Baustatik 3 (Modul 3130)
Veranstaltungen WS 2018/2019
Vorlesung Mo. 08:15 – 09:45 Uhr, R 1.116, Beginn: 8.10.2018
Hörsaalübung Mo. 10:00 – 11:30 Uhr, R 1.116, Beginn: 8.10.2018
Ansprechpartner Prof. Dr.-Ing. Andreas Falk
Sprechstunde: Mittwoch, 10:00 – 11:00 Uhr, R.1.110 Tel.: 05231 / 769 6049 email: [email protected] Internet: http://www.hs-owl.de/fb3/labore/tm0.html
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Literaturangaben
[1] Ahlert, H.: FEM – Finite-Elemente-Methode im konstruktiven Ingenieurbau. 3. Auflage, 2002. Werner-Verlag.
XBN 137
[2] Barth, C.; Rustler, W.: Finite Elemente in der Baustatik-Praxis – Mit vielen Anwendungsbeispielen. 1. Auflage, 2010. Bauwerk Verlag.
XBK 276
[3] Bletzinger, K.-U. et. al.: Aufgabensammlung zur Baustatik. Übungsaufgaben zur Berechnung ebener Stabtragwerke. 1. Auflage, 2015, Hanser Fachbuchverlag.
XBK 292
[4] Dallmann, R.: Baustatik 2 - Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke. 4. Auflage, 2015, Hanser Fachbuchverlag.
XBK 266
[5] Dallmann, R.: Baustatik 3 - Theorie II. Ordnung und computer-orientierte Methoden der Stabtragwerke. 2. Auflage 2015, Hanser Fachbuchverlag.
XBK 266
[6] Dinkler, D.: Grundlagen der Baustatik - Modelle und Berechnungsmethoden für ebene Stabtragwerke. 4. Auflage 2016. Springer Vieweg.
XBK 278
[7] Friedrich, M.: Das Kraft- und Weggrößenverfahren in Beispielen. 1. Auflage, 2013, Springer Vieweg.
[8] Hake, E.; Meskouris, K.: Statik der Flächentragwerke - Einführung mit vielen durchgerechneten Beispielen. 2. Auflage 2007, Springer-Verlag.
XBK 206
[9] Hirschfeld, K.: Baustatik - Theorie und Beispiele. 4. Auflage 1998, Springer-Verlag.
XBK 186
[10] Homberg, H.; Ropers, W.: Fahrbahnplatten mit veränderlicher Dicke, Band 1 und 2, Springer-Verlag 1965 und 1968.
XDO 106
[11] Kirsch, W.: Statik im Bauwesen, Bd. 3, Statisch unbestimmte Systeme. 14. Auflage 2012, Beuth-Verlag.
XBK 128
[12] Knothe, K., Wessels, H.: Finite Elemente, 5. Auflage 2017, Springer-Verlag.
WCG137
[13] Krätzig, W.; Harte, R.; Meskouris, K.; Wittek, U..: Tragwerke 1 – Theorie und Berechnungsmethoden statisch bestimmter Tragwerke. 5. Auflage 2010, Springer-Verlag.
XBN 174
[14] Krätzig, W.: Tragwerke 2 - Theorie und Berechnungsmethoden statisch unbestimmter Tragwerke. 4. Auflage 2004, Springer-Verlag
XBN 174
[15] Krätzig, W.; Basar, Y.: Tragwerke 3 - Theorie und Anwendung der Methode der Finiten Elemente. 1. Auflage, 1997, Springer-Verlag.
XBN 174
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[16] Krüger, U.: Stahlbau, Teil 2 - Stabilitätslehre, Stahlhochbau und Industriebau. 3. Auflage 2004, Verlag Ernst & Sohn.
XCG 168
[17] Link; M.: Finite Elemente in der Statik und Dynamik. 4. Auflage, 2014. Teubner-Verlag.
XBK 104
[18] Meskouris, K.; Hake, E.: Statik der Stabtragwerke - Einführung in die Tragwerkslehre. 2. Auflage 2009, Springer-Verlag.
XBK 204
[19] Nasdala, L.: FEM-Formelsammlung Statik und Dynamik – Hintergrundinformationen, Tipps und Tricks. 2. Auflage 2012, Springer Vieweg.
WCG 192
[20] Petersen, C.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen. 3. Auflage 2002, Vieweg Teubner.
XBK 129
[21] Pucher, A.: Einflussfelder elastischer Platten. 5. Auflage 1977. Springer-Verlag.
XCF 263
[22] Steinke, A.: Finite-Element-Methode: Rechnergestützte Einführung. 4. Auflage 2012. Springer Vieweg.
WCG 180
[23] Werkle, H.: Finite Elemente in der Baustatik - Statik und Dynamik der Stab- und Flächentragwerke. 3. Aufl. 2008, Vieweg Teubner.
XBK 198
Internet-Hinweise
Literatur www.hs-owl.de/skim
www.amazon.de
Bauwerke
www.structurae.de
www.brueckenweb.de
www.brueckenbau-links.de
Hochschulen
www.hs-owl.de/fb3
www.ki-smile.de
www.goettsche-web.de
http://www.ibnm.uni-hannover.de/Lehre/index.html.de
http://www.isd.uni-hannover.de/lehre.html
http://www.fembau.de
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Inhalt
1 EINFÜHRUNG IN DIE THEORIE 2. ORDNUNG FÜR STABWERKE 10
1.1 Einführendes Beispiel 10
1.2 Mögliche Nichtlinearitäten 11 1.2.1 Gleichgewicht am verformten System 11 1.2.2 Genaue Verschiebungsfigur 13 1.2.3 Nichtlineare Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehungen 13 1.2.4 Nicht-lineares Materialverhalten 13
1.3 Kurze Wiederholung zum Biegeknicken 14 1.3.1 Die vier Euler´schen Knickfälle 14 1.3.2 Ermittlung der Knicklängenbeiwerte mit Rahmenformeln 15 1.3.3 Schlankheit λ und Eulersche Knickspannung 19
1.4 Möglichkeiten zur Ermittlung der Schnittgrößen nach Th. 2. O. 21 1.4.1 Iterative Ermittlung des Zusatzmomentes mit dem Arbeitssatz 22 1.4.2 Herleitung einer Überschlagsformel mithilfe der Biegelinie 24 1.4.3 DGL für Elastizitätstheorie 2. Ordnung (exaktes Verfahren) 28 1.4.4 Eingespannte Stütze mit Hilfe der DGL 29
1.5 Beispiel: Rahmentragwerk 35 1.5.1 System, Belastung, Schnittkräfte nach Th. I. Ordnung 35 1.5.2 Ermittlung der Schnittkräfte nach Th. 2. Ordnung mit Hilfe des Arbeitssatzes 37 1.5.3 Zusammenfassende Darstellung der Ergebnisse 39 1.5.4 Computerunterstützte Berechnung 42
1.6 Zusammenfassung 43
2 VERSCHIEBLICHKEITSUNTERSUCHUNGEN MIT HILFE DES POLPLANS 44
2.1 Regeln für die Polplanerstellung 44
2.2 Kinematik 45 2.2.1 Allgemeines 45 2.2.2 Beispiele zur Ermittlung kinematischer Größen 45
2.3 Zusammenfassung 53
3 EINFLUSSLINIEN 54
3.1 Allgemeines 54
3.2 Statisch bestimmte Stabwerke 55 3.2.1 Gleichgewichtsmethode 55 3.2.2 Kinematische Methode basierend auf dem PdvV 56 3.2.3 Vorgehen und Merkregeln 59 3.2.4 Zusammenfassung 60
3.3 Einflusslinien bei statisch unbestimmten Stabtragwerken 61
3.4 Lastannahmen für Straßenbrücken und Eisenbahnüberführungen 62 3.4.1 Verkehrslasten auf Straßenbrücken nach DIN EN 1991 – 2NA/2012-08 62 3.4.2 Entwicklung der Lastannahmen für Straßenbrücken 64 3.4.3 Lastbild UIC 71 für Eisenbahnbrücken 65
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3.5 Beispielaufgaben 66 3.5.1 Gelenkträger 66 3.5.2 Gelenkträger 2 71 3.5.3 Gelenkträger 3 72 3.5.4 Ermittlung der Einflusslinien mit Hilfe STAB2D 73 3.5.5 Dreifeldträger 74 3.5.6 Fünffeldträger 77
3.6 Zusammenfassung Einflusslinien 80
3.7 Einflussflächen bei Plattentragwerken 82
4 DREHWINKELVERFAHREN 83
4.1 Einführung 83 4.1.1 Steifigkeit – Systemsteifigkeit 83 4.1.2 Einführendes Beispiel 84 4.1.3 Idee und grundlegende Annahmen für das DWV 85 4.1.4 Statische und geometrische Unbestimmtheit 86 4.1.5 Bezeichnungen, Vorzeichendefinitionen für das DWV 88
4.2 Herleitung der Grundgleichungen für Stabendmomente 89 4.2.1 Ausgangssituation und Lösungsansatz 89 4.2.2 Stabendmomente infolge von Knotenverdrehungen und -verschiebungen 90 4.2.3 Stabendmomente infolge äußerer Lasten (Festeinspannmomente) 96 4.2.4 Endgültige Stabendmomente 100
4.3 Aufstellen der Systemgleichungen 100
4.4 Rechengang beim DWV 101
4.5 Einführende Beispiele 102 4.5.1 Beispiel 1 102 4.5.2 Beispiel 2 103 4.5.3 Beispiel 3 104 4.5.4 Beispiel 4 105
4.6 Vorgegebene Auflagerverdrehung und -verschiebungen 107 4.6.1 Allgemeines 107 4.6.2 Vorgegebene Auflagerverschiebung im einführenden Beispiel 108
4.7 Temperaturlastfälle 110 4.7.1 Gleichmäßige Temperaturveränderung T 110 4.7.2 Ungleichmäßige Temperaturänderung ∆T über den Querschnitt 110 4.7.3 Gleichmäßige Temperaturänderung T im einführenden Beispiel 111 4.7.4 Ungleichmäßige Temperaturänderung ∆T im einführenden Beispiel 113
4.8 Weitere Beispiele 115 4.8.1 Beispiel mit Federn 115 4.8.2 Beispiel mit unterschiedlichen Steifigkeiten 119 4.8.3 Klausuraufgabe 1 124 4.8.4 Klausuraufgabe 2 125 4.8.5 Klausuraufgabe 3 128 4.8.6 Klausuraufgabe 4 129 4.8.7 Durchlaufträger 133
4.9 Vergleich KGV – WGV 136
5 GRUNDLAGEN MATRIZENRECHNUNG 137
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5.1 Motivation aus dem Kraftgrößenverfahren 137
5.2 Vektoren und Matrizen 137 5.2.1 Einführung 137 5.2.2 Rechenregeln für Matrizen 139 5.2.3 Übungsaufgaben 140
6 FINITE-ELEMENT-METHODEN (FEM) 141
6.1 Einführung 141 6.1.1 Geschichtliche Entwicklung 141 6.1.2 Grundsätzliche Zusammenhänge 144 6.1.3 Kontinuierliches Problem – Diskretes Problem 145 6.1.4 Grundlagen der Modellierung 146 6.1.5 Wichtige Begriffe 147 6.1.6 Die FEM als Näherungsverfahren (für Flächentragwerke) 148 6.1.7 Arten von Finiten Elementen 149
6.2 Fachwerkelement 151 6.2.1 Grundgleichungen 151 6.2.2 Modellbildung mit Feder 152 6.2.3 Beziehung zwischen Verschiebung und Kraft 153 6.2.4 Transformationen 154 6.2.5 Die Elementsteifigkeitsmatrix 156 6.2.6 Zusammenbau zur Gesamtsteifigkeitsmatrix 157 6.2.7 Lösung des Gleichungssystems 161 6.2.8 Rückrechnung 162
6.3 Ablauf einer FE-Berechnung 167
6.4 Weitere Beispiele 168 6.4.1 Beispiel 1 168 6.4.2 Beispiel 2 176
6.5 Balkenelement 184 6.5.1 Zusammenhang zwischen Verschiebungsgrößen und Kraftgrößen 184 6.5.2 Die Elementsteifigkeitsmatrix 185 6.5.3 Transformationen 186 6.5.4 Elementsteifigkeitsmatrix in globalen Koordinaten 188 6.5.5 Zusammenbau 188 6.5.6 Berücksichtigung von Elementlasten (Festeinspannmomente) 189 6.5.7 Beispiel: 2-Feld-Träger 189
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Abbildungsverzeichnis Bild 1-1: Einführendes Beispiel zur Theorie 2. Ordnung 11 Bild 1-2: Rahmen nach Theorie 2. Ordnung 12 Bild 1-3: Theorie kleiner und großer Verformungen 13 Bild 1-4: Nichtlineare Werkstoffgesetze 13 Bild 1-5: Die vier Eulerfälle 14 Bild 1-6: Knicklängenbeiwerte für Gelenkrahmen nach DIN 4114 15 Bild 1-7: Knicklängenbeiwerte für eingespannte Rahmen nach DIN 4114 16 Bild 1-8: Knicklängenbeiwert für elastisch eingespannte Stütze mit angehängten Pendelstützen 17 Bild 1-9: Knicklängenbeiwert für einhüftige Rahmen 17 Bild 1-10: Knicklängenbeiwert für Zweigelenkrahmen mit angehängten Pendelstützen 18 Bild 1-11: Knicklängenbeiwert für eingespannte Rahmen mit angehängten Pendelstützen 18 Bild 1-12: Eulerhyperbel 19 Bild 1-13: Knickspannungskurven nach DIN EN 1993 (EC 3) 20 Bild 1-14: Einführendes Beispiel zur Th. 2. Ordnung – Eingespannte Stütze 22 Bild 1-15: Iterative Ermittlung der Zusatzverformungen mit dem Arbeitssatz 22 Bild 1-16: Schnittkraftdefinitionen bei Theorie 2. Ordnung 28 Bild 1-17: Eingespannte Stütze nach Th. 2. Ordnung (DGL) 29 Bild 1-18: Eingespannte Stütze nach Th. 2. Ordnung (DGL) 33 Bild 1-19: Rahmenbeispiel für Th. 2. Ordnung, [16] 35 Bild 1-20: Biegemomentenlinie nach Th. 1. O. 36 Bild 1-21: Momente und Verformungen nach Th. 1. Ordnung 37 Bild 1-22: Zusatzmomente für Theorie 2. Ordnung 38 Bild 1-23: Biegemomente und Verformung nach Th. 1. O. mit STAB2D 39 Bild 1-24: Biegemomente und Verformung nach Th. 2. O. mit STAB2D 39 Bild 1-25: Abtriebskraft 40 Bild 1-26: Verformungen nach Th. 2. O. mit STAB2D 40 Bild 1-27: Ergebnisse der Knickuntersuchung mit STAB2D 41 Bild 1-28: Rahmen mit EDV 42 Bild 1-29: Verzweigungsproblem - Spannungsproblem 43 Bild 2-1: Beispiel 1: Polplan und Verschiebungsfigur 46 Bild 2-2: Beispiel 2: Polplan und Verschiebungsfigur 47 Bild 2-3: Beispiel 2: Kinematik 48 Bild 2-4: Beispiel 3 49 Bild 2-5: Beispiel 4 49 Bild 2-6: Beispiel 5 50 Bild 2-7: Beispiel 6 50 Bild 2-8: Beispiel 7 51 Bild 2-9: Beispiel 8 51 Bild 2-10: Beispiel 9 52 Bild 2-11: Konstruktion des Mechanismus mit dem Polplan 53 Bild 3-1: Wanderlast 54 Bild 3-2: Einflusslinien für Auflagerkräfte, Querkraft und Biegemoment 55 Bild 3-3: Beispiele zum Prinzip der virtuellen Verrückungen 56 Bild 3-4: System und Lastbild für Einflusslinie 57 Bild 3-5: Kinematiken zu Einflusslinien an statisch bestimmten Systemen 57 Bild 3-6: Einflusslinien für Auflagerkräfte, Querkraft und Biegemoment 60 Bild 3-7: Einflusslinien für Auflagerkräfte und Biegemoment beim Zweifeldträger 61
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Bild 3-8: Verkehrslasten auf Brücken nach DIN EN 1991 – 2 (Lastmodell LMM) 62 Bild 3-9: Verkehrslasten auf Brücken nach DIN EN 1991 -2/NA für Fahrstreifen 1 63 Bild 3-10: Lastverteilung in Querrichtung bei Straßenbrücken (LMM) 63 Bild 3-11: Verkehrslasten auf Eisenbahnbrücken nach DIN-Fachbericht 101 65 Bild 3-12: Trägerrostmodell 65 Bild 3-13: Gelenkträger- System und Lastbild 66 Bild 3-14: Gelenkträger- Momentenlinie mit Stab2D 67 Bild 3-15: Gelenkträger 2 - System und Lastbild 71 Bild 3-16: Gelenkträger 3 - System und Lastbild 72 Bild 3-17: Einflusslinien Zweifeldträger mit STAB2D 73 Bild 3-18: Einflusslinien Dreifeldträger mit STAB2D 76 Bild 3-19: Einflusslinien Fünffeldträger mit STAB2D 79 Bild 3-20: Einflussfläche für ein Plattentragwerk 82 Bild 4-1: System-Dehnsteifigkeit 83 Bild 4-2: System-Biegesteifigkeit 83 Bild 4-3: Eingespannter Rahmen 84 Bild 4-4: Eingespannter Rahmen – qualitative Biegelinie und Momentenlinie 84 Bild 4-5: Skizze zum Drehwinkelverfahren 85 Bild 4-6: Beispiele zur geometrischen Unbestimmtheit 87 Bild 4-7: Vorzeichendefinition für Biegemomente beim DWV 88 Bild 4-8: Geometrische Größen beim DWV 88 Bild 4-9: Zum DWV 89 Bild 4-10: Einheitsverformungszustände am beidseitig eingespannten Stab und Stabendmomente
95 Bild 4-11: Vorzeichen der Festeinspannmomente bei Stützensenkung 97 Bild 4-12: Beispiel 1 zum DWV 102 Bild 4-13: Beispiel 1 zum DWV – Ergebnisse Stab2D 102 Bild 4-14: Beispiel 2 zum DWV 103 Bild 4-15: Beispiel 3 zum DWV 104 Bild 4-16: Beispiel 4 zum DWV 105 Bild 4-17: Ergebnisse zum einführenden Beispiel 106 Bild 4-18: Festeinspannmomente für Auflagerbewegungen 107 Bild 4-19: Rahmenbeispiel mit Knotenverformung 108 Bild 4-20: Ergebnisse zum Rahmen mit Knotenverformung 109 Bild 4-21: Temperaturlastfälle 110 Bild 4-22: Rahmenbeispiel mit Temperatur Ts 111 Bild 4-23: Ergebnisse zum Rahmen mit Temperatur Ts 112 Bild 4-24: Rahmenbeispiel mit Temperaturgradient 113 Bild 4-25: Ergebnisse zum Rahmen mit Temperaturgradient 114 Bild 4-26: Beispiel mit Federn 115 Bild 4-27: Federbeispiel - Kinematik 116 Bild 4-28: Kinematik und virtuelle Arbeit 117 Bild 4-29: Ergebnisse zum Beispiel mit Federn 118 Bild 4-30: Beispiel mit unterschiedlichen Steifigkeiten 119 Bild 4-31: Beispiel mit unterschiedlichen Steifigkeiten: Momentenlinie und Verformungen 123 Bild 4-32: Klausuraufgabe 1: System, Belastung, Momentenlinie 124 Bild 4-33: Klausuraufgabe 2: System und Belastung 125 Bild 4-34: Klausuraufgabe 2: Momentenlinie und Verformungen 127 Bild 4-35: Klausuraufgabe 3: System und Belastung 128
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Bild 4-36: Klausuraufgabe 4: System und Belastung 129 Bild 4-37: Klausuraufgabe 4: Momentenlinie und Verformungen 132 Bild 4-38: Durchlaufträger: System und Belastung 133 Bild 4-39: Durchlaufträger: Biegemomente und Verformungen 135 Bild 6-1: Die Finite-Element-Welt 146 Bild 6-2: Die Finite-Element-Methode als Näherungsverfahren 148 Bild 6-3: Finite Stab- und Flächenelemente 149 Bild 6-4: Finite Faltwerk-, Schalen- und 3D-Elemente 150 Bild 6-5: Verformungen am Fachwerkstab 153 Bild 6-6: Verformungen am schrägen Fachwerkstab - Transformation 154 Bild 6-7: Kräfte am Fachwerkstab - Transformation 155 Bild 6-8: Einführendes Beispiel 157 Bild 6-9: Schema der Gesamt-Steifigkeitsmatrix 158 Bild 6-10: Ergebnisse des einführenden Beispiels 165 Bild 6-11: Ablauf einer FE-Berechnung 167 Bild 6-12: Beispiel 1 168 Bild 6-13: Beispiel 2 176 Bild 6-14: Verformungen und Freiheitsgrade am Balkenelement 184 Bild 6-15: Freiheitsgrade am Balkenelement 184 Bild 6-16: Transformation der Verformungen am Balkenelement 186 Bild 6-17: Lokale und globale Verformungen am Balkenelement 186 Bild 6-18: Transformation der Kraftgrößen am Balkenelement 187 Bild 6-19: Lokale und globale Kraftgrößen am Balkenelement 187 Bild 6-20: Einführendes Beispiel zum Balkenelement 189 Bild 6-21: Aufbau des Lastvektors Element 1 190 Bild 6-22: Aufbau des Lastvektors Element 2 191
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1 Einführung in die Theorie 2. Ordnung für Stabwerke 1.1 Einführendes Beispiel Gesucht:
a) LF 1: fH(H) b) LF 2: fH(V)
c) Stabkennzahl (für LFK 1: LF 1 + 2) 𝜀𝜀 = �|𝑆𝑆|∙𝑙𝑙2
𝐸𝐸∙𝐼𝐼
H = 5 kN
V =50 kN
15 m
2 m
300 mm
d = 20 mm
120°
A A
Querschnitt im Schnitt A-A
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1.2 Mögliche Nichtlinearitäten
Mögliche Nicht-Linearitäten Gleichgewicht am verformten System Genaue Verschiebungsgeometrie (bei großen Verformungen) Nicht-lineare Verzerrungsverschiebungsbeziehungen (bei großen Verformungen,
Verdrehungen) Nicht-lineares Materialverhalten
1.2.1 Gleichgewicht am verformten System Beispiel: Brückenpfeiler Bild 1-1: Einführendes Beispiel zur Theorie 2. Ordnung
h
H
V
wo
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Beispiel: Hallenrahmen Bild 1-2: Rahmen nach Theorie 2. Ordnung Die Anwendung von Theorie 2. Ordnung, kann entfallen, wenn
∆M0 = N ⋅ w0 ≤ 0,1 M0 Im Stahlbau kann gem DIN EN 1993-1-1 ein Nachweis nach Theorie 2. Ordnung entfallen, wenn eine der nachfolgenden Bedingungen eingehalten ist.
• Crdd
crcr NN
FF 1,010 ≤⇔≥=α ; Ncr : Ideale Systemknicklast
≈=crN
• NAf dy ⋅⋅≤ ,3,0λ , bezogener Schlankheitsgrad des Systems
• LLcr
s =≤⋅ βεβ ;1 (Knicklängenbeiwert )
EIlS ss
s
2
±=ε (Stabkennzahl)
Die Knicklänge ist vorher zu schätzen (s. Eulerfälle, Überschlagsformeln Stahlbau).
A B
AH BH
h
wo
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1.2.2 Genaue Verschiebungsfigur Bei großen Verschiebungen und großen Rotationen: Bild 1-3: Theorie kleiner und großer Verformungen
1.2.3 Nichtlineare Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehungen Genaue Beziehungen linearisierte Beziehungen
bei kleinen Verformungen
( 1)1 22 −′+′+= wuε u′≈ε
′+′
=u
w1
arctanϕ wu
w ′≈′+
′≈
1ϕ
22)1()1(
wuwuuw
′+′+′⋅′′−′+⋅′′
=′ϕ wu
w ′′≈′+
′′≈′
21ϕ
1.2.4 Nicht-lineares Materialverhalten Bild 1-4: Nichtlineare Werkstoffgesetze Weitere Materialeigenschaften bei Kriech- und Relaxationsvorgängen (zeitabhängig; z.B. Beton, Salz) viskoelastisch viskoplastisch
Theorie kleiner Verformungen Tangente; sin ϕ ≈ tan ϕ ≈ ϕ
Theorie großer Verformungen Kreisbogen !
ε
σ
ε
σ
ε
σ
linear elastisch
nichtlinear elastisch
linear elastisch ideal plastisch
nichtlinear elastoplastisch
N = EA ε M = -EΙ ϕ′
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1.3 Kurze Wiederholung zum Biegeknicken
1.3.1 Die vier Euler´schen Knickfälle
Allgemein gilt: 2
2
crcr L
EIN ⋅=
π "Euler´sche Knicklast"
Leonhard Euler, Schweizer Mathematiker 1707 - 1783
mit Lcr =β ⋅ L: Knicklänge (sk)
β: Knicklängenbeiwert
und NKi, Ncr : ideelle kritische Last
Eulerfall
Bild 1-5: Die vier Eulerfälle
Bei Rahmentragwerken wird β > 2 (s. folgenden Abschnitt und Bautabellen).
L
1 2 3 4
LLcr = LLcr ⋅≈ 7,0 LLcr ⋅= 5,0
2
2
4 LEINcr ⋅
⋅=
π2
2
LEINcr
⋅=
π2
22L
EINcr⋅⋅
≈π
2
24L
EINcr⋅⋅
=π
LLcr ⋅= 2
F
crL
crL
F
crL
WP
WP
F
crL
WP
2=β 1=β 6992,0=β 5,0=β
WP: Wendepunkt
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1.3.2 Ermittlung der Knicklängenbeiwerte mit Rahmenformeln Knicklängenbeiwerte mit Krüger Bd. 2, S. 41
Für alle Rahmen:
Zweigelenkrahmen
Dreigelenkrahmen
Bild 1-6: Knicklängenbeiwerte für Gelenkrahmen nach DIN 4114
( ) 202,04,14121 ccn ⋅+⋅+⋅+⋅=β
202,04,14 cc ⋅+⋅+=β
202,04,1496,01 ccn ⋅+⋅+⋅⋅+=β
10≤⋅⋅
=hIbIc
R
s
20 1 ≤=≤NNn
b
N N1
h
ΙR
ΙS 10 1 ≤=≤NNn
ΙR
ΙS
N
b/2
ΙR
ΙS
N
b/2
N1
h
h
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Für alle Rahmen:
Eingespannte Rahmen
Dreigelenkrahmen Bild 1-7: Knicklängenbeiwerte für eingespannte Rahmen nach DIN 4114
10≤⋅⋅
=hIbIc
R
s
20 1 ≤=≤NNn
b
N N1
h
ΙR
ΙS 10 1 ≤=≤NNn
ΙR
ΙS
N
b/2
ΙR
ΙS
N
b/2
N1
h
h
( ) 2017,035,01121 ccn ⋅−⋅+⋅+⋅=β
2017,035,01 cc ⋅−⋅+=β
2017,035,0186,01 ccn ⋅−⋅+⋅⋅+=β
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Ermittlung der Knicklänge mit Holschemacher S. 2.53
𝜅𝜅 = 𝑙𝑙𝐹𝐹∙ ∑ 𝐹𝐹𝑖𝑖
𝑙𝑙𝑖𝑖 ; ohne Pendelstützen: κ=0
Elastisch eingespannte Stütze mit angehängten Pendelstützen Bild 1-8: Knicklängenbeiwert für elastisch eingespannte Stütze mit angehängten Pendelstützen Einhüftiger Rahmen Bild 1-9: Knicklängenbeiwert für einhüftige Rahmen
lcEIS
⋅⋅+
++
⋅=ϕ
κκπβ )1(12
45
lEIlEI
R
RS
⋅⋅⋅⋅+
++
⋅=3
)1(12
45 κκπβ
ℓR
F F1 Fi
Fn
cϕ
ℓ ℓi
ℓR
F F1
ℓ ℓ1
EΙR
EΙS
EΙS
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Zweigelenkrahmen mit/ohne angehängten Pendelstützen Bild 1-10: Knicklängenbeiwert für Zweigelenkrahmen mit angehängten
Pendelstützen
Eingespannter Rahmen mit/ohne angehängten Pendelstützen Bild 1-11: Knicklängenbeiwert für eingespannte Rahmen mit angehängten
Pendelstützen
lEIlEI
m
R
RS
⋅⋅⋅⋅
=
++
+⋅
+⋅=
611
21
311
125
21
γ
κγγ
πβ
+⋅
=⋅⋅
⋅⋅=
++
+−+⋅⋅
++⋅=
γ
φγ
φφφγ
κπβ
112
1;611
961
311
21 22
lEIlEI
mm
R
RS
ℓR
F F1
ℓ ℓi
EΙR
EΙS
mF Fi
Fn
F F1
ℓ
EΙR
EΙS
mF Fi
Fn
ℓR
ℓi
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1.3.3 Schlankheit λ und Eulersche Knickspannung
iLcr
min=λ
crL : Knicklänge
i: Trägheitsradius
AI
iAI
i yy
yy =→= 2
; AIi
AIi z
zz
z =→= 2
Maßgebend ist der minimale Trägheitsradius.
2
2
crcr L
EIN ⋅=
π
AI
LE
crcr ⋅
⋅= 2
2πσ mit 2
22
λcrL
AIi == folgt:
2
2
λπσ E
cr⋅
= "ideelle Eulersche Knickspannung" (Hyperbel)
Bild 1-12: Eulerhyperbel
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Nachweis im Stahlbau
Den Abminderungsfaktor χ erhält man aus den Knickspannungslinien der DIN EN 1993. Sie sind aus Versuchen für unterschiedliche Profile unter Berücksichtigung von Imperfektionen ermittelt worden.
Bild 1-13: Knickspannungskurven nach DIN EN 1993 (EC 3)
Aus folgt mit Einsetzen der maximal zulässigen Spannung
die Bezugsschlankheit bei S 235: 9,93/5,23
/210002
2
=⋅=⋅=cmkN
cmkNfE
ya ππλ
Mit iLcr
k min=λ wird der bezogene Schlankheitsgrad
a
kk λ
λλ = berechnet.
Hiermit erhält man aus den Knickspannungslinien den Abminderungsfaktor χ.
Weiteres siehe
• Schneider Bautabellen, 22. Auflage, S. 8.24 ff
• Holschemacher, 7. Auflage, S. 5.12 ff
Mit2
2
2
22
2
2
2
2
2,
ka
k
a
cr
a
crcry
cr
dpl
iL
ILA
EILAf
NN
λλλ
λλπ==
⋅=
⋅⋅
=⋅
⋅⋅= ergibt sich:
AfNundN
NmitNN
ydplM
dplRdb
Rdb
d ⋅=⋅=≤ ,1
,,
,
1γ
χ
2
2
λπσ E
cr⋅
= kycr f ,max =σ
cr
dpl
a
kk N
N ,==λλλ
χ
�̅�𝜆
Eulerhyperbel
1,02
0,4
0,2
0,4 0,8
0,6
0,8
1,2 1,6 2,0 2,4 2,8
Kurve für Biegedrillknicken
a b
c
d
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1.4 Möglichkeiten zur Ermittlung der Schnittgrößen nach Th. 2. O.
1. Arbeitssatz: dxEI
xMxMwl∫=
)(0
)()(
Verformung w0 Zusatzmoment ∆M0 Zusatzverformung ∆w0 . . .
2. Biegelinie für unbelasteten Stab
43
2
2
3
1
32
2
1
11
1
26)(
2)('
)('')()(
0)(
CxCxCxCxEIw
CxCxCxEIw
CxCxEIwxVCxwEI
xwEI
+⋅+⋅+⋅=
+⋅+⋅=
+⋅=−==′′′
=′′′′
Biegelinie w0 (x) Zusatzmoment ∆M0 Zusatzbiegelinie ∆w0 . . .
Ergebnis aus 1 und 2: Überschlagsformel („Dischinger-Formel“)
0
0
00
1wwwNMM II
∆−
⋅+=
3. Aufstellen der DGL und exakte Lösung der DGL Gleichgewicht am verformten System unter Berücksichtigung des Zusatzmomentes infolge Normalkraft * Verformung Differenzialgleichung
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1.4.1 Iterative Ermittlung des Zusatzmomentes mit dem Arbeitssatz Beispiel: Bild 1-14: Einführendes Beispiel zur Th. 2. Ordnung – Eingespannte Stütze 1. Schritt: Verformung w0 mit dem Arbeitssatz ausrechnen
2. Schritt: Verformung ∆w0 infolge Zusatzmoment ∆M0 (N⋅w0) mit dem Arbeitssatz Bild 1-15: Iterative Ermittlung der Zusatzverformungen mit dem Arbeitssatz
10 m
HEA 260: Ιy = 10450 cm4 E = 210.000 MN/m2
EΙ = 2,1 ⋅ 108 kN/m2 ⋅ 10450 ⋅ 10-8 m4
EΙ = 21945 kNm2
V = 200 KN
H = 15 KN
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3. Schritt: Verformung ∆w1(0) infolge ∆M1 = N ⋅ ∆w0(0) ∆M1 = -V ⋅ ∆w0(0) = - 200 KN ⋅ 0,0830 m = -
∆w1(0) ≈ 0,4 ⋅ 1EΙ ⋅ ℓ ⋅ [ -V ⋅ ∆w0(0)] [-1 ⋅ℓ] =
≈ 0,3645 ⋅ ∆w0(0) = 0,3645 ⋅ 0,0830 m =
4. Schritt: Verformung ∆w2(0) infolge ∆M2 = N ∆w1(0) ∆w2(0) ≈ 0,3645 ⋅ ∆w1(0) = 0,3645 ⋅ m =
5. Schritt: Verformung ∆w3(0) infolge ∆M3 = N ∆w2(0) ∆w3(0) ≈ 0,3645 ⋅ ∆w2(0) = 0,3645 ⋅ m =
6. Schritt: Verformung ∆w4(0) infolge ∆M4 = N ∆w3(0) ∆w4(0) ≈ 0,3645 ⋅ ∆w3(0) = 0,3645 ⋅ m =
7. Schritt: Verformung ∆w5(0) infolge ∆M5 = N ∆w4(0) ∆w5(0) ≈ 0,3645 ⋅ ∆w4(0) = 0,3645 ⋅ m = Addition:
w(0) = w0(0) + Fehler! Textmarke nicht definiert.Σ ∆wi(0) = 0,2278 m + = 0,3581 m MII = MI + S w(0)
= -15 kN ⋅ 10 m – 200 kN ⋅ 0,3581 m =
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1.4.2 Herleitung einer Überschlagsformel mithilfe der Biegelinie Ausgang: M(x) = -EI w0´´(x)
EIxMw )(
−=′′
ξξξ ⋅⋅−=⋅⋅−=°° lHMMlEI
w )();(1 2
ξ⋅⋅⋅⋅=°° lHlEI
w 21
)2
( 1
23
CEI
lHw +⋅⋅
=° ξ
)6
( 21
33
CCEI
lHw +⋅+⋅⋅
= ξξ
w°(1) = 0 ⇒ C1 = w(1) = 0 ⇒ C2 =
)31
26(
33
+−⋅⋅
=ξξ
EIlHw
Hebelarm: e0 (ξ) = w0(0) – w0(ξ) = )31
26(
3
333
+−⋅⋅
−⋅ ξξ
EIlH
EIlH
e0 (ξ) = )26
(33 ξξ
+−⋅⋅
EIlH
Zusatzmoment ∆M0(ξ) = -N ⋅ e0 (ξ)
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Berechnung von ∆w0 infolge ∆M0
∆w0°° = - 1EΙ ℓ
2 ∆M0 (ξ);
= )3(6
)( 322
ξξε−⋅⋅⋅−⋅− lH
EIl
∆w0(ξ) =
−+−⋅⋅−
54
45
2206
3523 ξξξεEIHl
∆e0 (ξ) = ∆w0(0) – ∆w0(ξ)
∆e0 (ξ) =
+−⋅⋅
45
2206
3523 ξξξεEIHl
Zusatzmoment ∆M1(ξ) = -N ⋅ ∆e0 (ξ)
= - N ⋅
+−⋅⋅
45
2206
3523 ξξξεEIHl
= - ( )ξξξεε 2510!5
352
2 +−⋅⋅Hl
=
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Berechnung der Zusatzmomente durch Auswertung der Biegelinien s.a Krüger, Stahlbau II
Das exakte Ergebnis lautet MII = 221,8969 kNm
36936,0
36931,0
36889,0
36355,0
30379,0
3
4
2
3
1
2
0
1
0
0
=∆∆
=∆∆
=∆∆
=∆∆
=∆
MMMMMMMM
MM
kNmMMM
kNmMkNmMkNmMkNmMkNmMkNmMkNmM
kNmMMMMM
kNmMMM
kNmMMM
kNmMMM
kNmMMM
kNmMMM
kNmmkNlHM
ii
IIges 8966,221
0003,00008,00021,00057,00156,00421,01140,0
3087,036936,0
8359,000557,01559251382
2631,201509,02835
62
1279,604085,0315
17
6119,1611075,03
2
5685,4530379,03
0000,1501015
11
10
12
11
10
9
8
7
6
443
45
00
8
4
00
6
3
00
4
2
00
4
1
00
3
0
0
−==∆+=
−==∆−==∆−==∆−==∆−==∆−==∆−==∆
−=∆⋅=∆⋅∆∆
=∆
−=⋅=⋅⋅
=∆
−=⋅=⋅⋅
=∆
−=⋅=⋅⋅
=∆
−=⋅=⋅⋅
=∆
−=⋅=⋅=∆
−=⋅−=⋅−=
∑=
ε
ε
ε
ε
ε
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Zusammenfassend ergibt sich:
....2
2
31
1
20
0
100 +∆
∆∆
+∆∆∆
+∆∆∆
+∆+= MMMM
MMM
MMMMM II
0
1
MM
∆∆ ≈
1
2
MM
∆∆
≈ 2
3
MM
∆∆
≈ 3
4
MM
∆∆
≈ ...
....2
0
11
0
10
0
100 +∆
∆∆
+∆∆∆
+∆∆∆
+∆+= MMMM
MMM
MMMMM II
...)1( 5432
00 ++++++⋅∆+= αααααMMM II
α−∆
+=1
00
MMM II;
0
1
00
1MM
MMM II
∆∆
−
∆+=
∆M0 = N ⋅ w0; ∆M1 = N ⋅ ∆w0
0
0
00
1wwwNMM II
∆−
⋅+= =
0
0
00
1ww
wNM∆
−+ =
IIwNM ⋅+0
0
0
0
1ww
wwII
∆−
=
Für unser Beispiel:
=⋅
=EI
lHw3
3
0 ;
mlwNlEI
w 0831,0)1()(4,0100 =⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅=∆
=−
=∆
−=
2278,00831,01
2278,0
10
0
0
ww
wwII
=⋅+=⋅+= 3586,02001500
IIII wNMM
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1.4.3 DGL für Elastizitätstheorie 2. Ordnung (exaktes Verfahren) Gleichgewicht am verformten System bei kleinen Verformungen
Bild 1-16: Schnittkraftdefinitionen bei Theorie 2. Ordnung
00:0
=′
=−+=∑S
SdSSFx
)(0)(:0
xqTdxxqTdTTFz
−=′
=⋅+−+=∑
TwSMdxTdwSdM
dxTdwSdxqMdMMM
=′⋅+′=⋅−⋅+
=⋅−⋅+⋅+−+=∑0
02
:02
02 =′′⋅+′′′′ ww ω
Lösung:
A,B,C,D mit Randbedingungen
charakteristische Gleichungen für unterschiedliche Eulerfälle
Eigenwerte, Eigenformen
Knicklasten, Knicklängen
M
S M+ dM T+dT
S+dS
T dw
q(x)
KnickenbeiqFSEIS
EIqw
EISw
xqwSwEIwEIM
xqwSMSxqwSwSM
TwSM
0;;;
)()(
)(0);(
)(
2 =−===′′⋅−′′′′
−=′′⋅+′′′′⋅−
′′⋅−=−=′′⋅+′′
=′−=′′⋅+′⋅′+′′′=′′⋅+′′
ω
dx
DxCxBxAxw +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ωωω )sin()cos()(
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02 =′′⋅+′′′′ ww ω
1.4.4 Eingespannte Stütze mit Hilfe der DGL Bild 1-17: Eingespannte Stütze nach Th. 2. Ordnung (DGL) Lösung nach Theorie 1. Ordnung
)sin()cos()()cos()sin()(
)sin()cos()()cos()sin()(
)sin()cos()(
44
33
22
xBxAxwxBxAxw
xBxAxwCxBxAxw
DxCxBxAxw
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=′′′′
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=′′′
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=′′
⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=′+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
ωωωω
ωωωω
ωωωω
ωωωωωωωω
10 m
HEA 260: Ιy = 10450 cm4 E = 210.000 MN/m2
EΙ = 2,1 ⋅ 108 kN/m2 ⋅ 10450 ⋅ 10-8 m4
EΙ = 21945 kNm2
V = 200 KN H = 15 KN
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 30
Lösung nach Theorie 2. Ordnung
RB 1: w(0) = 0
RB 2: w´(0) = 0
RB 3: w´´(ℓ) = 0
RB 4:
Mit C = -B folgt
und
ADDADCBAw
−==++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
;00)0sin()0cos()0( ωωω
BCCBCBAw
−==+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=′
;0)0cos()0sin()0( ωωωωω
BlAlBlAlw
⋅⋅−==⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=′′
)tan(0)sin()cos()( 22
ωωωωω
DxCxBxAxw +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ωωω )sin()cos()(
[ ][ ] HCBAS
BAIEwSMHT
=⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−
′⋅+′==
ωωωωωωωωω
)0cos()0sin()0cos()0sin(
)0()0()0(33
[ ][ ]
3
333
33
2
)0cos()0sin(
)0cos()0sin(
ω
ωωωωω
ωωωω
⋅⋅=+⋅
⋅=⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
IEHCB
IEHCBA
BA
3ω⋅⋅=
IEHB
3)tan()tan(ω
ωω⋅⋅
⋅⋅−=⋅⋅−=IEHlBlA
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Damit für dieses Beispiel
𝑤𝑤(𝑥𝑥) = − tan(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙) ∙𝐻𝐻
𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ cos(𝜔𝜔 ∙ 𝑥𝑥) +𝐻𝐻
𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ sin(𝜔𝜔 ∙ 𝑥𝑥)
−𝐻𝐻
𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ 𝜔𝜔 ∙ 𝑥𝑥 +𝐻𝐻
𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ tan(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙)
𝑤𝑤(0) = − tan(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙) ∙𝐻𝐻
𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ cos(𝜔𝜔 ∙ 0) +𝐻𝐻
𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ sin(𝜔𝜔 ∙ 0)
−𝐻𝐻
𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ 𝜔𝜔 ∙ 0 +𝐻𝐻
𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ tan(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙)
𝑤𝑤(𝑙𝑙) = − tan(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙) ∙𝐻𝐻
𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ cos(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙) +𝐻𝐻
𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ sin(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙)
−𝐻𝐻
𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ 𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙 +𝐻𝐻
𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3 ∙ tan(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙)
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Lösung mit normierten Koordinaten
EIqlw
EISlw
EIqw
EIS
lw
l
ddww
ddw
lw
lx
42
24
11
;1;
=°°⋅−°°°°
=°°⋅−°°°°⋅
=°⋅=′⇒=ξξ
ξ
Bei Druck ist S < 0
EIqlq
hlStabkennzaEI
lSEIS
l
qwwEIqlw
EIS
lw
SS
4*
2
222
*2
42
;;
=
⋅==⋅=
=°°⋅+°°°°
=°°⋅+°°°°
εεε
ε
Homogene DGL
DCBAwww
H +⋅+⋅⋅+⋅⋅==°°⋅+°°°°
ξξεξεε
)sin()cos(02
Probe:
)sin()cos()cos()sin(
)sin()cos()cos()sin(
44
33
22
ξεεξεε
ξεεξεε
ξεεξεε
ξεεξεε
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=°°°°
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=°°°
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=°°
+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=°
BAwBAwBAw
CBAw
Partikularlösung für konstante Querlast: wp = ± 2
2*
21
s
qεξ
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Beispiel mit normierter DGL
Bild 1-18: Eingespannte Stütze nach Th. 2. Ordnung (DGL)
DCBAw +⋅+⋅⋅+⋅⋅= ξξεξε )sin()cos(
Lösung für Th. II. O auf Basis der DGL durch Einsetzen der RB:
10 m
HEA 260: Ιy = 10450 cm4 E = 210.000 MN/m2
EΙ = 2,1 ⋅ 108 kN/m2 ⋅ 10450 ⋅ 10-8 m4
EΙ = 21945 kNm2
V = 200 KN
H = 15 KN
Lösung nach Th.I.O.
ADDCBAwRB −=⇒=+⋅+⋅⋅+⋅⋅== 00)0sin()0cos(0)0(:1 εε
[ ]
[ ]
IElH
IESC
IESB
lB
IElHCBA
IES
BAl
IElH
lwS
lowEI
Hl
wSl
wEI
HwSMTRB
⋅⋅
=⋅
⋅+⋅⋅
⋅+⋅
⋅⋅
=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅
+
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
=°
⋅+°°°
⋅−
=°
⋅+°°°
⋅−
=′⋅+′=
εε
εεεε
εεεε
2
3
332
3
3
)0cos()0sin(
)0cos()0sin(1
)0()(
)0()0()0()0()0(:4
εεεεε ⋅−=⇒+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−==° BCCBAwRB )0cos()0sin(0)0(:2
εεεεε tan)1sin)1cos(0)1(:3 22 ⋅−=⇒⋅⋅⋅+⋅⋅==°° BABAwRB
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Damit ergibt sich für dieses Beispiel:
)1tan()0()0()sin(cos
)0(−+⋅+⋅
⋅⋅⋅
−=ε
εξεξεε S
TlS
TlS
TlwII
−=== 1tan)1()1(max
εεξ
STlwwII
T(0) = ; S =
EIlS ss
ss
2
2 == εε =
=εtan
=ε
εtan
=IIwmax
)0(wSMM III ⋅+=
= -
−⋅⋅+⋅ 1tan)0(
εε
STlSlH
= -
−+⋅⋅ 1tan1
εεlH
=
⋅−
εεtanHl =
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1.5 Beispiel: Rahmentragwerk
1.5.1 System, Belastung, Schnittkräfte nach Th. I. Ordnung
Bild 1-19: Rahmenbeispiel für Th. 2. Ordnung, [16]
Stiel: ΙPE 400, ΙS = 23130 cm4
EΙS = 2,1 ⋅ 108 kN/m2 ⋅ 23130 ⋅ 10-8 m4 = 48573 kNm2
Riegel: ΙPE 500, ΙR = 48200 cm4; 480,04820023130
==R
S
II
Auflagerkräfte
H = 18 kN
F = 200 kN
IPE 400
IPE 500 HEA 160
5,00 m
15,00 m
3,50 m
F = 200 kN q = 12 kN/m
H = 18 kN
F = 200 kN
5,00 m 3,50 m
F = 200 kN q = 12 kN/m
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Momentenlinie M0 Bild 1-20: Biegemomentenlinie nach Th. 1. O. Erfordernis von Theorie 2. Ordnung Kriterium 1
2
2
,, ?1,0k
dKidKi sEINNN ⋅
=>π
; Ideelle Knicklast
lsk ⋅= β mit Tabellenwerken, s.u. Oder: Kriterium 2:
β ⋅ εs > 1 ?; β = Lcr/ (Knicklängenbeiwert , mit Tabellenwerken, s.u.)
=±=EI
lS sss
2
ε
Mit Rahmenformel Holschemacher Mit Rahmenformel Krüger Kriterium 1
Kriterium 2
=⋅
=++⋅+=
=⋅⋅
=
==
βε
β 2
1
02,04,1496,01 ccn
hIbIc
NNn
R
S
=⋅
=
=⋅=
=
⋅⋅⋅⋅+
++
⋅=
=
2
2
,
3)1(
1245
kdKi
K
R
RS
sEIN
ls
hIlI
π
β
κκπβ
κ
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1.5.2 Ermittlung der Schnittkräfte nach Th. 2. Ordnung mit Hilfe des Arbeitssatzes
Momentenlinie M0 Berechnung von w0
Bild 1-21: Momente und Verformungen nach Th. 1. Ordnung
H = 1
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Zusatzmomente ∆M0 infolge w0
Bild 1-22: Zusatzmomente für Theorie 2. Ordnung Berechnung von ∆w0
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1.5.3 Zusammenfassende Darstellung der Ergebnisse Theorie I. Ordnung Bild 1-23: Biegemomente und Verformung nach Th. 1. O. mit STAB2D Theorie 2. Ordnung Bild 1-24: Biegemomente und Verformung nach Th. 2. O. mit STAB2D
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Abtriebskraft Bild 1-25: Abtriebskraft * Bild 1-26: Verformungen nach Th. 2. O. mit STAB2D
Unterschiede Theorie 1. Ordnung – Theorie 2. Ordnung Aspekt Th. I. Ordnung Th. II. Ordnung Eckverformung w0 = 0,121 m
(Arbeitssatz) ∆w0= 0,037 m (2. Mal Arbeitssatz)
174,0
121,0037,01
121,0
10
0
0 =−
=∆
−=
ww
wwII
Auflagerkräfte BH = 0 kN, A = 284 kN, B = 296 kN
BH = 15 kN (Abtriebskraft !!) A = 276 kN, B = 304 kN
Eckmoment Meck = AH·5 = 18·5 = 90 kNm
Meck = AH ·5
+ ∆AH ·5 (Abtriebskraft)
+ A ·wΙΙ (N*Hebelarm) = 213 kNm
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Knickuntersuchung Bild 1-27: Ergebnisse der Knickuntersuchung mit STAB2D Ergebnis: Ncr = Lcr=
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1.5.4 Computerunterstützte Berechnung Bild 1-28: Rahmen mit EDV Programmsystem DTE von PCAE: Wesentliche Arbeitsschritte (2D-Rahmen) Programm DTE aufrufen Schreibtisch (Rechnername, z.B. Hiddesen) wählen Projekt wählen, ggfs. erzeugen (z.B. KGrossmann) Projekt wählen, ggfs. erzeugen (z.B. Statik-Übung) Bauteil wählen, ggfs. erzeugen (z.B. Stahlrahmen)
o Problemklasse zuordnen (Platte oder Scheibe oder 2D-Rahmen ...) Systemdefinition
o Rechenmodus (Material, lineare und/oder nichtlineare Berechnung) o Punkte, Linien erzeugen o Ggfs. Punkttabelle anpassen (genaue Koordinateneingabe) o Lagerungsbedingungen o Gelenksituation an den Stäben o den Stäben Querschnitte zuordnen o Lastfälle definieren
LF1: Gleichlast LF2: Einzellasten
o Einwirkungen definieren o Extremierung / Lastkollektive definieren
Berechnung Visualisierung und drucken
(0 / 5)
(0 / 0) (15 / 0)
(15 / 3,50)
1
2 3
4
X
Z H = 18 kN
F = 200 kN
IPE 400
IPE 500 HEA 160
5,00 m
15,00 m
3,50 m
F = 200 kN q = 12 kN/m
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1.6 Zusammenfassung
DGL / Arbeitsintegral Lösung Th. 1. O. )()( xqxwEI =′′′′
dxEI
xMxMwl∫=
)(0
)()(
43
2
2
3
1
4
2624)( CxCxCxCxqxEIw +⋅+⋅+⋅+⋅=
(Polynom !)
z.B.: EIlqw
EIlFw
⋅⋅⋅
=⋅⋅
=3845max;
3
43
0
Th. 2.0
02 =°°⋅+°°°°
=′′⋅−′′′′
wwEIqw
EISw
ε
dxEI
xMxMwl
ii ∫
∆=∆
)(
)()(
21)cos()sin( CCBAwH +⋅+⋅⋅+⋅⋅= ξξεξε
0
0
0
1ww
wwII
∆−
=
(„Dischinger-Formel“)
Stabilität Kein q vorh. !
02 =+′′ ww λ
EIN
=2λ
Eigenwertproblem
xBxAw λλ sincos ⋅+⋅= Lösung: Eigenform ( z.B. Sinushalbwelle)
Eigenwert: 2
22,2
ln
EN idK
nπλ ⋅
=Ι
=
2
2
, lEIN idk
π⋅=
Bild 1-29: Verzweigungsproblem - Spannungsproblem
F
Spannungsproblem
W
Verzweigungspunkt
Stabilitätsproblem
Fcr
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2 Verschieblichkeitsuntersuchungen mit Hilfe des Polplans
2.1 Regeln für die Polplanerstellung
1. Jedes Tragwerksteil i dreht sich um seinen Hauptpol (i). 2. Feste (zweiwertige) Lager sind Hauptpole.
3. Der Hauptpol eines durch ein bewegliches (einwertiges) Lager gestützten Tragwerkteils liegt auf der im Lagerpunkt errichteten Senkrechten zur möglichen Bewegungsrichtung.
4. Der Hauptpol eines Tragwerksteils, das nur Translationsbewegungen erfährt, liegt im Unendlichen.
5. Der Nebenpol (ij) liegt stets auf der Verbindungslinie der beiden Hauptpole (i) und (j). Fallen zwei dieser Pole zusammen, dann liegt der dritte am selben Ort.
6. Zwei Tragwerksteile i und j drehen sich gegeneinander in ihrem Nebenpol (ij).
Liegt dieser Nebenpol im Unendlichen, so bewegen sich beide Tragwerksteile parallel mit dem gleichen Drehwinkel.
(1)
(1,2) (2)
∞
(1)
(1)
(1) ∞
(1)
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7. Das Verbindungsgelenk zweier Tragwerksteile ist deren gemeinsamer Nebenpol. 8. Nebenpole bei V- und N-Mechanismen liegen im Unendlichen senkrecht zur
möglichen Bewegungsrichtung. 9. Die drei Nebenpole (ij), (jk) und (ik) liegen stets auf einer Geraden. Fallen zwei
dieser Nebenpole zusammen, dann liegt der dritte am selben Ort. 10. Tritt im Polplan bei einem Tragwerksteil ein Widerspruch auf, dann ist dieses
Tragwerksteil entweder fest oder Teil eines in sich unverschieblichen Tragwerkverbandes, der als ein Tragwerksteil betrachtet werden kann.
Regeln aus [18] Meskouris/ Hake: Statik der Stabtragwerke
2.2 Kinematik
2.2.1 Allgemeines Der Polplan ist ein Hilfsmittel für Verschieblichkeitsuntersuchungen (z.B. Ausnahmefall der Statik), bei der Anwendung des Prinzips der virtuellen Verrückungen (PdvV)
o zur alternativen Bestimmung von Auflagerreaktionen und Schnittgrößen, o im Rahmen des Drehwinkelverfahrens, o für die Ermittlung von Einflusslinien.
Bei der Anwendung des PdvV ist zu beachten: Die Verschiebungen sind gedacht und sehr klein. Zur Ermittlung von Zustandsgrößen mithilfe des PdvV ist die Ermittlung der geometrischen Zusammenhänge (Kinematik) bei der Verschiebung erforderlich.
2.2.2 Beispiele zur Ermittlung kinematischer Größen Für die im Folgenden dargestellten verschieblichen Systeme sind
a) der Polplan zu zeichnen (Regeln in Kap 1.1 beachten !), b) die Verschiebungsfiguren zu zeichnen
(Jeder Punkt bewegt sich senkrecht zu seinem eigenen Polstrahl. Ein Polstrahl ist die Verbindungslinie vom betrachteten Punkt zum zugehörigen Pol.)
c) sowie die kinematischen Zusammenhänge zu ermitteln (Abhängigkeit der Stabdrehwinkel untereinander sowie ausgewählter Verschiebungsgrößen).
(GK/AK = Winkel ψ = Differenzwinkel zwischen Ursprungspolstrahl und „ausgelenktem Polstrahl“ für jeden betrachteten Punkt.
I.d.R. ist ψ1 gegeben. Gesucht sind dann beispielsweise:
ψ2 (ψ1) ; ∆g(ψ1);
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Beispiel 1 a) Polplan
b) Verschiebungsfigur
Bild 2-1: Beispiel 1: Polplan und Verschiebungsfigur
4
4
2
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Beispiel 2 (Video) a) Polplan b) Verschiebungsfigur
Bild 2-2: Beispiel 2: Polplan und Verschiebungsfigur
2
4
3
6
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c) Kinematik Bild 2-3: Beispiel 2: Kinematik
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Beispiel 3 Bild 2-4: Beispiel 3 Beispiel 4
Bild 2-5: Beispiel 4
5
4
3 3 3
6
4
5
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Beispiel 5
Bild 2-6: Beispiel 5 Beispiel 6 Bild 2-7: Beispiel 6
x‘ x ℓ
Geg.: ℓ, x, x´; ψ1 + ψ2 = 1 Ges.: ∆g (ℓ, x, x‘)
6 26
26
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Beispiel 7
Bild 2-8: Beispiel 7 Beispiel 8 Bild 2-9: Beispiel 8
1
3 2 5 4
2
6
4
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Beispiel 9 Bild 2-10: Beispiel 9 Gesucht:
a) Polplan
b) Verschiebungsfigur
c) Nachvollziehbare Ermittlung mit Zahlen und Einheiten von
ψ1, ψ2, ∆s1v, ∆s1h, ∆s1, ∆s2v, ∆s2h, ∆s2, ∆s3v, ∆s3h, ∆s3, ∆s4v, ∆s4h, ∆s4
infolge ∆sA = 2 cm
m 2
4m
m 3
m 3
1 2
3
4
∆sA = 2 cm
m 3
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2.3 Zusammenfassung
• Statisch unterbestimmte Systeme sind verschieblich. • Die Verschiebungsfigur nennt man Mechanismus oder
kinematische Kette. • Die formelmäßige Beschreibung des Mechanismus nennt man
Kinematik. • Bei der Verschiebung hat jedes Tragwerksteil einen festen
Drehpunkt (Pol). • Regeln zur Polplanerstellung: s. Abschn. 1.1. • Bei der Beschreibung des Mechanismus wird sich auf sehr kleine
Verschiebungen bezogen, die dann vergrößert dargestellt werden. • Tangente, nicht Kreisbogen!
• Es ergibt sich: Winkel = Gegenkathete zu Ankathete • Die Verbindung von einem Punkt zum zugehörigen Pol nennt man
Polstrahl. • Ein Punkt eines verschieblichen Tragwerksteils bewegt sich immer
senkrecht zum zugehörigen Polstrahl. • Zur Berechnung von Horizontal- oder Vertikalanteilen von schrägen
Verschiebungen „Projizierte Polpläne“ Bild 2-11: Konstruktion des Mechanismus mit dem Polplan
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3 Einflusslinien 3.1 Allgemeines
Zur Ermittlung der Einflusslinie für eine Auflagerkraft / Schnittgröße oder für eine Verformung
an einer ausgewählten Stelle m lässt man eine Last F = 1 kN über das Tragwerk wandern
und trägt die sich ergebenden Werte der gesuchten statischen Größe unter der jeweiligen Laststellung xL als Ordinate auf.
Bild 3-1: Wanderlast
Die Einflussordinate ηSm (xL) gibt die statische Größe Sm
an der Stelle m im Tragwerk infolge der äußeren Einheitsbelastung an der Stelle xL an.
Die statische Größe Sm infolge wirklicher Einzellasten und / oder Streckenlasten in gewählten Laststellungen xL ergibt sich zu
∑ ∫ ⋅+⋅= dxxxqxFS SmiiSmim )()()(, ηη .
Die Maßeinheit der Einflussordinate wird sowohl durch die Art der statischen
Größe Sm als auch durch die Art der Lastgröße bestimmt.
F = 1 kN
m
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3.2 Statisch bestimmte Stabwerke
3.2.1 Gleichgewichtsmethode Beispiel: Balken auf 2 Stützen
Gesucht: Einflusslinien für die Auflagerkräfte A und B : ηA und ηB
sowie die Einflusslinien für das Biegemoment und die Querkraft bei x1 : ηM1 und ηV1
Bild 3-2: Einflusslinien für Auflagerkräfte, Querkraft und Biegemoment Anschauliches Excel-Programm von Prof. Dr.-Ing. Jens Göttsche, FH Buxtehude: http://extra.hs21.de/seiten/goettsche/index.htm
F = 1 kN xL
x1 x´1 = -x1
lx
A −= 1ηlx
B =η
F = 1 kN xL
F = 1 kN xL
x1 x´1 = -x1
F = 1 kN xL
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3.2.2 Kinematische Methode basierend auf dem PdvV Das Prinzip der virtuellen Verrückungen
Zur Bestimmung einer Auflagergröße oder Schnittgröße wird an der entsprechenden Stelle die gesuchte Größe durch Entfernen der Auflagerbindung oder Einführung eines Gelenkes gelöst. Danach wird durch Aufbringen einer virtuellen Verrückung (sehr klein, gedacht ) eine Verschiebungsfigur erzeugt. Mit Hilfe der kinematischen Zusammenhänge lassen sich aus der Formulierung des Arbeitssatzes
**WA =
die gesuchten Schnittgrößen oder Auflagerkräfte ermitteln. Beispiele Bild 3-3: Beispiele zum Prinzip der virtuellen Verrückungen Ohne weitere Herleitung: Erzeugt man eine Verschiebungsfigur (Biegelinie) durch Aufbringen der Verformung (Verschiebung oder Verdrehung) von der Größe 1 entgegen gesetzt zur gesuchten statischen Größe, so stellt die Verschiebungsfigur (Biegelinie) die Einflusslinie dar.
Bei statisch bestimmten Systemen verlaufen die Einflusslinien geradlinig.
Bei statisch unbestimmten Systemen verlaufen die Einflusslinien gekrümmt.
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Beispiel zur Ermittlung von Einflusslinien mithilfe der kinematischen Methode Bild 3-4: System und Lastbild für Einflusslinie Gegeben: System und Lastenzug gem. Zeichnung
Gesucht: 1) ηA, ηB , ηM1 und ηV1 2) Auswertung der ELn für Laststellungen, die extremale Schnittgrößen hervorrufen
Kinematik für ηV1 Kinematik für ηM1 Bild 3-5: Kinematiken zu Einflusslinien an statisch bestimmten Systemen
2,4 3,6 3,0
3*100 kN
1,5 1,5
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Auswertung: ∑ ∫ ⋅+⋅= dxxxqxFS SmiiSmim )()()(, ηη
max A min A max A = min A = max B min B max B = min B = max M1 min M1 max M1 = min M1 = max V1 min V1 max V1 = min V1 =
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3.2.3 Vorgehen und Merkregeln Die Ermittlung von Einflusslinien für Kraftgrößen erfolgt an statisch bestimmten Systemen in vier Schritten:
1. Man erzeugt die zugehörige zwangläufige kinematische Kette, indem man die gesuchte statische Größe - die Lagerreaktion oder Schnittgröße - freisetzt.
2. Im Polplan werden die Haupt- und Nebenpole aller Scheiben ermittelt. 3. Die Verschiebungsfigur der kinematischen Kette entsteht infolge der Verschie-
bungsgröße 1, die entgegen der Richtung der gesuchten statischen Größe angesetzt wird.
4. Je nach Art der Lastgröße sind als Einflusslinie die vertikalen - oder die horizontalen - Verschiebungen oder die Neigungen derjenigen Scheiben auf-zutragen, über die die Last wandert.
Diese Einflusslinien haben folgende Eigenschaften: 1. Geradliniger Verlauf im Bereich eines Tragwerkteiles. 2. Nullstellen unter den Hauptpolen von Tragwerksteilen. 3. Knicke unter den Nebenpolen benachbarter Tragwerksteile. 4. Sprünge in Richtung der Verschiebungsmöglichkeiten bei Querkraft- und
Normalkraftgelenken. Für die Darstellung einer Einflusslinie gelten dieselben Regeln wie für Darstellungen von Zustandslinien:
1. Positive Einflussordinaten werden in positiver z-Richtung aufgetragen. 2. Die Funktionen werden aus Gründen der Übersichtlichkeit schraffiert und mit
Vorzeichen versehen. 3. Es genügt die Angabe einer Ordinate oder eines charakteristischen Winkels, da
sich alle übrigen Ordinaten nach dem Strahlensatz berechnen lassen. 4. Die Angabe der Maßeinheit der Einflussordinaten ist der nachfolgenden Tabelle zu
entnehmen. Tabelle 3-1: Dimensionen für Einflusslinien )(xSmη
Einflusslinien für Belastung Schnittgrößen Auflagerkräfte N V M A ME
FV = 1 - - L - L FH = 1 - - L - L M = 1 1/L 1/L - 1/L -
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3.2.4 Zusammenfassung Aus Gleichgewicht Kinematische Methode Bild 3-6: Einflusslinien für Auflagerkräfte, Querkraft und Biegemoment
1
1
1
F = 1 kN x
lx
A −= 1η
1
lx
B =η
lxx
M11
1′⋅
=η
x1
x1
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3.3 Einflusslinien bei statisch unbestimmten Stabtragwerken
Satz von Land Die Einflusslinie für eine Kraftgröße
entspricht der Biegelinie am (n-1)-fachen statisch unbestimmten System, wenn entgegen der Kraftgröße
die zugehörige Verschiebungsgröße 1 erzeugt wird.
EL für A: ηA EL für M1 : ηM1 Bild 3-7: Einflusslinien für Auflagerkräfte und Biegemoment beim Zweifeldträger Positive Schnittgröße an der Stelle m Zugehörige entgegen gestezte Einheitsverschiebung
1
Vm
Nm
Mm
wr=-1
ur=-1
ϕ r=-1
MTm
ϑr=-1
1
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3.4 Lastannahmen für Straßenbrücken und Eisenbahnüberführungen
3.4.1 Verkehrslasten auf Straßenbrücken nach DIN EN 1991 – 2NA/2012-08 Bild 3-8: Verkehrslasten auf Brücken nach DIN EN 1991 – 2 (Lastmodell LMM) Tabelle 3-2: Belastung auf Straßenbrücken nach DIN EN 1991 – 2/NA2012-08
Stellung
Doppelachse Gleichmäßig verteilte Last
Grundwert Angepasster Grundwert
Grundwert Angepasster Grundwert
Achslast Qik in kN
αQi Achslast
αQi ∙Qik in kN
qik (oder qrk) in kN/m2
αqi αQi ∙qik in kN/m
Fahrstreifen 1 300 1,0 300 9,0 1,33 12
Fahrstreifen 2 200 1,0 200 2,5 2,4 6
Fahrstreifen 3 100 1,0 100 2,5 1,2 3
Andere Fahrstreifen
0 - 0 2,5 1,2 3
Restfläche 0 - 0 2,5 1,2 3 Charakteristischer Wert der Achslast:
mit Qik :charakteristischer Wert (Grundwert) der Achslast im Fahrstreifen i und αQi: Abminderungsfaktor
1,20
2 3 Doppelachse
Die Fahrstreifen 1 bis 3 sind unmittelbar nebeneinander ohne Restfläche zwischen diesen Fahrstreifen anzuordnen. Die Doppelachsen in diesen Fahrstreifen sind in Querrichtung als nebeneinander stehend anzusehen.
ikQik QQ ⋅= α
Fahrstreifen 1
Fahrstreifen 2
Fahrstreifen 3
Restfläche
3 m
3 m
3 m
12 kN/m2
6 kN/m2
3 kN/m2
3 kN/m2
3 kN/m2
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Für den Fahrstreifen 1 ergibt sich folgendes Lastbild bezogen auf einen gedachten Balken von 3 m Breite:
Bild 3-9: Verkehrslasten auf Brücken nach DIN EN 1991 -2/NA für Fahrstreifen 1 Betrachtung der Querrichtung
Bild 3-10: Lastverteilung in Querrichtung bei Straßenbrücken (LMM)
150 kN
p =12 kN/m2
150 kN
100 kN 100 kN
p = 3 kN/m2
Überbau
2 m 2 m
1,20
300 kN 300 kN
p = 36 kN/m
p =6 kN/m2
50 kN 50 kN
2 m
Geländer
Belag Kappen
p = 3 kN/m2
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3.4.2 Entwicklung der Lastannahmen für Straßenbrücken
DIN 1072 (1985)
BKL 60/30
DIN Fachbericht 101 (2003/2009)
Lastmodell 1 (LM1)
DIN EN 1991-2/NA2012-10
Modifiziertes Lastmodell
(LMM)
SLW 60: 3 Achsen á ϕ⋅200 kN
SLW 30: 3 Achsen à 100 kN
Hauptfahrstreifen: ϕ⋅5 kN/m2
Nebenfahrstreifen: 3 kN/m2
Restfläche: 3 kN/m2
SLW: Schwerlastwagen
ϕ: Schwingbeiwert
TS 1: 2 Achsen á 240 kN
TS 2: 2 Achsen á 160 kN
Fahrstreifen 1: 9 kN/m2
Fahrstreifen 2: 2,5 kN/m2
Restfläche: 2,5 kN/m2
TS: Tandemsystem
TS 1: 2 Achsen á 300 kN
TS 2: 2 Achsen á 200 kN
TS 3: 2 Achsen á 100 kN
Fahrstreifen 1: 12 kN/m2
Fahrstreifen 2: 6 kN/m2
Fahrstreifen 2: 3 kN/m2
Restfläche: 3 kN/m2
TS: Tandemsystem
p =12 kN/m2
150 kN 100 kN 100 kN
p = 3 kN/m2
2 m
p =6 kN/m2
50 kN 50 kN
2 m
p = 3 kN/m2
150 kN
2 m
p =9 kN/m2
120 kN
80 kN 80 kN
p = 2,5 kN/m2
2 m 2 m
p = 2,5 kN/m2
120 kN
2 m
Fahr
stre
ifen
1
Fahr
stre
ifen
2
Fahr
stre
ifen
3 1,2 m
3 m 3 m 3 m
Hau
ptfa
hrst
reife
n 1
Neb
enfa
hrst
reife
n 2
3 m 3 m
1,5 m
1,5 m
1,5 m
1,5 m
Fahr
stre
ifen
1
Fahr
stre
ifen
2
Fahr
stre
ifen
3
1,2 m
3 m 3 m 3 m
p =ϕ⋅5 kN/m2
ϕ100 kN 50 kN 50 kN
p = 3 kN/m2
2 m
p =3 kN/m2
2 m
ϕ100 kN
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3.4.3 Lastbild UIC 71 für Eisenbahnbrücken (Union international chemin de fer, internationaler Eisenbahnverband)
Bild 3-11: Verkehrslasten auf Eisenbahnbrücken nach DIN-Fachbericht 101
Computerunterstützte Berechnung mit Trägerrostprogramm
Bild 3-12: Trägerrostmodell
Hauptträger (HT) Querträger (QT) Endquerträger (EQT)
1,60
250 kN 250 kN 250 kN 250 kN
80 kN/m 80 kN/m
1,60 1,60 0,80
6,40
Radsatzlasten
0,80 Beliebige
Länge
Streckenlast
Beliebige Länge
Streckenlast
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3.5 Beispielaufgaben
3.5.1 Gelenkträger Bild 3-13: Gelenkträger- System und Lastbild Gegeben: System und Lastbild gem. Zeichnung
Gesucht: ηM1, ηV1, ηA , ηB , ηc , ηMB , ηMC Verkehrslaststellung zur Erzeugung extremaler Schnittgrößen Auswertung der ELn für die gefundenen Laststellungen
a) Einflusslinie für das Biegemoment M1 (ηM1 )
Polplan Einflusslinie
1,5 1,5 1,5 1,5
4 4 2 6 3
3*200 kN p = 15 kN/m
1
p = 15 kN/m
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Verkehrslaststellung für maximales Moment
Auswertung ( ∑ ∫ ⋅+⋅= dxxxqxFS SmiiSmim )()()(, ηη )
max M1 = Berechnung von max M1 mit Stab2D Bild 3-14: Gelenkträger- Momentenlinie mit Stab2D
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Verkehrslaststellung für minimales Moment minM1 =
b) Einflusslinie für die Querkraft V1 (ηV1 ) Polplan Einflusslinie Verkehrslaststellung für maximale Querkraft max V1 = Verkehrslaststellung für minimale Querkraft min V1 =
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c) Einflusslinie für die Auflagerkraft A ( ηA ) Verkehrslaststellung für maximale Auflagerkraft A max A = Verkehrslaststellung für minimale Auflagerkraft A min A =
d) Einflusslinie für die Auflagerkraft B ( ηB ) Verkehrslaststellung für maximale Auflagerkraft B max B=
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Verkehrslaststellung für minimale Auflagerkraft B min B =
e) Einflusslinie für die Auflagerkraft C ( ηC ) Verkehrslaststellung für maximale Auflagerkraft max C=
f) Einflusslinie für das Stützmoment MB (ηMB ) Polplan Einflusslinie Verkehrslaststellung für minimales Stützmoment min MB min MB =
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3.5.2 Gelenkträger 2 zum Selberrechnen Bild 3-15: Gelenkträger 2 - System und Lastbild Gegeben: System und Lastbild gem. Zeichnung
Gesucht: ηA , ηB , ηc , ηD, ηMB , ηMC, ηM1, ηV1, ηM2, ηV2, ηM3, ηV3 Verkehrslaststellung zur Erzeugung extremaler Schnittgrößen Auswertung der ELn für die gefundenen Laststellungen
1,5 1,5 1,5 1,5
6 2
1
3
3*200 kN p = 15 kN/m p = 15 kN/m
2 3 1
2 2
1,5
4
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3.5.3 Gelenkträger 3 zum Selberrechnen Bild 3-16: Gelenkträger 3 - System und Lastbild Gegeben: System und Lastbild gem. Zeichnung
Gesucht: ηA , ηB , ηc , ηD, ηMB , ηMC, ηM1, ηV1 Verkehrslaststellung zur Erzeugung extremaler Schnittgrößen Auswertung der ELn für die gefundenen Laststellungen
1,2 m
7 2
3
2*300 kN
q = 36 kN/m
1
5 3 4
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3.5.4 Ermittlung der Einflusslinien mit Hilfe STAB2D
ηA
ηM1
ηMB Bild 3-17: Einflusslinien Zweifeldträger mit STAB2D
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 74
3.5.5 Dreifeldträger Für den dargestellten Dreifeldträger sind folgende Einflusslinien gesucht:
ELn für die Auflagerkräfte A und B,
ELn für die Feldmomente M1 und M2 jeweils in Feldmitte
sowie die ELn für die Stützmomente MB und Mc
Es sind zunächst die qualitativen Verläufe der ELn sowie die zugehörigen Laststellungen mit dem vereinfachten Lastbild aus der DIN 1072 gesucht.
Die genauen Ordinaten sind computerunterstützt zu ermitteln.
Auf der Basis der ermittelten Ordinaten sind mit dem vereinfachten Lastbild die Extremwerte der gesuchten Auflagerkräfte zu ermitteln.
ηA
ηB
EI = const
6 8 5
1,5
1,5
1,5
200 kN p = 15 KN/m
1,5
p = 15 kN/m
200 KN 200 KN
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ηM1
ηM2
ηMB
ηMc
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 76
Computerunterstützte Ermittlung der Einflusslinien ηA
ηM1
ηMb Bild 3-18: Einflusslinien Dreifeldträger mit STAB2D
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 77
3.5.6 Fünffeldträger Für den dargestellten Fünffeldträger sind folgende Einflusslinien gesucht:
ELn für die Auflagerkräfte B und C,
ELn für die Feldmomente M2 und M3 jeweils in Feldmitte
sowie die ELn für die Stützmomente MB und Mc
Es sind zunächst die qualitativen Verläufe der ELn sowie die zugehörigen Laststellungen mit dem vereinfachten Lastbild aus der DIN 1072 gesucht.
Die genauen Ordinaten sind computerunterstützt zu ermitteln.
Auf der Basis der ermittelten Ordinaten sind mit dem vereinfachten Lastbild die Extremwerte der gesuchten Auflagerkräfte zu ermitteln.
ηB
ηC
p = ϕ 15 KN/m p = ϕ 15 kN/m
EI = const
25 25 20 15 15
3 * ϕ 200 KN
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ηM2
ηM3
ηMB
ηMC
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Computerunterstützte Ermittlung der Einflusslininen ηB
ηC
ηM2
ηMC Bild 3-19: Einflusslinien Fünffeldträger mit STAB2D
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 80
3.6 Zusammenfassung Einflusslinien
ηSm (xL)
1) Methoden zur Ermittlung von Einflusslinien
a) Gleichgewichtsmethode
• „Messuhr“ und Tabelle
• Excel-Programm von Prof. Dr. Göttsche, Hochschule Buxtehude
b) Kinematische Methode nach dem PdvV
Verformungsgröße „1“ entgegengesetzt zur betrachteten Kraftgröße aufbringen.
• Auflagerkräfte: Stützensenkung „1“ am betrachteten Auflager
• Querkräfte: Sprung von „1“ am eingefügten Querkraftgelenk
• Biegemomente: Knick von “1“ am eingefügten Momentengelenk
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2) Zweck von Einflusslinien
Einfaches Erkennen von maßgebenden Verkehrslaststellungen zum Erhalt extremaler (maximaler oder minimaler) Werte von vorgegebenen Kraftgrößen an einer vorgegebenen Stelle („Messuhr“-Stelle).
3) Auswertung von Einflusslinien
Rasche Ermittlung der vorgegebenen extremalen Kraftgröße an der vorgegebenen Stelle für die maßgebende Verkehrslaststellung.
Alternativ kann für die gefundene maßgebende Verkehrslaststellung eine Schnittkraftermittlung durchgeführt werden.
∑ ∫ ⋅+⋅= dxxxqxFS SmiiSmim )()()(, ηη
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 82
3.7 Einflussflächen bei Plattentragwerken
Literatur [10], [21]
[10] Homberg, H.; Ropers, W.: Fahrbahnplatten mit veränderlicher Dicke, Band 1 und 2, Springer-Verlag 1965 und 1968.
XDO 106
[21] Pucher, A.: Einflussfelder elastischer Platten. 5. Auflage 1977. Springer-Verlag.
XCF 263
http://public.beuth-hochschule.de/~herrmann/fem_baukasten/ueberblick/bilder/platte_einflusslinie.gif
Bild 3-20: Einflussfläche für ein Plattentragwerk
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 83
4 Drehwinkelverfahren 4.1 Einführung
4.1.1 Steifigkeit – Systemsteifigkeit Querschnitts-Dehnsteifigkeit: EA
System-Dehnsteifigkeit: cF
Stütze
Bild 4-1: System-Dehnsteifigkeit
Querschnitts-Biegesteifigkeit: EI
System-Biegesteifigkeit: cM
Wirkliches System Ersatzsystem
Bild 4-2: System-Biegesteifigkeit
cF=?
F
∆
F
∆
ϕ ϕ
cM=?
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 84
4.1.2 Einführendes Beispiel
Bild 4-3: Eingespannter Rahmen
Gesucht sind:
a) Grad der statischen Unbestimmtheit
b) Qualitative Biegelinie
c) Qualitative Biegemomentenlinie
d) Anzahl der geometrischen Systemfreiheitsgrade
Bild 4-4: Eingespannter Rahmen – qualitative Biegelinie und Momentenlinie
EA = ∞
F
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 85
4.1.3 Idee und grundlegende Annahmen für das DWV Idee Schaffen eines geometrisch bestimmten Hauptsystems, das durch zusätzliche
Bindungen starr gemacht wird. Gleichungen für Stabendmomente infolge der gesuchten wirklichen
Verformungen aufstellen und Volleinspannmomente infolge der Belastungen am geometrisch bestimmten Hauptsystem berechnen.
Knotengleichgewicht und weitere Gleichgewichtsbedingungen liefern Gleichungssystem für unbekannte Stabendverformungen.
Einsetzen der Stabendverformungen in Gleichungen für Stabendmomente zusammen mit Festeinspannmomenten liefern Schnittgrößenverlauf.
Bild 4-5: Skizze zum Drehwinkelverfahren Entwicklung von Weggrößenverfahren durch F. Engesser (1848 – 1931) O. Mohr (1835 – 1918) L. Mann (1871 – 1959) A.S. Ostenfeld (1866 – 1931)
Annahmen für das Drehwinkelverfahren nach Mann Vernachlässigung von Schubverformungen
Vernachlässigung der Normalkraftverformungen ⇒ Stab ist dehnstarr Temperatur, Schwinden und Kriechen werden berücksichtigt
ψS
ϕ2
ϕ3
1
3 2
4
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 86
4.1.4 Statische und geometrische Unbestimmtheit Abzählkriterium zur Ermittlung der statischen Unbestimmtheit n = a + z – 3 p
a: Summe aller Auflagerreaktionen
z: Summe aller Zwischenreaktionen
p: Anzahl der Systemteile
Abzählkriterium zur Ermittlung der geometrischen Unbestimmtheit m = m1 + m2
m1 = Anzahl (innerer) Knotendrehwinkel (keine Endauflager)
m2 = Anzahl unabhängiger Stabdrehwinkel
Vorgehen zur Ermittlung der Stabdrehwinkel und der Kinematik (s.a. Kap. 1) 1. An jedem Knoten ein Gelenk einführen 2. Falls das System verschieblich ist, die Verschiebungsfigur zeichnen. Polplan zur
Hilfe nehmen! 3. Stabdrehwinkel an jedem Stab bezeichnen. 4. Kinematische Zusammenhänge zwischen den Stabdrehwinkeln herstellen.
Gemeinsame Verschiebung im Gelenk (Nebenpol) verwenden. 5. Abhängigkeiten (Kinematik) ermitteln.
Beispiele zur Ermittlung der statischen bzw. geometrischen Unbestimmtheit
a)
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b)
c)
d)
Bild 4-6: Beispiele zur geometrischen Unbestimmtheit
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4.1.5 Bezeichnungen, Vorzeichendefinitionen für das DWV Bild 4-7: Vorzeichendefinition für Biegemomente beim DWV Knotenmomente sind linksdrehend positiv Stabendmomente sind rechtsdrehend positiv
Mik = M (x=0) Mki = - M (x=ℓ)
Grundbeziehungen am dehnstarren Stab für das DWV Bild 4-8: Geometrische Größen beim DWV
ψ
ϕk
ϕi uk
wk
ui
ℓS
EΙS
k Mik
Mki
ψS
ϕk
ϕi
ℓS
EΙS
k i
wi
i
i k
s
iks
ki
lww
uu−
=
=
ψ
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 89
4.2 Herleitung der Grundgleichungen für Stabendmomente
4.2.1 Ausgangssituation und Lösungsansatz
Ausgangssituation: Belastete Stäbe (beidseitig oder einseitig eingespannt) in statisch unbestimmten Systemen
Gesucht: Schnittgrößen und Biegelinie
Unbekannte beim DWV sind:
Knotendrehwinkel ϕ
Stabdrehwinkel ψ
Geometrisch bestimmtes Hauptsystem
Bild 4-9: Zum DWV Lösungsansatz (an jedem Stab):
a) Starreinspannmomente / Festeinspannmomente infolge äußerer Belastung b) Beziehungen für die Momente infolge der unbekannten Verformungsgrößen c) Gleichgewichtsbedingungen:
an jedem Knoten Σ M = 0
Σ H = 0, Σ V = 0, bzw. Prinzip der virtuellen Arbeiten (PdvA) (Verschiebungsfigur)
d) Lösungen für die unbekannten Knotendrehwinkel und Stabdrehwinkel e) Einsetzen liefert endgültige Momente f) Gleichgewichtskontrollen durchführen
ψs
ϕk
lS
EIS k i
ϕi
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 90
4.2.2 Stabendmomente infolge von Knotenverdrehungen und -verschiebungen
Zusammenhang zwischen Kraftgrößen (M,V) und Verformungsgrößen (w, β)
)()()()()()()(
xqxVxMxVxMxqxV
−=′=′′=′−=′
∫ ⋅⋅= dAzzxxM ),()( σ
),(),( zxEzx εσ ⋅=
),('),( zxuzx =ε
zxwzxzxu ⋅−=⋅= )(')(),( β
zxwzxu ⋅−= )(''),('
zxwzx ⋅−= )(''),(ε
])(''[),( zxwEzx ⋅−⋅=σ
∫ ⋅⋅⋅−⋅= dAzzxwExM ])(''[)(
)()()()()(
)()()('')(
)('')('')( 2
xqxwEIxqxwEIxM
xwEIxMxwEIxM
xwEIdAzxwExM
=′′′′−=′′′′⋅−=′′
′′′⋅−=′⋅−=
⋅−=⋅⋅−= ∫
Für q(x) = 0 :
43
2
2
3
1
32
2
1
21
1
26)(
2)('
)()('')()(
0)(
CxCxCxCxEIw
CxCxCxEIw
xMCxCxEIwxVCxwEI
xwEI
+⋅+⋅+⋅=
+⋅+⋅=
−=+⋅=−==′′′
=′′′′
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Für die Betrachtung von wA ergibt sich:
AA wEICwEIwEIRBCwEIRB
⋅=⇒⋅=⋅=⇒=′⋅
4
3
)0(:200)0(:1
2
1
21
3
1
2
2
3
1
122
2
1
0226
026
0)(:4
20
20)(:3
C
C
wEIllClC
wEIlClClwEIRB
lCClClClwEIRB
A
A
⋅
=⋅+⋅
⋅−+⋅
=⋅+⋅+⋅==⋅
⋅−=⇒=⋅+⋅==′⋅
Für die Biegemomente ergibt sich:
=−=
==
=
=
=−⋅−=′′⋅−=
)(
)0(
)(
)0(
)()( 21
lMM
MM
lM
M
CxCxwEIxM
E
A
Für die Querkräfte ergibt sich:
==
=−=
=−=′′′⋅−=
)(
)0(
)()( 1
lVf
Vf
CxwEIxV
zE
zA
wA
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 92
Für die Betrachtung von wE ergibt sich:
00)0(:200)0(:1
4
3
=⇒=⋅=⇒=′⋅
CwEIRBCwEIRB
E
EE
E
E
wlEIlCC
wl
EICwEIlC
wEIllClC
lClCwEIlwEIRB
lCClClClwEIRB
⋅⋅
=⋅−=
⋅⋅
−=⇒⋅=
−⋅
⋅=⋅
⋅−+⋅
⋅+⋅=⋅=⋅
⋅−=⇒=⋅+⋅==′⋅
21
2
313
1
21
3
1
2
2
3
1
122
2
1
62
1241
61
226
26)(:4
20
20)(:3
Für die Biegemomente ergibt sich:
EE
EA
EEE
E
EE
wlEIlMM
wlEIMM
wlEIw
lEIlw
lEIlM
wlEIM
wlEIxw
lEICxCxwEIxM
⋅⋅
−=−=
⋅⋅
−==
⋅⋅
=⋅⋅
−⋅⋅⋅
=
⋅⋅
−=
⋅⋅
−⋅⋅⋅
=−⋅−=′′⋅−=
2
2
223
2
2321
6)(
6)0(
6612)(
6)0(
612)()(
Für die Querkräfte ergibt sich:
EzE
EzA
E
wl
EIlVf
wl
EIVf
wl
EICxwEIxV
⋅⋅
==
⋅⋅
−=−=
⋅⋅
=−=′′′⋅−=
3
3
31
12)(
12)0(
12)()(
wE
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 93
Für die Betrachtung von ϕA ergibt sich:
00)0(:2)0(:1
4
3
=⇒=⋅⋅=⇒⋅=′⋅
CwEIRBEICEIwEIRB AA ϕϕ
AAA
AAA
AA
A
AA
lEI
lEIl
lEIC
lEIClEIlEIlC
lEIll
EIlClC
lEIlClClwEIRB
lEIlCCEIlClClwEIRB
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
⋅⋅
−=⋅−⋅⋅⋅
−=
⋅⋅
=⇒⋅⋅+⋅⋅−
−⋅
=⋅⋅+⋅
⋅−⋅−+⋅
=⋅⋅+⋅+⋅==⋅
⋅−⋅−=⇒=⋅+⋅+⋅==′⋅
42
6
624
161
0226
026
0)(:4
20
20)(:3
22
213
1
21
3
1
2
2
3
1
122
2
1
Für die Biegemomente ergibt sich:
AE
AA
AAA
A
AA
lEIlMM
lEIMM
lEI
lEIl
lEIlM
lEIM
lEIx
lEICxCxwEIxM
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕ
⋅⋅
=−=
⋅⋅
==
⋅⋅
−=⋅⋅
+⋅⋅⋅
−=
⋅⋅
=
⋅⋅
+⋅⋅⋅
−=−⋅−=′′⋅−=
2)(
4)0(
246)(
4)0(
46)()(
2
221
Für die Querkräfte ergibt sich:
AzE
AzA
A
lEIlVf
lEIVf
lEICxwEIxV
ϕ
ϕ
ϕ
⋅⋅
−==
⋅⋅
=−=
⋅⋅
−=−=′′′⋅−=
2
2
21
6)(
6)0(
6)()(
ϕA
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 94
Für die Betrachtung von ϕE ergibt sich:
00)0(:200)0(:1
4
3
=⇒=⋅=⇒=′⋅
CwEIRBCwEIRB
EEE
EE
E
EE
lEI
lEIl
lEIC
lEIClEIlC
ll
EIlClC
lClClwEIRB
lEIlCClClCEIlwEIRB
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
⋅⋅
−=⋅+⋅⋅⋅
−=
⋅⋅
=⇒⋅⋅+
−⋅
=⋅
⋅+⋅−+⋅
=⋅+⋅==⋅
⋅+⋅−=⇒⋅+⋅=⋅=′⋅
22
6
624
161
0226
026
0)(:4
22)(:3
22
213
1
21
3
1
2
2
3
1
122
2
1
Für die Biegemomente ergibt sich:
EE
EA
EEE
E
EE
lEIlMM
lEIMM
lEI
lEIl
lEIlM
lEIM
lEIx
lEICxCxwEIxM
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕ
⋅⋅
=−=
⋅⋅
==
⋅⋅
−=⋅⋅
+⋅⋅⋅
−=
⋅⋅
=
⋅⋅
+⋅⋅⋅
−=−⋅−=′′⋅−=
4)(
2)0(
426)(
2)0(
26)()(
2
221
Für die Querkräfte ergibt sich:
EzE
EzA
E
lEIlVf
lEIVf
lEICxwEIxV
ϕ
ϕ
ϕ
⋅⋅
−==
⋅⋅
=−=
⋅⋅
−=−=′′′⋅−=
2
2
21
6)(
6)0(
6)()(
ϕE
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Zusammenfassend infolge von Knotensenkungen und –verdrehungen Bild 4-10: Einheitsverformungszustände am beidseitig eingespannten Stab und Stabendmomente Zusammenfassung:
ϕi = 1 ϕk = 1
wi = 1 wk = 1
( )
( )
( )siik
sikki
skiik
lEIM
lEIM
lEIM
ψϕ
ψϕϕ
ψϕϕ
−⋅=
⋅−⋅+⋅=
⋅−⋅+⋅=
3
5,15,04
5,15,04
iik lEIM ϕ⋅=
4iki l
EIM ϕ⋅=2
iik wlEIM ⋅= 2
6iki w
lEIM ⋅= 2
6kik w
lEIM ⋅−= 2
6kki w
lEIM ⋅−= 2
6
kik lEIM ϕ⋅=
2kki l
EIM ϕ⋅=4
⋅=lEIM ik
4
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4.2.3 Stabendmomente infolge äußerer Lasten (Festeinspannmomente) Tafel der Festeinspannmomente (Vorzeichen DWV)
Lastbild
0ikM 0
kiM
2
121
Sql− 2
121
Sql+ 2
81
Sql−
2
201
Silq− 2
301
Si lq+ 2
151
Silq−
2
301
Sk lq− 2
201
Sk lq+ 2
1207
Sk lq−
SFl2αβ−
SFlβα 2 SFl)1(
21 ββα +−
LM)( 232 ββ −− LM)( 232 αα −−
LM)31(21 2β−−
dTEI T
S∆
⋅−α
d
TEI TS
∆⋅α
d
TEI TS
∆⋅⋅−α5,1
ci
S
S
lEI ϕ4+ c
iS
S
lEI ϕ2+ c
iS
S
lEI ϕ3+
ck
S
S wl
EI26− c
kS
S wl
EI26− c
kS
S wl
EI23−
)26( +− β
S
S
lEI
)26( −αS
S
lEI
)3( β−S
S
lEI
26S
S
lEI
26S
S
lEI
23S
S
lEI
1
1
∆T
ML
F
qi
qk
q
EIS EIS
lS lS
ϕic
Wkc
β lS α lS
β lS α lS
d
β lS α lS
β lS α lS
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Vorzeichen der Festeinspannmomente
Vz Statik: rot / Vz DWV: blau
Bild 4-11: Vorzeichen der Festeinspannmomente bei Stützensenkung
wl
EIVzS
SDWV ⋅⋅⋅ 23
w w
w
w
w
w
w
w
w
w
wl
EIVzS
SDWV ⋅⋅⋅ 26
w
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 98
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Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
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4.2.4 Endgültige Stabendmomente
4.3 Aufstellen der Systemgleichungen
Systemgleichungen = Gleichgewichtsbedingungen m1 Knotengleichungen
an jedem Knoten i = 1 .. m1 : Σ Mik = 0
m2 Netzgleichungen für m2 unabhängige Stabdrehwinkel:
Gleichgewichtsbedingungen durch Prinzip der virtuellen Arbeiten (PdvA) Arbeit der äußeren Lasten und der Stabendmomente
Virtuelle Arbeiten der Stabendmomente + virtuelle Arbeiten der Einzelkräfte oder Teilresultierenden
_______________________________________________________________________________________________________
m = m1 + m2 Gleichungen für m unbekannte Verformungsgrößen
i
´s = Ιc / ΙS * S ( )
( )
( ) 0
0
0
3
5,15,04
5,15,04
iksic
ik
kisikc
ki
ikskic
ik
MlEIM
MlEIM
MlEIM
+−⋅′
=
+⋅−⋅+⋅′
=
+⋅−⋅+⋅′
=
ψϕ
ψϕϕ
ψϕϕ
2Ψ
1Ψ
( ) ( ))()(0 11* Ψ⋅Σ+ΨΨ⋅Σ== iiiik fFMA
F1
1f
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4.4 Rechengang beim DWV
1. Systemvereinfachungen durchführen (statisch bestimmte Teilsysteme „abtrennen“), falls möglich.
2. Einführung reduzierter Stablängen S
cSS EI
EIll =′ ,
falls unterschiedliche Steifigkeiten gegeben sind. 3. Bestimmung des Grades der geometrischen Unbestimmtheit m als
Summe der m1 unbestimmten Knotendrehwinkel ϕi und der m2 unabhängigen Stabdrehwinkel ψ. Falls m2 > 0: Kinematische Beziehungen zwischen den
Stabdrehwinkeln aufstellen. 4. Ermittlung der Starreinspannmomente (Festeinspannmomente)= Mik°
und Mki° infolge der gegebenen Einwirkungen mit den Tabellen in Abschnitt 3. Vorzeichenregelung: DWV!
5. Stabendmomente durch die geometrisch Unbekannten und Festeinspannmomente ausdrücken:
( ) 05,15,04 ikSkis
cik M
lEIM +−+
′= ψϕϕ
( ) 03 ikSis
cik M
lEIM +−′
= ψϕ
6. Aufstellen der Knotengleichungen für jeden verdrehbaren Knoten. Falls vorhanden. Mk nicht vergessen!
7. Fall m2>0: Den Mechanismus (Kinematische Kette) zeichnen und Netzgleichung mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Verrückungen (PdvV) aufstellen. Krag- und Lastmomente verrichten keine Arbeit; Krag-Querkräfte verrichten Arbeit!
8. Lösung des linearen Gleichungssystems aus Knoten- und Netzgleichungen.
9. Ermittlung der endgültigen Stabendmomente aus den Stabendmomentenbeziehungen (5.) und den in (8.) errechneten ϕi und ψS.
10. Rückübersetzen der in der DWV-Vorzeichenkonvention gewonnenen Stabendmomente in die klassische Vorzeichenkonvention (Statik).
11. Gleichgewichtskontrollen an charakteristischen Tragwerksteilen und am Gesamtsystem.
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4.5 Einführende Beispiele
4.5.1 Beispiel 1 Bild 4-12: Beispiel 1 zum DWV Bild 4-13: Beispiel 1 zum DWV – Ergebnisse Stab2D
2
31
1 4
3 2
h= 4 m
ℓ=8 m
HEB 400
F = 20 kN
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4.5.2 Beispiel 2 Bild 4-14: Beispiel 2 zum DWV
q = 12 kN/m
2
3
1
1 4
3 2
h= 6 m
ℓ=10 m
IPE 500
HEA 500 F = 20 kN MLast = 15 kNm
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4.5.3 Beispiel 3 Bild 4-15: Beispiel 3 zum DWV
w = 4 kN/m
2
3
1
1 4
3
2
6 m
2 m
IPE 500
HEA 500
F1 = 10 kN
1 m
2 m 2 m 6 m
w = 4 kN/m F2 = 10 kN
∆sv = 1cm
5 m
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4.5.4 Beispiel 4 Bild 4-16: Beispiel 4 zum DWV Stabendmomente M12 = M21 = M23 = M32 = M34 =
M43 =
q=1,125 kN/m
2
3
1
1 4
3 2
h=8
ℓ=12
System, Abmessungen EΙc = EΙ1 = 800 kNm2
EΙ2 = 4800 kNm2 h = 8 m; = 12 m
´ = Ιc / ΙS ⋅ = ⋅ (Ι1 / Ι2 )
h´ = Ιc / ΙS ⋅ h = h ⋅ (Ι1 / Ι1 ) = h q = 1,125 KN/m m = 2 + 1
q
Festeinspannmomente M340 = M430 =
1Ψ12 Ψ=Ψ
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Gleichungssystem EΙc ϕ2 EΙc ϕ3 EΙc ψ RS
Lösung EIc ϕ2 = - 3,92 ; EIc ϕ3 = 0,08 ; EIc ψ = - 12,96
ϕ2 = - 0,49 ⋅ 10-2 ; ϕ3 = 0,01 ⋅ 10-2 , ψ = - 1,62 ⋅ 10-2
M12 = = 8,74 kNm M21 = = 7,76 kNm; M21Statik = - 7,76 kNm M23 = = -7,76 kNm; M32 = = -3,76 kNm; M21Statik = + 3,76 kNm M34 = = 3,76 kNm
M43 = = 15,74 kNm; M21Statik = - 15,74 kNm Bild 4-17: Ergebnisse zum einführenden Beispiel
7,76 3,76
15,74 8,74
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4.6 Vorgegebene Auflagerverdrehung und -verschiebungen
4.6.1 Allgemeines Die vorgegebenen Auflagerverformungen ϕ10, c1v, c1h erzeugen Festeinspannmomente infolge von Knotendrehwinkeln ϕ0 und Stabdrehwinkeln ψ0 . Bild 4-18: Festeinspannmomente für Auflagerbewegungen
ψ10
c1h
c1v
c1v
ℓ
h
ϕ10
Auflagerverdrehung ϕ10
ψ20
2
1
3
1
2
Vertikale Auflagerverschiebung c1v
Horizontale Auflagerverschiebung c1h
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4.6.2 Vorgegebene Auflagerverschiebung im einführenden Beispiel Bild 4-19: Rahmenbeispiel mit Knotenverformung
Festeinspannmomente infolge c4h Knotengleichungen Netzgleichung
2
3
1
1 4
3 2
h =8
ℓ
c4h = 4 cm
1Ψ 12 Ψ=Ψ
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Gleichungssystem (Auflagerverschiebung c4h = 4cm)
EΙc ϕ2 EΙc ϕ3 EΙc ψ EΙc RS
0
Lösung ϕ2 = 0,125 ⋅ 10-2 ; ϕ3 = - 0,125 ⋅ 10-2 , ψ = 0,250 ⋅ 10-2
EΙc ϕ2 = 1,00 ; EΙc ϕ3 = -1,00 ; EΙc ψ = 2,00
M12 = = -1,25 kNm M21 = = -1,00 kNm; M21Statik = 1,00 kNm M23 = = 1,00 kNm M32 = = -1,00 kNm; M32 Statik = 1,00 kNm M34 = = 1,00 kNm
M43 = = 1,25 kNm; M43 Statik = -1,25 kNm Bild 4-20: Ergebnisse zum Rahmen mit Knotenverformung
4 cm 1,25 1,25
1,00 1,00
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4.7 Temperaturlastfälle Bild 4-21: Temperaturlastfälle TA : Aufstelltemperatur (manchmal: T0) TS : gleichmäßige Temperaturänderung (konstant über den Querschnitt, gemessen in der Schwerpunktachse) erzeugt Dehnung / Normalkraft bei Dehnbehinderung
∆ℓT = αT ⋅ Ts ⋅ ℓ To : gemessene Temperatur an der Konstruktionsoberseite Tu : gemessene Temperatur an der Konstruktionsunterseite
∆T = Tu – To; Temperaturgradient erzeugt Krümmungen und Biegemomente
4.7.1 Gleichmäßige Temperaturveränderung T Behandlung wie Stützensenkung
4.7.2 Ungleichmäßige Temperaturänderung ∆T über den Querschnitt
ψ10
κ∆T = d
TT ∆⋅α
Ts = const.
∆T = const.
2
1
3
To
Tu TA ∆T= Tu – To TS
TS = + d
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4.7.3 Gleichmäßige Temperaturänderung T im einführenden Beispiel Bild 4-22: Rahmenbeispiel mit Temperatur Ts
2
3
1
1 4
3 2
h
ℓ
Ts = 125° C
αT = 10-5 1/K
∆h =
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Gleichungssystem (T=const.)
EΙc ϕ2 EΙc ϕ3 EΙc ψ EΙc RS
0
Lösung ϕ2 = -0,08 ⋅ 10-2 ; ϕ3 = - 0,08 ⋅ 10-2 , ψ = - 0,04 ⋅ 10-2
M12 = = 0,08 kNm M21 = = - 0,08 kNm; M21Statik = 0,08 kNm M23 = = 0,08 kNm M32 = = 0,08 kNm; M32 Statik = -0,08 kNm M34 = = - 0,08 kNm
M43 = = 0,08 kNm; M43 Statik = -0,08 kNm Bild 4-23: Ergebnisse zum Rahmen mit Temperatur Ts
1cm
- 0,08 0,08
0,08
-0,08 0,32 cm
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4.7.4 Ungleichmäßige Temperaturänderung ∆T im einführenden Beispiel Bild 4-24: Rahmenbeispiel mit Temperaturgradient
d3 = 0,8 m d1 = 0,8 m
d2 = 1,6 m
∆T = 60 K
ℓ = 12 m
h = 8 m
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Gleichungssystem (∆T = const.)
EΙc ϕ2 EΙc ϕ3 EΙc ψ EΙc RS
Lösung ϕ2 = 0,1 ⋅ 10-2 ; ϕ3 = - 0,1 ⋅ 10-2 , ψ = 0
M12 = = - 0,40 kNm M21 = = 1,00 kNm; M21Statik = -1,00 kNm M23 = = -1,00 kNm M32 = = 1,00 kNm; M32 Statik = -1,00 kNm M34 = = - 1,00 kNm
M43 = = 0,40 kNm; M43 Statik = -0,40 kNm Bild 4-25: Ergebnisse zum Rahmen mit Temperaturgradient
- 0,40 -0,40
-1,00 -1,00
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4.8 Weitere Beispiele
4.8.1 Beispiel mit Federn Bild 4-26: Beispiel mit Federn
F
F
3 3 3
6EIcM =
6
3
F
216EIcF =F/2
6
3⋅F
6Ι
=EcM
216Ι
=EcF
1
2
3
45°
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Kinematik Bild 4-27: Federbeispiel - Kinematik Festeinspannmomente
FFlFM 375,086
282012 −=⋅−=⋅−=
FFlFM 375,086
282021 =⋅=⋅=
Stabendmomente
( ) Fl
EIM 375,05,15,04 2112 −−+⋅= ψϕϕ
( ) Fl
EIM 375,05,15,04 1221 +−+⋅= ψϕϕ
( )[ ]ψϕ ⋅−−⋅= 23 223 lEIM
Knotengleichungen Knoten 1
ψ2 = - 2 ψ
ψ1 = ψ
6 m 6 / 2
mEcM 6
Ι=
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Knoten 2 Netzgleichung Bild 4-28: Kinematik und virtuelle Arbeit
1Ψ
=Ψ2
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Gleichungssystem EΙ ϕ2 EΙ ϕ3 EΙ ψ RS
56 1
3 - 1 0,375 F
13 7
6 22 - 1
2,625 F
1 1 - 2
2 - 196 -7,5 F
Lösung EΙ ϕ1 = 4,376 F; EΙ ϕ2 = 1,987 F; EΙ ψ = 3,934 F
Stabendmomente
M12 = 46 (4,376 F + 0,5 ⋅1,987 ⋅F – 1,5 ⋅3,934⋅ F) – 0,375 F = - 0,729 F
M21 = 46 (1,987 F + 0,5 ⋅ 4,376 ⋅ F – 1,5 ⋅3,934⋅ F) + 0,375 F = - 0,776 F
M23 = 36 [1,987 F – (Fehler! Textmarke nicht definiert. E A⋅ 3,934 ⋅ F) ] = 3,776 F - 2
Bild 4-29: Ergebnisse zum Beispiel mit Federn
ψ2 = - 2 ψ
ψ1 = ψ
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4.8.2 Beispiel mit unterschiedlichen Steifigkeiten Bild 4-30: Beispiel mit unterschiedlichen Steifigkeiten Festeinspannmomente
=−=12
2012
qlM
==12
2021
qlM
=−=8
2023
qlM
6 m 6 m
3 EΙc
2 EΙc
3 EΙc
q = 3 KN/m
2 EΙc
2 EΙc 6 m
6 m
Bezogene Längen ℓ´ = (EΙc / EΙS )⋅ ℓ
ℓ1´ = (EΙc / 3 EΙc )⋅ 6 m = 2 m = ℓ2´
ℓ3´ = (EΙc / 2 EΙc )⋅ 6 m = 3 m
ℓ4´ = (EΙc / 2 EΙc ) ⋅ 2 ⋅6 m = 6 m m = 2 + 0
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Stabendmomente
M12 = 2
4 cEI ( ϕ1 + 0,5 ϕ2 – 1,5 ψ1 ) + M120 = EΙc ϕ2 – 9 kNm
M21 = 2
4 cEI ( ϕ2 + 0,5 ϕ1 – 1,5 ψ1 ) + M210 = 2 EΙc ϕ2 + 9 kNm
M23 = 2
3 cEI ( ϕ2 - 1,0 ψ2 ) + M230 = 1,5 EΙc ϕ2 – 13,5 kNm
M24 = 3
4 cEI ( ϕ2 + 0,5 ϕ4 – 1,5 ψ3 ) + M240 = 43 EΙc ϕ2 + 23 EΙc ϕ4
M42 = 3
4 cEI ( ϕ4 + 0,5 ϕ2 – 1,5 ψ3 ) + M420 = 43 EΙc ϕ4 + 23 EIc ϕ2
M45 = 6
4 cEI ( ϕ4 + 0,5 ϕ5 – 1,5 ψ4 ) + M450 = 23 EΙc ϕ4
M54 = 6
4 cEI ( ϕ5 + 0,5 ϕ4 – 1,5 ψ4 ) + M540 = 13 EΙc ϕ4
M46 = 6
3 cEI ( ϕ4 – ψ5 ) + M460 = 12 EΙc ϕ4
Knotengleichgewicht
M23
M24
M21 M21 + M23 + M24 = 0 296 EΙc ϕ2 + 23 EΙc ϕ4 = 4,5
M42 + M45 + M46 = 0 23 EΙc ϕ2 + 52 EΙc ϕ4 = 0
M45
M46
M42
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Stabendmomente M12 = M21 = M23 = M24 = M42 = M45 = M54 = M46 = Knotengleichgewicht
M23
M24
M21 M21 + M23 + M24 = 0
M42 + M45 + M46 = 0
M45
M46
M42
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Gleichungssystem EΙc ϕ2 EΙc ϕ4 RS
296 2
3 4,5
23 5
2 0
Lösung EΙc ϕ2 = 0,967 ; EIc ϕ4 = - 0,258
Stabendmomente M12 = EΙc ϕ2 – 9 kNm = 0,967 – 9 =
M21 = 2 EΙc ϕ2 + 9 kNm = 2 ⋅
M23 = 1,5 EΙc ϕ2 – 13,5 kNm =
M24 = 43 EIc ϕ2 + 23 EΙc ϕ4 =
M42 = 43 EΙc ϕ4 + 23 EΙc ϕ2 =
M45 = 23 EΙc ϕ4 =
M54 = 13 EΙc ϕ4 =
M46 = 12 EΙc ϕ4 =
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Weitere Verformungen Biegelinie
Bild 4-31: Beispiel mit unterschiedlichen Steifigkeiten: Momentenlinie und Verformungen
-8,033
EIc ϕ2 = 0,967 EIc ϕ4 = - 0,258
-10,934 -12,05
1,117
EIc ϕ3 = - 4,984 EIc ϕ5 = 0,129
-0,300
-0,13
0,17
-0,09
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4.8.3 Klausuraufgabe 1 Für das nachfolgend dargestellte statische System sind die Biegemomente nach dem Drehwinkelverfahren zu ermitteln und unter Angabe aller Extremwerte zeichnerisch darzustellen. Material für alle Stäbe: Stahl S 235. Bild 4-32: Klausuraufgabe 1: System, Belastung, Momentenlinie
Ι1 = 14320 cm4
w= 1 kN/m
F = 6 KN
4 m
1 m
0,5 m
6 m
2 m Ι2 = 91428 cm4
Vorgegebene Fundamentverdrehung: ϕc = 0,0001 (rad)
2 m
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4.8.4 Klausuraufgabe 2 Bild 4-33: Klausuraufgabe 2: System und Belastung Wärmedehnzahl: αt = 1,2 ∙10-5 1/K E-Modul: E = 210000 MN/m2
Trägheitsmoment: Ι = 57680 cm4
Steifigkeiten: EΙ = konst.; EA = ∞
EΙ =
Festeinspannmomente infolge der Einzellast:
M120 = - α ⋅β2 ⋅F ⋅ℓ =
M210 = α2 ⋅β⋅ F ⋅ℓ = infolge der Verkürzung
Gesamt
M120 = -40,81 kNm – 14,23 kNm = -55,04 kNm M210 = 102,04 kNm - 14,23 kNm = 87,80 kNm
5 m 2m
4 m T = -20 K
F = 100 kN
EΙ = const.
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Stabendmomente
M12 = 7
4EI ( ϕ1 + 0,5 ϕ2 – 1,5 ψ1 ) + M120 =
72EI
ϕ2 – 55,04 kNm
M21 = 7
4EI ( ϕ2 + 0,5 ϕ1 – 1,5 ψ1 ) + M210 =
74EI
ϕ2 + 87,80 kNm
M23 = 4
4EI ( ϕ2 + 0,5 ϕ3 – 1,5 ψ2 ) = EΙ ϕ2 +
2EI
ϕ3
M32 = 7
4EI ( ϕ3 + 0,5 ϕ2 – 1,5 ψ2 ) = EΙ ϕ3 +
2EI
ϕ2
M34 = 7
3EI ( ϕ3 – ψ3 ) = 37 EΙ ϕ3
Knotengleichungen
M23
M21
M34
M32
M21 + M23 = 0 117 EΙ ϕ2 + 12 EΙ ϕ3 = -87,80
M32 + M34 = 0 12 EΙ ϕ2 + 10
7 EΙ ϕ3 = 0
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Gleichungssystem EΙ ϕ2 EΙ ϕ3 RS 117 1
2 -87,80
12 10
7 0
Stabendmomente
M12 = 7
2EI ϕ2 – 55,04 kNm = 27 (- 62,87) – 55,04 = -73,00 kNm
M21 = 7
4EIϕ2 + 87,80 kNm = 47 (-62,87) + 87,80 = 51,87 kNm = -
M23 = EΙ ϕ2 + EI2 ϕ3 = -62,87 + 0,5 * 22 = -51,87 kNm
M32 = EΙ ϕ3 + EI2 ϕ2 = 22 +0,5 * (-62,87) = - 9,43 kNm = +
M34 = 37 EΙ ϕ3 = 37 22 = 9,43 kNm
Bild 4-34: Klausuraufgabe 2: Momentenlinie und Verformungen
Lösung: EΙ ϕ2 = - 62,87 EΙ ϕ3 = 22,00 ϕ2 = - 5,19 * 10-4 ϕ3 = 1,817 * 10-4
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4.8.5 Klausuraufgabe 3 Für das nachfolgend dargestellte statische System sind die Biegemomente infolge der beiden Einzellasten und der Temperaturlastfälle mit Hilfe des Drehwinkelverfahrens zu ermitteln. Der Verlauf der Biegemomente ist zeichnerisch darzustellen. Bild 4-35: Klausuraufgabe 3: System und Belastung
Für sämtliche Stäbe: E = 33.000 MN/m2 d/b = 60 cm / 100 cm Aufstelltemp.: T0 = 10° C Tu = 20° C, To = 50° C
αT = 1,0 ⋅ 10-5 1/K
2 m
F=100 kN
Tu
To
Tu
To
2 m
F=100 kN
1 m 1 m
3 m
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4.8.6 Klausuraufgabe 4 Bild 4-36: Klausuraufgabe 4: System und Belastung Festeinspannmomente
=−=12
2012
qlM
=−=12
2023
qlM
==12
2032
qlM
=−=8
024
FlM
==8
042
FlM
2m 2m 4 m
4 m F = 20 kN
q = 5 kN/m
EΙ = const. EA = ∞
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Kinematik Stabendmomente
M12 = 4
4EI ( ϕ1 + 0,5 ϕ2 – 1,5 ψ1 ) + M120 = 12 EΙ ϕ2 - 3
2 EΙ ψ1 – 203 kNm
M21 = 4
4EI ( ϕ2 + 0,5 ϕ1 – 1,5 ψ1 ) + M210 = EΙ ϕ2 -
32 EI ψ1 + 20
3 kNm
M23 = 4
4EI ( ϕ2 + 0,5 ϕ3 – 1,5 ψ2 ) + M230 = EΙ ϕ2 + 32 EΙ ψ1 – 20
3 kNm
M32 = 4
4EI ( ϕ3 + 0,5 ϕ2 – 1,5 ψ2 ) + M320 = 12 EΙ ϕ2 + 32 EΙ ψ1 + 20
3 kNm
M24 = 4
4EI ( ϕ2 + 0,5 ϕ4 – 1,5 ψ3 ) + M240 = EΙ ϕ2 - 10 kNm
M42 = 4
4EI ( ϕ4 + 0,5 ϕ2 – 1,5 ψ3 ) + M540 = 12 EΙ ϕ2 + 10 KNm
M24
M23
M21 + M23 + M24 = 0
EΙ ϕ2 = 103
M21
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Netzgleichung Lösung
EΙ ϕ2 = 103 ; EI ψ1 = 40
3 ; EΙ h = EI ψ1 * 4 = 53,33 KNm3
Stabendmomente
M12 = 12 EΙ ϕ2 - 32 EΙ ψ1 – 20
3 kNm = 12 10
3 - 32 40
3 – 203 = -25 kNm
M21 = EΙ ϕ2 - 32 EΙ ψ1 + 20
3 kNm = 103 - 3
2 403 + 20
3 = - 10 kNm = +
M23 = EΙ ϕ2 + 32 EΙ ψ1 – 203 kNm = 10
3 + 32 40
3 – 203 = 16,67 kNm
M32 = 12 EΙ ϕ2 + 32 EΙ ψ1 + 20
3 kNm = 12 10
3 + 32 40
3 + 203 = 28,33 kNm = -
M24 = EΙ ϕ2 - 10 kNm = 103 - 10 = - 6,67 kNm
M42 = 12 EΙ ϕ2 + 10 kNm = 12 10
3 + 10 = 11,67 kNm = -
2m 2m
F = 20KN
q = 5 kN/m
(M12+M21)⋅ - (M23 + M32) ⋅ 1Ψ + 2 ⋅ R ⋅ ∆h = 0 ∆h = 2m ⋅ ; R = R1 = R2 = 5 ⋅ 4 = 20 kN
1Ψ
12 Ψ−=Ψ
1Ψ
1Ψ
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Momentenlinie Qualitative Biegelinie Bild 4-37: Klausuraufgabe 4: Momentenlinie und Verformungen
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 133
4.8.7 Durchlaufträger Bild 4-38: Durchlaufträger: System und Belastung Festeinspannmomente
=021M
M230 =
M320 =
M340 =
Stabendmomente
M21 =
M23 =
M32 =
M34 =
2 m 2,5 2,5
q1 = 3 kN/m q2 = 4 kN/m ML = 6 kNm F = 2 kN
4 m 5 m
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 134
Knotengleichungen Gleichungssystem
EΙ ϕ2 EΙ ϕ3 RS 3120 2
5 -4,5
25 7
5 12
Stabendmomente
M21 = 4
3EIϕ2 + 6 kNm = 34 (-5,522) + 6 kNm = 1,86 kNm = -1,86 kNm
M23 = 5
4EIϕ2 +
52EI
ϕ3 – 32 kNm = 45 (-5,522) + 25 (10,149) – 3
2 kNm = -1,86 KNm
M32 = 5
2EIϕ2 +
54EI
ϕ3 – 32 kNm = 45 (10,149) + 25 (-5,522) – 3
2 kNm = 4,41 kNm =
M34 = 5
3EIϕ3 -
221
kNm = 35 (10,149) - 221
kNm = -4,41 kNm
Lösung EΙc ϕ2 = - 5,522 EΙc ϕ3 = 10,149
M21 + M23 = 0
M32 + M34 = 0
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 135
Momentenlinie
Qualitative Biegelinie
Bild 4-39: Durchlaufträger: Biegemomente und Verformungen
4,41 6,14
1,86 4,0
0,135
5,07
8,3
12,5 6,0
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4.9 Vergleich KGV – WGV
Kraftgrößenverfahren Weggrößenverfahren
Ausgangssystem
Grad der statischen Unbestimmtheit:
n= a + z – 3p = 3 + 3 – 3 ⋅ 1 = 3
Ausgangssystem
Grad der geom. Unbestimmtheit:
m= m1 + m2 = 2 + 1 = 3
Hauptsystem
Gleichgewicht am HS ist erfüllt.
Verformungsbedingungen sind verletzt.
Hauptsystem
Gleichgew.-bedingungen sind verletzt
Unbekannte
Statisch unbestimmte Schnittgrößen
Unbekannte
Geometrisch unbestimmte FÄ-Größen
Lösung: Kompatibilitätsbedingungen
δa = 0
δb = 0 ⇒ Statisch Unbestimmte
δm = 0
Lösung: Gleichgewichtsbedingungen
Σ Mc = 0
Σ Md = 0 ⇒ Geom. Unbestimmte
Σ H = 0
m
b a
δb δa
δm
Ma
Mm
Mb
Md Mc
H
ψS
ϕc
ϕd
c m d
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5 Grundlagen Matrizenrechnung 5.1 Motivation aus dem Kraftgrößenverfahren
Lineares, inhomogenes Gleichungssystem
X1 ⋅ δ11 + X2 ⋅ δ12 + ... Xn ⋅ δ1n = - δ10 X1 ⋅ δ21 + X2 ⋅ δ22 + ... Xn ⋅ δ2n = - δ20 .
X1 ⋅ δn1 + X2 ⋅ δn2+ ... Xn ⋅ δnn = - δn0 Matrizenschreibweise
nnnknn
iiik
n
nki
δδδδδδ
δδδδδδδ
21
22221
11211
n
i
XXXX
2
1
= -
0
0
20
10
n
i
δδδδ
δ ⋅ X = - δ0 Delta-Matrix * Unbekanntenvektor = - Lastverschiebungsvektor (rechte Seite)
Lösung: X = [ δ-1] ⋅ [- δ0]
5.2 Vektoren und Matrizen
5.2.1 Einführung Beispiele für Vektoren
X =
mX
XXX
...
3
2
1
; u(e) =
2
2
2
1
1
1
ϕ
ϕ
wu
wu
; S(e) =
2
2
2
1
1
1
MVNMVN
F(e) =
3
2
1
1
2
1
FMMqlFF
L
L
Element- Element- Element- Unbekanntenvektor Verschiebungsvektor Schnittkraftvektor Lastvektor
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 138
Definition einer Matrix Ein (n*m)Matrix ist eine Anordnung von Zahlen in n Spalten und m Zeilen.
),(
..
..
mnmnmm
ik
ki
n
n
aaa
aa
aaaaaaa
21
2232221
11211
= A(n,m)
Arten von Matrizen
Bezeichnung
Eigenschaften Rechteckmatrix
Anzahl der Spalten n ≠ Anzahl der Zeilen m Quadratmatrix
Anzahl der Spalten n = Anzahl der Zeilen m
Symmetrische Matrix
Quadratmatrix, bei der die Elemente an der Diagonalen gespiegelt werden, so dass gilt: aik = aki und A = AT
Diagonalmatrix
nnaa
aa
000000000000
33
22
11
Quadratmatrix, bei der nur die Diagonalterme besetzt sind:
aik = 0 für i ≠ k
Einheitsmatrix
1
1000010000100001
=
Diagonalmatrix, bei der alle Diagonalelemente 1 sind: aik = 1 für i = k
aik = 0 für i ≠ k
Nullmatrix
Alle Elemente sind Null: aik = 0 für alle i, k.
Transponierte Matrix
AT entsteht durch Vertauschen der Spalten und Zeilen der Ausgangsmatrix A.
Es gilt: (A ⋅ B )T = BT ⋅ AT und (AT)T = A
Tabelle aus [16] H. Werkle: Finite Elemente in der Baustatik
m Zeilen
n Spalten
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5.2.2 Rechenregeln für Matrizen Addition und Subtraktion (nur bei Matrizen gleicher Ordnung)
A + B = C, mit cij = aij + bij A + B = B + A (Kommutativgesetz) A + (B + C) = (A + B) + C (Assoziativgesetz)
Multiplikation mit einer Konstanten c ⋅ A = B, mit bij = c ⋅ aij
Multiplikation mit einem Vektor
A(n*m) ⋅ vm = wm, mit wi = ∑=
⋅m
kkik va
1
Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor ist nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der Matrix gleich der Zeilenanzahl des Vektors ist.
3
2
1
vvv
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
Multiplikation von 2 Matrizen
A(n,m) ⋅ B(l,n) ≠ B ⋅ A (Kommutativgesetz gilt nicht !) Die Multiplikation zweier Matrizen ist nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenanzahl der zweiten Matrix ist.
A(n*m) ⋅ B(l*n) = Cm*l, mit cij = ∑=
⋅m
kkjik ba
1
4241
3231
2221
1211
bbbbbbbb
24232221
14131211
aaaaaaaa
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 140
5.2.3 Übungsaufgaben Es ist das Produkt w = A ⋅ v zu berechnen
=
176438352
A ;
=
51210
v
Gesucht sind AT und BT
=
532821053
A ;
=
543223
B
Es sind die Produkte (A ⋅ B)T sowie BT ⋅ AT zu bilden.
−−
−=
84163754
1423A ;
−
−−
=
22564123
B
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 141
6 Finite-Element-Methoden (FEM) 6.1 Einführung
6.1.1 Geschichtliche Entwicklung Mathematische Grundlagen (Infinitesimalrechnung)
• Isaac Newton (1642 – 1727)
• Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
• Leonard Euler (1707 – 1783)
Mechanische Grundlagen
• Galileo Galilei (1564 – 1642)
• Jakob Bernoulli (1655 - 1705)
• Leonard Euler (1707 – 1783)
• Pierre-Simon Laplace (1749 – 1827)
• Sophie Germain (1776 – 1831)
• Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887)
• Stepan Tymoschenko (1878 – 197
• Raymond David Mindlin (1906 – 1987)
• Eric Reissner (1913 – 1996)
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 142
Grafische Statik
• Pierre Varignon (1654 – 1722)
• Karl Culmann (1821 – 1881)
• Antonio Luigi Gaudenzio Giuseppe Cremona (1830 – 1903)
• Christian Otto Mohr (1835 – 1918)
• Karl Wilhelm Ritter (1847 – 1906)
Entwicklung von Variationsrechnung und Näherungsverfahren zur numerischen Lösung kontinuierlicher Probleme
• Leonard Euler (1707 – 1783)
• Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813)
• John William Strutt, 3. Baron Rayleigh (1842 – 1919)
• Boris Galerkin ( 1871 - 1945)
• Walter Ritz ( 1878 – 1909 )
Computerentwicklung
• Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
• Konrad Zuse (1910 – 1995)
Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 143
Baustatische Verfahren
• Claude Louis Marie Henri Navier (1785 – 1836)
• Benoit Paul Emile Clapeyron (1799 – 1864)
• James Clerk Maxwell (1831 – 1879)
• Carlo Alberto Castigliano (1847 – 1884)
• Heinrich Franz Bernhard Müller-Breslau (1851 – 1925)
• Asker Skovgaard Ostenfeld (1866 – 1931)
Finite Elemente
• Richard Courant (1888 – 1972)
• Ray William Clough (geb. 1920)
• M. Jonatan Turner
• John Argyris (1913 – 2004)
• Olgierd Zienkiewicz (1921 – 2009)
• J. Tinsley Oden (geb 1936)
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 144
6.1.2 Grundsätzliche Zusammenhänge
Innere Weggrößen
Verzerrungen ux ′=)(ε
Gleitungen Vwx ′=)(γ
Krümmungen wxx ′′=′−= )()( βκ
Verdrillungen )()( xx ϑχ ′=
Äußere Weggrößen Verschiebungen
Verdrehungen
Innere Kraftgrößen Normalkräfte N
Querkräfte Vy, Vz
Biegemomente My, Mz
Torsionsmoment MT
Äußere Kraftgrößen
Lasten F (kN), q )(m
kN, p )( 2m
kN
Lastmomente ML
Kraftgrößen Weggrößen
Gleichgewicht
Spannungen
Kinematik (Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung)
Werkstoffgesetz
Zusammenfassung
∫
∫
⋅=⇒⋅⋅=
=⇒⋅=
zI
MdAzM
ANdAN
σσ
σσ
wzzzx
udxdux
′′⋅−=′⋅=
′==
βε
ε
),(
)(
)()()()()()(
xVxMxqxVxnxN
z
x
=′−=′−=′
wEIqMundwEIMuEAnNunduEAN x
′′′′⋅−=−=′′′′⋅−=
′′⋅=−=′′⋅=
)()(),(),(
xGxzxEzx
γτεσ
⋅=⋅=
wvu ,,zyx βββ ,,
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 145
6.1.3 Kontinuierliches Problem – Diskretes Problem
Fachwerk Biegebalken
)()( xnxuEA −=′′⋅
)()( xqxwEI =′′′′⋅
)()()()(
xEAxNxuEAxN
ε⋅=
′⋅= )()(
)()(xEIxMxEIxM
κβ
⋅=
′⋅=
Kraftgröße = Steifigkeit * Verformungsgröße
Diskretisierung = Finite Element Methode
Einführung diskreter Verformungen am Anfang/ am Ende eines Elementes oder in den Eckknoten
Dazwischen: Annahme einer Interpolationsfunktion (linear oder quadratisch)
luux
xl
uuuxu
aeel
elae
ael
−=
⋅−
+=
)(
)(
ε )()(
),()( 2
elel
elelel
xxxxx
κκββ
==
Die Lasten werden ausschließlich in den FE-Knoten eingeleitet
Es gilt:
FKU
UKF
1 ⋅=
⋅=
−
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 146
6.1.4 Grundlagen der Modellierung
Bild 6-1: Die Finite-Element-Welt
Die Geometrie einer Struktur ist gekennzeichnet durch Koordinaten von Punkten, Parametrische Linien mit Hilfe von Punkten und „Stützpunkten“, Parametrische Flächen mit Hilfe von Punkten, Randlinien, weiteren Stützpunkten. Technologiedaten Den geometrischen Bestandteilen des Stabwerkmodelles werden zugeordnet
Materialparameter, Querschnittswerte, Belastung und Lagerbedingungen. Diskretisierung Unterteilung von Linienzügen in gerade Stabelemente mit Anfangs- und Endknoten Unterteilung von Flächen in Dreiecks- oder Viereckelemente mit Randlinien und
Eckknoten Topologie (Zusammenhangsinformation, Koinzidenz) Belastung in den Knoten (Lastvektor)
Geometrie
Diskretisierung
Technologie
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 147
6.1.5 Wichtige Begriffe
• Formänderungsgrößenmethode (deformation method)
• Diskretisierung (discretization)
• Netzdichte (mesh density)
• Ansatzfunktionen (shape functions)
• Topologie
• Freiheitsgrad(e) (degree(s) of freedom)
• Lastvektor (load vector)
• Steifigkeitsmatrix (stiffness matrix)
• Gleichungssystemlöser (solver)
• Approximation
• Konvergenz
• Singularität
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 148
6.1.6 Die FEM als Näherungsverfahren (für Flächentragwerke) Bild 6-2: Die Finite-Element-Methode als Näherungsverfahren
Verformungsgröße
Koordinate
Exakte Verformungsfunktion
Angenäherte Verformungsfunktion mit linearen Ansätzen (FEM)
Koordinate
Verformungsgröße
Koordinate
Abgeleitete Verformungsgröße (Verzerrungsmaß)
Tatsächlicher Spannungsverlauf
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 149
6.1.7 Arten von Finiten Elementen
Fachwerkelement
2D-Balkenelement Träger Durchlaufträger Rahmentragwerke
3D-Balkenelement
Raumfachwerke Trägerroste senkrecht zur Ebene belastete Systeme
Scheibenelement Wandscheiben Wandartige Träger
Plattenelement Deckenplatten Fahrbahnplatten
Bild 6-3: Finite Stab- und Flächenelemente
w
ϕy
u
v
ϕy ϕz
u ϕx
u
u
w
v
ϕy
ϕx
w
1
1
1
1
1
2
3
2
4
3 4
2
2
2
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 150
Faltwerkelement (Scheibe + Platte) Widerlager Faltwerke
Schalenelemente Gekrümmte Flächentragwerke
3D-Kontinuums-Element Erfassung dreidimensionaler Spannungszustände z.B. Salzstöcke
Bild 6-4: Finite Faltwerk-, Schalen- und 3D-Elemente
ϕz
ϕx
v
ϕy
ϕz
u
w
ϕy
ϕx
w v
u
w
v
u
ϕz
1
4
3
2
4
3
2
1
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 151
6.2 Fachwerkelement
6.2.1 Grundgleichungen Gleichgewicht Spannung Werkstoffgesetz Verzerrungs-Verschiebungsbeziehung
)()( xnxN −=′
AxNxx)()( =σ
)()( xEx xx εσ ⋅=
)()()( xudx
xduxx ′==ε
)()()()()()()()( 1 xuEAxNxExxudx
xduxFcxu xxx ′⋅=→⋅=→′==→⋅= − εσε
)()()()(
)()()(
xnxuEAxuEAxN
xEAxNx xx
−=′′⋅
′⋅=
⋅== εσ
=
=⇒=′
⋅⋅
=∆
∫)(
)()()()()(
lu
dxEA
xNluEA
xNxu
AElFl
l
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 152
6.2.2 Modellbildung mit Feder
Ausgangslage
Verformte Situation
c
EA
u(ℓ) =∆ℓ
F
ℓ
(1) Verformungen infolge der Belastung berechnen
AElFlul
⋅⋅
==∆ )(
oder mit dem linearen Federgesetz
FcuucF⋅=
⋅=−1
Bei mehreren Freiheitsgraden
FKUUKF1 ⋅=
⋅=−
(2) Dehnung
AE
AEFEM
xxuu
xu
−−
=∆∆
=ε
(3) Spannung
FEMFEM E εσ ⋅=
(4) Schnittkraft
)( AE
AE
AE
FEMFEM
uul
EAxxuuEA
EAN
−=
−−
⋅=
⋅= ε
F
uE uA
N N
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 153
6.2.3 Beziehung zwischen Verschiebung und Kraft Bild 6-5: Verformungen am Fachwerkstab
⋅
−
−⋅=
E
a
E
A
uu
lEA
ff
1111
; k =
−
−⋅
1111
lEA
(Elementsteifigkeitsmatrix im lokalen KOS)
f = k ⋅ u
uA
A E
N
ue
∆ℓ
fe
fa
N
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 154
6.2.4 Transformationen
Lokales KOS x,y auf Stabachse bezogen Verschiebungen: u,v lokale Kräfte f (Schnittkräfte) lokale Steifigkeitsmatrix k In diesem KOS werden am Ende der Berechnung die Schnittkräfte ausgerechnet
Globales KOS Festes Koordinatensystem X,Y Verschiebungen: U,V am Element Ue und als Gesamtverschiebungsvektor U Elementsteifigkeitsmatrix Ke und Gesamtsteifigkeitsmatrix K
Bild 6-6: Verformungen am schrägen Fachwerkstab - Transformation
)( eE
E
A
A
VUVU
)( eE
A
uu
=
αα
ααsincos00
00sincos
ue = T ⋅ Ue
Y
x
uA
uE
VE
UE
UA X
A
E
VA
uA = UA ⋅ cos α + VA ⋅ sin α uE = UE ⋅ cos α + VE ⋅ sin α
=
αααα
sincos0000sincos
T
Transformationsmatrix
)( eE
E
A
A
VUVU
=eU
Elementverschiebungsvektor
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 155
Transformation der Kräfte am Element
Bild 6-7: Kräfte am Fachwerkstab - Transformation
)(eE
A
ff
)( eEy
Ex
Ay
Ax
FFFF
=
αα
αα
sin0cos0
0sin0cos
⋅
Fe = TT ⋅ fe
x
fE
FEx
X
A
E
Y
FAx = fA ⋅ cos α FAy = fA ⋅ sin α FEx = fE ⋅ cos α FEy = fE ⋅ sin α
FEy
fA
FAx
FAy
=
αα
αα
sin0cos0
0sin0cos
TT
Transformationsmatrix, transpon.
)( eEy
Ex
Ay
Ax
FFFF
=eF
Elementlastvektor
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 156
6.2.5 Die Elementsteifigkeitsmatrix Transformation der Steifigkeitsbeziehung
Fe = TT ⋅ f; f = k ⋅ ue
Fe = TT ⋅ ( k ⋅ ue ); ue = T ⋅ Ue
Fe = TT ⋅ { k ⋅ ( T ⋅ Ue) } Fe = TT⋅ k ⋅ T ⋅ Ue Fe = Ke ⋅ Ue ; Ke = TT⋅ k ⋅ T ( Elementsteifigkeitsmatrix) Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrix im globalen KOS
=
αααα
sincos0000sincos
T ;
−
−⋅=⋅
1111
lEATk
=⋅⋅
αα
αα
sin0cos0
0sin0cos
TkTT
)()(22
22
22
22
)()(
)( elE
E
A
A
el
lel
elEy
Ex
Ay
Ax
VUVU
sscsscsccsccsscsscsccscc
lAE
FFFF
−−−−
−−−−
=
Fe = Ke ⋅ Ue c2 = cos2 α; s2 = sin2 α; sc = sin α ⋅ cos α
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6.2.6 Zusammenbau zur Gesamtsteifigkeitsmatrix
Einführendes Beispiel Bild 6-8: Einführendes Beispiel Für einen möglichst einfachen Berechnungsablauf:
(1) Der freie Knoten erhält die Nr. 1. (2) (3)
Koinzidenztabelle Stab Nr. 1 2
Lokal
Global
E = 10.000 MN/m2 A = 100 cm2 EA =
X 2
1
Y
3
1
V = 20 KN
H = 10 kN
2
4 4
4
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Gewünschte Form am Gesamtsystem mit allen Kräften und Verschiebungen:
Lastvektor = Gesamtsteifigkeitsmatrix * Verschiebungsvektor
F = K ⋅ U F : Lastvektor K: Gesamt-Steifigkeitsmatrix im globalen System U: Globaler Verschiebungsvektor
Bild 6-9: Schema der Gesamt-Steifigkeitsmatrix
⋅
=
3
3
2
2
1
1
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
3
3
2
2
1
1
VUVUVU
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
FFFFFF
y
x
y
x
y
x
Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 159
Elementsteifigkeitsmatrizen im globalen System
=
−−−−
=
=
1
)1()1(2
2
22
22
1
1
2
2
1
1
)1(
; K
eE
E
A
A
ey
x
y
x
eEy
Ex
Ay
Ax
VUVU
ssccsscssccscc
lEA
FFFF
FFFF
⋅
=⋅
3
3
2
2
1
1
1 ............................................................
..............................
~
VUVUVU
UK
=
−−−−
=
=
2
)2()2(2
2
22
22
2
2
3
3
1
1
)2(
; K
eE
E
A
A
ey
x
y
x
eEy
Ex
Ay
Ax
VUVU
ssccsscssccscc
lEA
FFFF
FFFF
⋅
=⋅
3
3
2
2
1
1
2
....................
....................
..............................
....................
~
VUVUVU
UK
Stab 1
Stab 2
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 160
Zusammenbau zur Gesamtsteifigkeitsmatrix 21 KKK ~~ +=
⋅
=
3
3
2
2
1
1
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
3
3
2
2
1
1
VUVUVU
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
FFFFFF
y
x
y
x
y
x
Zahlen
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 161
6.2.7 Lösung des Gleichungssystems Fa = Kaa ⋅ Ua + Kab ⋅ Ub Ub: vorgegebene Lagerbewegungen, meistens Null (Festhaltungen)
Dann gilt: Fa = Kaa ⋅ Ua Lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten Ua Lösung Einsetzmethode Kramersche Regel Gauß-Algorithmus
Ua = Kaa-1 ⋅ [ Fa – Kab ⋅ Ub ]
Für 2 Unbekannte gilt:
−
−⋅=−
1121
12221
det1
KKKK
Kaa
aaK
Zahlen
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 162
6.2.8 Rückrechnung a) Lagerreaktionen
bbbaabb UKUKF ⋅+⋅= T
wenn Ub = 0 aabb UKF ⋅=⇒ T
−=
++++
=
−
⋅
−−
−−−−
=
=
=
151555
.........................................
.........................................
.................................................................................
00113,0000565,0
.......................................................................
3
3
2
2
b
BBA
A
FFFF
H
H
y
x
y
x
F
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 163
b) Stabkräfte
f(e) = k ⋅ u(e); u(e) = T ⋅ U(e) ⇒ f(e) = k ⋅ T ⋅ U(e)
u(e) = T ⋅ U(e) ;
=
αααα
sincos0000sincos
T
Element 1: α = °;
Verschiebungen bezogen auf das lokale Element-KOS: u(e) = T ⋅ U(e)
=
=
−
⋅
−−
−−=
=
00004,0
......................................
......................................
00
00113,0000565,0
22
2200
0022
22
)1(2
11 u
uu
Elementschnittkräfte: f(e) = k ⋅ T ⋅ U(e)
)()(1111
eE
A
eE
A
uu
lEA
ff
⋅
−
−⋅=
⋅−⋅
=
=
⋅
−
−=
=
2525
.......................................................
00004,0
1111
)1(2
11 l
EAff
f
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 164
Element 2: α = 315°;
Verschiebungen bezogen auf das lokale Element-KOS: u(e) = T ⋅ U(e)
=
=
⋅
−
−=
=
00012,0
...........................................................................
.................
.................
...................................
22
2200
0022
22
)2(3
1
2 uu
u
Elementschnittkräfte: f(e) = k ⋅ T ⋅ U(e)
⋅−⋅
=
=
⋅
−
−=
=
215215
.............................................................
00012,0
....................
....................
)2(3
12 f
ff
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 165
Zusammenfassung
Bild 6-10: Ergebnisse des einführenden Beispiels
1. Regeln für die Knotenummerierung und Stabdefinition beachten! a) b) c)
2. Elementsteifigkeitsmatrizen aufstellen
X
1
Y
1
V = 20 kN
H = 10 kN
2
4 4
4
2
3
)1()1(2
2
22
22
1
1
2
2
1
1
)1( eE
E
A
A
ey
x
y
x
eEy
Ex
Ay
Ax
VUVU
ssccsscssccscc
lEA
FFFF
FFFF
−−−−
=
=
Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 166
3. Zusammenbau
4. Berechnung von Ua (Lösung des Gleichungssystems Kaa⋅Ua = Fa)
Fa = Kaa ⋅ Ua + Kab ⋅ Ub
5. Berechnung der Auflagerkräfte
bbbaabb UKUKF ⋅+⋅= T
6. Berechnung der Stabkräfte
f(e) = k ⋅ u(e); u(e) = T ⋅ U(e) ⇒ f(e) = k ⋅ T ⋅ U(e)
⋅
−−−−
−−−−
−−−−−−
=
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
883988390088398839883988390088398839008839883988398839008839883988398839
88398839883988391767808839883988398839017678
VUVUVU
FFFFFF
y
x
y
x
y
x
−−−−−−
−−
−−−−
−−−−
883988398839883988398839883988398839883988398839
8839883988398839
8839883988398839883988398839883988398839883988398839883988398839
−
⋅
−−
−−−−
=
00113,0000565,0
88398839883988398839883988398839
3
3
2
2
y
x
y
x
FFFF
⋅
=
−
=
1
1
2
2
176680017668
2010
VU
FF
y
x
Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 167
6.3 Ablauf einer FE-Berechnung Bild 6-11: Ablauf einer FE-Berechnung
Schritt 1: Eingabe Geometrie des Tragwerks; Werkstoffe, Querschnittswerte und Koinzidenztabelle der Elemente; Randbedingungen
Schritt 2: Elementsteifigkeitsmatrizen
a) Aufstellen der Elementsteifigkeitsmatrizen (6.2.3) b) Transformation auf globale Koordinaten (6.2.5)
Schritt 3 „Aufbohren“ und
Zusammenbau zur Gesamtsteifigkeitsmatrix (6.2.6)
Schritt 4: Berücksichtigung der Randbedingungen Ua: unbekannte Verschiebungen / Fa : äußere Lasten Ub: bekannte Verschiebungen (Lager) / Fb : unb.Lagerkräfte
Schritt 5: Lösung des Gleichungssystems Ua = Kaa-1 ⋅ [ Fa – Kab ⋅ Ub ]
Schritt 6: Rückrechnung a) Lagerreaktionen: Fb = KabT ⋅ Ua + Kbb ⋅ Ub b) Schnittgrößen: f(e) = k ⋅ T ⋅ U(e)
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 168
6.4 Weitere Beispiele
6.4.1 Beispiel 1 Bild 6-12: Beispiel 1
Baustoff: Stahl: 22210000mkN
mmNE .......................==
Rohr: ø 60,3 / 2,9 A=5,23 cm2 = m² Stab(1) :ℓ1= 2 m , α1 = 0°, E1 = E , A1 = A
Stab(2): ℓ2= 2 ∙ 2 m, α2 = 45°, E2 = E , A2 = A Koinzidenztabelle der Elemente Element - Nr. (1) (2)
Lokal
Global
U3
V3
2
21kNF =
(2)
°45
(1)1 3
2
V1
U1
U2
V2
Y
X
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 169
Randbedingungen Klasse a
unbekannte Verschiebungen :
=
1
1
VU
aU
bekannte Kräfte :
=
=
....
....F
1
1
a
y
x
FF
Klasse b
bekannte Verschiebungen :
=
=
0000
3
3
2
2
VUVU
bU
unbekannte Kräfte :
=
y
x
y
x
FFFF
3
3
2
2
bF
Schritt 2: Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen im globalen
Koordinatensystem
[ ]
)(
2
2
22
22
)(
)()(
e
e
ee
ssccsscssccscc
lEA
K
−−−−
=
Element (1): 28
1 101,2mkNE ⋅= ; A1= 5,23 ∙10-4 m² ; 1 = 2 m ; α1 = 0°
⇒ s = 0 ; s² = 0 ; c = 1 ; c² = 1 ; sc = 0
Vorwert : β=⋅==mkN
lEA 4
1
1 1049,5
[ ]
)1(
)1(
000......0...............
.......................................................
e
K
=
Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 170
Element (2): 28
2 101,2mkNE ⋅= ; A2 = 5,23 ∙10-4 m² ; ml 222 ⋅= ; α2 = 45°
⇒ ; s2=0,5 ; mc22
= ; c² = 0,5 ; sc = 0,5
Vorwert : =⋅
⋅⋅⋅=
−
221023,5101,2 48
2
2
lEA
Schritt 3 : Zusammenbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix (e) ij(e) AB KK =~ ⇒ siehe Koinzidenztabelle
=
00000..........0..........
00000..........0........
~1K
=.................................................................................................................................................................
~2K
22
=s
[ ]
)2(
)2(
....................................
.............................................................................................................
e
K
−−−−
−−−−
=
Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 171
Gesamtsteifigkeitsmatrix
=
+=
0000000..........000..........00........................................00........................................00........................................0..................................................
~~
K
KKK 21
Schritt 4 : Einführung der Randbedingungen
⋅
=
=
=
3
3
2
2
1
1
V U VU
3
3
2
2
1
1
a
332211
VUVUVU
FFFFFF
VU
y
x
y
x
F
y
x
bb
T
ab
abaa
bKK
KK
F
F
=
....................
....................aaK
−=
00....................022..............................
abK
=
000..........
....................
....................
TabK
=
00000..........0000....................00....................
bbK
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 172
Schritt 5: Lösung des Gleichungssystems babaaaa UKUKF ⋅+⋅= ; Ub=0
a
1
aaa FKU ⋅= −;
−
=1
0aF
mVmU
51
51
10993,6108215,1
−
−
⋅−=
⋅==
Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 173
Schritt 6: Rückrechnung 6a) Lagerreaktionen
bbbaabb UKUKF ⋅+⋅= T
−
=............
............aU
Kontrolle :
01010:0 132
=−+
=++=∑ ↑ yyy FFFV
0110
0:0 321
=−+=++=∑
→
xxx FFFH
−−−−−
=
000...........
......................
......................
abTK
−−−
=⋅=
=
0.................................
aab
3
3
2
2
b UKF T
y
x
y
x
FFFF
01
11
3
3
2
2
=−=
===
y
x
y
x
FFFF
Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 174
6b) Berechnung der Schnittgrößen: f(e) = k ⋅ T ⋅ U(e ) ; Element 1: α1 = 0°
⋅
−
−=⋅=
0................
..........................................
1ukf (1)(1)
=
−
=
...........
..........
)1(2
1
eff
=
scsc00
00(e)T
−
=
=
00
......................
3
3
1
1
(1)
VUVU
U
=
01000001
(1)T
=⋅
........
.....................1(1) UT
Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 175
Element 2 : α1 = 45° Berechnung der Schnittgrößen: f(e) = k ⋅ T ⋅ U(e ) ;
)( 2(2)(2) UTu ⋅=
−⋅
−
−=⋅=
.......................
............................................
2(2)(2) ukf
=
....................................
2
1
ff
kNf
kNf
41,12
41,12
2
1
==
−=−=
−
=
=
00
........................
2
2
1
1
(2)
VUVU
U
=
=11000011
22
22
2200
0022
22
(2)T
=
scsc00
00(e)T
Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 176
6.4.2 Beispiel 2 Bild 6-13: Beispiel 2
Baustoff: Holz: 2210000mkN
mmNE ..................==
b/h = 10 / 20 cm A = m2 Stab(1) : ℓ1= …….. m , α1 = ……. , E1 = E , A1 = A
Stab(2): ℓ2= ……… m, α2 = ……., E2 = E , A2 = A Koinzidenztabelle der Elemente Element - Nr. (1) (2) Lokal Global
V2
U3
V1
V3
U1
U2
(2)
(1) 1
3
2
0,3
0,3 0,4
kNF 20=
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 177
Randbedingungen Klasse a
unbekannte Verschiebungen :
=
1
1
VU
aU
bekannte Kräfte :
−
=
=
200
1
1
y
x
FF
aF
Klasse b
bekannte Verschiebungen :
=
=
0000
3
3
2
2
VUVU
bU
unbekannte Kräfte :
=
y
x
y
x
FFFF
3
3
2
2
bF
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 178
Schritt 2: Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen im globalen Koordinatensystem
[ ]
)(
2
2
22
22
)(
)(
)(
e
e
e
e
ssccsscssccscc
lEA
K
−−−−
=
Element (1): 27
1 1001mkNE ⋅= , ; A1 = m² ; 1 = ; α1 = °
⇒ s = ; s² = ; c = ; c² = ; sc =
Vorwert : == 11
1 βl
EA
Element (2): 27
2 101mkNE ⋅= ; A2 = m² ; ml =2 ; α2 = °
⇒ s= ; s2= ; c= ; c² = ; sc =
Vorwert : == 22
2 βl
EA
[ ]
)1(
)1(
....................................
....................................
....................................
....................................
=K
[ ]
)2(
)2(
....................................
....................................
....................................
....................................
=K
Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 179
Schritt 3 : Zusammenbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix (e) ij(e) AB KK = ⇒ siehe Koinzidenztabelle
=
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
K~1
=
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
K~ 2
Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 180
Gesamtsteifigkeitsmatrix
=
+=
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
K
K~K~K 21
Schritt 4 : Einführung der Randbedingungen
=
=
=
bbab
V U VU
ab
3
3
2
2
1
1
KK
KK 332211
T
VU
aa
y
x
y
x
F
y
x
FFFFFF
b
a
F
F
=aaK =abK
=TabK =bbK
Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 181
Schritt 5 : Lösung des Gleichungssystems
babaaaa UKUKF ⋅+⋅= 0Ub =
aaaa UKF ⋅=
oder als 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten geschrieben: Lösung: U1 = V1 =
⋅
=
.................................
..............................
.......................................................
Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 182
Schritt 6 : Rückrechnung 6a) Lagerreaktionen
bbbaabb UKUKF ⋅+⋅= T
−
=00125,00004,0
aU
−−−−−
=
00006066,1
5,05,05,05,0
1ab βTK ; β1 = 47.137,46
=⋅=
=
.............................
.............................
.............................
.............................
1aab
3
3
2
2
b βUKF T
y
x
y
x
FFFF
;
020
2020
3
3
2
2
=−=
==
y
x
y
x
FFFF
Kontrolle : 020020
0:0 132
=−+
=++=∑ ↑ yyy FFFV
020200
0:0 321
=−+=++=∑
→
xxx FFFH
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 183
6b) Berechnung der Schnittgrößen: f(e) = k ⋅ T ⋅ U(e )
Element 1: α1 = 225° ;
−
=
=
0000125,00004,0
2
2
1
1
(1)
VUVU
U
=
scsc00
00(e)T
−−
−−=
11000011
22
(1)T ;
=⋅
.......................................................
22
1(1) UT =
=
⋅
−
−=⋅=
.............
.............................
1111
11(1)(1) βukf
=
..........................
2
1
ff
(β1 = 47.137,46)
Element 2 : α2 = 0°
−
=
=
0000125,00004,0
3
3
1
1
(2)
VUVU
U
=
01000001
T(2)
=⋅
...........
...........UT 2(2)
=
⋅
−
−=⋅=
.............
.....................................
1111
22(2)(2) βukf
(β2 = 50.000)
Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 184
6.5 Balkenelement
6.5.1 Zusammenhang zwischen Verschiebungsgrößen und Kraftgrößen Bild 6-14: Verformungen und Freiheitsgrade am Balkenelement Der Einfluss infolge u ist beim Fachwerkelement abgehandelt worden. Betrachtung der Biegeverformungen (s.a. Kap 3.5) Durchbiegung w
Verdrehung ϕ Bild 6-15: Freiheitsgrade am Balkenelement
MA
fzE fzA
fxA fxE
ϕE
ϕA
uE
wE
uA
ℓS
EΙS A E
wA
Z
X
wE
wA
ME
ϕA
ϕE
Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 185
6.5.2 Die Elementsteifigkeitsmatrix Mit den Seiten in Kapitel 3.5.2. ergibt sich:
⋅
−
−−−
−
−
⋅=
E
E
A
A
E
zE
A
zA
w
w
ll
llll
ll
llll
lEI
Mf
Mf
ϕ
ϕ
4626
612612
2646
612612
22
22
bebebe ukf ⋅= Für die Rückrechnung ergibt sich EAzEEzAA M,M,f,f −===−= EA MMVVmit
⋅
−−−
−−−
−
−−−
⋅=
E
E
A
A
E
E
A
A
w
w
ll
llll
ll
llll
lEI
MVMV
ϕ
ϕ
4626
612612
2646
612612
22
22
)()( loklokbebe uSS ⋅= ; Sbe(lok) : Spannungsmatrix
Erweiterung der Steifigkeitsmatrix um den Normalkraftanteil
⋅
−
−−−
−
−
−
−
=
E
E
E
A
A
A
E
zE
xE
A
zA
xA
wu
wu
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEA
lEA
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEA
lEA
MffMff
ϕ
ϕ
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
22
2323
22
2323
eee ukf ⋅=
Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
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6.5.3 Transformationen Transformation der Verschiebungen
Bild 6-16: Transformation der Verformungen am Balkenelement
Φ
Φ⋅
−
−
=
E
E
E
A
A
A
E
E
E
A
A
A
WU
WU
wu
wu
1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos
αααα
αααα
ϕ
ϕ
ue = T ⋅ Ue
Knotenverschiebungen Bild 6-17: Lokale und globale Verformungen am Balkenelement
Z ϕE
WA
ϕA
wA
x
uA
WE
UE
UA
X
A
E
uA = UA ⋅ cos α - WA ⋅ sin α wA = UA ⋅ sin α + WA ⋅ cos α uE = UE ⋅ cos α - WE ⋅ sin α wE = UE ⋅ sin α + WE ⋅ cos α ϕA = ΦA; ϕE = ΦE
wE
Aw
Au
AϕEw
Eϕ
AΦ
EΦ
EU
AU EW
Eu
AW
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Transformation der Kräfte am Element Bild 6-18: Transformation der Kraftgrößen am Balkenelement
⋅
−
−
=
E
zE
xE
A
zA
xA
E
zE
xE
A
zA
xA
Mff
Mff
MFFMFF
1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos
αααα
αααα
eT(e) fTF ⋅=
Bild 6-19: Lokale und globale Kraftgrößen am Balkenelement
Z
x
fxE
FXE
X
A
E
FXA = fxA ⋅ cos α + fzA ⋅ sin α FZA = - fxA ⋅ sin α + fzA ⋅ cos α FXE = fxE ⋅ cos α + fzE ⋅ sin α FZE = - fxE ⋅ sin α + fzE ⋅ cos α MA = MA; ME = ME
FZE
fxA
FXA FZA
fzA
MA
ME fzE
AM zEf
EM
AM
EM
xEF
xAF
zEF
zAF
xEf
zAf
xAf
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6.5.4 Elementsteifigkeitsmatrix in globalen Koordinaten
ee UTu ⋅=
efTF Te ⋅=
−
−
=
1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos
αααα
αααα
T ;
Φ
Φ=
E
E
E
A
A
A
WU
WU
eU ;
=
E
zE
xE
A
zA
xA
MFFMFF
eF
eeT
eeT
eT
e UTkTukTfTF ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=
eee FUK =⋅ wobei TkTK eT
e ⋅⋅=
−−−−
−−−−
=
00000000000000000000
22
22
22
22
sscsscsccscc
sscsscsccscc
lEA
NK
−−−−−−−−−−
−−−−−−
=
22
22
22
22
22
22
3
46626661212612126121261212
26646661212612126121261212
llclsllclslccsclccsclsscslsscs
llclsllclslccsclccsclsscslsscs
lEI
bK
6.5.5 Zusammenbau wie Fachwerk: Klasse a: unbekannte Verformungen / Bekannte Knotenkraftgrößen
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6.5.6 Berücksichtigung von Elementlasten (Festeinspannmomente)
−
=
⋅
−
−−−
−
−
⋅
EL
zEL
AL
zAL
E
zE
A
zA
E
E
A
A
Mf
Mf
Mf
Mf
w
w
ll
llll
ll
llll
lEI
ϕ
ϕ
4626
612612
2646
612612
22
22
geg. Knotenlasten Knotenlasten infolge Stabbelastung (= negative Auflagerkräfte / -momente;
aus Tabellenwerken am beidseitig eingespannten Stab, Vz. FEM)
Die Festeinspannmomente und die Querkräfte am beidseitig eingespannten Träger findet man z.B. in Schneider-Bautabellen S. 4.8.
6.5.7 Beispiel: 2-Feld-Träger
Bild 6-20: Einführendes Beispiel zum Balkenelement
Material: Holz: E = 10.000 N/mm2
Feld 1: b/h = 15 cm / 45 cm; Ι1 = ; EΙ1 =
Feld 2: b/h = 15 cm / 30 cm; Ι2 = ; EΙ2 =
==1
11 l
EIβ
==2
22 l
EIβ
1
10 m 5 m
q = 4 kN/m
2 3
bLffuk bebebe −=⋅
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Element 1
Lokale Stema
Knotenkräfte infolge der Belastung am beidseitig eingespannten Träger Bild 6-21: Aufbau des Lastvektors Element 1 Aus Tabellen (gemessen im FEM KOS):
=⋅
−==−21
lqfA Lz =⋅
−==−22
lqfB Lz
=⋅
−==12
2
1lqMM Lli =
⋅−−==−
12
2
2lqMM Lre
Keine äußeren Knotenlasten vorhanden
bL1111 ffuk −=⋅ bbb
ℓ=10m
−
=
⋅
−
−−−
−
−
⋅
L
Lz
L
Lz
z
z
MfMf
MfMf
w
w
ll
llll
ll
llll
lEI
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
11
1
2
11
2
1
11
1
2
11
2
1
1
1
4626
612612
2646
612612
ϕ
ϕ
−−
−
−
=
⋅
−−−−
−−
⋅
33,3320
33,3320
0000
46,026,06,012,06,012,026,046,06,012,06,012,0
1140
2
2
1
1
ϕ
ϕw
w
−
=
⋅
−−−−
−−
33,3320
33,3320
456068422806846848,1366848,136
228068445606846848,1366848,136
2
2
1
1
ϕ
ϕw
w
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Element 2 Lokale Stema
Knotenkräfte infolge der Belastung am beidseitig eingespannten Träger Bild 6-22: Aufbau des Lastvektors Element 2 Aus Tabellen (gemessen im FEM KOS):
=⋅
−==−22
lqfA Lz =⋅
−==−23
lqfB Lz
=⋅
−==12
2
2lqMM Lli =
⋅−−==−
12
2
3lqMM Lre
Keine äußeren Knotenlasten vorhanden
−−−
−
=
⋅
−−−−
−−
⋅
33,81033,8
10
0000
42,122,12,148,02,148,022,142,12,148,02,148,0
675
3
3
2
2
ϕ
ϕw
w
−
=
⋅
−−−−
−−
33,81033,8
10
27008101350810810324810324
13508102700810810324810324
3
3
2
2
ϕ
ϕw
w
bL2222 ffuk −=⋅ bbb
ℓ=5m
−
=
⋅
−
−−−
−
−
⋅
L
Lz
L
Lz
z
z
Mf
Mf
Mf
Mf
w
w
ll
llll
ll
llll
lEI
3
3
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
22
2
2
22
2
2
22
2
2
22
2
2
2
2
4626
612612
2646
612612
ϕ
ϕ
Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
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Zusammenbau
=
....................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
~1K
=
....................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
~2K
=
....................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
~K
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Umordnen in Klasse a und Klasse b
=
....................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
~K
Für die Rückrechnung am Element ergibt sich
FEME
FEMAzEEzAA M,M,f,f −===−= EA MMVVmit
−
−
+
⋅
−−−
−−−
−
−−−
⋅=
EL
zEL
AL
zAL
E
E
A
A
E
E
A
A
Mf
Mf
w
w
ll
llll
ll
llll
lEI
MVMV
ϕ
ϕ
4626
612612
2646
612612
22
22
(lok)
be
(lok)
be uSS ⋅= ; Sbe(lok) : Spannungsmatrix
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Element 1
Element 2
−−
−−−
+
−
⋅
−+−−−−−
−−+−−
=
)33,33(20
33,33)20(
00316,0000
456068422806846848,1366848,136
228068445606846848,1366848,136
2
2
1
1
MVMV
−−
−−−
+
−
−⋅
−+−−−−−
−−+−−
=
)33,8(1033,8
)10(
001505,00
00316,00
27008101350810810324810324
13508102700810810324810324
3
3
2
2
MVMV
−−
=
−−
−+
−
=
022,689,18
78,13
33,81033,8
10
33,878,3
56,1078,3
3
3
2
2
MVMV
−−−
=
−−
−+
−
=
93,1884,1753,40
16,22
33,3320
33,3320
4,1416,2
2,716,2
2
2
1
1
MVMV
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