparte bzw. Line of Business
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Zusatzliche Informationen
Groß-, Kumul- oder Elementarschaden, Naturkatatstrophen
Alte Schaden
latente Schaden (Asbest, Gesundheitsschaden)
Veranderungen in der Schadenregulierung- oder bearbeitungsprozesses
Veranderungen in der Reservierungspolitik
okonomische Einflusse (Inflation, Baukostenindex)
veranderte gesetzliche, gesellschaftliche oder politischeRahmenbedingungen
spezielle Trends (Schadenhaufigkeit, -durchschnitt)
Bestandsubertragungen, Fusionen
. . .
⇒ Trends erkennen und berucksichtigen
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Das Chain Ladder Modell
n ∈ N . . . Anzahl der betrachteten Anfalljahre
T ⊂ N, meistens T = {1, . . . , n} Entwicklungszeitraum
(Pi,t)t∈T Zahlungsprozess fur Anfalljahr i = 1, . . . , n
Pi(s) := {Pi,1, . . . , Pi,s} Bedingung fur bekannteZahlungsentwicklung bis Zeitpunkt s
Modellannahmen:
Anfalljahre sind unabhangig, d.h. {P1,t|t ∈ T}, . . . , {Pn,t|t ∈ T} sindunabhangig
Fur s, t ∈ T mit t = s+ 1 gibt es einen Faktor fs→t > 0 mit
E[Pi,t
Pi,s|Pi(s)
]= fs→t ∀i
−→ Aus der Vergangenheit auf die Zukunft schließen
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Das Chain Ladder Verfahren
Schatzung der Faktoren durch
ft→t+1 :=
∑n−t+1j=0 Pj,t+1∑n−t+1j=0 Pj,t
Geschatzter erwarteter Endschadenstand
Pi,n = Pi,n−i ·n−1∏
j=n−ifj→j+1
Geschatzte Reserve Ri = Pi,n − Pi,n−i
Geschatzte Gesamtreserve
R =n∑
i=1
Ri
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Numerisches Beispiel 1/4
CL 0 1 2 3 4 5 Reserve
2007 1001 1855 2423 2988 3335 3483
2008 1113 2103 2774 3422 3844
2009 1265 2433 3233 3977
2010 1490 2873 3880
2011 1725 3261
2012 1889
ft→t+1
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Numerisches Beispiel 2/4
CL 0 1 2 3 4 5 Reserve
2007 1001 1855 2423 2988 3335 3483
2008 1113 2103 2774 3422 3844
2009 1265 2433 3233 3977
2010 1490 2873 3880
2011 1725 3261
2012 1889
ft→t+1 1,899 1,329 1,232 1,120 1,044 1,000
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Numerisches Beispiel 3/4
CL 0 1 2 3 4 5 Reserve
2007 1001 1855 2423 2988 3335 3483
2008 1113 2103 2774 3422 3844 4013
2009 1265 2433 3233 3977 4454 4650
2010 1490 2873 3880 4780 5354 5590
2011 1725 3261 4334 5339 5980 6243
2012 1889 3587 4767 5873 6578 6867
ft→t+1 1,899 1,329 1,232 1,120 1,044 1,000
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Numerisches Beispiel 4/4
CL 0 1 2 3 4 5 Reserve
2007 1001 1855 2423 2988 3335 3483 0
2008 1113 2103 2774 3422 3844 4013 169
2009 1265 2433 3233 3977 4454 4650 673
2010 1490 2873 3880 4780 5354 5590 1710
2011 1725 3261 4334 5339 5980 6243 2982
2012 1889 3587 4767 5873 6578 6867 4978
ft→t+1 1,899 1,329 1,232 1,120 1,044 1,000 Σ 10512
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Bemerkungen
Vorteil: einfache Berechnung, Gefuhl fur Großenordnung
Nachteil: anfallig fur Ausreißer (z.B. Groß- u. Kumulschaden)
Anderung der Schadenregulierung, Einzelfallreservierung
Neugeschaft
Alternativen durch Heranziehung nur der letzten Jahre,
durchschnittlichem Ubergangsfaktor (etwas konservativer)
Handische Wahl von Faktoren
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Cape-Cod Modell
baut auf Chain-Ladder auf → Verfeinerung
Isolierung von Ausreißereffekten
Annahme der identisch verteilten Endschadenquoten aller Anfalljahre:
∃π0, . . . , πn sowie κ und γ0, . . . , γn mit γn = 1, sodass fur allei, k ∈ {0, 1, . . . , n}
E[Pi,k
πiγk
]= κ
gilt.
Voraussetzung: π0, . . . , πn als Pramien bekannt
Die erwartete Endschadenquote κ ist wegen
κ = E[Pi,n
πi
]von den Anfalljahren unabhangig.
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Cape-Cod Verfahren
Chain-Ladder Quoten (Schatzung von γi)
Gn−i :=
n∏t=n−i+1
1
ft→t+1
Durch gewichtetes Mittel wird Empfindlichkeit gegen Ausreißerverringert
κ :=
∑ni=0 Pi,n−i∑ni=0 Gn−iπi
Fur i, k ∈ {0, 1, . . . , n} mit i, k ≥ n heißt
Pi,n := Pi,n−i + (Gn − Gn−i)πiκ
Cape − Cod -Schatzer fur E[Pi,n].
→ Cape-Cod Reserve: R =∑n
i=1(Pi,n − Pi,n−i)
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Beispiel
i πi Pi,5−i G5−i Pi,5 κ Ri = Pi,n − Pi,n−i0 4025 3483 1 3483 0,940 0
1 4456 3844 0,958 4020 0,940 176
2 5315 3977 0,855 4702 0,940 725
3 5986 3880 0,694 5602 0,940 1722
4 6939 4261 0,522 7379 0,940 3118
5 8158 1889 0,255 7602 0,940 5713
Σ 21334 32788 11454
Nachteil: Jedes Jahr gleiche Schadenquote → kuhne Aussage
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Weitere Modelle und Verfahren
Bornhuetter-FergusonI Analog zum CL-VerfahrenI Bildung eines SchadenquotendreiecksI Ableitung von a-priori Endschadenquoten ∀iI z.B. durchschnittliche Endschadenquote des ersten AbwicklungsjahresI Vorteil: Anwendbar bei Sparten mit geringer HistorieI Nachteil: Gewahlte Endschadenquoten sind subjektiv → fur Ergebnis
sehr entscheidend
Bornhuetter-Ferguson iteriertI 1. Iteration aquivalentI n-te Iteration: errechneter Endschaden ist neuer a-priori EndschadenI Vorteil: Einfluss der a-priori Endschadenquotenschatzung wird reduziert
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Weitere Modelle und Verfahren
Loss-DevelopmentI Ident mit CL-Verfahren, statt Abwicklungsfaktoren werden -quoten
verwendetI Handischer Eingriff alternativer Quoten
Additives VerfahrenI Bestimmung durchschnittlicher Schadenquoten-ZuwachseI Annahme: Endschadenquote = Σ Schadenquoten-ZuwachseI Schatzung Endschaden = bisher Bezahltes + Quote · Pramie
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Versicherungszahlungen und -leistungen
Versicherungszahlung (’Paid’)I Alles was bis jetzt tatsachlich an VN ausbezahlt wurde
Versicherungsleistungen bzw. Schadenaufwendungen (’Incurred’)I Vers. zahlungen + gebildete Ruckstellungen
Realitat: Paid → tatsachlicher Endstand ← Incurred
Verfahren auf beides anwenden
Liefern nicht die selben Endstande wegen unterschiedlichem Verlauf
Zusatzliche Information des Incurred nutzbar
→ Munich Chain Ladder
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Munich Chain Ladder
Auszahlungsquote AQi,k =PZi,k
PAi,k
fur k = 0, . . . , n
Realitat: AQi,n = 100% ∀iBetrachten aktuelle Auszahlungsquote AQi,n−i und fZk→k+1, f
Ak→k+1
Korrekturen von Faktoren danach, ob AQi,k uber- oderunterdurchschnittlich ist
AQi,k unterdurchschnittlich: fZk→k+1 ↗ und fAk→k+1 ↘analog bei Uberdurchschnittlichkeit
Ausmaß der Korrektur bestimmt durch DatenI Abweichung von AQi,k vom DurchschnittswertI bisher beobachteten Korrelation zwischen Abweichungen von AQi,k
und fZ/Ak→k+1 von ihren jeweiligen Mittelwerten
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Unvollstandige Schadenerfahrung (Tail)
Schadenabwicklung ist nach n Jahren noch nicht abgeschlossen →erst nach n+ d Jahren
Lang abwickelnde (”long-tail”) Sparten, z.B. Kfz-H, Unfall
Neue Geschaftsfelder
Aus Erfahrung
Fehlender Beobachtungszeitraum
Oder Erkennung dadurch, dass letzter Faktor 6≈ 1 ist
Schatzung einer Restreserve (Nachlauf, ”tail”) → ”Tailschatzung”
Durchfuhrung mittels eines zusatzlichen Abwicklungsfaktors →Tailfaktor
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Durchfuhrung der Tailschatzung
Marktfaktoren, Einzelfall- bzw. PauschalreservenExtrapolation der Faktoren
I ExponentialfunktionI Weibull-FunktionI PotenzfunktionI Entscheidung durch grafischen Vergleich, quadratischer
ApproximationsfehlerI → d extrapolierte Tailfaktoren gemaß der angepassten KurveI Tailfaktor =
∏extrapol.Tailfaktoren
VerteilungsanpassungI Betrachte Zuwachse Zi,k mit k = 0, . . . , n als Verteilung der
Schadenzahlung auf die Abwicklungsjahre k = 0, . . . , nI Modellierung direkt mit parametrischer VerteilungsfunktionI einfache Moglichkeit: Mischung zweier Exponentialverteilungen
F (t) = F (t|p,m1,m2) = 1− p · exp
(− t
m1
)− (1− p) · exp
(− t
m2
)I Tailreserve kann als Quantil dieser Verteilung berechnet werdenI Vorteil: Durchspielung verschiedener Szenarien
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Groß- und Kumulschaden
Deutlich anderes Abwicklungsmuster
entspricht nicht der unternehmenstypischen Abwicklung
Großschadengrenze, z.B. Alle Schaden ≥I ≥ ein bestimmtes Quantil der SchadenhohenverteilungI ≥ ein fester Prozentsatz des erw. Endschadenstandes des AnfalljahresI ≥ ein fest gewahlter Betrag (z.B. Prioritat des XL)
Art der Separierung der GroßschadenI komplett aus Abwicklungsdaten separierenI Und Verfahren auf Großschadendaten anwendenI → Unterteilung in Basis- und GroßschadenI Kappung der Großschaden bis zur GS-GrenzeI Glattung durch Umverteilung der Zahlungen innerhalb des Anfalljahres
Bewertung von GroßschadenI UGB EinzelfallreserveI Best Estimate Reserve durch Schadenabteilung
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Quellen
Radte, Schmidt: Handbuch zur Schadenreservierung
Deutscher Versicherungsverband: Broschure Schaden undPramienruckstellungen in der Kompositversicherung 2011 (pdf)
Mack, Quarg: Munich Chain Ladder
Wikipedia
N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 25 / 26
Ende
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