BAB 9
DERET TAK HINGGA
9.1 BARISAN TAK HINGGA
Barisan Tak Hingga
Barisan tak hingga adalah fungsi yang domainnyamerupakan himpunan bilangan bulat positif dan rangenya merupakan himpunan bilangan real.
Barisan dinotasikan dengan
๐1, ๐2, โฆ dengan ๐๐ = ๐(๐)
atau ๐๐ ๐=1โ atau ๐๐
Dalam barisan yang didefinisikan secara rekursif, suku barisan ditentukan oleh suku sebelumnya.
๐๐ = ๐(๐๐โ1)
Contoh
1. ๐๐ = 1 โ1
๐
2. ๐๐ = 1 โ (โ1)๐1
๐
3. ๐๐ = (โ1)๐+1
๐
4. ๐๐ = 0,99
Apa yang terjadi pada suku barisan jika ๐ โโ?
Konvergen atau Divergen?
Barisan {๐๐} konvergen ke ๐ฟ jika lim๐โโ
๐๐ = ๐ฟ.
Definisilim๐โโ
๐๐ = ๐ฟ
jika untuk setiap ๐ bilangan positif, terdapat N bilangan positifsehingga
๐ โฅ ๐ โน ๐๐ โ ๐ฟ < ๐
Barisan yang tidak konvergen ke bilangan hingga manapun disebutdivergen.
Contoh.
Tunjukan ๐๐ = 1 โ1
๐konvergen ke 1.
Sifat Limit Barisan
Misalkan ๐๐ dan ๐๐ dua barisan konvergen dan ๐suatu konstanta.
i. lim๐โโ
๐ = ๐
ii. lim๐โโ
๐๐๐ = ๐ lim๐โโ
๐๐
iii. lim๐โโ
๐๐ ยฑ ๐๐ = lim๐โโ
๐๐ ยฑ lim๐โโ
๐๐
iv. lim๐โโ
๐๐. ๐๐ = lim๐โโ
๐๐. lim๐โโ
๐๐
v. lim๐โโ
๐๐
๐๐=
lim๐โโ
๐๐
lim๐โโ
๐๐dengan syarat lim
๐โโ๐๐ โ 0
Beberapa Sifat Penting
Misalkan ๐๐ = ๐(๐).
Jika lim๐ฅโโ
๐(๐ฅ) = ๐ฟ maka lim๐โโ
๐๐ = ๐ฟ.
Teorema Apit
Misalkan ๐๐ dan ๐๐ dua barisan yang konvergenke ๐ฟ dan ๐๐ โค ๐๐ โค ๐๐ untuk ๐ โฅ ๐พ.
Maka ๐๐ juga konvergen ke ๐ฟ
Jika lim๐โโ
|๐๐| = 0 maka lim๐โโ
๐๐ = 0
Contoh
1. Tentukan
a) lim๐โโ
1
๐๐, dengan ๐ bilangan bulat positif.
b) lim๐โโ
3๐2
7๐2+1
c) lim๐โโ
ln ๐
๐๐
d) lim๐โโ
sin3๐
๐
2. Misalkan โ1 < ๐ < 1, tunjukan lim๐โโ
๐๐ = 0.
Bagaimana jika |๐| โฅ 1?
Teorema Barisan Monoton
Jika {๐๐} barisan tak turun dan ๐๐ โค ๐, untuk ๐ โฅ๐, maka
lim๐โโ
๐๐ = ๐ด, untuk suatu ๐ด โค ๐.
Jika {๐๐} barisan tak naik dan ๐๐ โฅ ๐ฟ, untuk ๐ โฅ๐, maka
lim๐โโ
๐๐ = ๐ต, untuk suatu ๐ต โฅ ๐ฟ.
Contoh
Buktikan barisan {๐๐} dengan ๐๐ =๐2
2๐konvergen.
9.2 Deret Tak Hingga
Deret Tak Hingga
Deret tak hingga adalah jumlahan dari suku-suku barisan tak hingga.
๐1 + ๐2 +โฏ =
๐=1
โ
๐๐
Jumlah parsial adalah jumlahan sejumlah berhingga suku-suku barisan tak hingga.
๐๐ = ๐1 + ๐2 +โฏ+ ๐๐ =
๐=1
๐
๐๐
Suatu deret tak hingga konvergen dengan jumlah S, jika barisan jumlah parsialnyajuga konvergen ke S.
๐=1
โ
๐๐ = ๐ โ lim๐โโ
๐๐ = ๐
Jika barisan jumlah parsial divergen, maka deretnya juga divergen. Suatu deretyang divergen tidak memiliki jumlah.
Deret Geometri
๐ + ๐๐ + ๐๐2 + ๐๐3 +โฏ =
๐=1
โ
๐๐๐โ1
๐ dinamakan suku pertama dan ๐ rasio (pengali)
Jika ๐ < 1, deret geometri konvergen. Selain itu, deret geometridivergen.
๐=1
โ
๐๐๐โ1 =๐
1 โ ๐โบ ๐ < 1
Contoh.
Tentukan nilai deret4
3+
4
9+
4
27+
4
81+โฏ
Uji Kedivergenan
HANYA untuk menguji kedivergenan, BUKAN kekonvergenan.
lim๐โโ
๐๐ โ 0 โนฯ๐=1โ ๐๐divergen
Contoh.
Periksa kekonvergenan ฯ๐=1โ ๐3
2๐3+2๐
Deret Harmonik
1 +1
2+1
3+1
4+โฏ =
๐=1
โ1
๐
Apakah Uji Kedivergenan dapat digunakan?
ฯ๐=1โ 1
๐divergen
Deret Kolaps
1
๐1โ
1
๐2+
1
๐2โ
1
๐3+
1
๐3โ
1
๐4+โฏ =
๐=1
โ1
๐๐โ
1
๐๐+1
Contoh.
Periksa kekonvergenan deret
๐=1
โ1
(๐ + 2)(๐ + 3)
Sifat
Sifat Linear
Jika ฯ๐=1โ ๐๐ dan ฯ๐=1
โ ๐๐ adalah deret yang konvergen dan ๐ konstanta real, maka:
1. ฯ๐=1โ ๐๐๐ = ๐ฯ๐=1
โ ๐๐2. ฯ๐=1
โ (๐๐+๐๐) = ฯ๐=1โ ๐๐ + ฯ๐=1
โ ๐๐
Jika ฯ๐=1โ ๐๐ divergen dan ๐ โ 0 konstanta real tak
nol maka ฯ๐=1โ ๐๐๐ juga divergen.
Pengelompokan Suku-Suku Deret
Bolehkah suku-suku deret dikelompokkan?
Pandang
๐=1
โ
(โ1)๐โ1=1 โ 1 + 1 โ 1 +ยทยทยท +(โ1)๐โ1+ยทยทยท
Sifat Deret yang konvergen suku-sukunyadikelompokkan tanpa mengubah jumlahannya.
9.3 Deret Positif: Uji Integral
Uji Jumlah Terbatas
Misalkan ฯ๐=1โ ๐๐ adalah deret dengan
suku-suku tak negatif.
ฯ๐=1โ ๐๐ konvergen jika dan hanya jika
๐๐ โค ๐, untuk ๐ โฅ ๐.
Contoh
Tunjukkan1
1!+
1
2!+
1
3!+โฏ konvergen.
Uji Integral
Misalkan ๐ fungsi kontinu, positif, dan tak naik pada selang[1,โ).
Misalkan ๐๐ = ๐(๐) untuk semua bilangan bulat positif ๐.
Maka ฯ๐=1โ ๐๐ konvergen jika dan hanya jika 1
โ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
konvergen
Contoh
1. Tentukan kekonvergenan deret ฯ๐=2โ 1
๐ ln ๐
2. Deret ฯ๐=1โ ๐
๐๐diaproksimasi dengan menggunakan 5
suku pertama dari deret. Aproksimasi galat yang terjadidengan menggunakan integral tak wajar.
Deret-๐
๐=1
โ1
๐๐=1
1+
1
2๐+
1
3๐+โฏ
Deret-๐ konvergen jika ๐ > 1 dan divergenjika ๐ โค 1.
Contoh
Tentukan kekonvergenan deret ฯ๐=1โ 1
๐0,001.
9.4 Deret Positif: Uji Lainnya
Uji Banding
Misalkan 0 โค ๐๐ โค ๐๐ untuk ๐ โฅ ๐.
i. Jika ฯ๐๐ konvergen maka ฯ๐๐ juga konvergen.
ii. Jika ฯ๐๐ divergen maka ฯ๐๐ juga divergen.
Contoh Periksa kekonvergenan
1. ฯ๐=1โ ๐
5๐2โ4
2. ฯ๐=1โ ๐
2๐(๐+1)
3. ฯ๐=3โ 1
(๐โ2)2
Uji Banding Limit
Misalkan ๐๐ โฅ 0, ๐๐ > 0, dan lim๐โโ
๐๐
๐๐= ๐ฟ.
i. Jika 0 < ๐ฟ < โ, maka ฯ๐๐ and ฯ๐๐ konvergen ataudivergen bersama-sama.
ii. Jika ๐ฟ = 0 dan ฯ๐๐ konvergen, maka ฯ๐๐ juga konvergen.
Contoh Periksa kekonvergenan
1. ฯ๐=1โ 3๐โ2
๐3โ2๐2+11
2. ฯ๐=1โ 1
๐2+19๐
3. ฯ๐=1โ ln ๐
๐2
Uji Hasil Bagi
Misalkan ฯ๐๐ deret positif dan lim๐โโ
๐๐+1
๐๐= ๐.
i. Jika ๐ < 1, maka ฯ๐๐ konvergen.
ii. Jika ๐ > 1, maka ฯ๐๐ divergen.
iii. Jika ๐ = 1, maka tidak ada kesimpulan.
Contoh Periksa kekonvergenan deret berikut.
1. ฯ๐=1โ 2๐
๐!
2. ฯ๐=1โ 2๐
๐100
3. ฯ๐=1โ ๐!
๐๐
Bagaimana MengujiKekonvergenan Deret Positif?
Misalkan ฯ๐=1โ ๐๐deret positif.
1. Jika lim๐โโ
๐๐ โ 0makaฯ๐=1โ ๐๐ divergen (Uji Kedivergenan
Deret)
2. Jika ๐๐memuat ๐!, ๐๐, atau ๐๐, gunakan Uji Hasil Bagi.
3. Jika ๐๐ hanya melibatkan pangkat konstan dari ๐, gunakan Uji Banding Limit.
4. Jika ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ diketahui, di mana ๐ ๐ = ๐๐ yang memenuhi
prasyarat Uji Integral, gunakan Uji Integral.
5. Jika uji-uji di atas gagal, cobalah Uji Banding atau Uji JumlahTerbatas.
6. Jika masih gagal, carilah formula untuk ๐๐ dan kemudianhitung limitnya.
9.5 Deret Ganti Tanda, Kekonvergenan Mutlak dan Bersyarat
Uji Deret Ganti Tanda
Misalkan ๐1 โ ๐2 + ๐3 โ ๐4 +โฏ deret ganti tandadengan ๐๐ > ๐๐+1 > 0.
Jika lim๐โโ
๐๐ = 0, maka deret tersebut konvergen.
Jika deret tersebut diaproksimasi oleh ๐๐ makagalatnya โค ๐๐+1.
Contoh Periksa kekonvergenan deret berikut.
1. ฯ๐=1โ (โ1)๐โ1
1
๐(deret harmonik ganti tanda)
2. ฯ๐=1โ (โ1)๐โ1
๐2
2๐
Uji Kekonvergenan Mutlak
Bagaimana kekonvergenan deret berikut?
1 +1
4โ1
9+
1
16+
1
25โ
1
36+โฏ
Jika ฯ๐=1โ |๐๐| konvergen, maka ฯ๐=1
โ ๐๐ juga konvergen.
Jika ฯ๐=1โ |๐๐| konvergen, ฯ๐=1
โ ๐๐ dikatakan konvergen mutlak.
Kekonvergenan Bersyarat
Kekonvergenan TIDAK mengakibatkan kekonvergenan mutlak.
ฯ๐=1โ โ1 ๐ 1
๐konvergen, tetapi ฯ๐=1
โ 1
๐divergen.
Dalam kasus seperti ini, ฯ๐=1โ ๐๐ dikatakan konvergen bersyarat.
Contoh. Tentukan apakah deret berikut konvergen multak, konvergen bersyarat, atau divergen.
1. ฯ๐=1โ (โ1)๐โ1
๐2
2๐
2. ฯ๐=1โ (โ1)๐+1
1
๐
3. ฯ๐=1โ (โ1)๐+1
๐+1+ ๐
4. ฯ๐=1โ 4๐3+3๐
๐5โ4๐2+1
5. ฯ๐=1โ cos(๐!)
๐2
Uji Rasio Mutlak
Misalkan ฯ๐=1โ ๐๐deret (sebarang) dan lim
๐โโ
|๐๐+1|
|๐๐|= ๐.
i. Jika ๐ < 1, maka ฯ๐๐ konvergen mutlak.
ii. Jika ๐ > 1, maka ฯ๐๐ divergen.
iii. Jika ๐ = 1, maka tidak ada kesimpulan.
Contoh. Periksa kekonvergenan deret berikut.
๐=1
โ
(โ1)๐+13๐
๐!
Teorema Penukaran Tempat
Suku-suku dalam deret yang konvergenmutlak boleh ditukar tanpa mengubahkekonvergenan dan jumlahan derettersebut.
9.6 Deret Pangkat
Deret Pangkat
Deret pangkat dalam ๐ฅ adalah
๐=0
โ
๐๐๐ฅ๐ =๐0 + ๐1๐ฅ + ๐2๐ฅ
2 + ๐3๐ฅ3 +โฏ
Dua pertanyaan:
1. Untuk nilai ๐ฅ berapa saja suatu deret pangkat konvergen?
2. Jika suatu deret pangkat konvergen, berapa jumlahannya?
Contoh.๐ + ๐๐ฅ + ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ3 +โฏ
yang merupakan deret geometri dengan pengali ๐ฅ.
Diketahui bahwa
๐ + ๐๐ฅ + ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ3 +โฏ =๐
1 โ ๐ฅโบ ๐ฅ < 1
Himpunan Kekonvergenan
Himpunan kekonvergenan adalah himpunan semua nilai ๐ฅ yang mengakibatkan suatu deret pangkat konvergen.
Contoh. Tentukan himpunan kekonvergenan dari deret berikut.
1. ฯ๐=0โ ๐ฅ๐
(๐+1)2๐
2. ฯ๐=0โ ๐ฅ๐
๐!
3. ฯ๐=0โ ๐! ๐ฅ๐
Himpunan kekonvergenan deret pangkat merupakan salah satu dari:
1. {0} (jari-jari kekonvergenan 0).
2. Selang (โ๐ , ๐ ) yang dapat ditambah dengan salah satu atau keduatitik ujungnya (jari-jari kekonvergenan ๐ ).
3. Himpunan bilangan real (jari-jari kekonvergenan โ).
Deret Pangkat dalam (๐ฅ โ ๐)
Deret pangkat dalam (๐ฅ โ ๐) adalah
๐=0
โ
๐๐(๐ฅ โ ๐)๐=๐0 + ๐1(๐ฅ โ ๐) + ๐2(๐ฅ โ ๐)2 + ๐3(๐ฅ โ ๐)3+โฏ
Contoh. Tentukan himpunan dan jari-jari kekonvergenan darideret berikut.
๐=0
โ(๐ฅ โ 1)๐
(๐ + 1)2
9.7 Operasi pada Deret Pangkat
Turunan dan Integral
Misalkan ฯ๐=0โ ๐๐๐ฅ
๐ =๐0 + ๐1๐ฅ + ๐2๐ฅ2 +โฏ = ๐ ๐ฅ
untuk ๐ฅ di dalam suatu selang ๐ผ.
Maka, untuk ๐ฅ di dalam selang ๐ผ berlaku:
i. ฯ๐=0โ ๐ท๐ฅ(๐๐๐ฅ
๐) =ฯ๐=0โ ๐๐๐๐ฅ
๐โ1 =๐1 + 2๐2๐ฅ + 3๐3๐ฅ
2 +โฏ = ๐โฒ ๐ฅ
ii. ฯ๐=0โ 0
๐ฅ๐๐๐ก
๐๐๐ก = ฯ๐=0โ ๐๐
๐+1๐ฅ๐+1 =
๐0๐ฅ +๐12๐ฅ2 +
๐23๐ฅ3 +โฏ = เถฑ
0
๐ฅ
๐ ๐ก ๐๐ก
Contoh
1. Turunkan dan integralkan deret pangkat
1 + ๐ฅ + ๐ฅ2 + ๐ฅ3 +โฏ =1
1 โ ๐ฅ, untuk โ 1 < ๐ฅ < 1,
untuk memperoleh dua deret pangkat baru.
2. Lakukan substitusi ๐ฅ = โ๐ก2 pada deret pangkat
dari1
1โ๐ฅ, kemudian integralkan untuk memperoleh
deret pangkat untuk tanโ1๐ฅ.
3. Pandang deret pangkat 1 + ๐ฅ +๐ฅ2
2!+
๐ฅ3
3!+โฏ = ๐(๐ฅ)
untuk ๐ฅ โ โ. Turunkan untuk memperoleh ๐(๐ฅ).
Operasi Aljabar
Dua deret pangkat yang konvergen dapatdijumlahkan dan dikurangkan suku per suku.
Dua deret pangkat yang konvergen dapatdikalikan dan dibagi, seperti pada perkalian dan pembagian polinom.
9.8 Deret Taylor & Maclaurin
Deret Taylor & Maclaurin
Diberikan fungsi ๐ dan bilangan real ๐. Akan dicari ๐0, ๐1, ๐2,ยท ยท ยท sehingga:๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1 ๐ฅ โ ๐ + ๐2(๐ฅ โ ๐)2+ ๐3(๐ฅ โ ๐)3+ยท ยท ยท
Teorema Ketunggalan Taylor
Misalkan fungsi ๐ dapat diturunkan secara terus-menerus, maka fungsi
tersebut dapat dinyatakan secara tunggal dalam deret pangkat
๐ ๐ + ๐โฒ ๐ ๐ฅ โ ๐ +๐โฒโฒ ๐
2!(๐ฅ โ ๐)2+
๐โฒโฒโฒ ๐
3!(๐ฅ โ ๐)3+โฏ
+๐(๐) ๐
๐!(๐ฅ โ ๐)๐+โฏ
Deret pangkat tersebut dinamakan Deret Taylor dari ๐ di sekitar ๐ฅ = ๐.
Dalam hal ๐ = 0 deret dinamakan Deret MacLaurin.
Teorema Taylor
Misalkan ๐ dapat diturunkan terus-menerus pada selang (๐ โ ๐, ๐ +๐). Deret Taylor
๐ ๐ + ๐โฒ ๐ ๐ฅ โ ๐ +๐โฒโฒ ๐
2!(๐ฅ โ ๐)2+โฏ+
๐(๐) ๐
๐!(๐ฅ โ ๐)๐+โฏ
merepresentasikan ๐(๐ฅ) pada selang tersebut tersebut jika dan hanya
jika lim๐โโ
๐ ๐ ๐ฅ = 0, dengan ๐ ๐ ๐ฅ =๐(๐+1) ๐
(๐+1)!(๐ฅ โ ๐)๐+1, untuk ๐ โ
(๐ โ ๐, ๐ + ๐).
Contoh.
1. Tentukan deret Maclaurin dari ๐(๐ฅ) = sin(๐ฅ) dan tunjukkanhasilnya berlaku untuk semua ๐ฅ โ ๐ .
2. Carilah deret Maclaurin untuk ln(๐ฅ + 1), kemudian gunakan 5
suku pertama deret untuk mengaproksimasi 01ln ๐ฅ + 1 ๐๐ฅ.
Beberapa Deret Maclaurin
9.9 Aproksimasi Taylor
Aproksimasi Taylor
Aproksimasi linear untuk ๐ di sekitar ๐ adalah๐(๐ฅ) = ๐(๐) + ๐โ(๐)(๐ฅ โ ๐)
Untuk memperoleh aproksimasi yang lebihbaik, digunakan polinom dengan derajat yang lebih tinggi. Aproksimasi ini dinamakanpolinom Taylor derajat ๐ di sekitar ๐.
๐๐ ๐ฅ = ๐ ๐ + ๐โฒ ๐ ๐ฅ โ ๐ +
๐โฒโฒ ๐
2!(๐ฅ โ ๐)2+โฏ+
๐(๐) ๐
๐!(๐ฅ โ ๐)๐
Contoh
Contoh
Contoh
Contoh
Rumus Sisa Taylor
Misalkan ๐ dapat diturunkan sampai ๐ + 1 kali di sekitar ๐.
Maka
๐ ๐ฅ = ๐ ๐ + ๐โฒ ๐ ๐ฅ โ ๐ +๐โฒโฒ ๐
2!(๐ฅ โ ๐)2+โฏ+
๐ ๐ ๐
๐!๐ฅ โ ๐ ๐ + ๐ ๐ ๐ฅ ,
dengan ๐ ๐ ๐ฅ =๐(๐+1) ๐
(๐+1)!(๐ฅ โ ๐)๐+1, untuk ๐ di antara ๐ฅ dan ๐.
Contoh.
1. Hampiri nilai ln(0, 9) dengan polinom Taylor derajat empat dan taksirlahbatas galatnya.
2. Tuliskan polinom Maclaurin derajat ๐ dari ๐(๐ฅ) = ๐๐ฅ. Lalu hampiri ๐0.8
dengan galat tidak melebihi 0,001.
3. Galat suatu hasil perhitungan numerik adalah ๐ธ =๐2โsin ๐
๐dengan 2 โค
๐ โค 4. Tentukan maksimum galat tersebut.
Top Related