8/10/2019 Benson Physique Mecanique_Chapitre_8
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Solutionnaire Physique 1, Mcanique, Harris Benson
CHAPITRE 8 LA CONSERVATION DE L NERGIE
8Q1
a)Le principe de conservation de l nergie est universel et s applique galement dans le cas d une force nonconservative. S il y a perte d nergie mcanique, il y a ncessairement augmentation d une autre forme d nergie(thermique, chimique, etc.). Il y a donc rigoureusement conservation de l nergie totale.
b)La vitesse de la balle est constante, mais elle gagne de la hauteur, donc gagne de l nergie potentiellegravitationnelle. Cette nergie est dpense par la personne ou la machine qui soulve la balle. Il y a doncconservation dans l ensemble du systme, alors qu un lment perd de l nergie et l autre en gagne.
8Q3
L nergie mcanique totale (E) est tout instant la somme de l nergie potentielle gravitationnelle (U) et del nergie cintique (K).
En a), l nergie potentielle mi-hauteur est ncessairement gale la moiti de l nergie potentielle maximale;donc l nergie potentielle varie linairement et dcrit une droite surE(h). L nergie cintique est donc la droiteinverse.
En b), on peut constater que l nergie potentielle diminue selon le carrdu temps de chute:2
21
00 attvyy2
21
0 atyyh puisque 00v
Donc l nergie potentielle :2
21 atmgmghU , elle varie selon t.
Si l acclration est ngative, alors Uest une parabole ouverte vers le bas. L nergie cintique est donc laparabole inverse ouverte vers le haut.
8Q6
a) Faux.
Avant la chute: mgHUH , 0HK
4Hh :44HmgU
H
221
4 4HmvKH
Au sol (o la vest maximal): 00U ,2max2
1max0 mvKK
Par conservation de l nergie, Kau sol gale Uau sommet:
HUKmax mgHmv2max2
1
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4Hh , l nergie cintique est gale l nergie totale moins l nergie potentielle :
2max2
143
43
44
max4
mvmgHmgmgHUKK HHH
Donc: 2max21
432
21
4 4mvmvK HH
Aprs simplification : 2max432 4 vvH
Isoler4
Hv :22
3 maxmax4
vvvH
b) Faux
On a dtermin en a) que max21
max432
max21
43
4KKmvK
H
c) Faux. partir d quivalences dtermines en a) :
4
33
4
1
43
4
4
mgH
mgH
U
K
H
H
8Q7
En descendant vitesse constante, on ne peut pas assumer que l nergie potentielle perdue devient nergiecintique. Il y a donc ncessairement un systme empchant l ascenseur d acclrer vers le bas. Plusieurssystmes existent. Des contrepoids peuvent tre levs pendant la chute de l ascenseur (gain d nergiepotentielle d une autre masse). Aussi, un systme de freinage peut agir (chauffement par frottement de picesen contact ou accumulation d nergie lectrique aprs transformation par une dynamo).
8Q8
En principe c est impossible MOINS que l objet ait de l nergie potentielle emmagasine (ressort comprim,
explosif) qui soit libre lors du contact avec le sol. ce moment, l nergie libre s ajouterait l nergiecintique de l objet aprs sa chute et pourrait le faire remonter plus haut par la suite.
8E1
Le systme tant sans frottement, il y aura conservation de l nergiemcanique. Partons de l quation gnrale du traitement de l nergie :
if EE
Puisqu il y a deux masses, il y aura chaque instant deux termesd nergie cintique et deux termes d nergie potentiellegravitationnelle:
iiiiffff UUKKUUKK 21212121
Si on choisit comme rfrence de hauteur pour chaque masse sa hauteur initiale, les deux termes d nergiepotentielle gravitationnelle initiale deviennent nuls. Aussi, comme le systme part du repos, les deux termesd nergie cintique initiale sont nuls. On a donc :
00002121 ffff UUKK
On doit ensuite dcomposer chaque terme d nergie pour faire apparatre la variable de la vitesse que l on doittrouver. Aussi, si on assume que le bloc m1va descendre (tant plus lourd), sa hauteur finale sera ngative (-0,4m), alors que m2atteindra une hauteur positive.
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022112222
12112
1ff gymgymvmvm
La corde tant de longueur constante, les deux vitesses finales seront identiques. On peut donc crire:
ff gymgymvmm 22112
2121
2121
2211
mm
ymymgv
ff
sm
21
sm
83,1kg2kg5
m4,0kg2m4,0kg58,9 2v
8E2
Le systme tant sans frottement, il y aura conservation de l nergie mcanique. Partonsde l quation gnrale du traitement de l nergie :
if EE
Puisqu il y a deux masses, il y aura chaque instant deux termes d nergie cintique etdeux termes d nergie potentielle gravitationnelle :
iiiiffff UUKKUUKK 21212121
Si on choisit comme rfrence de hauteur pour chaque masse sa hauteur initiale, les deuxtermes d nergie potentielle gravitationnelle initiale deviennent nuls. Aussi, comme lesystme part du repos, les deux termes d nergie cintique initiale sont nuls. Finalement, lamasse m2terminera son dplacement au mme niveau, donc son nergie potentiellegravitationnelle finale sera nulle galement. On a donc:
00000121 fff UKK
On doit ensuite dcomposer chaque terme d nergie pour faire apparatre la variable de la vitesse que l on doittrouver. Aussi, si on assume que le bloc m1va descendre (tant plus lourd), sa hauteur finale sera ngative (-0,4m), alors que m2atteindra une hauteur positive.
0112222
12112
1fgymvmvm
La corde tant de longueur constante, les deux vitesses finales seront identiques. On peut donc crire:
fgymvmm 112
2121
sms
m
21
1171,1
kg5,1kg5,0
m6,0kg5,08,922 2
mm
ygmv
f
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8E3
En partant du principe de conservation de l nergie, onobserve que le gain en nergie cintique des masses quigagnent de la vitesse est compens par la variation d nergiepotentielle gravitationnelle des 2 masses. L nergie
mcanique finale est donc gale l nergie mcaniqueinitiale: if EE . On doit donc calculer la variation de
hauteur de chaque masse durant le dplacement de 40cmpour calculer leurs variations d nergie potentielle.Lamasse 2 tant plus lourde et tant sur une pente plus forte, il est certain qu elle descendra. Si sa rfrence de
hauteur est sa hauteur initiale, sa hauteur finale sera donc ngative: m32,053sinm4,02fy .
Pour la masse 1, en utilisant aussi sa hauteur initiale comme rfrence: m24,037sinm4,01fy .
On peut maintenant dvelopper l quation de conservation pour isoler v, la vitesse commune aux 2 masses aprsle dplacement de 40cm. Ne pas oublier tous les termes Ket Upour les masses 1 et 2:
if EE
iiiiffff UUKKUUKK 21212121
Certains termes sont nuls puisque les vitesses initiales sont nulles et que les hauteurs initiales sont les rfrencesde hauteur qu on a choisies :
000022112
2212
121
ff gymgymvmvm
ff gymgymvmm 22112
2121
sms
m
21
2211 18,1kg5kg4
m32,0kg5m24,0kg48,922 2
mm
ymymgv
ff
8E6
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8E9
Le principal pige dans ce problme vient du fait que quand la massetouche le ressort et continue de descendre en le comprimant, il ne faut pasoublier qu elle continue de perdre de l nergie potentielle. En d autresmots, sa perte de hauteur n est pas que de 60 cm, mais bien de 60cm plus
la distance de compression du ressort.L quation de conservation de l nergie mcanique devra par ailleurscomporter de l nergie potentielle gravitationnelle ET de l nergiepotentielle lastique:
if EE
igiifgff UUKUUK
2212
212
212
21
iiifff kxmgymvkxmgymv
Plusieurs termes sont nuls et peuvent disparatre. La masse est lche du repos, et s immobilisera nouveau l instant o la compression est maximale. On n aura donc plus de terme d nergie cintique. Aussi, au dbut, leressort n est pas encore compress, Ui= 0. Les hauteurs initiales et finales, cependant dpendent de la rfrence
de hauteur choisie. En plaant la rfrence au niveau de la plaque porte par le ressort, on n annule aucun terme,mais les hauteur initiale et finale sont faciles exprimer, soit 60cm etx(la distance de compression du ressort).
000 221
iff mgykxmgy
En exprimant la hauteur finale en fonction de la compression du ressort (qui est de x), on a une quation dusecond degr:
imgyxkxmg2
21 022
1imgymgxkx
Les deux solutions de cette quation sont:m184,0
m266,0
x
x
Puisqu on a exprimxcomme une distance et non une position (sous la hauteur de rfrence ou comme
compression du ressort), on cherche ncessairement une valeur positive. Doncx= 26,6cm.
8E10
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8E11
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8E14
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8E15
a)Le chariot atteindra le ressort condition d avoir assez d nergie pour atteindre le sommet de l lvation. Parconservation de l nergie, on peut vrifier cette possibilit en vrifiant si le chariot a encore une vitesse positiveen arrivant au sommet:
if
EE
igifgf KUKU
2212
21
iiff mvmghmvmgh
sm
sm2
sm
sm2 32,2m58,925m48,9222 22fiif ghvghv
La rponse tant positive, il russira atteindre le sommet et traverser l autre ct (une vitesse ngative auraitsignifi un scnario impossible, c est--dire une nergie insuffisante pour s lever jusqu au sommet pour pouvoirtraverser et atteindre le ressort.
b)Si toute l nergie cintique et l nergie potentielle gravitationnelle (de 2 mtres en moins) se transforme ennergie potentielle lastique, quelle sera la compression du ressort de 120N/m? Pour cette partie, on pourrait
considrer que la rfrence de hauteur serait le niveau du ressort. Ainsi, la fin du mouvement, il n y aura quede l nergie potentielle lastique (plus de vitesse ni de hauteur):
if EE
igiifgff KUUKUU
000
2212
21
ii mvmghkx
m31,1120
kg2,35m28,922
mN
2sm
sm2
2
k
mvghx ii
Remarque: La rfrence de hauteur demeure un choix pour celui qui rsout le problme, et le fait d utiliser nouveau comme rfrence lepoint le plus bas est tout fait correct. Aprs simplification, l quation calculersera trs semblable et donnera exactement le mme rsultat.
8E19
De A B, la voiture a perdu de l nergie potentielle gravitationnelle sur 18 mtres de hauteur. Elle adonc gagnl quivalent en nergie cintique, puisqu il y a eu conservation de l nergie cintique (aucune perte). Ensuite,mme en remontant au point C, l nergie est conserve. Elle est en fait gale partout. On peut donc crire:
CBA EEE
CgCBgBAgA KUKUKU
221221221 CCBBAA mvmghmvmghmvmgh
a)Si on solutionne pour la vitesse en B partir des donnes en A, et si on utilise les hauteurs donnes parrapport au sol, on aura:
sm
sm2
sm
sm2 3,22m128,9212m308,9222 22BAAB ghvghv
b)Le mme raisonnement, mais de A C, donnera la vitesse en C:
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sm
sm2
sm
sm2 6,15m258,9212m308,9222 22CAAC ghvghv
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8E21
Solution disponible sur www.erpi.com/benson.cw
8E23
Solution disponible sur www.erpi.com/benson.cwa)Si on tient compte de la masse qui tombe de la hauteur donne chaque seconde, on peut considrer que
l nergie potentielle gravitationnelle que cette masse a perdu durant sa chute (de 50 m) est prcisment laquantit d nergie disponible pour transformer dans une autre forme d nergie. Ainsi, la variation d nergiepotentielle gravitationnelle de cette masse est la quantit recherche:
ymgUg
JmkgUs
mg
96 1045,2508,9105 2
b) 95% de cette nergie peut tre utilise: JJ 99 103275,21045,295,0
nergie fournie chaque seconde W9103275,2
Nombre d ampoules Ampoules103275,2100
103275,2 79
AmpouleW
W
8E31
Puisque du frottement cintique se produit sous l objet qui glisse, il y aura perte d nergie mcanique. On doitdonc utiliser comme dpart:
EWnc
iff EEW c
Si le bloc s immobilise, et si on assume que sa hauteur initiale est la rfrence de hauteur (y= 0), on aura:
igfigifgfc KUKUKUdf
00
180cos
221
ifc mvmgyNd
La force de frottement cintique tant lie la force normale, on devrait dterminer lavaleur de la normale dans chaque cas. Cependant, on trouvera qu elle gale cosmgdans tous les cas (y compris l horizontale, o 0 . L quation devient :
221cos ifc mvmgydmg fic gyvdg
221cos
a)Lorsque le dplacement se fait l horizontale( 0 ), la hauteur finale de l objet,aprs le dplacement, est la mme que la hauteur initiale, fixe 0m. L quation de conservation de l nergie sesimplifie donc et on peut trouver la distance d:
0cos 221 gvdg ic m36,10cos8,96,02
4
cos2 2sm
2
sm2
g
vd
c
i
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b)Le dplacement se fait en montant un plan inclin de 30. La hauteur finale del objet, aprs le dplacement, est donc positive et lie la distance recherche et l inclinaison. L objet gagnera une hauteur donne par sindyf . On a donc:
sincos 2212
21 gdvgyvdg ific
d o : m801,030cos6,030sin8,92
4
cossin2 2sm
2
s
m2
c
i
g
vd
c)En descendant un plan inclin de 30, la hauteur devient ngative et est lie nouveau ladistance recherche et l inclinaison. Cette hauteur sera : sindyf . On a donc:
sinsincos 2212
212
21 gdvdgvgyvdg iific
d o : m6,4130sin30cos6,08,92
4
sincos2 2sm
2
sm2
c
i
g
vd
8E32
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8E34
Dans ceproblme, on peut traiter d un seul coup le mouvement entierdepuis le point de dpart du bloc jusqu son arrt contre le ressort. Il nefaut pas oublier cependant que la distance totale parcourue par le bloc n estpas 4m, mais plutt (4m =x). La perte de hauteur, quant elle, est une
fraction de cette distance, tant donn le plan inclin. Aussi, on doit ajouterla contribution du frottement (une force non conservative). Il y aura doncperte d nergie mcanique. L quation de l nergie sera donc :
EWnc
ifnc EEW
0000
180cos iigiffgfc KUUKUUdf
Si on choisit de fixer la rfrence de hauteur au niveau de la position initiale, Ugisera nulle. Puisque le bloc partdu repos et va s immobiliser contre le ressort (lorsque lacompression est maximale), Kiet Kfsont nulles toutes
les deux. Finalement, le ressort tant au repos au dbut du mouvement, Uiest nulle. L quation se rsume donc :
fgfc UUdf avec: xd m4
221
ffc kxmgyNd
Undiagramme de forces permettrait de trouver que cosmgN .Aussi, la hauteur finale, ngative, est lie
l angle et la distance dpar sindyf . Donc:
221sincos fc kxdmgdmg
221sinm4m4cos fffc kxxmgxmg
Rarrang sous forme ax+ bx+ c = 0, on aura:
0m4sincossincos221
cfcf mgxmgkx
Les deux solutions admises par l quation quadratique sont 0,797 m et -0,664m. tant donn que nous avonsconstruit nos quations pour quexsoit une grandeur positive (ajoute 4m), alors on conserve comme rponse0,797m pour la compression maximale du ressort.
8E59
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5,0
37
60
kg2
mN
c
k
m
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8E65
En prsence de frottement sur la pente (sur une distance d), il yaura perte d nergie mcanique. Donc:
EWnc
iEfnc EW
Si la rfrence de hauteur est au bas de la pente et la vitesse nulleavant et aprs le mouvement, on aura:
0000
180cos iigiffgfc KUUKUUdf
L quation se rsume :
221
ifc kxmgydf o Nf cc
La hauteur finale du bloc tant lie la distance det l inclinaison, on aura : sindyf
221sin ic kxmgdNd
Un diagramme du forces du bloc sur le plan inclin permettrait de trouver que cosmgN , donc:
221sincos
ic kxmgddmg
On peut isoler dpour solutionner:
m775,002sin02cos12,09,8kg2,02
m16,054
sincos2 2sm
2mN2
c
i
mg
kxd
m16,0
12,0
02
54
kg2,0
mN
i
c
x
k
m
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8P6
a)Durant le mouvement du pendule, il y a conservation de l nergie.Si on lche le pendule partir de l horizontale(position A), il n y ainitialement que de l nergie potentielle gravitationnelle. Le clourencontr par la corde empchera la masse de remonter la mme
hauteur de l autre ct. son nouveau point le plus hautaprs le clou(position B), si elle ne peut regagner autant d nergie potentielle, il luirestera donc de l nergie cintique (gagne durant la chute). Cettenergie cintique correspondra une vitesse tangentielle autour duclou, laquelle impliquera une acclration centripte. Cette acclrationcentripte est le rsultat de la force centripte produite par la tensiondans la corde ET par la force gravitationnelle qui agit galement vers lecentre cette position. On doit donc trouver une expression de lavitesse ce point le plus haut pour ensuite trouver une expression del acclration centripte et ensuite la tension.
Pour trouver la vitesse, on peut crire:
AB EE
0
AgABgB KUKU
ABB mgymvmgy2
21
Sachant que la hauteur initiale de la masse, par rapport son point le plus bas, est gale la longueurLde lacorde, et que la valeur de la masse se retrouve dans tous les termes, on peut crire:
gLvgy BB2
21
Le clou tant une distance Ld 43 partir du haut, il est donc une hauteur L4
1 par rapport au point le plus
bas. Si la masse en fait le tour, elle se retrouvera au double de cette hauteur au point le plus haut de sa remonte,
donc LyB 21 . L quation de l nergie deviendra donc :
gLvgL B221
21
L expression de la vitesse sera alors: gLvB
Dtermination de la force de tension:
Au sommet prcisment de la trajectoire rduite, la somme des forces agissant sur la masse est (verticalement):
mgTmaF
L acclration tant celle d une trajectoire circulaire, il s agit d une acclration centripte gale r
va
r
2
,
avec Lr 41
. Donc: mgmgmgmgL
mgL
mgL
gLm
mgr
mv
T B
3441
41
22
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b)Si on veut que la tension dans la corde soit nulle lorsque la massearrive en haut, la force gravitationnelle sera la seule force agissantsur la masse, donc la seule force centripte. La somme des forces surle pendule nous permettra de raliser que l acclration centriptesera gale g:
mgmaF rr gar
Puisqu il s agit d un mouvement circulaire, on a :r
var
2
avec
Lr 41
Donc:L
v
L
vg
2
41
2 4, ce qui entraine:
42 gL
v
Cette vitesse peut maintenant tre utilise dans les quations de conservation de l nergie pour trouver l angle dedpart correspondant:
CD EE
0
CgCDgD KUKU
CDD mgymvmgy2
21
On peut dmontrer par gomtrie que la hauteur au point C est cos1LyC . En effectuant ceremplacement et en simplifiant par m, on trouve:
cos1221 Lgvgy DD
Comme en a), si la masse remonte son point le plus haut aprs la rencontre du clou, elle se trouve une hauteur
LyD 21 . L quation deviendra donc :
cos1221
21 gLvgL D
On peut maintenant ramener l quation de v trouve prcdemment pour isoler et calculer sa valeur:
cos142
121 gL
gLgL
Aprs simplification par gL:
cos141
21
21 cos1
8
5
8
3cos CQFD
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8P8
On veut que le bloc passe au sommet de la butte de rayon ren rasant la surface, donc sans s y appuyer. La forcenormale y sera donc nulle selon cette condition. La vitesse du bloc, cet endroit, est lie au mouvementcirculaire dcrit, le poids tant la seule force radiale:
mgmaF rrr
vag r
2
grv
Cette vitesse est galement lie l nergie cintiquepossde par le bloc, cette hauteur (position B), aprsavoir gliss (sans frottement donc sans pertes), depuis lahauteurH(position A). Il y a donc conservation de l nergiedurant tout le mouvement, et on peut crire:
AB EE
0
AgABgB KUKU
Puisque le bloc glisse partir du repos (on dit partir de la hauteurH), alors l nergie cintique initiale est nulle.
On peut dcomposer les termes restant pour avoir:
ABB mgymvmgy2
21 (on peut simplifier chaque terme par m)
La hauteur initialeyAtantHet la hauteur finale le rayon de la section circulaire (r), on aura:
gHvgr B2
21
La vitesse en B est la vitesse dtermine au dbut, gale gr . On peut donc tablir la relation finale d o on
peut isolerH, qui sera fonction de r:
gHgrgr2
21 gHgrgr 2
1
2
3rH
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8P10
a)Si on cherche la valeur minimale de hauteur, cela implique qu en passant au sommet de la boucle, le blocsera tout juste en contact avec la piste, sans s appuyer dessus. Le bloc sera donc sur une trajectoire telle que laseule force gravitationnelle, au sommet, suffira lui procurer l acclration centripte qui le fera passer ausommet sans dcrocher et sans s appuyer (la force normale est donc nulle au sommet). L quation des forces
radiales, au sommet, sera donc:mgmaF rr
On doit donc avoir une acclration gale g, ce qui nous permet de dterminer la vitesse que le bloc doit avoir:
R
vgar
2
gRv
Maintenant, quelle est la hauteur de dpart du bloc qui lui donnera prcisment cette vitesse en passant ausommet de la boucle? Par conservation de l nergie, et en plaant la rfrence de hauteur au point le plus bas duparcours (au plus haut de la boucle la hauteur sera 2R), on a:
if EE
0
igifgf KUKU
mgHmvRmg2
212
On peut diviser tous les termes par mpour simplifier, on peut remplacer v par gR tel que dtermin plus tt,
et isolerH: gHgRgR2
212
RRg
gRH 2
522
b)Si en ralitHest le double de R25 , on a RH 5 . Par conservation de l nergie, trouvons la vitesse au
sommet de la boucle, et ensuite la force normale requise pour garder la trajectoire circulaire.
0
igifgf KUKU
RmgmvRmg 52 221
gRv 6
L quation des forces au sommet de la boucle implique la normale ET la force gravitationnelle, chacune agissantvers le bas, donc vers le centre (donc positive):
NmgmaF rr avecR
var
2
gR
vmmgmaN r
2o gRv 6
mggR
gRmN 5
62
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8P11
a)En glissant sur l igloo, l enfant suivra une trajectoire circulaire. Le faitde suivre une trajectoire prcisment circulaire ncessite que la sommedes forces produise exactement la bonne acclration centripte quiquivaudra v/R. La vitesse est lie l nergie cintique gagne (pour
l nergie potentielle gravitationnelle perdue). En tout temps, la sommedes forces se limite la somme de la normale et de la forcegravitationnelle (il n y a pas de frottement).Aussi, la composante radialed acclration est la somme de la pleine normale et de la composanteradiale du poids (qui varie avec l angle de la position), donne par cosmg .
Donc l quation des forces radiales estR
vmNmgmaF rr
2
cos
La normale est ngative dans l quation car elle va l encontre du centre de la trajectoire. Tant que l enfanttouchera la surface, la force normale sera non nulle. Donc l angle auquel l enfant quittera contact avec lasurface correspond l endroit o la normale deviendra nulle. L quation des forces deviendra donc la suivante :
R
vmmg
2
cos transforme: 2cos vgR
Cette quation fait un lien entre l angle et la vitesse. Cette vitesse est encore inconnue, mais on peut ladterminer par la conservation de l nergie, pour la position par rapport la verticale:
if EE
0
igig KUKU la position , la hauteur par rapport au sol est cosR
mgRmvRmg2
21cos Au sommet, la hauteur par rapport au sol est le rayonR
gRvgR 2cos2 2
cos222 gRgRv
On peut maintenant mettre ensemble les 2 rsultats pour isoler :
cos22cos 2 gRgRvgR
cos22cos
2,48cos 321
b)Sile frottement n tait pas nul, cela le ralentirait sur toute la surface o il glisse. Il atteindrait donc pluslentement la position trouve en a) et y passerait moins vite. Ainsi, la force centripte requise serait moinsgrande et la normale n attendrait pas zro en ce point, mais en un point plus bas sur la surface. L enfant quitteraitdonc la surface en un point plus bas.
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